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MODELOS MATEMÁTICOS
(Cap.2 do Dorf & Bishop)
OBJETIVO Escrever as equações que relacionam entre si as variáveis de interesse
Sistemas mecânicos: relação entre forças (acelerações), torques, velocidades, deslocamentos, ...
Sistemas elétricos: relação entre correntes, tensões, cargas,
campos, ... Sistemas térmicos: relação entre temperaturas e fluxos de calor,
... Sistemas hidráulicos: relação entre pressões, velocidades, fluxos
de escoamento, ... Sistemas com transporte de massa: relação entre concentrações,
fluxos de massa, ... Para todo tipo de sistema, pode-se definir a energia armazenada em cada modo (mecânico, elétrico, térmico, ...) e usar o princípio da conservação da energia para equacionar a troca de energia entre os vários modos.
2
OS COMPONENTES MECÂNICOS BÁSICOS Mola de tração se a massa for desprezível, teremos F1 = −F2 = F se a mola estiver no regime elástico, F = −K(x1 − x2 − L) (L é o comprimento de equilíbrio)
abreviadamente, F = −K.(x12−L) = K.(x21+L) (relação força-deslocamento)
(relação força-velocidade) Massa: inércia de translação F = M.a Massa: inércia de rotação A aceleração angular é igual ao torque aplicado J = momento de inércia do tambor Atrito viscoso F12 = força de atrito viscoso que 2 faz em 1 F12 = −F21 = F (ação e reação)
Definição de atrito viscoso: F = −λ(v1 – v2) = −λ.v12
21K
dt
dFv=
x1 x2
v1v2
F1F2
x
K
x
v
FM
dt
dMF
v
= 2
2
dt
xdMF =
dt
dJ
ω=τ
dt
dθ=ω
2
2
dt
dJ
θ=τ
τ
ω
θ
v1
v2
1
2
v1v2
F-Fλ
3
O SISTEMA MASSA-MOLA COM AMORTECIMENTO Supondo que o ponto de equilíbrio é x = 0, teremos fmola = −Kx fatrito =
2
2
dt
xdMKx
dt
dxFa.mF =−λ−⇒=∑
relação entre deslocamento e força externa
relação entre velocidade e força externa
OS COMPONENTES ELÉTRICOS BÁSICOS
INDUTOR
φ = −L.i RESISTOR CAPACITOR (fluxo magnético) v = R.i q = C.v (indução) (lei de Ohm)
C = capacitância L = indutância
[C] = F (Farad) no SI [L] = H (Henry no SI)
dt
dxλ−
x
F
M
K
x = 0
F
M
fmola
fatrito
Fkxdt
dx
dt
xdM
2
2
=+λ+
Fdt.vkvdt
dvM =+λ+ ∫
i
v
L
i v
q+
-qC
R
v
i
dt
dC
v
i =
dt
dφ−=v
dt
dL
iv =
4
O CIRCUITO RLC
i = iR + iL + iC
relação entre a tensão de saída e a corrente de entrada
NOTE A ANALOGIA MECÂNICO-ELÉTRICA
EXERCÍCIO 7: Considere o circuito RLC série ao lado como um sistema onde a entrada é a voltagem externa v(t) e a saída é a corrente i(t).
(a) Escreva a equação diferencial para i(t). (b) Estabeleça a analogia eletro-mecânica
nesse caso comparando com a equação diferencial para o sistema massa-mola.
dt
dvCi
R
vi
L++=
Ri (t) L C
v(t)
idt.vL
1v
R
1
dt
dvC =++ ∫
dt
div
L
1
dt
dv
R
1
dt
vdC
2
2
=++
Força e corrente F ↔ i
Velocidade e voltagem v ↔ v
Massa e capacitância M ↔ C
Atrito e resistência λ ↔ 1/R
Força elástica e indutância K ↔ 1/L
Ri(t)
L
C
v(t)+
_
5
USANDO A TRANSFORMADA DE LAPLACE
→ No domínio do tempo, analisamos o comportamento dos sistemas usando
gráficos de funções versus tempo.
→ No domínio da freqüência, analisamos o comportamento dos sistemas
verificando a posição dos pólos e zeros das transformadas de Laplace no plano
complexo.
DOMÍNIO DO TEMPO DOMÍNIO DA FREQÜÊNCIA
FUNÇÃO
equação representação
gráfica
transformada
de Laplace
diagrama de
pólos e zeros
Fenômeno
que descreve
Degrau unitário
<
>=
0 tpara 0
0 tpara t)t(f
s
1)s(F =
Sinal constante
aplicado
em t = 0
Varredura
linear
<
>=
0 tpara 0
0 tpara t)t(f
2s
1)s(F =
Aumento linear
Decaimento exponencial
<
>=
α−
0 tpara 0
0 tpara e)t(f
t
α+
=
s
1)s(F
Relaxação
constante de
tempo = 1/α
Oscilação harmônica
<
>ω=
0 tpara 0
0 tpara t)sen()t(f
22s)s(F
ω+
ω=
Oscilação
harmônica
freqüência f
(f = ω/2π)
RESUMO DAS TRANSFORMADAS BÁSICAS E DAS PROPRIEDADES
Transformadas Propriedades
f(t) F(s) f(t) F(s)
1 s
1
f(t) + g(t) F(S) + G(S)
t 2s
1
A.f(t) A.F(S)
t
eα−
α+s
1
)t(fe tα− F(s + α)
sen(ωt) 22
s ω+
ω
t.f(t)
ds
dF−
cos(ωt) 22s
s
ω+
tn.f(t) n
n
n
ds
Fd)1(−
δ(t) 1
dt
df sF(s) – f(0)
2
2
dt
fd s2F(s) – sf(0) – f´(0)
0
f (t)
1
t
Im
Re
0
0
f (t)
t
Im
Re
0
(2)
0
f(t)
1
t
Im
Re
0α
_
f (t)
t
Im
Re
ω_
ω+
TEOREMA DO VALOR INICIAL
)s(sFlim)0(fs ∞→
=
TEOREMA
DO VALOR FINAL
)s(sFiml)(f0s→
=∞
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No domínio do tempo: Usando a transformada de Laplace: s2R − sr(0) − r’(0) + A[sR − r(0)] + BR = E
(s
2 + As + B)R − (s+A)r(0) − r’(0) = E
BAss
)0('r)0(r)As(
BAss
ER
22++
++
+
++
=
No domínio da freqüência: s2 + As + B é chamada de equação característica do sistema.
)t(eBrdt
drA
dt
rd2
2
=++e(t)
ENTRADA
SAIDA
r(t)
CONDIÇÕES INICIAIS
r(0)
r’(0)
BAss
1
2++
+
E R
(s+A) r(0)
r’(0)
+
+
7
A FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA
Se as condições iniciais são nulas, a relação saída-entrada é simplesmente
R(s) = G(s).E(s) G(s) é a função de transferência do sistema. RESOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL f´´ + af´ + bf = g
forma geral : )t(gbffaf =+′+′′ , onde a e b são constantes g(t) é uma função conhecida (chamada de “função forçante”,
porque, na prática, corresponde a uma excitação imposta externamente ao sistema em estudo).
(I) DEFINIÇÕES
− Uma função h(t) que satisfaz à equação diferencial é chamada de
solução particular da e.d. − O conjunto de todas as soluções da e.d. é chamado de solução
geral da mesma. − A e.d. 0bffaf =+′+′′ é chamada de “homogênea associada” à e.d.
)t(gbffaf =+′+′′ .
G(s) E(s) R(s)
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(II) TEOREMA: A solução geral da e.d. )t(gbffaf =+′+′′ é a soma de uma solução particular com a solução geral da sua
homogênea associada: f(t) = fP(t) + fH(t)
Exemplo: A função fp(t) = 2t2 − 2t + 1 é uma solução particular
da e.d. t8t12f6f5f2+=+′+′′ .
A solução geral da homogênea associada 0f6f5f =+′+′′ é t3t2
hBeAe)t(f −−
+=
A solução geral da e.d. t8t12f6f5f2+=+′+′′ é
1t2t2BeAe)t(f 2t3t2+−++=
−−
, onde A e B são constantes
quaisquer.
A solução particular também é conhecida como “resposta forçada”,
porque é a parte da solução causada pela função forçante g(t).
A solução da homogênea associada é conhecida como “resposta
natural”, porque é a parte da solução que corresponde ao comportamento intrínseco do sistema descrito pela e.d..
Quando a solução da homogênea decai com o tempo, ela é chamada
de “solução transiente”, e a solução particular de “solução de
regime”.
(III) Solução geral da e.d. homogênea 0bffaf =+′+′′ :
1. Encontre as raízes da equação característica x2 + ax + b = 0; 2. Se as raízes forem α e β, distintas e reais, a solução geral pode
ser escrita como tt
BeAeβα
+
3. Se a raiz for dupla = α , a solução geral é te)BtA( α
+ 4. Se as raízes forem complexas conjugadas = α ± jβ, a solução
geral pode ser escrita como )tcos(Me t φ+βα
ou como
)]t(Bsen)tcos(A[e t
β+βα
. A, B, M e φ são constantes arbitrárias.
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(IV) Solução particular
Não há uma técnica que funcione sempre para encontrar uma
solução particular. Em alguns casos, a solução particular é
óbvia. Na maioria dos casos de interesse prático, tenta-se
uma combinação linear entre g(t) e suas derivadas.
Exemplo: Considere a e.d. t8t12f6f5f2+=+′+′′ .
A função forçante g(t) e suas derivadas tem a forma
geral Pt2 + Qt + R. Substituindo essa função na e.d.,
encontramos P = 2, Q = −2 e R = 1. Logo, uma solução
particular é 2t2 − 2t + 1.
EXERCÍCIO 8: Para cada circuito elétrico abaixo, obtenha a equação diferencial que
relaciona a saída V0(t) (em aberto) com a entrada Vi(t). Estabeleça também
as condições iniciais necessárias. Suponha que, no instante inicial t = 0, não
haja qualquer energia armazenada nos circuitos, e que os amplificadores
operacionais são ideais.
Resp.: (a) (b) (c) (d) (e)
−=
−=
)0(RCv)0(v
dt
dvRCv
'
i0
i
0
R
L
vi(t) v0
(t)
R
L
vi(t) v0
(t)
C
RL
vi(t) v0
(t)
C
A 46
_
+
C
R
vi(t)
v0(t)
A 46
_
+
C
R
vi(t)
v0(t)
(a) (b)
(c)
(d)
(e)
=
=+
)0(v)0(v
dt
dvv
L
R
dt
dv
i0
i
0
0
=
=
=++
RC/)0(v)0(v
0)0(v
dt
dv
RC
1
LC
v
dt
dv
RC
1
dt
vd
i
'
0
0
i00
2
0
2
−=
=
=++
RC/)0(v)0(v)0(v
)0(v)0(v
vLC
v
RC
vv
i
'
i
'
0
i0
''
i
0
'
0''
0
=
−=
0)0(v
RC/vdt
dv
0
i
0
10
EXERCÍCIO 9: Suponha, no exercício anterior, que R = 4Ω, L = 2H e C = 0,5F.
Encontre o sinal v0(t) quando a entrada for um degrau de amplitude 10. Se o
sistema for amortecido, encontre a constante de tempo τ e, se a resposta for
oscilatória, encontre freqüência de oscilação ω.
Resp.: (a) ; τ = 0,5 (b) ; τ =4; ω = 0,97
(c) ; τ =4; ω = 0,97 (d) v0(t) = −5t (e) v0(t) = 0
EXERCÍCIO 10: Encontre a função de transferência de cada um dos circuitos do
exercício 8 (suponha que as condições iniciais são nulas).
Resp.: (a) (b) (c) (d) (e) G(s) = −RCs
EXERCÍCIO 11: Encontre a função de transferência de cada um dos circuitos do
exercício 8, usando as transformadas de cada elemento e resolvendo os
circuitos diretamente.
EXERCÍCIOS DO DORF & BISHOP:
t2
0e10)t(v−
= )t97,0(sene16,5)t(vt25,0
0
−
=
)14t97,0cos(e3,10)t(vot25,0
0+=
−
L/Rs
s)s(G
+
=
LC/1RC/ss
RC/s)s(G
2++
=
LC/1RC/ss
s)s(G
2++
=
RCs
1)s(G
−
=
RI(s)
V(s) s
1
C
I(s)V(s)
sL
I(s)
V(s)