1Sistemas e Sinais - LEIC - 2009/2010 - 2º Semestre - João P. Neto
Capítulo 4
Resposta em frequência
4.1 Noção do domínio da frequência
4.2 Séries de Fourier e propriedades
4.3 Resposta em frequência dos SLITs
2Sistemas e Sinais - LEIC - 2009/2010 - 2º Semestre - João P. Neto
Capítulo 4
Resposta em frequência
4.1 Noção do domínio da frequência
4.2 Séries de Fourier e propriedades
4.3 Resposta em frequência dos SLITs
3Sistemas e Sinais - LEIC - 2009/2010 - 2º Semestre - João P. Neto
4.1 Noção do domínio da frequência
– Existem alguns sinais, como fala, música, imagens, para os quais
não é fácil obter uma representação adequada
– Nessas situações representam-se os sinais como composições de
sinais mais simples, que podem ser facilmente modelados
– Vamos introduzir a representação desses sinais no domínio da
frequência
– Vamos mostrar que um sinal arbitrário pode ser descrito como a
soma de sinais sinusoidais
4Sistemas e Sinais - LEIC - 2009/2010 - 2º Semestre - João P. Neto
4.1 Noção do domínio da frequência
– Frequência é o inverso do Período
• A unidade é o Hertz (Hz) e representa ciclos por segundo
• Frequência angular: w=2pf e representa-se em radianos por segundo
5Sistemas e Sinais - LEIC - 2009/2010 - 2º Semestre - João P. Neto
4.1 Noção do domínio da frequência
– Um sinal sinusoidal além da frequência possui outra característica
importante que é a fase
– A fase pode ser vista como a definição do ponto inicial do sinal
– Exemplo:
• Usamos a diferença de fase nos nossos dois ouvidos para ajudar a
localizar a origem de um som
6Sistemas e Sinais - LEIC - 2009/2010 - 2º Semestre - João P. Neto
4.1 Noção do domínio da frequência
– As imagens podem ser igualmente decompostas
– Uma imagem sinusoidal tem uma frequência espacial em vez de
uma frequência temporal
7Sistemas e Sinais - LEIC - 2009/2010 - 2º Semestre - João P. Neto
4.1 Noção do domínio da frequência
– Um sinal finito de duração p pode ser usado para definir um sinal
periódico com período p
– Dado um sinal finito
y:[a,b]Reais,
podemos definir
y’:Reais Reais
– O sinal periódico é dado por
onde o período p=b-a
casosoutros
batsetytyReaist
0
],[)()(',
m
mptytx )(')(
8Sistemas e Sinais - LEIC - 2009/2010 - 2º Semestre - João P. Neto
4.1 Noção do domínio da frequência
– Esta propriedade é
denominada por
shift-and-add summation
m
mptytx )(')(
9Sistemas e Sinais - LEIC - 2009/2010 - 2º Semestre - João P. Neto
Capítulo 4
Resposta em frequência
4.1 Noção do domínio da frequência
4.2 Séries de Fourier e propriedades
4.3 Resposta em frequência dos SLITs
10Sistemas e Sinais - LEIC - 2009/2010 - 2º Semestre - João P. Neto
4.2 Séries de Fourier e propriedades
– Um sinal periódico x: Reais Reais com período pReais pode ser
descrito como
– Esta representação é denominada de expansão em série de Fourier
– Os valores particulares de Ak e de fk dependem de x(t)
– A frequência w0 é denominada a frequência fundamental e definida
por w0=2pf
– Na maior parte dos sinais os Ak tornam-se pequenos, ou mesmo zero,
para valores elevados do k, podendo-se usar uma aproximação
através de uma soma finita com K termos
1
00 )cos()(k
kk tkAAtx fw
11Sistemas e Sinais - LEIC - 2009/2010 - 2º Semestre - João P. Neto
4.2 Séries de Fourier e propriedades
• Exemplo– Onda quadrada
– Fenómeno de Gibb
• Descontinuidade
– Representação no domínio
da frequência
• Amplitude e frequência
de cada componente
sinusoidal
• Necessário também a
representação da fase
12Sistemas e Sinais - LEIC - 2009/2010 - 2º Semestre - João P. Neto
4.2 Séries de Fourier e propriedades
– Onda triangular
13Sistemas e Sinais - LEIC - 2009/2010 - 2º Semestre - João P. Neto
4.2 Séries de Fourier e propriedades
– A expansão em série de Fourier necessita de obedecer a um
conjunto de condições de convergência
• Convergência uniforme
• Convergência em erro quadrático médio
• Condições de Dirichlet
14Sistemas e Sinais - LEIC - 2009/2010 - 2º Semestre - João P. Neto
4.2 Séries de Fourier e propriedades
– Quando falamos do conteúdo em frequência de um sinal, é algo
que é único e bem definido
– A representação em série de Fourier aplica-se a sinais periódicos
ou a sinais finitos
– Um sinal não periódico pode ser seccionado em segmentos finitos,
podendo-se construir uma série de Fourier para cada segmento
– Exemplo:
• Considere um apito
16Sistemas e Sinais - LEIC - 2009/2010 - 2º Semestre - João P. Neto
4.2 Séries de Fourier e propriedades
• Aproximação em Série de Fourier para imagens– Suponha que o domínio de uma imagem é
[a,b]x[c,d] Reais x Reais
– Sejam pH=b-a e pV=d-c os “períodos” horizontal e vertical para a
imagem periódica equivalente
– As frequências fundamentais são definidas por
wH=2p/pH e wV=2p/pV
– A representação em série de Fourier da
Imagem: [a,b] x[c,d]Intensidade
é
0
,0
)cos()cos(),(m
mVkHmkk
ymxkAyxImagem fwfw
17Sistemas e Sinais - LEIC - 2009/2010 - 2º Semestre - João P. Neto
4.2 Séries de Fourier e propriedades
• Expressão através da exponencial– A série de Fourier é normalmente expressa através de exponenciais
complexas
– As exponenciais complexas são funções próprias (eigenfunctions)
dos SLITs, que ao decompormos um sinal em exponenciais, estas
são apenas escaladas ao serem processadas pelo sistema
– Expressão normalmente usada para a série de Fourier
– Os coeficientes da série de Fourier são simétricos conjugados
– As frequências negativas balançam as positivas de modo que a
soma resultante seja real
k
tjkkeXtxReaist 0)(,
w
*kk XX
19Sistemas e Sinais - LEIC - 2009/2010 - 2º Semestre - João P. Neto
4.2 Séries de Fourier e propriedades
• Série de Fourier Discreta– A decomposição dos sinais discretos em componentes sinusoidais
é semelhante ao caso contínuo
– As unidades de frequência são ciclos por amostra ou radianos por
amostra
– Consideremos um sinal discreto x(n) com período p
– A representação em série de Fourier discreta é definida através de
– A soma é finita, dado que os sinais discretos não podem
representar frequências acima de uma dado valor
– Esta representação pode ser calculada de uma forma eficiente
através da Fast Fourier Transform (FFT)
1
0
0)(,p
k
njkkeXnxInteirosn
w
20Sistemas e Sinais - LEIC - 2009/2010 - 2º Semestre - João P. Neto
4.2 Séries de Fourier e propriedades
• Coeficientes da série de Fourier– Uma fórmula geral para calcular os coeficientes da série de Fourier
para um sinal contínuo periódico
– Uma fórmula geral para calcular os coeficientes da série de Fourier
para um sinal discreto periódico
p
tjmm dtetx
pXInteirosm
0
0)(1
,w
1
0
0)(1
,p
m
jmkk emx
pXInteirosk
w
21Sistemas e Sinais - LEIC - 2009/2010 - 2º Semestre - João P. Neto
4.2 Séries de Fourier e propriedades
• Exemplo:– Mostre que os coeficientes da série de Fourier da onda quadrática
contínua da figura
são dados por
22Sistemas e Sinais - LEIC - 2009/2010 - 2º Semestre - João P. Neto
4.2 Séries de Fourier e propriedades
• Exemplo:– Mostre que os coeficientes da série de Fourier da onda quadrática
discreta da figura
são dados por
23Sistemas e Sinais - LEIC - 2009/2010 - 2º Semestre - João P. Neto
Coeficientes da Série de Fourier de sinais contínuos periódicos
Coeficientes da Série de Fourier de sinais discretos periódicos
24Sistemas e Sinais - LEIC - 2009/2010 - 2º Semestre - João P. Neto
Propriedades da Série de Fourier de sinais contínuos periódicos Propriedades da Série de Fourier de sinais discretos periódicos
25Sistemas e Sinais - LEIC - 2009/2010 - 2º Semestre - João P. Neto
4.2 Séries de Fourier e propriedades
• Exemplos
k
kTttx )()(1 T
ak
1
2||0
||1
)(1
1
2 TtT
Tt
tx
0)sin(
02
10
1
kk
Tk
kT
T
bk
p
w
k
kTTtkTTttx )()()( 113
T
Tkjck
)sin(2 10w
t
x1(t)
1
T -T
t
x2(t)
1
T -T T1 -T1
-T/2 T/2
t
x3(t)
1
T -T T/2 -T/2
T1
26Sistemas e Sinais - LEIC - 2009/2010 - 2º Semestre - João P. Neto
4.2 Séries de Fourier e propriedades
• Exercício– Considere os coeficientes da série de Fourier de um sinal contínuo
que é periódico com período 4. Determine o sinal x(t).
a)
b)
0)4/sin(
00
kk
kj
ka kk
p
p
ímpark
parkak
2
1
27Sistemas e Sinais - LEIC - 2009/2010 - 2º Semestre - João P. Neto
Capítulo 4
Resposta em frequência
4.1 Noção do domínio da frequência
4.2 Séries de Fourier e propriedades
4.3 Resposta em frequência dos SLITs
28Sistemas e Sinais - LEIC - 2009/2010 - 2º Semestre - João P. Neto
4.3 Resposta em frequência dos SLITs
– Modelos de espaço de estados são precisos e concisos, mas não tão
potentes como a resposta em frequência
– Para um SLIT a resposta em frequência revela bastante acerca da
relação entre o sinal de entrada e o sinal de saída
– Os SLITs podem ser descritos por modelos de espaço de estados,
através de equações à diferença e equações diferenciais
– Mas modelos de espaço de estados podem descrever também
sistemas que não são SLITs
– Portanto modelos de espaço de estados são mais poderosos, mas
com inferiores técnicas de desenho e de análise
29Sistemas e Sinais - LEIC - 2009/2010 - 2º Semestre - João P. Neto
4.3 Resposta em frequência dos SLITs
– Dada uma sinusóide na entrada, a saída do SLIT é uma sinusóide
com a mesma frequência mas possivelmente com uma fase e
amplitude diferentes
– Dado um sinal de entrada que é descrito como uma soma de
sinusóides de certas frequências, a saída pode ser descrita como
uma soma de sinusóides com a mesma frequência mas com a fase e
amplitudes possivelmente modificadas em cada frequência
– Se a entrada para um SLIT contínuo é ejwt então a saída é H(w)ejwt,
onde H(w) é uma constante que depende da frequência w da
exponencial complexa.
– Quando a saída do sistema é apenas uma versão escalada da
entrada, a entrada é denominada de função própria (eigenfunction)
30Sistemas e Sinais - LEIC - 2009/2010 - 2º Semestre - João P. Neto
4.3 Resposta em frequência dos SLITs
– Quando na entrada temos
tReais, x(t)=ejwt
– A saída é definida por
tReais, y(t)=H(w )ejwt
– A função H:Reais Complexos é denominada resposta em
frequência
– Define a resposta de um SLIT a uma entrada exponencial
complexa numa dada frequência
– Define a ponderação que o sistema impõe nessa exponencial
complexa
31Sistemas e Sinais - LEIC - 2009/2010 - 2º Semestre - João P. Neto
4.3 Resposta em frequência dos SLITs
– No caso dos sistemas discretos é semelhante
– Quando na entrada temos
nInteiros, x(n)=ejwn
– A saída é definida por
nInteiros, y(n)=H(w )ejwn
– A função H:Reais Complexos é denominada resposta em
frequência
– Existe uma diferença fundamental entre o discreto e o contínuo
ejwn =ej(w+2p)n = ej (w+4p) n
logo
wReais, H(w)= H(w+2Kp)
– Define a resposta em frequência de um SLIT discreto como sendo
periódica com período 2p
32Sistemas e Sinais - LEIC - 2009/2010 - 2º Semestre - João P. Neto
4.3 Resposta em frequência dos SLITs
• Exemplo:– Considere um sistema discreto definido pela equação às diferenças
nInteiros, y(n)=(x(n)+x(n-1))/2
– Assumindo que a entrada é dada por
nInteiros, x(n)=ejwn
e que a saída tem a forma
nInteiros, y(n)=H(w )ejwn
obtemos
H(w)ejwn =(ejwn+ ejw(n-1))/2
– Resolvendo em ordem a H(w) obtemos
wReais, H(w)=(1+ e-jw)/2
33Sistemas e Sinais - LEIC - 2009/2010 - 2º Semestre - João P. Neto
4.3 Resposta em frequência dos SLITs
• Exemplo:– Considere um sistema contínuo com entrada x e saída y
relacionadas pela equação diferencial
tReais, RC dy(t)/dt + y(t)=x(t)
– Assumindo que a entrada é dada por
tReais, x(t)=ejwt
e que a saída tem a forma
tReais, y(t)=H(w )ejwt
obtemos
RCjwH(w )ejwt+H(w )ejwt =ejwt
ou seja,
wReais, H(w)=1/(1+jRCw)
34Sistemas e Sinais - LEIC - 2009/2010 - 2º Semestre - João P. Neto
4.3 Resposta em frequência dos SLITs
• Equação às diferenças linear – Considere um sistema descrito por uma equação às diferenças linear
nInteiros, a0y(n)+a1y(n-1)+...+aNy(n-N)
=box(n)+b1x(n-1)+...+bMx(n-M)
– Os coeficientes podem ser reais ou complexos
– Assumindo que a entrada é dada por x(n)=ejwn e que a saída tem a
forma y(n)=H(w )ejwn
obtemos
a0 H(w )ejwn+a1 H(w )ejw(n-1)+...+aN H(w )ejw(n-N)
=bo ejwn+b1e
jw(n-1)+...+bMejw(n-M)
ou seja,
ww
ww
wwjN
Nj
jMM
j
eaeaa
ebebbHReais
...
...)(,
10
10
35Sistemas e Sinais - LEIC - 2009/2010 - 2º Semestre - João P. Neto
4.3 Resposta em frequência dos SLITs
• Equação diferencial– Considere um sistema descrito por uma equação diferencial
– Os coeficientes podem ser reais ou complexos
– Assumindo que a entrada é dada por x(t)=ejwt e que a saída tem a
forma y(t)=H(w )ejwt
obtemos
aN(jw)NH(w)ejwt+...+a1(jw)H(w)ejwt+a0H(w)ejwt
=bM(jw)Mejwt+...+b1(jw)ejwt+b0ejwt
ou seja,
01
01
)(...)(
)(...)()(,
ajaja
bjbjbHReais
NN
MM
ww
wwww
)()(...)()()(...)(, 0101 txbtdt
dxbt
dt
xdbtyat
dt
dyat
dt
ydaReaist
M
M
MN
N
N
36Sistemas e Sinais - LEIC - 2009/2010 - 2º Semestre - João P. Neto
4.3 Resposta em frequência dos SLITs
– Pode-se exprimir uma relação entre sinusóides e a exponencial
complexa
cos(wt)=(ejwt+ e-jwt)/2
– Se for este o sinal de entrada para um SLIT com resposta em
frequência H(w) então a saída será
y(t)=(H(w)ejwt+ H(-w)e-jwt)/2
– Quando a entrada é real normalmente a saída de um SLIT é
também real, o que implica que
H(w)= H*(-w)
– Esta propriedade é denominada de simetria conjugada
37Sistemas e Sinais - LEIC - 2009/2010 - 2º Semestre - João P. Neto
4.3 Resposta em frequência dos SLITs
– A resposta em frequência de um sistema real (cujos sinais de
entrada e de saída são reais) é simétrica conjugada
– Quando a entrada for x(t)=cos(wt) a saída será
tReais, y(t)=Re{H(w)ejwt}
– Escrevendo H(w) na forma polar
permite-nos obter a saída como
– H(w ) consiste de um ganho |H(w)| e de uma fase H(w) que o
sinal de entrada sinusoidal de frequência w sofre.
)()()( www HjeHH
))(cos()()(, www HtHtyReaist
38Sistemas e Sinais - LEIC - 2009/2010 - 2º Semestre - João P. Neto
4.3 Resposta em frequência dos SLITs
• Exemplo:– Considere um sistema, que realiza um atraso T, definido como
y(t)=x(t-T)
– Assumindo que a entrada é dada por tReais, x(t)=ejwt
e que a saída tem a forma tReais, y(t)=H(w )ejwt
obtemos
H(w)=e-jwT
em que |H(w)|=1 e H(w)= -wT
– Uma entrada na forma de coseno gera na saída um coseno da
mesma amplitude e com um deslocamento de fase
– Um filtro com uma resposta em amplitude unitária e constante é
denominado filtro passa-tudo
39Sistemas e Sinais - LEIC - 2009/2010 - 2º Semestre - João P. Neto
4.3 Resposta em frequência dos SLITs
• Exemplo:– Considere o sistema discreto definido pela equação às diferenças
nInteiros, y(n)=(x(n)+x(n-1))/2
– A resposta em frequência H(w) é dada por
wReais, H(w)=(1+ e-jw)/2
– A resposta de frequência
em amplitude é dada por
|H(w)|=|(1+ e-jw)/2|
– Este sistema tem um
comportamento
de um filtro passa-baixo
40Sistemas e Sinais - LEIC - 2009/2010 - 2º Semestre - João P. Neto
4.3 Resposta em frequência dos SLITs
– A resposta em frequência diz-nos tudo o que precisamos saber
sobre um sistema
– Podemos passar a representar um SLIT através da sua resposta em
frequência, em lugar da representação entrada/saída, modelo de
espaço de estados, da resposta impulsiva, ...
41Sistemas e Sinais - LEIC - 2009/2010 - 2º Semestre - João P. Neto
4.3 Resposta em frequência dos SLITs
• Exemplo– Suponha-se que a resposta em frequência H de um SLIT discreto é
dada por H(w)=cos(2w)
– Consideremos o sinal de entrada
que pode escrito como x(n)=cos(pn)
– A saída é dada por
– Ou seja o sistema não altera a entrada
ímparn
parnnx
1
1)(
)()cos())(cos()()( nxnHnHny pppp
42Sistemas e Sinais - LEIC - 2009/2010 - 2º Semestre - João P. Neto
4.3 Resposta em frequência dos SLITs
• Exemplo– Suponha-se que a resposta em frequência H de um SLIT discreto é
dada por H(w)=cos(2w)
– Consideremos o sinal de entrada
x(n)=5
que pode escrito como x(n)=5cos(0n)
– A saída é dada por
– Ou seja o sistema não altera a entrada
)(5))0(0cos(5)0()( nxHnHny
43Sistemas e Sinais - LEIC - 2009/2010 - 2º Semestre - João P. Neto
4.3 Resposta em frequência dos SLITs
• Exemplo– Suponha-se que a resposta em frequência H de um SLIT discreto é
dada por H(w)=cos(2w)
– Consideremos o sinal de entrada
x(n)=cos(pn/2)
– A saída é dada por
– Ou seja o sistema inverte a entrada
)()2/cos()2/cos())2/(2/cos()2/()( nxnnHnHny pppppp
44Sistemas e Sinais - LEIC - 2009/2010 - 2º Semestre - João P. Neto
4.3 Resposta em frequência dos SLITs
• Exemplo– Suponha-se que a resposta em frequência H de um SLIT discreto é
dada por H(w)=cos(2w)
– Consideremos o sinal de entrada
x(n)=cos(pn/4)
– A saída é dada por
– Ou seja o sistema anula a entrada
0))4/(4/cos()4/()( ppp HnHny
45Sistemas e Sinais - LEIC - 2009/2010 - 2º Semestre - João P. Neto
4.3 Resposta em frequência dos SLITs
• Resposta em frequência para séries de Fourier– No caso das séries de Fourier representámos o sinal de entrada como
onde w0=2p/p
– A saída do SLIT para a entrada periódica é representada por
– Para um SLIT, se a entrada é dada pela soma de exponenciais
complexas, a saída é dada pela soma das mesmas exponenciais, cada
uma escalada pela resposta em frequência, avaliada na frequência
correspondente
k
tjkkeXtxReaist 0)(,
w
k
tjkkeXkHtyReaist 0)()(, 0
ww
46Sistemas e Sinais - LEIC - 2009/2010 - 2º Semestre - João P. Neto
4.3 Resposta em frequência dos SLITs
– Todas as componentes de frequência da saída estão na entrada
– A saída consiste das mesmas componentes em frequência da
entrada em que cada componente aparece escalada
– Os SLITs podem ser usados para ampliar ou suprimir certas
componentes de frequência, operação denominada de filtragem
– A resposta em frequência caracteriza quais as frequências que são
ampliadas ou suprimidas e também quais os deslocamentos de fase
impostos pelo sistema nas componentes individuais
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