UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS
FACULDADE DE ENGENHARIA ELÉTRICA E DE COMPUTAÇÃO
EA – 772 CIRCUITOS LÓGICOS
2S-2018 – TURMA A
Resumo
PROF. JOSÉ W M BASSANI
OUTUBRO DE 2018
EA-772 Circuitos Lógicos – Todas-Resumo 2S-2018, Professor: Bassani, JWM
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Aula 01.
Nesta aula, além das boas vindas aos alunos ingressantes e demais participantes da disciplina,
foram discutidos aspectos do curso, tais como o programa da disciplina, o critério de avaliação,
material didático e dinâmica de trabalho. Foi discutida a importância do estudo dos circuitos
lógicos como base para o estudo dos circuitos digitais, que são a base dos circuitos
encontrados nos computadores atuais e em uma enorme quantidade de dispositivos e
instrumentos usados em todas as áreas. A disciplina tem metas a cumprir que foram também
apresentadas e discutidas.
Começamos com o conceito intuitivo de máquinas de estado, tópico a ser abordado bem mais
adiante sob os pontos de vista formal e construtivo. Para introduzir este conceito, foi
apresentado um robô capaz de fazer ações simples, disparadas pelo seu estado (“de espírito?”)
presente.
Para ajudar a lembrança desta aula, apresento a seguir os detalhes do robô para que você
possa rever e se preparar sobre o assunto.
Veja o desenho do diagrama de estados e sua interpretação a seguir. Vamos imaginar que os
círculos representem os estados pelos quais esta “máquina” irá passar.
Vamos definir o estado S como inicial e também como estado final apenas para sabermos
quando as coisas começam e quando terminam. Como foi dito que o robô irá executar ações
simples quando estiver em um ou outro estado, vamos definir o significado dos outros estados
e as ações correspondentes.
F = Step Forward (1 passo pra frente); B = Step Backward (1 passo para trás); L = Turn Left (girar 45o para a esquerda); R =Turn Right (girar 45o para a direita).
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Agora, vamos representar o robô por um ponto e um vetor. O ponto representa o local no espaço onde ele se encontra e a orientação do vetor indica a direção do movimento ou a direção para a qual o robô está “apontado”. A máquina funciona da seguinte forma: a) inicialmente o seu estado é o S, indicando que o ponto está parado em algum lugar do espaço (onde você o colocou!); b) o que define a transição para outro estado é a combinação de entrada e o estado presente. O estado presente irá definir também a “saída” produzida pelo dispositivo, ou seja, neste caso os movimentos. Vamos testar uma seqüência de entradas e ver o que acontece: 0 1 3 0 0 1 3 0 0 0 1 3 0 1 Partindo do estado inicial (S), a entrada é 0. O robô vai para o estado F e isto faz com que sua ação seja dar um passo à frente. Estando agora no estado F, a entrada é 1. O novo estado será S e a ação será ficar onde está. Em S, a nova entrada é 3. O novo estado será R. Isto significa que o robô irá virar 45o para a direita, permanecendo no mesmo local. A próxima entrada é 0, levando o robô para o estado F, ou seja, executa 1 passo para frente agora em nova direção. Como a próxima entrada é novamente 0 e o robô está em F a ação será novamente 1 passo para a frente. A nova entrada 1 fará o robô mudar seu estado para S e ficar quieto como estava e, em seguida, com a entrada 3, o robô assume o estado R e gira para a direita mais 45o. As transições ocorrem assim por diante até que termine a sequência de entradas.
Se você continuar com a seqüência, verá que o estado final do robô será (S). Isto pode ter
grande importância mais adiante. Você deve ter certeza do porquê. Estes e outros aspectos
foram discutidos, mostrando que uma máquina como esta é extremamente geral e está na
base do que se faz de mais moderno no campo da computação e engenharia. Muitas
perguntas podem ser (e foram) levantadas na aula sobre o comportamento deste robô e da
estrutura do dispositivo estudado.
Como se faz para tudo começar? Como você pode fazer de verdade uma coisa dessas? Cite formas de “dar vida” a esta máquina. Você conseguiria construir um desses em casa? Cite exemplos do dia-a-dia de máquinas como esta.
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Há desses modelos de máquina no campo da biologia? (não vale o irmãozinho mais novo!). No atual mundo da multimídia, onde estariam escondidas coisas desta natureza? Pense sobre o que poderiam ser as entradas e as saídas. Exercício. Faça uma programação de entradas para que o robô execute uma tarefa como, por exemplo, desenhar a primeira letra do seu nome. Você acha que este robô poderia percorrer uma trajetória parabólica? Bibliografia
Material didático da disciplina e bibliografia indicada. Acesse o seu browser e digite: ceb.unicamp.br/~bassani
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Aula 02.
Esta aula foi dedicada a um histórico sobre a evolução das máquinas de calcular, desde os
dispositivos usados para armazenar valores como o Quipu, passando pelos usados para cálculo
como o ábaco, os dispositivos de cálculo mecânicos, eletro-mecânicos e eletrônicos, até os
modernos supercomputadores atuais. É muito importante que se saiba a história. Estas
máquinas são como os dispositivos eletrônicos sofisticados que você usa hoje. Evoluem. Qual
será a persistência evolutiva destes dispositivos? Saiba um pouco sobre os períodos de
evolução e imagine: quanto tempo vai durar o dispositivo eletrônico mais cobiçado de hoje? O
que existe evolutivamente nele? O que mudou efetivamente com relação aos seus
antecessores?
Discutimos o surgimento das linguagens de programação e a evolução da internet (não deixe
de ler o artigo da revista Fapesp). Foi também discutido o impacto do chamado relatório Lax,
no qual Peter Lax chamou a atenção das autoridades para a falta de investimentos em
supercomputadores e para o fato que os Estados Unidos perdiam, neste particular, para o
Japão. O resultado foi a construção de importantes centros de estudo e desenvolvimento
colocando os americanos como ocupantes constantes do primeiro lugar na produção dos
supercomputadores. Hoje, mais de 50% dos 500 computadores mais poderosos existentes
estão nos EUA. No entanto, o Japão, a partir de 2011 vem liderando o topo da lista, seguido
pela China. Dentre os 10 primeiros 5 são dos EUA, 2 do Japão, 2 da China e 1 da França.
Bibliografia
-Bassani JWM. Notas de aula – Circuitos Lógicos. -Bellos A. Alex no país dos números. Uma viagem ao mundo maravilhoso da matemática. Ed. Companhia das Letras, São Paulo, 2011. -Boyer CB. A history of mathematics. Ed. John Willey & Sons, New York, 1991. -Huntbach MM & Ringwood GA. Agent oriented programming (From Prolog to Guarded Definite Clauses), Ed. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, New York, 1999. -http://en.wikipedia.org/wiki/File:Top500.svg -http://www.slideshare.net/top500/top500-112011-bof-slides
(Veja no site indicado para a disciplina o material didático e bibliografia indicada)
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Aula 03.
Começamos, nesta aula, o conceito de números. Destacamos que os números podem ter sido
originados da necessidade que as diferentes espécies animais, inclusive a humana, apresentam
de contar. Procure se lembrar dos exemplos citados em aula sobre a capacidade dos animais
quanto ao senso dos números. Encontre razões para explicar por que as espécies teriam
necessidade de desenvolver a capacidade de distinguir quantidades (números).
Há milênios, os Egípcios e Mesopotâmicos já organizaram símbolos em grupos e pesos, dando
origem a sistemas de representação de números e bases numéricas. Muitas vezes a
representação e base de contagem tiveram origem em conjuntos incidentalmente disponíveis,
tais como os dedos e artelhos. Há relatos da existência de muitos povos que se utilizaram de
um registro corporal. Os Yupnos da Nova Guiné, por exemplo, se utilizavam de partes do corpo
totalizando 33. Neste caso, 34 era o limite! O fato de terem sido usados os dedos e artelhos
pode ter dado origem aos sistemas quinários, decimais, vigesimais, etc. Se fôssemos, como
conta Alex Bellos em seu livro “Alex no País dos Números”, criaturas como os personagens da
Disney, com 3 dedos e um polegar, provavelmente faríamos contas na base 8.
É comum assumirmos que, para nós humanos, a contagem requeira o processo de
representação das quantidades. Assim, é possível também que as linguagens tenham sido
influenciadas pelos números ao mesmo tempo que a difusão dos processos de computação
numérica foram acelerados pelas linguagens.
A matemática, tendo na sua base os números, parece ter sido importante na persistência das
espécies, em particular da espécie humana. Inúmeras passagens históricas e publicações
científicas podem ser encontradas mostrando a habilidade das espécies quanto ao senso dos
números e a sua possível importância para a preservação da espécie.
Contar, agrupar, quantificar, reconhecer padrões ... Computar!
Qualquer que seja a sua futura tendência sobre como modificar o processo de contagem e de
computação, você deve ser instruído para saber alguma coisa concreta que corresponda aos
fundamentos. Saiba, portanto, como se faz atualmente para representar e manipular os
números.
Foi definida em aula a Notação Polinomial. Nesta notação o número é representado por um
polinômio. Assim, um número N na base numérica b, ou seja (N)b é representado pelo seguinte
polinômio:
( ) ∑−
=
=m
ni
i
ib bcN , b> 1 e 0 ≤ ci ≤ b-1;
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Onde ci são os coeficientes do polinômio, b a base do sistema numérico, n o número de dígitos
da parte inteira e m o número de dígitos da parte fracionária. Na sua forma expandida o
polinômio fica:
( ) m
mb bcbcbcbcccN−
−−
−− +++++++= LK
2
2
1
1-
0
0
1-n
1-n
n
n bb
Na base 10 há 10 símbolos (0 ≤ ci ≤ 9) para representar os números. Na base 2 há dois símbolos
(0 e 1). Por exemplo, (423,12)10 seria representado por:
423,12 = 4 x 102 + 2 x 101 + 3 x 100 + 1 x 10-1 + 2 x 10-2
= 400 + 20 + 3 + + = 423,12
Esta notação vale para qualquer base, mas veremos mais tarde que ao avaliar (atribuir valor) o
polinômio, fazendo as operações aritméticas na base 10, estamos convertendo o número da
base b para a base 10. Por exemplo,
(23)8 = 2 x 81 + 3 x 80 = 16 + 3 = (19)10
Exercícios
1. Escrever e avaliar os polinômios. Veja antes se é realmente possível expandir o
polinômio.
a) (1011.01)2
b) (302.1)4
c) (927.0)10
d) (101.1)3
e) (33.3)8
f) (99.9)9
g) (1101.0101)2
h) (1101.0101)5
2. Resolver para encontrar o valor de b
a)(1b5)8 = (1010101)2 b) (1010)b = (5)8
3. O valor de b que satisfaz a equação (79)10 = (142)b é:
a) +11
b) -11
c) +7
d) -7
e) +10
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Bibliografia
-Bassani JWM. Notas de aula – Circuitos Lógicos. -Bellos A. Alex no país dos números. Uma viagem ao mundo maravilhoso da matemática. Ed. Companhia das Letras, São Paulo, 2011. (Veja no site indicado para a disciplina o material didático e bibliografia indicada)
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Aula 04.
Nesta aula foi apresentada uma generalização da forma de representação dos números na
qual são explicitadas as partes inteira e fracionária.
∑+
=
−=mn
i
in
ib bcN1
)( ;
onde m é o número de dígitos da parte fracionária e n da parte inteira. Se m = 0 então o
número é inteiro. A base b > 1 (inteiro) e 0 ≤ ci ≤ b-1.
Lembre-se do exemplo:
n = 3
m = 2
i = 1, 5
∑=
−=5
1
3)(
i
i
ib bcN
Escrevendo o polinômio:
2
5
1
4
0
3
1
2
2
1)( −− ++++= bcbcbcbcbcN b
O número seria representado por 1c 2c 3c . 4c 5c , onde o ponto representa o ponto da base ou
da raiz (b). O coeficientes de 1 a 3 correspondem aos dígitos da parte inteira (n = 3) e de 4 a 5
os da parte fracionária (m = 2).
Veja o número na base 4 abaixo:
(N)4 = (231.02)4 = 2x42+3x41+1x40+0x4-1+2x4-2
Iniciamos também nesta aula o estudo da mudança ou conversão entre bases numéricas. A
conversão foi tratada de modo geral e ao final algumas regras práticas foram explicitadas.
Descrevemos a conversão por meio de algoritmos simplificados. Algoritmos foram definidos
como conjuntos de passos necessários para realizar alguma tarefa bem definida. O algoritmo
para converter um número escrito em uma base b1 para qualquer outra b2 foi,
simplificadamente, o seguinte:
1. Expresse o número na notação polinomial na base b1;
2. Avalie o polinômio, usando aritmética na base b2;
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(Avaliar significa obter o número após atribuição dos valores numéricos dos coeficientes do
polinômio e das respectivas potências da base)
Fizemos primeiro conversão para a base 10. Dado um número em qualquer base estudamos a
sua conversão para a base 10. Veja um exemplo usado: Queremos converter um número da
base 8 (b1) para a base 10 (b2). Foi então seguido o algoritmo.
1. (26)8 = 2x81 + 6x80. ( (N)b1 expresso na notação polinomial);
2. 2x8 = 16 e 6x1 = 6. Assim, 16 + 6 = 22 e essa aritmética está sendo feita na base b2, ou
seja, na base 10, resultando portanto (22)10.
Para adiantar o seu raciocínio em outras bases foram dadas dicas de alguns números em
outras bases.
(2)10 = (10)2
(3)10 = (10)3
(4)10 = (10)4
O que vem a ser então a base numérica? Corresponde ao número de dígitos (ou símbolos)
usados para representar os números. Por exemplo, na base 10 há 10 dígitos de 0 a 9. Por isso
que na definição de número explicitamos que b era a base definida como um número inteiro
maior que 1 e que os coeficientes do polinômio (os dígitos do número) estariam contidos entre
0 e b-1. Na base 3 temos 3 dígitos 0, 1 e 2 . Na base 4, teríamos 0, 1, 2 e 3. Logo, 4 na base 4
será o próximo número escrito depois que o maior dígito já foi usado, ou seja, um número com
dois dígitos (10)4. Isto é a mesma coisa em qualquer base. O número 10 na base 10 é 1 acima
de 9 e precisa de dois dígitos, portanto (10)10.
Veja como ficariam as potências de 2 dos números nas diversas bases:
22 = (100)2
32 = (100)3
42 = (100)4
Qualquer potência da base corresponderá a um número com apenas um digito 1 na posição
relativa ao valor da base. Assim, 28 = (100000000)2, 515 = (1000000000000000)5. É isso. Como
seria 2n – 1 na base 2? Veja se seria um número assim: (1111...11)2 com o número de 1´s igual
a n.
Foi apresentada a tabela de números em diferentes bases para que você consiga efetuar
aritmética em outras bases.
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2 4 5 8 10 12 16
Binária Quaternária Quinária Octal Decimal Duodecimal Hexadecimal
0000 00 00 00 00 00 0
0001 01 01 01 01 01 1
0010 02 02 02 02 02 2
0011 03 03 03 03 03 3
0100 10 04 04 04 04 4
0101 11 10 05 05 05 5
0110 12 11 06 06 06 6
0111 13 12 07 07 07 7
1000 20 13 10 08 08 8
1001 21 14 11 09 09 9
1010 22 20 12 10 0A A
1011 23 21 13 11 0B B
1100 30 22 14 12 10 C
1101 31 23 15 13 11 D
1110 32 24 16 14 12 E
1111 33 30 17 15 13 F
Vamos agora para o exemplo:
Converter (26)8 para a base 5.
1. (26)8 = 2x81+6x80. ( (N)b1 expresso na notação polinomial);
2. Avaliar com aritmética na base 5. Assim, ficamos com (2)5x(13)5 + (11)5x(1)5
Deste modo: (2)5x(13)5+(11)5x(1)5 o que resultaria (31)5 + (11)5 = (42)5. Para se exercitar
converta cada um para a base 10 e veja se (26)8 = (42)5.
Exercícios
Converter
(11)3 para a base 2
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(27)8 para a base 16 (escreva (27)10 = ( )H. O H é de hexadecimal !)
(26)7 para a base 9
(88)9 para a base 10
Nem sempre efetuar a aritmética nas outras bases diferentes da base 10 é conveniente ou
você se lembra como fazer. Vamos então explorar um algoritmo para converter qualquer
número da base 10 para qualquer base, operando sempre na base 10. Serão as conversões de
(N)10 =(N)b.
Algoritmo para converter a parte inteira, ou seja, cálculo de 1c 2c ... 1−nc nc .
1. Divida o número decimal pelo valor da base b, ou seja, (N)10 /b;
2. Faça =nc resto de b
N 10)(;
3. Faça b
b
N
cn
))(
( 10
1 =− ;
4. Continue calculando os coeficientes até que o quociente seja nulo.
Exemplo de conversão de (23)10 para a base 2. Dividendo (23)10 Divisor 2 considerado como um decimal Dividendo Divisor Quociente Resto índice (i) do coeficiente (ci) 23 2 11 1 5 (- significativo) 11 2 5 1 4 5 2 2 1 3 2 2 1 0 2 1 2 0 1 1 (+ significativo) Como resultado final teríamos então:
(23)10 = (10111)2
Exercícios
1) Faça algumas dezenas de conversões como estas;
2) Converta (420)10 = ( )16
3) Converta em segundos (2048)10 = ( )2
Lembre-se, em bases maiores que 10 costuma-se representar os dígitos maiores ou iguais a 10
com letras. Assim, na base 16 ou hexadecimal, 10 = A, 11 = B, 12 = C, 13 = D, 14 = E e 15 = E. Se
você divide algum número decimal por b o resto necessariamente será menor que b e assim
sempre poderá se representar algum dígito na base b.
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O algoritmo para converter a parte fracionária (. 4c 5c ) de um número na base 10 para
qualquer outra base está apresentado a seguir. Vamos assumir que o número esteja
representado por duas partes NI. Nf, respectivamente as partes inteira e fracionária.
1. Multiplico a parte fracionária pela base.
Assim, efetuo (.Nf)10 x b. Se o produto resultante for < 1
então
2. O digito mais significativo da fração será zero; Volta ao item 1
Se o produto resultante for ≥ 1
3. O digíto mais significativo será a parte inteira do resultado;
4. Volta ao item 1.
O algoritmo não especifica a parada, mas isso você vai ver ao trabalhar em classe com os
exemplos dados pelo professor.
Exemplos
Converter: (0.625)10 = ( )8
0.625 x 8 = 5.000 0.5
Veja que se você fosse adiante não acrescentaria dígitos significativos.
Converter: (0.23)10 = (0.001110)2
Produtos Resultado da conversão
0.23 x 2 =0.46 0.0
0.46 x 2 = 0.92 0.00
0.92 x 2 = 1.84 0.001
0.84 x 2 = 1.68 0.0011
0.68 x 2 = 1.36 0.00111
0.36 x 2 = 0.72 0.001110
Com os dois algoritmos podemos então converter um número qualquer da base 10 para
qualquer base.
Exemplo Converter: (27.68)10 = ( )2 27/2 = 13 resto 1
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13/2 = 6 resto 1 6/2 = 3 resto 0 3/2 = 1 resto 1 1/2 = 0 resto 1 Seguindo adiante,
Produtos Resultado da conversão
0.68 x 2 = 1.36 0.1
0.36 x 2 = 0.72 0.10
0.72 x 2 = 1.44 0.101
0.44 x 2 = 0.88 0.1010
O resultado final fica, então, (27.68)10 = (11011.1010)2
Exercícios Não deixe de fazer estes exercícios e outros que puder (23.68)10 � ( )8 (27.68)10 � ( )8 (27.68)10 � ( )3 (314.87)10 � ( )2 (512.25)10 � ( )2 (512.25)10 � ( )H
Conversão da base 2 para bases que são potências de 2
No caso de bases que são potências de 2 as coisas podem ficar mais simples. Nestes casos,
basta agrupar os números binários em grupos de 2n dígitos. Isto facilita converter da base 2
para outras bases.
Base 2 � base 8 (23)
Como ilustrado abaixo, marque os grupos de n dígitos antes do ponto binário da direita para a
esquerda e depois do ponto da esquerda para a direita. Agora converta (de cabeça) cada grupo
de n=3 dígitos para a base 8 (é claro que você tem apenas que ler e copiar os dígitos
correspondentes).
(1101.1010)2 = 1 1 0 1 . 1 0 1 0 base 2
1 5 . 5 0 base 8
Avalie, se quiser, cada bloco de 3 dígitos usando o polinômio escrito na base 2 e avaliado na
base 10.
Base 2 --� base 16 (24) n = 4.
(11011.1010)2 = ( )H = 1 1 0 1 1 . 1 0 1 0 base 2
1 B A base hexadecimal (16)
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Como último recurso, se você não tiver alternativa, fique com a regra da triangulação.
Converta da base original para a base 10 e daí da base 10 para a base desejada.
Exemplo Converter: (16)7 para a ( )3 Converta (16)7 para a base 10. Assim: 1 x 71 + 6 x 70 = (13)10
Agora, converta (13)10 para a base 3. Assim: 13/3 = 4 (resto 1), 4/3 = 1 (resto 1), 1/3 = 0 (resto
1). Ou seja, (13)10 = (111)3
Exercício Este exercício tem um objetivo específico. Não deixe de resolver. (0.1)3 � ( )2
Bibliografia
-Bassani JWM. Notas de aula – Circuitos Lógicos. -Veja a lista de referencias indicadas na primeira aula (Veja no site indicado para a disciplina o material didático e bibliografia indicada)
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Aula 05.
Nesta aula foi apresentada a representação dos números com sinal e em especial diferentes
representações dos números negativos. Além disso, mostramos o conceito de módulo.
A representação mais geral de números com sinal é a chamada representação em sinal e magnitude. Nesta notação, usando a nossa já conhecida representação de números, um digito binário a mais é usado para representar o sinal (qualquer que seja a base numérica do número a ser escrito).
∑+
=
−⋅−=mn
i
in
ib bccN1
0 )21()(
A nossa representação que ficava (no caso de n = 3 e m = 2)
1c 2c 3c . 4c 5c , passa a ter adicionado o dígito binário que dará origem ao sinal c0. O número
fica composto pela seqüencia de dígitos: 10cc 2c ... nc . 1+nc ... mc . Agora, se c0 for igual a 1 o
número é negativo (veja a fórmula acima) e se c0 for igual a zero o número é positivo. Assim, o
número fica, esquematicamente, como apresentado abaixo:
Parte inteira Parte fracionária
Sinal
Ponto da base
Exemplos
(1 9424)10 = - (9424)10
(0 9424)10 = +(9424)10
(0 1010)2 = +(1010)2 = +(10)10
(1 1010)2 = -(1010)2 = -(10)10
Atenção
Dado o número na base 10 (19573)10, você pode me dizer se é positivo ou negativo? NÃO!,
mas se você souber que está representado em sinal e magnitude, então este seria o número
decimal –(9573)10.
Exercício Dado: 3425 Que número é este? Não deixe de ter certeza de como se responde a esta questão!
Vamos agora para outras representações de números negativos: Complemento de base (bC) e
complemento de base diminuída (b-1C).
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Antes de tudo vejamos o conceito de módulo: Módulo de um número de n dígitos, Mod, é
definido por:
Mod = max +1 = bn,
onde b é a base na qual o número está representado e max é o máximo número que se pode
representar nos n dígitos.
Exemplos:
Número (n =
número de traços)
max Mod bn
(---)10 999 + 1 (1000)10 103
(--)8 77 + 1 (100)8 82
(---)2 111 + 1 (1000)2 23
Complemento de base diminuída do número C (b-1C).
b-1C = bn – C – 1 ou Mod – 1 – C ou max – C
Complemento de base do número C (bC).
bC = bn – C ou Mod – C ou max + 1 – C ou ainda max – C + 1
b-1C
Assim,
bC = b-1C + 1
Bibliografia
-Bassani JWM. Notas de aula – Circuitos Lógicos. -Veja a lista de referencias indicadas na primeira aula (Veja no site indicado para a disciplina o material didático e bibliografia indicada)
EA-772 Circuitos Lógicos – Todas-Resumo 2S-2018, Professor: Bassani, JWM
18
Aula 06.
Nesta aula foram apresentadas as operações aritméticas realizadas utilizando complemento de
base e complemento de base diminuída.
Condição Complemento de b Complemento de b-1
Se N1 ≥ N2: R= N1+ bN2, com drop do
dígito de estouro (1 à
esquerda)
R=N1 + b-1N2, com retorno de
“vai um” no dígito mais à
direita do resultado
Se N1 < N2: R= b∣N1 – N2∣= b(N2 – N1) R= b-1∣N1 – N2∣= b-1(N2 – N1)
Exemplos:
a) (N1)10=(29)10 N1 > N2
(N2)10=(12)10
11717
88)(12
29)(29
102
10
101
++−
⇒
N
N
Complemento de base
drop
17
1
11617
87)(12
29)(29
102
9
101
+
++−
⇒
N
N
Complemento de base diminuída
b) (N1)7= (23)7 N1 > N2
(N2)7= (11)7
112)12(
56)(11
23)(23
7
72
7
71
++−
⇒
N
N
Complemento de base
drop
EA-772 Circuitos Lógicos – Todas-Resumo 2S-2018, Professor: Bassani, JWM
19
12
1
111)12(
55)(11
23)(23
7
72
6
71
+
++−
⇒
N
N
Complemento de base diminuída
c) (N1)10=(13)10 N1 < N2
(N2)10=(15)10
( ) ( )
215139802
85)(15
98129902131513)(13
1010
102
10
1010
101
=−=−
++−
=+−==−⇒
N
ouN
d) (N1)8=(12)8 N1 < N2
(N2)8=(21)8
( ) ( )
7122171
57)(
7117777122112)(
88
82
8
88
81
=−=
++
=+−==−⇒
N
ouN
Atenção: Em qualquer base, o resultado da subtração N1 – N2, com N1 < N2, resulta no
complemento de base do módulo do resultado. Alternativamente, o que se faz no dia-a-dia de
uso da base 10 é encontrar o módulo da diferença e atribuir o sinal do maior.
Exemplo:
( )( )
( ) ( )
03
1
029703
97)71(29
99)26(26
1010
1010
1010
+
−
−+−
⇒
Isto é o complemento de base do módulo da
diferença ( )973,33 10 ==− .
EA-772 Circuitos Lógicos – Todas-Resumo 2S-2018, Professor: Bassani, JWM
20
Agora, vamos para a base 2, começando com as regras que todos ensinam.
Adição : Subtração: S “Vai um” (Carry) D Empréstimo (Borrow)
0 + 0 = 0 0 0 – 0 = 0 0 0 + 1 = 1 0 0 – 1 = 1 1 1 + 0 = 1 0 1 – 0 = 1 0 1 + 1 = 0 1 1 – 1 = 0 0 Lembre-se da regra geral: Como a operação em binário é mais simples, qualquer resto ou resultado parcial é sempre 0 ou 1. Se você decorar as operações, tudo bem, mas saiba o significado das coisas.
( )
001
1111001
000010001
1110010102
+
−−
Complemento de 2:
Vale a regra geral:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) 12
12
22
1
2
1
2
2
22
2
−−=
+=−=
NN
NNNN
n
n
Para encontrar o complemento de 2 de um número binário encontre o complemento de 1 e
adicione 1. Veja no exemplo abaixo também como encontrar o complemento de 1.
Exemplo: Dado 01012, encontrar 2(0101)2.
21011
1
1010
0101
1111
deocomplement→
+
−
Observe que a operação para encontrar 1(N) é feita complementando o número dígito a dígito.
Dado (N)2= (0100110)2
1(N)2= (1011001)2
2(N)2= (1011001)2 + (1)2 = (1011010)2
Todas as regras descritas anteriormente para a subtração podem ser aplicadas aqui.
complemento de 1
EA-772 Circuitos Lógicos – Todas-Resumo 2S-2018, Professor: Bassani, JWM
21
A= 11101.10 = 29.5
B= 11.01 = 3.25
C= 100.11 = 4.75
A+B
75.3211.100000
01.11
10.11101
→
+
A-B
25.2601.11010
01.11
10.11101
→
− Regra prática:
25.1401.11100
25.301.11
50.1710.10001
011
→
→−
→
Veja este outro exemplo:
0.11000.01101110
50.3510.000111
50.14510.10010001
01101
→
→−
→
Subtração usando complemento de 2
A – B = A + 2B. Se A > B, ocorrerá drop
A= 11101.10 = 29.5
B= 11.01 = 3.25
C= 100.11 = 4.75
Calcule A – B utilizando o complemento de 2.
2B = 2(11.01)
11.11100
1
10.11100
01.11
º11.11111
+
−
← maiordodígitosdenouse
ou pelo método prático
Observe que para representar o resultado foi
necessário um dígito a mais
EA-772 Circuitos Lógicos – Todas-Resumo 2S-2018, Professor: Bassani, JWM
22
Ndedeocomplement
Ndedeocomplement
N
211.11100
1
110.11100
01.00011
←
+
←
←
Agora a subtração (A-B = A+2B):
01.111010
11.11100
10.11101
+
B – C = B + 2C e B < C
5.110.1
1
01.000110.111050.1
11.10075.411.100
01.01125.301.011
−=
+
→−
−−−
Subtração usando complemento de 1
A – B = A + 1B e A > B
A= 11101.10 = 29.5
B= 11.01 = 3.25
C= 100.11 = 4.75
1(B)= 11100.10
01.11010
1
00.111010
10.11100
10.11101
+
+
B – C = B + 1C e B < C
Complemento de base
do módulo da
diferença
EA-772 Circuitos Lógicos – Todas-Resumo 2S-2018, Professor: Bassani, JWM
23
1C= 1(100.11)= 011.00
diferençadamódulodoocomplement←
+
01.110
00.011
01.011
Fazendo o complemento de 1 de 110.012: 001.102 = 1.510
Veja: -A – C = -29.510 – 4.7510 = - 34.2510
-A = -29.510 = 100010.01 + 1 = 100010.10 = 2A
-C = -4.7210= 111011.00 + 1 = 111011.01 = 2C
1025.3411.1011101
01.111011
10.100010
−←
+
( )
10
1
25.3401.0100010
1
11.101110100.0100010
←
+
←
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24
Aula 07.
Nesta aula fizemos uma breve revisão de conceitos dados na aula 06 e resolvemos mais exercícios de subtração usando complemento de base, em especial, base diminuída. Em seguida fizemos algumas multiplicações e uma divisão para mostrar que adição e subtração seriam suficientes para implementar as outras operações. A. Multiplicação Binária
0 x 0 = 0 0 x 1 = 0 1 x 0 = 0 1 x 1 = 1
Exemplo:
a) 1012 x 0112 = 510 x 310 = 1510
101501111
000
101
101
011
101
→
+
+
×
dorMultiplica
ndoMultiplica
b) 110.102 x 10.12= 6.510 x 2.510= 16.2510
1025.16010.10000
11010
00000
11010
1111
1.10
10.110
→
+
+
×
dorMultiplica
ndoMultiplica
EA-772 Circuitos Lógicos – Todas-Resumo 2S-2018, Professor: Bassani, JWM
25
B. Divisão Binária
resto
quociente
DivisorDividendo
→
→
001
11
00100
11
100000
11
00011
11
0100
000101.11111
1110.11010
Recordando módulo:
Dado __ __. __ base 10
Módulo = Máx +1 ⇒ 99.9 ?
Inteiro
Máx + 0.k1, onde k é o número de dígitos (“casas”) após o ponto da base.
0.100
1.0
9.99
+
Atenção: Por enquanto o conceito dado desta forma não será cobrado. Vamos voltar neste
assunto.
Bibliografia
-Bassani JWM.
Notas de aula – Circuitos Lógicos.
-Veja a lista de referencias indicadas na primeira aula
(Veja no site indicado para a disciplina o material didático e bibliografia indicada)
EA-772 Circuitos Lógicos – Todas-Resumo 2S-2018, Professor: Bassani, JWM
26
Aula 08.
Células Binárias Dados são representados de modo discreto nas máquinas computacionais.
t0 t1 t2 t4
t
F(t)
F0
F4
F1
F2
O que nós queremos são dispositivos que representem e armazenem os números F0...Fj na
base 2.
F0, F1, ..., Fj serão números binários, nos quais cada dígito é um dispositivo denominado célula
binária.
Cada F0, ..., Fj será representado por um “conjunto” de células binárias denominado de
registrador.
Célula Binária Ideal
1. Dispositivo com 2 estados: A e B;
2. Mudanças de estado ocorrem instantaneamente em t1, t2, ..., tj;
3. A medição resulta a se estado for A e b se o estado for B. Isso implica que a leitura não deve
perturbar (mudar) o estado da célula e não tem significado em t1, t2, ..., tj.
A função binária é fundamental para representar os dados nas máquinas computacionais.
a
b
A
B
t1 t2 t3 t4
F(t0)=F0
F(t1)=F1
F(t2)=F2
F(tj)= Fj
EA-772 Circuitos Lógicos – Todas-Resumo 2S-2018, Professor: Bassani, JWM
27
Na prática, as células binárias não são ideais. Veja o caso de uma célula binária real.
α1
α2
β1
β2
a
b
Dispositivos reais de medição absorvem energia.
Se ao final a medição não afetar o valor armazenado ela é chamada de não-destrutiva.
O intervalo de medição é importante e deve guardar relação com o tempo em cada
estado.
α1
α2
β1
β2
a
b
Medição ocorreu aqui
Vamos agora analisar um dispositivo que já foi por muito tempo a base das células binárias nos
computadores.
Núcleo magnético
Núcleos de ferrite
E1 E2 Estados
Os núcleos podem ser magnetizados e permanecer em dois estados, E1 ou E2, dependendo da
direção da magnetização. Isto pode ser conseguido pela passagem de corrente através do
dispositivo.
Saída
α1< a <α2
β1< b < β2
Ao passar corrente, a magnetização será E1 ou E2
dependendo da direção da corrente. A leitura do estado
é realizada da seguinte forma:
E1
EA-772 Circuitos Lógicos – Todas-Resumo 2S-2018, Professor: Bassani, JWM
28
Vamos assumir que no estado E1, como na figura acima (à esquerda), a corrente de leitura leve
a magnetização para E1 (o mesmo estado). Nos terminais de saída nada ocorrerá, tendo em
vista que o campo magnético permaneceu estático. A saída teria então indicado o estado E1=
0. Se, ao contrário, a magnetização fosse como abaixo, no estado E2, a mesma corrente de
leitura resultaria na mudança de direção de magnetização e isso faria surgir um pulso de
corrente na saída.
Note, contudo, que, após a leitura, a magnetização mudou, o que significa que a leitura teria
sido destrutiva. Para resolver isso, há no dispositivo a possibilidade de, ao se detectar o estado
1, aplicar corrente no sentido oposto ao de leitura e restaurar a condição original.
Registrador
Conjunto ordenado de células binárias.
C
c1 c2 ... cn
Cada ci(t) é definido em um conjunto binário. C armazena uma função vetorial do tempo. A
cada tj, C(tj)= c1(tj), c2(tj), cn(tj).
Exemplo
Seja C=[C1,C2]
C(t1)= [c1(t1), c2(t1)]
ci(t)= {a, b}
tj+k
Saída
E2
Poderíamos dizer então que E2 estaria no estado 1. Agora,
neste dispositivo binário, poderíamos armazenar dois
estados E1, E2, ou 0, 1.
Cada dígito binário (Binary Digit)
denomina-se bit.
ci(t)= a, b
a a a b b a b a
b b a b a b b b
tj
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29
a b
a
ba b
Representação dos números
Representação inteira
O valor decimal equivalente ao conteúdo do registrador é:
niccc i
n
i
in
i ,,1;1,02)(1
L===∑=
−δ
Para o caso
Se o sistema octal for usado, agrupamos as n células em grupos de K sub-registradores de 3
células:
RK-1 cn-5 cn-4 cn-3
RK cn-2 cn-1 cn
R1 c-2 c-1 c0
R2 c1 c2 c3
Octal )(,),(),( 21 KRRR δδδ L
Generalizando:
Qualquer parte de um registrador é um registrador.
Há ( )
2
1
2
−=
nnn registradores diferentes de 2 células.
121
−=
∑
=
nn
K K
n registradores diferentes de K células, incluindo o original de n células.
n=3
Os registradores armazenam representações dos
valores numéricos nas máquinas digitais.
Ponto binário à direita
23= 8, ou seja, número de 0 a 2n-1 (0 a 7)
1 0 1 1 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20= 4 + 0 + 1= (5)10
K= 2; n=3
Polinômio avaliado na base 10
EA-772 Circuitos Lógicos – Todas-Resumo 2S-2018, Professor: Bassani, JWM
30
Coeficiente binomial: ( )!!
!
KnK
n
K
n
−=
Função de registradores
R= f(D) Ri (i= 1, ..., n)
Isto define registradores dependentes e independentes.
Ri= (R1, ... , Rn) é função de D= (D1, ... , Dn)
Ri= 0 quando Di=1 Neste caso R é chamado de complemento de D
Ri= 1 quando Di= 0
Exemplo: R0= 0
Ri+1= Di i= 0, 1, 2, ... , n-1
Exemplo: Rx= f(C, D) Rxi= Ci + Di
Operações elementares com registradores
Exemplo
t R1 R2 R3 Operações
t0 011 110 000 Inicializar (start)
t1 011 110 110 R3 ← R2
t2 011 011 110 R2 ← R1
t3 001 011 110 R1 ← R1/2
t4 001 001 110 R2 ← 3R
t5 001 001 010 R3 ← R2+ R1
t6 001 001 010 Stop
D
R
3 2 1 0
Variável independente
Variável dependente
1 0 1 0 10
0 1 0 1 5
Máquinas digitais são essencialmente arranjos organizados de registradores
dependentes e independentes
EA-772 Circuitos Lógicos – Todas-Resumo 2S-2018, Professor: Bassani, JWM
31
Exemplo
t R1 R2 R3 A Operações
t0 011 110 000 0000 Inicializar (start)
t1 100 110 000 0000 R1 ← 1R
t2 101 110 000 0000 R1 ← R1 + 1
t3 101 110 000 0110 A ← R2
t4 101 110 000 1011 A ← A+ R1
t5 101 110 011 1011 R3 ← A
t6 101 110 011 1011 Stop
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32
Bibliografia
-Bassani JWM.
Notas de aula – Circuitos Lógicos.
-Veja a lista de referencias indicadas na primeira aula
(Veja no site indicado para a disciplina o material didático e bibliografia
EA-772 Circuitos Lógicos – Todas-Resumo 2S-2018, Professor: Bassani, JWM
33
Aula 10.
Álgebra Booleana
Sistemas algébricos
operadoresNOT
iáveisxxx n
→+•
→
,,
var,,, 21 K
{ } { }baVxxxV n
n ,:,,,: 21 →K , ou seja, se x1 ∈ Vn então x1 assume apenas dois estados (a, b)
e é denominado de variável booleana.
Álgebra booleana binária
{ } { }1,0:,,,: 21 BxxxV n
n →K
Função booleana binária
BVfn
b →:
( ) ( )nnb xxxExxxf ,,,,,, 2121 KK = e E é uma expressão booleana
Expressão booleana
( ) b
e
b
e
bb EEEE ∗=:
n
e
b xxzyxE ,...,,,,/1,0 1=
Exemplo: ( ) ( ) ( ) 1,,, ++•=+= zyxzyxfyxyxf bb
Definições:
• ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
nixtodopara
xExEexExfexExfondexfxf
i
iiiibiibibib
,,1,
, 21221121
K=
====
• 2121 EEfff bbb +≡+=
• 2121 EEfff bbb •≡•=
• Complemento de Eff bb == é booleana
• Dual de d
bb ff = obtida intercambiando 0s e 1s e • e +, e é booleana.
grau n
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34
Dualidade
Dados 11 bb Ef = e 22 bb Ef = , se d
b
d
bbb ffff 2121 =⇒=
Exemplo:
Sabemos: yxyx •=+
Então, se
yxfyxf
yxfyxf
d
bb
d
bb
+=→•=
•=→+=
22
11
e d
b
d
b ff 21 = , ou seja, yxyx +=• .
Avaliando fb
( ) ( ) yxyxfb •+= 1,
Construímos a tabela-verdade (vem da lógica proposicional):
x y ( )yxfb ,
0 0 0
0 1 1
1 0 0
1 1 1
( )yxfb , pode ser representada pela sua forma canônica ( ) yxyyxyxfc
b =+=,
Resumo dos postulados (Aula 09)
P0: Fechamento
P1: Operadores são comutativos
P2: Operadores são associativos
P3: Operadores são distributivos
P4: Elemento identidade: 1 para AND e 0 para OR
P5: Complemento: a ∗ a’ = elemento nulo!
Combinações
dos valores das
variáveis
válido para todo x e y
Veja: x y yx • yx +
0 0 1 1
0 1 0 0
1 0 0 0
1 1 0 0
Verdadeiro
Falso
( ) yyx =•+1
Soma de produtos
Mintermo Voltaremos a
esta questão
mais tarde!
EA-772 Circuitos Lógicos – Todas-Resumo 2S-2018, Professor: Bassani, JWM
35
Identidades (teoremas) Expressão Dual
T1 Elemento identidade a + 0= a a • 1=a
T2 Elemento nulo a + 1= 1 a • 0=0
T3 Idempotência a + a= a a • a=a
T4 Complemento a + a’= 1 a • a’=0
T5 Involução a = a
T6 Propriedade comutativa a + b= b + a a • b=b • a
T7 Propriedade associativa (a + b) + c= a + (b + c) (a • b) • c=a • (b • c)
T8 Propriedade distributiva a • (b + c)= ab + ac a+bc=(a+b) • (a+c)
T9 Cobertura a+ ab= a a • (a+b)=a
T10 Combinação ab + ab’ = a (a+b) • (a+b’)=a
T11 Consenso ab + a’c + bc = ab + a’c (a+b)• (a’+c) • (b+c)= (a+b) • (a’+c)
T12 De Morgan baba +=• baba •=+
T13 a + a’b= a + b a • (a’+b)= a• b
T14 (a’ + b’) • (a’ + b) = a’ (a’ • b’)+(a’• b)=a’
XOR ( ⊕ )
Equação
R1 a ⊕ 0 = a
R2 a ⊕ 1 = a’
R3 a ⊕ a = 0
R4 a ⊕ a’ = 1
R5 a ⊕ b ⊕ ab= a + b
R6 a ⊕ b = ab’ + a’b
Demonstração
T4. O complemento existe se for possível demonstrar a sua unicidade. Vamos supor que a ∈ V
e x e y sejam ambos complementos de a.
EA-772 Circuitos Lógicos – Todas-Resumo 2S-2018, Professor: Bassani, JWM
36
( )
yx
yxyIdentidadeyx
oComplementyx
Comutativayxxa
vaDistributiyxax
oComplementyax
yyidentidadeElementoxx
=⇒
•=•=
•+=
•+•=
•+•=
+•=
•=•=
0
11
M
T2. Va ∈∀ , a + 1 = 1 e a • 0 = 0.
( )
( ) ( )
.)..(1
0
11
1
11
dqc
aa
aaa
aaa
aaaaaa
aaa
a
=+
=++
=+++
=+++
=+•+
=•+
Bibliografia
-Bassani JWM. Notas de aula – Circuitos Lógicos. -Veja a lista de referencias indicadas na primeira aula (Veja no site indicado para a disciplina o material didático e bibliografia indicada)
Se a + 1 = 1 Va ∈∀ , então o
dual das equações continuam
iguais.
f1= a + 1 f1d= a • 0
f2= 1 f2d=0
00 =•∴a
EA-772 Circuitos Lógicos – Todas-Resumo 2S-2018, Professor: Bassani, JWM
37
Aula 11.
Demonstração de teoremas
T6. a + b = b + a a • b = b • a
(simetria) (simetria)
T9. a+ ab = a, ou seja, a “cobre” ab
a b ab a + ab
0 0 0 0
0 1 0 0
1 0 0 1
1 1 1 1
T12. ( ) baba •=+
( ) ( )
( ) 2
5
1
2
2
1
1
1
11
Rba
Rba
Pabba
Pbaab
Rbaba
+=
⊕+=
⊕⊕⊕=
⊕⊕⊕=
⊕•⊕=•
Exercício: baab += , sem usar De Morgan ou Dualidade.
Resolva em μs: y= ab + f1 + aa’c + cd’fg + abcd + a’b’ + e’ + cbd’ + (a+a’)
y=1
Algumas analogias com a teoria de conjuntos:
• 0 1
0 0 0
1 0 1
+ 0 1
0 0 1
1 1 1
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38
Demostrar:
T13. a + a’b = a + b; a(a’ + b)=ab (Para casa)
T14. ( ) ( ) ababa =+•+
( ) ( )
( )
( )
a
ba
baa
baba
abbaa
bbabbaaa
baba
=+⋅
=⋅+
=⋅++⋅
=+⋅+⋅+
=⋅+⋅+⋅+⋅
=+•+
1
1
0
T10. ab + ab’ = a
a (b + b’) =
a (1) =
a
T5. aa =
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39
a a
0 0
1 1
T1. a + 0 = a
( )
( ) ( )
a
a
aaa
aaaaaa
aaa
a
=+
=+
=+++
=+⋅+
=⋅+
0
00
0
10
Desenvolva: (ac) + (ab) = (ac + a) (ac + b)
a
aac + ab
ac + ab = a (c + b)
T11. ab + a’c + bc = ab + a’c
ab + a’c + bc (a + a’) =
ab + a’c + bca + bca’ =
a’c (1 + b) + ab (1 + c) =
a’c + ab
T8. a (b + c) = ab + ac
( )( )cba
bccba
abcacab
abacacab
+=
⊕⊕=
⊕⊕=
⊕⊕=
Demonstre que:
1. ( ) 0=+⋅ baa
( )( )
0
0 =⋅
=⋅⋅
=⋅⋅
b
baa
baa
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40
2. ( ) 1=⋅+ baa
( )( )
1
1 =+
=++
=++
b
baa
baa
3. ( ) babaa ⋅=+⋅
( )
ba
baa
baa
⋅
=⋅⋅
=⋅⋅
Qual o significado prático de:
F1 F2
cabacbcaba ⋅+⋅=⋅+⋅+⋅
O que isso quer dizer?
entradas
a b c s
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 0
1 1 0 1
1 1 1 1
“A única coisa que interfere com a minha aprendizagem é a minha educação. Educação é o que
resta depois de ter esquecido tudo o que se aprendeu na escola.”
A. Einstein
Bibliografia
-Bassani JWM. Notas de aula – Circuitos Lógicos. -Veja a lista de referencias indicadas na primeira aula (Veja no site indicado para a disciplina o material didático e bibliografia indicada)
F1
F2
Orçamento Unit ($) Total
• x 3 = 10 30 NOT x 1 = 5 5 + x 2 = 30 60 95
• x 2 = 10 20 NOT x 1 = 5 5 + x 1 = 30 30 Abatimento 55 de 42,1 %
EA-772 Circuitos Lógicos – Todas-Resumo 2S-2018, Professor: Bassani, JWM
41
Aula 13.
Circuitos e funções booleanas elementares
Blocos lógicos: representações das funções booleanas elementares
a
ba · b
a
ba + b a a’
Tabela verdade
Tabela que relaciona todas as combinações das entradas com o valor de saída, que é o
resultado da avaliação de uma função booleana.
F(a,b,c)= a’b c’ + a’bc + ab’c + abc
F(a,b,c)= a’b + ac
b’ ca’a b
a’b + ac
a b c x
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 1
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 1 1
a b x
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
a b x
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
entradas
saída 22= 4
23= 8
Trata-se da
especificação
do circuito a
ser construído
para resolver
um problema
específico!
EA-772 Circuitos Lógicos – Todas-Resumo 2S-2018, Professor: Bassani, JWM
42
ATENÇÃO
Qualquer função lógica da AB pode ser construída com os 3 blocos lógicos AND, OR e
NOT, também chamados de portas lógicas (logical gates).
Sentido físico para as portas e circuitos lógicos
Diagrama temporal e sinais com dois níveis lógicos:
t0 t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7
0
1a
0
1b
0
1a+b
0
1a·b
a
b
a
ba · b
a + b
Aplicação
FR
SaturaçãoO2
Freqüência respiratória
Comparador
Comparador
SO2
Alarme
SO2R
FRR
SO2bin
FRbin
EA-772 Circuitos Lógicos – Todas-Resumo 2S-2018, Professor: Bassani, JWM
43
Olhe!
x · 0 = 0
x
00
x · x = x
xx
x · x’ = 0
x0
x + x’ = 1
x1
Revendo os teoremas de De Morgan
( )
( ) yxyx
yxyx
+=⋅
⋅=+
Exercício para casa: Desenvolver ( ) ( ) DBCADBCA +=+⋅+
desenvolver aqui
Exercício para casa: Determine a funcão de saída e desenvolva usando De Morgan para chegar
em:
AB
CX
X= A’ + B’ + C
Exercício
Determine a forma de onda da saída para a função a·b.
EA-772 Circuitos Lógicos – Todas-Resumo 2S-2018, Professor: Bassani, JWM
44
a
b
x
a
bx
Portas NOR e NAND
NOR = NOT OR
a
b
(a + b)’ a
b
(a + b)’
NAND = NOT AND
a
b
(ab)’ a
b
(a b)’
Exercício: Implemente usando as portas NOR e NAND: ( )DCABx +⋅= .
C
D
(C + D)’
AB
( )DCAB +⋅
USANDO NOR:
A(A + A)’= A’ A A’
Inversor
A
B
A + BA
BA + B
OR
EA-772 Circuitos Lógicos – Todas-Resumo 2S-2018, Professor: Bassani, JWM
45
AA’
AB ANDB
B’
B
A(A’ + B’)’= AB
RESUMO (CONCLUSÃO): Podemos sintetizar qualquer circuito lógico apenas com portas NAND
e NOR!
INTERPRETAÇÃO
A
B
Ativo-baixo
Ativo-alto
(A B)’
A
B
Ativo-baixo
Ativo-altoA’+ B’
Implicação dos teoremas de De Morgan sobre os blocos lógicos:
x(x + y)’= x’y’
y
x’y’x
y
x’
y’
x
y
x’y’
x(xy)’= x’+y’
y
x’+y’x
y
x’
y’
x
y
x’+y’=
(xy)’
A saída vai para o nível baixo
quando todas as entradas forem
nível alto.
A saída vai para o nível alto
quando todas as entradas forem
nível baixo.
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46
Universalidade das portas NAND e NOR
A(AA)’= A’ A A’ Inversor
USANDO NAND:
A
B
ABA
BA B
AND
(AB)’
( )ABAB =
B’
( )BA
BA
+
=⋅
A
B
A’
BA+ B
OR
A
Exercício
Descrever NOR e NOR alternativo:
x(x + y)’= x’y’
y0
x
yx’y’=(x+y)’
Advertência ao piloto de um avião
P
Sensor de temperatura
Sensor de pressão
T
R
W
Sensor de RPM
A saída é nível baixo quando
qualquer entrada for nível alto. A saída é nível alto quando todas
as entradas forem nível baixo.
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47
T= 0 apenas quando temperatura < 93,3 °C
P= 0 apenas quando pressão < 1,33 N/m2
RPM= 0 apenas quando rotação < 4800 rpm
Questões:
a) Quais condições do motor indicam sinal de advertência?
b) Sintetize o circuito final.
Síntese com NANDS
P
R
T
Para casa:
Dado o circuito abaixo:
x
0B
C
zA
D
Ativa quando z
for 0
x
w w
y y y
Interprete o circuito e diga em que condição z= 0. Agora o que se pode fazer para garantir z≠ 0,
tendo em vista que você tem acesso apenas ao ponto x?
Bibliografia
-Bassani JWM. Notas de aula – Circuitos Lógicos. -Veja a lista de referencias indicadas na primeira aula (Veja no site indicado para a disciplina o material didático e bibliografia indicada)
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48
Aula 14.
Advertência ao piloto de um avião (Tocci e Widmer)
P
Sensor de temperatura
Sensor de pressão
T
R
W
Sensor de RPM
T= 0 apenas quando temperatura < 93,3 °C
P= 0 apenas quando pressão < 1,33 N/m2
RPM= 0 apenas quando rotação < 4800 rpm
Questões:
a) Quais condições do motor indicam sinal de advertência?
W é alto quando T ≥ 93,3 °C e P ≥ 1,33 N/m2 ou R < 4800 rpm.
b) Sintetize o circuito final.
Síntese com NANDS
P
R
T
EA-772 Circuitos Lógicos – Todas-Resumo 2S-2018, Professor: Bassani, JWM
49
Sua (seu) namorada (o) está dentro de uma caixa, equilibrando-se em uma corda bamba. Se a
corda for desconectada, ela (ele) cairá e será submetida (o) a um banho extra (Figura 1). A
trava que segura a corda é acionada por um circuito que você pôde tomar conhecimento
(Figura 2).
Após ter interpretado o circuito, você ficou sabendo que pode evitar que sua (seu) namorada
(o) tome o banho extra, permitindo tempo suficiente para a travessia completa na corda.
Porém, antes que as variáveis A, B, C e D (que você não tem acesso) criem condições para
ativar o destravamento da corda, você deveria fazer algo de posse apenas de uma fonte de +5
V e um alicate de corte. Você tem acesso apenas aos “jumpers” (a, b, c). Faça alguma coisa!
Corte o jumper c e ligue a fonte de +5 V na entrada da porta OR.
Funções booleanas e circuitos digitais
Circuitos digitais
Figura 1
Figura 2 jumper
Combinacionais ou combinatórios
(sem memória)
Seqüenciais
(com memória)
A saída depende apenas da
combinação atual das entradas
A saída depende das entradas atuais
e do estado interno do circuito
EA-772 Circuitos Lógicos – Todas-Resumo 2S-2018, Professor: Bassani, JWM
50
Circuitos combinatórios
Circuito lógico combinatório
a1
a2
an
.
.
.
s= f(a1, a2, a3)
Para construir o circuito combinatório partimos da especificação, que é a tabela verdade (TV).
TV
Pela TV: Linha 2: mintermo= x’·y·z’
maxtermo= x+ y’+ z
Linha 4: mintermo= x·y’·z’
maxtermo= x’+ y+ z
3. Soma canônica: soma lógica (OR) dos mintermos para as saídas iguais a 1;
4. Produto canônico: produto lógico (AND) dos maxtermos para as saídas iguais a 0.
Exemplo: Sc= fmin= x’y’z’ + x’y’z + x’yz’ + x’yz + xy’z + xyz’
Pc= fmax= (x’ + y + z) · (x’ + y’ + z’)
fmin = fmax
As combinações das entradas podem ser expressas em decimal. Assim, a especificação do
nosso exemplo fica:
f(x, y, z)≡ S(0, 1, 2, 3, 5, 6)
≡ P(4, 7)
linha x y z f
0 0 0 0 1
1 0 0 1 1
2 0 1 0 1
3 0 1 1 1
4 1 0 0 0
5 1 0 1 1
6 1 1 0 1
7 1 1 1 0
saída entradas
Definições:
1. Mintermo (AND): produto lógico das
variáveis de entrada, complementadas
se seu valor for zero;
2. Maxtermo (OR): soma lógica das
variáveis de entrada, complementadas
se seu valor for 1;
EA-772 Circuitos Lógicos – Todas-Resumo 2S-2018, Professor: Bassani, JWM
51
Exercício: Mostre que fmin = fmax para:
Desenvolvendo o lado direito de fmax:
(aa + ab’ + ba + bb’) · (a’ + b)
(a + ab’ + ba) · (a’ + b)
aa’ + ab + aa’b’ + ab’b + baa’ + bab
ab + ab
ab = fmin
5. Especificação na presença de don’t care:
Exemplo:
fs(x, y)= x’y + xy’ ← Considerando X= 1
fp(x, y)= (x + y) · (x’ + y’) · (x’ + y) ← Considerando X= 0
a b x
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
x y z f
0 0 0 0 0
1 0 0 1 1
2 0 1 0 0
3 0 1 1 1
4 1 0 0 X
5 1 0 1 0
6 1 1 0 X
7 1 1 1 0
x y s
0 0 0 0
1 0 1 1
2 1 0 X
3 1 1 0
fmin= ab
fmax= (a+b)·(a+b’)·(a’+b)
fmin(x, y, z)= S(1,3) + D(4,6)
fmax(x, y, z)= P(0,2,5,7) · D(4,6)
Don’t care
fmin(x, y, z)= S(1) + D(2)
fmax(x, y, z)= P(0,3) · D(2)
EA-772 Circuitos Lógicos – Todas-Resumo 2S-2018, Professor: Bassani, JWM
52
Exemplo:
Para casa: Fazer para X= 0.
6. Mapas de Veitch-Karnaugh (Mapas de Karnaugh – MK)
Mapeamento biunívoco da TV. Criados inicialmente por Edward Veitch (1952) e aperfeiçoados
pelo engenheiro de comunicações Maurice Karnaugh.
TV MK
00 01 11 10
0
1
1 0 0 1
1 1 1 0
0 2 6 4
1 3 7 5
Outras representações:
1
1
1 0
0 4
1 5
1 1
0 0
3 7
2 6
00
01
11
10
0
1
a’b’ a’b ab ab’
c’
c
1
A organização do MK é tal que as células adjacentes (vizinhas) diferem em apenas uma posição
binária.
a b f
0 0 1
0 1 X
1 0 1
1 1 0
a b c f
0 0 0 0 1
1 0 0 1 1
2 0 1 0 0
3 0 1 1 1
4 1 0 0 1
5 1 0 1 0
6 1 1 0 0
7 1 1 1 1
Para X= 1:
fmin(a, b)= a’b’+ab’+a’b= S(0,2) + D(1)
fmax(a, b)= a’+b’= P(3)
EA-772 Circuitos Lógicos – Todas-Resumo 2S-2018, Professor: Bassani, JWM
53
a’b’ a’b ab ab’
c’
c
11
7. Definição: As células vizinhas podem caracterizar subcubos de ordem 2n. Uma célula do
mapa é um subcubo de ordem 20= 1. As células dos subcubos podem ser combinadas
formando um novo mintermo.
00 01 11 10
0
1
1 0 0 1
1 1 1 0
Simplificação de funções booleanas usando MK
1. Juntar células adjacentes em subcubos de ordem 2n= 1, 2, 4, ...;
2. Criar tantos subcubos quantos necessários para “cobrir” toda a função;
3. É um implicante primo da função o subcubo que não estiver contido em outro de ordem
maior;
4. Extrair a função canônica mínima pela soma lógica de todos os mintermos (implicantes
primos);
Exemplos:
00 01 11 10
0
1 1
1
1 1
abc’
ab’c’
ab’c’ + abc’= ac’ (b’+ b)= ac’
são os termos da função
subcubo de ordem zero (20=1)
subcubo de ordem 1 (21=2)
a’b ≡ a’bc’ + a’bc ≡ a’b(c’+c)
ac ≡ abc + ab’c ≡ ac (b+b’)
F= a’b + ac
Como descobrir esta
combinação
“automaticamente”?
EA-772 Circuitos Lógicos – Todas-Resumo 2S-2018, Professor: Bassani, JWM
54
5. Fmin= ∑ implicantes primos
Mais exemplos:
00 01 11 10
00
01 1 1
1 111
10
00 01 11 10
00
01 1 1
1 111
10
1
1
00 01 11 10
00
01 1 1
11
10 11
00 01 11 10
00
01 1 1
1 111
10
1
1
1
1
F= bd
F= a’bd’ + bd
F= bc’d + b’cd’
F= d
EA-772 Circuitos Lógicos – Todas-Resumo 2S-2018, Professor: Bassani, JWM
55
00 01 11 10
00
01
1 111
10
11
00 01 11 10
0
1
1111
11 1
00 01 11 10
00
01 1 1
1 111
10 1
1
primo
primo primo
não é implicante primo
00 01 11 10
00
01
1 1
11
10
11
Exercícios para casa:
a’bc’d + bd =
= bd(a’c’+1)= bd
F= cd
F= a’ + c’ + b
F= abc + bd + ab’c’d’
F= b’d’
EA-772 Circuitos Lógicos – Todas-Resumo 2S-2018, Professor: Bassani, JWM
56
1. Dada a TV, fazer o MK e obter a função mínima:
00 01 11 10
0
1
1000
11 1 0
2. Dada a TV
00 01 11 10
0
1
0111
X1 1 0
E se não houver o don’t care? Assuma que X= 0 e resolva novamente. No caso anterior, a
existência do don’t care possibilitou assumir X=1 e melhorar a simplificação.
00 01 11 10
0
1
0111
01 1 0
Bibliografia
-Bassani JWM. Notas de aula – Circuitos Lógicos. -Veja a lista de referencias indicadas na primeira aula (Veja no site indicado para a disciplina o material didático e bibliografia indicada)
a b c x
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 1
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 1
a b c liga
0 0 0 1
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 X
1 0 0 0
1 0 1 0
1 1 0 1
1 1 1 1
Fmin= a’c + bc + ab’c’
F= a’ + b
Fmin= a’b’ + ab + a’c’
EA-772 Circuitos Lógicos – Todas-Resumo 2S-2018, Professor: Bassani, JWM
57
Aula 16.
Método de Quine-McCluskey
Trata-se de um método para simplificação aritmética de circuitos lógicos. Os produtos
fundamentais serão representados assim: w’xy’z = 0101.
Vamos simplificar a função:
F(v,w,x,y,z)= S (0,2,4,6,7,8,10,11,12,13,14,16,18,19,29,30)
ETAPA 1
Passo 1: Listar as linhas para as quais a saída é 1, ordenadas pelo número de 1’s.
# 1’s Produto v w x y z Marca
0 (0) 0 0 0 0 0 �
1 (2) 0 0 0 1 0 �
1 (4) 0 0 1 0 0 �
1 (8) 0 1 0 0 0 �
1 (16) 1 0 0 0 0 �
2 (6) 0 0 1 1 0 �
2 (10) 0 1 0 1 0 �
2 (12) 0 1 1 0 0 �
2 (18) 1 0 0 1 0 �
3 (7) 0 0 1 1 1 �
3 (11) 0 1 0 1 1 �
3 (13) 0 1 1 0 1 �
3 (14) 0 1 1 1 0 �
3 (19) 1 0 0 1 1 �
4 (29) 1 1 1 0 1 �
4 (30) 1 1 1 1 0 �
EA-772 Circuitos Lógicos – Todas-Resumo 2S-2018, Professor: Bassani, JWM
58
A marca será colocada à medida que o Passo 2 é executado.
Passo 2: Comparar cada par de caracteres para ver se diferem apenas em uma variável, e
combiná-los pelo teorema xy + xy’ = x.
Mintermo v w x y z Marca
(0,2) 0 0 0 -- 0 �
(0,4) 0 0 -- 0 0 �
(0,8) 0 -- 0 0 0 �
(0,16) -- 0 0 0 0 �
(2,6) 0 0 -- 1 0 �
(2,10) 0 -- 0 1 0 �
(2,18) -- 0 0 1 0 �
(4,6) 0 0 1 -- 0 �
(4,12) 0 -- 1 0 0 �
(8,10) 0 1 0 -- 0 �
(8,12) 0 1 -- 0 0 �
(16,18) 1 0 0 -- 0 �
(6,7) 0 0 1 1 --
(10,11) 0 1 0 1 --
(10,14) 0 1 -- 1 0 �
(12,13) 0 1 1 0 --
(12,14) 0 1 1 -- 0 �
(18,19) 1 0 0 1 --
(13,29) -- 1 1 0 1
(14,30) -- 1 1 1 0
Exemplo de aplicação de xy + xy’ = x: (0) 0 0 0 0 0
(2) 0 0 0 1 0
Se tentar combinar e já
existir o produto, marque
assim mesmo!
EA-772 Circuitos Lógicos – Todas-Resumo 2S-2018, Professor: Bassani, JWM
59
(0,2) 0 0 0 – 0
Passo 3: Nova comparação entre mintermos
Mintermo v w x y z Marca
(0,2,4,6) 0 0 -- -- 0 �
(0,2,8,10) 0 -- 0 -- 0 �
(0,2,16,18) -- 0 0 -- 0
(0,4,8,12) 0 -- -- 0 0 �
(2,6,10,14) 0 -- -- 1 0 �
(4,6,12,14) 0 -- 1 -- 0 �
(8,10,12,14) 0 1 -- -- 0 �
Passo 4: Nova comparação
Mintermo v w x y z Marca
(0,2,4,6,8,10,12,14) 0 -- -- -- 0
Resultado das Etapas: Os produtos não marcados são os implicantes primos (Prime Implicants)
da função!
F(v,w,x,y,z)= (0,2,4,6,8,10,12,14) + (0,2,16,18) + (14,30) + (13,28) +(18,19) +(12,13) +(10,11)
+(6,7)
Mas esta ainda não é a função mínima! Vamos para a ETAPA 2.
Preste atenção para
existência de apenas uma
variável diferente!
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60
ETAPA 2 – Cobertura dos mintermos
PI Produto Mintermos
v w x y z 0 2 4 6 7 8 10 11 12 13 14 16 18 19 29 30
(0,2,4,6,8,10,12,14) 0 - - - 0 x x x x x x x x ←
(0,2,16,18) - 0 0 - 0 x x x x ←
(14,30) - 1 1 1 0 x x ←
(13,29) - 1 1 0 1 x x ←
(18,19) 1 0 0 1 - x x ←
(12,13) 0 1 1 0 - x x ∗
(10,11) 0 1 0 1 - x x ←
(6,7) 0 0 1 1 - x x ←
* - Não essencial
← - Essencial
Um PI (Prime Implicant) que tem mintermo coberto apenas por ele é essencial.
F(v,w,x,y,z)min= v’z’ + w’x’z’ + wxyz’ + wxy’z + vw’x’y+ v’wx’y + v’w’xy
Bibliografia
-Bassani JWM. Notas de aula – Circuitos Lógicos. -Veja a lista de referencias indicadas na primeira aula (Veja no site indicado para a disciplina o material didático e bibliografia indicada)
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61
Aula 18. Aplicações dos circuitos lógicos
1. Circuitos aritméticos
Adição- Half adder
Ai Bi Soma T (transporte ou “vai um”)
0 0 0 0
0 1 1 0
1 0 1 0
1 1 0 1
Soma= Ai’Bi + AiBi’= Ai ⊕ Bi
Ai
BiSi
T
Somador completo- Full adder
S
Ai B i
S0
Sc
A0 B0
S0
T0
T1
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62
00 01 11 10
0
1
1010
01 1 0
Si
Si= Ai’BiTi’ + AiBi’Ti’ + Ai’Bi’Ti + AiBiTi
00 01 11 10
0
1
010
10 1 1
Ti+1
0
Ti+1= AiBi + BiTi + AiTi
( ) ( )( ) ( )
( )
iiiiiii
iii
i
iiii
iiiiii
iiiiiiiiii
iiiiiiiiiiiii
TATBBAT
TBA
xA
TBxondexAxA
TBATBA
TBTBATBTBA
TBATBATBATBAS
⋅+⋅+⋅=
⊕⊕=
⊕=
⊕=⋅+⋅=
⊕⋅+⊕⋅=
⋅+⋅+⋅+⋅⋅=
⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=
+1
,
Ai Bi Ti Si Ti+1
0 0 0 0 0
0 0 1 1 0
0 1 0 1 0
0 1 1 0 1
1 0 0 1 0
1 0 1 0 1
1 1 0 0 1
1 1 1 1 1
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63
Ai Bi
Si
Ti
Ti+1
Outra forma de representar o somador de 4 bits:
S
X0 X1 X2 X3 Y0 Y1 Y2 Y3
S0 S1 S2 S3
VE
VA
2. Circuito Decodificador
SC
X0 Y0
S 0
VA
SC
X1 Y1
S 1
SC
X2 Y2
S 2
SC
X3 Y3
S 3
VA= V E
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64
Representação:
.
.
.
.
.
.
n entradas
S0
S1
Sm
2n
saídas
DEC
Aplicação:
B0 B1
0123
15
0 1
B00
B01
B10
B11
0
1
A0
A1
30
...
1510
DEC
Registrador A
B(0,0), onde o 1º elemento é a linha e o 2º é a coluna
B(1,1)
B(1,0)
0
0
1
1
0
0
0
10
1
R0 R1 R2 S0 S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0
1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0
1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1
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65
3. Porta de seleção – Multiplexador
MUX
E1 E2
E1/S
E2/S
S
Siga o exemplo com os valores A e B na entrada e E1= 1, E2= 0.
Exemplo:
E2 (0) E1(0) E2 (1) E 1(1)
A B B A
E1=1
E2=0
B A
S(0) S(1)
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66
4. Porta de distribuição – Demultiplexação- DEMUX
DEMUX
S1 S2
E/S0
E/S1
E(0) E(1)A B
E/S0=0
E/S1=1
S0(0) S0(1) S1(1)S1(0)
A A B B
B0A0
Coloque o valor A e B na entrada e distribua de modo que A e B apareçam na porta S1. Basta
fazer E/S1= 1 e E/S2= 0. Assim, S1(0)= A e S1(1) = B.
Exemplo: Explique a atividade do circuito lógico abaixo.
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67
Bibliografia
-Bassani JWM. Notas de aula – Circuitos Lógicos. -Veja a lista de referencias indicadas na primeira aula (Veja no site indicado para a disciplina o material didático e bibliografia indicada)
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68
Aula 19.
Circuitos Seqüenciais: A saída é função das entradas e do estado dos elementos de memória
(de 1 a p).
Circuito lógico
combinacional
x1
xn
.
.
.
z1
zn
.
.
.
.
.
.
1
p
Células binárias Flip-Flops
Flip-Flop RS (Reset-Set)
(Latch NAND)
Q
Q’
S’
R’
R’ S’ Q Q’
0 0 1 1
0 1 0 1
1 0 1 0
1 1 inativo
R’
S’
Q’
Q
Isto quer dizer
S’ e R’: o circuito é ativado quando
S= 0
Proibido
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69
R’
S’
Q’
Q1
0
01
1 0 0
1
Reset Q= 0Q’= 1
R’
S’
Q’
Q0
1
11
00 1
0
Estabiliza em Q= 1 (set) e Q’= 0
0
1
R’
S’
Q’
Q1
1
0
10
1
Inativo
1
0
R’
S’
Q’
Q0
0
10
0 11 1
1
Estabiliza em Q= 1 (set) e Q’= 1 (Proibido dado que Q ≠ Q’)1
1
R’
S’
Q’
Q0 1
1 0
0 1
1 00
11
0
S’
R ’
Q
Q’
0
1
t0 t1
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70
Representação esquemática
Q
R ’
S’
1 2 3 4 5 6 7 8
Set
Reset
Questões
1. Qual é o estado normal de repouso (equilíbrio) das entradas S’ e R’? Qual é o estado
ativo de cada entrada?
2. Quais são as entradas Q e Q’ após o FF ter sido reseted?
3. Verdadeiro ou falso: a entrada ser nunca pode ser usada para levar Q para 0.
4. Quando o FF é energizado é impossível determinar os estados Q e Q’. O que pode ser
feito para que o “latch” NAND sempre seja inicializado no estado Q= 1?
FF
S Q
Q’R
Ativo baixo
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71
Latch NOR
Q’
Q
S
R
S Q
Q’R
Q
R
S
1 2 3 4 5 6 7 8
R’ S’ Q Q’
0 0 Não se altera
0 1 0 1
1 0 1 0
1 1 0 0 Proibido
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72
1. Se há luz, o transistor está conduzindo e V0= 0, ou seja, S= 0 e, portanto, S=R= 0
inalterado com Q=0;
2. Quando a luz é interrompida, o transistor corta.
S=1 e Q→ 1 Alarme soa até que um reset seja feito pela chave!
Bibliografia
-Bassani JWM. Notas de aula – Circuitos Lógicos. -Veja a lista de referencias indicadas na primeira aula (Veja no site indicado para a disciplina o material didático e bibliografia indicada)
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73
Aula 21.
Flip-Flop RS com controle
S
R
Detector de bordaclock
Detector de borda Direcionador depulsos
Latch NAND
S R Clock Q
0 0 ↑ Não muda
0 1 ↑ 0
1 0 ↑ 1
1 1 ↑ Proibido
S
R
CLK
Q
Detector de borda
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74
CC*
C’
C
C’
C*
Sensível à borda desubida
CC*
C’
C
C’
C*
Sensível à borda dedescida
Simbologia
S
R
Q
Q’
S R CLK Q
0 0 ↓ Q=Q0 (Não muda)
0 1 ↓ 0
1 0 ↓ 1
1 1 ↓ Proibido
S
R
Q
Q’
S R CLK Q
0 0 ↑ Q=Q0 (Não muda)
0 1 ↑ 0
1 0 ↑ 1
1 1 ↑ Proibido
Sensível à borda de descida
Sensível à borda de subida
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75
Flip-Flop D
Dado
CLK
Q
Q’
CLK= 0 CLK= 1
D Q Q’ Q Q’
0 anterior 0 1
1 anterior 1 0
CLK
D
Q
RESUMO
CLK= ENABLE. Não é sensível à borda. Enquanto ENABLE= 1, Q é a cópia do Dado. Se ENABLE=
0, Q não de altera para qualquer Q. Também é chamado de latch transparente.
Pode também ser sensível à borda.
CLK
Dado
Q
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76
Aplicação
X Q1=X
Y Q2=Y
Z Q3=Z
Circuitológicocombinatório
Transferência paralela de dados
Na borda de descida do clock!
D
D
D
Simbologia
D Q
Q’
D Q
Q’
EN
EN=ENABLE
Sensível à borda de subida Sensível à nível
Entradas assíncronas
São entradas não sinalizadas pelo clock geral. São também chamadas de entradas de
sobreposição. Qualquer que seja a saída Q, as entradas PRESET e CLEAR levam Q para o
estado indicado na tabela.
J Q
Q’K
PRESET
CLEAR
PRESET CLEAR Q
0 0 Não muda
0 1 Q= 1
1 0 Q= 0
1 1 Q responde a J, K e CLK
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77
Flip-Flop JK
J
↑CLK
Q
Q’K
JQ’
KQ
Flip-Flop JK Master-Slave
Q
Q’
A
B
CLK
J
K
O JK tem problemas. Quando CLK= 1, se J e K se alteram, a saída também irá se alterar. Para
resolver este problema, foi desenvolvido o flip-flop acima (JK mestre-escravo, ou master-
slave). Neste caso, quando CLK= 0, J e K podem variar que a saída não se altera, dado que S e R
(A e B) não se alteram. Quando o clock for para o valor 1, o escravo copia o mestre.
Simbologia
FF
Controle
FFEntrada
M S
J K Qf
0 0 Qa
0 1 0
1 0 1
1 1 aQ
Master Slave
A saída só muda depois que a entrada ficar
insensível.
Controle= 1 → Master muda em função da
entrada.
Quando CLK= 0, o slave copia o master.
(Lento!)
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78
Bibliografia
-Bassani JWM. Notas de aula – Circuitos Lógicos. -Veja a lista de referencias indicadas na primeira aula (Veja no site indicado para a disciplina o material didático e bibliografia indicada)
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79
Aula 24.
Generalizando: contador que parta do zero e seja mod X.
A. Determinte o número de flip-flops (FFs) de forma que 2N≥ X e conecte-os como um contador
(J= K= 1). Se 2N= X, esqueça os passos B e C.
B. Conecte a saída de uma porta NAND às entradas assíncronas CLEAR de todos os FFs.
C. Determine quais FFs estarão em nível alto na contagem igual a X, então conecte as saídas
destes FFs às entradas da porta NAND.
Exemplo
Construa um contador mod 10 (década). Se a contagem for na ordem numérica é também
chamado de contador BCS.
Uso de um circuito integrado pronto: 74LS293
Vejam o detalhe do componente retirado do Datasheet da Motorola:
74LS293
12 13 17 8 4 5 9
14
+Vcc
Q3 Q 2 Q1Q0
LSB
MSB f= 10kHz/16= 625 Hz
MR2 MR1
Clock dos FFs
0CP
1CP
MR1= MR2= 0Estados do NAND
10 kHz
10
11
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80
Contadores assíncronos decrescentes
A J
KA’
B J
KB’
C J
KC’
J= K= 1
B’
B
CLK
A
A’
C’
C
PROBLEMA
Atrasos de propagação:
Tclock≥ N · tpd_total, onde N corresponde ao número de FFs e tpd_total ao atraso de propagação
fmax= 1/ (N· tpd)
Digamos que tpd= 50 ns:
Mod 16 → 4 FFs
fmax= 1/(4·50 ns)= 1/(200 ns)= 5 MHz
A porta NAND introduz um atraso de ~20 ns. Se o contador for síncrono, fmax seria bem maior
(~15 MHz). Por que não 20 MHz?
Diagrama de estados para o contador assíncrono mod 6.
C B A
7 1 1 1
6 1 1 0
5 1 0 1
4 1 0 0
3 0 1 1
2 0 1 0
1 0 0 1
0 0 0 0
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81
111000
001
010
011100
110
101
A J
K
B J
B
C J
K
J= K= 122
21 20
LED acende quando
o FF estiver no nível ALTO
K
C
+5 V
On
+5 V
“1”
Transitório
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82
Contadores síncronos (Paralelos)
A J
K
B J
AB
C J
K
1
K
CLK
D J
K 1
AB
C
ABC
A
B
A. Todos os clocks ligados a um único clock de entrada;
B. Apenas FFA (LSB) tem J= K= 1. As entradas J e K dos FFs são acionadas por um AND das
saídas dos FFs anteriores;
C. Requer circuito maior que o assíncrono.
Assíncrono: 4 FFs, tpd≈ 4·50 ns= 200 ns ∴fmax= 1/200ns = 5 MHz
Síncrono: 4 FFs + 1 NAND
tpd≈ 50 ns + 20 ns= 70 ns
fmax= 1/70ns = 14,3 MHz
Máquinas de estados finitos
São estruturas matemáticas definidas por uma 6-upla:
(S, ∑, λ, T, G, Start), onde S corresponde a um número finito de estados, ∑ é o alfabeto de
entrada, λ é o alfabeto de saída, T corresponde à função de transição e G à função de saída, e,
por fim, Start é o estado inicial da máquina.
Duas classes principais: Mealy e Moore
Máquina de Mealy
Q(t+1)= f(Q(t), x(t))
z(t)= g(Q(t), x(t))
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83
Q0
Q2Q1
Q3
Máquina de Moore
Q(t+1)= f(Q(t), x(t))
z(t)= g(Q(t))
Q0/0
Q2/0
Q4/1
Q1/0
Q3/00,1
1
0
1
0
0
1
PROJETO
J K Qn
0 0 Qa
0 1 0
1 0 1
1 1 Qa’
Qa Qn J K
0 → 0 0 x
0 → 1 1 x
1 → 0 x 1
1 → 1 x 0
Quantos FFs?
2 ←(Q1Q0)
TEM QUE SABER
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84
00 01 11 10
0
1
x00
10 x
J1
00 01 11 10
0
1
1x
xx 1
K1
x
J1= Q1’ · Q0· x
K1= Q0’
00 01 11 10
0
1
1x0
x1 0
J0
J0= Q1 · Q0’· x’ + Q1’· x
00 01 11 10
0
1
x1x
1x x
K0
K0= Q1’
00 01 11 10
0
1
000
11 1
z
z= Q1’ · x + Q0’ · x = x(Q1’ + Q0’)
x Q1 Q0 Q1 Q0 z
0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 1 0
0 1 1
1 0 0 0 1 1
1 0 1 1 0 1
1 1 0 0 0 1
1 1 1
J1 K1 J0 K0
0 x 0 x
0 x x 1
x 1 1 x
0 x 1 x
1 x x 1
x 1 0 x
Qa
Entrada
Qn
Saída
Tabela verdade
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85
J1 Q1
Q1’K1
J0 Q0
Q0’K0
CLK
z
Q0
Q1’
x
xQ0’Q1
x
Q1’
Q1’x
Bibliografia
-Bassani JWM. Notas de aula – Circuitos Lógicos. -Veja a lista de referencias indicadas na primeira aula (Veja no site indicado para a disciplina o material didático e bibliografia indicada)
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86
Aula 25.
Projetar a seguinte máquina de estados
00 01 10 11
RESET
0,1 0,1 0,1
0,1
Q1 Q0 x Q1 Q0 z1 z0 J1 K1 J0 K0
0 0 0 0 1 0 1 0 x 1 x
0 1 0 1 0 1 0 1 x x 1
1 0 0 1 1 1 1 x 0 1 x
1 1 0 0 0 0 0 x 1 x 1
0 0 1 0 1 0 1 0 x 1 x
0 1 1 1 0 1 0 1 x x 1
1 0 1 1 1 1 1 x 0 1 x
1 1 1 0 0 0 0 x 1 x 1
a n
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87
00 01 11 10
0
1
x10
10 x
00 01 11 10
0
1
1x1
x1 1
x
J1= Q0
J0= 1
00 01 11 10
0
1
0x0
xx 0
K1= Q0
00 01 11 10
0
1
x1x
1x x
K0= 1
x
x
1
1
x
x
1
1
00 01 11 10
0
1
110
10 1
z1= Q1’ · Q0 + Q1 · Q0’
0
0
00 01 11 10
0
0
z0= Q0’
0
0
1
11
0
1
1
1
Circuito
J1 Q1
Q1’K1
J0 Q0
Q0’K0
CLK
Q1’
Q0
1
Códigos
Decimal codificado em binário (BCD, binary coded decimal). Conjunto de dígitos
binários tratados como decimais. O mais usado é o 8421 (1001≡ 9; 0001≡ 1).
(243)10 em BCD: 0010 0100 0011
2 4 3
BCDs podem ser pesados ou não!
Exemplo: 8421 ∑=
4
1i
ii wc , onde ci= dígito binário e wi= peso
Usando apenas número positivo para peso, há 17 BCD pesados com 4 dígitos wi> 0.
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88
w1 w2 w3 w4
2 4 2 1
0 0 0 0 0
1 0 0 0 1
2 1 0 0 0 --------------- 0 0 1 0
3 0 0 1 1 -------------- 1 0 0 1
4 0 1 0 0 -------------- 1 0 1 0
5 1 0 1 1 -------------- 0 1 0 1
6 1 1 0 0 -------------- 0 1 1 0
7 0 1 1 1 -------------- 1 1 0 1
8 1 1 1 0
9 1 1 1 1
Apenas o 8421 apresenta unicidade!
w1 w2 w3 w4
7 4 2 1
0 0 0 0 0
1 0 0 0 1
2 0 0 1 0
3 0 0 1 1
4 0 1 0 0
5 0 1 0 1
6 0 1 1 0
7 1 0 0 0 -------------- 0 1 1 1
8 1 0 0 1
9 1 0 1 0
Ausência de unicidade
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89
Podemos trabalhar com pesos negativos:
Dos 71 códigos deste tipo, 21 apresentam unicidade!
Código Complementar
w1 w2 w3 w4
8 6 -4 1
0 0 0 0 0
1 0 0 0 1
2 0 1 1 0
8 4 -2 -1
0 0 0 0 0
1 0 1 1 1 ¬1 : 1000= 8
2 0 1 1 0 ¬2 : 1001=7
3 0 1 0 1
4 0 1 0 0
5 1 0 1 1
6 1 0 1 0 ¬6 : 0101= 3
7 1 0 0 1
8 1 0 0 0
9 1 1 1 1
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90
Complementar não-ponderedo
Excesso de 3
Código refletido
0 00 000 0000
1 01 001 0001
11 011 0011
10 010 0010
110 0110
111 0111
101 0101
100 0100
1100
1101
1111
1110
1010
1011
1001
1000
0 0 0 1 1
1 0 1 0 0 ¬1 : 1011= 8
2 0 1 0 1
EA-772 Circuitos Lógicos – Todas-Resumo 2S-2018, Professor: Bassani, JWM
91
Conversor de códigos
Código A Código B
00 00
01 00 b1=a1·a2’
10 11 b2=a1·a2’ + a1·a2
11 01
a1a2 b1b2
a1 a2 a1'
b2
a2'
b1
Demonstre que:
ímparforxdensexxxx
parforxdensexxx
º
º0
=⊕⊕⊕
=⊕⊕⊕
L
L
a) 0=⊕ xx
xxxxxxx =⊕=⊕⊕∴=⊕ 00
b) xxxx =⊕⊕
00 =⊕=⊕⊕⊕∴=⊕ xxxxxxxx
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92
Circuitos de paridade
n entradas e 1 saída que é 1 ou 0 dependendo da paridade (nº de bits iguais a 1)
a
b
c
d
e
dcbae ⊕⊕⊕=
Bibliografia
-Bassani JWM. Notas de aula – Circuitos Lógicos. -Veja a lista de referencias indicadas na primeira aula (Veja no site indicado para a disciplina o material didático e bibliografia indicada)
a 10
b
c
d
11
10
01
01
1110
Se nº de 1’s for par, a saída será 0. Se for ímpar, a saída será 1.
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93
Aula 26.
Projeto de registradores síncronos
Contador em anel
Transição de estados usando FF JK
J K Qn
0 0 Qa
0 1 0
1 0 1
1 1 Qa'
Q3 Q2 Q1 Q0
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
Qi Qi+1 J K
0 0 0 x
0 1 1 x
1 0 x 1
1 1 x 0
Q3 Q2 Q1 Q0 J3 K3 J2 K2 J1 K1 J0 K0
0 0 0 1 0 x 0 x 1 x x 1
0 0 1 0 0 x 1 x x 1 0 x
0 1 0 0 1 x x 1 0 x 0 x
1 0 0 0 x 1 0 x 0 x 1 x
EA-772 Circuitos Lógicos – Todas-Resumo 2S-2018, Professor: Bassani, JWM
94
00 01 11 10
00
01
x1
0
J3
11
10 0
00 01 11 10
00
01
0x
0
J2
11
10 1
00 01 11 10
00
01
00
1
J1
11
10 x
00 01 11 10
00
01
10
x
J0
11
10 0
00 01 11 10
00
01
1x
x
K3
11
10 x
00 01 11 10
00
01
x1
x
K2
11
10 x
00 01 11 10
00
01
xx
x
K1
11
10 1
00 01 11 10
00
01
xx
1
K0
11
10 x
J3= Q2 J2= Q1 J1= Q0 J0= Q3
K3= 1 ou Q1' K2= 1 ou Q1' K1= 1 ou Q1 K0= 1 ou Q1'
J3 Q3
K3
J2 Q2
K21
J1 Q1
K1
J0 Q0
K0
Q3 Q2 Q1 Q0
CLK
Projeto do contador em anel usando FF D
Q3 Q2 Q1 Q0 D3 D2 D1 D0
0 0 0 1 0 0 1 0
0 0 1 0 0 1 0 0
0 1 0 0 1 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 1
EA-772 Circuitos Lógicos – Todas-Resumo 2S-2018, Professor: Bassani, JWM
95
00 01 11 10
00
01
01
0
D3
11
10 0
00 01 11 10
00
01
00
0
D2
11
10 1
00 01 11 10
00
01
00
1
D1
11
10 0
00 01 11 10
00
01
10
0
D0
11
10 0
D3= Q2 D2= Q1 D1= Q0 D0= Q3
D3 Q3 D2 Q2 D1 Q1 J0 Q0
Q3 (MSB) Q2 Q1 Q0 (MSB)
CLK
ou
D0 Q0 D1 Q1 D2 Q2 D3 Q3
Q0 (LSB) Q1 Q2 Q3 (MSB)
CLK
Máquinas de estados finitos
As MEF são definidas por uma 6-upla:
(S, Σ, λ, T, G, Start)
Número finito de estados
Alfabeto de entrada
Alfabeto de saída
Estado inicial
Função de transição Função de
saída
EA-772 Circuitos Lógicos – Todas-Resumo 2S-2018, Professor: Bassani, JWM
96
Diagrama de estados- grafo orientado no qual cada estado da máquina corresponde a um dos
nós. De cada nó emanam p arcos orientados, correspondentes às transições de estados
causadas pela ocorrência da entrada. O arco é rotulado com a entrada que determina aquela
transição e com a saída gerada nas máquinas determinísticas ou markovianas.
A) Q(t+1) = f[Q(t), x(t)], onde f é a função de transição de estados (T). O valor da saída z(t)
é função do estado presente Q(t) e, muitas vezes, das entradas presentes x(t).
B) z(t)= g[Q(t)]
C) z(t)= g[Q(t), x(t)]
Máquinas que seguem A e B são chamadas de máquinas de Moore e as que seguem A e C são
chamadas de máquinas de Mealy.
Exemplo de máquina de Moore
Q0/0
Q2/0
Q4/1
Q1/0
Q3/00,1
1
0
1
0
0
1
( ) [ ][ ]
=
++
)()(
)(),(1
tQgtz
txtQftQ
Q (t) x=1 x=0 z(t)
Q0 Q1 Q2 0 0
Q1 Q2 Q3 0 0
Q2 Q2 Q2 0 0
Q3 Q4 Q2 1 0
Q4 Q2 Q2 0 0
EA-772 Circuitos Lógicos – Todas-Resumo 2S-2018, Professor: Bassani, JWM
97
Exemplo de máquina de Mealy
Q0
Q3Q1
Q2
Projeto
00
1001
0/0
1/1
0/0
1/11/1
Q (t) x=1 x=0
Q0 Q1/0 Q3/1
Q1 Q2/0 Q0/1
Q2 Q3/0 Q1/1
Q3 Q0/0 Q2/1
Qi Qi+1 J K
0 0 0 x
0 1 1 x
1 0 x 1
1 1 x 0
J K Qn
0 0 Qa
0 1 0
1 0 1
1 1 Qa'
entrada
saída
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98
00 01 11 10
0
1
x00
0 1
00 01 11 10
0
1
1x
x x
x
J1= Q1' Q0 x
K1= Q0'
00 01 11 10
0
1
1x0
1 0
J0= Q1 Q0' x‘ + Q1' x
00 01 11 10
0
1
1x
x1
x x
1
K0= Q1'
x
x
Obtenha a saída fazendo o mapa de Karnaugh de modo similar: Z = Q1´x + Q0´x e depois inclua
no circuito da máquina de estados finitos.
x Q1 Q0 Q1 Q0 z J1 K1 J0 K0
0 0 0 0 0 0 0 x 0 x
0 0 1 0 0 0 0 x x 1
0 1 0 0 1 0 x 1 1 x
0 1 1
1 0 0 0 1 1 0 x 1 x
1 0 1 1 0 1 1 x x 1
1 1 0 0 0 1 x 1 0 x
1 1 1
Qa entrada Qn saída
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Bibliografia
-Bassani JWM. Notas de aula – Circuitos Lógicos. -Veja a lista de referencias indicadas na primeira aula (Veja no site indicado para a disciplina o material didático e bibliografia indicada)
J1 Q1
K1
J0 Q0
K0
CLK
Q 1 ' Q0 '
x
z
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100
Aula 27.
EA-772 Circuitos Lógicos – Todas-Resumo 2S-2018, Professor: Bassani, JWM
101
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102
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103
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104
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105
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Bibliografia
-Bassani JWM. Notas de aula – Circuitos Lógicos. -Veja a lista de referencias indicadas na primeira aula (Veja no site indicado para a disciplina o material didático e bibliografia indicada)
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