Cálculo II
Aula 04: Plano Tangente e Aproximações Lineares.
Plano Tangente
Equação do Plano Tangente
0 0( )y y a x x
0 0 0( ) ( )z z a x x b y y
0 0 0( ) quando z z a x x y y
0 0 0( ) quando z z b y y x x
0 0 0 0( , ) e ( , )x ya f x y b f x y
0 0 0 0 0 0 0( , )( ) ( , )( )x yz z f x y x x f x y y y
Equação do Plano Tangente
Suponha que f tenha derivadas parciais contínuas.
Uma equação do plano tangente à superfície z=f(x,y) no ponto P(x0,y0,z0) é dada por
0 0 0 0 0 0 0( , )( ) ( , )( )x yz z f x y x x f x y y y
Exemplo 1
Determine o plano tangente ao parabolóide elíptico no ponto (1,1,3). 2 22z x y
Exercício 4 p. 928
Determine uma equação do plano tangente à superfície no seu ponto especificado.
4. ln , (1,4,0)z y x
4 4z x
Aproximação Linear
Seja f uma função de duas variáveis que tem derivadas parciais contínuas em um ponto (a,b,f (a,b)). Então
é chamado linearização de f em (a,b).
é chamada aproximação linear ou aproximação pelo plano tangente de f em (a,b).
( , ) ( , ) ( , )( ) ( , )( )x yL x y f a b f a b x a f a b y b
( , ) ( , ) ( , )( ) ( , )( )x yf x y f a b f a b x a f a b y b
Exemplo 2
2 2 se ( , ) (0,0)
( , )
0 se (x,y)=(0,0)
xyx y
x yf x y
(0,0) (0,0) 0x yf f
( , ) 0f x y 1
mas ( , ) para 2
f x y y x
e não são contínuas em (0,0).x yf f
Gráfico
Teorema
Se as derivadas parciais e existem perto do ponto e forem contínuas em , então é diferenciável em .
xf yf( , )a b ( , )a b
f ( , )a b
Exemplo 3
Mostre que é diferenciável em (1,0) e determine sua linearização ali. Em seguida, use a linearização para aproximar .
( , ) xyf x y xe
(1,1 , 0,1)f
Exemplo 4
Determine uma aproximação linear para
quando T está próximo de 30ºC e U está próximo de 60%. Use esta estimativa quando a temperatura estiver a 31ºC e a umidade relativa for 62%.
( , )I T U
Exemplo 4
TU 40 45 50 55 60 65 70 75 80
26
28
30
32
34
36
28 28 29 31 31 32 33 34 35
31 32 33 34 35 36 37 38 39
34 35 36 37 38 40 41 42 43
37 38 39 41 42 43 45 46 47
41 42 43 45 47 48 49 51 52
43 45 47 48 50 51 53 54 56
Exemplo 4
Determine uma aproximação linear para
quando T está próximo de 30ºC e U está próximo de 60%. Use esta estimativa quando a temperatura estiver a 31ºC e a umidade relativa for 62%.
( , )I T U
( , ) 38 1,75( 30) 0,3( 60)f T U T U
(31,62) 40,4ºCf
Material disponível emwww.mat.ufam.edu.br/calculo2
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