Departamento de Engenharia Mecânica
Faculdade de Ciências e Tecnologia
Universidade de Coimbra
1
Luis Adriano Oliveira
Distribuição de Pressão num Fluido
18Distribuição de Pressão num Fluido
Supõe-se uma única incógnita: p=p(x,y,z,t)
Fluido em repouso não resiste a tensões tangenciais, mas sim a normais
Suporte matemático: 2.ª lei de Newton F m.a=
Pressão p: tensão normal a um plano qq. que delimita um elemento de fluido em equilíbrio mecânico e térmico macroscópico (p/ Termodin.).
Convenção: p>0 se compressão
Escala microscópica: choques intermoleculares
19Lei de Pascal
Ausência de forças de corte: orientação do plano influencia p? R: NÃO!
1 1
2 2
3 3
p Fp Fp F
⇒⇒⇒
+ Peso EQUILÍBRIO
Equilíbrio no plano yoz:
1 3
3 2
p .dx.dz p .dx.dl.sin1p .dx.dl.cos [ .g. .dx.dy.dz] p dx.dy2
= α
α + ρ =1 2 3p p p= = (escalar)
Se houver tensões de corte: ( )1 2 3 xx yy zz1p p p p3
≠ ≠ ⇒ = − σ +σ +σ
20Compressibilidade : Variação de ρ originada por variação de p
Líquidos: consideram-se incompressíveis
pkv / vδ
= −δ
Quantificação:
k : módulo de elasticidade
Toda a matéria é compressível…No entanto...Fluidos:
Gases :
- Incompressíveis, se variação de ρ pequena (isotérm, subsón.)
- Compressíveis- se massa de gás grande com p, T variáv. (Atmosf.)- esc. supersónicos, … (fortes variações de p)
21Força de pressão sobre um elemento de fluido
p constante força total (líquida) nula
Força de pressão variação espacial de p
Força líquida segundo xx:
Segundo as três direcções:
p
pp
p
p ppdydz p dx dydz dxdydzx x∂ ∂ − + = − ∂ ∂
(unid. de vol.)p pp p pˆ ˆ ˆdf i j k dxdydz f grad px y z
∂ ∂ ∂= − − − ⇒ = − ∂ ∂ ∂
dx dy
dzp pp dxx∂
+∂
22Equações de Navier-stokes
(unidade de volume)
Forças q/ actuam s/elemento de fluido
- de contacto (p, τ)
- de campo (externas, uniformem/ distrib.)
- gravidade :
grav gravdf .g.dxdy.dz f .g= ρ ⇒ = ρ (unidade de volume)
- viscosidade :2 2 2
2visc 2 2 2
V V Vf Vx y z
∂ ∂ ∂= µ∇ = µ + + ∂ ∂ ∂
Navier-stokes (unidade de volume) :
ρ c.teµ c.te
2.a grad p .g . Vρ = − +ρ +µ∇
23Incógnita : pressão
( ) 2grad p . g a . V= ρ − +µ∇
Tópicos a desenvolver :
1 - Hidrostática [repouso ou mov. uniforme (aceleração nula)]
2 - Translação em bloco 3 - Rotação em bloco
4 - Escoamento irrotacional incompressível 5 - Caso geral
Pressão- Absoluta (vazio)
- Relativa ou efectiva
24Hidrostática (ou mov. uniforme, questão de sist. ref.)
( ) 2grad p . g a . V= ρ − +µ∇ Eq. Fundamental
1 - Sup. isobáricas perpendiculares, em cada ponto, a
2 - Coord. Cartesianas, z :
- variação da pressão independente da forma dos limites do domínio
grad p .g= ρ
g
0
z0 z
pˆg g.k g p p gdzz∂
= − ⇒ = −ρ ⇒ = − ρ∂ ∫
- pressão só varia na vertical e aumenta com a profundidade
- dois pontos ao mesmo nível, ligados pelo mesmo fluido, têm pressão =
25Líquidos e gases “incompressíveis”
“gás perfeito”
T=T(z)?
0
z0 z
p p gdz= − ρ∫tec.ρ =
( )0 0p p g z z= −ρ −
0dh dz p p .g.h= − ⇒ = +ρ
Gases compressíveis
p pRTRT
= ⇒ ρ =ρ
p gz∂
= −ρ∂
Λ
2 2 2
1 1 1
p z z2p z z1
dp p dp g dz p g dzg lndz RT p R T p R T
= − ⇒ = − ⇒ = −∫ ∫ ∫
26
a) - Estratosfera
2
1
z2z1
p g dzlnp R T
= − ∫
2 11
g (z z )RT
2 1p p .e
− − =
b) - Troposfera
te1(z 11 Km) : T c. T> = =
gRb
0 00
bz(0 z 11 Km) : T T b.z p p 1T
≤ ≤ = − = −
0z 0 p p= → =
Ambos os casos são enquadráveis na “evolução politrópica”:
ten
p c.=ρ
(gás não necessariamente perfeito), n=c.ten 1 Estrat.= ⇒n 1 Rb Tr.
n g−
= ⇒
Referência : Atmosfera Standard
27Forças Hidrostáticas em Superfícies Submersas
Superfície
Superf. submersa, fluido em repouso : Pressão Força à sup.
Curva
PlanaHorizontal
Inclinada
Pressão unif. ao longo do plano (C. Grav. do plano)
C.P. : Centro de Pressões
( ponto de aplicação da força )
C.P. C.G.≡
28Forças Hidrostáticas em Superfícies Submersas (cont.)
Sup. plana inclinada:
( )
( )
( ) ( )
0A A
0 0 CGA A
0 CG 0 CG CGA
F dF p gh dA
p A gsin dA p A gsin y dA
p A gsin A ydA p gh A p A
= = +ρ =
= +ρ θ ξ = +ρ θ ξ − =
= +ρ θ ξ − = +ρ =
∫ ∫∫ ∫
∫F plano da superfície
F não depende direct. de θ nem da forma da superf.
Localização de (C.P.) :F
Distribuição de p não unif. ao longo de A CP CG≠
29Forças Hidrostáticas em Superfícies Submersas (cont.)
Momentos em relação a xx :
( )
( )CP 0A A
0 CGA A2
CG A A
F.y ydF y p g sin . dA
p ydA g sin y y dA
g sin ydA g sin y dA
= = +ρ θ ξ =
= +ρ θ ξ − =
= ρ θξ −ρ θ
∫ ∫∫ ∫
∫ ∫ xxCP
CG
Iy g sinp .A
= −ρ θ
Momentos em relação a yy :
CP AF.x x.dF ........= =∫
xyCP
CG
Ix g sin
p .A= −ρ θ
CPy 0<
Profund. yCP 0
Simetria
xCP = 0
30
Superfícies CurvasA A
F dF F dF≠ =∫ ∫
Alternativa : = duas componentes horizontais + uma comp. verticalF
Componente Horizontal
Equilíbrio ( )x xP F 0 F P+ − = ⇒ =
Igualdade vectorial (CP ao nível do CP da projecção vertical)
Sup. inters. em + que um ponto por xx:
x xAB : F 0 ; BC : F 0> <
31Superfícies Curvas (cont.)
Corolários :
- Corpo fechado -compte. horiz. é nula (projecções anulam-se)
Equilíbrio:
- Perímetro da sup. curva assenta sobre plano vertical:apenas existe comp.te horiz. ao plano.
- Perímetro da sup. curva assenta sobre plano horiz.:não existe comp.te horizontal.
Componente Vertical
y yW F 0 F W− = ⇒ =
- Igualdade vectorial (define linha de acção: CG de W) - Fluido de peso W real ou fictício
AB BC
32ImpulsãoArquimedes :
Um corpo imerso num fluido sofre impulsão igualao peso do volume de fluido deslocado.
- Um corpo flutuante desloca uma quantidade de fluido de peso igualao seu.
- Corpo imerso em fluidos estratificados:
Corolários :
- Impulsão não tem componente horizontal.
- Centro de Impulsão (C.I.) é o C.G. do fluido deslocado (não do corpo)
- Impulsão pode exceder peso do fluido presente
1 1 2 2Im pulsao V V= ω +ω
1 2 1 2C.I. e C.I. de verticais dist int asω ≠ ω ⇒
33Estabilidade de corpos no seio de fluidos
Peso < Impulsão corpo sobePeso > Impulsão corpo descePeso = Impulsão equilíbrio
Equilíbrio
Corpo completamente imerso:
EstávelInstávelIndiferente
Binário restaurador:w.x (=P.x)
- Equil. Estável, se C.I. acima de C.G.
- Equil. Indiferente, se C.I. C.G.≡
Corpo flutuante:
Equil. estável possível,ainda que C.G. acima de C.I.:estável, se Metacentro (M) acima de C.G.indiferente, se M C.G.≡
34Movimento em Bloco
Em cada ponto, linhas isobáricas perpendiculares a
Bloco: ausência de mov. relativo ausência de tensões tangenciais
(X,Y,Z): referencial de inércia(x,y,z): referencial não-inercialMov. do corpo: translação+rotação em torno de O
: veloc. de O em relação ao refer. de inércia
( ) ( )2grad p . g a . V grad p . g a= ρ − +µ∇ ⇒ = ρ −
( )g a−
0V
00
DrV VDt
= +
( )( )
yx zx y z
x y z x y k
00 000 0 0
0 0 0 0 0 0 0
DrDr DrDr D ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆr i r j r k i j kDt Dt Dt Dt Dt
ˆ ˆ ˆdi dj dk ˆ ˆ ˆr r r r i r j r k rdt dt dt
= + + = + + +
+ + + = ΩΛ + + = ΩΛ
35Movimento em Bloco (conclusão)
translação
( )0 0 00 0 0
DV Dr DVDV d da r r rDt Dt Dt dt Dt dt
Ω Ω= = +ΩΛ + Λ = +ΩΛ ΩΛ + Λ
centrípeta linear
Translação em Bloco com Aceleração Uniforme
x
z
aarctgg a
θ =+
( ) ( )2 2z x
dpdp gradp.ds gradp ds g a ds g a ads
= = = ρ − ⇒ = ρ + +
( )grad p . g a= ρ −
( )x zˆ ˆgradp a i a g k= −ρ −ρ +
( ) ( )x z 0 x zp pa a g p p .a .x . a g zx z∂ ∂
= −ρ = −ρ + ⇒ = −ρ −ρ +∂ ∂
36Rotação em Bloco com Velocidade Angular Constante
( ) ( )2 2 20
1ˆˆgrad p . g a r.r gk p p r gz2
= ρ − = ρ Ω −ρ ⇒ = + ρΩ −ρ
( )00 0
DV da r rDt dt
Ω= +ΩΛ ΩΛ + Λ
0 0r . r sin rΩΛ = Ω ϕ = Ω
( )ˆˆ ˆr, , zθ
2 ˆa r.r= −Ω
Isobáricas : p=p1=c.te2 2
0 1p p rzg 2g− Ω
= +ρ
(da forma a+br2)
Sup. Livre (p1=p0) : 2 2 2 2r Rz h2g 2g
Ω Ω= =
37Esc. Irrotacional Incompressível - Eq. de BERNOULLI
( ) ( ) ( )2
2 VV grad divV rot rotV V.grad V grad V rotV2
∇ ≡ − ≡ − Λ
2.a grad p .g . Vρ = − +ρ +µ∇ 0t∂=
∂
2 2 2V V Vˆ.grad grad grad p gk grad p gz 02 2 2
ρ ρρ = = − −ρ ⇒ + +ρ =
2
teV p gz c.2
ρ+ +ρ =
Bernoulli
Três formas de energia / volume : cinética, pressão, potencial
p. estática (p)+p. dinâmica (ρV2/2)=p. de estagnação (p0)
38Caso Geral
1) - p única incógnita : sistema linear do 1.º grau
( ) 2V V.grad V grad p .g . Vt
∂ρ + = − +ρ +µ∇ ∂
[ ]
2 2 2
x 2 2 2
y
p u u u u u u uu v w .gx t x y z x y z
p v v v vu v w .g ...y t x y z
p ... ...z
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= −ρ + + + +ρ +µ + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂ ∂= −ρ + + + +ρ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂= −ρ +
∂
2) - p não única incógnita : sistema não-linear integração numérica
39Manómetros
Classificação quanto a :
1) - Tipo de pressão medida :
- de pressão absoluta (Ex. : barómetro)- de pressão efectiva (maioria dos manómetros industriais)- diferenciais (dif. de pressão . Medição de velocidades, caudais, …)
2) - Princípio de funcionamento :
- de líquido
- metálicos : forças de pressão pressão
- eléctricos : pressão var. caract. eléctr. sinal calib. ampl. regist.
deformações elásticascalibração
40Manómetros de líquido
Duas referências fundamentais :*
*
p0
p2
p1
∆h
h2
h1
1 0 1
2 0 2
p p ghp p gh
= +ρ= +ρ
( )2 1 2 1p p g h h p g. h− = ρ − ⇒ ∆ = ρ ∆
1) :
2) : Dois pontos, ao mesmo nível, ligados pelo mesmo fluido, têm, no equilíbrio, a mesma pressão
41Manómetros de líquido (cont.)
Piezómetro
- Altura piezométrica: p/(ρg)+z
- Manómetro e conduta: o mesmo líquido
- Se z=0 em 1, a altura piezométrica é dada directamente por h
Manómetro em U
B B Aa1 atm. B
a e2 1 3 atm. B A 3 B Aa a3 2 A
g
p p x
p p p p x y p x y
p p y
ω = ρ > ω
= +ω
= = +ω −ω ⇒ = ω −ω
= −ω eA B 3 Bp xω ω ⇒ ≅ ω
42Manómetros (cont.)
Manómetros em U podem medir pressões diferenciais:
( )1 A 2
2 1 B 2 1 A 2 2
p p a hp p p a h p a h
= +ω +
= = +ω +ω = +ω +ω
( )A B 1 2p p h− = ω −ω
Manómetros metálicos
Manómetro de Bourdon
43Manómetros (concl.)
Manómetros eléctricos
Medição da pressão estática
44Tubo de Pitot com tomadas de pressão estática
( )0 s2s 0
2 p p1p V p V2
−+ ρ ≅ ⇒ ≅
ρBernoulli:
V 0 s
ps
p0
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