CÁLCULO DO VOLUME INSTANTÂNEO DE UM TANQUE DE COMBUSTÍVEL CILÍNDRICO HORIZONTAL EM CLP
Alexandre Borges Selau1 <[email protected]>
Universidade Luterana do Brasil – Curso de Bacharel em Matemática Aplicada a Informática ULBRA – Campus Canoas
Av. Farroupilha, 8.001 – Bairro São Luís – CEP 92420-280 – Canoas – RS
RESUMO
Este artigo apresenta uma aplicação da Matemática Aplicada em Informática no desenvolvimento de sistemas de controle em Automação Industrial. A Automação Industrial é utilizada para melhorar a produtividade, a qualidade e a segurança dos processos através de software desenvolvido em um Controlador Lógico Programável, conhecido por CLP. Um CLP é um computador especializado baseado em um microprocessador que desempenha funções de controle dentro de um domínio finito. O contexto deste trabalho é apresentar uma solução através do desenvolvimento de uma equação integral para calcular o volume de um tanque cilíndrico horizontal em função da altura. Este desafio se faz necessário para realizar a medição do volume de combustível para controle e alarmes, substituindo a operação manual que é feita através de um visor demarcado com alguns níveis.
Palavras-chaves: Automação; CLP e Algoritmo.
ABSTRACT
Title: “Horizontal Cylindrical Fuel Tank Instantaneous Volume PLC-Calculator”
This article presents an application of Applied Mathematics in Computer Science in the development of control systems in Industrial Automation. Industrial Automation is employed to improve productivity, quality and safety of the processes through software developed in a Programmable Logical Controller, known as PLC. A PLC is a specialized computer based on a microprocessor that carries out control functions inside of a finite domain. The context of this work is to present a solution through the development of an integral equation to calculate the volume of a horizontal cylindrical fuel tank as a function of the fuel column. This challenge become necessary to accomplish the fuel volume measurement for control and alarm purposes, instead of the manual operation that is normally done via a visual indicator marked with some levels.
Key-words: Automation, PLC and Algorithm.
1. INTRODUÇÃO
O conceito de Automação Industrial foi introduzido nos Estados Unidos em 1946.
Desde então a evolução tecnológica do Controlador Lógico Programável (CLP) vem
crescendo bruscamente, abrindo portas para as mais diversas aplicações, eliminando
definitivamente os antigos painéis controlados por relés eletromecânicos. Atualmente o
CLP atingiu um nível de evolução tecnológica que possibilita cálculos trigonométricos,
malhas de controle e até serviços para hospedagem de páginas de Internet. O mercado
oferece algumas marcas, tais como Telemecanique, Horner, Rockwell, Altus e Siemens.
O intuito do artigo não é promover uma ou outra marca, mas sim mostrar a aplicação da
matemática no contexto da Automação Industrial. Desta forma, devemos utilizar um CLP
que tenha capacidade de realizar cálculos trigonométricos, raízes e exponenciais, a
escolha final fica por conta do departamento comercial. Para efeitos didáticos, além da
introdução e da conclusão, o artigo foi dividido em seções descrevendo os diferentes
desafios e suas soluções aplicando os fundamentos da matemática computacional. A
Seção 2 descreve um panorama histórico da origem e as implicações do Controlador
Lógico Programável na sociedade, trazendo fatos relevantes que contribuíram na
evolução dos sistemas de controle utilizados atualmente em diversos processos na área
da Automação Industrial. Após, a seção 3 descreve alguns tipos de sensores de campo e
como podemos normalizar as diferentes grandezas físicas, uma vez que para medir o
nível de combustível vamos adotar um sensor de pressão instalado na parte inferior do
tanque. Após, a seção 4 busca uma solução matemática para medir o volume de um
tanque cilíndrico horizontal em tempo real, permitindo, assim, um controle automático de
nível, gerenciamento de alarmes e histórico de consumo, uma vez que atualmente a
medida se faz de forma visual através de um tubo transparente com marcações de
volume e todo o controle de enchimento é manual. Para finalizar, a seção 5 descreve a
aplicação destes conceitos dentro de um exemplo prático, bem como os códigos fontes
utilizados.
2. O CONTROLADOR LÓGICO PROGRAMÁVEL
Segundo Silveira e Santos (1999), “a primeira experiência de um controle de lógica
que permitisse a programação por recursos de software foi realizada em 1968, na divisão
de hidramáticos da General Motors Corporation... Iniciava-se a era dos controladores de
lógica programável”. Enfatizado em Cáceres (2004), “O Controlador Programável, ou
simplesmente CP, tem revolucionado os comandos e controles industriais desde seu
surgimento na década de 70”.
A palavra controle denota o ato ou poder de exercer domínio, fiscalizar,
supervisionar, manter o equilíbrio. Esta compreensão é milenar e sempre foi alvo da
consecução de objetivos comuns de uma nação, região ou comunidade como um todo.
Variavelmente encontrada como um triunfo na mente do indivíduo: controlar para não ser
controlado.
O controle, na escala tecnológica, assume o papel primordial e decisivo dentre os
modelos e processos existentes, sejam eles simples, modestos, robustos ou de extrema
1 Consultor e Projetista de Sistemas de Automação. Trabalhando na área desde 1997.
complexidade no plano de ações. O controle através do CLP que se está preconizando, é
finito, de uma aplicação dedicada, entretanto, vale estender estes conceitos e as
necessidades de seu emprego, caracterizando sua real importância.
Para que se possa entender a evolução do CLP, é interessante compreender seu
contexto histórico e econômico. Para tanto, faz-se necessário citar quais foram as
principais transformações que modificaram brutalmente a divisão social do trabalho,
decorrentes de inventos que marcaram profundamente os dois últimos séculos, bem
como o estabelecimento de paradigmas que se construíram em torno do “emprego”,
principalmente após a primeira grande revolução industrial. Diante das opções de
controle de um sistema automático que evoluiu para o conceito do que se conhece hoje
como Automação, um breve histórico de como o mundo resistiu a tais transformações
tecnológicas torna-se fundamental.
2.1 A IMPORTÂNCIA DE UM INVENTO
Os inventos produzidos pela humanidade sempre trouxeram, além da grande
dúvida de suas conseqüências e impacto social, um estilo de vida decorrente de novos
hábitos assumidos diante de novos desafios e necessidades. O homem sempre buscou
simplificar seu trabalho de forma a substituir o esforço braçal por outros meios e
mecanismos, sendo que seu tempo disponível para outros afazeres fosse mais bem-
empregado e valorizado nas atividades do intelecto, das artes, lazer, pesquisa ou
simplesmente no gozo de novas formas de entretenimento.
Desde a primeira utilização da roda de que há conhecimento, ocorrida na Ásia
entre 3.500 e 3.200 a.C., o mundo vem procurando “controlar e otimizar” o tempo.
Aprendeu, com o decorrer da história, que criar novos modelos ou mesmo novas
máquinas dar-lhe-ia a chave para o sucesso, a consecução de objetivos de forma muita
mais rápida. Porém, suas descobertas também puderam significar um certo atraso
quando suas conquistas na ciência foram usadas de forma incorreta e inconseqüente,
como é o caso do emprego da tecnologia no advento dos dispositivos de estado sólido,
conhecido por transistores2, fortalecendo a parafernália eletrônica utilizada para fins
bélicos.
Com a promessa pautada na esperança da melhoria da qualidade de vida de seus
descendentes, outro tipo de retrocesso que pode trazer conseqüências sociais
desastrosas é verificado por meio do desemprego imediato, mesmo sendo este um efeito
gerado de forma temporária.
2 Wikipédia (04/Maio/2006), “Componente eletrônico responsável pela revolução eletrônica a partir de 1960, cujas funções são
amplificar e chavear os sinais elétricos”.
As grandes descobertas trouxeram riquezas e marcaram época, como por
exemplo: os moinhos de água em 1086, na Inglaterra ao sul do rio Trent que somavam
um total de 5624 postos para produzir energia de forma revolucionária e barata. Sendo
uma época em que a população era de aproximadamente um quinto da atual, seu
crescimento demográfico só pode ser verificado, entre outros fatores, pela geração de
empregos decorrentes do desenvolvimento de novas tecnologias.
Os moinhos foram criados, inicialmente, para moerem cereais, contudo
conduziram à mecanização de muitos outros processos, tais como: trabalho com metais,
elevação de água para irrigar os campos e abastecer grandes povoados, serrarias e
britagem de minério.
O arado foi, sem dúvida, a maior invenção para as atividades primárias
desenvolvidas no século VII. Permitia uma economia de tempo no corte do solo para a
fixação de raízes mais fortes, além de ser responsável pela formação de sociedades
entre famílias para o melhor aproveitamento dos animais (sempre foram utilizados, desde
a Grécia antiga, para mover máquinas simples, permitindo ao homem executar tarefas
mais especializadas e difíceis), que puxavam o arado, de forma a sustentarem um novo
sistema senhorial baseado em conselhos de aldeias necessárias para gerenciar a ação
de distribuição de terras. Lembrando que a cultura agrícola mediterrânica era do tipo
individualista.
A descoberta da agulha magnética tornou viável a navegação de longo curso,
sendo possível realizar viagens de exploração que iriam ampliar novos horizontes e trazer
outras fontes de riqueza em terras desconhecidas.
A agricultura é a responsável pelo crescimento de pequenos povoados e oficinas
de atividades artesanais. Bens industriais são fabricados em pequenas oficinas
comandados por artesões e seus familiares. A estrutura agrícola, com a utilização da
enxada, da gadanha e do mangal (instrumento para malhar cereais, composto de dois
paus ligados a uma correia), caracteriza-se como uma atividade artesanal.
Já a invenção da máquina a vapor, pelo escocês James Watt, em 1781, foi sem
dúvida a principal responsável pelo êxodo rural, dando origem a grandes aglomerações
urbanas, as quais são conhecidas, hoje, como grandes metrópoles. Lembrando que em
meados de século XVIII a sociedade era essencialmente agrícola.
Até chegar ao nível de automação, conceito introduzido nos Estados Unidos em
1946, que se verifica hoje na indústria moderna, com seus diferentes níveis hierárquicos
e diferentes técnicas de controle, preconizando a terceira revolução industrial do fim do
século XX, tem-se que entender um pouco das implicações que as outras duas
revoluções industriais tiveram no impacto social produzido a partir de inúmeros inventos e
descobertas que a humanidade fez ou produziu em sua existência. A cada invenção o
homem desencadeava um processo de desenvolvimento, que descobria novos papéis na
sociedade e redefinia suas novas necessidades, e é por este motivo que a maior dessas
necessidades talvez tenha sido: a primeira Revolução Industrial, também conhecida como
a “revolução das máquinas”.
Costuma-se dizer que a invenção da Máquina de Fiação, do Tear3 Mecânico e do
Motor a Vapor marcou esse período de transição da revolução industrial, destruindo o
velho mundo e ajudando a construir o novo mundo.
2.1.1 Máquina de fiação
Foi na Idade Média que se passou a utilizar a Máquina de Fiação que era
constituído por uma roda de fiar, uma roca e um fuso. Uma roda de fiar mais
aperfeiçoada surge na Saxônia, atual região ao leste da Alemanha, no século XV. Depois
veio a lançadeira volante, inventada em 1733, pelo tecelão inglês John Day, e por volta
de 1767, James Hargreaves, tecelão inglês do Lancashire, construiu uma máquina que
fiava o fio simultaneamente em oito fusos, denominada máquina de fiar rotativa. Essa
máquina possuía uma manivela e fiava oito fios simultaneamente, porém, após ter sido
destruída por seus colegas fiandeiros, que temiam perder o trabalho por causa da
máquina, construiu posteriormente uma com 16 fusos, que substituía o trabalho que era
executado por 100 homens, com roda que até uma criança poderia operar. Esse evento
deu início aos primeiros passos de uma produção em série.
2.1.2 Tear mecânico
Em 1769, Richard Arkwright, um inventor inglês considerado como um dos
precursores das técnicas de produção em série, acelerou o processo de industrialização
utilizando a força da água corrente para movimentação de uma máquina de tecer. Com
uma máquina movida por uma correia acionada por uma roda hidráulica, estava criado o
tear mecânico. Dentro de uma evolução histórica, o tear mecânico foi aperfeiçoado por
Samuel Crompton em 1779, podendo contar com 48 fusos e em 1828, com o surgimento
da fiadora de anéis, a quantidade de fusos chega ao número fantástico de 1000.
A máquina criada por Arkwright era robusta e cara para o tecelão comum. Os
mestres tecelões passaram a fomentar grandes sociedades e juntaram vários teares num
único local de trabalho, havendo uma grande concentração de máquinas, dando origem
às indústrias, e aos poucos foram mudando os hábitos do trabalho. Foram instituídas as
3 Wikipédia (04/Maio/2006), “Um tear é um aparelho mecânico ou eletromecânico empregado para fins de tecelagem”.
jornadas de trabalho e o trabalhador passou a morar num local e a trabalhar em outro.
2.1.3 Motor a vapor
O primeiro motor a vapor foi criado em 1712, pelo ferreiro Thomas Newcomen. Era
de baixa potência e utilizado para tirar água das minas de carvão. Um dos motores foi
parar na oficina do escocês e fabricante de instrumentos James Watt para conserto, e foi
então que Watt constatou que tal máquina poderia ser muito mais eficiente. A partir de
então, a verdadeira máquina a vapor tinha sido inventada.
2.2 A EVOLUÇÃO DO CONTROLE INDUSTRIAL
Aos primeiros reguladores mecânicos desenvolvidos por James Watt, em 1788,
seguiram-se a instrumentação e reguladores do tipo pneumático e hidráulico e, após as
guerras mundiais, do tipo eletrônico com tecnologia analógica por meio de transistores.
Desde a construção de máquinas simples e da conseqüente mecanização, a partir
de 1770, somente no século XIX é que surgiram os mecanismos automáticos fixos e as
linhas de montagem para a produção em massa.
Com o decorrer das necessidades da própria evolução, foram desenvolvidos
máquinas-ferramentas com controle automático simples para executarem uma seqüência
simples de operação. Em 1950, tais máquinas são comandadas por circuitos
transistorizados e, em 1960, por computadores, passando a trabalhar segundo instruções
codificadas que lhes são transmitidas por um cartão perfurado ou fita magnética.
Uma das primeiras máquinas-ferramentas que se tem noticia é o Torno de abrir
roscas, inventado em 1568, pelo engenheiro francês Jacques Besson. Mesmo sendo
primitivo, o torno abria roscas de parafusos com razoável precisão.
O motor a vapor não teria tido tanto sucesso em sua época, se não fosse o projeto
do técnico de siderurgia inglês, John Wilkinson, em 1775, para aperfeiçoar uma máquina
de mandrilhar cilindros, de tal modo que os cilindros mandrilhados e furados com
precisão faziam com que as máquinas a vapor desenvolvessem maior potência associada
a uma economia de combustível. O desenvolvimento de todos os equipamentos dos
quais depende a civilização moderna não aconteceria caso as máquinas-ferramentas de
precisão não fossem empregadas nas inúmeras fábricas dos mais diferentes ramos de
atividades que se conhece atualmente.
2.3 O CONTROLE NUMÉRICO
A máquina-ferramenta foi aprimorada até a concepção do comando numérico –
CN. Tais máquinas são comandadas numericamente e viabilizam a fabricação, em
pequenos e variados lotes, de peças com geometrias muito complexas por meio do
recurso de programação eletrônica das seqüências de usinagem. O controle numérico
ocorreu no início da década de 50, propiciando o desenvolvimento na indústria
manufatureira e foi a partir de 1952, por meio de importantes pesquisas desenvolvidas
pelos institutos de tecnologia do mundo, como por exemplo: projeto desenvolvido pelo
Instituto de Tecnologia de Massachusetts – MIT que usava uma fresadora de três eixos
para demonstrar o protótipo de um comando numérico. Uma nova era se abre para a
Automação Industrial.
2.4 AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
Segundo Oliveira (1993), “a cada dia que passa, os equipamentos elétricos e
mecânicos vão dando lugar aos microprocessadores. Tanto na vida profissional como na
cotidiana, estamos sendo envolvidos por microprocessadores e computadores. Na
indústria, estas máquinas estão sendo empregadas para facilitar e melhorar o serviço.
Estamos vivendo na era da automação”. Fica fácil constatar tal afirmação, basta observar
em nossa volta que veremos sistemas automatizados, casas automatizadas e a criação
de cursos técnicos e tecnológicos específicos na área da Automação.
Até o início da década de 60, a utilização de relés eletromecânicos era
praticamente a única opção possível. Com o advento dos dispositivos microprocessados,
vieram os Controladores Lógicos Programáveis, onde a forma básica de programação é
oriunda da lógica de programação dos diagramas elétricos a relés. Próprio para
ambientes industriais, os controladores realizam uma rotina cíclica de operação, o que
lhes caracteriza seu princípio de funcionamento, e operam apenas variáveis digitais,
efetuando apenas controle discreto. Quando tais equipamentos manipulam variáveis
analógicas, são chamados de Controladores Programáveis. Atualmente, não se faz
distinção entre estes dois tipos de controladores, ficando, assim, conhecido pelo mundo
técnico como Controlador Lógico Programável, ou apenas CLP.
Na década de 60, o controle era feito de forma centralizado em computadores de
grande porte conhecido como Mainframes. Eles eram dedicados ao armazenamento e
concentração de dados para posterior distribuição, o Mainframe controlava todas as
malhas de controle e podia controlar dezenas de máquinas ao mesmo tempo.
Juntamente com o aparecimento das técnicas digitais oriundas da revolução
eletrônica em meados do século XX, surge um novo conceito de controle: o Sistema
Digital de Controle Distribuído – SDCD. Tais processos com suas unidades de controle se
constituem verdadeiros “nós”, que além de integrar todo o sistema de supervisão com
interfaces homem-máquina, o sistema distribuído abre caminho para a
intercomunicabilidade e futura padronização de todos os equipamentos de
sensoriamento, controle e atuadores nos mais diversos níveis.
Um SDCD pode ser representado por uma sala central, gerenciadora de controle e
supervisão global, microprocessada em rede com vários outros controladores de
responsabilidade local, caracterizando-se pela transformação de processos automatizado
em verdadeiros sistemas de automação supervisionados com a capacidade e
rastreamento de todas as etapas do processo produtivo, bem como a flexibilização e
aumento da capacidade de integração de seus componentes, prevendo, portanto, um
aumento do processo e do nível de automação de forma natural e continuada.
A Automação é um conceito e um conjunto de técnicas por meio das quais se
constroem sistemas ativos capazes de atuar com uma ótima eficiência pelo uso das
informações recebidas do meio sobre o qual atuam. Com base nas informações, o
sistema calcula a ação corretiva mais apropriada para a execução da ação e esta é uma
característica de sistemas em malha fechada, conhecidos como sistemas de
realimentação, ou seja: aquele que mantém uma relação expressa entre o valor da saída
em relação ao da entrada de referência do processo a ser controlado. Essa relação
entrada/saída serve para corrigir eventuais valores na saída que estejam fora dos valores
desejados. Por tanto, são utilizados controladores que, por meio da execução algorítmica
de um programa ou circuito eletrônico, comparam o valor atual com o valor desejado,
efetuando o cálculo para ajuste e correção. O valor desejado também é conhecido da
literatura inglesa como setpoint. A estrutura básica de controle de um processo é
composta por sensores, atuadores e o controlador.
2.4.1 Sensores
Sensor é definido como sendo um dispositivo sensível a um fenômeno físico, tais
como: temperatura, umidade, pressão, entre outros. Por meio desta sensibilidade, os
sensores enviam um sinal que pode ser um simples abrir ou fechar de contatos ou uma
grandeza elétrica. Para reproduzir os fenômenos físicos, tem-se, conceitualmente, a
necessidade de utilizar um transdutor, que se caracteriza por um dispositivo capaz de
responder ao fenômeno físico de forma a converter sua magnitude em um sinal elétrico
padronizado.
2.4.2 Atuadores
Os atuadores são dispositivos a serem acionadas para executarem uma
determinada força mecânica de deslocamento ou outra ação física, definidas pelo
sistema controlador por meio de uma ação de controle (maneira pelo qual o controlador
produz o sinal de controle). Podem ser magnéticos, hidráulicos, pneumáticos, elétricos ou
de acionamento misto.
2.4.3 Controlador
O controlador é responsável por automatizar um determinado processo através de
lógicas e algoritmos bem definidos. Na automação industrial temos, então, um dispositivo
chamado de Controlador Lógico Programável, CLP.
Na seqüência é retomada a idéia da introdução onde descrevemos que o presente
trabalho tem como objetivo demonstrar soluções matemáticas computacionais no desafio
de automação encontrado na implementação do algoritmo para medição do volume de
combustível do tanque cilíndrico horizontal.
3. NORMALIZAÇÃO DAS GRANDEZAS DE CAMPO
Como vimos, os sensores são dispositivos sensíveis a uma grandeza física
quaisquer. O sensor pode ser um simples contato que irá identificar a posição de um
determinado componente ou ainda fornecer valores escalares. Neste caso, podemos
diferenciar os sensores como digitais ou analógicos, ou seja, os sensores digitais
fornecem apenas uma informação: aberto ou fechado, ligado ou desligado; enquanto os
sensores analógicos fornecem um segmento de reta cujos extremos são sinais elétricos
interpretáveis pelo CLP e o número de pontos deste segmento de reta depende da
resolução da entrada analógica. O CLP é composto por diversos módulos eletrônicos,
dentre os quais, existem dois tipos básicos que são os módulos de Entradas Digitais e os
Módulos de Entrada Analógicas que são utilizados interpretar os sinais dos sensores.
O módulo de Entrada Digital é um módulo que identifica um determinado sinal
simplesmente através da presença ou ausência de tensão elétrica em seus terminais. Ou
seja, existe uma relação direta entre o presença ou ausência do sinal com o estado de
um determinado dispositivo.
É de suma importância orientar o leitor para algumas unidades utilizadas para as
grandezas elétricas citadas no decorrer deste artigo, tais como:
Vcc = Unidade de Tensão em Corrente Contínua;
A = Unidade de Corrente Elétrica;
mA = Unidade da Corrente Elétrica. 1A = 1000mA;
bar = Unidade de Pressão;
°C = Unidade de Temperatura;
m³ = Unidade de Volume;
l = Unidade de Volume. 1 m³ = 0,001 l.
O módulo de Entradas Analógicas possui algumas variações entre o tipo, valor de
sinal a ser medido e a própria grandeza física que se está medindo, não existindo uma
relação direta. Isto é, o valor do sinal elétrico que o sensor envia para o CLP pode ser: 0
a 10 Vcc, -10 Vcc a +10 Vcc, -5 Vcc a +5 Vcc, 0 a 20 mA, 4 a 20 mA; e a grandeza física
pode ser: temperatura, pressão, tensão, potência, entre outros. Estes sinais elétricos são
convertidos no CLP para um registrador interno de 16 bits.
Na Tabela 1, são mostradas algumas variações de sensores, indicando a escala
de trabalho, o tipo de sinal elétrico gerado e a referência interpretada dentro do CLP.
Tabela 1 – Exemplo de sensores e sinais Grandeza Física Escala Tipo de Sinal Referência do CLP
Temperatura 0 a 100 °C 0 a 10 Vcc 0 a 32000 Temperatura 0 a 100 °C 4 a 20 mA 6400 a 32000
Corrente -1 a 5 A 0 a 20 mA 0 a 32000 Tensão -24 a 24 Vcc -5 a 5 Vcc -32000 a 32000 Pressão 0 a 0,2 bar 4 a 20 mA 0 a 32000
Nosso primeiro desafio será construir uma função matemática capaz de traduzir
um valor analógico na entrada do CLP em um valor cuja grandeza é conhecida. Para
tanto, vamos analisar na Figura 1 a relação de congruência geométrica existente entre os
triângulos ABC e ADE.
Figura 1 – Gráfico de um segmento de reta
Inicialmente vamos traçar um segmento de reta no plano cartesiano da origem,
ponto A, até o ponto B. O ponto D identifica o ponto médio deste segmento de reta.
C
Y
B
D
E A
X1 Y1
Y2
y
x X X2
Traçando os segmentos de reta perpendiculares ao eixo x a partir dos pontos X e X2, bem
como os segmentos de reta ao eixo y a partir dos pontos Y e Y2, podemos observar a
existência dos triângulos ABC e ADE. Através das propriedades de semelhança de
triângulos, pelo caso AA (Ângulo Ângulo) podemos observar que os dois triângulos são
semelhantes, nota-se que ambos possuem um ângulo reto em E e C, e um ângulo
comum em A. Desta forma, é possível fazer a relação mostrada na Equação 1.
CB
ED
AC
AE = (1)
Através das Equações 2, 3, 4 e 5, podemos identificar o tamanho dos segmentos
de reta e substituir pelas variáveis do eixo cartesiano.
1XXAEAE −=−= (2)
12 XXACAC −=−= (3)
1YYEDED −=−= (4)
12 YYCBCB −=−= (5)
Na Equação 6 vamos substituir as variáveis da Equação 1, utilizando as
demonstrações das equações 2, 3, 4, e 5.
12
1
12
1
YYYY
XXXX
−−=
−−
(6)
Como precisamos de f(x), vamos isolar o Y da equação, observando o
desenvolvimento nas equações 7 e 8.
( )1212
11 YY
XXXX
YY −×−−=− (7)
( ) 11212
1 YYYXXXX
Y +−×−−= (8)
Para efeitos didáticos, vamos melhora a Equação 8 na Equação 9.
( ) 112
121 Y
XXYY
XXY +−−×−= (9)
Como o eixo da abscissa é o nosso valor de entrada de uma grandeza física
qualquer, ou seja, é o valor que o CLP entende através de um módulo eletrônico de
Entradas Analógicas. Devemos denominar os pontos da forma mostrada na Tabela 2.
Tabela 2 – Eixo da abscissa Ponto Mnemônico Descrição
X EA Valor da Entrada Analógica do CLP X1 REFmin Referência Mínima da EA X2 REFmax Referência Máxima da EA
O eixo da ordenada será o resultado da função, ou seja, é o valor esperado que
possui um significado ao entendimento convencional como pressão, temperatura, altura,
entre outros. Devemos denominar os pontos da forma mostrada na Tabela 3.
Tabela 3 – Eixo da ordenada Ponto Mnemônico Descrição
Y RES Resultado Esperado Y1 LIMMIN Limite Mínimo Esperado Y2 LIMMAX Limite Máximo Esperado
Para fins práticos, devemos aplicar os mnemônicos mostrados acima, Tabela 2 –
Eixo da abscissa e Tabela 3 – Eixo da ordenada, sobre o primeiro gráfico, Figura 1 –
Gráfico de um segmento de reta, conforme demonstrado na Figura 2. Esta normalização
da identificação dos pontos dos segmentos de reta se faz necessário para facilitar a
implementação em software.
Figura 2 – Gráfico normalizado
Utilizando os mnemônicos das Tabelas 2 e 3, podemos escrever a Equação 10
que sugere um modelo de equação geral. Através desta equação é possível converter
qualquer sinal gerado por um sensor analógico conectado a entrada do CLP para um
valor normalizado.
( ) MINMINMAX
MINMAXMIN LIM
REFREFLIMLIM
REFEARES +−−×−= (10)
RES
REFMIN LIMMIN
LIMMAX
y
x EA REFMAX
4. CÁLCULO DE VOLUME
A idéia básica para calcular o volume de um cilindro horizontal foi criada por
Eudoxo (406 – 355 a.C.) e depois melhorado por Arquimedes (287 – 212 a.C.), grande
matemático de Alexandria. O desafio da época era calcular o volume de um sólido com o
formato de um barril. A idéia foi acrescentar um retângulo inscrito na circunferência do
cilindro e após acrescentar triângulos isósceles nas áreas não cobertas, isto daria uma
boa aproximação.
Arquimedes, usando o mesmo método, calculou a área de um círculo de raio
unitário mostrando que a esta área esta compreendida entre 3,140845 a 3,142857,
prenunciando a π (pi ~ 3,1415926535897932384626433832795) .
Observe na Figura 3 o método utilizado por Arquimedes para calcular a área de
uma circunferência. Percebemos que os triângulos vão exaurindo a área da região
circular.
Figura 3 – Princípio de cálculo de área por Arquime des
O cálculo Diferencial e Integral foi criado por Isaac Newton (1642 – 1727) e
Wilhelm Leibniz (1646 – 1716), mas o primeiro conceito foi introduzido pelo matemático
francês Augustin Louis Cauchy (1789 – 1857) em meados de 1820. O trabalho destes
cientistas foi uma sistematização de idéias e métodos surgidos principalmente ao longo
dos séculos XVI e XVII, os primórdios da chamada era da Ciência Moderna.
O que permitiu a passagem do método de exaustão, apresentado acima, para o
conceito de integral foi à percepção que em certos casos a área da região pode ser
calculada sempre com o mesmo tipo de aproximação por retângulos. Esta foi uma
descoberta conceitual importante, mas em termos práticos, a descoberta fundamental foi
à possibilidade exprimir a integral de uma função em termos de uma primitiva da função
dada e este fato é conhecido pelo nome de Teorema Fundamental do Cálculo.
Cerca de 2200 anos após Eudoxo e Arquimedes descobrir o volume de sólido
A
Triângulo ABC
B
C A
B
C
D
A
B
C
F
E
D
Triângulo ADB
Triângulo AED e DFB
cilíndrico horizontal, na época um barril, agora vamos calcular o volume de um tanque de
combustível cilíndrico horizontal através da aplicação da integral e do cálculo
trigonométrico.
O volume calculado será em tempo real através do nível de combustível. Para
tanto será verificado este nível pela pressão da coluna de combustível exercido sobre um
sensor. Até então, a maneira existente para saber a quantidade de combustível em um
tanque cilíndrico horizontal era por uma mangueira transparente com marcações pré-
definidas. Nos tanques com dimensões retangulares é possível utilizar uma bóia com
instrumentação analógica, uma vez que a inclinação da reta é constante em qualquer
ponto de medição do tanque. Na Figura 4 é ilustrado duas vistas do tanque cilíndrico
horizontal, sendo uma isométrica e outra em corte frontal.
Com o uso de um sensor que mede a pressão da coluna de combustível, instalado
na parte mais inferior ao tanque cilíndrico horizontal, foi possível substituir a imprecisa
bóia elétrica que possui peças móveis no interior do tanque e corrente elétrica em seus
terminais, ou seja, as peças móveis oxidam e necessitam manutenção freqüente e
possui, ainda que baixo, risco de explosão por possuir corrente elétrica em seus terminais
de medição. Fazendo uso da aplicação da integral e da geometria foi possível
desenvolver um algoritmo capaz de calcular o volume através do nível, comprimento e
diâmetro do tanque, uma vez que o CLP utilizado possa executar tais cálculos.
Figura 4 – Tanque cilíndrico horizontal
Onde,
l = Comprimento do tanque cilíndrico, dado em metros;
h = Nível do combustível, dado em metros;
r = Raio do cilindro, dado em metros;
h
r X
y
Y
-r
+r
A
m x
Vista Isométrica Vista Frontal
l
A
A = Metade da Área transversal ocupada pelo combustível. A área total será dada
por 2A.
O cálculo da área transversal, ocupado pelo combustível, é realizado pela
aplicação da integral definida dada pela Equação 11.
[ ]∫=d
cdyf(y)-g(y)A (11)
A variável de integração na Equação 11 é y, para determinar as funções f(y) e g(y)
devemos escolher um ponto arbitrário na área A e traçar uma reta m paralela ao eixo X. A
f(y) será determinada pela equação mais à direita, que é a equação da circunferência em
função de y, mostrada nas equações 12 e 13. A g(x) será a equação mais à esquerda e
neste caso será igual a zero. 222 yxr += (12)
22 yrxf(y) −== (13)
Logo, para calcular a área indicada em A na Figura 5, desenvolveremos a integral
definida mostrada na Equação 14.
)dyyr(Ad
c
22∫ −= (14)
O próximo passo é determinar os limites c e d desta integral. Note que o cálculo é
feito em tempo real, com variação no eixo y. Observando a Figura 4, torna-se fácil
identificar o limite inferior que é –r. Porém, o limite superior é dinâmico, variando em
função de h. Como h varia de 0 a 2r e y varia de –r a r, conforme ilustrado na Figura 5,
devemos compatibilizar estes dois segmentos de reta. Isto pode ser feito através da
semelhança de triângulos.
Figura 5 – Comparativo entre os níveis
r X
y
Y
-r
+r
A
m x
X
h
Y
0
2r
x m
Nível. Onde h varia de 0 a 2r.
Nível. Onde y varia de -r a +r.
Na Figura 6 foi construído um gráfico que relaciona os segmentos de reta em y e h.
Figura 6 – Gráfico unificando os segmentos de reta
Inicialmente vamos traçar um segmento de reta no plano cartesiano a partir do
ponto A (0,-r) até o ponto B (2r,r). O ponto D (h,y) identifica o ponto médio deste
segmento de reta. Traçando os segmentos de reta perpendiculares ao eixo X a partir dos
pontos h e 2r, bem como os segmentos de reta ao eixo Y a partir dos pontos y e +r, note
que o ponto y encontra-se na origem. Podemos observar a existência dos triângulos ABC
e ADE. Através das propriedades de semelhança de triângulos, pelo caso AA (Ângulo
Ângulo) podemos observar que os dois triângulos são semelhantes, observe que ambos
possuem um ângulo reto em E e C, e um ângulo comum em A. Desta forma, é possível
fazer a relação mostrada na Equação 15.
ED
CB
AE
AC = (15)
Através das equações 16, 17, 18 e 19, podemos identificar o tamanho dos
segmentos de reta e substituir pelas variáveis do eixo cartesiano.
r20r2ACAC =−=−= (16)
h0hAEAE =−=−= (17)
r2r)(rCBCB =−−=−= (18)
ryryEDED +=−−=−= )( (19)
Na Equação 20 vamos substituir as variáveis da Equação 15, utilizando as
demonstrações das equações 16, 17, 18, e 19.
ryr2
hr2
+= (20)
Nas equações 21 a 28, são demonstrados, de forma didática, os desenvolvimentos
necessários para isolar o y da Equação 20.
y
B
D
C E A 0
-r
+r
Y
X
h 2r
hry
r2r2 ×
+= (21)
ryrh2
r2+
= (22)
21
ryrh2
r ×+
= (23)
ryrh
r+
= (24)
rhryr =+ )( (25)
rryr
h)( += (26)
ryh += (27)
rhy −= (28)
Portanto, os limites c e d da função mostrada na Equação 14, tem por intervalo [-
r,y], substituindo na Equação 28, temos o intervalo [-r,(h-r)]. Logo, o limite inferior c é
dado por [-r] e o limite superior d que é dinâmico em [h-r]. A partir destes dados podemos
escrever a integral definida na Equação 29.
)dyyr(Arh
r
22∫
−
−−= (29)
Uma grande ferramenta para os matemáticos e engenheiros é o livro Manual de
Fórmulas e Tabelas Matemáticas de Murray R. Spiegel (1973) que como o próprio nome
sugere, este livro trás um apanhado das principais fórmulas e diversas tabelas para
resolver integrais. Através da demonstração da integral indefinida 14.244 deste livro, foi
possível desenvolver a Equação 29. As equações 30 a 34 mostram este
desenvolvimento. rh
r
222
ry
arcsen2r
yr2y
A−
−
+−= (30)
( ) ( )
−+−−−−
−+−−−=rr
arcsen2r
rr2r
rrh
arcsen2r
rhr2
rhA
222
222
(31)
( )
−×+−−
−+−−−=2π
2r
02r
rrh
arcsen2r
rhr2
rhA
2222 (32)
( )
−−
−+−−−=4πr
0r
rharcsen
2r
rhr2
rhA
2222 (33)
( )
+
−+−−−=4πr
rrh
arcsen2r
rhr2
rhA
2222 (34)
Lembre-se que A é apenas a metade da área total, conforme ilustrado na Figura 4,
no entanto, precisamos de 2A. As equações 35 e 36 demonstram o cálculo da área total,
dado por AT.
( )
+
−+−−−×=4πr
rrh
arcsen2r
rhr2
rh2A
2222
T (35)
( )
+
−+−−−=2πr
rrh
arcsenrrhrr)(hA2
222T (36)
Como o objetivo é calcular o volume (V) do tanque cilíndrico horizontal em função
do nível, basta multiplicar o comprimento do tanque, dado por l, pela área total. Desta
forma, é possível concluir o desenvolvimento na Equação 37.
( )
+
−+−−−=2πr
rrh
arcsenrrhrr)(hlV2
222 (37)
Uma vez desenvolvida a Equação 37, basta aplicar os dados constantes como π,
raio (r) e comprimento (l) e aplicar um valor dinâmico a variável altura (h). Para validar
esta equação, vamos aplicar três valores em h. O primeiro valor será com h = 0, neste
caso o tanque estará vazio e seu volume deverá ser 0 l (litros); o segundo valor será com
h = r, neste caso o tanque estará com a metade da capacidade; o último valor será com h
= 2r, neste caso o tanque estará cheio. Supondo um tanque cilíndrico horizontal com 2 m
(metros) de diâmetro e 5 m de comprimento, pela Equação 38, temos que o volume
máximo deste cilindro é de 15,708 m³ (metros cúbicos) ou 15.708 l.
322 m708,15π551πlπrV ==××== (38)
Caso 1, h = 0. Nas equações 39 e 40 é validado que para uma altura igual a 0 m o
volume será de 0 l.
( )
+
−+−−−== 21π
110
arcsen1101)10(5V2
222)0(h (39)
3)0(h m0
2π
2π
05V =
+−== (40)
Caso 2, h = 1 m. Nas equações 41 e 42 é validado que para uma altura igual a 1 m
o volume será de 7,854 m³ ou 7.854 l.
( )
+
−+−−−== 21π
111
arcsen1111)11(5V2
222)1(h (41)
3)1(h m854,7
2π
52π
005V =×=
++== (42)
Caso 3, h = 2 m. Nas equações 43 e 44 é validado que para uma altura igual a 2 m
o volume será de 15,708 m³ ou 15.708 l. Ou seja, tanque cheio.
( )
+
−+−−−== 21π
112
arcsen1121)12(5V2
222)2(h (43)
3)2( 708,155
2205 mV h =×=
++== πππ (44)
5. APLICANDO OS CONCEITOS
Supondo um tanque de combustível cilíndrico horizontal com 2 m de diâmetro e 5
m de comprimento, logo o volume máximo, dado por VMAX,, é de 15,708 m³ ou 15708 l,
conforme demonstrado nas equações 45 a 47.
lπrV 2MAX = (45)
511415,3V 2MAX ××= (46)
3MAX m708,15V = (47)
Para saber o volume deste tanque em tempo real, vamos precisar de um
transdutor de pressão que deverá estar instalado na parte mais inferior do tanque, que
possua a característica de medir 0 a 0,2 bar para fornecer o peso da coluna de
combustível através de uma saída analógica de 4 a 20 mA, devidamente conectado a um
CLP compatível com esta grandeza elétrica, gerando um valor interno de 0 a 32000.
Podemos montar estes dados conforme a Tabela 4. Por definição, cada 1 m de coluna de
água corresponde a 0,1 bar. Portanto, devemos conhecer a densidade do líquido em
questão para um correto dimensionamento do transdutor de pressão, lembrando que a
água possui densidade 1. Em nossa aplicação, a densidade do óleo diesel é em média
0,85, neste caso, o mesmo sensor de pressão pode ser utilizado em até 2,35 m de
coluna. Mas para efeitos didáticos, vamos considerar que o líquido combustível possua
uma densidade igual a da água.
Tabela 4 – Dados conhecidos Diâmetro
do Tanque Raio do
Tanque (r) Comprimento do Tanque (l)
Sensor de Pressão
Limite do Sensor
Tipo de Sinal
Referência no CLP
2 m 1 m 5 m 0 – 0,2 bar 0 – 2 m 4 – 20 mA 0 a 32000
O primeiro passo é normalizar a entrada analógica do CLP para uma grandeza
conhecida, no caso em metros. Este procedimento se faz necessário para conhecermos o
nível atual do óleo combustível em função do peso da coluna medido pelo sensor. Como
o intuito deste artigo é demonstrar o desafio de calcular o volume do tanque cilíndrico
horizontal em tempo real, didaticamente, iremos considerar condições ideais do sistema,
conforme ilustrado na Figura 7. Na prática, os limites do sensor podem variar conforme
local da instalação, densidade do combustível e o próprio dimensionamento do sensor.
Para uma correta aferição deve-se informar ao CLP a referência inferior e superior da
leitura do nível do tanque. Uma vez estando todo o sistema instalado, identificaremos a
referência inferior quando o tanque estiver totalmente vazio, neste momento o sensor de
pressão deverá informar algum valor próximo de 0 mA, digamos 1 mA. Para identificar a
referência superior devemos encher totalmente o tanque, neste momento o sensor de
pressão deverá informar um valor próximo de 20 mA, digamos 18 mA. No entanto, vamos
considerar condições ideais no qual existe uma proporcionalidade direta entre o valor do
sensor de pressão instalado e o nível do óleo combustível, ou seja, o tanque vazio que
representa a referência mínima será de 0 mA e o tanque cheio que representa a
referência máxima será de 20 mA.
Figura 7 – Gráfico desejado
Uma vez conhecendo gráfico da Figura 7, basta aplicar os conceitos estudados no
capítulo 3, onde desenvolvemos uma equação geral para normalizar uma entrada
analógica qualquer em uma grandeza conhecida, neste caso, para todos os valores de
pressão teremos um valor correspondente em metros. Abaixo, temos a Equação 48, que
é a equação geral vista no capítulo 3, e a Equação 49 que é mesma equação, porém com
os termos reduzidos.
( ) MINMINMAX
MINMAXMIN(m) LIM
REFREFLIMLIM
REFEARES +−−×−= (48)
320002
EARES(m) ×= (49)
No entanto, veremos que na prática é melhor utilizar varáveis na equação para
dinamizar os diferentes tipos de grandezas e entradas analógicas que o CLP poderá ler.
RES
0 0
2
Altura (m)
Pressão EA 32000 (0,2bar)
Na Figura 8 podemos observar um exemplo de código-fonte escrito em linguagem de
Texto Estruturado, segundo a norma IEC61131, utilizado em diversos CLP’s. O mesmo
código também pode ser escrito em linguagem Ladder, que é a mais utilizada na área da
Automação Industrial, ficando a critério do programador.
// Normalização Entrada Analógica de Nível (pressão de coluna do óleo diesel) // EA - Entrada 1 – Módulo 1 – 4 a 20mA – 0 a 32000
EA_real := any_to_real(EA); // Entrada Analógica convertida para real
Lim_mi n := 0.0; // Limite mínimo = 0m
Lim_max := 2.0; // Limite máximo = 2 m
Ref_min := 0.0; // Referência minima = 0 (0 bar)
Ref_max := 32000.0; // Referência máxima = 32000 (0,2 bar)
h := (EA_real - Ref_min) * ((Lim_max - Lim_min)/(Re f_max - Ref_min)) + (EA_real - Ref _min) + (Lim_min);
Figura 8 – Exemplo de código-fonte de normalização
O próximo passo é aplicar o valor da altura, nível, do combustível em uma função
integral capaz de calcular o volume instantâneo. Uma vez conhecendo o valor do nível do
óleo diesel, identificado como h, podemos utilizar a Equação 50 para calcular o volume
(V), conforme desenvolvido no capítulo 4.
( )
+
−+−−−=2πr
rrh
arcsenrrhrr)(hlV2
222 (50)
Pelo mesmo motivo anterior não vamos resumir esta equação. Ou seja, vamos
utilizar variáveis para dinamizar a utilização da equação para diferentes dimensões do
tanque cilíndrico horizontal. Na Figura 9 podemos observar um exemplo de código-fonte
escrito em linguagem em Ladder, segundo a norma IEC61131, utilizado em diversos
CLP’s. O mesmo código também pode ser escrito em linguagem de Texto Estruturado,
ficando a critério do programador.
De posse da informação do volume instantâneo de combustível, podemos realizar
o controle de enchimento do tanque a partir de um nível mínimo e máximo, gerar alarmes
de nível de combustível muito baixo (tanque vazio) ou muito alto (transbordamento),
monitorar a aferição da quantidade fornecida pela distribuidora de combustível e gerar
relatórios de consumo.
Figura 9 – Exemplo de código-fonte do cálculo do vo lume em tempo real
Após um ensaio num tanque de combustível cilíndrico horizontal, aplicando os
algoritmos apresentados acima obtivemos a Tabela 5 – Resultados. Onde pode-se
observar um erro incidente, principalmente, sobre a forma construtiva do tanque. Este
erro deve ser avaliado conforme a necessidade da aplicação. Para aprimorar os
resultados, será necessário considerar as deformidades da forma construtiva do tanque
cilíndrico horizontal, a temperatura do combustível, a qualidade do sensor de pressão e a
qualidade do CLP. O projetista pode incluir um segundo sensor de pressão como backup
a fim de assegurar uma condição de contingência.
Tabela 5 – Resultados
Marcação Sensor de Pressão
Nível (h) Volume Calculado
Erro
0 l 5,66 mA 0 m 0 l 0% 2500 l 8,56 mA 0,437 m 2537 l 1,2% 5000 l 10,33 mA 0,705 m 4947 l -1,1% 7500 l 11,96 mA 0,951 m 7363 l -1,8%
10000 l 13,64 mA 1,205 m 9889 l -1,1% 12500 l 15,61 mA 1,503 m 12662 l 1,3% 15000 l 17,96 mA 1,856 m 15204 l 1,4%
6. CONSIDERAÇÕES FINAIS
Historicamente, a Automação Industrial vem invadindo cada vez mais todos os
processos sejam eles fabris ou não e o uso do CLP é proporcional a este crescimento. A
área da Automação Industrial permite uma grande liberdade de desenvolvimentos de
algoritmos matemáticos para solucionar os diversos desafios, buscando sistemas
confiáveis seguros e produtivos.
Este artigo demonstrou o uso da integral como aplicação no cálculo de área no
desafio encontrado durante o desenvolvimento em software para controle e
monitoramento do volume de combustível em um tanque cilíndrico horizontal. Neste
desenvolvimento não foi desconsiderado o volume ocupado pelas faces arredondadas de
um tanque cilíndrico horizontal, uma vez que no sistema usado não exige tal precisão. No
entanto, o leitor poderá aprofundar no tema abordado ou ainda buscar soluções
matemáticas para calcular o volume ocupado pelas faces arredondadas do tanque.
Uma vez obtendo o volume do tanque cilíndrico horizontal em tempo real, o
projetista poderá utilizar esta informação para implementar algoritmos em CLP para
controle de nível, ligando e desligando uma bomba de enchimento; para ativar alarmes de
nível alto ou nível baixo; para aferição no instante em que a distribuidora de combustível
estiver abastecendo; para gerar um banco de dados que gerencie o consumo de
combustível e gerar relatórios de custos; para calcular a autonomia do processo a partir
do consumo instantâneo; ou seja, além da própria informação em tempo real do nível de
combustível, que é muito mais preciso que a marcação no próprio tanque, o projetista
pode realizar diversos algoritmos de acordo com a necessidade do sistema.
Diferentemente do que parece, a maior dificuldade na aplicação desta solução
para medir o volume do tanque cilíndrico horizontal não foram às equações matemáticas
demonstrada no artigo, mas sim os problemas de dinâmica do sistema. O projetista
deverá levar em consideração as implicações de pressão atmosférica, temperatura do
combustível e até mesmo as oscilações de nível. Neste último, pode-se aplicar filtros
lógicos de primeira ordem do tipo RC (Resistor Capacitor) ou ainda filtros mais complexos
de segunda e terceira ordem.
No entanto, cabe lembrar que o objetivo deste trabalho limita-se em demonstrar o
uso da integral como aplicação na solução em desenvolver um algoritmo capaz de
calcular o volume instantâneo de um tanque de combustível cilíndrico horizontal em CLP
em função do nível, podendo o leitor aprofundar os algoritmos apresentados e melhorar a
precisão e até mesmo utilizar os conceitos introduzidos em outras aplicações.
7. AGRADECIMENTOS
Agradeço a Deus por esta grande oportunidade de vida, a minha esposa e filha
que sempre acreditaram em mim, aos colegas e amigos pelo apoio, aos grandes mestres
da faculdade e aos professores orientadores Julio Cabrera e Magda Leyser.
REFERÊNCIAS
CÁRCERE, Mirian. CLP: Teoria e Exercícios . Canoas: Editora ULBRA, 2004. 47p. (Cadernos Universitários, 215)
CASTRUCCI, Plínio; SALES Roberto Moura. Controle Digital . São Paulo: Editora Edgard Blücher Ltda, 1990. Terceira edição.
OLIVEIRA, Júlio César Peixoto de. Controlador Programável . São Paulo: Makron Books, 1993
SILVEIRA, Paulo R.; SANTOS, Winderson E. Automação e Controle Discreto . São Paulo: Editora Érica Ltda, 1999. Segunda edição.
SPIEGEL, Murray R. Manual de Fórmulas e Tabelas Matemáticas . Coleção Schaum. Porto Alegre: McGraw-Hill do Brasil Ltda, 1973. Primeira edição.
TEODOROWITSCH, Roland. Manual de Ética, Estilo e Português para a Elaboraç ão de Trabalhos Acadêmicos . Gravataí: [s.n.], 11 mar. 2003. 10 f. Disponível em: <http://www.ulbra.tche.br/~roland/pub/ulbra-template.dot>. Acesso em 4 de maio de 2006.
WIKIPEDIA, Enciclopédia Eletrônica . http://pt.wikipedia.org/