8/18/2019 Aula 10-Resolução de Sistemas Lineares Por Eliminação Gaussiana
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Cálculo Numérico
Sistemas LinearesMétodos Diretos
Eliminação Gaussiana
João Paulo Gois
Universidade Federal do ABC
1
1Apresentação baseada nos slides do prof. John Carroll, Dublin City University e no Livro Análise Numérica(Burden & Faires)
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Roteiro
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Roteiro
1 Notação e Terminologia Básica
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Roteiro
1 Notação e Terminologia Básica
2
Operações para simplificar um Sistema Linear de Equações
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Roteiro
1 Notação e Terminologia Básica
2
Operações para simplificar um Sistema Linear de Equações3 Processo de Eliminação Gaussiana
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Roteiro
1 Notação e Terminologia Básica
2
Operações para simplificar um Sistema Linear de Equações3 Processo de Eliminação Gaussiana
4 Processo de Eliminação Gaussiana com Retro-substituição
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Introdução
Sistema Equações Lineares
Vamos considerar os Métodos Diretos para resolver um sistema linearde n equações a n incógnitas.
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Introdução
Sistema Equações Lineares
Vamos considerar os Métodos Diretos para resolver um sistema linearde n equações a n incógnitas.Tal sistema tem a forma:
E 1 : a1,1x1 + a1,2x2 + · · ·+ a1,nxn = b1
E 2 : a2,1x1 + a2,2x2 + · · ·+ a2,nxn = b2
... ...
... ...
E n : an,1x1 + an,2x2 + · · ·+ an,nxn = bn
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Introdução
Sistema Equações Lineares
Vamos considerar os Métodos Diretos para resolver um sistema linearde n equações a n incógnitas.Tal sistema tem a forma:
E 1 : a1,1x1 + a1,2x2 + · · ·+ a1,nxn = b1
E 2 : a2,1x1 + a2,2x2 + · · ·+ a2,nxn = b2
... ...
... ...
E n : an,1x1 + an,2x2 +· · ·
+ an,nxn = bnNeste sistema são dadas as constantes ai,j , i, j = 1, 2, · · · , n e bi,i = 1, 2, · · · , n.Precisamos determinar x1, · · · , xn.
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Introdução
Métodos Diretos e Erros de Arredondamento
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Introdução
Métodos Diretos e Erros de ArredondamentoMétodos diretos teoricamente fornecem a solução exata dosistema em um número finito de passos;
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Introdução
Métodos Diretos e Erros de ArredondamentoMétodos diretos teoricamente fornecem a solução exata dosistema em um número finito de passos;
Na prática, a solução obtida conterá erros de arredondamento
que está envolvido com a aritmética (em ponto-flutuante)usada;
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Introdução
Métodos Diretos e Erros de ArredondamentoMétodos diretos teoricamente fornecem a solução exata dosistema em um número finito de passos;
Na prática, a solução obtida conterá erros de arredondamento
que está envolvido com a aritmética (em ponto-flutuante)usada;
Analisando o efeito deste erro de arredondamento edeterminando formas de mantê-lo sobre controle serão osprincipais componentes desta apresentação
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Introdução
Métodos Diretos e Erros de ArredondamentoMétodos diretos teoricamente fornecem a solução exata dosistema em um número finito de passos;
Na prática, a solução obtida conterá erros de arredondamento
que está envolvido com a aritmética (em ponto-flutuante)usada;
Analisando o efeito deste erro de arredondamento edeterminando formas de mantê-lo sobre controle serão osprincipais componentes desta apresentação
Primeiramente vamos apresentar notações e terminologias
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Matrizes e Vetores
Matriz
Uma matriz n×m (n por m) é um arranjo retangular de elementoscom n linhas e m colunas.
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Matrizes e Vetores
Matriz
Uma matriz n×m (n por m) é um arranjo retangular de elementoscom n linhas e m colunas.
Notação
A notação de uma matriz n×m será por letras maiúsculas (por ex.
A) e as entradas ma matriz serão letras minúsculas com subscritosduplos (por ex. ai,j) para se referir ao elemento a que pertence alinha i e coluna j.
A = [ai,j ] =
a1,1 a1,2 · · · ai,m
a2,1 a2,2 · · · a2,m...
... ...
...an,1 an,2 · · · an,m
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Matrizes e Vetores
Vetor: um caso especial de matrizA matrix 1× n:
A = [a1,1 a1,2 · · · a1,n]
é uma matriz linha ou vetor linha de dimensão n e a matriz n× 1:
A =
a1,1a2,1
...
an,1
é uma matriz coluna ou vetor coluna de dimensão n.
M i V
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Matrizes e Vetores
Vetor: um caso especial de matriz
Usualmente um ı́ndice é omitido para representar vetores:
A = [a1 a2 · · · an]
ou
A =
a1a2...
an
M t i V t M t i E did
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Matrizes e Vetores: Matrix Expandida
Matriz Expandida (1/2)
Uma matrix n×
(n + 1) pode ser usada para representar o sistemalineara1,1x1 + a1,2x2 + · · ·+ a1,nxn = b1
a2,1x1 + a2,2x2 + · · ·+ a2,nxn = b2
... ... ... ...
an,1x1 + an,2x2 + · · ·+ an,nxn = bn
M t i V t M t i E did
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Matrizes e Vetores: Matrix Expandida
Matriz Expandida (1/2)
Uma matrix n× (n + 1) pode ser usada para representar o sistemalinear
a1,1x1 + a1,2x2 + · · ·+ a1,nxn = b1
a2,1x1 + a2,2x2 + · · ·+ a2,nxn = b2
... ... ... ...
an,1x1 + an,2x2 + · · ·+ an,nxn = bn
Primeiro construindo
A = [ai,j ] =
a1,1 a1,2 · · · a1,na2,1 a2,2 · · · a2,n
... ...
... ...
an,1 an,2 · · · an,n
e b =
b1b2...bn
M t i V t M t i E did
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Matrizes e Vetores: Matriz Expandida
Matriz Expandida (2/2)Então a seguinte nova matriz [A, b]:
[A, b] =
a1,1 a1,2 · · · a1,n b1a2,1 a2,2 · · · a2,n b2
... ... . . . ... ...an,1 an,2 · · · an,n bn
onde a reta vertical é usada para separar os coeficientes das
incógnitas dos valores do lado direito das equações
M t i V t M t i E did
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Matrizes e Vetores: Matriz Expandida
Matriz Expandida (2/2)Então a seguinte nova matriz [A, b]:
[A, b] =
a1,1 a1,2 · · · a1,n b1a2,1 a2,2 · · · a2,n b2
... ... . . . ... ...an,1 an,2 · · · an,n bn
onde a reta vertical é usada para separar os coeficientes das
incógnitas dos valores do lado direito das equaçõesA matriz [A, b] é chamada de matriz expandida.
Matrizes e Vetores: Matriz Expandida
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Matrizes e Vetores: Matriz Expandida
Representação do Sistema Linear
No que segue, a matriz n× (n + 1)
[A, b] =
a1,1 a1,2 · · · a1,n b1a2,1 a2,2 · · · a2,n b2
... ...
. . . ...
...
an,1 an,2 · · · an,n bn
Matrizes e Vetores: Matriz Expandida
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Matrizes e Vetores: Matriz Expandida
Representação do Sistema Linear
No que segue, a matriz n× (n + 1)
[A, b] =
a1,1 a1,2 · · · a1,n b1a2,1 a2,2 · · · a2,n b2
... ...
. . . ...
...
an,1 an,2 · · · an,n bn
será usada para representar o sistema linear
a1,1x1 + a1,2x2 + · · ·+ a1,nxn = b1
a2,1x1 + a2,2x2 + · · ·+ a2,nxn = b2
... ...
... ...
an,1x1 + an,2x2 + · · ·+ an,nxn = bn
Simplificando um Sistema de Equacões Lineares
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Simplificando um Sistema de Equaçoes Lineares
O Sistema Linear
Considerando novamente o Sistema Linear
E 1 : a1,1x1 + a1,2x2 + · · ·+ a1,nxn = b1
E 2
: a2,1x1
+ a2,2x2
+ · · ·+ a2,nxn = b
2...
... ...
...
E n : an,1x1 + an,2x2 + · · ·+ an,nxn = bn
onde são dadas as constantes ai,j para i, j = 1, · · · , n e bi parai = 1, 2, · · · , n
Simplificando um Sistema de Equacões Lineares
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Simplificando um Sistema de Equaçoes Lineares
O Sistema Linear
Considerando novamente o Sistema Linear
E 1 : a1,1x1 + a1,2x2 + · · ·+ a1,nxn = b1
E 2 : a2,1x1 + a2,2x2 + · · ·+ a2,nxn = b2
... ...
... ...
E n : an,1x1 + an,2x2 + · · ·+ an,nxn = bn
onde são dadas as constantes ai,j para i, j = 1, · · · , n e bi parai = 1, 2, · · · , nPrecisamos determinar x1, · · · , xn.
Simplificando um Sistema Linear
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Simplificando um Sistema LinearOperações posśıveis
Podemos usar três operações para simplificar um sistema linear:
Simplificando um Sistema Linear
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Simplificando um Sistema LinearOperações posśıveis
Podemos usar três operações para simplificar um sistema linear:
1 Equação E i pode ser multiplicada por uma constante não-nula λcom a equação resultante sendo usada no lugar de E i:
E i ← λE i
Simplificando um Sistema Linear
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Simplificando um Sistema LinearOperações posśıveis
Podemos usar três operações para simplificar um sistema linear:
1 Equação E i pode ser multiplicada por uma constante não-nula λcom a equação resultante sendo usada no lugar de E i:
E i ← λE i
2
A Equação E j pode ser multiplicada por qualquer constante λ eadicionada a Equação E i e a equação resultante é trocada por E i:
E i ← λE j + E i
Simplificando um Sistema Linear
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Simplificando um Sistema LinearOperações posśıveis
Podemos usar três operações para simplificar um sistema linear:
1 Equação E i pode ser multiplicada por uma constante não-nula λcom a equação resultante sendo usada no lugar de E i:
E i ← λE i
2
A Equação E j pode ser multiplicada por qualquer constante λ eadicionada a Equação E i e a equação resultante é trocada por E i:
E i ← λE j + E i
3 Duas linhas E i e E j podem ser permutadas:
E i ↔ E j
Através de uma sequência destas operações, o sistema linear será transfor-mado em um novo sistema linear mais fácil de se resolver e com mesma
solução.
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Simplificando um Sistema de Equaçoes Lineares
Exerćıcio
As quatro equações:
E 1 : x1 + x2 + 3x4 = 4E 2 : 2x1 + x2 − x3 + x4 = 1E 3 : 3x1 − x2 − x3 + 2x4 = −3E 2 : −x1 + 2x2 + 3x3 − x4 = 4
serão resolvidas para x1, · · · , x4.
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S p S s q ¸ s s
Exerćıcio
As quatro equações:
E 1 : x1 + x2 + 3x4 = 4E 2 : 2x1 + x2 − x3 + x4 = 1E 3 : 3x1 − x2 − x3 + 2x4 = −3E 2 : −x1 + 2x2 + 3x3 − x4 = 4
serão resolvidas para x1, · · · , x4.
Usaremos primeiro E 1 para eliminar a incógnita x1 das equaçõesE 2, E 3 e E 4 realizando:
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p q ¸
Exerćıcio
As quatro equações:
E 1 : x1 + x2 + 3x4 = 4E 2 : 2x1 + x2 − x3 + x4 = 1E 3 : 3x1 − x2 − x3 + 2x4 = −3E 2 : −x1 + 2x2 + 3x3 − x4 = 4
serão resolvidas para x1, · · · , x4.
Usaremos primeiro E 1 para eliminar a incógnita x1 das equaçõesE 2, E 3 e E 4 realizando:
E 2 ← E 2 − 2E 1
E 3 ← E 3 − 3E 1
E 4 ← E 4 + E 1
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E 1 : x1 + x2 + 3x4 = 4
E 2 : 2x1 + x2 − x3 + x4 = 1Exerćıcio - Continuação (2/5)
Por exemplo, na segunda equação
E 2 ←
E 2−
2E 1
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E 1 : x1 + x2 + 3x4 = 4
E 2 : 2x1 + x2 − x3 + x4 = 1Exerćıcio - Continuação (2/5)
Por exemplo, na segunda equação
E 2 ← E
2− 2E
1
produz
2x1 + x2 − x3 + x4 − 2(x1 + x2 + 3x4) = 1− 2(4)
que simplifica o resultado mostrado como E 2 em
E 1 : x1 + x2 + 3x4 = 4E 2 : − x2 − x3 − 5x4 = −7
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Exerćıcio - Continuação (3/5)
Similarmente, para as Eq. E 3 e E 4, obtemos o novo sistema linear:
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Exerćıcio - Continuação (3/5)
Similarmente, para as Eq. E 3 e E 4, obtemos o novo sistema linear:
E 1 : x1 + x2 + 3x4 = 4
E 2 : − x2 − x3 − 5x4 = −7E 3 : − 4x2 − x3 − 7x4 = −15E 4 : 3x2 + 3x3 + 2x4 = 8
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Exerćıcio - Continuação (3/5)
Similarmente, para as Eq. E 3 e E 4, obtemos o novo sistema linear:
E 1 : x1 + x2 + 3x4 = 4
E 2 : − x2 − x3 − 5x4 = −7E 3 : − 4x2 − x3 − 7x4 = −15E 4 : 3x2 + 3x3 + 2x4 = 8
Por simplicidade, manteremos os mesmos nomes E 1, · · · , E 4
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Exerćıcio - Continuação (4/5)
Neste novo sistema, E 2 é usado para eliminar as incógnitas x2 deE 3 e E 4, realizando as operações E 3 ← E 3−4E 2 e E 4 ← E 4+3E 2.Isto resulta no sistema:
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Exerćıcio - Continuação (4/5)
Neste novo sistema, E 2 é usado para eliminar as incógnitas x2 deE 3 e E 4, realizando as operações E 3 ← E 3−4E 2 e E 4 ← E 4+3E 2.Isto resulta no sistema:
E 1 : x1 + x2 + 3x4 = 4E 2 : − x2 − x3 − 5x4 = −7E 3 : + 3x3 + 13x4 = 13E 4 : − 13x4 = −13
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Exerćıcio - Continuação (4/5)
Neste novo sistema, E 2 é usado para eliminar as incógnitas x2 deE 3 e E 4, realizando as operações E 3 ← E 3−4E 2 e E 4 ← E 4+3E 2.Isto resulta no sistema:
E 1 : x1 + x2 + 3x4 = 4E 2 : − x2 − x3 − 5x4 = −7E 3 : + 3x3 + 13x4 = 13E 4 : − 13x4 = −13
Este último sistema de equações é agora conhecido como formatriangular (ou reduzida) e pode ser resolvido pelo processo de retro-substituição .
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Exerćıcio - Continuação (5/5)
Como E 4 implica que x4 = 1, podemos utilizá-lo para encontrar x3em E 3:
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Exerćıcio - Continuação (5/5)
Como E 4 implica que x4 = 1, podemos utilizá-lo para encontrar x3em E 3:
x3 = 1
3(13− 13x4) =
1
3(13− 13) = 0
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Exerćıcio - Continuação (5/5)
Como E 4 implica que x4 = 1, podemos utilizá-lo para encontrar x3em E 3:
x3 = 1
3(13− 13x4) =
1
3(13− 13) = 0
Continuando, por E 2 temos:
x2 = −(−7 + 5x4 + x3) = −(−7 + 5 + 0) = 2
Finalmente, por E 1:
x1 = 4− 3x4 − x2 = 4− 3− 2 = −1.
Logo a solução [x1 x2 x3 x4]t = [−1 2 0 1]t
Construindo um Sistema para Resolver um Sistema
Li
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Linear
Resumindo
E 1 : x1 + x2 + 3x4 = 4E 2 : 2x1 + x2 − x3 + x4 = 1E 3 : 3x1 − x2 − x3 + 2x4 = −3
E 2 : −x1 + 2x2 + 3x3 − x4 = 4
Converter para a forma expandida
[A, b] =
1 1 0 3 42 1 -1 1 13 -1 -1 2 -3-1 2 3 -1 4
Construindo um Sistema para Resolver um Sistema
Li
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Linear
Reduzir para a forma triangular
1 1 0 3 42 1 -1 1 13 -1 -1 2 -3-1 2 3 -1 4
⇔
1 1 0 3 40 -1 -1 -5 -70 0 3 13 130 0 0 -13 -13
Construindo um Sistema para Resolver um Sistema
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Linear
Reduzir para a forma triangular
1 1 0 3 42 1 -1 1 13 -1 -1 2 -3-1 2 3 -1 4
⇔
1 1 0 3 40 -1 -1 -5 -70 0 3 13 130 0 0 -13 -13
A matriz final pode ser então transformada em seu sistema linear
correspondente, e as soluções para xi pode ser obtidas. Este proce-dimento é chamado Eliminação Gaussiana com Retro-Substituição .
Eliminação Gaussiana com Retro-Substituição
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Passos básicosA Eliminação Gaussiana aplicada a um Sistema Linear:
E 1 : a1,1x1 + a1,2x2 + · · ·+ a1,nxn = b1
E 2 : a2,1x1 + a2,2x2 + · · ·+ a2,nxn = b2
... ...
... ...
E n : an,1x1 + an,2x2 + · · ·+ an,nxn = bn
será dada da seguinte forma.
Eliminação Gaussiana com Retro-Substituição
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Passos básicos
Eliminação Gaussiana com Retro-Substituição
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Passos básicosPrimeiro transforme na matrix expandida Ã
˜A = [A, b] =
a1,1 a1,2 · · · a1,n a1,n+1a2,1 a2,2 · · · a2,n a1,n+1
... ... . . . ... ...an,1 an,2 · · · an,n a1,n+1
onde A denota a matriz dormada pelos coeficientes.
Eliminação Gaussiana com Retro-Substituição
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Passos básicosPrimeiro transforme na matrix expandida Ã
˜A = [A, b] =
a1,1 a1,2 · · · a1,n a1,n+1a2,1 a2,2 · · · a2,n a1,n+1
... ... . . . ... ...an,1 an,2 · · · an,n a1,n+1
onde A denota a matriz dormada pelos coeficientes.
As entradas da (n + 1)-ésima coluna são os valores de b, i.e.
,ai,n+1 = bi para i = 1, · · · , n.
Eliminação Gaussiana com Retro-Substituição
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Passos básicos
Eliminação Gaussiana com Retro-Substituição
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Passos básicos
Considerando que a1,1 = 0, nós realizamos as operações
correspondentes a
E j ← E j − (a j,1/a1,1)E 1, para cada j = 2, 3, · · · , n.
para eliminar os coeficientes x1 de cada uma destas linhas.
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Passos básicos
Considerando que a1,1 = 0, nós realizamos as operações
correspondentes a
E j ← E j − (a j,1/a1,1)E 1, para cada j = 2, 3, · · · , n.
para eliminar os coeficientes x1 de cada uma destas linhas.
Embora as entradas nas linhas 2, 3, · · · , n são esperadasmudar, para facilitar a notação, nós novamente chamaremosas entradas da i-ésima linha e j-ésima coluna por ai,j
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Passos básicos
Considerando que a1,1 = 0, nós realizamos as operações
correspondentes a
E j ← E j − (a j,1/a1,1)E 1, para cada j = 2, 3, · · · , n.
para eliminar os coeficientes x1 de cada uma destas linhas.
Embora as entradas nas linhas 2, 3, · · · , n são esperadasmudar, para facilitar a notação, nós novamente chamaremosas entradas da i-ésima linha e j-ésima coluna por ai,j
Com isto em mente, nós repetimos o procedimento sequencialpara i = 2, 3, · · · , n− 1 e realizamos a operação:
E j ← E j − (a j,i/ai,i)E i, para cada j = i + 1, i + 2, · · · , n
desde que ai,i = 0.
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Passos básicos
Eliminação Gaussiana com Retro-Substituição
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Passos básicos
Isto elimina (muda coeficiente para zero) xi em cada linhaabaixo da i-ésima para todos os valores de i = 1, 2, · · · , n− 1
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Passos básicos
Isto elimina (muda coeficiente para zero) xi em cada linhaabaixo da i-ésima para todos os valores de i = 1, 2, · · · , n− 1
A matriz resultante tem a forma:
˜̃A =
a1,1 a1,2 · · · a1,n a1,n+1
0 a2,2 · · ·
a2,n a1,n+1... . . .
. . . ...
...0 · · · 0 an,n a1,n+1
onde, exceto a primeira linha, os valores de ai,j não são
esperados coincidirem com a matriz original Ã.
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Passos básicos
Isto elimina (muda coeficiente para zero) xi em cada linhaabaixo da i-ésima para todos os valores de i = 1, 2, · · · , n− 1
A matriz resultante tem a forma:
˜̃A =
a1,1 a1,2 · · · a1,n a1,n+10 a
2,2 · · · a
2,n a
1,n+1... . . .
. . . ...
...0 · · · 0 an,n a1,n+1
onde, exceto a primeira linha, os valores de ai,j não são
esperados coincidirem com a matriz original Ã.A matriz ˜̃A representa um sistema linear equivalente aooriginal.
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Passos básicos
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Passos basicos
O novo sistema linear triangular:
a1,1x1 + a1,2x2 + · · · + a1,nxn = a1,n+1a2,2x2 + · · · + a2,nxn = a2,n+1
. . . ...
.... .
.
...
.... . .
... ...
an,nxn = an,n+1
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Eliminação Gaussiana com Retro-Substituição
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Passos básicos
Resolvendo a (n−1)−ésima equação para xn−1 e usando a variávelconhecida xn temos:
xn−1 = an−1,n+1 − an−1,nxn
an−1,n−1
Eliminação Gaussiana com Retro-Substituição
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Passos básicos
Resolvendo a (n−1)−ésima equação para xn−1 e usando a variávelconhecida xn temos:
xn−1 = an−1,n+1 − an−1,nxn
an−1,n−1
Continuando este processo, obtemos:
xi = ai,n+1 − ai,nxn − ai,n−1xn−1 − · · · − ai,i+1xi+1
ai,i
= ai,n+1 −n
j=i+1 ai,jx jai,i
para cada i = n − 1, n− 2, · · · , 2, 1.
Eliminação Gaussiana com Retro-Substituição
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Descrição mais precisaEliminação Gaussiana é descrita mais precisamente, emboramais complicada, formando uma sequência de Matrizes Ã(1),Ã(2), · · · , Ã(n), onde Ã(1) é a matriz à dada inicialmente e Ã(k),
para cada k = 2, 3, · · · , n tem entradas a(k)
i,j da forma:
a(k)i,j
=
a(k−1)i,j
quando i = 1, 2, · · · , k − 1 e j = 1, 2, · · · , n + 1
0 quando i = k, k + 1, · · · , n e j = 1, 2, · · · , k − 1
a(k−1)i,j
−a(k−1)i,k−1
a(k−1)k−1,k−1
a(k−1)k−1,j
quando i = k, k + 1, · · · , n e j = k, k + 1, · · · , n + 1
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Descrição mais precisa
Assim,
˜ A(k ) =
a(1)11 a
(1)12 a
(1)13 · · · a
(1)1,k −1 a
(1)1k · · · a
(1)1n
...............
...................
a(1)1,n+1
........
................
0 ..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a22(2).
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
a(2)23 · · · a
(2)2,k −1 a
(2)2k · · · a
(2)2n a
(2)2,n+1
......
......
a(k −1)k −1,k −1 a(k −1)
k −1,k · · · a(k −1)
k −1,n a(k −1)
k −1,n+1
0 a(k )kk · · · a
(k )kn a
(k )k ,n+1
......
......
0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 a(k )
nk · · · a(k )nn a
(k )n,n+1
representa o sistema linear equivalente para os quais a variável xk−1foi eliminada das equações E k, E k+1, · · · , E n.
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Descrição mais precisa
O procedimento irá falhar se um dos elementos
a(1)1,1, a
(2)2,2, a
(3)3,3, · · · , a
(n−1)n−1,n−1, a
(n)n,n for zero devido ao passo
E i ← E i −a(k)i,k
a(k)k,k
E k
não poder ser realizado (isto ocorre se um dos elementos
a(1)1,1, a
(2)2,2, a
(3)3,3, · · · , a
(n−1)n−1,n−1 é zero) ou se a retro-substituição não
poderá ser feita (no caso de a(n)n,n = 0).
Eliminação Gaussiana com Retro-Substituição
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Descrição mais precisa
O procedimento irá falhar se um dos elementos
a(1)1,1, a
(2)2,2, a
(3)3,3, · · · , a
(n−1)n−1,n−1, a
(n)n,n for zero devido ao passo
E i ← E i −a(k)i,k
a(k)k,k
E k
não poder ser realizado (isto ocorre se um dos elementos
a(1)1,1, a
(2)2,2, a
(3)3,3, · · · , a
(n−1)n−1,n−1 é zero) ou se a retro-substituição não
poderá ser feita (no caso de a(n)n,n = 0). O sistema pode ter solução,
mas a técnica para encontrar deve ser alterada.
Ilustração do Método de Eliminação de Gauss
Exemplo
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Vamos supor o sistema em sua forma expandida:
à = Ã(1) =
1 -1 2 -1 -82 -2 3 -3 -201 1 1 0 -21 -1 4 3 4
Ilustração do Método de Eliminação de Gauss
Exemplo
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Vamos supor o sistema em sua forma expandida:
à = Ã(1) =
1 -1 2 -1 -82 -2 3 -3 -201 1 1 0 -21 -1 4 3 4
Realizando as operações
E 2 ← E 2 − 2E 1;E 3 ← E 3 −E 1;E 4 ← E 4 − E 1
temos
Ilustração do Método de Eliminação de Gauss
Exemplo
http://find/
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Vamos supor o sistema em sua forma expandida:
à = Ã(1) =
1 -1 2 -1 -82 -2 3 -3 -201 1 1 0 -21 -1 4 3 4
Realizando as operações
E 2 ← E 2 − 2E 1;E 3 ← E 3 −E 1;E 4 ← E 4 − E 1
temos
Ã(2) =
1 -1 2 -1 -80 0 -1 -1 -40 2 -1 1 60 0 2 4 12
Ilustração do Método de Eliminação de Gauss
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Ã(2) =
1 -1 2 -1 -8
0 0 -1 -1 -40 2 -1 1 60 0 2 4 12
Ilustração do Método de Eliminação de Gauss
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Ã(2) =
1 -1 2 -1 -8
0 0 -1 -1 -40 2 -1 1 60 0 2 4 12
O elemento a(2)
2,2 é zero. Logo o procedimento não pode
continuar na presente forma.
Ilustração do Método de Eliminação de Gauss
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Ã(2) =
1 -1 2 -1 -8
0 0 -1 -1 -40 2 -1 1 60 0 2 4 12
O elemento a(2)
2,2 é zero. Logo o procedimento não pode
continuar na presente forma.
Mas operações E i ↔ E j são permitidas. Logo uma busca é
feita nos elementos a(2)3,2 e a
(2)4,2 para encontrar o primeiro
elemento não zero.
Ilustração do Método de Eliminação de Gauss
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Ã(2) =
1 -1 2 -1 -8
0 0 -1 -1 -40 2 -1 1 60 0 2 4 12
O elemento a(2)
2,2 é zero. Logo o procedimento não pode
continuar na presente forma.
Mas operações E i ↔ E j são permitidas. Logo uma busca é
feita nos elementos a(2)3,2 e a
(2)4,2 para encontrar o primeiro
elemento não zero.
Como a(2)3,2 = 0, a operação E 2 ↔ E 3 é realizada para se obteruma nova matriz
Ilustração do Método de Eliminação de Gauss
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Ã(2) =
1 -1 2 -1 -80 0 -1 -1 -40 2 -1 1 60 0 2 4 12
Ilustração do Método de Eliminação de Gauss
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Ã(2) =
1 -1 2 -1 -80 0 -1 -1 -40 2 -1 1 60 0 2 4 12
Operação E 2 ↔ E 3
Ã(2)p
=
1 -1 2 -1 -80 2 -1 1 60 0 -1 -1 -4
0 0 2 4 12
Ilustração do Método de Eliminação de Gauss
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Ã(2)p
=
1 -1 2 -1 -80 2 -1 1 60 0 -1 -1 -40 0 2 4 12
Como x2 já está eliminado em E 3 e E 4, ˜A
(3)
será ˜A
(2)p
, e o cálculocontinua com a operação E 4 ← E 4 + 2E 3, dando:
Ã(4) =
1 -1 2 -1 -80 2 -1 1 6
0 0 -1 -1 -40 0 0 2 4
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Solução
x4 = 4
2 = 2
x3 = [−4− (−1)x4]
−1
= 2
x2 = [6− x4 − (−1)x3]
2 = 3
x1 = [−8− (−1)x4 − 2x3 − (−1)x2]
1
= −7
Observações
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Observações
O l il(k)
0 l
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O exemplo ilustra que se a(k)k,k = 0 para algum
k = 1, 2, · · · , n− 1
Observações
O l il(k)
0 l
http://find/
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O exemplo ilustra que se a(k)k,k = 0 para algum
k = 1, 2, · · · , n− 1Na k-ésima coluna de Ã(k−1), da k-́esima a n-́esima linha, éprocurado o primeiro elemento não-nulo.
Observações
O l il t(k)
0 l
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O exemplo ilustra que se a( )k,k = 0 para algum
k = 1, 2, · · · , n− 1Na k-ésima coluna de Ã(k−1), da k-́esima a n-́esima linha, éprocurado o primeiro elemento não-nulo.
Se a(k) p,k = 0 para algum p, com k + 1 ≤ p ≤ n, então a
operação é relizada para obter ˜A(k−1)p
.
Observações
O e e lo il st a e se(k)
0 a a al
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O exemplo ilustra que se a( )k,k = 0 para algum
k = 1, 2, · · · , n− 1Na k-ésima coluna de Ã(k−1), da k-́esima a n-́esima linha, éprocurado o primeiro elemento não-nulo.
Se a(k) p,k = 0 para algum p, com k + 1 ≤ p ≤ n, então a
operação é relizada para obter ˜A
(k−1)p
.O procedimento pode então ser continuado para formar Ã(k),e assim por diante;
Observações
O exemplo ilustra que se a(k)
0 para algum
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O exemplo ilustra que se a( )k,k = 0 para algum
k = 1, 2, · · · , n− 1Na k-ésima coluna de Ã(k−1), da k-́esima a n-́esima linha, éprocurado o primeiro elemento não-nulo.
Se a(k) p,k = 0 para algum p, com k + 1 ≤ p ≤ n, então a
operação é relizada para obter ˜A
(k−1)p
.O procedimento pode então ser continuado para formar Ã(k),e assim por diante;
Se a(n) p,k = 0 para todo p. Pode ser mostrado que o sistema
linear não possui uma única solução e o procedimento pára.
Observações
O exemplo ilustra que se a(k)
= 0 para algum
http://find/
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O exemplo ilustra que se ak,k = 0 para algum
k = 1, 2, · · · , n− 1Na k-ésima coluna de Ã(k−1), da k-́esima a n-́esima linha, éprocurado o primeiro elemento não-nulo.
Se a(k) p,k = 0 para algum p, com k + 1 ≤ p ≤ n, então a
operação é relizada para obter ˜A
(k−1)p
.O procedimento pode então ser continuado para formar Ã(k),e assim por diante;
Se a(n) p,k = 0 para todo p. Pode ser mostrado que o sistema
linear não possui uma única solução e o procedimento pára.
Finalmente se a(n)n,n = 0, o sistema linear também não tem
solução única e novamente o procedimento pára.
Observação – Maior Cautela
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Observação – Maior Cautela
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Suponha um número x̃ = x + aproximado onde x é a parteexata e é uma parte aproximada.
Observação – Maior Cautela
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Suponha um número x̃ = x + aproximado onde x é a parteexata e é uma parte aproximada.
Se dividirmos por um número y muito pequeno (oumultiplicarmos por um muito grande),
Observação – Maior Cautela
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Suponha um número x̃ = x + aproximado onde x é a parteexata e é uma parte aproximada.
Se dividirmos por um número y muito pequeno (oumultiplicarmos por um muito grande),
Teremos xy + y.
Observação – Maior Cautela
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Suponha um número x̃ = x + aproximado onde x é a parteexata e é uma parte aproximada.
Se dividirmos por um número y muito pequeno (oumultiplicarmos por um muito grande),
Teremos xy + y.
Logo y terá um erro muito grande.
Observação – Maior Cautela
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Suponha um número x̃ = x + aproximado onde x é a parteexata e é uma parte aproximada.
Se dividirmos por um número y muito pequeno (oumultiplicarmos por um muito grande),
Teremos xy + y.
Logo y terá um erro muito grande.
Neste caso é recomendável que o pivotamento com a linhaque contém o maior número encontrado, não pelo primeiro.Neste caso, o erro é mantido pequeno, podendo evitar
problemas de propagação de erro .
Algoritmo
Entrada: Número de incógnitas e equações n; a matriz expandida
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gA = [ai,j ], onde 1 ≤ ı ≤ n e 1 ≤ j ≤ n + 1
Sáıda: Solução [x1, x2, · · · , xn]
Passo 1 Para i = 1, · · · , n− 1 faça Passos 2− 4 (Processo deEliminação)
Passo 2: Seja p o menor inteiro com i ≤ p ≤ n e ap,i = 0, Se nenhum inteiro P pode serencontrado IMPRIMA(’não existe solução’) e pare o processoPasso 3 Se p = i, então faça Ei ↔ Ep
Passo 4: Para j = 1 + 1, · · · , n faça Passos 5 e 6:
Passo 5: Faça mj,i = aj,i/ai,iPasso 6: Faça Ej ← Ej −mj,iEi
Se an,n = 0 IMPRIMA(’não existe solução única’);
Faça xn = an,n+1/an,n (Ińıcio da retro-substituição)
Para i = n − 1, · · · , 1 faça xi =ai,n+1 −
nj=i+1 ai,jxj
/ai,i
Sáıda [x1, · · · , xn]
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