ffiwdmxçffim ffiffi ryr*rem#rwrynxmffiwmre€w
. Reduzirumarco dado ao primêiroquadrânte é dêteíminar um arco do primeiro quâdrante,cujas íunções trigonométricas seiam iguais em valor absoluto às do arco dado._ ''
Temos três casos:
í
,igra:on"'d"'"to" o" arcos suplementares x e; x indicados no ciclo trigonométrico da
Da igualdade dos triângulos retângulos OMiMI e o t\,1,2tú2, vem:
sen(r - x) = ssnx cos (Í x) = -cos x
Portanto:
t0{ , Í_x) = sen(, Í -x) = - !9! l _ ,^" .cos(r-x) cosX - ' lv^t '
ísenos ior.,arsDois aícos suplementâros lêm: I
tco-senos e lang€ntês simélricos
52
tg (?r - x) = -tgx
: " : I
ObservaçÕes:'1 9 ) ,osarcos cujâs mêdidas sãoxe(Í x)são suplêm€nlares, pois x + (tr - x) = Íou
/ 180".21) pa@ teduzit um arco do29 quadrante para o 19 quadrante, bâsta achar o seu
suplemenÌo.
Veiamos âlguns êxêmplos.
19 exemplo: Calcular as tunções tr igonométricas de um arco de 120o.
Resoluçáo: Um arco de medidâ 120o está no 29 quâdrante; portanto, vamos achar a mediday do seu suplemento: 12Oo + y = 180Ô + y = 600 \
Í
Então: \Ãsen 120Õ = sen 60' = sen 12O" =;
cosec 1200 = cosêc 60o - cosêc 1200 ='1 122\B
'3 =
ú =
32
= cos 1200 =
tg 120o = rB
= l- = cotq 12Oo-í3
= _i = sec 120'=
229 exemplo: Simplificar a expressão
cos(540o -o) + sen(1 2600 d) -sen(900o -d).
Besolução: Sabemosque:5, t0o=1800+3600
12600 = 1800 + 3 36009000=1800+2 3600
Logqcos (540" d) = cos (1800 a) = -cosdsên (1 2600 - d) = sen (18Oo - d) = sen asen(900'- o) = sen (1800 o) = sena
Substituindo, têmos: - coso + senê seno = - cosd
EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM
cos 1200
tg 120" =
cotg 120"
sec 1200
= -cos 600
-tg 60" =
_1- tg 120"'1
- cos 1200
1-T
- l5
2
I calcuÌe o valor das funçôes trigonométÍicas do
aì lJ5. bì jl c) I 590' d) -=-
2 catcute:a) sen 135' + 4 cotg 120'
b) cos 510' + ts Ë
3 Simplifique:a) sen (9Í - i) + sen (5,r x)b)ts(3Í - x) + tg(- 5r - x)
r
QUADRANTE29 coso: REDUçÃO DO 3? QUADRANTE P-ARA O
Considerêmos os arcos explementares x e Íf iguía.
/ *" '
u', ̂ ^ í,
Da igualdade dos triângulos retângutos Ol\4!Mi e OM,2M2,vem:
no ciclo tíigonométrico da
. t
+ x indicados
Í
Fortanto:
ts (Í+x) = !9!l4trÈ = = !9! L = tgx- sen x il- cos x
Dois arcos explemêntares têm:
Obsêrvações:
1i)os arcos cuias medidas sãoxelr + x) sâo êxplemêntaÌes, pojs (Í + x) _ x = ?rou 18Oo.2:) para rêduzir um arco do 39 quadrante para o 19 quadrante, basta subtrair 18Oo do
arco inicial.
Exemplo: Calculâr as funçôos lrigonométrÍcâs de um arco de 22So.Resolução:
Umarco dê 225 o está no 39 quadrantê; ponantq vamoscalculara mediday do seuexptemenÌo
senos e co,senos simétricos
tangentes iguais
225' y= 180"-y=45"
Então: sen 2250 = -sen 45o = I
cos 2250 = -"o"+S" = f
sen (?r+x) = - sen x
Xrg+tg (Í
tg 2250 = tg 45ô = 1
""'" "- - tg zzs"
sec 225" = coJ25"2
cosec 225o = a*-ZE"
= _A- = -12
1_
f, ï
EXERCICIOS DE APRENDIZAGEM
@abule as funçôes trigonométricas de um ar- @Ache o vaÌor de sen 240' - cos 570'.
d) 930.
Osimplifique as expressôes:
a) sen (x - 900') + cos (x - 540')b) ts (x + 540') tg (7Í+x)
Fortanto:
to {2,r x) = sen (?r x) -- cos (2r - X)
39 COSO: REDUCÃO DO 49 QUADRANTE PARA O19 QUADRANTE
2Ì-x
Consideremos os aícos replementares x e 2Í - x indicados no ciclo trigonométrico dafioura.
/
M".
ía[,11: r .__ )
, / l
')1x à
. - \
\o' lv2
Da igualdade dos triânoUlos retângulos OÌú'11\r1 ê OM'2M2, vêm:
- sen xcos x
= tgx
7-:
Dojs arcos replementares têm:
Observações:
1:) os arc^o_s cujas medidas são x e (2r x) são r€plementares, pois (2Í x) + x = 2rou 36002i) para reduzir um aaco do 49 quadrante paía o 19 quadrantg bastâ acharo seu íeptemênto
Exemplo: Dêlerminar as Íunções trigonomótricas de um ârco de 2 1OOo. . tResolução:
2 1000 I 36003oo" [s
21000=300o+5.3600L- 1: detsminação po€iiiva
Como 270o < 300ô < 3600, o arco está no 49 quadrantê.
Vamos, enlão, dete.minar a mêdjda y do seu replêmento:
300o+y=36003y=600
Então: sen 21OOo = son 30Oo -sen 60ô = ìr
cos 2 lOOo = cos 3OOo = cos 60. = +
tg 2 100' = tS ?,00' = -tg 60. = -€
cotq2lOOo===1==- =_1 _ v€ts2lOOo - _!3 =
i -
11seczruu"= cõs?ÌõOo- =
ì -=2z
cosec 2 1000
senos e tangentes simétricos
co-senos iguais
t
1 1 t , tã= senZ-ìm" = -va = Ï'2
EXERCíCIOS DE APRENDIZAGEM
I Determìne âs fimções trigonomaÍicas de umarco d€:r ì 1<o hr l l l
2 Simplifique a explessão:sen (4Í x) + cos (8tr
q+
x) - sen 0m" -
x).
3 Calcule seÍì 330. - cos2 4{í'".
4 Reduza ao 19 quadrante:a) sen 2 510'b) ts I 000ôc) sec I 560.
IIIIt
PROPRI EDADE DOS ARCOS COMPLEMENTARES
Consideremos no ciclo tr igonométrico dois arcos cujas medidas são x e (+
Obseruando o ciclo tí igonométíicq verif icamos que:
. os arcos cujas medidas são x e ( L 1) sáo complementares, pois
\+ x) +x=foueor
.cosx = õMr,senx = Ìv l lv l t
"o.( ; -*) -e-F,sen{ã ì=ot
Considerando os tr iângulos OMlM E oPiB têmosì
Ol\4=OP (=t)
M1Ôtvì = PloP (x)
ú1 =Ê1
")
I
(reto)
Daí resulta que:
: ÀOM1M = ÀOP1P
sen l- rJ = "o" "
"o" (á x) = sen x
OP-1 = ÓlMì
PPI = tu11\,4j
")
.)
cos I+ _ {l
Assim. teremos as tunções tÍ igonometÍicas do arco { ; x)em luncao do arco .".
""" \2
""n(; " ) cos x*É -4=sên x
57
EXERCÍCIOS DE APREN DIZAGEM
I SiÍnplifique a expressão:
*'(+ ") *"(+ - 44 Simplifique a expÍessão:
* ' t "r ' * ' (" * ') -*"(+ -4. .*(* 4
sen (270" + x) - sen (m" + x) - cos (90" - x) + sefl(360'+ r)
*" ,Ë x, + cos x.
! Í2 (FCV-SP) Simplifique a expressâo:
cos (m" + x) + cos (180' x) + cos (360' x) + 3€os(90'- x)
3 SiÍnplifique:
EXERCíCIOS DE FIXAÇÃO
5ó Quais sao os arcos suplementârcs de:rr r75"? br la? r ì 16"? Jr +?' I
57 Quais sào os arcos explementares de:
ar20"? b) i Ì c) Í - ' d) l l5" ' /
58 Quais são os arcos complementâÍes de:
r , ló"? b)ì i? ( ,Ër J) Í?
59 Cdìluleas lunçòer I ngonomer rìca' do\ aÍcos
a) ó90"
b) ó 360"
sen(,r+x).cos(+ ì *(* - . )
sen (270" - x-) ts (540" x)
tg (540' + xì . co\ í540' \)
cosec (57r x) cotg ( x). sen (n +x)
ó2 E{prima em função
a) tg (3Í + x)
b)tc l ; - l
ó3 simplifiqüer
cleÌgxecotgxas
o.o,e(f * ")
a)cote(f ì
ó0 Simplifique a expressào:
scn( l l t r+x)-cos( Í+x) tg(h+x)-
*' o" *.r . *"(f *-) 'gt+n-*r
seL (4Í - r ) tÂl++xl .sen(Í \ )ól Exprima ern Íun(ão de sen \ e cos r as
e) sen (3Í
. , ' ' ' . 2
a) sen (4Í + x)
b) cos (5Í + x)
c) sen (4Í - x)
d) cos (- Í x)
x)
x)
+x)
x)
ó4 Calcule o valor da expressão:
' sen 330' + sen (-450')rg l20o . cotg ( 210')
59
cosl : x lcotg { + xl = l! -
' sen( l i
Veiâmos alguns exemplos.
19 exemplo: Simplificaí a expíessão y =
sen xcos x
1*"(+ i=cos l-4_ xl
cosec (+ - xJ =
sen x
I
sên tá _ xl cos x
Í
Senx.cotgx
Resotuçáo: sen(+ + 4= *"Í+ 1 x1l =cos(,x)
cos(-x) = Ol\4 I cos( x) = cosxcos x = OÌü
No ciclo trigonomélrico, temos:
58
ts
*"{+ ") .ç*"".(á -,)""-\z ") ts{+ 4
cosx.secx c€íx.secxsêrÍx . cos x c€s x- ,sêí x
Rêsposfa.- sec x
29 êxemplo: Demonstra, qu" ""n
l-+ * ,ì = "o"
,.\z I
cos x sec x
' ,
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