DABP Maio 2009
Cálculo de uma poligonal
Universidade do AlgarveInstituto Superior de EngenhariaLicenciatura em Engenharia Topográfica
Disciplina de Topografia
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Poligonal
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1. Preenchimento dos quadros de campo
1.1 Cálculo da distância horizontal entre a estação e o ponto
Entre dois pontos com coordenadas conhecidas:
2 22 2P1P0 0 1 0 1P P P PD M P M M P P
em que:
DP1P0 – distância horizontal entre os pontos P1 e P0(m);
MP0 – coordenada M do ponto P0 (m);
PP0 – coordenada P do ponto P0 (m);
MP1 – coordenada M do ponto P1 (m);
PP1 – coordenada P do ponto P1 (m).
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1. Preenchimento dos quadros de campo
1.1 Cálculo da distância horizontal entre a estação e o ponto
Desconhecendo a coordenada de, pelo menos, um dos pontos:
2D = K × S × sin z
em que:
D – distância horizontal entre a estação e o ponto visado (m);K – constante estadimétrica do equipamento;
S – diferença entre a fs e fi (m);
z – ângulo zenital (grd);
fs – leitura superior dos fios do retículo (m);
fi – leitura inferior dos fios do retículo (m).
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1. Preenchimento dos quadros de campo
1.1 Cálculo da distância horizontal entre a estação e o ponto
2D = K × S × sin z
Na situação em que o giro é efectuado na posição inversa (IP), o ângulo zenital a utilizar é igual a:
z 400 z IP (grd)
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1. Preenchimento dos quadros de campo
1.2 Cálculo do desnível entre a estação e o ponto
Entre pontos de coordenadas conhecidas:
P1P0 P0 P1DN = N - N
em que:
DNP1P0 – desnível entre os pontos (m)
NP0 – coordenada N do ponto P0 (m)
NP1 – coordenada N do ponto P1 (m)
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1. Preenchimento dos quadros de campo
1.2 Cálculo do desnível entre a estação e o ponto
Desconhecendo a coordenada de, pelo menos, um dos pontos:
em que:
DN – desnível entre a estação e o ponto visado (m);
D – distância horizontal entre a estação e o ponto
visado (m);
z – ângulo zenital (grd);
i – altura do aparelho (m);
o – leitura do fio médio do retículo (m).
DN = D × cotg z + i - o
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1. Preenchimento dos quadros de campo
1.2 Cálculo do desnível entre a estação e o ponto
DN = D × cotg z + i - o
Na situação em que o giro é efectuado na posição inversa
(IP), o ângulo zenital a utilizar é igual a:
z 400 z IP (grd)
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2. Cálculo da distância e desnível médio
2.1 Cálculo da distância média
i j i j j i j i
i j
(DP)P P (IP)P P (DP)P P (IP)P P*P P
D + D D + DD =
4
em que:
D*Pi Pj – distância horizontal média entre os pontos Pi e Pj (m);
D(DP)Pi Pj – distância horizontal entre o ponto Pi e Pj na posição
directa (m);
D(IP)Pi Pj – distância horizontal entre o ponto Pi e Pj na posição
inversa (m);
D(DP)Pj Pi – distância horizontal entre o ponto Pj e Pi na posição
directa (m);
D(IP)Pj Pi – distância horizontal entre o ponto Pj e Pi na posição
inversa (m).
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2. Cálculo da distância e desnível médio
2.2 Cálculo do desnível médio
em que:
DN*Pi Pj – desnível médio entre os pontos Pi e Pj (m);
DN(DP)Pi Pj – desnível entre o ponto Pi e Pj na posição directa
(m);
DN(IP)Pi Pj – desnível entre o ponto Pi e Pj na posição inversa
(m);
DN(DP)Pj Pi – desnível entre o ponto Pj e Pi na posição directa
(m);
DN(IP)Pj Pi – desnível entre o ponto Pj e Pi na posição inversa
(m).
i j i j j i j i
i j
(DP) P P (IP) P P (DP) P P (IP) P P*P P
(DN + DN ) - (DN DN )DN =
4
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3. Leituras azimutais e ângulos azimutais
3.1 Cálculo do erro de fecho angular do giro
Em campo, ao ser efectuado um giro, a leitura azimutal obtida para o mesmo ponto, na primeira e na última visada apresentam, de modo geral, um valor diferente (mas muito próximo). Assim é necessário realizar uma primeira compensação devido ao erro de fecho angular do giro. Sequência dos giros realizados em campo
EstaçãoPonto visado
GiroLeitura azimutal
(H)
DP H1
IP H4
DP H2
IP H5
DP H3
IP H6
E
Pi
Pj
Pi
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3. Leituras azimutais e ângulos azimutais
3.1 Cálculo do erro de fecho angular do giro
O cálculo do erro de fecho angular do giro, é dado por:
Sequência dos giros realizados em campo
EstaçãoPonto visado
GiroLeitura azimutal
(H)
DP H1
IP H4
DP H2
IP H5
DP H3
IP H6
E
Pi
Pj
Pi
giro 3 1e DP = H fechodogiro - H iníciodogiro = H - H
giro 6 4e IP = H fechodogiro - H iníciodogiro = H - H
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3. Leituras azimutais e ângulos azimutais
3.2 Primeira compensação das leituras azimutais
A compensação é dada por:
*giroH1 = H1 - 0,0 × e DP
*giroH2 = H2- 0,5 × e DP
*giroH3 = H3 - 1,0 × e DP
*giroH4 = H4 - 0 × e IP
*giroH5 = H5 - 0,5 × e IP
*giroH6 = H6 - 1,0 × e IP
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3. Leituras azimutais e ângulos azimutais
3.3 Última compensação das leituras azimutais
No trabalho de campo são realizadas as leituras na posição directa e na posição inversa. Como se sabe, a diferença entre essas duas posições é de 200 grados. Assim, a segunda compensação consiste em:
* *
**H1 + H4 ±200grd
H1 =2
* *
**H2 + H5 ±200grd
H2 =2
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3. Leituras azimutais e ângulos azimutais
3.4 Cálculo dos ângulos azimutais provisórios ()
O ângulo azimutal entre duas direcções é dado pela diferença
entre duas leituras azimutais realizadas em campo, ou seja:
** **à frente atrásα = H - H = H2 - H1
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4. Cálculo do erro de fecho angular
4.1 Cálculo do rumo inicial
Entende-se por rumo de uma direcção, o ângulo azimutal que essa direcção faz com a linha N-S cartográfica, contado a partir do Norte no sentido do movimento dos ponteiros do relógio.
Como o primeiro estacionamento é realizado num ponto de coordenadas conhecidas e é visado um outro ponto de coordenadas conhecidas, é possível calcular o rumo inicial.
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4. Erro de fecho angular
4.1 Cálculo do rumo inicial
Como o primeiro estacionamento é realizado num ponto de coordenadas conhecidas e é visado um outro ponto de coordenadas conhecidas (ponto de orientação), é assim possível calcular o rumo inicial RP0 P1. Como ambos os pontos
são de coordenada conhecida, o rumo é dado por:
P0 P1
Real P1 P0
P1 P0
M -MΔMR = arctg = arctg
ΔP P -P
em que:
MP0 e PP0 – coordenada M e P do ponto P0 (ponto de orientação)
(m);
MP1 e PP1 – coordenada M e P do ponto P1 (ponto de estação) (m).
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4. Erro de fecho angular
4.1 Cálculo do rumo inicial
Quando se calcula o rumo através das coordenadas dos pontos, é necessário realizar o estudo do quadrante, visto que os cálculos realizados apenas nos dão valores no primeiro e no quarto quadrante.
Para o estudo do quadrante é necessário saber o sinal de M e
P.
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4. Erro de fecho angular
4.1 Cálculo do rumo inicial – Estudo do quadrante
IR
II
NC
I
III
III
+ R
NC
IV
NC
II
IV
+200grd
- R
R
+200grd
R
IV- R
+400grd
R
IR
NC
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4. Erro de fecho angular
4.2 Cálculo do rumo final
PX PY
Real PY PX
PY PX
M -MΔMR = arctg = arctg
ΔP P -P
Como o último estacionamento é realizado num ponto de coordenadas conhecidas (PX) e é visado um outro ponto de coordenadas conhecidas (ponto de orientação(PY)), é assim possível calcular o rumo final RPX PY. Como ambos os pontos são de coordenada conhecida, o rumo é dado por:
em que:
MPX e PPX – coordenada M e P do ponto PX (ponto de estação);
MPY e PPY – coordenada M e P do ponto PY (ponto de orientação).
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4. Erro de fecho angular
4.3 Cálculo do rumo final transmitido
PX PY P0 P1
Transmitido RealR = R + α - n × 200grd
O rumo final transmitido é dado por:
em que:
– somatório dos ângulos azimutais
(grd);
n – número de estacionamentos
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4. Erro de fecho angular
4.4 Erro de fecho angular ()
Transmitido RealPX PY PX PYε = R - R (grd)
O erro de fecho angular é dado por:
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4. Erro de fecho angular
4.5 Tolerância do erro de fecho angular ()
εT = 4 × n
Para poligonais vulgares, a tolerância é igual a:
em que:
n – número de estacionamentos.
Nota: A unidade da tolerância do erro de fecho angular é em minutos centesimais de grado.
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5. Cálculo dos ângulos azimutais compensados
5.1 Compensação dos ângulos azimutais
ε-
n
A compensação do erro de fecho angular é realizada em
função do número de estacionamento sendo dada por:
A compensação dos ângulos azimutais é igual a:
*1 1
εα = α + -
n
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6. Cálculo dos rumos compensados
6.1 Rumos compensados
Sabendo o primeiro rumo e os ângulos azimutais
compensados, é agora possível calcular todos os rumos.
grdRR
grdRR
grdRR
PXPPXPY
PPPP
alPPPP
200
200
200
*6
*5
*
*2
*21
*32
*1
Re10
*21
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7. Cálculo dos acréscimos de coordenada (M e P)
* *1 P1P2 P1P2
* *1 P1P2 P1P2
ΔM = D × sen R
ΔP = D × cos R
7.1 Cálculo dos acréscimos de coordenada
O acréscimo de coordenada é dado por:
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8. Erro de fecho em M, P e linear
8.1 Cálculo do erro de fecho em M e em P
i f
i f
fM = M - M + ΣΔM
fP = P - P + ΣΔP
em que:
fM - erro de fecho em M (m);fP - erro de fecho em P (m);Mi – coordenada M do ponto de primeiro estacionamento (m);Mf – coordenada M do ponto de último estacionamento (m);Pi – coordenada P do ponto de primeiro estacionamento (m);Pf – coordenada P do ponto de último estacionamento (m);M – somatório dos acréscimos de coordenada em M (m);P – somatório dos acréscimos de coordenada em P (m).
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8. Erro de fecho em M, P e linear
2 2fL= fM + fP
O erro de fecho linear é dado por:
em que:
fL - erro de fecho linear (m);fM – erro de fecho em M (m);fP – erro de fecho em P (m).
8.2 Cálculo do erro de fecho linear
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8. Erro de fecho em M, P e linear
8.3 Cálculo da tolerância do erro de fecho linear
Para poligonais vulgares com distanciómetros e mira vertical:
fLT = 0,06 × L
em que:
TfL – tolerância do erro de fecho linear (m);
L – comprimento total da poligonal (m).
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9. Distribuição do erro de fecho em M e P
9.1 Distribuição do erro de fecho em M
Σ ΔM
i
- fM
ΔM ix
em que:
|M|– somatório dos módulos dos acréscimos de coordenada em M (m);fM – erro de fecho em M (m);
Mi – acréscimo de coordenada M do troço i (m);
xi – compensação em M no troço i (m).
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9. Distribuição do erro de fecho em M e P
9.2 Distribuição do erro de fecho em P
Σ ΔP
i
- fP
ΔP iy
em que:
|P| – somatório dos módulos dos acréscimos de coordenada em P (m);fP – erro de fecho em P (m);
Pi – acréscimo de coordenada P do troço i (m);
yi – compensação em P no troço i (m).
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10. Cálculo das coordenadas M e P compensadas
22
*P2
*P3
22*P2
*P3
11P1*P2
11P1*P2
yΔPPP
xΔMMM
yΔPPP
xΔMMM
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11. Cálculo das cotas compensadas
11.1 Cálculo do erro de fecho em N
em que:
fN – erro de fecho em N (m);
Ni – cota real do ponto de primeiro estacionamento (m);
Nf – cota real do ponto de último estacionamento (m);
DNi – somatório dos desníveis médios (m);
n - número de estacionamentos.
n
1iifi DNNNfN
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11. Cálculo das cotas compensadas
11.2 Tolerância do erro de fecho em N
em que:
TfN – tolerância do erro de fecho em N (m);
L – comprimento da poligonal (km).
Lm 0,30TfN
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11. Cálculo das cotas compensadas
11.3 Distribuição do erro de fecho em N em função da distância horizontal
em que:
fN – erro de fecho em N (m);
dhi – distância horizontal média do troço i (m);
zi – compensação em N no troço i (m);
n - número de estacionamentos.
n
1ii
ii
dh
dhfNz
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11. Cálculo das cotas compensadas
11.4 Cálculo das cotas compensadas
em que:
NPi – cota do ponto anterior (m);
N*Pi – cota compensada (m);
DNi – desnível médio no troço i (m);
zi – compensação altimétrica no troço i (m).
2
*P2
*P3
1P1*P2
zDN2NN
zDN1NN
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