Vetores– Um vetor é uma ficção, uma entidade criada para descrever
“coisas” no mundo que têm direção e sentido.
Que coisas são essas? • o vento;• o fluxo de H2O de um rio;
• a emissão puntiforme de luz;• um campo elétrico;• a velocidade de um trem bala;• o movimento dos planetas (aliás, a teoria de Newton não
explica por que os planetas se movem todos num mesmo sentido), etc.
1. DEFINIÇÃO
Para bem determinar a posição de um vetor é necessário a escolha de um sistema de coordenadas.
Sistema de coordenadas retangulares ou cartesianas
Define-se um sistema de coordenadas cartesianas quando é dada uma unidade linear para medir os comprimentos e dois eixos perpendiculares ordenados numa ordem qualquer.
. P(x,y)
x
y
0 x’
y’
O ponto P(x,y) significa que o ponto P tem por abscissa o nº x e por ordenada o n.º y.
2.1 SISTEMAS DE COORDENADAS
Representação gráfica– A representação gráfica de um vetor é a de uma flecha apontando
para algum lugar. • Propriedades
- direção;- sentido;- magnitude.
– Grandezas vetoriais: a aceleração, a velocidade e o deslocamento, força, etc.
– Grandezas escalares: a massa, o tempo e a temperatura, densidade, etc.
2.2 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
– Por convenção, para saber que estamos falando de vetores e não de variáveis ou outro ente matemático qualquer, designamos o vetor por uma letra e utilizamos uma flecha sobre a letra.
– Mas há outras maneiras de representar um vetor. Imagine, por exemplo, um vetor no plano:
u
2.3 REPRESENTAÇÃO SIMBÓLICA
Representação simbólica– A sua origem e a sua extremidade podem ser associadas a pontos no plano xy.
y2
y1
x2x1
A
X
Y
B
Assim, o vetor acima pode ser representado como o segmento orientado e seu comprimento é dado por B – A. As coordenadas de A são (x1, y1) e as
coordenadas de B são (x2, y2).
Logo, o comprimento do vetor AB é dado por B – A = (x2 - x1 , y2 - y1)
AB
2.3.1 REPRESENTAÇÃO SIMBÓLICA ASSOCIADA A PONTOS
Exemplo– Seja = [2,2].
y2
y1
x2x1
A
X
Y
B
Podemos associar a o segmento de reta orientado com ponto inicial A(1,2) e ponto final B(3,4).
= B – A = (3-1, 4-2)=(2,2)
u
(3,4)
(1,2)
u
u
2.3.1 REPRESENTAÇÃO SIMBÓLICA ASSOCIADA A PONTOS
Operações com vetores– Considere 2 vetores: e .u
v
v
u
A resultante + é obtida pela chamada “lei do paralelogramo”.
Construímos um paralelogramo unindo a origem dos dois vetores e traçando retas paralelas a e a partir de suas extremidades.
uv
uv
3. OPERAÇÕES
v
u
vu +
A lei do paralelogramo foi idéia de Aristóteles quando este estudava a composição de forças no caso particular do retângulo.
3.1 LEI DO PARALELOGRAMO
• Em termos de suas coordenadas, a soma se dá componente a componente:
• Definição:Sejam e dois vetores no plano. A soma
dos vetores e é o vetor .
Exemplo:Sejam e então,
),( 11 yxu = ),( 22 yxv =
uv
),( 2121 yyxxvu ++=+
)2,1(=u )4,3( −=v)2,4())4(2,31( −=−++=+ vu
1.ª coordenada
2.ª coordenada
3.2 SOMA ALGÉBRICA
Representamos o vetor + (-1) por
Esse vetor é a diferença de e .u
v vu
−uv
u
v
v−
vu −
3.3 DIFERENÇA
Considere que o vetor tem a magnitude de uma unidade. Se multiplicarmos esse vetor por um número real qualquer, por exemplo, 3, o vetor tem sua magnitude aumentada para 3 unidades. A direção é conservada se o escalar for ≥0, caso contrário, o vetor assume a direção oposta.
w
w
3.4 Produto de um vetor por um escalar
Se a = 2, b = -3 e = (1,-2), então:
e
w
)4,2()2,1(2. −=−=wa
)6,3()2,1(3. −=−−=wb
Exemplo:
3.4.1 Produto de um vetor por um escalar – forma algébrica
O produto escalar dos vetores de dimensão n:
a = (a1,a2,...an) e b = (b1,b2,...,bn), é definido por:
a.b = a1b1 + a2b2 + ...+ anbn =
Exemplo
Calcule o produto escalar de = (1,-2,3,4) e = (2,3,-2,1).
. = 1.2 + (-2).3 + 3.(-2)+ 4.1 = -6
∑=
n
iiiba
1
u
v
uv
3.5 Produto Escalar
O comprimento, tamanho ou norma de um vetor = (x,y) é:u
22 yxu +=
y1
x
y
→u
x10
3.6 COMPRIMENTO OU NORMA DE UM VETOR
3.6 COMPRIMENTO OU NORMA DE UM VETOR
5
25
169
2423
22
:será norma sua então ,(3,4)u se Exemplo,
=
=
+=
+=
+=
=
u
u
u
u
yxu
O produto escalar entre dois vetores resulta num número que mede a tendência de outro vetor apontar na mesma direção e é dado por:
vuvu
.
.cos =θ
onde θ é o ângulo formado p or e . uv
θ
u
v
3.7 Ângulo Entre Dois Vetores
ExemploEncontre o ângulo entre os vetores = (2,4) e = (-1,2).
θcos... vuvu =
u
v
. = 2.(-1) + 4.2 = 6uv
2042 22 =+=u
52)1( 22 =+−=v
Portanto, 6,05.20
6cos ==θ
Usando a calculadora, descobrimos que o ângulo é aproximadamente 53º.
3.7 Ângulo Entre Dois Vetores
Ângulo entre dois vetores→→→→
⊥⇔=⇔= vuvu 0cos0. θO produto escalar entre dois vetores não nulos é zero se, e só se, o cosseno do ângulo entre eles é zero e, isto só acontece quando os vetores são perpendiculares .
Exemplo
Os vetores = (2,-4) e = (4,2)
são ortogonais, já que:
u
v
02).4(4.2. =−+=vu
3.7.1 Ângulo Entre Dois Vetores - Ortogonalidade
Um vetor unitário é um vetor de comprimento 1. Se é um vetor não-nulo, então o vetor:
é um vetor unitário com a mesma direção e sentido que .
xx
u .1
=
x
x
3.8 Versor ou Vetor unitário
ExemploSeja x = (-3,4). Então:
Logo, o vetor
É um vetor unitário, pois:
54)3( 22 =+−=x
( )
+−=−==
5
4
5
34,3
5
1.
1x
xu
125
169
5
4
5
322
=+=
+
−=u
3.8 Versor ou Vetor unitário
Produto vetorial
Diferentemente do produto escalar, que dá como resultado um número, o produto vetorial tem como resultado, um outro vetor.
Definição: Sejam = a1î + b1ĵ + c1k e = a2î + b2ĵ + c2k dois vetores em ℜ3. Seu produto vetorial é o vetor x definido por:
222
111
cba
cba
kji
vu =×
4.PRODUTO VETORIAL
Produto vetorialA igualdade anterior também pode ser escrita da seguinte forma:
Exemplo:Sejam =2î + j + 2k e = 3î –j – 3k, então:
kba
baj
ca
cai
cb
cbvu ...
22
11
22
11
22
11 +−=×
)5,12,1(5121
313
212 −−=−+−=−−
=× kji
kji
vu
4.1 Produto Vetorial
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