Aula - 14Rotações IV
Curso de Física Geral
- Conservação do momento angularNo sistema homem - halteres só há forças internas e, portanto,
ffiiz IIconstIL .)(
iI fi fI
Momento angular inicial do sistema roda de bicicleta – menino (+ banco)
ibicbici ILL
Menino inverte o eixo de rotação da roda de bicicleta
ibic LL
Conservação do momento angular- Exemplo 1
srotemkgImkgI itotbic /9,3.8,6;.2,1 22 Dados
Queremos calcular a velocidade angular final do sistema após o menino inverter o eixo de rotação da roda de bicicleta (ver figura)
Conservação do momento angular pois só há forças internas no sistema
itot II 2
imen
iimenif
LL
LLLLL
2
Momento angular final do sistema
imenmenbicf LLLLL
- Exemplo 1
srotII
tot
i /4,12
)(exti
ii FrdtLd
- Conservação do momento angularNo caso da mergulhadora da figura ao lado o momento angular total não se conserva pois
Mas, no referencial do CM (acelerado neste caso)
0
grmFrdtLd
iii
iii
0
.0 constLdtLd
gM
R L
e o CM segue o movimento parabólico !
- Rolamento
Este é o caso em que a distância percorrida pelo CM do objeto é dada por
Rs
onde é o deslocamento angular do objeto em torno de um eixo que passa pelo CM do sistema.
A velocidade do CM é dada por
RdtdR
dtdsvCM
Note que o ponto de contato P está sempre em repouso!
0v
Rs
s
- Rolamento
RdtdR
dtdsvCM
R
CMv CMv
+ =
RdtdR
dtdsvCM
CMv
CMv CMv
CMv
CMv2
0v
Decomposição do rolamento em rotação + translação
- Rolamento
- Rolamento
Velocidade de um ponto em qualquer posição do corpo rígido
CMvv
Qv
CMvQ
Energia cinética do corpo rígido
Exemplo
222
222
21)(
21
21
21
IMRIK
MRIK
CM
CM
I
gM
gMaF
aF
- Rolamento
Atrito no rolamento
Transforma energia cinética de rotação em translação
Transforma energia cinética de translação em rotação
- Exemplo 2O iô-iô
Z
Mg
T
Torque externo relativo ao CM quando o iô-iô desce
CMIT
Dinâmica linear
TMgMa
Condição de rolamentoa
TI
ae
IMMgT
CM
CM
2
2
1
Z
Mg
T
- Exemplo 2
Note que se o iô-iô sobe, a velocidade angular é a mesma, mas o torque muda de sinal
CMIT
Por outro lado, o fio se enrola e a condição de rolamento também muda de sinal
aComo a equação da translação não muda temos novamente
TI
ae
IMMgT
CM
CM
2
2
1
- Exemplo 2
Z
Mg
T
Podemos ainda resolver o mesmo problema usando a conservação de energia
021
21 22 MgZIMv CMCM
A condição de rolamento é
CMv
22 /2 MIgZMv CMCM
Sinal (+) para a subida e (–) para a descida. Equação que relaciona posição com velocidade no movimento uniformemente acelerado.
- Exemplo 3Rolamento sobre um plano inclinado
gMaF
N y
x
h
0cos MgN
Na direção y
Na direção x
MaFMg a sin
Torque relativo ao CM
CMa IRF
R
Condição de rolamento sem deslizamento Ra
Momento de inércia 2MkICM k é o raio de giração
gM
aF
N y
x
h
R
- Exemplo 3
2
2
1
sin
Rk
ga
e
7/53/22/1
1
1
2
2
Rk
anelcilindro
esfera
22
2
sinRk
kMgFa
Temos ainda
como cosMgFF eea
re kRk tantan 2
22
Ângulo máximo para que haja rolamento sem deslizamento
- Colisões com rolamento
O atrito entre as bolas de sinuca é desprezível, mas o atrito entre a bola de sinuca e a mesa é muito grande
Transmissão parcial do momento linear da bola incidente
Transmissão total do momento linear da bola incidente
(análise qualitativa)
- Colisões com rolamento
Diferentes momentos angulares transmitidos à bola
Possíveis resultados da colisão com uma bola que incide com momento angular não nulo
(análise qualitativa)
- Precessão do momento angularPiãoMódulo do torque da força peso
sinMgr
Lei fundamental da dinâmica das rotações
tL
tMgrL sin
sinsin ILLDa figura temos
- Precessão do momento angular
sinsin ItMgr
IMgr
dtd
Velocidade angular de precessão
- Precessão do momento angularCentro de massa do pião executa movimento circular com uma aceleração centrípeta
sin2rac Força de atrito pião-piso é responsável por esta aceleração
sin2rMFa Como MgFa
rg2sin
para que a ponta do pião fique fixa e haja apenas movimento de rotação!
aF
- Precessão do momento angularComo a Terra é um esferóide oblato a Lua e o Sol provocam forças como as mostradas abaixo e em 13000 anos...
0v
af
Inicialmente, a bola de boliche não está girando. O coeficiente de atrito cinético é c.
mgNf cca
Dinâmica linear: gamgfma cCMcaCM
Dinâmica angular:
Rg
mRImgRRf
c
CMcaa
25
52 2
O rolamento sem deslizamento começa quando v=R
gtv
gttRtRgtvtv
c
cc
27
25)(
0
00
gvtc7
2 0
- Exemplo 4
A velocidade da bola no começo do rolamento será
0000 75
72 vvvgtvtv c
A distância percorrida até o rolamento é
gvd
gdvgdvtv
c
cc
20
20
20
2
4912
2492512
R
gm
af N
Uma bola homogênea de raio r é solta do repouso do alto de um domo esférico de raio R e desce rolando. Calcule o ângulo em que ela perde contato com o domo.
Em qualquer momento antes da perda de contato, a dinâmica do CM é um movimento circular acelerado. Portanto, na direção radial
Rr
vgmNRr
vmNmg22
coscos
A perda de contato acontece quando N=0. Precisamos relacionar v com .
- Exemplo 5
Podemos usar a conservação da energia mecânica (a força de atrito estático e a normal não realizam trabalho).
cos107cos
107
51
21
52
21
21
2
222
22
RrmgmvERrmgmghU
mvmvrvmrmvK
cos17
10
cos107
2
2
Rrgv
RrmgmvERrmgE fi
10cos177
mgN occ 54
1710cos
Uma escada de comprimento l está encostada numa parede lisa fazendo com ela um ângulo . Ela está em contato com o chão e o coeficiente de atrito estático é e. Qual o ângulo máximo para que ela não deslize.
1N
2Ngm
af
Equilíbrio na rotação (em relação ao ponto de contato com o chão):
tan2
0cossen2 11
mgNlNlmg
mgNfN eea 21
Equilíbrio do CM na direção x: 1Nfa Equilíbrio do CM na direção y: 2Nmg
mgmgetan
2 e 2tan
- Exemplo 6
Exercícios de Revisão
Um disco com densidade constante e raio 2R tem um furo de raio R como mostrado na figura.O disco tem densidade de massa constante . Onde está o centro de massa desta figura?
R2R
xCM
xCM =R/3
Resposta:
Um cachorro de 5 kg está parado dentro de um barco. O cachorro se encontra a 6m da margem. Ele anda 2,4 m sobre o barco em direção a margem e para. O barco tem massa de 20 kg. Não existe atrito com a água. A que distância da margem estará o cachorro no final?
O centro de massa do sistema barco + cachorro não se desloca!
Resposta: lcf = 4.08 m
A molécula de oxigênio, O2, tem massa de 5,3x10-36 kg e momento de inércia 1,94x10-46 kg. m2 em relação a um eixo que passa pelo seu centro perpendicularmente a linha que une os átomos. Suponha que o valor médio velocidade da molécula seja de 500 m/s e sua energia cinética de rotação seja igual a dois terços da energia de translação. Calcule o valor médio da velocidade angular.
Resposta: <> 4.77x107 rd/s
Um disco de momento de inércia I1 gira com velocidade angular i ao redor de um eixo. Um segundo disco de MI I2 e que não está girando, cai sobre o primeiro. Devido ao atrito eles atingem a mesma velocidade final f. (a) calcule f. (b) Mostre que a energia cinética do sistema diminui, calcule a razão das energias rotacionais.
21
1
III
K
K
i
f
i
21
1f II
I
Respostas:
Uma casca esférica uniforme gira em torno de um eixo vertical sem atrito. Uma corda leve passa em torno de seu equador e por uma polia e tem pendente à outra extremidade um pequeno peso. Qual a velocidade do peso, inicialmente em repouso, após ter descido uma distância h?
21
2
f
m3M2
mrI1
gh2v
Resposta:
Uma bola de vidro massa m e raio r, rola sem deslizar ao longo do trilho curvo da figura. (a) De que altura mínima deve ser abandonada a bola a fim de que se mantenha no trilho até o topo da circunferência? (b) Se a bola for abandonada em h = 6R, qual vai ser a componente horizontal da força em Q?
Respostas:
(a) H = 2,7 R
(b) N = 7,17 mg
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