Funções Trigonométricas
Prof.: Rogério Dias Dalla Riva
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSOCAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP
CURSO DE ENGENHARIA CIVILDISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS
Funções Trigonométricas
1.Funções Trigonométricas
2.Identidades Trigonométricas
3.Cálculo de Funções Trigonométricas
4.Resolução de Equações Trigonométricas
3
Há duas maneiras usuais de encarar o estudo datrigonometria. Em uma delas, definem-se as funçõestrigonométricas como razões de dois lados de umtriângulo retângulo. Em outra, tais funções sãodefinidas em termos de um ponto no lado terminal deum ângulo arbitrário. Definem-se a seguir, de ambosos pontos de vista, as seis funções trigonométricas.
1. Funções trigonométricas
4
Definição pelo Triângulo Retângulo: 0 <θ<π/2
1. Funções trigonométricas
. . .csc
. . .
. . .cos sec
. . .
. . . .cot
. . . .
cat op hipsen
hip cat op
cat adj hiphip cat adj
cat op cat adjtg
cat adj cat op
θ θ
θ θ
θ θ
= =
= =
= =
5
Definição como Função Circular: θ é um ânguloarbitrário em posição padrão e (x, y) é um ponto nolado terminal do ângulo.
1. Funções trigonométricas
csc
cos sec
cot
y rsen
r y
x rr x
y xtg
x y
θ θ
θ θ
θ θ
= =
= =
= =
6
Na segunda definição das seis funçõestrigonométricas, o valor de r é sempre positivo.Decorre daí que os sinais das funções trigonométricassão determinados a partir dos sinais de x e y.
2. Identidades trigonométricas
cos
cos 1cot sec
cos
1 1cs
sentg
sen
cot ctg sen
θθθθθ θθ θ
θ θθ θ
=
= =
= =
7
Além disso, como
obtemos a Identidade de Pitágoras.
Nota: Usa-se o símbolo sen2θ para representar(sen θ)2.
2. Identidades trigonométricas
2 2 2 2 22 2
2 2s n cos 1y x x y r
er r r r
θ θ + + = + = = =
8
Identidades Pitagóricas
2. Identidades trigonométricas
2 2
2 2
2 2
s n cos 1
1 sec
1 csc
e
tg
cot
θ θθ θ
θ θ
+ =+ =
+ =
9
Soma ou Diferença de Dois Ângulos
2. Identidades trigonométricas
s n ( ) cos cos
cos ( ) cos cos
( )1
e sen sen
sen sen
tg tgtg
tg tg
θ φ θ φ θ φθ φ θ φ φ θ
θ φθ φθ φ
± = ±± =
±± =
∓
∓
10
Ângulo Duplo
2. Identidades trigonométricas
2 2
2 2
s n 2 2 cos
cos 2 cos
cos 2 2cos 1 1 2
e sen
sen
sen
θ θ θ
θ θ θθ θ θ
=
= −= − = −
11
Fórmulas de Redução
2. Identidades trigonométricas
s n ( )
cos ( ) cos
( )
s n ( )
cos cos ( )
( )
e sen
tg tg
e sen
tg tg
θ θθ θ
θ θθ θ π
θ θ πθ θ π
− = −− =
− = −= − −
= − −= −
12
Ângulo Metade
2. Identidades trigonométricas
2
2
1s n (1 cos 2 )
21
cos (1 cos 2 )2
e θ θ
θ θ
= −
= +
13
Exemplo 1: Calcule o seno, o cosseno e a tangente deπ/3.
3. Cálculo de funções trigono-métricas
Inicialmente, tracemos oângulo θ = π/3 em posiçãopadrão, conforme a figu-ra ao lado.
14
Exemplo 1: Calcule o seno, o cosseno e a tangente deπ/3.
3. Cálculo de funções trigono-métricas
Como π/3 radianos corres-pondem a 60o, podemos ima-ginar um triângulo equiláterocom lados de comprimento 1 eθ como um de seus ângulos.Como a altura do triângulobissecciona sua base, sabemosque x = ½. Assim, pelo Teoremade Pitágoras, temos
15
Exemplo 1: Calcule o seno, o cosseno e a tangente deπ/3.
3. Cálculo de funções trigono-métricas
Portanto:
22 2 1 3 3
12 4 2
y r x = − = − = =
332
3 1 21 12cos
3 1 2
32 3
132
ysen
r
xr
ytg
x
π
π
π
= = =
= = =
= = =
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3. Cálculo de funções trigono-métricas
Medida em graus de θθθθ 0 30o 45o 60o 90o
Medida em radianos de θθθθ 0 ππππ/6 ππππ/4 ππππ/3 ππππ/2
sen θθθθ 0 1/2 1
cos θθθθ 1 1/2 0
tg θθθθ 0 1não-
definido
22
32
32
22
33
3
A seguir são apresentados os senos, cossenos etangentes de vários ângulos usuais.
17
3. Cálculo de funções trigono-métricas
Para entender a utilização dos valores databela anterior a ângulos em quadrantes que não oprimeiro, valemo-nos do conceito de ângulo dereferência, conforme a figura acima, juntamente como sinal adequado do quadrante.
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3. Cálculo de funções trigono-métricas
O ângulo de referência para um ângulo θ é omenor ângulo positivo entre o lado terminal de θ e oeixo x. Por exemplo, o ângulo de referência para 135o
é 45o, e o ângulo de referência para 210o é 30o.
19
Exemplo 2: Calcule: (a) sen 3π/4, (b) tg 330o e(c) cos 7π/6.
3. Cálculo de funções trigono-métricas
3 24 4 2
sen senπ π= =
Como o ângulo dereferência para 3π/4 é π/4e o seno é positivo nosegundo quadrante, podemosescrever
20
3. Cálculo de funções trigono-métricas
3330 30
3o otg tg= − = −
Como o ângulo dereferência para 330o é 30o ea tangente é negativa noquarto quadrante, podemosescrever
Exemplo 2: Calcule: (a) sen 3π/4, (b) tg 330o e(c) cos 7π/6.
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3. Cálculo de funções trigono-métricas
7 3cos cos
6 6 2π π= − = −
Como o ângulo dereferência para 7π/6 é π/6e o cosseno é negativo noterceiro quadrante, pode-mos escrever
Exemplo 2: Calcule: (a) sen 3π/4, (b) tg 330o e(c) cos 7π/6.
22
(a) Pela fórmula de redução sen (-θ) = - sen θ.
(b) Pela fórmula do inverso, sec θ = 1/cosθ.
3. Cálculo de funções trigono-métricas
33 3 2
sen senπ π − = − = −
Exemplo 3: Calcule: (a) sen (-π/3), (b) sec 60o,(c) cos 15o, (d) sen 2π, (e) cot 0o e (f) tg (9π/4).
1 1sec 60 2
cos60 1/ 2o
o= = =
23
(c) Pela fórmula da diferença cos (θ - φ) = cos θ cos φ+ sen θ sen φ.
(d) Como o ângulo de referência para 2π é 0,
3. Cálculo de funções trigono-métricas
( )cos15 cos 45 30 cos45 cos30 sen45 sen30
2 3 2 1 6 22 2 2 2 4
o o o o o o o= − = + =
+= ⋅ + ⋅ =
Exemplo 3: Calcule: (a) sen (-π/3), (b) sec 60o,(c) cos 15o, (d) sen 2π, (e) cot 0o e (f) tg (9π/4).
sen 2 sen 0 0π = =
24
(e) Utilizando a fórmula do inverso, cotg θ = 1/tg θ e ofato de que tg 0 = 0, concluímos que cotg 0 não édefinida.
(f) Como o ângulo de referência para 9π/4 é π/4 e atangente é positiva no primeiro quadrante
3. Cálculo de funções trigono-métricas
91
4 4tg tg
π π= =
Exemplo 3: Calcule: (a) sen (-π/3), (b) sec 60o,(c) cos 15o, (d) sen 2π, (e) cot 0o e (f) tg (9π/4).
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3. Cálculo de funções trigono-métricas
71,5
71,5
50 2,98868
149,4
o
o
ytg
xy x tg
y
y pés
=
= ⋅≈ ⋅≈
Exemplo 4: Um agrimensor de pé, está a 50 pés dedistância da base de uma grande árvore. Ele mede oângulo de elevação em relação ao topo da árvore eobtém 71,5o. Qual é a altura da árvore?
26
3. Cálculo de funções trigono-métricas
Exemplo 5: Para medir a extensão de sua visãoperiférica, fique em pé, à distância de 1 pé do cantode uma sala, olhando para o canto. Faça com que outrapessoa mova um objeto ao longo da parede, até quevocê mal possa vê-lo. Se o objeto está a 2 pés docanto, conforme a figura seguinte, qual é o ângulototal de sua visão periférica?
27
3. Cálculo de funções trigono-métricas
Seja α o ângulo total de sua visão periférica.Conforme a figura abaixo, podemos modelar asituação física com um triângulo retângulo isóscelescujos catetos têm 21/2 pés cada um e cuja hipotenusatem 2 pés. No triângulo, o ângulo θ é dado por
2
2 13,414
ytg
x
tg
tg
θ
θ
θ
=
=−
≈
28
3. Cálculo de funções trigono-métricas
Utilizando a função inversa da tangente em umacalculadora, podemos determinar θ ≈ 73,7o Assim, α/2 ≈ 180o - 73,7o = 106,3o, o que implica queα ≈ 212,6o. Em outras palavras, o ângulo total de suavisão periférica é da ordem de 212,6o.
29
Considere, por exemplo, a equação sen θ = 0.Sabemos que θ = 0 é uma solução. Por outro lado, noExemplo 3d, vimos que θ = 2π é outra solução. Masestas não são as únicas soluções. Na verdade, estaequação tem um número infinito de soluções. Qualquerum dos valores seguintes de θ serve:
Para simplificar a situação, costumamosrestringir a busca de soluções ao intervalo .
4. Resolução de equações tri-gonométricas
0 2θ π≤ ≤
, 3 , 2 , , 0, , 2 , 3 ,π π π π π π− − −… …
30
Exemplo 6: Resolva cada equação em relação a θ.Suponha .
4. Resolução de equações tri-gonométricas
( ) cos 1b θ =
0 2θ π≤ ≤
3( )
2a sen θ = −
( ) 1c tg θ =
31
(a) Para resolver a equação , notemos pri-meiro que
4. Resolução de equações tri-gonométricas
33 2
senπ =
32
sen θ = −
Como o seno é negativo no terceiro e quartoquadrantes, devemos procurar valores de θ nessesquadrantes que tenham ângulo de referência deπ/3. Os dois ângulos que satisfazem estes critériossão: θ = π + π/3 = 4π/3 e θ = 2π - π/3 = 5π/3.
32
(b) Para resolver cos θ = 1, notemos que cos 0 = 1 eque, no intervalo [0, 2π], os únicos ângulos cujosângulos de referência são 0 são os ângulos 0, π e2π. Destes, 0 e 2π têm cosseno 1. (O cosseno de π é-1). Assim, a equação tem duas soluções:
θ = 0 e θ = 2π
4. Resolução de equações tri-gonométricas
33
(c) Como tg π/4 = 1 e a tangente é positiva no primeiroe no terceiro quadrantes, temos que as duassoluções são:
θ = π/4 e θ = π + π/4 = 5π/4
4. Resolução de equações tri-gonométricas
34
Exemplo 7: Resolva, em relação a θ, a equação
Podemos utilizar a identidade do ângulo duplo
Para escrever a equação como segue:
4. Resolução de equações tri-gonométricas
cos 2 2 3 , 0 2senθ θ θ π= − ≤ ≤
2cos 2 1 2senθ θ= −
2
2
cos 2 2 3
1 2 2 3
2 3 1 0
(2 1) ( 1) 0
sen
sen sen
sen sen
sen sen
θ θθ θ
θ θθ θ
= −− = −
− + =− ⋅ − =
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