TORSIÓN
CAPÍTULO 12
B
x
y
zMT
G
B
x
y
zMT
G
O x
y
O x
y
P τzxP τzx
τzy
000 ≠≠==== zyzxxyzyx τττσσσ
Solución tensional:
xy zyzx ∂∂
−=∂∂
=ΦτΦτ
00 =∂
∂⇒=
∂∂
+∂
∂+
∂∂
zzyxzxzxxyx τττσ ( )yxzxzx ,ττ =1)
00 =∂
∂⇒=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
zzyxzyzyyyx ττστ ( )yxzyzy ,ττ =2)
022
=∂∂
∂−
∂∂∂
=∂
∂+
∂
∂+
∂∂
yxyxzyxzzyzx ΦΦσττ
3)
¿Verifica esa solución tensional las ecuaciones de equilibrio interno?
),( yxΦΦ =FUNCION DE TORSION
σ1I NULO
Ecuaciones de Beltrami:
( ) 001 1 =⇒=∂∂
∂++ zxzx xz
Iτ∆τ∆ν
σ
( ) 001 1 =⇒=∂∂
∂++ zyzy yz
Iτ∆τ∆ν
σ constante=∆Φ
El giro absoluto experimentado por la sección genérica (a distancia zde la de referencia) alrededor del punto O (que no gira) sería igual al producto ω.z
Supongamos que el giro unitario (ω en rad/m) permanece constante a lo largo de la pieza (lo cual es cierto si la pieza es recta, de sección constante, y se aplican momentos torsores iguales y opuestos en sus dos caras extremas)
θ=ω.z
z = distancia de la sección considerada a la que tomamos de referencia y que supondremos que no gira en su plano
O x
y
Pδ
O x
y
O x
y
Pδδ
ω=θ/L
Giro por unidad de longitud:
Extremoempotrado
MT
L
A
B
O
R θ
γ
O x
y
Pδ
O x
y
O x
y
Pδδ
( )( )
),(.
.
1 yxWwxzv
yzu
ωω
ω
==
−=
Campo de desplazamientos:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
∂∂
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
+∂∂
== yx
Wzu
xw
Gzx
zx ωωτ
γ 1⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
∂∂
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
+∂∂
== xy
Wzv
yw
Gzy
zy ωωτ
γ 1
ω−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ω−
∂∂∂
ω−ω−∂∂
∂ω=∆Φ
∂
τ∂−
∂τ∂
=∆Φ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂Φ∂
∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂Φ∂
∂∂
=∂
Φ∂+
∂Φ∂
=∆Φ
G2yx
Wyx
WG
xy
yyxxyx
12
12
zyzx
2
2
2
2
ω−=∆Φ G2
O x
y
Mz dxdy
dsn
O x
y
O x
y
Mz dxdy
dsnn
0=+ zyzx ml ττ
dsdyl =
dsdxm −= 0=
∂∂
+∂∂
xdsdx
ydsdy ΦΦ
0=∂∂
sΦ
Equilibrio en el contorno:
( )∫∫ −=Ω
Ωττ dyxM zxzyz
xy zyzx ∂∂
−=∂∂
=ΦτΦτ
( )∫∫=Ω
Φ dydxyxM z .,2
Relación entre el momento torsor y la función de torsión:
O x
y
MzP τzx
τzy
x
y
a b
d
cx2x1
Un problema de torsión se resuelve obteniendo la función de torsión Φ(x,y) del problema, que debe poseer las siguientes propiedades:
En resumen:
ω∆Φ G2−=
0=∂∂
sΦ
( )∫∫=Ω
Φ dydxyxM z .,2
Conocida la función de torsión Φ(x,y), las componentes no nulasde la tensión tangencial son:
xy zyzx ∂∂
−=∂∂
=ΦτΦτ
TORSIÓN EN PIEZAS DE SECCIÓN CIRCULAR
r θ
P
O
R r θ
P
O
R
022 =− Rr
Ecuación de la circunferencia:
22)( Rrrf −=
constanter
frf
rf ==+=
∂
∂+
∂∂
= 4221
2
2∆
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −= 22 RrCΦ
Función de torsión:
224 ωωφ GCGC −=⇒−==∆
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −= 22 RrCΦ
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −−= 22
2RrGωΦ
ωωπθωΩΦΩ
πGIGRdrrRrdGdM
Rz 0
42
0 022
22 ==⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ −−== ∫∫ ∫ ∫
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −−= 22
02Rr
IM zΦ
222 yxr +=Como:
rI
M z
0
=τx
IM
x
yI
My
0
zzy
0
zzx
=∂Φ∂
−=τ
−=∂Φ∂
=τ
RI
M zmax
0
=τ IO = πR4
2
Sección circular maciza Sección tubular gruesa
máx máx
( )41
422
RRIO −=π
R1
R2
R
4
2RIO
π=
rIM z
0
=τ
τmaxτmax
GabcLM
abcM zz
32
21
== φτ max
TORSIÓN EN PIEZAS DE SECCIÓN RECTANGULAR
p
Membranaflexible
ANALOGIA DE LA MEMBRANA
p
x
z
y
σ
σ σ
σ
ρ1
ρ2
ds1
ds2
p
σρρp
−=+21
11
32
2
2
1
1
1
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+
∂∂
=
yz
yz
ρ 32
2
2
2
1
1
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+
∂∂
=
xz
xz
ρ
2
2
22
2
1
110xz,,
yz
xz
yz
∂∂
=∂∂
=⇒≈∂∂
≈∂∂
ρρ
σpz
yz
xz
−=∆=∂∂
+∂∂
2
2
2
2
0sz =∂
∂ en el contorno
x
z
y
Plano de la membrana
zpGzp
Gpz
Gσ
ω
σ
ω
σω
2212
=Φ⇒∆=∆Φ⇒−
∆==
−∆Φ
ωG2−=∆Φσpz −=∆
0s=∂Φ∂ 0s
z =∂∂
PROBLEMA DE TORSIÓN PROBLEMA DE LA MEMBRANA
a lo largo del contorno a lo largo del contorno
∆Φ=−2Gωp
∆z= - σ
TORSION EN PIEZAS DE SECCION DE PARED DELGADA
Perfiles abiertos
Sin ramificar Ramificado
Perfiles cerrados
De una célula De dos células
PERFILES ABIERTOS SIN RAMIFICAR
fibra media
Α
Β
e
fibra media
Α
Β
e
x
y
z
x
y
z
σp
y
z
x
z−=
∂
∂+
∂
∂2
2
2
20
2
2=
∂
∂
x
zσp
y
z−=
∂
∂2
21
2
2Cypz +−=
σ
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−= 2
2
42yepz
σz=0 cuando y=e/2
Forma de la membrana:
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−== 2
2
42 yeGzpG ω
σ
ωΦ
0
2
=
−=∂∂
=
zy
zx yGy
τ
ωΦτ
eGωτ =max
x
yb
e
x
τmaxτmax
∫∫∫ ∫∫ ∫ ⋅⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−===
−
le
ez dxpyedypGdz
pGdyxM
02
22
224
44),(2
σσ
ωΩ
σ
ωΩΦΩ Ω
le
MleelGM zz 2max
2max
3 333
=⇒== ττω
Si el espesor de la sección es constante y de valor e:
ωGM
K z=
Módulo de torsión:
leK 331
=
Para el caso de una sección abierta de espesor constante:
PERFILES ABIERTOS RAMIFICADOS
Mz = momento torsor aplicado a una sección de perfil abierto ramificado
Mz = momento torsor absorbido por el perfil abierto i
i
∑=
=n
i
izz MM
1
1
2
3
Mz1
Mz2
Mz3
Mz
ωωωω ==== n..........21ωωωω GGGG n ==== ..........21
eequivalentz
i
iz
n
nzzz
KM
K
MKM
KM
KM
=====∑∑................
2
2
1
1iii leK 3
31
=
zeequivalent
iiz M
KK
M = ieequivalent
zi e
KM
eG == ωτ max
donde:
1
2
3
PERFIL CERRADO DE UNA SOLA CELULA
C1
C2
C
x
y
z
z=z(x,y)
C1
C2
C
x
y
z
z=z(x,y)
membranas
Placa rígida
membranas
Placa rígida
p p p
Fibra media
M N
x
z
p p p
Fibra media
M N
x
z
e
Fibra media φ=constante
M N
z
x
x
z
N
h
e
α
α σ
M N
z
x
x
z
N
h
e
α
α σ
∫ =−Cm dssenpS 0ασ
ehtgsen == αα
∫ =−Cm ds
ehpS 0σ
Equilibrio de fuerzas segúnla vertical:
p
∫ =−Cm ds
ehpS 0σ
∫=
C
m
eds
Sph
σ
e
Fibra media
Sm
mzy eh
pG
xz
pG
xτ
σω
σωτ ==
∂∂
=∂Φ∂
=22
∫=
C
mm
eds
SeGωτ 2
Ω
σ
ωΩ
dzpGM z ∫∫=
4
hSdz m≅∫∫ ΩΩ
( )∫
==
C
mmz
edsSGhSp
GM2422 ω
σ
ω
∫==
C
mz
eds
SGM
K24
ω
mz
m eSM
2=τ
zpG
σ
ω2=Φ ( )∫∫=
ΩΦ dydxyxM z .,2
∫=
C
m
eds
Sph
σ
Cómo:
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