7/24/2019 Aula - Estimacao e IC_media
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EFB803Estatstica
ESCOLA DE ENGENHARIA MAU
EFB803
Inferncia Estatstica
Intervalo de Confiana para a mdia Aula-4 (2oBim)
Por inmeros motivos (tempo, custo, logstica, etc...)
trabalhamos com uma (ou mais) amostra(s) retirada(s) da
populao.
A partir da teoria da Inferncia Estatstica, os resultadosamostrais so inferidos como resultados vlidos para a
populao estudada.
Inferncia Estatstica
Amostra um subconjunto deuma populao por meio da qualse estabelecem ou estimam as
propriedades e caractersticas deinteresse da populao.
Populao o conjunto detodos os elementos(unidades experimentais) ouresultados sob investigao.
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Populao(parmetros)
Amostra(estimadores)
Estatstica DescritivaColeta e Organizao dos dadosInterpretaes iniciais
Inferncia Estatstica Estimao de quantidades desconhecidas (parmetros populacionais) Extrapolao dos resultados por meio de Intervalos de Confiana e Teste de Hipteses
Populao x Amostra
Notao dos parmetros e dos estimadores
Parmetro Estimador
Mdia
Varincia 2
Desvio padro
Proporo p
n
xx
1
)(s
2
2
n
xx
2s s
n
fip'oup
Populao Amostra
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Exemplo: Queremos estimar a resistncia compresso de todas as
peas produzidas por uma mquina (populao de peas) e faremosisso por meio da mdia. Ento a varivel que iremos avaliar aresistncia compresso das peas (em Mpa):
Variao amostral
Variao dosresultados
x = x = x =
Amostra A Amostra B Amostra C
70,11 70,12 70,09 70,14 70,12 70,09 70,08
70,12 70,11 70,12 70,07 70,11 70,10 70,09
70,09 70,10 70,09 70,11 70,12 70,09 70,08
70,08 70,09 70,08 70,05 70,07 70,11 70,05
70,07 70,12 70,13 70,12 70,12 70,14 70,1370,13 70,14 70,13 ...
=70,105
Populao
70,108 70,106 70,086
Intervalos de Confiana para a mdia
Sempre que tivermos que estimara mdia populacional (),
faremos isso a partir da mdia da amostra(x);
Mas, ao usar a amostra para realizar essa inferncia,estamos sujeitos a cometer um erro de estimao, de forma que:
e =x-
A idia construir um intervalo de valores que contenha o
verdadeiro valor da mdia desejada () de modo que isso ocorra
com um alto grau de certeza/confiana (o que equivale a uma
probabilidade que ser fixada com valor igual a 1 -).
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Intervalo de Confiana bilateralpara a mdia
J foi dito que o estimador de a mdia amostral x;Ao fazer isso, podemos cometer um erro de estimao para
mais ou menos
Ento, o IC(
) vai ser da forma x ee equivale semi-
amplitude do intervalo
O teorema do limite central (TLC) garante que se uma varivel
aleatria (v.a.) X tem mdia e varincia 2, ento X tambm
uma v.a. e possui distribuio de probabilidade que converge uma distribuio normal com mdia e varincia 2/n
nNX
2
;~
1oCASO: a varincia populacional 2 CONHECIDA
exIC )(1
Uma vez que 2 conhecido, usamos diretamente do teorema o
resultado:
nNX
2
;~ 1;0~ N
n
XZ
nzxIC
21
)(
Intervalo de Confiana bilateralpara a mdia
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Idia:
X
1-
Padronizao
nNX
2
;~ 1;0~NZ
exIC )(1 n
zxIC
2
1 )(
x-e
x e
Z
1-
2
z
2
z
/2/2
ExemploDeseja-se estimar a largura mdia de um tipo de pea. Para isso
considera-se uma amostra de 25 peas da qual obtemos umalargura mdia igual a 5,20 cm. Pelo histrico da produo dessapea, sabe-se que variabilidade da largura das peas tem desviopadro de 0,5 mm, construa o IC com 95% de confiana desejado.
Z0
95%
2
z
2
z
2,5%2,5%
Do enunciado, temos: x=5,20 cm
=0,05 cm n=25 (1-)=0,95
Da tabela da N(0,1), obtemos que =1,962
z
25
05,096,12,5)(%95 IC
0196,02,5)(%95 IC
]2196,5;1804,5[)(%95 IC
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2oCASO: a varincia populacional 2 DESCONHECIDA
Nesse caso, no vale
nNX
2
;~
Aqui, temos que substituir a varincia desconhecida (2) pela
estimativa da amostra (s2).
1~
nt
n
s
XT
Assim, temos o seguinte resultado:
Intervalo de Confiana bilateralpara a mdia
1;0~N
n
XZ
2oCASO: 2 DESconhecido
exIC )(1
n
stxIC
2
1 )(
Intervalo de Confiana bilateralpara a mdia
1~
nt
n
s
XT
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Exemplo
Deseja-se estimar a nota mdia de um exame aplicado em umvestibular. Para isso foi considerada uma amostra de 16 candidatossubmetidos a esse vestibular e, dela, obteve-se uma nota mdia de7,3 e um desvio padro de 0,4. Construa o IC com 95% desejado.
16
4,0
131,23,7)(%95 IC
213,03,7)(%95 IC
]513,7;087,7[)(%95 IC
Do enunciado, temos: x=7,3 s=0,4 n=16 (1-)=0,95
Da tabela da t15, obtemos que =2,1312
t
T0
95%
2
t
2
t
2,5%2,5%
t15
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ICs unilateraispara a mdia
0 0
1-
1-
p/ obter a Mn p/ obter a Mx
nzxMn
n
stxMn
nzxMx
n
stxMx
)1,0(~ NZ
1ntou
ouou
Quando o nosso interesse for somente a estimativa mnima da mdia
populacional (Mn) ou somente a estimativa mxima (Mx) podemos obteras estimativas unilaterais.
Nesse caso, a probabilidade (1-) fica toda de um lado s da curva eno mais em sua regio central.
Exerccio (1 de 5)
Para estimar a renda mdia familiar (em reais)em uma cidade do interior de SP, uma amostra de 100famlias foi avaliada de onde obtivemos uma renda
mdia igual a R$ 850,00. Usando a informao maisrecente do censo, sabe-se que o desvio padro darenda familiar nesse municpio igual a R$ 90,00.
Estime a renda mdia familiar na cidade atravsde um intervalo de 95% de confiana.
IC() = [832,36; 867,64]
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Exerccio (2 de 5)
Um pesquisador quer saber qual o tempomdio gasto para executar um teste de laboratrio.Para isso, observou o tempo de 25 execues doteste e obteve uma mdia de 52 minutos e um desviopadro de 4 minutos. Obtenha o intervalo com 95%de confiana para o verdadeiro tempo mdio deexecuo do teste.
IC() = [50,349; 53,651]
Exerccio (3 de 5)
Uma amostra aleatria de 12 pinos de desvio retirada em um estudo da dureza Rockwell da cabeados pinos. Medies na escala de dureza Rockwell
foram realizadas para cada um dos 12 pinos,rendendo um valor mdio de 48,50 unidades. Essespinos so produzidos com um desvio padroespecificado pelo fabricante igual a 1,5 unidades.Estime a mnima dureza mdia do material com umaconfiana de 97%Min = 47,686
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Exerccio (4 de 5)
Com uma amostra de 16 dias do ltimo msestimou-se a temperatura mdia e o desvio padrodas temperaturas e, obtendo-se, respectivamente:12,1C e 3,0C.
Obtenha, com 99% de confiana, a estimativamxima para a temperatura mdia das temperaturasdo ltimo ms.Max = 14,052C
Exerccio (5 de 5)
O peso de um produto uma varivel aleatriacujo desvio padro conhecido pelo processo defabricao. Para estimar o peso mdio de um lote
desse produto, colheu-se uma amostra de 25unidades do produto e construiu-se o intervalo com95% de confiana para o peso mdio que resultou em(152,0 19,6) gramas. Qual o valor do desviopadro?50 gramas
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