Resoluo de Problemas
Aula 1
Prof. Dr. Ivan Alcntara
Agenda
Exerccios versus Problemas
Resoluo de problemas
As quatro fases ou etapas para resolver um problema, segundo G. Polya.
Problemas para resolver
Exerccio versus problema Dicionrio Aurlio (AURLIO, 2004)
exerccio (substantivo masculino) 1. Ato de exercer; prtica, uso. 2. Desempenho de funo ou profisso. 3. Atividade fsica. 4. Atividade planejada e executada regularmente. 5. Trabalho escolar para adestrar ou treinar o aluno. 6. Perodo de execuo dos servios dum oramento pblico. problema (substantivo masculino) 1. Questo matemtica proposta para que se lhe d soluo. 2. Questo no solvida, ou de soluo difcil.
Exerccio versus problema (Dicionrio Houaiss, 2001)
Exerccio s. m.
1. treinamento. 2. ... 3. trabalho escolar 4. ...
Problema s. m.
1. algo de difcil soluo ou explicao 2. situao difcil
3. ... 4. questo matemtica para ser solucionada ... 6. pessoa, coisa ou situao incmoda, fora de controle etc.
Exerccio versus problema
First, what is a problem? We distinguish between problems and exercises. An exercise is a question that you know how to resolve immediately. Whether you get it right or not depends on how expertly you apply specific techniques, but you don't need to puzzle out what techniques to use. In contrast, a problem demands much thought and resourcefulness before the right approach is found. Paul Zeitz (ZEITZ, 2007)
Exerccio versus problema
Um exerccio uma questo que voc conhece como resolver imediatamente. No precisa decifrar qual tcnica utilizar para resolv-lo.
Um problema demanda muito mais reflexo e esforo para desembaraar antes de encontrar a abordagem apropriada. necessrio descobrir que tcnica utilizar para resolver.
Exerccio versus problema
Paul Zeitz (ZEITZ, 2007) comenta que, ainda que no exista unanimidade quanto a dar um nome para a rea de resoluo de problemas, alguns autores, como George Polya, utilizam o termo heurstica.
Heurstica: Conjunto de regras e mtodos que
visam descoberta, inveno ou resoluo de problemas. Dicionrio Aurlio (AURLIO, 2004).
Exerccio versus problema Heurstica: sugestes, tcnicas ou estratgia geral
que ajude a abordar, entender e resolver um problema.
Segundo Polya, G. O objetivo da Heurstica o estudo dos mtodos e das regras da descoberta e da inveno. A Heurstica moderna procura compreender o processo solucionador de problemas, particularmente as operaes mentais, tpicas deste processo... (POLYA, 1995, pp. 86, 87).
Exerccio versus problema Segundo Polya, G. Raciocnio heurstico
aquele que no se considera final e rigoroso, mas apenas provisrio e plausvel (razovel, admissvel), e que tem por objetivo descobrir a soluo do problema que se apresenta (...) Teremos a absoluta certeza quando chegarmos soluo completa, mas frequentemente, antes de chegarmos certeza absoluta, teremos de nos satisfazer com uma estimativa mais ou menos plausvel. (POLYA, 1995, p. 132).
Como resolver um problema? As quatro etapas
As quatro fases, etapas ou passos para resolver um problema, segundo George Polya (POLYA, 1995, p. XII).
1. COMPREENSO DO PROBLEMA
2. ESTABELECIMENTO DE UM PLANO
3. EXECUO DO PLANO
4. REFLEXO (RETROSPECTO)
Como resolver um problema? Etapa 1 - Compreenso do problema
Primeiro: preciso compreender o problema
1. COMPREENSO DO PROBLEMA
Qual a incgnita? Quais so os dados? Qual a condicionante (que
estabelece condio para a realizao ou cumprimento de algo)?
Adote uma notao adequada. Trace uma figura.
possvel satisfazer a condicionante? A condicionante suficiente
para determinar a incgnita? Ou insuficiente? Ou redundante? Ou
contraditria?
Separe as diversas partes da condicionante. possvel anot-las?
Como resolver um problema? Etapa 1 - Compreenso do problema - Exemplo
Problema: Calcular a diagonal de um
paraleleppedo retngulo do qual so
conhecidos, o comprimento, a largura e a
altura.
Necessidades: conhecimento do Teorema de Pitgoras e aplicao na
geometria plana, alm de um conhecimento sistemtico de
geometria espacial.
Como resolver um problema? Etapa 1 - Compreenso do problema - Exemplo
Qual a incgnita?
O comprimento da diagonal de um paraleleppedo.
Quais so os dados?
O comprimento, a largura e a altura do paraleleppedo.
Notao adotada:
Comprimento = c, Largura = l
Altura = a, Incgnita = x
Qual a condicionante que relaciona c, l e a com x?
x a diagonal do paraleleppedo, na qual c, l, a so, respectivamente, o
comprimento, a largura e a altura do paraleleppedo. Sendo
suficiente essas informaes para se determinar a diagonal x.
Como resolver um problema? Etapa 1 - Compreenso do problema - Exemplo
Figura
c l
a x
Como resolver um problema? Etapa 2 Estabelecimento de um plano
Segundo
Encontre a conexo entre os dados e a incgnita.
Possivelmente ser necessrio considerar problemas auxiliares, pesquisar...
2. ESTABELECIMENTO DE UM PLANO
J o viu antes? Ou j viu o mesmo problema apresentado sob uma forma ligeiramente diferente?
Conhece um problema correlato (mais geral ou especfico)? Conhece um problema que lhe poderia ser til? possvel utilizar o seu mtodo?
Considere a incgnita! E procure pensar em um problema conhecido que tenha a mesma incgnita ou outra semelhante.
possvel reformular o problema? possvel reformul-lo ainda de outra maneira? Volte s definies.
Como resolver um problema? Etapa 2 Estabelecimento de um plano - Exemplo
J o viu antes? Ou j viu o mesmo problema
apresentado sob uma forma ligeiramente diferente?
Conhece um problema correlato? Conhece um
problema que lhe poderia ser til? possvel utilizar
o seu mtodo?
Perceba que a diagonal x do paraleleppedo um
segmento de reta, similar ao problema de encontrar o
lado de um tringulo retngulo.
Observe o tringulo retngulo na figura.
Como resolver um problema? Etapa 2 Estabelecimento de um plano - Exemplo
Figura
c l
a x
Como resolver um problema? Etapa 2 Estabelecimento de um plano - Exemplo
Observe que procuramos a hipotenusa do tringulo
retngulo, mas no conhecemos um dos catetos,
possvel encontr-lo?
Sim, basta verificar que esse cateto a hipotenusa
do tringulo retngulo composto dos catetos c e
l.
Logo, podemos aplicar o Teorema de Pitgoras duas
vezes e encontramos o valor da incgnita x.
Como resolver um problema? Etapa 3 Execuo do plano
Terceiro
Execute o seu plano
3. EXECUO DO PLANO
Ao executar o seu plano de resoluo, verifique cada passo. possvel
verificar claramente que o passo est correto? possvel
demonstrar que ele est correto?
Como resolver um problema? Etapa 3 Execuo do plano
Ao executar o seu plano de resoluo, verifique cada passo.
Aplicando o Teorema de Pitgoras a 1 vez, encontramos h:
h2 = l2 + c2 h = l2 + c2
Aplicando o Teorema de Pitgoras a 2 vez, encontramos x:
x2 = h2 + a2 x = h2 + a2 x = l2 + c2 + a2
c l
a x
h
Como resolver um problema? Etapa 4 Reflexo (Retrospecto)
Quarto
Examine a soluo obtida
4. REFLEXO (RETROSPECTO)
possvel verificar o resultado? possvel verificar o argumento?
Utilizou todos os dados?
possvel chegar ao resultado por um caminho diferente? possvel
perceber isto em um relance?
possvel utilizar o resultado, ou o mtodo, em algum outro problema?
Como resolver um problema? Etapa 4 Reflexo (Retrospecto)
possvel verificar o resultado? possvel verificar o argumento?
Utilizou todos os dados?
Todos dados (c, l, a) foram utilizados.
Alm disso, se zerarmos l, por exemplo, devemos calcular o resultado
para um paralelogramo retngulo. Que pode ser verificado na
frmula encontrada.
Como resolver um problema? Problema - Aquecimento
No centro da cobertura retangular de um edifcio que tem 21 metros de comprimento e 16 metros de largura, instala-se um mastro de 8 metros de altura. Para amarrar o mastro, precisamos de quatro cabos iguais. Estes partem do mesmo ponto, 2 metros abaixo do topo do mastro, e so fixados nos quatro cantos da cobertura do edifcio.
a) Qual ser o comprimento de cada cabo?
b) Considerando que o metro do cabo custa R$ 40,00. Qual o valor a ser gasto para amarrar o mastro?
Como resolver um problema? Problemas - Grupo de 3 a 6 pessoas
1) Elaborar a soluo para o problema que calcula a quantidade de latas de tinta necessrias e o custo para pintar tanques cilndricos onde so conhecidos a altura e o raio do tanque.
sabe-se que: a lata de tinta custa R$ 100,00.
cada lata contm 5 litros.
cada litro de tinta pinta 10 metros quadrados.
2) Especifique as aes necessrias para que uma pessoa que est no local (a) possa ir em segurana at o local (b). Para tal, observe o sentido do trfego na encruzilhada, a faixa, o sinal de pedestres, o semforo e a placa de trnsito.
a
c d
b
Como resolver um problema? Problemas - Grupo de 3 a 6 pessoas
3) O presidente do clube de campo do Mato deseja construir uma piscina moderna. O projeto da piscina segue o modelo abaixo:
a) Determinar qual o volume mximo de gua necessrio para preencher toda a piscina.
a/2 a/2
a a
b
4a
a/4
a/4
Como resolver um problema? Problemas - Grupo de 3 a 6 pessoas
b) O presidente deseja colocar lajota na parte reservada para banho de sol e azulejo em todo o restante da piscina. Sabendo-se que as lajotas so quadradas (lado l) (M reais o m2) e que os azulejos possuem lados l1, l2 (N reais o m2) . Determinar o custo total para cobrir todo o espao do projeto da piscina.
Como resolver um problema? Problemas - Grupo de 3 a 6 pessoas
4) Suponha que voc possui um rob e queira faz-lo trocar uma lmpada de uma sala (conforme figura), sendo que o mesmo foi programado para obedecer aos seguintes comandos:
Pegue ; pressione ; gire garras 180o no sentido horrio; gire garras 180o no sentido anti-horrio; mova para ; desloque-se para .
e ainda capaz de:
Perceber quando algum comando no pode mais ser executado;
Sentir alguma fonte de calor.
Elabore uma soluo que permita ao rob trocar a lmpada (verifique se a lmpada est queimada).
Sala Depsito de Lmpadas
rob
lmpada
interruptor
Como resolver um problema? Exerccios - Grupo de 3 a 6 pessoas
5) Construir uma sequncia de passos que devem ser seguidos por uma pessoa para encontrar um livro das nossas referncias bibliogrficas bsicas na biblioteca da Universidade e retir-lo. Suponha que a pessoa est na porta de entrada da sala da biblioteca, sabe o nome do livro que deseja buscar, editora, ano de publicao, edio e o(s) autor(es).
6) Dados duas retas em um plano X, Y. Encontrar o ponto de interseco Pi = (xi, yi) entre elas. Supor que as duas retas no so paralelas.
Reta 1: definida pelos pontos P1 = (x1, y1) e P2 = (x2, y2)
Reta 2: definida pelos pontos P3 = (x3, y3) e P4 = (x4, y4)
Obs.: A equao reduzida da reta para um ponto P = ( x, y ) y = m x + c, onde m chamado coeficiente angular (ngulo entre a reta e o eixo x) e c o coeficiente linear (valor que a reta corta o eixo y).
Como resolver um problema? Exerccios - Grupo de 3 a 6 pessoas
A entrega deve ser feita pelo Blackboard at 18/03 23h.
Entregue os exerccios que conseguir resolver.
Deve-se ter uma capa com o nome do curso, nome da disciplina, nome do professor, nome e RGM dos integrantes do grupo (ordenados pelo RGM).
Bibliografia utilizada
Material das aulas de Resoluo de Problemas da profa. Ms. Cristiane Pires Camilo e prof. Ms. Manuel Fernndez Paradela Ledn
AURLIO. Aurlio Buarque de Holanda F. Novo Aurlio. Dicionrio da Lngua Portuguesa. Curitiba: Positivo, 2009.
BIANCHINI, E. Curso de Matemtica. So Paulo: Moderna, 2003.
POLYA, G. A Arte de Resolver Problemas. Rio de Janeiro: Editora Interciencia, 1995.
RAE. Real Academia Espaola. Disponvel on-line em www.rae.es.
ULLMAN, J. et.al. Introduo Teoria de Autmatos, Linguagens e Computao. Rio de Janeiro: Campus, 2003.
ZEITZ, P. The Art and Craft of Problem Solving. Danvers: John Wiley & Sons Inc., 2007.
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