Aula 6 – Custos e Maximização do lucro
Piracicaba, agosto de 2018
Professora Dra. Andréia Adami
22/08/2018 1Equipe Microeconomia Aplicada
Custos de produção
A tecnologia de produção representa a relação entre os insumos e a produção
Dada a tecnologia de produção, os administradores da empresa devem decidir como e quanto produzir.
Para determinar os níveis ótimos de produção e as combinações de insumos, é necessário transformar as medidas físicas inerentes à tecnologia de produção em unidades monetárias ou custos.
22/08/2018 2Equipe Microeconomia Aplicada
Custos de produção
Definições:
Custos contábeis: Despesas correntes mais despesas com depreciação de equipamentos.
Custos Econômicos: Custos incorridos pela empresa ao usar recursos econômicos na produção (inclusive custos de oportunidade).
Custo de oportunidade: Custos associados às oportunidades que foram deixadas de lado para a empresa empregar seus recursos na produção.
Custos irreversíveis (sunk cost): despesas realizadas e que não podem ser recuperadas.
22/08/2018 3Equipe Microeconomia Aplicada
Custos de produção
Custo total
• Função custo total
𝐶 = 𝑤𝑙 + vk
onde w é o preço da mão de obra e v o preço do capital (taxa de aluguel)
22/08/2018 4Equipe Microeconomia Aplicada
Custos de produção
Relação entre maximização do lucro e minimização do custo
• Função Lucro (𝜋)
𝜋(𝑞) = 𝑅(𝑞) − 𝐶(𝑞)
R= 𝑝𝑞 = 𝑝𝑓(𝑘, 𝑙, )
C= 𝑤𝑙 + 𝑣𝑘 =
𝜋 = 𝑝𝑓 𝑘, 𝑙 − 𝑤𝑙 − 𝑣𝑘
22/08/2018 5Equipe Microeconomia Aplicada
Minimização dos Custos e escolha dos insumos
𝐿 = 𝑤𝑙 + 𝑣𝑘 + λ[q0−f(k,l)]
• CPO:
𝜕𝐿
𝜕𝑙= 𝑤 − λ
𝜕𝑓
𝜕𝑙= 0
𝜕𝐿
𝜕𝑘= 𝑣 − λ
𝜕𝑓
𝜕𝑘= 0
𝜕𝐿
𝜕λ= q0−f(k,l) = 0
• Solução: 𝑤
𝑣=
𝜕𝐿
𝜕𝑙𝜕𝐿
𝜕𝑘
−𝑤
𝑣=
𝑓𝑙
𝑓𝑘ou
𝑤
𝑓𝑙=
𝑣
𝑓𝑘= λ ou ainda:
𝑓𝑘
𝑣= 𝑓𝑙
𝑤
22/08/2018 6Equipe Microeconomia Aplicada
Minimização dos Custos e escolha dos insumos
22/08/2018 7Equipe Microeconomia Aplicada
k/período
C3
q0
C1 C2
k*
l*l/período
Caminho de expansão da produção
22/08/2018 8Equipe Microeconomia Aplicada
k/período
C3
q2
C1C2
k1
l1
l/períodoq1
q3
E
Minimização dos custos
Exemplo 10.1
• Considere novamente a função Cobb-Douglas:
𝑞 𝑘, 𝑙 = 𝑘𝛼𝑙𝛽
• A função Lagrange fica:
𝐿 = 𝑤𝑙 + 𝑣𝑘 + λ[q0−𝑘𝛼𝑙𝛽]
• CPO:
22/08/2018 9Equipe Microeconomia Aplicada
Minimização dos custos
Exemplo 10.1
• CPO:
𝜕𝐿
𝜕𝑙= 𝑤 − λ𝛽𝑘𝛼𝑙𝛽−1 = 0
𝜕𝐿
𝜕𝑘= 𝑣 − λ𝛼𝑘𝛼−1𝑙𝛽 = 0
𝜕𝐿
𝜕λ= q0−𝑘
𝛼𝑙𝛽 = 0
• Solução:
𝑤
𝑣= 𝛽𝑘𝛼𝑙𝛽−1
𝛼𝑘𝛼−1𝑙𝛽= 𝑤
𝑣= 𝛽𝑘
𝛼𝑙
22/08/2018 10Equipe Microeconomia Aplicada
Minimização dos custos
Exemplo 10.1
• Considerando: 𝛼= 𝛽=0,5; w=12; v=3 e q0= 40, encontrar as quantidades de k e l que minimizam o custo de produção, o custo total no ponto ótimo e as produtividades marginais dos fatores de produção (k,l)
22/08/2018 11Equipe Microeconomia Aplicada
Minimização dos custos
Exemplo 10.1
• Considerando: 𝛼= 𝛽=0,5; w=12; v=3 e q0= 40, encontrar as quantidades de k e l que minimizam o custo de produção, o custo total no ponto ótimo e as produtividades marginais dos fatores de produção (k,l)
Solução: k=80, l=20, C= 480, 𝑓𝑙=1 e 𝑓𝑘 = 0,25
22/08/2018 12Equipe Microeconomia Aplicada
Funções custo
• Custo total = C(v,w,q)
• Custo médio = CM(v,w,q)= 𝐶(𝑣,𝑤,𝑞)
𝑞
• Custo marginal = Cmg = 𝜕𝐶(𝑣,𝑤,𝑞)
𝜕𝑞
22/08/2018 13Equipe Microeconomia Aplicada
Curvas de custo para funções com retorno constante de escala
22/08/2018 14Equipe Microeconomia Aplicada
Custo total (C)
q/período
C
Custo médio (CM), Custo Marginal (Cmg)
q/período
CM=Cmg
Função custo cúbica
22/08/2018 15Equipe Microeconomia Aplicada
Custo total (C)
q/período
C
Custo médio (CM), Custo Marginal (Cmg)
q/período
CM
Cmg
q*
Propriedades da Função Custo
• Homogeneidade: a função custo é homogênea de grau 1 nos preços dos insumos;
• A função custo é não decrescente em q, v e w;
• A função custo é côncava em relação aos preços dos insumos;
• As funções custo médio e custo marginal também são homogêneas de grau k em relação aos preços dos insumos.
22/08/2018 16Equipe Microeconomia Aplicada
Substituição de insumos
Na aula de ontem vimos que:
σ =%∆(
𝑘
𝑙)
%∆𝑇𝑀𝑆𝑇=
𝑑(𝑘
𝑙)
𝑑𝑇𝑀𝑆𝑇.𝑇𝑀𝑆𝑇
𝑘
𝑙
=𝑑𝑙𝑛(
𝑘
𝑙)
𝑑𝑙𝑛𝑇𝑀𝑆𝑇
• No ponto ótimo 𝑇𝑀𝑆𝑇 = 𝑤
𝑣, substituindo para obter a
elasticidade de substituição para a função custo temos:
s =𝑑(
𝑘
𝑙)
𝑑(𝑤
𝑣).𝑤
𝑣𝑘
𝑙
=𝑑𝑙𝑛(
𝑘
𝑙)
𝑑𝑙𝑛(𝑤
𝑣)
22/08/2018 17Equipe Microeconomia Aplicada
Substituição de insumos
s =𝑑(
𝑘
𝑙)
𝑑(𝑤
𝑣).𝑤
𝑣𝑘
𝑙
=𝑑𝑙𝑛(
𝑘
𝑙)
𝑑𝑙𝑛(𝑤
𝑣)
Valores altos de s indicam que a firma alterasignificativamente a proporção de uso dos insumos (mix) emresposta a alterações em seus preços; já quando s é pequeno,mudanças nos preços relativos dos insumos tem pouco efeitosobre a substituição dos mesmos no processo produtivo.
22/08/2018 18Equipe Microeconomia Aplicada
Progresso Técnico
Custos no período inicial:
𝐶0(𝑤, 𝑣, 𝑞) = 𝑞0𝐶0(𝑣, 𝑤,1)
• Os mesmos insumos que produzem 1 unidade no período zero irão produzir A(t) unidades no período t
𝐶0(𝑤, 𝑣, 1) = 𝐶𝑡(𝑣, 𝑤, 𝐴(𝑡))= 𝐴(𝑡) 𝐶𝑡(𝑣, 𝑤,1)
• A função custo total no período t fica:
𝐶𝑡 𝑣, 𝑤, 𝑞 = 𝑞𝐶𝑡 𝑣, 𝑤, 1 =𝑞𝐶
0 𝑣,𝑤,1𝐴(𝑡)
=𝐶0 𝑣,𝑤,𝑞𝐴(𝑡)
22/08/2018 19Equipe Microeconomia Aplicada
Progresso Técnico
Exemplo 10.3
• Considere a seguinte função custo total:
𝐶(𝑤, 𝑣, 𝑞) = 2𝑞𝑣0,5𝑤0,5
• Considerando-se v=3 e w=12 a função fica:
𝐶 12,3, 𝑞 = 2𝑞 36 = 12q
CM 12,3, 𝑞 =𝐶
𝑞=
Cmg 12,3, 𝑞 =𝜕𝐶
𝜕𝑞=
22/08/2018 20Equipe Microeconomia Aplicada
Progresso Técnico
Exemplo 10.3
• Considere a seguinte função custo total:
𝐶(𝑤, 𝑣, 𝑞) = 2𝑞𝑣0,5𝑤0,5
• Considerando-se v=3 e w=12 a função fica:
𝐶 𝑤, 𝑣, 𝑞 = 2𝑞 36 = 12q
CM 𝑤, 𝑣, 𝑞 =𝐶
𝑞= 12
• Cmg 𝑤, 𝑣, 𝑞 =𝜕𝐶
𝜕𝑞= 12
22/08/2018 21Equipe Microeconomia Aplicada
Progresso Técnico
Exemplo 10.3
• Considerando que o preço do salário se altere para 27, temos:
• 𝐶 27,3, 𝑞 = 2𝑞 81 = 18q
CM 𝑤, 𝑣, 𝑞 =𝐶
𝑞= 18
Cmg 𝑤, 𝑣, 𝑞 =𝜕𝐶
𝜕𝑞= 18
22/08/2018 22Equipe Microeconomia Aplicada
Progresso Técnico
Exemplo 10.3
• Considere a função de produção Cobb-Douglas:
𝑞 = 𝐴(𝑡)2𝑘0,5𝑙0,5
• Assumindo que o progresso técnico seja representado por uma função exponencial:
𝐶𝑡 𝑣, 𝑤, 𝑞 =𝐶0𝑣,𝑤,𝑞
𝐴(𝑡)= 2𝑞𝑣0,5𝑤0,5𝑒−0,03𝑡
22/08/2018 23Equipe Microeconomia Aplicada
Progresso Técnico
Exemplo 10.3
• Para essa função, qual o decréscimo no custo, após 20 anos, considerando-se que os preços se manterão inalterados
(v=3, w=12)?
𝐶20 3,12, 𝑞 = 2𝑞 36𝑒−0,60 =
𝐶𝑀20 =
𝐶𝑚𝑔20 =
22/08/2018 24Equipe Microeconomia Aplicada
Progresso Técnico
Exemplo 10.3
• Para essa função, qual o decréscimo no custo, após 20 anos, considerando-se que os preços se manterão inalterados
(v=3, w=12)?
𝐶20 3,12, 𝑞 = 2𝑞 36𝑒−0,60 = 12𝑞 0,55 = 6,6𝑞
𝐶𝑀20 = 6,6
𝐶𝑚𝑔20 = 6,6
22/08/2018 25Equipe Microeconomia Aplicada
Demanda contingente – Lema de Shephard
A Demanda por insumos pode ser derivada diretamente da função custo;
Lema de Shephard: a demanda contingente por qualquer insumo é a derivada parcial da função custo total em relação aos preços do insumo
22/08/2018 26Equipe Microeconomia Aplicada
Demanda contingente – Lema de Shephard
Lema de Shephard:
𝐿 = 𝑤𝑙 + 𝑣𝑘 + λ[q−f(k,l)]
𝜕𝐶(𝑣,𝑤,𝑞)
𝜕𝑣=
𝜕𝐿(𝑣,𝑤,𝑞,λ)𝜕𝑣
= 𝑘𝑐(𝑣, 𝑤, 𝑞)
𝜕𝐶(𝑣,𝑤,𝑞)
𝜕𝑤=
𝜕𝐿(𝑣,𝑤,𝑞,λ)𝜕𝑤
= 𝑙𝑐(𝑣, 𝑤, 𝑞)
22/08/2018 27Equipe Microeconomia Aplicada
Lema de Shephard e elasticidade de substituição
Lema de Shephard
sij =𝜕ln
𝑥𝑖𝑥𝑗
𝜕ln𝑤𝑖𝑤𝑗
=𝜕ln
𝐶𝑖𝐶𝑗
𝜕ln𝑤𝑖𝑤𝑗
22/08/2018 28Equipe Microeconomia Aplicada
Curto e Longo Prazo
Curto prazo
• Pelo menos um dos insumos é fixo, considerando que o capital seja mantido fixo em k1:
𝐶𝑐 = 𝑤𝑙 + vk1
22/08/2018 29Equipe Microeconomia Aplicada
Curto prazo
22/08/2018 30Equipe Microeconomia Aplicada
k/período
q0
k1
l0
l/período
q1
q2
l1 l2
Função custo
22/08/2018 31Equipe Microeconomia Aplicada
Custo total (C) – retornos constantes
q/período
C
Custo total (C) – curva cúbica
q/período
C
Cc (k0)
Cc (k1)
Cc (k2)
Cc (k0)
Cc (k2)
SC (k1)
q0q1 q2
q0q1 q2
Função custo cúbica
22/08/2018 32Equipe Microeconomia Aplicada
Custos
q/período
CMLP
CmgLP
CMc (k0)Cmgc (k0)
q0
CMc (k1)
Cmgc (k1)
q1
CMc (k2)
Cmgc (k2)
q2
Maximização do Lucro
Objetivo da Firma: Maximização do Lucro
𝜋 𝑞 = 𝑅 𝑞 − 𝐶 𝑞
𝜕𝜋
𝜕𝑞= 𝜋′ 𝑞 =
𝜕𝑅(𝑞)
𝜕𝑞−
𝜕𝐶 𝑞
𝜕𝑞= 0
• CPO:
𝜕𝑅(𝑞)
𝜕𝑞=
𝜕𝐶 𝑞
𝜕𝑞
𝑅𝑚𝑔 = 𝐶𝑚𝑔
22/08/2018 33Equipe Microeconomia Aplicada
Maximização do Lucro
Objetivo da Firma: Maximização do Lucro
𝜋 𝑞 = 𝑅 𝑞 − 𝐶 𝑞
𝜕𝜋
𝜕𝑞= 𝜋′ 𝑞 =
𝜕𝑅(𝑞)
𝜕𝑞−
𝜕𝐶 𝑞
𝜕𝑞= 0
• CSO:
𝜕2𝜋
𝜕𝑞2=
𝑑𝜋′ 𝑞
𝑑𝑞< 0
q=q* q=q*
22/08/2018 34Equipe Microeconomia Aplicada
22/08/2018 35Equipe Microeconomia Aplicada
CR
q** q*
q*
𝝅
𝑅𝑒𝑐𝑒𝑖𝑡𝑎, 𝑐𝑢𝑠𝑡𝑜/período
𝐿𝑢𝑐𝑟𝑜/𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜/𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜
𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜/𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜
Maximização do Lucro
Receita Marginal
𝑅𝑚𝑔 =𝜕𝑅(𝑞)
𝜕𝑞=
𝑑[𝑝 𝑞 .𝑞]
𝜕𝑞= 𝑝 + 𝑞.
𝑑𝑝
𝑑𝑞
• Se o preço de mercado não se altera com a quantidade ofertada, então:
𝑑𝑝
𝑑𝑞= 0 e 𝑅𝑚𝑔 = p
Se:𝑑𝑝
𝑑𝑞< 0, então Rmg < p
22/08/2018 36Equipe Microeconomia Aplicada
Maximização do Lucro
Exemplo 11.1
•A curva de demanda linear por sanduíches é dada por:
𝑞 = 100 − 10𝑝, resolvendo pra p temos:
𝑝 = −𝑞
10+ 10
• A receita da firma fica:
𝑅 = 𝑝𝑞 = −𝑞2
10+ 10𝑞
𝑅𝑚𝑔 =𝜕𝑅(𝑞)
𝜕𝑞= −
𝑞5+10
22/08/2018 37Equipe Microeconomia Aplicada
Maximização do Lucro
Exemplo 11.1
•A curva de demanda linear por sanduíches é dada por:
𝑞 = 100 − 10𝑝,
• Encontre q* considerando que custo médio e marginal são $4:
• Solução:?
22/08/2018 38Equipe Microeconomia Aplicada
Maximização do Lucro
Exemplo 11.1
•A curva de demanda linear por sanduíches é dada por:
𝑞 = 100 − 10𝑝,
• Encontre q* considerando que custo médio e marginal são $4:
• Solução:
q∗ = 30, 𝑝 = 7 𝑒 𝜋 = 90
22/08/2018 39Equipe Microeconomia Aplicada
Receita marginal e elasticidade
O conceito de receita marginal está diretamente relacionado com elasticidade preço da demanda:
𝑒𝑞,𝑝 =
𝑑𝑞
𝑞𝑑𝑝
𝑝
=𝑑𝑞
𝑑𝑝. 𝑝
𝑞
𝑅𝑚𝑔 = 𝑝 + 𝑞𝑑𝑞
𝑑𝑝= 𝑝 1 +
𝑞
𝑝
𝑑𝑝
𝑑𝑞= 𝑝 1 +
1
𝑒𝑞,𝑝
22/08/2018 40Equipe Microeconomia Aplicada
Receita marginal e elasticidade
Elasticidade preço da demanda e receita margina:
• Se a curva de demanda é negativamente inclinada, 𝑒𝑞,𝑝 < 0 e
Rmg < p;
• Se, a demanda é elástica, 𝑒𝑞,𝑝 < −1 e Rmg > 0;
• Se, a demanda é infinitamente elástica, 𝑒𝑞,𝑝 = −∞ e Rmg=p;
• Se, a demanda é inelástica, 𝑒𝑞,𝑝 ≻ −1 e Rmg < 0;
22/08/2018 41Equipe Microeconomia Aplicada
Receita marginal e elasticidade
Lucro é máximo quando Rmg = Cmg
• C𝑚𝑔 = 𝑝 1 +1
𝑒𝑞,𝑝, ou
𝑝−𝐶𝑚𝑔
𝑝=
1
−𝑒𝑝,𝑞=
1
𝑒𝑞,𝑝
22/08/2018 42Equipe Microeconomia Aplicada
Demanda de mercado – curva de receita média
22/08/2018 43Equipe Microeconomia Aplicada
Preço
q/período
D (receita media)
Rmg
p1
q1
Oferta de curto prazo da firma tomadora de preço
22/08/2018 44Equipe Microeconomia Aplicada
Preço
q/período
ps
Cmgc
CMc
CVMc
P**
q**
P* = RM
q*
P***
q***
Ponto de fechamento da firma (shutdown)
Propriedades da função Lucro
𝜋 = 𝑝, 𝑣, 𝑤 = 𝑚𝑎𝑥𝜋𝑘,𝑙 = 𝑚𝑎𝑥𝑘,𝑙[𝑝𝑓 𝑘, 𝑙 − 𝑣𝑘 − 𝑤𝑙]
• Homogeneidade: homogênea de grau 1 em preços;
• Não decrescente nos preços dos insumos;
• Não decrescente no preço do produto;
• Convexa em relação aos preços do produto:
𝜋 𝑝
1,𝑣,𝑤 +𝜋 𝑝
1,𝑣,𝑤
2≥ 𝜋
𝑝1+𝑝
2
2, 𝑣, 𝑤
22/08/2018 45Equipe Microeconomia Aplicada
Teorema do envelope
𝜋 = 𝑝, 𝑣, 𝑤
𝜕𝜋 𝑝,𝑣,𝑤
𝜕𝑝= 𝑞(𝑝, 𝑣, 𝑤)
𝜕𝜋 𝑝,𝑣,𝑤
𝜕𝑣= −𝑘(𝑝, 𝑣, 𝑤)
𝜕𝜋 𝑝,𝑣,𝑤
𝜕𝑤= −𝑙(𝑝, 𝑣, 𝑤)
22/08/2018 46Equipe Microeconomia Aplicada
Referências Bibliográficas
NICHOLSON, W; SNYDER, C. Microeconomic Theory: Basic Principles and Extensions. 11th Edition (International Edition), 2012 – caps. 10 e 11.
22/08/2018 47Equipe Microeconomia Aplicada
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