Espaços Vetoriais Euclidianos, Produto Interno
ÁLGEBRA LINEAR
Prof. Susie C. Keller
Produto Interno Produto interno no espaço vetorial V é uma função de
V V em IR que a todo par de vetores (u, v) V V associa um número real, indicado por u.v ou <u, v>, tal que os seguintes axiomas sejam verificados:P1) u.v = v.uP2) u.(v + w) = u.v + u.wP3) (u).v = (u.v), IRP4) u.u 0 e u.u = 0 se, e somente se, u = 0.
Produto Interno Dos quatro axiomas decorrem as propriedades:
I) 0.u = u.0 = 0, u VII) (u + v).w = u.w + v.wIII) u.(v) = (u.v), IRIV) u.(v1 + v2 + ... + vn) = u.v1 + u.v2 + ... + u.vn
Produto Interno Exemplos:
Produto Interno
Produto Interno
Produto Interno
2)
Produto Interno
Produto Interno Problemas resolvidos:
Produto Interno
Produto Interno
Espaço Vetorial Euclidiano Um espaço vetorial real, de dimensão finita, no qual
está definido um produto interno, é um espaço vetorial euclidiano.
Módulo de um Vetor: Dado um vetor v de um espaço vetorial euclidiano V, chama-
se módulo, norma ou comprimento de v o número real não-negativo, indicado por |v|, definido por:
Se u = (x1, y1, z1) IR3 com produto interno usual, têm-se:
vvv
222111111 111
,,,, zyxzyxzyxu
Espaço Vetorial Euclidiano Distância entre dois vetores:
Chama-se distância entre dois vetores (ou pontos) u e v o número real representado por d(u,v) é definido por:
Sendo u = (x1, y1, z1) e v = (x2, y2, z2) vetores do IR3 com produto interno usual, têm-se:
Se |v| = 1, o vetor v é um vetor unitário. Diz-se que v está normalizado.
Todo vetor não-nulo v V pode ser normalizado: .
vuvud ),(
2212
212
21212121 ,,),( zzyyxxzzyyxxvuvud
vvu
Espaço Vetorial Euclidiano Observamos que:
Exemplos:
12
2
2
vv
vvv
vv
vv
Espaço Vetorial Euclidiano
Espaço Vetorial Euclidiano
IMPORTANTE:
Espaço Vetorial Euclidiano Propriedades do Módulo de um Vetor
Seja V um espaço vetorial euclidiano.I) |v| 0, v V e |v| = 0, se, e somente se, v = 0.
II) |v| = | | |v|, v V, IR.
III) , u,v V.
Se u = 0 ou v = 0, vale a igualdade
vvvvvvvv 2
vuvu
0 vuvu
Desigualdade de Schwartz ou Inequação de Cauchy-Schwartz
Espaço Vetorial EuclidianoIV) |u + v| |u| + |v| , u,v V.
De fato:
mas
logo
ou
ou, ainda
vvvuuuvuvuvu 2
vuvuvu
222 )(2 vvuuvu
222 2 vvuuvu
22 vuvu
vuvu
Desigualdade triangular
Espaço Vetorial Euclidiano Ângulo de dois Vetores
Sejam u e v vetores não-nulos de um espaço vetorial euclidiano V. A desigualdade de Schwartz, , pode ser escrita assim:
ou
ou, ainda
Daí, tem-se que o cosseno de um ângulo entre dois vetores u e v é:
1vuvu
vuvu
1vuvu
1vuvu1
0 ,cosvuvu
Espaço Vetorial Euclidiano Exemplos:
Espaço Vetorial Euclidiano
Espaço Vetorial Euclidiano Vetores Ortogonais
Seja V um espaço vetorial euclidiano. Diz-se que dois vetores u e v são ortogonais, e se representa por u v, se, e somente se, u.v = 0.
Exemplos:
Espaço Vetorial Euclidiano Observações:
1. O vetor 0 V é ortogonal a qualquer v V: 0.v = 0
2. Se u v, então u v, R.
3. Se u1 v e u2 v, então (u1 + u2) v.
Espaço Vetorial Euclidiano Conjunto Ortogonal de Vetores
Seja V um espaço vetorial euclidiano. Diz-se que um conjunto de vetores {v1, v2, ..., vn} V é ortogonal se dois vetores quaisquer, distintos, são ortogonais, isto é, vi
. vj = 0 para i ≠ j.
Espaço Vetorial Euclidiano Teorema
Um conjunto ortogonal de vetores não-nulos A = {v1, v2, ..., vn} é linearmente independente (LI).
Consideremos a igualdade:a1v1 + a2v2 + ... + anvn = 0
e façamos o produto interno de ambos os membros da igualdade por vi:(a1v1 + a2v2 + ... + anvn).vi = 0.vi
oua1(v1.vi) + ... + ai(vi
. vi) + ... + an(vn.vi) = 0
ai(vi. vi) = 0
Como A é ortogonal só resta o termo vi.vi ≠ 0, pois vi ≠ 0. Então ai(vi.vi)=0 implica ai = 0 para i = 1, 2, ..., n.
Logo o conjunto A = {v1, v2, ..., vn} é LI.
Espaço Vetorial Euclidiano Base ortogonal
Diz que uma base A = {v1, v2, ..., vn} é ortogonal se os seus vetores são dois a dois ortogonais.
Assim, se dim V = n, qualquer conjunto de n vetores não-nulos e dois a dois ortogonais, constitui uma base ortogonal.
Por exemplo:
{(1, 2, -3), (3, 0, 1), (1, -5, -3)}
é uma base ortogonal do IR3.
Espaço Vetorial Euclidiano Base ortonormal
Diz que uma base B = {v1, v2, ..., vn} de um espaço vetorial euclidiano é ortonormal se B é ortogonal e todos os seus vetores são unitários, isto é:
Espaço Vetorial Euclidiano
Espaço Vetorial Euclidiano
Espaço Vetorial Euclidiano
Podemos verificar que:
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