Lista 06 Clculo 3 Professor Daniel Henrique Silva

Departamento de matemtica UFSCar

Turma D

Esta lista trata de tudo. A inteno dela fazer uma reviso para a recuperao. Vrios exerccios (na verdade, quase todos) so repetidos em relao s outras listas. Por exemplo, todos os recomendados do livro do Guidorizzi so os mesmos de todas as outras listas juntas. Sugestes de exerccios do Guidorizzi, volume 3 (5 edio): Seo 3.1: Exerccios 1) a; c; d; f; h; m; 3) a; d; 4) b; e; f; 5) a; b; d; e; f 6) a; d; e; g; n; p; r; 7) b; d; f; g; j; m; n; 8) b; g; m; o; 9) b; c; e Seo 4.2: Exerccios: 1) a; b; c; d; e; f; h; i; k; 2) a; c; d; e; h; 3); 4) Seo 4.3: Exerccios: 1) a; b; e; f Seo 5.4: Exerccios: 1) a; b; e; f; g; h; j; l; m; o; p; q; r; 2) a; b; d; e; f; i; o; q; r; 3); 4); 5); 6); Seo 5.5: Exerccios: 1) a; b; c; d; e; f; 4); 5); Seo 5.7: Exerccios: 7); 9) a); 11) Seo 6.1: (Integrais de linha em campo vetorial) Exerccios: 1) a; b; d; e; 3); 4) a; c; 5) Seo 6.2: (Integrais de linha em campo vetorial) Exerccios: 1); 2); 3); 5); 7); 8); Seo 6.4: (Integrais de linha em campo vetorial) Exerccios: 1); 2); 4); 5); 6); 7) Seo 6.5: (Integrais de linha em campo escalar) Exerccios: 1) a; b; c; 2); 3); 8) a; b; 9) Seo 7.1: (Campos conservativos) Exerccios: 1) b; c; d; e; 2) Seo 7.3: (Integrais de linha em campo conservativo) Exerccios: 1) a; b; c; e; f; 4) Seo 8.2: (Teorema de Green) Exerccios: 1); 2); 3); 4); 5); 6); 7); Seo 9.1: (Parametrizaes de superfcie) Exerccios: 1) a; b; c; e; f; g; 3); 4) a; b; d; Seo 9.3: (Integrais de superfcie em campo escalar) Exerccios: 1) a; b; c; d; f; 3); 4); 5); 6); 7); 8); 11); 12); 15) Seo 9.4: (Integrais de superfcie em campo escalar) Exerccios: 1) a; b; c; e; g; h; Seo 10.1: (Integrais de superfcie em campo vetorial / Fluxo) Exerccios: 1); 2); 3); 4); Seo 10.2: (Teorema de Gauss) Exerccios: 7) a; b; c; d; e; 8); 10); Seo 11.1: (Teorema de Stokes) Exerccios: 1) a; b; c; d; e; f; g; h; i; j; 4) (apenas leia o enunciado do 3 para fazer o 4); 5); 7); 10); Alguns extras propostos: 1) Defina integral dupla, e interprete geometricamente o seu significado. 2) Enuncie o teorema de Fubini, e interprete-o geometricamente. 3) Resolva as integrais duplas:

a) . ln(y) dxdy2

1

2

0 b) .

2+24

0

1

1 c) (

2+5

1+2)

4

0

1

1

4) Determine o volume de um slido limitado superiormente pelo plano = , pelos planos ordenados, e pelos planos = 2 e = 3. Refaa os clculos com geometria espacial (de ensino mdio), e verifique que o resultado vlido. 5) Resolva as integrais duplas:

a) 2

, onde D a regio delimitada pelo tringulo de vrtices (0; 0); (0; 1) e (1; 0)

b)

, onde D a regio delimitada pelo tringulo de vrtices (-2; 0); (0; 2) e (2; 0)

c)

, onde D a regio delimitada pelo tringulo de vrtices (0; 0); (4; 2) e (2; 4)

d) 1

, onde D a regio compreendida entre os grficos das funes () = e () = 2, no primeiro

quadrante.

e)

, onde D a regio finita limitada entre a reta de equao x + 2y = 3 e a parbola de equao = 2 +

4 2

f)

, onde = {(; ) 2 | < 1; 2 3}

6) Voc sabe (ou deveria saber, pelo menos), que a integral dupla de uma funo (; ) sobre uma regio D, ou seja, (; )

calcula do slido limitado superiormente pelo grfico da funo (; ), inferiormente pelo plano z =

0, e lateralmente pela regio D. Alm disso, voc sabe (de novo, ou deveria saber) que 1

calcula a rea limitada

pela regio D. Explique com suas palavras como e porqu isso ocorre.

7) Calcule o volume da regio descrita entre o paraboloide = 2 + 2 e o plano = 6 2, quando limitados pelos planos x = -1; x = 1; y = -1; y = 1. 8) Calcule o volume no primeiro octante do slido limitado pelos planos z = 0; z = 4 y; z = 4 x e x + y = 4. 9) Sejam ; ; ; +

constantes. Determine, em funo dos coeficientes ; ; ; , o volume formado no primeiro octante pelo plano + + = . (Note que a restrio de os coeficientes serem positivos implicar no plano passar pelo primeiro octante). Compare o resultado obtido com o valor exato, obtido atravs de geometria de ensino mdio. 10) Descreva a interpretao geomtrica das coordenadas polares. 11) Converta as equaes para coordenadas polares. (OBS: Nem todas as equaes ficaro mais simples. O intuito justamente mostrar que, em algumas situaes, as coordenadas polares no so recomendveis.)

a) 2 + 4 + 2 = 0 b) ( 1)2 + ( 1)2 = 1 c) = 2 d) = 1 e) + = 1

12) Demonstre que a rea de uma circunferncia de raio R igual a = 2

13) Demonstre que a rea de um setor circular (fatia de pizza) de ngulo central , e raio R =2

2

14) Demonstre que a rea de um anel circular de raio interno igual a , e raio externo igual a R = (2 2)

15) Demonstre que a rea de uma elipse de equao 2

2+

2

2= 1 igual a =

16) Calcule (2 )3

, onde = {(; ) | 2 1 2 + 1, 4 2

17) Calcule a rea dentro de uma das ptalas da roscea dada (em coordenadas polares) por = cos(2)

18) Calcule o valor da integral ( ). 2+3

, onde D o paralelogramo delimitado pelos pontos

(1; 1); (3; 3); (6; 1); (4; 1).

19) Calcule o valor da integral

+

, onde D o paralelogramo delimitado pelos pontos (1; 0); (2; 0); (0; 2); (0; 1).

20) Interprete geometricamente as coordenadas esfricas.

21) Demonstre que o jacobiano das coordenadas esfricas igual a 2() 22) As seguintes equaes representam superfcies em em coordenadas cartesianas. Identifique cada uma das superfcies, e faa um esboo de cada uma delas. Escreva essas equaes em coordenadas cilndricas e em coordenadas esfricas. (Note que nem sempre elas ficaro mais simples)

a) 2 + 2 = 4 b) 2 + 2 + 2 = 1 c) = 2 + 2 d) = 2 + 2 e) = 3 2 + 2

f) 2 + 2 = 9 g) 2

4+

2

16= 1 h)

2

9+

2

4+ 2 = 1 i) = 25 2 2 j) = 25 2

23) As seguintes equaes representam superfcies em em coordenadas esfricas. Identifique cada uma das superfcies, e faa um esboo de cada uma delas. (Mesmo que voc no consiga esboa-la diretamente pela interpretao geomtrica, tente manipular a funo algebricamente.)

a) = 1 b) = 3 c) = 0 d) =3

2 e) =

3 f) =

2 g) = h) = cos()

i) = 4 cos()

24) Demonstre que o volume de uma esfera de raio R dado por 4

33

25) Calcule o volume de um elipsoide de equao 2

2+

2

2+

2

2= 1

26) Demonstre que o volume de um elipsoide de equao (0)

2

2+

(0)2

2+

(0)2

2= 1 ser o mesmo do que o obtido

no exerccio anterior.

27) Demonstre que uma integral invariante por translao (ou seja, em uma mudanas de varivel por translao, da forma (; ; ) = ( + ; + ; + ), o jacobiano ser sempre igual a 1). 28) Deduza uma equao para o volume de uma calota esfrica formada pela interseco da esfera unitria de centro na origem pelo plano = , 0 < < 1. (O volume dever ficar em funo de ).

29) Deduza uma equao para o volume do sorvete formado pela parte interna a esfera 2 + 2 + 2 = 2, e acima

do cone de equao = 2(2 + 2), onde ; + . (Note que na resposta, alm dos coeficientes ; , tambm

havero funes trigonomtricas e/ou trigonomtricas inversas, dependendo de como voc modelar o problema) 30) Escreva uma lista com os mtodos de parametrizao das principais curvas (No se esquecendo de indicar tambm a variao do parmetro t): a) Segmento de reta de (; ) at (; ). b) Segmento de reta de (; ; ) at (; ; ) c) Circunferncia de centro (0; 0) e raio R d) Circunferncia de centro ( ; ) e raio R

e) Elipse de equao 2

2+

2

2= 1

f) Elipse de equao ()

2

2+

()2

2= 1

g) Imagem do grfico da funo = (), com o domnio [; ] h) Interseco de duas superfcies tridimensionais (Explicar com texto como se faz) 31) Demonstre, atravs de uma integral de linha, que o comprimento do segmento de reta que vai de (; ; ) at

(; ; ) vale ( )2 + ( )2 + ( )2 32) Demonstre, atravs de uma integral de linha, que o comprimento de uma circunferncia de raio R vale 2, independentemente da posio de seu centro. 33) Considere o solenoide de equao paramtrica dada por (4 cos() , 4(), ), [0; 6]. Determine o comprimento do solenoide (Note que no necessrio saber como o desenho de um solenoide).

34) Seja (; ) = (; 2) um campo de foras agindo sobre uma partcula de dimenses desprezveis. Calcule o trabalho realizado sobre essa partcula quando ela parte da origem, segue pela curva poligonal passando pelos pontos (1; 0); (3; 2); (2; 2); (2; 0), e pelo arco de circunferncia 2 + 2 = 4, at o ponto (0; 2), no sentido horrio.

35) Considere o campo vetorial (; ) = (

2+2;

2+2)

a) Faa um esboo desse campo.

b) Mostre que, para este campo, temos que

=

c) Calcule

, onde a imagem da circunferncia de centro na origem e raio 1, utilizando a definio.

d) O resultado obtido contraria a definio de campo conservativo? Justifique.

36) Considere o campo vetorial (; ; ) = (2() 2(); 3() + 322; 23) a) Mostre que a funo (; ; ) = 2 cos() + 32 uma funo potencial para este campo. b) Calcule

, onde o caminho dado pela poligonal pelos pontos (0; 0; 0) (0; 0; 2) (0; 1; 2) (; 1; 2)

37) Seja K uma regio do plano, e a sua fronteira. Assuma que as condies do teorema de Green so satisfeitas para essa curva. Demonstre que a rea da regio K pode ser calculada por qualquer uma das expresses.

2 +

2

38) Utilize alguma das expresses anteriores para calcular a rea limitada pela curva ( + (); 1 cos()) e pelo eixo x, quando [0; 2] 39) Parametrize as seguintes superfcies: (No se esquea de descrever os limites das variveis na parametrizao) a) Esfera de centro na origem, e raio 4 b) Esfera de centro no ponto ( ; ; ), e raio R

c) Elipsoide de equao 2

9+

2

16+

2

4= 1

d) Elipsoide de equao ()

2

2+

()2

2+

()2

2= 1

e) Poro do plano 3 + 4 + 2 = 12 no primeiro octante. f) Poro do plano 2 5 + = 5, limitado pelos planos ordenados. g) Poro do plano z = 4, limitado pelo paraboloide = 2 + 2 h) Poro do paraboloide = 2 + 2, limitado pelo plano z = 4

i) Parte lateral do cilindro 2 + 2 = 9, com 2 2 j) Base do cilindro dado no item anterior.

k) Poro do paraboloide = 2 + 2, entre os planos z = 1 e z = 9

l) Parte da esfera 2 + 2 + 2 = 1 interior ao cone = 32 + 32

m) Parte da esfera 2 + 2 + 2 = 1 exterior ao cone = 32 + 32

n) Parte do cone = 2 + 2 interior a esfera 2 + 2 + 2 = 1.

40) Demonstre que a rea de uma esfera de raio R 42 41) Encontre uma frmula que calcule a rea lateral de um cilindro de raio da base r, e altura h. (Sugesto, faa um desenho)

42) Imagine o paraboloide de equao = 2 + 2, e um plano = , com > 0. Determine o valor da constante tal que a rea do paraboloide, quando limitado pela plano seja igual a 60.

43) Imagine a superfcie gerada pelo grfico de = 2 2, delimitado pelo cilindro 2 + 2 = 2, > 0. Determine o valor de tal que a rea dessa superfcie seja igual a 60.

44) Imagine a superfcie que parte da esfera 2 + 2 + 2 = 2, contida na regio interna ao cilindro 2 + 2 = 2. Determine a rea da calota formada, em funo dos parmetros ; . Verifique se a sua expresso apresenta um resultado coerente para o caso em que = .

45) Considere o campo dado por (; ; ) = (

2+2+2;

2+2+2;

2+2+2)

a) Podemos aplicar o teorema de Gauss para calcular o fluxo desse campo atravs de uma esfera unitria de centro na origem? Justifique. b) Podemos aplicar o teorema de Gauss para calcular o fluxo desse campo atravs de uma esfera unitria de centro no ponto (3; 5; 4)? Justifique. c) Calcule o fluxo para o caso do item a). 46) Se F um campo conservativo, ento o fluxo em qualquer superfcie zero. Verdadeiro ou falso?

47) Arme as integrais que determinem o fluxo do campo (; ; ) = (2; 3; 2) atravs da lateral do cilindro 2 + 2 = 4, 0 1 a) atravs da definio de fluxo. b) atravs do teorema de Gauss, fechando a lateral do cilindro com base e tampa.

48) Dado o campo vetorial (; ; ) = (; ; ), e a curva dada pela interseco da esfera 2 + 2 + 2 = 2 com o plano = 1, calcule o trabalho desse campo atravs dessa curva quando percorrida uma volta, no sentido anti-horrio, quando vista de cima. a) atravs da definio de trabalho (com uma integral de linha) b) atravs do teorema de Stokes, utilizando a poro do plano como superfcie. c) atravs do teorema de Stokes, utilizando a poro da esfera como superfcie.

49) Mostre que, se uma curva est em , e um campo tal que sua terceira componente nula, ento o teorema de Stokes na verdade o teorema de Green (Ou seja, Green Stokes em 2D).

50) Mostre que, se F um campo vetorial de classe em , e S uma superfcie fechada, ento demonstre que ()

= 0

51) Demonstre que, se f(x; y; z) uma funo escalar de classe em , ento ((; ; )) = (0; 0; 0)

52) Demonstre que se (; ; ) um campo vetorial de classe em , ento (((; ; ))) = 0