Assíntotas
Prof.: Rogério Dias Dalla Riva
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSOCAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP
CURSO DE ENGENHARIA CIVILDISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS
Assíntotas
1.Assíntotas verticais e limites infinitos
2.Assíntotas horizontais e limites no infinito
3.Assíntotas inclinadas
3
Recorde que, a funçãof(x) = 3/(x – 2) é não-limitadaquando x → 2. Descrevemosesse tipo de comportamentodizendo que a reta x = 2 é umaassíntota vertical do gráficode f. O tipo de limite em quef(x) → ∞ (ou -∞) quando x → cpela esquerda ou pela direita éum limite infinito.
1. Assíntotas verticais e limi-tes infinitos
4
Os limites infinitos paraa função f(x) = 3/(x – 2) podemescrever-se como
1. Assíntotas verticais e limi-tes infinitos
2 2
3 3lim lim
2 2x xe
x x− +→ →= −∞ = ∞
− −
5
1. Assíntotas verticais e limi-tes infinitos
Um dos casos mais comuns de assíntotavertical é o gráfico de uma função racional – isto é,uma função da forma f(x) = p(x)/q(x), onde p(x) eq(x) são polinômios. Se c é um número real tal queq(c) = 0 e p(c) ≠ 0, então o gráfico de f tem umaassíntota vertical em x = c.
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1. Assíntotas verticais e limi-tes infinitos
Exemplo 1: Determinação de limites infinitos
Limite à esquerda Limite à direita
1
1lim
1x x−→= −∞
− 1
1lim
1x x+→= ∞
−
7
1. Assíntotas verticais e limi-tes infinitos
Exemplo 1: Determinação de limites infinitos
Limite à esquerda Limite à direita
1
1lim
1x x−→
− = ∞− 1
1lim
1x x+→
− = −∞−
8
1. Assíntotas verticais e limi-tes infinitos
Exemplo 1: Determinação de limites infinitos
Limite à esquerda Limite à direita
21
1lim
( 1)x x−→
− = −∞− 21
1lim
( 1)x x+→
− = −∞−
9
1. Assíntotas verticais e limi-tes infinitos
Exemplo 1: Determinação de limites infinitos
Limite à esquerda Limite à direita
21
1lim
( 1)x x−→= ∞
− 21
1lim
( 1)x x+→= ∞
−
10
1. Assíntotas verticais e limi-tes infinitos
Cada um dos gráficos do Exemplo 1 temapenas uma assíntota vertical. Porém, o gráfico deuma função racional pode ter mais de umaassíntota vertical.
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1. Assíntotas verticais e limi-tes infinitos
Exemplo 2: Determine as assíntotas
verticais do gráfico de .
As assíntotas verticais correspondem aosvalores de x para os quais o denominador é zero.
2
2( )
2x
f xx x
+=−
2 2 0
( 2) 0
0 2
x x
x x
x e x
− =⋅ − == =
12
1. Assíntotas verticais e limi-tes infinitos
Como o numerador de f(x)
não se anula em nenhum desses
valores, concluímos que o gráfico
de f tem duas assíntotas verticais
– uma em x = 0 e uma em x = 2.
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1. Assíntotas verticais e limi-tes infinitos
Exemplo 3: Determine as assíntotas
verticais do gráfico de .
Fatore primeiro o numerador e odenominador, e cancele os fatores comuns.
2
2
2 8( )
4x x
f xx+ −=
−
2
2
( 4) ( 2)2 8 ( 4) ( 2)( )
4 ( 2) ( 2)
x xx x x xf x
x x x
+ ⋅ −+ − + ⋅ −= = =− + ⋅ − ( 2) ( 2)x x+ ⋅ −
( 4), 2
( 2)x
xx
+= ≠+
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1. Assíntotas verticais e limi-tes infinitos
Para todos os valores de
x ≠ 2, o gráfico desta função
simplificada é o mesmo que o
gráfico de f. Podemos, assim,
concluir que o gráfico de f tem
apenas uma assíntota vertical, que
ocorre em x = -2.
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1. Assíntotas verticais e limi-tes infinitos
Exemplo 4: Ache os limites
Como o denominador é zero quando x = 1, mas o
numerador não o é, decorre que o gráfico da
função tem uma assíntota vertical em x = 1. Isto
implica que cada um dos limites dados é +∞ ou -∞.
2 2
1 1
3 3lim lim
1 1x x
x x x xe
x x− +→ →
− −− −
2 2
1 1
3 3lim lim
1 1x x
x x x xe
x x− +→ →
− −= +∞ = −∞− −
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2. Assíntotas horizontais elimites no infinito
Outro tipo de limite, chamado limite noinfinito, dá um valor finito para o qual tende umafunção quando x aumenta (ou diminui) sem limite.
Definição de assíntota horizontal
Se f é uma função e L1 e L2 são númerosreais, as afirmações
denotam limites no infinito. As retas y = L1 ey = L2, são assíntotas horizontais do gráfico de f.
1 2lim ( ) lim ( )x x
f x L e f x L→∞ →−∞
= =
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2. Assíntotas horizontais elimites no infinito
A figura ao lado mostra duasmaneiras como o gráfico de umafunção pode tender para uma ou maisassíntotas horizontais. Note que ográfico de uma função pode cortarsuas assíntotas horizontais.
Ao determinar assíntotas ho-rizontais, podemos utilizar a pro-priedade
1 1lim 0, 0 lim 0, 0r rx x
r e rx x→∞ →−∞
= > = >
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2. Assíntotas horizontais elimites no infinito
Exemplo 5: Ache o limite:2
2lim 5x x→∞
−
2 2 2
2 2 1lim 5 lim 5 lim lim 5 2 lim 5 2 0 5x x x x xx x x→∞ →∞ →∞ →∞ →∞
− = − = − ⋅ = − ⋅ =
Note que o gráfico temy = 5 como assíntota horizontalà direita. Calculando o limitede f(x) quando x → -∞, vê-seque esta reta também éassíntota horizontal àesquerda.
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2. Assíntotas horizontais elimites no infinito
Há uma forma fácil de determinar se o
gráfico de uma função racional tem assíntota
horizontal. Esse processo prático se baseia em
uma comparação dos graus do numerador e do
denominador da função racional.
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2. Assíntotas horizontais elimites no infinito
Assíntotas horizontais de funções racionais
Seja f(x) = p(x)/q(x) uma função racional.
1. Se o grau do numerador é inferior ao grau do denomina-dor, então y = 0 é assíntota horizontal do gráfico de f(à esquerda e à direita).
2. Se o grau do numerador é igual ao grau do denominador,então y = a/b é assíntota horizontal do gráfico de f(à esquerda e à direita); a e b são os coeficientes dostermos de maior grau de p(x) e q(x), respectivamente.
3. Se o grau do numerador é superior ao grau do denomi-nador, então o gráfico de f não tem assíntotahorizontal.
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2. Assíntotas horizontais elimites no infinito
Exemplo 6: Ache as assíntotas horizontaisdos gráficos das funções
Como o grau donumerador é inferior ao graudo denominador, y = 0 éassíntota horizontal.
2
2 3.
3 1x
a yx
− +=+
2
2
2 3.
3 1x
b yx
− +=+
3
2
2 3.
3 1x
c yx
− +=+
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2. Assíntotas horizontais elimites no infinito
Exemplo 6: Ache as assíntotas horizontaisdos gráficos das funções
Como o grau donumerador é igual ao grau dodenominador, a retay = -2/3 é assíntota horizontal.
2
2 3.
3 1x
a yx
− +=+
2
2
2 3.
3 1x
b yx
− +=+
3
2
2 3.
3 1x
c yx
− +=+
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2. Assíntotas horizontais elimites no infinito
Exemplo 6: Ache as assíntotas horizontaisdos gráficos das funções
Como o grau do nume-rador é superior ao grau dodenominador, o gráfico nãotem assíntota horizontal.
2
2 3.
3 1x
a yx
− +=+
2
2
2 3.
3 1x
b yx
− +=+
3
2
2 3.
3 1x
c yx
− +=+
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3. Assíntotas inclinadas
Algumas curvas têm assíntotas que sãooblíquas, isto é, não são horizontais nem verticais.Se
( )lim ( ) 0x
f x mx b→∞
− + =
então a reta y = mx + b é chamada deassíntota inclinada, pois a distância vertical entrea curva y = f(x) e a reta y = mx + b tende a 0, comona figura seguinte. (Uma situação análoga existequando fazemos x → -∞.)
25
3. Assíntotas inclinadas
26
3. Assíntotas inclinadas
Para as funções racionais, as assíntotasinclinadas ocorrem quando a diferença entre osgraus do numerador e do denominador é 1. Nessecaso a equação da assíntota inclinada pode serencontrada por divisão de polinômios, como noexemplo a seguir.
27
Exemplo 7: Ache a assíntota inclinada dafunção
3
2( )
1
xf x
x=
+
A divisão de polinômios fornece:
( )23
2 2 2 2
1( )
1 1 1 1
x xx x xf x x
x x x x
⋅ += = − = −
+ + + +
3. Assíntotas inclinadas
28
Assim sendo
( )
2
2 2 2
22
lim ( ) 0
10
lim lim lim lim 01 11 1 1 1
quando x
x
x x x x
f x mx b
xx x x xx x
x x xxx
→∞
→∞ →∞ →∞ →∞
− + =
− − = − = − = − = − = + + + +
→ ±∞
Logo, a reta y = x é uma assíntota inclinada.
3. Assíntotas inclinadas
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Derivada primeira:
Pontos críticos: x = 0
( )( ) ( )
( ) ( )( )
( )
2 2 3 4 2 4
2 22 2
2 24 2 4 4 2
2 2 22 2 2
1 3 2 3 3 2( )
1 1
33 3 2 3( )
1 1 1
x x x x x x xf x
x x
x xx x x x xf x
x x x
+ ⋅ − ⋅ + −′ = =+ +
++ − +′ = = =+ + +
3. Assíntotas inclinadas
30
Derivada segunda:
( )22 1( )
xf x
+′′ =
( ) ( ) ( )3 2 2 24 6 3 2 1x x x x x⋅ + − ⋅ + ⋅ ⋅ +
( )42
2
1
x
x
⋅
+
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )
2 2 3 2
32
2 2 2 2
32
4
1 2 2 3 4 3( )
1
2 1 2 3 2 3( )
1
2 2( )
x x x x xf x
x
x x x x xf x
x
x xf x
+ ⋅ ⋅ + − ⋅ +′′ =
+
⋅ + ⋅ + − ⋅ + ′′ =
+
⋅′′ =
2 2 43 2 3 2x x x+ + + −
( )( )
( )
2 2
3 32 2
6 2 3( )
1 1
x x xf x
x x
− ⋅ − ′′⇒ =+ +
3. Assíntotas inclinadas
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Pontos de inflexão:
Os pontos de inflexão são:
2
2 0 0
3 0 3
x x
x x
= ⇒ =
− = ⇒ = ±
3. Assíntotas inclinadas
( )3 3 3 33; , 0, 0 e 3;
4 4
− −
32
3. Assíntotas inclinadas
Intervalo f(x) f’(x) f‘’(x) Forma do gráfico
+ + Cresc.; CC
+ 0 PI
+ - Cresc.; CB
0 0 PI
+ + Cresc.; CC
+ 0 PI
+ - Cresc.; CB
( ), 3−∞ −
( )3, + ∞
( )0, 3
( )3, 0−
3x = −
0x =
3x =
3 3 4−
3 3 4
0
33
3. Assíntotas inclinadas
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