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ATIVIDADES
ENSINO MÉDIO – 2º ANO – MATEMÁTICA – PROF. IPOJUÇAN
1. (Udesc 2019) Dadas as matrizes
2 1 1 3
1 4 2 0A ,
3 2 0 1
1 0 2 1
1 3 2
B 4 1 1 ,
2 3 2
1 2
C1 4
e D [2] o valor de
det(A) det(B)
det(C) det(D)
é igual a:
a) 0 b) 15 c) 20 d) 10 e) 25
2. (Uece 2019) Os elementos a, b, c, d da matriz a b
Mc d
são distintos entre si e escolhidos aleatoriamente no
conjunto {1, 3, 5, 7}.
Considerando-se, para cada escolha destes elementos, d o determinante de M, o número de valores distintos que
d pode assumir é a) 6. b) 8. c) 16. d) 24.
3. (Espcex (Aman) 2018) Uma matriz quadrada A, de ordem 3, é definida por ij i j
i j, se i ja .
( 1) , se i j
Então 1det(A ) é igual a
a) 4. b) 1. c) 0.
d) 1
.4
e) 1
.2
NOME: _________________________________
TURMA: ________________________________
DATA: _________________________________
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ATIVIDADES
4. (Mackenzie 2018) O valor do determinante
13
13
13 3
3
3 3
0 log 3 log
1 log 27 log 27
0 log 81 log 243
é
a) 0 b) 1 c) 1 d) 3
e) 1
3
5. (Famema 2018) Considere as matrizes ij 2 3A (a ) , com ija 2i j, 2
1 2
B 0 1
m 1 2
e m 0
C ,3m 6
sendo m
um número real. Sabendo que C A B, então det C é igual a
a) 0. b) 12. c) 8. d) 6. e) 4.
6. (Epcar (Afa) 2018) Sejam a e b números positivos tais que o determinante da matriz
1 0 0 1
2 a 0 1
1 1 b 1
0 0 0 1
vale 24.
Dessa forma o determinante da matriz b 2
3 a
é igual a
a) 0 b) 6 c) 6
d) 6
7. (Udesc 2017) Sejam A, B, X e Y matrizes quadradas de ordem 2 tais que, 1 2
A3 2
e
0 2B .
1 4
A soma dos determinantes das matrizes X e Y sabendo que 2X 2Y A B e rX 2Y A é igual a: a) 4 b) 72 c) 144 d) 24 e) 102
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ATIVIDADES
8. (Unisc 2017) Dadas as matrizes 1 2
A3 4
e 1 2
B ,1 0
o determinante da matriz A B é
a) 4 b) 6 c) 8 d) 12 e) 27 9. (Uem 2017) Considere as matrizes
1 2 3A ,
3 2 1
1 3
B 2 2
3 1
e
0 1 0 0
3 2 1 0C .
0 3 2 1
1 0 3 2
De acordo com conhecimentos sobre matrizes e determinantes, é correto afirmar que 01) det(M N) det(N M), onde M e N são matrizes quadradas de mesma ordem.
02) tdetM detM, onde M é matriz quadrada de ordem ímpar.
04) det(C) 4.
08) a matriz A B possui três linhas e três colunas. 16) det(A B) 96.
10. (Uem 2017) Considere as matrizes
2 1 0
A 3 2 5
0 1 2
e
1 2 3 4
B 1 2 3 4 .
1 2 3 4
A partir delas, é correto afirmar que: 01) A matriz A é uma matriz invertível. 02) A primeira e a última linhas de A B são iguais. 04) É possível calcular o determinante da matriz B.
08) O determinante da inversa de A é 1
.10
16) A B B A.
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ATIVIDADES
11. (Uerj 2017) Observe a matriz:
3 t 4
3 t 4
Para que o determinante dessa matriz seja nulo, o maior valor real de t deve ser igual a: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4
12. (Eear 2016) Para que o determinante da matriz
1 1 1
1 0 b
1 2 1
seja 3, o valor de b deve ser igual a
a) 2 b) 0 c) 1 d) 2
13. (Ifsul 2015) Sejam as matrizes 2 2A , onde j
ixj 2i
2 ,se i ja , B I ,
j ,se i j
e I é a matriz identidade. Sabendo que tA é
a matriz transposta de A, qual é o determinante de t(A B)?
a) 11 b) 11 c) 9 d) 9
14. (Udesc 2014) Se TA e 1A representam, respectivamente, a transposta e a inversa da matriz 2 3
A ,4 8
então
o determinante da matriz T 1B A 2A é igual a:
a) 111
2
b) 83
2
c) 166
d) 97
2
e) 62
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ATIVIDADES
15. (Espm 2011) Dadas as matrizes x 2 1 x
A e B1 1 1 2
a diferença entre os valores de x, tais que
det(A B) 3x, pode ser igual a:
a) 3 b) -2 c) 5 d) -4 e) 1
16. (G1 - ifal 2011) Se 1 2 1 2
A e B1 0 1 0
. O determinante da matriz 1(AB) é:
a) 1
10 .
b) 21
.10
c) 13
.10
d) 13
.10
e) nda. 17. (Pucpr 2010) Considere as seguintes desigualdades:
2 2 3 4I.
1 4 1 5
3 6 4 7II.
5 2 1 5
8 1 9 2III.
2 6 1 7
É correto afirmar que: a) São verdadeiras apenas as desigualdades I e II. b) São verdadeiras apenas as desigualdades II e III. c) São verdadeiras apenas as desigualdades I e III. d) As três desigualdades são verdadeiras. e) As três desigualdades são falsas.
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ATIVIDADES
18. (Mackenzie 2010) Dadas as matrizes A = (aij)3x3 tal que ij
ij
a 10,se i j
a 0,se i j
e B = (bij)3x3 tal que ij
ij
b 3,se i j
b 0,se i j
,
o valor de det(AB) é a) 27 x 103 b) 9 x 103 c) 27 x 102 d) 32 x 102 e) 27 x 104 19. (Uel 2009) Se o determinante da matriz:
x 2 1
A 1 1 1
2x 1 3
é nulo, então: a) x 3
b) 7
x4
c) x 1 d) x 0
e) 7
x4
20. (G1 - cftsc 2008) Calcule o valor de x para que se tenha x 3
0.4 2
a) 3. b) 6. c) 0. d) 3. e) 6.
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ATIVIDADES
Gabarito: Resposta da questão 1: [B] Calculando o Determinante da matriz A. A quarta linha foi multiplicada por 1 e somada com a terceira. A quarta linha foi multiplicada por 3 e somada com a primeira. Foi utilizado o Teorema de Laplace a partir da quarta colunada nova matriz obtida com as transformações acima.
4 4
2 1 1 3 5 1 7 05 1 7
1 4 2 0 1 4 2 0det A 1 ( 1) 1 4 2
3 2 0 1 4 2 2 04 2 2
1 0 2 1 1 0 2 1
1 40 14 8 112 20 2 60
Calculando, agora, o determinante da matriz B.
1 3 2
detB 4 1 1 2 24 6 4 3 24 3
2 3 2
Determinante de C
1 2detC 4 ( 2) 6
1 4
Determinande de D. det D 2
Portanto:
det(A) det(B) 60 315
det(C) det(D) 6 2
Resposta da questão 2: [A] Escolhendo os elementos da diagonal principal, os elementos da diagonal secundária ficam determinados
univocamente. Logo, a resposta é
4 4!6.
2 2! 2!
Resposta da questão 3: [D]
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ATIVIDADES
11 12 13
21 22 23
31 32 33
1 111
1 212
1 313
21
2 222
2 323
31
32
3 333
a a a
A a a a
a a a
a 1 1
a 1 1
a 1 1
a 2 1 1
a 1 1
a 1 1
a 3 1 2
a 3 2 1
a 1 1
Então,
1
1 1 1
A 1 1 1
2 1 1
1 1 1
det A 1 1 1 4
2 1 1
1 1det A
det A 4
Resposta da questão 4: [C] Calculando:
13
13
13 3
3
3 3
0 log 3 log0 1 1
1 log 27 log 27 1 3 3 4 5 1
0 4 50 log 81 log 243
Resposta da questão 5: [B] Tem-se que
11 12 13
21 22 23
a a aA
a a a
2 1 1 2 1 2 2 1 3
2 2 1 2 2 2 2 2 3
1 0 1.
3 2 1
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ATIVIDADES
Logo, vem
2
2
2
C A B
1 2m 0 1 0 1
0 13m 6 3 2 1
m 1 2
m 0 m 2 0.
3m 6 m 2 6
Portanto, para que a igualdade seja satisfeita, devemos ter
2 2
2 2
m 2 m m m 2 0
m 2 3m m 3m 2 0
m 2 ou m 2.
m 1 ou m 2
Desse modo, podemos concluir que m 2 e, assim, a resposta é
2 0detC 12.
6 6
Resposta da questão 6: [D] Tem-se que
1 0 0 1a 0 3
2 a 0 124 1 b 2 24
1 1 b 10 0 1
0 0 0 1
ab 24.
Portanto, a resposta é
b 2a b 3 2
3 a
ab 6
24 6
2 6 6
6.
Resposta da questão 7: [B]
De 2X 2Y AB e TX 2Y A ,
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ATIVIDADES
T
T
1X Y AB
2
X 2Y A
1Y AB A
2
De 1 2
A3 2
e
0 2B ,
1 4
2 10AB
2 2
e T 1 3
A2 2
Então,
2 10 1 31Y
2 2 2 22
0 8Y
3 3
Substituindo 0 8
Y3 3
e T 1 3
A2 2
na equação TX 2Y A ,
0 8 1 3X 2
3 3 2 2
1 13X
4 4
Logo,
1 13 0 8det X det Y
4 4 3 3
det X det Y 1 4 13 4 0 3 8 3
det X det Y 72
Resposta da questão 8: [A] Pelo Teorema de Binet, det(AB) det A detB, ou seja,
1 2 1 2det(AB)
3 4 1 0
det(AB) (1 4 2 3) ( 1 0 2 1)
det(AB) 2 ( 2)
det(AB) 4
Resposta da questão 9: 01 + 16 = 17. [01] Verdadeira. De fato, pelo Teorema de Binet, segue que det(M N) detM detN detN detM det(N M).
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ATIVIDADES
[02] Falsa. Na verdade, temos tdetM detM, qualquer que seja M quadrada.
[04] Falsa. O determinante da matriz C é dado por
L L1 4
Chió
0 1 0 0
3 2 1 0detC
0 3 2 1
1 0 3 2
1 0 3 2
3 2 1 0
0 3 2 1
0 1 0 0
2 8 6
3 2 1
1 0 0
( 8 12)
4.
[08] Falsa. A matriz 2 3 3 2 2 2A B D tem duas linhas e duas colunas.
[16] Verdadeira. Com efeito, pois
1 31 2 3 14 10
A B 2 23 2 1 10 14
3 1
e, portanto, tem-se det(A B) 196 100 96.
Resposta da questão 10: 01 + 02 = 03. [01] Verdadeira. De fato, pois
2 1 0
det A 3 2 5 8 10 6 8 0.
0 1 2
[02] Verdadeira. Com efeito, pois
2 1 0 1 2 3 4
A B 3 2 5 1 2 3 4
0 1 2 1 2 3 4
3 6 9 12
10 20 30 40 .
3 6 9 12
[04] Falsa. A matriz B não é quadrada. [08] Falsa. Conforme (01), temos
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ATIVIDADES
1 1 1det A .
det A 8
[16] Falsa. Sendo 3 3A e 3 4B , podemos concluir que existe A B e não existe B A. Em consequência, tais produtos
não podem ser iguais. Resposta da questão 11: [A] Tem-se que
3 t 40 (t 3)(t 4) 12 0
3 t 4
t(t 1) 0
t 0 ou t 1.
Portanto, como 1 0, segue que a resposta é 1.
Resposta da questão 12: [B]
1 1 1 1 1
1 0 b 1 0
1 2 1 1 2
Calculando o determinante pela regra de Sarrus, temos: 0 b 2 0 2b 1 3 3b 3 3 2b 0 b 0 Resposta da questão 13: [A] Determinando a matriz A de acordo com a lei de formação proposta, temos:
1 2
2 2
2 2 2 4A
1 41 2
Considerando que B é a matriz identidade de ordem 2, temos:
1 0B
0 1
Portanto, t 2 1 1 0 3 1A B
4 4 0 1 4 5
E o determinante de t(A B) será dado por:
3 13 5 4 1 11
4 5
Resposta da questão 14:
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ATIVIDADES
[B]
O determinante de A é igual a 2 3
2 8 4 3 4.4 8
Logo, 1
8 3 32
4 4 4A .
4 2 11
4 4 2
Daí, 13
42A 2
2 1
e, portanto,
3 112 4 4 2
B .2 23 8
2 1 5 7
O resultado pedido é
112 11 83
2 7 5 .22 2
5 7
Resposta da questão 15: [C] De acordo com o Teorema Binet, segue que
2
det(A B) 3x det A detB 3x
(x 2) (x 2) 3x
x 3x 4 0
x 1ou x 4.
Portanto, a diferença entre os valores de x, tais que det(A B) 3x, pode ser igual a 4 ( 1) 5 .
Resposta da questão 16: [E] Como A B, segue que
1 2 1
2 2
1 1det(AB) det(A ) .
det(A ) (det A)
Portanto,
11 2 1det A 1 0 ( 1) 2 2 det(AB) .
1 0 4
Resposta da questão 17: [B] I) 8 – (- 2) > 15 - 4 (falsa). II) - 6 + 30 < 20 + 7(verdadeira). III) - 48 + 2 > -63 + 2(verdadeira). Resposta da questão 18: [A]
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ATIVIDADES
3
3
3)det(
300
030
003
10)det(
1000
0100
0010
BB
AA
det(A.B) = det(A).det(B) = 103.33= 27.103 Resposta da questão 19: [E] Resolvendo o determinante, temos:
7
3x 4x 1 2x x 6 0 4x 7 0 x .4
Resposta da questão 20: [E]