Aula 5Aula 5Ótica geométricaÓtica geométrica
Referência: E. Hecht, óptica, Fundação Calouste Gulbekian, segunda edição portuguesa (2002);
objeto
imagem
SP
Sistema ótico
Fonte pontual
Sempre que a cada feixe de raios que diverge a partir de S, corresponde a umfeixe de raios que converge para P, o sistema ótica diz-se estigmático para ospontos S e P.
S e P constituem um par de pontos conjugados
Na prática, ocorre sempre um desvio inevitável da direção de propagaçãoretilínea (difração). Num sistema ótico real o grau máximo de perfeição possívelde atingir na formação de imagens é limitado por difração.
No limite teórico de λ→0, é possível recuperar a propagação retilínea da luz: é o domínio da ótica geométrica
LENTESLENTES
REFRAÇÃO EM SUPERFÍCIES ESFÉRICAS
n2 > n1
s
n1
n2
P
Qual é a forma da interface, de modo que a onda no segundo meio, convirja para P, formando uma imagem perfeita de S ?
O tempo que cada parte da frente de onda leva de S até P deve ser sempre o mesmo (Huygens, 1678)
Principio de Fermat: o percurso ótico medido sobe raios luminosos entre S e P defletidos em pontos A da interface é o mesmo para todos os raios.
A
loli
vértice
SP
n1
n2
V
so si
lon1 +lin2 = son1 + sin2 = constante(equação oval de Descartes)
distância objeto distância imagem
eixo ótico
Para além da focalização de ondas esférica, as interfaces refrigentes (dioptros), permitem efetuar outros tipos de manipulações a forma das frentes de onda.
n1
n2
n2
n1
n2 > n1
elipsóides
Todas estas considerações foram desenvolvidas por Descartes. FoiKepler quem sugeriu em 1611 a utilização de seções cônicas paraconstituição de lentes e espelhos
Elementos óticos com dioptros que não são esféricos nem planos, são conhecidos como asféricos. Embora o seu funcionamento seja fácil de compreender e realizem muito bem certas funções, as lentes asféricas são bastante difíceis de produzir com precisão; todavia sempre que os custos o justificam as lentes asféricas são utilizadas.
Lentes esféricas
Vantagens:
Mais fáceis de fabricar do que as lentes asféricas Custo!
Desvantagens:
As aberrações estão sempre presentes, mas já se consegue fabricarAs aberrações estão sempre presentes, mas já se consegue fabricarLentes com aberrações controladas ao limite da difração.
Refração num dioptro esférico
R
θi
θr
θt
n2
loli
h
A
S PC
R
n1
n2 > n1 θt < θi
so si
V ϕ
so , fo + à esquerda de V
xo + à esquerda de Fo
si , fi + à direita de V
Convenção de sinais para dióptricos esféricos e lentes delgadas
xi + à direita de Fo
R + se C estiver à direita de V
yo , yi + acima do eixo ótico
(inclui grandezas ainda não referidas)
Lei dos co-senos aplicada aos triângulos SAC e ACP e na relação cosϕ = -cos(π -ϕ)
ϕ
ϕ
cos)(2)(
cos)(2)(
22
22
RsRRsRl
RsRRsRl
iii
ooo
−−−+=
+−++=
S PC
R
θiθr
θt
n2
lo li
so si
hV ϕ
A
O percurso ótico (PO) é dado por:
ϕϕ cos)(2)(cos)(2)( 22
2
22
1
21
RsRRsRnRsRRsRnPO
lnlnPO
iioo
io
−+−+++−++=
+=
Quando o ponto A se desloca sobre o dióptrico (com R=cte), o ângulo ϕ pode ser utilizado para parametrizar a posição de A, logo, fazendo d(PO)/dϕ = 0 (principio de Fermat):(principio de Fermat):
02
)(
2
)( 21 =−
−+
i
i
o
o
l
senRsRn
l
senRsRn ϕϕ
E após rearranjo...
−=+
o
o
i
i
io l
sn
l
sn
Rl
n
l
n 1221 1
Variando ϕ, o novo raio não intercepta o eixo ótico em P – aberração esférica
−=+
o
o
i
i
io l
sn
l
sn
Rl
n
l
n 1221 1
Quando ϕ é pequeno, cosϕ ≅1 e senϕ≅ϕ, logo
iiii
oooo
sRsRRsRl
sRsRRsRl
≈−−−+=
≈+−++=
ϕ
ϕ
cos)(2)(
cos)(2)(
22
22
−=+
o
o
i
i
io l
sn
l
sn
Rl
n
l
n 1221 1
−=+
R
nn
s
n
s
n
io
1221
Simplifica como:
Esta aproximação de primeira ordem (senϕ ≅ ϕ) delimita o domínio da ótica geométrica de primeira ordem ou paraxial.
Os raios que se propagam muito próximos ao eixo ótico são designados de raios paraxiais.
A frente de onda emergente associada a estes raios paraxiais é essencialmente esférica e dá origem a uma imagem “perfeita” em P.
Em 1841,Gauss contruiu uma análise da formação de imagens nesta aproximação , e que é conhecida por ótica Gaussiana, paraxial ou de primeira ordem.
Se a imagem do ponto Fo se formar no infinito (si = ∞) então:
−=
∞+
R
nnn
s
n
o
1221 Rnn
nfo
12
1
−=
so = fo
Distância focal objeto
Fo
Se a imagem do ponto Fi se formar no infinito (so = ∞) então:
−=+
∞ R
nn
s
nn
i
1221 Rnn
nf i
12
2
−=
si = fi
Distância focal imagem
f i ≠ foFi
f i ≠ fo
Lentes delgadas
−=+
111 R
nn
s
n
s
n ml
i
l
o
m
Índice do meio
Índice da lente
Posição do objetoPosição da imagemPosição da imagem
Se so < fo si torna-s negativo (virtual)
S
P
C CV VP’
−=+
111 R
nn
s
n
s
n ml
i
l
o
m
−=+
2022 R
nn
s
n
s
n lml
i
m
Primeiro dióptro Segundo dióptro
S C2 C1
d
V1 V2P’
R1R2
so1
si1
so2
si2
S
P
C CV VP’
| so2 | = | si1 | + d
Pela convenção de sinais:so2 = - si1 + d
S C2 C1
d
V1 V2P’
R1R2
so1
si1
so2
si2
Somando as equações para o primeiro e segundo dióptro:
Para lentes delgadas d→0 e o último termo do segundo membro se anula. No ar, nm ≈ 1:
( ) 112121
11)(
ii
lml
i
m
o
m
sds
dn
RRnn
s
n
s
n
−+
−−=+
−−=+
21
11)1(
11
RRn
ssl
io
No ar, nm ≈ 1:
Equação das lentes delgadas!
oi
oosiiis
l
io
n
ff
fsfs
RRn
ss
o
11)1(
1
limlim
11)1(
11
21
−−=
=
=↔=
−−=+
∞→∞→
io
l
ssf
RRn
f
111
11)1(
1
21
+=
−−=
Fórmula de Gauss
Associação de lentes delgadasAssociação de lentes delgadas
f1 f2 f3 fn
...
f1 f2 f3 fn
1/f = 1/f1 +1/f2 + 1/f3 + ... + 1/fn
Distância focal efetiva para lentes em contacto ou coladas
Potência dióptrica
D = 1/f→ D = D1 +D2 + D3 + ...+ Dn
Quando fazemos um feixe de luz atravessar duas lentes consecutivas, temos uma associação de lentes que possui um foco efetivo dado por:
2121
111
ff
d
fff−+=
d
O olho humanoO olho humano
A zona de junção do nervo ótico com o olho é insensível à luz pois não contém qualquer célula receptora; tem o nome de ponto cego.
SIMAS, Maria Lúcia de Bustamante; SANTOS, Natanael Antonio dos. O fenômeno de muitas-faces: investigações fenômeno de muitas-faces: investigações preliminares. Psicol. Reflex. Crit., Porto Alegre, v. 18, n. 1, Apr. 2005 .
Idade (anos) Ponto próximo (cm)
O ponto mais afastado para o qual é possível a visão distinta é chamado ponto remoto
A distância mínima de visão distinta é dada pelo ponto próximo.
10 7
20 10
30 14
40 22
50 40
60 200
A lupa, microscópio simples ou lente de aumentoA lupa, microscópio simples ou lente de aumento
O tamanho aparente de um objeto é determinado pelo tamanho de suaimagem na retina, o qual, por sua vez, a olho nú, depende do ângulosubtendido pelo objeto.
θ
Quando se quer examinar detalhadamente um objeto diminuto, coloca-se o mesmo próximo ao ôlho, afim de que o ângulo subtendido seja o maior possível.
P≈ 25 cm
Ponto próximo
y
θ’
Imagem virtual
y
≈ 25 cm
Colocando uma lente convergente em frente à vista, a acomodação pode ser aumentada; o objeto fica, então, situado aquém do ponto próximo, e subtende,portanto, um ângulo maior.
so
O aumento M da lupa (que não deve ser confundido com amplificação) é definido como a relação entre os ângulos θ’ e θ:
θ≈ y/25
Usando 1/so + 1/si = 1/f si = -25 cm
so = 25f/(25 + f)
θ’ ≈ y/so
M = θ’/ θ = (25/f) + 1
Se a imagem é formada no infinito (si = ∞), so = f
M = 25/f
O telescópio
Não se sabe ao certo a quem se deve a invenção do telescópio- foi provavelmente inventado e reinventado várias vezes.
O telescópio (luneta astronômica)
A luneta astronômica é usada na observação de objetos distantes, que são grandes mas nos parecem pequenos por estarem muito distantes de nós. Na sua forma mais simples é, como o microscópio, constituída por um tubo com uma lente em cada extremidade.
objetivaocular
Imagem real
Imagem virtual no infinito
θ θ’
F’1
F’2 ,F1
tgθ≈θ=y´/ftgθ’≈θ’=y´/f’MA = θ’/θ =f/f’
f
θ y’
f’
Na prática a posição da imagem intermediária é fixa e a focagem se faz por deslocamento da ocular
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