Aula 05
“Transformadas de
Laplace”
Transformadas de Laplace______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Pierre Simon Laplace (1749-1827)
As Transformadas de Laplace apresentam uma representação de sinais no domínio da frequência em
função de uma variável “s” que é um número complexo,
s = σ + jω
Transformadas de Laplace______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Transformadas de Laplace – definição
L { x(t) } ou X(s)
x(t) = 0 para t < 0
Transformada de Laplace
unilateral (para t ≥ 0)
[ ] dt)t(x)s(X)t(x0
st ⋅== ∫∞
-eL
Transformadas de Laplace______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Transformadas de Laplace de alguns sinais conhecidos
Transformadas de Laplace______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
função exponencial
[ ])as(
1at
+=-
eL
[ ] =⋅⋅== ∫∞
dt)s(X)t(x0
atst --eeL
)as(
1
)as(dt
0
a)t(s
0
a)t(s
+=
+−=⋅=
∞+∞ +∫-
- ee
a < 0 a = 0a > 0
x(t) = e–at ⋅u1(t)
Transformadas de Laplace______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
x(t) = uo(t)
Usando Propriedade da Convolução
eq. (3.13), pág 14, Cap.3 ‘Notas de Aula’
β<<α=−⋅∫β
αa),a(xdt)at(u)t(x o
eq. (3.13), pág 14, Cap.3
‘Notas de Aula’Propriedade da Convolução
[ ] 1)t(uo =L
[ ] dt)t(u)s(X)t(x0
o
st
∫∞
⋅⋅== -eL
[ ] 00s)t(x ee- == ⋅
L
impulso unitário
Transformadas de Laplace______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
x(t) = u1(t) [ ]s
1)t(u1 =L
degrau unitário
[ ]s
1
sdt)t(u)s(X)t(x
0
st
01
st =−=⋅⋅==∞
∞
∫-
- eeL
Transformadas de Laplace______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
[ ]22
s
1)t(u =L
[ ]2
0
2
st
02
st
s
1
sdt)t(u)s(X)t(x =−=⋅⋅==
∞∞
∫-
- eeL
x(t) = u2(t)rampa unitária
Transformadas de Laplace______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Os demais sinais singulares
x(t) = u3(t) [ ]33
s
1)t(u =L
[ ]nn
s
1)t(u =L
semi-parábola
Transformadas de Laplace______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
[ ]22s
tsenω+
ω=ωLx(t) = sen ωt ⋅ u1(t)
seno
Transformadas de Laplace______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
x(t) = cos ωt ⋅ u1(t) [ ]22s
stcos
ω+=ωL
co-seno
Transformadas de Laplace______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Propriedades da Transformada de Laplace
Homogeneidade:
Aditividade:
Linearidade:
[ ])t(x)s(X L=
(que resume as 2 propriedades anteriores: ‘Homogeneidade’ e ‘Aditividade’)
Transformadas de Laplace______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
(continuação)
Propriedades da Transformada de Laplace [ ])t(x)s(X L=
Sinal transladado (“time shifting”):
Sinal multiplicado por exponencial e–at
Transformadas de Laplace______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Derivadas:
(continuação)
•••
Propriedades da Transformada de Laplace [ ])t(x)s(X L=
Transformadas de Laplace______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
caso particular
(continuação)
Propriedades da Transformada de Laplace [ ])t(x)s(X L=
Derivadas:
condições iniciais nulas
x(0) = 0
x’(0) = 0etc.
Transformadas de Laplace______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
caso particular
Integral:
(continuação)
Propriedades da Transformada de Laplace [ ])t(x)s(X L=
condições iniciais nulas
x(0) = 0
Transformadas de Laplace______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Mudança de escala do tempo (“time scaling”)
Sinal multiplicado por t
Sinal multiplicado por 1/t
(continuação)
Propriedades da Transformada de Laplace [ ])t(x)s(X L=
Transformadas de Laplace______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Convolução:
a convolução entre dois sinais x1(t) e x2(t)
[ ] )s(X)s(X)t(x*)t(x 2121 ⋅=L
=τ⋅τ⋅τ−= ∫∞
d)(x)t(x)t(x*)t(x0
2121
τ⋅τ−⋅τ= ∫∞
d)t(x)(x0
21
(continuação)
Propriedades da Transformada de Laplace { })t(x)s(X L=
integral de convolução
Transformadas de Laplace______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Teorema do Valor Inicial (TVI)
Teorema do Valor Final (TVF)
)s(Xslim)t(xlim)0(xs0t
⋅=∆∞→→
++
)s(Xslim)t(xlim)(x0st
⋅=∆∞→∞→
Transformadas de Laplace______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Teorema do Valor Inicial (TVI)
Teorema do Valor Final (TVF)
)s(Xslim)0(xs
⋅=∞→
+
)s(Xslim)(x0s
⋅=∞→
Transformadas de Laplace______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Alguns exemplos de Transformadas de Laplace
x(t) = 2 uo(t – a)
X(s) = 2 e–as
)at(u3
2)t(x 1 −−=
s3
2)s(X
as−−= e
Exemplo 1
Exemplo 2
Transformadas de Laplace______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
)3t(u)1t(u)t(u)t(x 122 −−−−=
sss
1)s(X
s3
2
s
2
−−
−−= ee
)2t(ua)t(x 1 +⋅=
Não tem Transformada de Laplace unilateral, conforme definimos.
Exemplo 3
Exemplo 4
Transformadas de Laplace______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
)t2(ua)t(x 1 −⋅=
Não tem Transformada de Laplace unilateral, conforme definimos.
Exemplo 5
Transformadas de Laplace______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Usando a propriedade da mudança de escala (“time scaling”) também
podemos obter X2(s) a partir de X1(s).
Estes sinais são de certa forma o mesmo sinal escritos em escalas de tempo diferentes.
Transformadas de Laplace______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
usando apenas as propriedades da Transformada de Laplace, em especial a da derivada, podemos mostrar que:
[ ]22s
stcos
ω+=ωL
[ ]22s
tsenω+
ω=ωL
Já vimos que a Transformada de Laplace do seno é:
que é a Transformada de Laplace do co-seno, conforme também já vimos anteriormente.
Transformadas de Laplace______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Propriedades da Transformada de Laplace (continuação)
aplicando-se a propriedade da multiplicação por exponencial
para os sinais singulares un(t)
divididos por n!
aplicando-se recursivamente a propriedade do sinal multiplicado
por t para o sinal exponencial.
ou
Estas propriedades podem ser obtidas:
Transformadas de Laplace______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Aplicando-se a propriedade do sinal multiplicado por exponencial facilmente obtêm-se
22)as()s(X
ω++ω=
)t(utsen)t(x 1
at ⋅ω⋅= −e
o seno multiplicado por exponencial
Transformadas de Laplace______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
e, novamente aplicando a propriedade do sinal multiplicado por exponencial, obtemos:
Na pág. 26 do Capítulo 5 das ‘Notas de aula’ tem uma Tabela da Transformada de Laplace de todos os sinais que precisaremos.
22)as(
)as()s(X
ω+++=
)t(utcos)t(x 1
at ⋅ω⋅= −e
o co-seno multiplicado por exponencial
Transformadas de Laplace______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Na pág. 26 do Capítulo 5 das ‘Notas de aula’tem uma Tabela da Transformada de Laplace de todos os sinaisque precisaremos.
Transformadas de Laplace______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Na pág. 26 do Capítulo 5 das ‘Notas de aula’ tem uma Tabela da Transformada de Laplace de todos os sinais que precisaremos.
Transformadas de Laplace______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Na pág. 26 do Capítulo 5 das ‘Notas de aula’ tem uma Tabela da Transformada de Laplace de todos os sinais que precisaremos.
Transformadas de Laplace______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Na pág. 26 do Capítulo 5 das ‘Notas de aula’tem uma Tabela da Transformada de Laplacede todos os sinais que precisaremos.
Transformadas de Laplace______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
As Transformadas Inversa de Laplace
As Transformadas de Laplace dos principais sinais de interesse para sistemas lineares invariantes no tempo (SLIT) vêm em forma de uma fração racional
� polos reais e distintos,
� polos complexos e
� polos múltiplos.
[ ] )t(x)s(X1 =−-L
)s(q
)s(p
Os três casos que veremos são:
Transformadas de Laplace______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Caso 1 – Polos reais e distintos
)s(q
)s(p
e o cálculo das transformadas inversas:
Transformadas de Laplace______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Caso 2 – Polos complexos conjugados
)s(q
)s(p
Transformadas de Laplace______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
(continuação)
e o cálculo das transformadas inversas:
Caso 2 – Polos complexos conjugados
)t(utcoseA)s(
As1
t
22
1 ⋅ω⋅⋅=
ω+α+α−−-
L
)t(utseneB
)s(
/B1
t
22
1 ⋅ω⋅⋅ω
=
ω+α+ω α−−-
L
)s(q
)s(p
Transformadas de Laplace______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Caso 3 – Polos múltiplos
)s(q
)s(p
e o cálculo das transformadas inversas:
Transformadas de Laplace______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
A + B = 1
2A + B = 3
A = 2
B = – 1
Exemplo 6
fazemos:
Transformadas de Laplace______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
e portanto:
Exemplo 6 (continuação)
logo,
Transformadas de Laplace______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Exemplo 7
já foi calculado no exemplo anterior
Transformadas de Laplace______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Exemplo 8
A + B = 0
A + C = 1
A = 1
A = 1
B = – 1
C = 0
Transformadas de Laplace______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
e portanto:
Exemplo 8 (continuação)
logo,
Transformadas de Laplace______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
e usando a tabela das Transformadas de Laplace facilmente encontramos:
Exemplo 8 (continuação)
Transformadas de Laplace______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Exemplo 9
A + B + C = 3
B + 2C = 2
C = 1
A = 2
B = 0
C = 1
Transformadas de Laplace______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
e portanto:
cuja transformada inversa é
Exemplo 9 (continuação)
Transformadas de Laplace______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Solução de equações diferenciais ordinárias (EDO) usando Transformada Laplace
Normalmente, a entrada x(t) é conhecida assim como as condições iniciais
da saída y(t), isto é,
y(0), y’(0), y’’(0), etc.
e deseja-se calcular a saída y(t), a solução da EDO.
Transformadas de Laplace______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Exemplo 10
y’’ + 3y(t) = 2 x(t)
y(0) = 0 e y’(0) = 0
x(t) = u1(t) = degrau unitário
Fazendo-se a Transformada de Laplace de (1) usando as condições iniciais (2), obtém-se:
ou seja,
(1)
(2)
(3)
Transformadas de Laplace______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
e portanto,
e, pela eq. (3), x(t) = u1(t) = degrau unitário, temos que X(s) = 1/s,
logo:
Exemplo 10 (continuação)
Transformadas de Laplace______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Este é um caso de um polo real
Agora a solução y(t) desta EDO é encontrada fazendo-se a transformada
inversa de Laplace de Y(s).
[ ])s(Y)t(y 1−= -L
e um par de polos complexos conjugados, raízes de
s = 0
Exemplo 10 (continuação)
Transformadas de Laplace______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Exemplo 11
y’’ + 5y’ + 9y(t) = x(t) = 0
y(0) = 0 e y’(0) = 4;
x(t) = 0
ou seja,
(EDO homogénea) (1)
(2)
(3)
Fazendo-se a Transformada de Laplace de (1) usando as condições iniciais (2),
e como pela eq. (3), x(t) = 0, obtém-se:
Transformadas de Laplace______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Este é um caso de um par de polos complexos conjugados, raízes de
Agora a solução y(t) desta EDO é encontrada fazendo-se a
transformada inversa de Laplace de Y(s).
[ ])s(Y)t(y 1−= -L
(continuação)Exemplo 11
que é uma equação algébrica em ‘s’ e cuja solução é:
e portanto,
Transformadas de Laplace______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Exemplo 12
y’’ + y’ + y(t) = x(t)
y(0) = 0 e y’(0) = 1;
x(t) = u1(t) = degrau unitário
e portanto,
logo, como pela eq. (3), X(s) = 1/s, temos que:
(1)
(2)
(3)
Fazendo-se a Transformada de Laplace de (1) usando as condições iniciais (2), obtém-se:
)s/1()s(Y)s(sY1)t(ys2 =++−
Transformadas de Laplace______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
que já foi calculada no Exemplo 8, ou seja,
Agora a solução y(t) desta EDO é encontrada fazendo-se a
transformada inversa de Laplace de Y(s).
[ ])s(Y)t(y 1−= -L
(continuação)Exemplo 12
que é uma equação algébrica em ‘s’ e cuja solução é:
Este é um caso de um polo real e um par de polos complexos conjugados, raízes de
)1ss(s 2 ++
Transformadas de Laplace______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
A resposta impulsional h(t) e H(s)
Transformadas de Laplace______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Um resultado clássico da Teoria de Sistemas, que já vimos na seção 4.3, é
que a saída y(t) de um sistema é a convolução entre h(t) e x(t), ou seja
)t(x*)t(h)t(y =
isto é, a saída de um sistema linear invariante no tempo (SLIT) toma a forma da integral de convolução,
τ⋅τ−⋅τ=τ⋅τ⋅τ−= ∫∫+∞
∞−
+∞
∞−d)t(x)(hd)(x)t(h)t(y
Usando a propriedade da convolução para a Transformada de Laplace, ou seja, a transformada da convolução é o produto das transformadas, temos então que:
)s(X)s(H)s(Y ⋅=
Transformadas de Laplace______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
na forma
o que permite redesenhar o diagrama
Transformadas de Laplace______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Como a Transformada de Laplace do impulso unitário uo(t) é igual a 1, ou seja:
então quando a entrada x(t) é um impulso unitário uo(t), i.e.,
teremos que X(s) = 1 e portanto, Y(s) = H(s) × 1, isto é,
o que implica
isto é, a saída y(t) se torna a resposta impulsional, como seria de se esperar.
y(t) = h(t),
Y(s) = H(s),
x(t) = uo(t)
L {uo(t)} = 1
Obrigado!
Felippe de [email protected]
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