UNESP – UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA CÂMPUS DE PRESIDENTE PRUDENTE
FACULDADE DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA
Presidente Prudente
2020
ASTRONOMIA DE POSIÇÃO
Notas de Aulas do Curso de
Graduação em Engenharia Cartográfica e de Agrimensura
Dr. José Milton Arana
MSc. Vinícius Amadeu Stuani Pereira
Dra. Daniele Barroca Marra Alves
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 – Triângulo esférico. .................................................................................................. 10 Figura 2 – Igualdade dos triângulos esféricos. ......................................................................... 11
Figura 3 – Triângulo esférico retângulo. .................................................................................. 16 Figura 4 – Coordenadas geográficas ou astronômicas. ............................................................ 20 Figura 5 – Superfícies utilizadas em Geodésia. ........................................................................ 21 Figura 6 – Trecho das efemérides de algumas estrelas. ........................................................... 23 Figura 7 – Atração entre duas partículas. ................................................................................. 26
Figura 8 – Lei das órbitas. ........................................................................................................ 27
Figura 9 – Lei das áreas. ........................................................................................................... 27 Figura 10 – Esfera celeste e definições. ................................................................................... 31
Figura 11 – Coordenadas de um ponto. .................................................................................... 32 Figura 12 – a) Sistema dextrógiro e b) sistema levógiro. ......................................................... 32 Figura 13 – Sistema de coordenadas horizontais. .................................................................... 33 Figura 14 – Sistema de coordenadas horizontais (isolado). ..................................................... 34
Figura 15 – Sistema de coordenadas horárias. ......................................................................... 36 Figura 16 – Eclíptica e linha equinocial. .................................................................................. 38
Figura 17 – Sistema de coordenadas equatoriais ou uranográficas. ......................................... 39 Figura 18 – Sistema de coordenadas eclípticas. ....................................................................... 40
Figura 19 – Efemérides de algumas estrelas do ano de 2009. .................................................. 42 Figura 20 – Astro referido aos sistemas de coordenadas horizontais e horárias. ..................... 43
Figura 21 – Triângulo de posição. ............................................................................................ 44 Figura 22 – Astro referido aos sistemas de coordenadas horárias e uranográficas. ................. 47 Figura 23 – Astro referido aos sistemas de coordenadas uranográficas e eclípticas. ............... 48
Figura 24 – Triângulo esférico Pn-pn-E. .................................................................................. 49 Figura 25 – Esfera reta.............................................................................................................. 53
Figura 26 – Esfera paralela. ...................................................................................................... 54 Figura 27 – Esfera oblíqua........................................................................................................ 55 Figura 28 – Movimento aparente do Sol com a esfera celeste. ................................................ 57
Figura 29 – Trajetória aparente do Sol na esfera reta. .............................................................. 58 Figura 30 – Trajetória aparente do Sol na esfera paralela. ....................................................... 59 Figura 31 – Trajetória aparente do Sol com observador na zona tropical. ............................... 60
Figura 32 – Trajetória aparente do Sol com observador na zona temperada. .......................... 61
Figura 33 – Triângulo de posição. ............................................................................................ 62
Figura 34 – Astro na passagem meridiana superior (H = 0h ou 0º). ........................................ 63 Figura 35 – Astro na passagem meridiana inferior (H = 12h ou 180º). ................................... 65
Figura 36 – Astro na passagem pelo horizonte - nascendo (h = 0º ou z = 90º). ....................... 68 Figura 37 – Astro na passagem pelo horizonte - ocultando (h = 0º ou z = 90º). ...................... 69 Figura 38 – Astro na passagem pelo primeiro vertical (A = 90º ou A = 270º). ....................... 71
Figura 39 – Triângulo de posição retângulo no zênite. ............................................................ 72 Figura 40 – Astro na passagem pelo círculo das seis horas (H = 6h ou H = 18h). ................... 73
Figura 41 – Triângulo de posição retângulo no Pólo. .............................................................. 74 Figura 42 – Astro elongando (Q = 90º). ................................................................................... 75 Figura 43 – Triângulo de posição retângulo no astro. .............................................................. 76
Figura 44 – Hora sideral local. ................................................................................................. 80 Figura 45 – Sistema de fusos horários utilizado na Astronomia. ............................................. 84
Figura 46 – Diferença de horas entre dois meridianos. ............................................................ 85 Figura 47 – a) Ano trópico e b) ano anomalístico. ................................................................... 89
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
Figura 48 – Relação entre os dias sideral e médio. .................................................................. 90 Figura 49 – Emissora: Observatório Nacional. ........................................................................ 94 Figura 50 – Emissora: Rio Rádio. ............................................................................................ 95 Figura 51 – Emissora: Rádio Relógio Federal.......................................................................... 95 Figura 52 – Emissora: Serviço da Hora do Observatório Nacional. ........................................ 95
Figura 53 – Triângulo de posição. ............................................................................................ 98 Figura 54 – Observação ao Sol pelo método de uma tangência e uma bisseção. ................... 103 Figura 55 – Observação ao Sol pelo método da dupla tangência. .......................................... 104 Figura 56 – Erro do ponto zenital do instrumento. ................................................................. 105 Figura 57 – Paralaxe do astro. ................................................................................................ 106
Figura 58 – Redução da distância zenital ao centro do Sol. ................................................... 107
Figura 59 – Redução do ângulo azimutal ao centro do Sol. ................................................... 108 Figura 60 – Efeito da refração. ............................................................................................... 108
Figura 61 – Refração astronômica. ......................................................................................... 109 Figura 62 – Azimute da mira. ................................................................................................. 124 Figura 63 – Determinação da latitude pelo método de Sterneck. ........................................... 133 Figura 64 – Posições médias das estrelas, 2011. .................................................................... 138
Figura 65 – Posições aparentes das estrelas 1311 e 452 no trânsito pelo meridiano de
Greenwich, 2009. .................................................................................................................... 143
Figura 66 – Posições médias das estrelas, 2011. .................................................................... 152 Figura 67 – Posições aparentes das estrelas 577, 682, 861 e 866 no trânsito pelo meridiano de
Greenwich, 2009. .................................................................................................................... 158 Figura 68 – Determinada da longitude pelo método das alturas iguais de uma mesma estrela.
................................................................................................................................................ 165 Figura 69 – Azimute da mira. ................................................................................................. 168 Figura 70 – Triângulo de posição retângulo no astro. ............................................................ 171
Figura 71 – Posições médias das estrelas, 2011. .................................................................... 180 Figura 72 – Posições aparentes das estrelas 625, 683 e 689 no trânsito pelo meridiano de
Greenwich, 2009. .................................................................................................................... 186 Figura 73 – Precessão lunissolar (1). ...................................................................................... 207 Figura 74 – Precessão lunissolar (2). ...................................................................................... 208
Figura 75 – Nutação (1). ......................................................................................................... 209 Figura 76 – Nutação (2). ......................................................................................................... 209 Figura 77 – Nutação (3). ......................................................................................................... 210
Figura 78 – Coordenadas médias, verdadeiras e aparentes. ................................................... 212
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 – Escala de magnitude e brilho das estrelas............................................................... 23 Tabela 2 – Unidades médias dos anos trópico, sideral e anomalístico. .................................... 89
Tabela 3 – Programa de observações para a determinação da latitude pelo método da
passagem meridiana de um estrela. ........................................................................................ 131 Tabela 4 – Programa de observações para a determinação da latitude pelo método de
Sterneck. ................................................................................................................................. 136 Tabela 5 – Programa de observações para a determinação da longitude pelo método das
distâncias zenitais absolutas. .................................................................................................. 150
Tabela 6 – Programa de observações para a determinação do azimute por estrelas em
elongação. ............................................................................................................................... 174
Tabela 7 – Programa de observações para a determinação do azimute por estrelas em circum-
elongação. ............................................................................................................................... 178 Tabela 8 – Comparação da variação da longitude da estrela Spica entre 283 a.C. e 129 a. C..
................................................................................................................................................ 205
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
SUMÁRIO
1 REVISÃO DE TRIGONOMETRIA ESFÉRICA .......................................................... 10
1.1 Definições ..................................................................................................................... 10
1.2 Igualdade dos Triângulos Esféricos .............................................................................. 11
1.3 Propriedades dos Triângulos Esféricos ......................................................................... 11
1.4 Distância Esférica ....................................................................................................... 12
1.5 Triângulo polar ........................................................................................................... 12
1.6 Excesso Esférico......................................................................................................... 13
1.7 Fórmulas Fundamentais da Trigonometria Esférica ..................................................... 13
1.8 Resolução de Triângulos Esféricos retângulos e relitáteros ......................................... 16
1.9 Exercícios Propostos...................................................................................................... 18
2 COORDENADAS DE UM PONTO SOBRE A SUPERFÍCIE DA TERRA E SOBRE
O MODELO GEOMÉTRICO .......................................................................................... 19
2.1 Introdução ..................................................................................................................... 19
2.2 Coordenadas Geográficas ou Astronômicas ................................................................. 20
3 NOÇÕES PRELIMINARES DE COSMOGRAFIA ...................................................... 22
3.1 Astros Fixos e Errantes ................................................................................................. 22
3.2 Sistema Solar ................................................................................................................ 24
3.3 Universo........................................................................................................................ 25
4 GRAVITAÇÃO UNIVERSAL ......................................................................................... 26
4.1 Lei da Gravitação Universal ......................................................................................... 26
4.2 Leis de Kepler ............................................................................................................... 27
4.3 Movimentos da Terra .................................................................................................... 28
5 SISTEMAS DE COORDENADAS CELESTES ............................................................ 29
5.1 Esfera Celeste e Definições .......................................................................................... 29
5.2 Sistema de Coordenadas ............................................................................................... 32
5.2.1 Sistema de coordenadas horizontais ...................................................................... 33
5.2.2 Sistema de coordenadas horárias ........................................................................... 35
5.2.3 Sistema de coordenadas equatoriais ou uranográficas .......................................... 37
5.2.4 Sistema de coordenadas eclípticas ......................................................................... 40
5.3 Efemérides .................................................................................................................... 41
6 TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS ................................................................. 43
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
6.1 Triângulo de Posição .................................................................................................... 43
6.2 Transformação de Coordenadas Horizontais em Horárias e Vice-Versa ..................... 44
6.3 Transformação de Coordenadas Horárias em Equatoriais e Vice-Versa ..................... 46
6.4 Transformação de Coordenadas Equatoriais em Eclípticas e Vice-Versa.................... 48
6.5 Exercícios Propostos..................................................................................................... 51
7 ESTUDO GEOMÉTRICO DO MOVIMENTO DIURNO ............................................ 52
7.1 Movimento Aparente dos Astros Fixos ........................................................................ 52
7.2 Aspectos do Céu Segundo a Latitude ........................................................................... 53
7.3 Movimentos Aparentes do Sol ..................................................................................... 56
7.3.1 Trajetória aparente do Sol em diferentes latitudes ................................................ 58
8 ESTUDO ANALÍTICO DO MOVIMENTO DIURNO ................................................. 62
8.1 Posição de um Astro em um Dado Instante .................................................................. 62
8.2 Astro na Passagem Meridiana Superior ........................................................................ 63
8.3 Astro na Passagem Meridiana Inferior ......................................................................... 65
8.4 Astro na Culminação .................................................................................................... 66
8.5 Astro na Passagem pelo Horizonte ............................................................................... 68
8.6 Astro na Passagem pelo Primeiro Vertical ................................................................... 71
8.7 Astro na Passagem pelo Círculo das Seis Horas .......................................................... 73
8.8 Astro em Elongação ...................................................................................................... 75
8.9 Exercícios Propostos..................................................................................................... 78
9 TEMPO EM ASTRONOMIA .......................................................................................... 79
9.1 Tempo Sideral............................................................................................................... 79
9.2 Tempo Solar Verdadeiro .............................................................................................. 80
9.3 Tempo Solar Médio ...................................................................................................... 81
9.4 Equação do Tempo ....................................................................................................... 82
9.5 Hora Legal .................................................................................................................... 83
9.6 Diferença de Horas entre Dois Meridianos .................................................................. 85
9.7 Tempo das Efemérides ................................................................................................. 87
9.8 Tempo Universal Coordenado (TUC) .......................................................................... 88
9.9 Ano ............................................................................................................................... 88
9.10 Relação entre os Dias Sideral e Médio ....................................................................... 90
9.11 Conversões de Horas .................................................................................................. 91
9.12 Interpolação de Coordenadas Uranográficas .............................................................. 92
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
9.13 Cronometria e Radiofusão dos Sinais Horários .......................................................... 93
9.14 Exercícios Propostos................................................................................................... 96
10 CIRCUNSTÂNCIAS FAVORÁVEIS ÀS DETERMINAÇÕES ASTRONÔMICAS98
10.1 Circunstância Favorável à Determinação da Latitude ................................................ 98
10.2 Circunstância Favorável à Determinação da Longitude ........................................... 100
10.3 Circunstância Favorável à Determinação do Azimute ............................................. 100
11 CORREÇÕES ÀS OBSERVAÇÕES .......................................................................... 103
11.1 Ponto Zenital (PZ) ..................................................................................................... 104
11.2 Paralaxe (p) ............................................................................................................... 105
11.3 Semidiâmetro do Sol (SD) ........................................................................................ 106
11.4 Refração Astronômica (R) ........................................................................................ 108
11.5 Correção Total nas Distâncias Zenitais .................................................................... 110
11.6 Exercício Proposto .................................................................................................... 111
12 DETERMINAÇÕES ASTRONÔMICAS EXPEDITAS ........................................... 112
12.1 Determinação da Latitude pelo Método da Culminação do Sol ............................... 112
12.2 Determinação da Longitude pelo Método das Distâncias Zenitais do Sol ............... 117
12.3 Determinação do Azimute por Distâncias Zenitais do Sol ....................................... 123
13 DETERMINAÇÃO DE PRECISÃO ........................................................................... 129
13.1 Determinação da Latitude ......................................................................................... 129
13.1.1 Determinação da latitude pelo método da passagem meridiana de uma estrela 129
13.1.2 Determinação da latitude pelo método de Sterneck .......................................... 132
13.2 Determinação da Longitude ...................................................................................... 145
13.2.1 Determinação da longitude pelo método da passagem meridiana ..................... 146
13.2.2 Determinação da longitude pelo método das distâncias zenitais absolutas ....... 147
13.2.3 Determinação da longitude pelo método das alturas iguais de uma estrela ...... 164
13.2.4 Determinação da longitude pelo método de Zinger........................................... 166
13.3 Determinação do Azimute ........................................................................................ 168
13.3.1 Determinação do azimute por distâncias zenitais absolutas de estrelas ............ 169
13.3.2 Determinação do azimute por estrelas em elongação ........................................ 171
13.3.3 Determinação do Azimute por Observações às Estrelas em Circum-elongação175
14 DETERMINAÇÃO DE ALTA PRECISÃO ............................................................... 191
14.1 Determinação da Latitude pelo Método de Horrebow-Talcott ................................. 191
14.2 Determinação da Longitude pelo Método de Mayer ................................................ 196
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
14.3 Determinação do Azimute Através de Observações à Estrela Polar Sul Sigma
Octantis (σOct) ........................................................................................................... 201
15 VARIAÇÃO DAS COORDENADAS URANOGRÁFICAS ..................................... 205
15.1 Histórico ................................................................................................................... 205
15.2 Fatores Determinantes das Variações ....................................................................... 205
15.3 Precessão Lunissolar................................................................................................. 206
15.4 Nutação ..................................................................................................................... 208
15.5 Precessão Planetária ................................................................................................. 210
15.6 Precessão Geral ......................................................................................................... 210
15.7 Paralaxe Anual .......................................................................................................... 211
15.8 Aberração Estelar ..................................................................................................... 211
15.9 Aberração Anual ....................................................................................................... 211
15.10 Aberração Diária ..................................................................................................... 211
15.11 Movimento Próprio................................................................................................. 212
15.12 Coordenadas Médias, Verdadeiras e Aparentes ..................................................... 212
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
10
1 REVISÃO DE TRIGONOMETRIA ESFÉRICA
Os fundamentos da Trigonometria Esférica são essenciais para o estudo da
Astronomia de Posição. Assim, uma breve revisão é apresentada a seguir (para mais detalhes
consultar as notas de aulas da disciplina de Trigonometria Esférica).
1.1 Definições
▪ Superfície esférica: é o lugar geométrico dos pontos do espaço que
equidistam de um ponto interior denominado de centro;
▪ Círculo máximo: consiste na interseção de um plano com uma esfera,
sendo o centro da esfera contido no plano;
▪ Círculo menor: consiste na interseção de um plano com uma esfera,
sendo o centro da esfera não contido no plano;
▪ Polígono esférico: é a porção da superfície esférica limitada
exclusivamente por arcos de circunferência máxima; e
▪ Triângulo esférico: é a porção da superfície esférica limitada por 3
arcos de circunferência máxima menores que 180º; ou polígono
esférico formado por 3 lados menores que 180º.
A Figura 1 apresenta a ilustração do triângulo esférico.
Figura 1 – Triângulo esférico.
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
11
Um triângulo esférico possui 6 elementos: 3 lados (a, b, c) e 3 ângulos (A,
B, C). Resolver um triângulo esférico é determinar 3 de seus elementos quando são
conhecidos os outros 3 elementos.
1.2 Igualdade dos Triângulos Esféricos
Dois triângulos pertencentes à mesma esfera são iguais quando:
▪ Possuir um ângulo igual, compreendido entre dois lados
respectivamente iguais (Figura 2 a));
▪ Possuir três lados respectivamente iguais (Figura 2 b)); ou
▪ Ter um lado igual, adjacentes a dois ângulos iguais (Figura 2 c)).
Figura 2 – Igualdade dos triângulos esféricos.
1.3 Propriedades dos Triângulos Esféricos
▪ Um lado sempre é menor que a soma dos outros dois lados, e maior
que a diferenças dos mesmos:
o a < (b + c); e
o a > (b – c).
▪ O lado maior se opõe ao ângulo maior;
▪ A lados iguais se opõem ângulos iguais;
▪ A soma dos ângulos de um triângulo esférico esta compreendido entre
180º e 540º:
o 180º < (A + B + C) < 540º.
▪ A soma dos lados de um triângulo esférico é sempre menor que 360º:
o (a + b + c) < 360º.
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
12
1.4 Distância Esférica
É o menor arco de circunferência máxima que liga dois pontos na superfície
esférica, a figura abaixo ilustra a distância esférica entre os pontos A e B.
Se existirem dois pontos não diametralmente opostos de uma superfície
esférica, por ele sempre passa um único arco de círculo máximo. Assim, a distância esférica
entre estes dois pontos é o arco de menor comprimento do círculo máximo que passa por eles.
)(radRd =
1.5 Triângulo polar
Polar é o lugar geométrico dos pontos da superfície esférica que distam 90o
dos polos. Assim, todas as circunferências máximas perpendiculares a polar contém os polos.
Dois triângulos esféricos são polares quando os vértices do primeiro são os pólos dos lados
homônimos do outro, e reciprocamente.
A relação existente entre os triângulos polares diz: “os lados de um
triângulo esférico polar são suplementos dos ângulos do triângulo dado, e seus ângulos são
os suplementos dos lados do triângulo dado”.
Propriedades dos triângulos polares (decorrentes da relação mencionada).
A + a’ = 180o
B + b’ = 180o
C + c’ = 180o
a + A’ = 180o
b + B’ = 180o
c + C’ = 180o
A B
C
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
13
1.6 Excesso Esférico
A soma dos ângulos de um triângulo esférico euleriano é sempre maior que
180o, e o que excede de 180o é denominado de excesso esférico.
= A + B + C – 180o (este excesso é proporcional à área do triangulo esférico)
O excesso esférico também pode ser calculado com uso da Fórmula de
L’Huillier:
−
−
−
=
22224
2 cstg
bstg
astg
stgtg
, onde
2
cbas
++=
A área do triângulo esférico, determinada a partir de seu excesso esférico é:
radRS 2= o
oRS
180
2 = S = R2 sen 1” ”
1.7 Fórmulas Fundamentais da Trigonometria Esférica
Fórmula dos 4 Elementos (lados) – relaciona três lados e um ângulo.
C cosbsen asen b cosa cosc cos
B coscsen asen c cosa cosb cos
A coscsen bsen c cosb cosa cos
+=
+=
+=
(1)
Fórmula dos 4 Elementos (ângulos) – relaciona três ângulos e um lado.
c cosBsen Asen B cosA cos C cos
b cosCsen Asen C cosA cos B cos
a cosCsen Bsen C cosB cos A cos
+−=
+−=
+−=
(2)
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
14
Fórmula dos 5 Elementos – relaciona três lados e dois ângulos.
A cosc cosbsen csen b cosB cosasen
C cosb cosasen bsen a cosA coscsen
B cosa coscsen asen c cosC cosbsen
A cosb coscsen bsen c cosC cosasen
C cosa cosbsen asen b cosB coscsen
B cosc cosasen csen a cosA cosbsen
−=
−=
−=
−=
−=
−=
(3)
Analogia dos Senos – relaciona dois lados e dois ângulos respectivamente opostos.
Csen
csen
Bsen
bsen
Asen
asen == (4)
Fórmula das Cotangentes – relaciona dois lados e dois ângulos não opostos.
B cosa cosasen c cotgBsen C cotg
A cosc coscsen b cotgAsen B cotg
C cosb cosbsen a cotgCsen A cotg
A cosb cosbsen c cotgAsen C cotg
C cosa cosasen b cotgCsen B cotg
B cosc coscsen a cotgBsen A cotg
−=
−=
−=
−=
−=
−=
(5)
Fórmula da Borda e Fórmula dos Marinheiros – relaciona um ângulo e três lados.
bsenasen
c)(ssenssen
2
Ccos
bsenasen
b)(ssena)(ssen
2
Csen
csenasen
b)(ssenssen
2
Bcos
csenasen
c)(ssena)(ssen
2
Bsen
csenbsen
a)(ssenssen
2
Acos
csenbsen
b)(ssenc)(ssen
2
Aen
2
2
2
2
2
2
−=
−−=
−=
−−=
−=
−−=s
(6)
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
15
Por divisão conveniente das fórmulas da Borda, chega-se às chamadas Fórmulas dos
Marinheiros.
CBAS2cba2scom
B)cos(SA)cos(S
C)cos(ScosS
2
ctg
c)sen(sssen
b)sen(sa)sen(s
2
Ctg
C)cos(SA)cos(S
B)cos(ScosS
2
btg
b)sen(sssen
c)sen(sa)sen(s
2
Btg
C)cos(SB)cos(S
A)cos(ScosS
2
atg
a)sen(sssen
c)sen(sb)sen(s
2
Atg
22
22
22
++=++=
−−
−−=
−
−−=
−−
−−=
−
−−=
−−
−−=
−
−−=
Analogias de Delambre ou Equações de Gauss – utilizadas como fórmulas de verificação,
as quais envolvem os seis elementos do triângulo e conduzem a uma identidade quando os
elementos obtidos pelo cálculo estão corretos.
( ) ( )2
bacos
2
Ccos
2
ccos
2
BAsen
−=
+
( ) ( )2
bacos
2
Csen
2
ccos
2
BAcos
+=
+
( ) ( )2
basen
2
Ccos
2
csen
2
BAsen
−=
−
( ) ( )2
basen
2
Csen
2
csen
2
BAcos
+=
−
( ) ( )2
cacos
2
Bcos
2
bcos
2
CAsen
−=
+
( ) ( )2
cacos
2
Bsen
2
bcos
2
CAcos
+=
+
( ) ( )2
casen
2
Bcos
2
bsen
2
CAsen
−=
−
( ) ( )2
casen
2
Bsen
2
bsen
2
CAcos
+=
− (7)
( ) ( )2
cbcos
2
Acos
2
acos
2
CBsen
−=
+
( ) ( )2
cbcos
2
Asen
2
acos
2
CBcos
+=
+
( ) ( )2
cbsen
2
Acos
2
asen
2
CBsen
−=
−
( ) ( )2
cbsen
2
Asen
2
asen
2
CBcos
+=
−
Analogias de Neper
– Dois lados e três ângulos
( )( )
( )2
bacos
2
bacos
2
Ccotg
2
BAtg
+
−
=+
( )
( )
( )2
casen
2
casen
2
Bcotg
2
CAtg
+
−
=−
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
16
( )( )
( )2
basen
2
basen
2
Ccotg
2
BAtg
+
−
=−
( )
( )
( )2
cbcos
2
cbcos
2
Acotg
2
CBtg
+
−
=+
(8)
( )( )
( )2
cacos
2
cacos
2
Bcotg
2
CAtg
+
−
=+
( )
( )
( )2
cbsen
2
cbsen
2
Acotg
2
CBtg
+
−
=−
– Três lados e dois ângulos
( )( )
( )2
BAcos
2
BAcos
2
ctg
2
batg
+
−
=+
( )
( )
( )2
BAsen
2
BAsen
2
ctg
2
batg
+
−
=−
( )( )
( )2
CAcos
2
CAcos
2
btg
2
catg
+
−
=+
( )
( )
( )2
CBcos
2
CBcos
2
atg
2
cbtg
+
−
=+
(9)
( )( )
( )2
CAsen
2
CAsen
2
btg
2
catg
+
−
=−
( )
( )
( )2
CBsen
2
CBsen
2
atg
2
cbtg
+
−
=−
1.8 Resolução de Triângulos Esféricos retângulos e relitáteros
Regra de Mauduit – regra utilizada para a resolução de triângulo esférico retângulo
(Figura 3). Enunciado: “o cosseno do elemento médio é igual ao produto das cotangentes dos
elementos conjuntos ou o produto dos senos dos elementos separados”.
Figura 3 – Triângulo esférico retângulo.
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
17
sen__sen__cotg__cotg__cos__ == (10)
Na aplicação da regra deve-se considerar:
▪ Admitindo a como elemento médio (poderia ser escolhido qualquer elemento do triângulo,
exceto o ângulo reto A), seus elementos conjuntos são os ângulos B e C, e seus elementos
separados os lados b e c;
▪ O elemento reto é considerado inexistente na aplicação da regra. Se admitir b como
elemento médio, os elementos conjuntos serão o lado c e o ângulo C; e
▪ Não se “tomam” os catetos, e sim seus complementos: se A for o ângulo reto, utiliza-se
(90º – c) e não c, (90º – b) e não b.
O triângulo esférico retilátero é o triângulo esférico que possui pelo menos um lado
reto (lado igual a 90o), figura abaixo.
A resolução do triângulo esférico retilátero, utilizando da Regra de Mauduit, procede-
se da seguinte maneira:
• Lembrando-se das propriedades dos triângulos polares, verifica-se que um triângulo polar
ao triângulo retilátero será um triângulo retângulo;
• Utilizando das propriedades dos triângulos polares, determina-se o triângulo polar ao
triângulo dado;
• Utiliza-se a Regra de Mauduit para resolver o triângulo polar (este determinado pelas
propriedades polares);
• Resolvido o triângulo polar (utilizando a regra de Mauduit), novamente com as
propriedades dos triângulos polares calcula-se o triângulo dado.
a = 90º
B
C
A
b c
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
18
1.9 Exercícios Propostos
1. Determinar a área do triângulo esférico pertencente a uma esfera de raio 6 378 km, onde:
A = 144o 15’ 43”
B = 97o 27’ 21”
C = 68o 21’ 43”
2. Determinar a área do triângulo polar ao do exercício anterior.
3. Calcular a distância aproximada entre Presidente Prudente/Brasil e Moscou/Rússia.
Dados:
Presidente Prudente Moscou
φ = 22º 07’ S φ = 55º 45’ N
λ = 51º 24’ W λ = 37º 30’ E
Raio Médio da Terra = 6.371 km
4. Resolver os triângulos e em seguida verificá-los:
a) a = 52º 05’ 50” | b = 66º 06’ 10” | c = 68º 13’ 00”
b) A = 110º 30’ 20” | B = 130º 40’ 10” | C = 100º 20’ 50”
c) a = 88º 42’ 30” | b = 60º 10’ 10” | C = 70º 48’ 40”
d) A = 70º 30’ 30” | B = 100º 30’ 30” | c = 60º 30’ 40”
5. Resolver os triângulos retângulos em A:
a) a = 54º 20’ 00” | b = 43º 32’ 30”
b) b = 12º 17’ 00” | c = 09º 45’ 00”
c) a = 64º 40’ 00” | B = 64º 38’ 00”
6. Resolver os triângulos retiláteros:
a) a = 90o 00’ 00” b = 45o 28’ 52” c = 67o 56’ 28”
b) c = 90o 00’ 00” a = 55o 55’ 55” B = 77o 56’ 00”
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
19
2 COORDENADAS DE UM PONTO SOBRE A SUPERFÍCIE DA TERRA E SOBRE
O MODELO GEOMÉTRICO
2.1 Introdução
A Astronomia de Posição, também conhecida como Astronomia Esférica ou
Astronomia de Campo, utiliza-se dos astros para o posicionamento e orientação na superfície
da Terra, ou seja, utiliza-se de métodos e técnicas para obter as coordenadas astronômicas de
um ponto, bem como o azimute de uma direção qualquer materializada no terreno.
O uso de teodolitos e cronômetros às observações aos corpos celestes
possibilita a determinação da posição geográfica (latitude, longitude e azimute).
Quanto à precisão, tais observações são classificadas em:
▪ Alta Precisão: as coordenadas astronômicas de um ponto na
superfície terrestre (latitude e longitude) são obtidas com um erro
médio inferior a 0,1” (um décimo de segundo de arco) e o azimute de
uma direção qualquer com erro médio inferior a 0,3” (três décimos de
segundo de arco). Assim, a insegurança de um ponto está dentro de
um círculo de 3 metros de raio. As determinações de alta precisão são
objetos de estudos da Astronomia Geodésica, usualmente utilizadas no
estabelecimento de pontos de Laplace nas triangulações;
▪ Precisão: as coordenadas astronômicas (latitude e longitude) são
obtidas com um erro médio inferior a 1,0” (um segundo de arco) e o
azimute de uma direção qualquer com erro médio inferior a 1,5” (um
segundo e cinco décimos de arco). Esta precisão assegura que a
posição de um ponto esteja dentro de um círculo de,
aproximadamente, 30 metros; ou
▪ Expeditas: as coordenadas astronômicas de um ponto (latitude e
longitude) e o azimute de uma direção qualquer são obtidas com erro
médio superior a 1,0” e 1,5”, respectivamente.
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
20
2.2 Coordenadas Geográficas ou Astronômicas
Como um dos objetivos da Astronomia de Posição é a determinação das
coordenadas geográficas (ou astronômicas) de um ponto, definem-se as coordenadas em:
▪ Latitude geográfica ou astronômica: ângulo formado pela vertical
de um ponto com sua projeção equatorial, representado pela letra
grega φ, e variando de 0º a ±90º, sendo positivo para o Hemisfério
Norte e negativo para o Hemisfério Sul;
▪ Longitude geográfica ou astronômica: ângulo diedro formado pelo
meridiano astronômico de um ponto e o meridiano astronômico que
passa pelo Observatório de Greenwich (origem), representado pela
letra grega λ, e variando de 0º a ±180º, sendo positivo para o
Hemisfério Oriental (leste de Greenwich) e negativo para o
Hemisfério Ocidental (oeste de Greenwich); e
▪ Azimute astronômico: ângulo formado entre o meridiano
astronômico de um ponto e o alinhamento de uma direção qualquer,
representado pela letra A, variando de 0º a 360º e contado sobre o
plano do horizonte, a partir do Sul por Oeste.
A Figura 4 ilustra os conceitos da latitude e longitude astronômica de um
ponto P, bem como o azimute astronômico entre os pontos P e R.
Figura 4 – Coordenadas geográficas ou astronômicas.
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
21
Rotineiramente utiliza-se de três superfícies:
▪ Superfície Física da Terra (sft): é a superfície na qual são realizadas
as operações geodésicas ou astronômicas;
▪ Superfície do modelo geométrico: também denominada de superfície
de referência, é sobre a qual são efetuados os cálculos geodésicos ou
astronômicos, sejam no elipsoide de revolução ou na esfera; e
▪ Geoide: superfície equipotencial do campo da gravidade que mais se
aproxima do Nível Médio dos Mares (NMM) não perturbado e
prolongado sob os continentes. O geoide presta-se à definição da
terceira coordenada natural, ou seja, a altitude ortométrica (H)
(distância contada ao longo da vertical, desde o geoide até o ponto
considerado).
A Figura 5 apresenta esquematicamente as três superfícies supracitadas,
sendo i o desvio da vertical, isto é, o ângulo formado pela vertical (V) e pela normal (N)
passante pelo ponto P.
Figura 5 – Superfícies utilizadas em Geodésia.
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
22
3 NOÇÕES PRELIMINARES DE COSMOGRAFIA
3.1 Astros Fixos e Errantes
São denominados de astros todos os corpos, luminosos ou não, isolados no
espaço. A olho nu apenas cerca de 5.000 são visíveis (são estes astros que tem interesse a
Astronomia de Posição). Didaticamente os astros são divididos em dois grupos: fixos (as
estrelas e os quasares) e errantes (todos os planetas componentes do Sistema Solar).
Características dos astros fixos:
▪ Posição relativa: as distâncias angulares são praticamente constantes.
Por exemplo, observando a constelação Cruzeiro do Sul todos os dias
ver-se-á que sua posição no espaço pode mudar, mas suas estrelas
mantém uma constância de posição na constelação;
▪ Cintilação: os astros fixos apresentam o fenômeno de cintilação, que é
a variação rápida e irregular da intensidade de luz emitida pelo astro;
▪ Espectro luminoso: possuem espectro luminoso próprio; e
▪ Revelam-se como ponto luminoso ao ser observado em um telescópio
ou teodolito (exceção ao Sol).
Características dos astros errantes:
▪ Não conservam suas distâncias angulares constantes;
▪ Sua luz é fixa (não cintilam); e
▪ Ao telescópio ou teodolito revelam-se como um disco.
Esclarece-se que os astros ditos “fixos” na realidade se deslocam pelo
espaço (conforme demonstrado pela primeira vez por Halley em 1718), sendo a sua falsa
imobilidade decorrência das extraordinárias distâncias que os separam da Terra. O movimento
aparente das estrelas sobre a esfera celeste é praticamente desprezível, apenas da ordem de
poucos segundos de arco por século.
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
23
Magnitude das estrelas
O conceito de magnitude está relacionado ao brilho com que as estrelas
sensibilizam os olhos do ser humano. Quanto mais elevada é a magnitude, menos luminoso é
o astro. A Tabela 1 apresenta a escala que relaciona numericamente magnitude e brilho.
Tabela 1 – Escala de magnitude e brilho das estrelas.
magnitude 1 2 3 4 5 6
brilho 1 1/2,5 1/6,3 1/15,8 1/39,8 1/100
Estes conceitos são importantes, pois as efemérides (tabela de estrelas)
fornecem a posição (coordenadas) de um determinado número de estrelas, bem como sua
magnitude (Figura 6). Portanto, o observador tem condições de saber se a estrela em questão
tem brilho forte ou fraco. Isto é de grande valia, pois as estrelas de primeira grandeza (muito
brilhantes) devem ser evitadas, haja vista que as mesmas não proporcionam pontaria precisa.
Figura 6 – Trecho das efemérides de algumas estrelas.
Fonte: Adaptado de <http://www.on.br/coaa/conteudo/pdf/Se%C3%A7%C3%A3o_1E%20a
%2021E_2015.pdf>. Acesso em: 14 jan. 2015.
Constelações
Constelações são agrupamentos arbitrários de estrelas que formam
determinadas figuras, as quais os antigos as batizavam com os mais variados tipos de nomes,
desde mitológicos a animais e coisas. As constelações atuais, em sua grande maioria, foram
batizadas pelos gregos. Com o intuito de uniformizar estas designações, o Congresso
Internacional de Astronomia, realizado em Roma em 1922, estabeleceu que as constelações
deveriam ser designadas pelo seu nome latino, e que ao se referir a uma estrela de uma
constelação, deve-se utilizar uma letra do alfabeto grego (α, β, γ, δ...) seguida do nome da
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
24
constelação, cabendo a estrela mais brilhante da constelação a letra α. Exemplificando: nome
da constelação – Crux, nome da estrela – α Crux (que é a estrela mais brilhante da constelação
Crux).
3.2 Sistema Solar
Dá-se o nome de sistema solar ao conjunto de corpos celestes que
encontram sujeitos a ação atrativa do Sol:
▪ Planetas: astros errantes que, subordinados às Leis de Kepler, giram
em torno do Sol (o qual é atribuído o rótulo de centro do sistema). Na
ordem crescente de suas distâncias ao Sol, são: Mercúrio, Vênus,
Terra, Marte, Júpiter, Saturno, Urano e Netuno (Plutão é considerado
planeta anão), onde os dois primeiros são ditos planetas interiores e os
demais, exceto a Terra, de planetas exteriores;
▪ Satélites: são corpos que orbitam os planetas, além de segui-los na
marcha ao redor do Sol. Os planetas interiores não possuem satélites
conhecidos, a Terra possui um (a Lua), Marte dois (Phobos e Deimos),
Júpiter 63, Saturno 50, Urano 27, Netuno13 e Plutão uma;
▪ Asteroides ou Planetoides: são pequenos astros que se espalham pela
região do espaço delimitada pelas órbitas de Marte e Júpiter;
▪ Cometas: são astros com aspecto característico, que descrevem longas
trajetórias em torno do Sol. Um dos mais famosos é o cometa Halley,
que possui um período de 75 anos, sendo a última aparição em 1986;
▪ Satélites Artificiais: Nas últimas décadas o sistema solar foi
enriquecido com alguns milhares de novos corpos celestes, em sua
maioria temporários, que são os satélites artificiais. Dispensa-se aqui a
apresentação da importância destes astros artificiais para a Geodésia e
áreas correlatas.
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
25
3.3 Universo
▪ Claudio Ptolomeu (100 – 178): astrônomo, geógrafo e matemático
que viveu em Alexandria, e postulava o sistema geocêntrico, ou seja, a
Terra como o centro do universo;
▪ Nicolau Copérnico (1473 – 1543): astrônomo, geógrafo, filósofo e
matemático, nascido em Torum na Polônia. Foi quem revelou as
relações existentes entre a Terra, o Sol, a Lua e os outros corpos
celestes. Idealizador do sistema heliocêntrico;
▪ Galileu Galilei (1564 – 1642): consolidou o sistema heliocêntrico;
▪ Johannes Kepler (1571 – 1630): até Galileu as órbitas dos planetas
eram tidas como circulares. Kepler introduz as órbitas elípticas em
1609, publicando a sua primeira lei, conhecido como “Lei das
Órbitas”;
▪ Isaac Newton (1642 – 1727): nasce a mecânica celeste.
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
26
4 GRAVITAÇÃO UNIVERSAL
Os movimentos dos astros do sistema solar estão baseados nas leis de
Newton, cujas raízes encontram-se nos trabalhos de Galileu.
Leis de Newton:
1) Todo corpo não solicitado por forças mantem-se indefinidamente em
repouso ou em estado de movimento retilíneo uniforme;
2) A aceleração é diretamente proporcional à força que atua sobre o
corpo e inversamente proporcional a sua massa; e
3) Toda ação corresponde uma reação igual e contrária.
Com base nestas leis, Newton conseguiu substituir a formulação geométrica
do movimento planetário devida a Kepler pela formulação física denominada “Lei da
Gravitação Universal”.
4.1 Lei da Gravitação Universal
“Toda partícula de matéria no universo atrai qualquer outra partícula com uma força que
tem por direção a linha que liga as duas partículas e cuja magnitude é diretamente
proporcional ao produto das duas massas e inversamente proporcional ao quadrado da
distância”.
Figura 7 – Atração entre duas partículas.
2
21
d
mmGF
= (11)
onde: G – constante gravitacional (G = 6,674287x10-11 m3kg-1s-2); m1,2 – massas das
partículas; e d – distância que separa as duas partículas.
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
27
4.2 Leis de Kepler
Lei das Órbitas
“Os planetas descrevem órbitas elípticas das quais o Sol ocupa um dos focos”.
Figura 8 – Lei das órbitas.
Lei das Áreas
“O raio vetor descreve áreas iguais em tempo iguais”.
Figura 9 – Lei das áreas.
Lei dos Períodos
“Os quadrados dos períodos das revoluções planetárias são proporcionais aos cubos dos
semieixos maiores de suas órbitas”.
Considerando dois planetas 1 e 2, cujas órbitas possuem semieixos maiores
a1 e a2 e períodos de revoluções P1 e P2, tem-se que:
3
2
3
1
2
2
2
1
a
a
P
P= (12)
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
28
4.3 Movimentos da Terra
Movimento de Rotação
A Terra gira em torno de seu eixo em 24 horas siderais, de oeste para leste.
O dia sideral possui aproximadamente 86.164 segundos médios (3 minutos e
56 segundos a menos que um dia normal), portanto a velocidade tangencial da Terra, no
Equador é de:
=TV (13)
Na latitude de Presidente Prudente (φ = 22º 07’ S), tem-se que:
=PPTV (14)
Movimento de Translação
A Terra desloca-se com movimento de translação, em torno do Sol, em um
ano sideral. O Sol descola-se na galáxia arrastando consigo os demais componentes do
sistema solar, desse modo o movimento da Terra no espaço não é elíptico, mas sim helicoidal.
A velocidade de translação da Terra é da ordem de 30 km/s.
Movimentos de Precessão e Nutação
Este terceiro movimento da Terra é devido à atração do Sol e da Lua sobre a
protuberância equatorial, que faz com que a Terra tenha um “balanço” no espaço (similar a
um pião em baixa rotação); o eixo de rotação descreve um cone de duas folhas, com vértice
no geocentro, abertura da ordem de 47º e período de 26.000 anos.
Entretanto, o eixo de rotação não descreve um movimento que coincide com
a superfície de um cone de base circular. O eixo oscila levemente em torno de uma
circunferência. Esse movimento oscilatório do eixo de rotação da Terra recebe o nome de
movimento de nutação. Pode-se dizer que a nutação é a componente de pequeno período da
precessão.
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
29
5 SISTEMAS DE COORDENADAS CELESTES
5.1 Esfera Celeste e Definições
Em uma noite de céu limpo (de brigadeiro) pode-se observar a abóboda
celeste como uma grande esfera. A essa esfera imaginária de raio infinito denomina-se Esfera
Celeste, definida como “esfera ideal de raio arbitrário, com centro coincidente com o centro
da Terra (geocentro) e sobre a superfície da qual suponha-se projetados todos os astros”.
Observando os astros tem-se a impressão de que os mesmos estão
engastados/presos na esfera celeste, a qual gira com um movimento aparente (decorrência do
movimento de rotação da Terra) de leste para oeste (sentido retrógrado), arrastando consigo
todos os astros.
Na Astronomia de Posição não se envolvem considerações a respeito das
distâncias aos astros, mas apenas as direções os quais são vistos. Para fins de posicionamento
astronômico, pode-se considerar que todos os astros estão à mesma distância da Terra, ou
seja, que a esfera celeste tem um raio unitário.
Algumas importantes definições relacionadas à esfera celeste são
apresentadas a seguir, sendo que a Figura 10 ilustra o conceito geométrico de cada uma.
▪ Eixo do Mundo: é a reta imaginária PnPs, prolongamento do eixo de
rotação da Terra, em torno do qual se processa o movimento aparente
da esfera celeste, de leste para oeste (sentido retrógrado);
▪ Pólos Celestes: são dois pontos da superfície esférica, diametralmente
opostos, resultantes da interseção do prolongamento do eixo do
mundo com a esfera celeste, chamados de Pólo Sul (ou Pólo Austral
ou Antártico) e Pólo Norte (ou Pólo Boreal ou Ártico);
▪ Equador Celeste: é o círculo máximo QQ’, cujo plano “corta”
perpendicularmente o eixo do mundo. O Equador celeste divide a
esfera celeste em dois hemisférios: o Hemisfério Norte, que contem o
Pólo Norte, e o Hemisfério Sul, que contem o Pólo Sul;
▪ Paralelos Celestes: são círculos menores cujos planos “cortam”
perpendicularmente o eixo do mundo (são paralelos ao Equador
celeste);
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
30
▪ Meridianos Celestes: são círculos máximos cujos planos contem o
eixo do mundo;
▪ Vertical do Observador: vetor gravidade passante pelo observador,
sendo materializado pelo fio de prumo;
▪ Zênite e Nadir: são formados pela interseção do prolongamento da
vertical do observador com a esfera celeste, onde o zênite está acima
do horizonte do observador (também denominado de horizonte
astronômico ou geocêntrico) e o nadir abaixo do mesmo;
▪ Horizonte do Observador ou Astronômico ou Geocêntrico: é o
circulo máximo polar do zênite e do nadir, ou em outras palavras, é o
círculo máximo passante pelo centro da esfera celeste e perpendicular
à vertical do lugar. Divide a esfera em dois hemisférios: o visível, que
contem o zênite, e o invisível, que contem o nadir;
Observação: quando as observações astronômicas são realizadas
utilizando as estrelas, devido às grandes distâncias destas ao
observador, o raio da Terra é desprezível e pode-se fazer com que o
horizonte aparente (topocêntrico) coincida com o horizonte
astronômico. Mas se as observações são realizadas ao Sol, deve-se
fazer distinção entre o horizonte aparente e o astronômico, sendo
necessário realizar correções às observações, de maneira a reduzi-las
ao horizonte astronômico (correção da paralaxe do Sol).
▪ Plano Vertical: é todo plano que contem a vertical do observador,
sendo assim há uma infinidade de planos verticais para um
determinado local;
▪ Vertical de um Astro: é o plano vertical que contem um determinado
astro;
▪ Almicantarado ou Círculo de Igual Altura: são círculos menores da
esfera celeste, paralelos ao horizonte astronômico;
▪ Meridiano Celeste do Observador: são circunferências máximas da
esfera celeste cujo plano é definido pelo eixo de rotação e pela vertical
do observador, ou seja, meridiano celeste que contem o zênite do
observador. O eixo do mundo divide o meridiano do lugar em dois
semimeridianos, o superior e o inferior. Semimeridiano superior é a
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
31
parte do meridiano do lugar que contem o zênite, e o semimeridiano
inferior é o que contem o nadir;
▪ Meridiana ou Linha Norte-Sul: é formada pela interseção do
meridiano do observador com o horizonte astronômico. Esta reta
determina a direção Norte-Sul, e nas suas extremidades encontram-se
os pontos Norte e Sul. Ponto Sul (Hs) é a projeção do Pólo Sul,
segundo o meridiano do observador, sobre a meridiana. Ponto Norte
(Hn) é a projeção do Pólo Norte, segundo o meridiano do observador,
sobre a meridiana;
▪ Linha Leste-Oeste: formada pela interseção do plano do Equador
celeste com o plano do horizonte astronômico, ou linha que forma 90º.
Figura 10 – Esfera celeste e definições.
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
32
5.2 Sistema de Coordenadas
Um ponto no espaço é definido por um terno cartesiano ortogonal:
Figura 11 – Coordenadas de um ponto.
Quanto à orientação do sistema de coordenadas, pode-se ter:
▪ Dextrógiro ou Direto: (regra da mão direita) é o sistema em que o
observador, situado na origem e com a cabeça voltada para o zênite
(Z), vê o eixo X se sobrepor ao eixo Y num ângulo de 90º, da direita
para a esquerda (Figura 12 a)); e
▪ Levógiro ou Retrógrado: (regra da mão esquerda) é o sistema em
que o observador, situado na origem e com a cabeça voltada para o
zênite (Z), vê o eixo X se sobrepor ao eixo Y num ângulo de 90º, da
esquerda para a direita (Figura 12 b)).
Figura 12 – a) Sistema dextrógiro e b) sistema levógiro.
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
33
5.2.1 Sistema de coordenadas horizontais
Características:
▪ Origem: sistema geocêntrico (origem no centro da Terra);
▪ Orientação: levógiro (retrógrado);
▪ Plano Fundamental: horizonte astronômico (do observador);
▪ Coordenadas:
o A – azimute (abscissa esférica); e
o h – altura ou z – distância zenital (ordenada esférica).
▪ Eixos:
o X – formado pela interseção do meridiano celeste do observador
com o horizonte astronômico (+ p/ Hs);
o Y – coincide com a linha leste-oeste; e
o Z – coincide com a vertical do observador (+ p/ zênite).
Figura 13 – Sistema de coordenadas horizontais.
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
34
Figura 14 – Sistema de coordenadas horizontais (isolado).
Neste sistema de coordenadas tem-se:
▪ A – Azimute: abscissa esférica, definido como o ângulo contado sobre
o horizonte astronômico, desde o Ponto Sul (Hs), por oeste (sentido
retrógrado), até a vertical do astro, variando de 0º a 360º. Quando o
astro “cruza” o meridiano celeste do observador, seu azimute será 0º
ou 180º; e
▪ h – Altura: ordenada esférica, definido como o ângulo contado sobre
a vertical do astro, desde o horizonte astronômico até o astro, variando
de 0º (astro no horizonte – nascendo ou ocultando) a ±90º (astro no
zênite ou nadir), sendo as alturas negativas correspondentes a astros
situados abaixo do horizonte e, portanto, invisíveis ao observador. Em
muitos casos é conveniente utilizar, ao invés da altura, a distância
zenital z, que é o ângulo contado sobre a vertical do astro, desde o
zênite até o astro, variando de 0º (astro no zênite) a 180º (astro no
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
35
nadir), sendo que astros com distâncias zenitais superiores a 90º são
invisíveis ao observador. Assim, tem-se a seguinte relação:
h90z −= (15)
Neste sistema as coordenadas podem ser obtidas com o uso de um teodolito;
ao visar o astro com um teodolito nivelado obtém-se z no limbo vertical e, se o observador
conhecer o meridiano, pode-se obter também o A do astro.
Observa-se que este sistema é tipicamente local, pois as coordenadas A e z
dependem da posição do observador, bem como a época em que a observação foi realizada.
Assim este sistema varia no tempo e no espaço.
As coordenadas retilíneas neste sistema são:
hsen Z
Asen h cosY
A cosh cosX
=
=
=
ou
z cosZ
Asen zsen Y
A coszsen X
=
=
=
(16)
5.2.2 Sistema de coordenadas horárias
Características:
▪ Origem: sistema geocêntrico (origem no centro da Terra);
▪ Orientação: levógiro (retrógrado);
▪ Plano Fundamental: Equador celeste;
▪ Coordenadas:
o H – ângulo horário (abscissa esférica); e
o δ – declinação (ordenada esférica).
▪ Eixos:
o X – formado pela interseção do meridiano celeste do observador
com o Equador celeste (+ p/ SMS – semimeridiano superior);
o Y – coincide com a linha leste-oeste; e
o Z – coincide com o eixo do mundo (+ p/ Pn).
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
36
Figura 15 – Sistema de coordenadas horárias.
Neste sistema de coordenadas tem-se:
▪ H – Ângulo Horário: abscissa esférica, definido como o arco contado
sobre o Equador Celeste, desde o semimeridiano superior, por oeste
(sentido retrógrado), até o meridiano celeste do astro, variando de 0º a
360º. Devido a sua vinculação com problemas horários, usualmente é
expresso em hora, assim, varia de 0h a 24h; e
▪ δ – Declinação: ordenada esférica, definido como o arco contado
sobre o meridiano celeste do astro, desde o Equador celeste até o
astro, variando de 0º (astro no Equador) a ±90º (astro no Pólo Norte
ou Pólo Sul), sendo as declinações positivas convencionalmente para
o Hemisfério Norte.
O sistema de coordenadas horárias é dito misto, pois a declinação δ do astro
não depende da posição do observador, isto é, para qualquer observador um determinado astro
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
37
terá a mesma declinação, se observado no mesmo instante físico. Entretanto, o ângulo horário
H depende do meridiano celeste do observador, assim, a abscissa H depende da posição do
observador.
As coordenadas retilíneas neste sistema são:
δsen Z
Hsen δ cosY
H cosδ cosX
=
=
=
(17)
5.2.3 Sistema de coordenadas equatoriais ou uranográficas
No estudo da Astronomia de Posição pode-se considerar a Terra imóvel e os
astros apresentando, em relação à mesma, um movimento aparente. Assim o Sol, no decurso
de um ano, descreve uma circunferência máxima na esfera celeste denominada de eclíptica
(Figura 16). O plano da órbita anual do Sol (eclíptica) forma um ângulo com o plano do
Equador celeste denominado de obliquidade da eclíptica (w), que mede aproximadamente
23º 27’.
A linha resultante da interseção do plano da eclíptica com o plano do
Equador celeste é denominada de linha dos equinócios ou linha equinocial, cujas
extremidades possuem os pontos equinociais. O ponto equinocial que o Sol, em seu
movimento anual aparente, atinge ao passar do Hemisfério Sul para o Norte é denominado de
Ponto Vernal ou Aires (γ) (neste instante tem início no Hemisfério Sul o outono e no
Hemisfério Norte a primavera). O ponto equinocial que o Sol alcança ao cruzar o Equador do
Norte para o Sul é denominado de Ponto Libra (Ω) (instante em que tem início a primavera
no Hemisfério Sul e outono no Hemisfério Norte).
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
38
Figura 16 – Eclíptica e linha equinocial.
Características do sistema de coordenadas equatoriais ou uranográficas:
▪ Origem: sistema geocêntrico (origem no centro da Terra);
▪ Orientação: dextrógiro (direto);
▪ Plano Fundamental: Equador celeste;
▪ Coordenadas:
o α – ascensão reta (abscissa esférica); e
o δ – declinação (ordenada esférica).
▪ Eixos:
o X – formado pela interseção do plano do Equador celeste com o
plano da eclíptica (linha equinocial) (+ p/ γ);
o Y – torna o sistema dextrógiro; e
o Z – coincide com o eixo do mundo (+ p/ Pn).
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
39
Figura 17 – Sistema de coordenadas equatoriais ou uranográficas.
Neste sistema de coordenadas tem-se:
▪ α – Ascensão Reta: abscissa esférica, definido como o arco contado
sobre o Equador Celeste, desde o ponto vernal (γ), por leste (sentido
dextrógiro), até o meridiano celeste do astro, variando de 0h a 24h; e
▪ δ – Declinação: ordenada esférica, idêntica a ordenada horária.
Este sistema é de caráter geral, pois nenhuma coordenada depende da
posição do observador, onde a declinação tem como origem o Equador celeste e a ascensão
reta o ponto vernal.
As coordenadas retilíneas neste sistema são:
δsen Z
αsen δ cosY
α cosδ cosX
=
=
=
(18)
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
40
5.2.4 Sistema de coordenadas eclípticas
Características:
▪ Origem: sistema geocêntrico (origem no centro da Terra);
▪ Orientação: dextrógiro (direto);
▪ Plano Fundamental: Eclíptica;
▪ Coordenadas:
o λ – longitude celeste (abscissa esférica); e
o β – latitude celeste (ordenada esférica).
▪ Eixos:
o X – formado pela interseção do plano do Equador celeste com o
plano da eclíptica (linha equinocial) (+ p/ γ);
o Y – torna o sistema dextrógiro; e
o Z – coincide com o eixo da eclíptica (+ p/ Pólo Norte Eclíptico).
Figura 18 – Sistema de coordenadas eclípticas.
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
41
Neste sistema de coordenadas tem-se:
▪ λ – Longitude Celeste: abscissa esférica, definido como o arco
contado sobre a eclíptica, desde o ponto vernal (γ), por leste (sentido
dextrógiro), até o círculo de longitude do astro, variando de 0º a 360º;
▪ β – Latitude Celeste: ordenada esférica, definido como o arco
contado sobre o círculo de longitude do astro, desde a eclíptica até o
astro, variando de 0º (astro na eclíptica) a ±90º (astro no Pólo Norte
Eclíptico ou Pólo Sul Eclíptico), sendo as latitudes celestes positivas
convencionalmente para o Hemisfério Norte Eclíptico.
Este sistema é de caráter geral, pois nenhuma coordenada depende da
posição do observador, onde a latitude celeste tem como origem a eclíptica e a longitude
celeste o ponto vernal.
As coordenadas retilíneas neste sistema são:
βsen Z
λsen β cosY
λ cosβ cosX
=
=
=
(19)
5.3 Efemérides
Em levantamentos por Astronomia de Campo as coordenadas uranográficas
dos astros (α, δ) são conhecidas. Essas coordenadas variam no tempo em consequência do
movimento precessional e de várias outras causas (aberração da luz, paralaxe, movimento
próprio, etc.). Tais variações são relativamente pequenas, da ordem de dezenas de segundo
por ano.
Uma tabela que contenha a posição dos astros em função do tempo recebe a
denominação de efemérides. Assim, as efemérides astronômicas do Observatório Nacional
(www.on.br) contem as coordenadas do Sol, da Lua, dos planetas e de cerca de 800 estrelas.
A Figura 19 apresenta o exemplo das efemérides de algumas estrelas do ano de 2009.
Destaca-se que as coordenadas dos astros estão tabeladas de 10 em 10 dias e que para obter as
coordenadas para a época de observação deve-se realizar uma interpolação linear. Outra
ressalva é que as coordenadas uranográficas registradas nas efemérides e ditas aparentes são
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
42
calculadas, por convenção internacional, para o momento da passagem do astro pelo
semimeridiano superior de Greenwich.
Figura 19 – Efemérides de algumas estrelas do ano de 2009.
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
43
6 TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS
6.1 Triângulo de Posição
Considerando-se a esfera celeste, na qual um astro (E) esteja referido
simultaneamente aos sistemas de coordenadas horizontais e horárias (Figura 20):
Figura 20 – Astro referido aos sistemas de coordenadas horizontais e horárias.
A interseção do meridiano celeste do observador, do meridiano celeste do
astro e da vertical do astro, dois a dois, forma o triângulo esférico Pn-Zênite-E, cujos vértices
são o Pólo Norte, o zênite e o astro. Este triângulo fundamental é denominado de Triângulo
de Posição (Figura 21). Devido ao movimento do astro, decorrente do movimento da esfera
celeste, o triângulo de posição está continuamente “se deformando”, degenerando-se em um
arco por duas vezes em seu movimento diurno.
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
44
Figura 21 – Triângulo de posição.
Observa-se que o triângulo de posição envolve as grandezas que constituem
um dos objetivos da Astronomia de Posição, a posição geográfica: latitude (lado Pn-Zênite) e
a longitude (obtida indiretamente através do ângulo horário do astro).
Normalmente conhecem-se apenas dois elementos do triângulo de posição:
o lado Pn-E (declinação do astro por meio das efemérides) e o lado Zênite-E (distância zenital
do astro, que pode ser medido em campo utilizando um teodolito). É de conhecimento que
com dois elementos é impossível resolver um triângulo esférico, assim, deve-se utilizar
aproximações sucessivas.
6.2 Transformação de Coordenadas Horizontais em Horárias e Vice-Versa
δ H, zou h A,
(deve-se conhecer φ – latitude)
Coordenadas Horizontais para Horárias
Dado o triângulo de posição (Figura 21) e utilizando a fórmula dos 4
elementos relativos a lados (Equação (1)), tem-se o cálculo da declinação (δ):
( ) ( ) ( ) ( )−−+−=− A180coszsen 90senz cos90cosδ90cos
A coszsen cosz cossen δsen −= (20)
ou
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )−−−+−−=− A180cosh90sen90senh90cos90cosδ90cos
A cosh cos coshsen sen δsen −= (21)
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
45
Aplicando a fórmula dos 5 elementos (Equação (3)) e a analogia dos senos
(Equação (4)) no triângulo de posição, respectivamente, e realizando algumas substituições,
obtém-se o ângulo horário (H):
( ) ( ) ( ) ( )−−−−=− A180cos90coszsen 90senz cosH cosδ90sen
+= A cossen zsen cosz cosH cosδ cos
δ cos
A cossen zsen cosz cosH cos
+=
(22)
( )( ) δ cos
Asen zsen Hsen
Asen
δ cos
Hsen
zsen
A180sen
δ90sen
Hsen
zsen ==
−
−=
(23)
Dividindo a Equação (23) pela Equação (22), tem-se:
+
=
+
=A cossen zsen cosz cos
Asen zsen H tg
δ cos
A cossen zsen cosz cosδ cos
Asen zsen
H cos
Hsen
A cossen cosz cotg
Asen H tg
A cossen coszsen
z coszsen
Asen zsen H tg
+=
+
=
(24)
Coordenadas Horárias para Horizontais
Dado o triângulo de posição (Figura 21) e utilizando a fórmula dos 4
elementos relativos a lados (Equação (1)), tem-se o cálculo da distância zenital (z) ou da
altura (h):
( ) ( ) ( ) ( ) −−+−−= H cosδ90sen90senδ90cos90cosz cos
H cosδ cos cosδsen sen z cos += (25)
ou
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) −−+−−=− H cosδ90sen90senδ90cos90cosh90cos
H cosδ cos cosδsen sen hsen += (26)
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
46
Aplicando a fórmula dos 5 elementos (Equação (3)) e a analogia dos senos
(Equação (4)) no triângulo de posição, respectivamente, e realizando algumas substituições,
obtém-se o azimute (A):
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) −−−−−=− H cos90cosδ90sen90senδ90cosA180coszsen
−=− H cossen δ cos cosδsen A coszsen
−= cosδsen H cossen δ cosA coszsen
zsen
cosδsen H cossen δ cosA cos
−= (27)
( )( ) zsen
δ cosHsen Asen
Asen
δ cos
Hsen
zsen
A180sen
δ90sen
Hsen
zsen ==
−
−=
(28)
Dividindo a Equação (28) pela Equação (27), tem-se:
−
=
−
= cosδsen H cossen δ cos
δ cosHsen A tg
zsen
cosδsen H cossen δ coszsen
δ cosHsen
A cos
Asen
cosδ tgH cossen
Hsen A tg
cosδ cos
δsen H cossen δ cos
δ cosHsen A tg
−=
−
= (29)
6.3 Transformação de Coordenadas Horárias em Equatoriais e Vice-Versa
δ α, δ H,
(deve-se conhecer S – hora sideral)
Noção de tempo sideral: o dia sideral é a unidade básica do tempo sideral
correspondente ao intervalo de tempo decorrido entre duas passagens consecutivas do ponto
vernal (γ) pelo mesmo semimeridiano. O início do dia sideral se dá quando o ponto vernal
atinge o semimeridiano superior do observador; dai por diante, a todo instante, o ângulo
horário do ponto vernal mede a hora sideral (S) local: S = Hγ.
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
47
Na Figura 22 o astro (E) está referido simultaneamente nos sistema de
coordenadas horárias e uranográficas. Observa-se que ambos os sistemas admitem a mesma
ordenada esférica (declinação δ), assim, o problema de transformação se resume em
relacionar as duas abscissas (ângulo horário H e ascensão reta α).
Figura 22 – Astro referido aos sistemas de coordenadas horárias e uranográficas.
Analisando o relacionamento de α, H e S na Figura 22 tem-se que:
αHS += (30)
A Equação (30) é conhecida como Fórmula Fundamental da Astronomia
de Posição, que relaciona a ascensão reta de um astro com o seu ângulo horário em função da
hora sideral.
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
48
Coordenadas Horárias para Equatoriais
H Sα −= (31)
Coordenadas Equatoriais para Horárias
α SH −= (32)
6.4 Transformação de Coordenadas Equatoriais em Eclípticas e Vice-Versa
β λ, δ α,
(deve-se conhecer w – obliquidade da eclíptica)
Considerando um astro (E) referenciado simultaneamente aos sistemas de
coordenadas equatoriais e eclípticas (Figura 23), tem-se:
Figura 23 – Astro referido aos sistemas de coordenadas uranográficas e eclípticas.
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
49
▪ O lado Pn-pn mede o ângulo formado pelo eixo do mundo e o eixo da
eclíptica, o que corresponde à obliquidade da eclíptica (w);
▪ O lado Pn-E representa a distância polar do astro; e
▪ O lado pn-E a colatitude celeste do astro.
Figura 24 – Triângulo esférico Pn-pn-E.
Coordenadas Equatoriais para Eclípticas
Dado o triângulo esférico Pn-pn-E (Figura 24) e utilizando a fórmula dos 4
elementos relativos a lados (Equação (1)), tem-se o cálculo da latitude celeste (β):
( ) ( ) ( ) ( )+−+−=− α90cossen wδ90sen wcosδ90cosβ90cos
αsen sen wδ cos wcosδsen βsen −= (33)
Aplicando a fórmula dos 5 elementos (Equação (3)) e a analogia dos senos
(Equação (4)) no triângulo esférico Pn-pn-E, respectivamente, e realizando algumas
substituições, obtém-se a longitude celeste (λ):
( ) ( ) ( ) ( ) ( )+−−−=−− α90cos wcosδ90sensen wδ90cosλ90cosβ90sen
+= αsen wcosδ cossen wδsen λsen β cos
β cos
αsen wcosδ cossen wδsen λsen
+= (34)
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
50
( )( )
( )( ) β cos
α cosδ cosλ cos
β cos
α cos
δ cos
λ cos
β90sen
α90sen
δ90sen
λ90sen ==
−
+=
−
−
(35)
Dividindo a Equação (34) pela Equação (35), tem-se:
+=
+
=α cosδ cos
αsen wcosδ cossen wδsen λ tg
β cos
α cosδ cos
β cos
αsen wcosδ cossen wδsen
λ cos
λsen
α cos
αsen wcossen wδ tgλ tg
α cosδ cos
αsen wcossen wδ cos
δsen δ cos
λ tg+
=
+
= (36)
Coordenadas Eclípticas para Equatoriais
Dado o triângulo esférico Pn-pn-E (Figura 24) e utilizando a fórmula dos 4
elementos relativos a lados (Equação (1)), tem-se o cálculo da declinação (δ):
( ) ( ) ( ) ( )−−+−=− λ90cossen wβ90sen wcosβ90cosδ90cos
λsen sen wβ cos wcosβsen δsen += (37)
Aplicando a fórmula dos 5 elementos (Equação (3)) e a analogia dos senos
(Equação (4)) no triângulo esférico Pn-pn-E, respectivamente, e realizando algumas
substituições, obtém-se a ascensão reta (α):
( ) ( ) ( ) ( ) ( )−−−−=+− λ90cos wcosβ90sensen wβ90cosα90cosδ90sen
−=− λsen wcosβ cossen wβsen αsen δ cos
δ cos
sen wβsen λsen wcosβ cosαsen
−= (38)
( )( )
( )( ) δ cos
β cosλ cosα cos
β cos
α cos
δ cos
λ cos
β90sen
α90sen
δ90sen
λ90sen ==
−
+=
−
−
(39)
Dividindo a Equação (39) pela Equação (38), tem-se:
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
51
−=
−
=β cosλ cos
sen wβsen λsen wcosβ cosα tg
δ cos
β cosλ cosδ cos
sen wβsen λsen wcosβ cos
α cos
αsen
λ cos
sen wβ tgλsen wcosα tg
λ cosβ cos
sen wβ cos
βsen λsen coswβ cos
α tg−
=
−
= (40)
6.5 Exercícios Propostos
1. Calcular as coordenadas horárias da estrela α-Cru (462) em Presidente Prudente (φ = 22º
07’ S e λ = 3h 25min W), no dia 24 de março de 1999 às 21 horas siderais, sabendo-se que as
coordenadas uranográficas da estrela são: α = 12h 26min 36,149s e δ = 63º 05’ 37,23” S.
2. Calcular as coordenadas horizontais da estrela α-Cru (462) em Presidente Prudente (φ = 22º
07’ S e λ = 3h 25min W) às 21 horas siderais.
3. Um observador em Presidente Prudente (φ = 22º 07’ S e λ = 3h 25min W) deseja observar
Saturno às 21 horas siderais do dia 21 de março de 1999. Calcular as coordenadas horárias e
horizontais do planeta, sabendo-se que as coordenadas uranográficas de Saturno são: α = 2h
02min 54,63s e δ = 10º 06’ 47,7” N.
4. Um observador em Presidente Prudente (φ = 22º 07’ S e λ = 3h 25min W) deseja observar
Júpiter às 21 horas siderais do dia 21 de março de 1999. Calcular as coordenadas horárias e
horizontais do planeta, sabendo-se que as coordenadas uranográficas de Júpiter são: α = 0h
32min 24,41s e δ = 2º 18’ 42,8” N.
5. Um observador em Presidente Prudente (φ = 22º 07’ S e λ = 3h 25min W) deseja observar a
estrela γ-Cru (468) no dia 31 de março de 2009 às 4 horas siderais. Assim, calcule os
elementos de calagem da estrela.
6. Calcule os elementos de calagem de 5 estrelas para o dia 31 de março de 2009. Pretende-se
observar estas estrelas em Presidente Prudente no período das 20 as 23 horas siderais.
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
52
7 ESTUDO GEOMÉTRICO DO MOVIMENTO DIURNO
Observando a esfera celeste percebe-se que em seu movimento a mesma é
acompanhada por todos os astros, de leste para oeste. Este movimento é chamado de
Movimento Diurno. Há duas hipóteses para explicar esse fenômeno:
▪ Imobilidade da Terra: considera a Terra estática, enquanto que a
esfera celeste gira em torno do seu eixo, de leste para oeste, arrastando
os demais corpos celestes, no período de 24 horas siderais; e
▪ Imobilidade da Esfera Celeste: considera a esfera celeste estática,
enquanto que a Terra exerce o seu movimento de rotação, no mesmo
intervalo de 24 horas siderais, porém de oeste para leste.
7.1 Movimento Aparente dos Astros Fixos
Lei do Movimento Diurno dos Astros Fixos
“Os astros fixos, supostos engastados na esfera celeste, giram com ela em torno do eixo do
mundo, em 24 horas siderais, de leste para oeste, com movimento circular, paralelo, isócrono
e uniforme”.
Sendo que:
▪ Movimento Circular e Paralelo: as estrelas no movimento diurno
descrevem órbitas circulares e paralelas ao Equador;
▪ Movimento Isócrono: todas as estrelas, estejam próximas ao Equador
ou aos Pólos, descrevem seus respectivos paralelos em 24 horas
siderais; e
▪ Movimento Uniforme: a velocidade angular das estrelas no
movimento diurno é constante e igual a 15º por hora sideral.
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
53
7.2 Aspectos do Céu Segundo a Latitude
Observador no Equador (φ = 0º) – “Esfera Reta”
Observando a Figura 25 pode-se acompanhar o movimento diurno de três
astros, considerando o observador localizado sobre o Equador.
Figura 25 – Esfera reta.
O astro E1 que percorre o Equador celeste, por exemplo, nasce a leste (E),
culmina no zênite e percorre seu paralelo até atingir o horizonte a oeste (W). O intervalo de
tempo para percorrer este espaço é chamado de dia do astro. Assim, o dia do astro E2 inicia-se
quando ele nasce a leste no ponto A; seguindo seu paralelo culmina em B (quando cruza o
semimeridiano superior) e oculta em C (quando cruza o horizonte do observador), terminando
o seu dia. Desta forma, o dia do astro para um observador é o tempo que ele permanece acima
do horizonte do observador (o tempo abaixo do horizonte é denominado de noite do astro).
Para um observador no Equador todos os astros são visíveis em virtude do
horizonte ser perpendicular à trajetória do astro. O tempo que o astro permanece acima do
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
54
horizonte (visível) é igual ao tempo que permanece abaixo do mesmo (invisível); assim a
duração do dia é igual a duração da noite.
Observador nos Pólos (φ = ±90º) – “Esfera Paralela”
Observando a Figura 26 pode-se acompanhar o movimento diurno de três
astros, considerando o observador localizado no Pólo Norte.
Figura 26 – Esfera paralela.
Este observador apenas vê os astros de seu hemisfério, ou seja, apenas
aqueles astros cuja declinação tenha o mesmo sinal da latitude. Para este observador os astros
E1 e E2 permanecem sempre acima do horizonte, não apresentando os fenômenos de nascer e
ocultar. Já o astro E3 permanece sempre abaixo do horizonte, portanto invisível ao
observador.
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
55
Observador entre Equador e os Pólos (0º < φ < 90º ou -90º < φ < 0º) – “Esfera Oblíqua”
Observando a Figura 27 pode-se acompanhar o movimento diurno de quatro
astros, considerando o observador localizado no Hemisfério Sul (-90º < φ < 0º).
Figura 27 – Esfera oblíqua.
Os arcos diurnos e noturnos dos astros são diferentes, sendo o tempo de
permanência acima do horizonte e o fato de serem visíveis ou invisíveis dependentes da
latitude do observador e da declinação dos astros.
O astro E1 é sempre visível para este observador (denominado de astro
circumpolar). O astro E2 permanece mais tempo acima do horizonte do que oculto (a duração
do dia do astro é maior que a duração da noite). O astro E3 é contrário do E2, pois permanece
mais tempo oculto. Já o astro E4 é eternamente invisível para o observador nesta latitude.
Pode-se notar que com o aumento da latitude (elevação do Pólo acima do
horizonte) os astros passam a nascer e ocultar em horas siderais diferentes, bem como a
culminação (passagem do astro pelo semimeridiano superior do observador) ocorre em alturas
diferentes, porém à mesma hora sideral. Dependendo da declinação do astro, ele pode não
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
56
apresentar os fenômenos de ocultação (eternamente visível) e nascimento (eternamente
invisível).
7.3 Movimentos Aparentes do Sol
Ao observar as estrelas no decurso de várias noites ver-se-á que as mesmas
conservam sempre as mesmas posições relativas, o que permite agrupá-las em constelações. O
mesmo não ocorre com o Sol e os demais planetas do sistema solar. Se acompanhar o
movimento do Sol no decurso de vários dias, ver-se-á que nem sempre ele sobe ou culmina à
mesma altura.
No estudo da Astronomia de Posição considera-se o Sol com dois
movimentos aparentes e distintos:
▪ O movimento com a esfera celeste (decorrente da velocidade de
rotação da Terra); e
▪ O movimento próprio, contrário ao sentido do movimento da esfera
celeste, isto é, o Sol sofre um atraso em relação às estrelas
(movimento decorrente da translação terrestre).
Para melhor compreensão destes dois movimentos pode-se fazer uma
analogia com um trem de passageiros: o movimento com a esfera celeste é similar ao
movimento do trem levando o passageiro estático, e o movimento próprio seria o passageiro
deslocando-se dentro do trem, porém em sentido contrário ao trem.
A seguir é explicado como se processa o movimento aparente do Sol na
esfera celeste:
No dia 21 de março (equinócio de primavera para o observador no
Hemisfério Norte) o Sol nasce a leste e oculta-se a oeste (Figura 28), isto é, o plano da
trajetória do Sol intercepta o Equador segundo a linha leste-oeste e com declinação nula. No
dia seguinte a trajetória será diferente do dia anterior: o Sol penetrará no Hemisfério Norte,
nascendo no ponto a e se ocultando no ponto a’, não mais na linha leste-oeste. Nos dias
subsequentes o Sol seguirá uma trajetória diferente da anterior, até que no dia 21 de junho
nascerá no ponto b e se ocultará em b’, atingindo seu máximo afastamento do Equador
(declinação de 23º 27’ N). A partir deste ponto o Sol não mais se deslocará em direção ao
norte, mas sim seguirá o caminho inverso. Desta forma, tem-se a impressão que o Sol estará
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
57
parado. Dai surgiu o nome solstício (solstitium em latim significa “parada do Sol”). Nesta
época o verão se inicia no Hemisfério Norte (solstício de verão). No dia 21 de setembro o Sol,
seguindo seu caminho em direção ao Hemisfério Sul, nascerá novamente no ponto leste e se
ocultará a oeste: é o equinócio de primavera para o Hemisfério Sul (equinócio vem do latim
equinotium que significa “noite iguais”). No dia 21 de dezembro ele nascerá em c e ocultará
em c’, atingindo sua máxima declinação sul (23º 27’ S). É o início do verão para o Hemisfério
Sul.
Figura 28 – Movimento aparente do Sol com a esfera celeste.
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
58
7.3.1 Trajetória aparente do Sol em diferentes latitudes
Observador no Equador (φ = 0º) – “Esfera Reta”
Observando a Figura 29 pode-se acompanhar a trajetória aparente do Sol,
considerando o observador localizado sobre o Equador.
Figura 29 – Trajetória aparente do Sol na esfera reta.
Para um observador na latitude nula os arcos diurnos do Sol são iguais aos
arcos noturnos em qualquer época do ano, ou seja, a duração astronômica do dia é igual a da
noite. No Equador, o Sol culmina no zênite duas vezes ao ano; isto ocorre quando sua
declinação é nula, ou seja, nos equinócios (21 de março e 21 de setembro).
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
59
Observador nos Pólos (φ = ±90º) – “Esfera Paralela”
Figura 30 – Trajetória aparente do Sol na esfera paralela.
Para o Hemisfério Norte, a partir do dia 21 de março (início da primavera)
até o dia 21 de setembro (fim do verão), vê-se o Sol constantemente acima do horizonte,
descrevendo almicantarados, ou seja, tem-se um dia com a duração de 6 meses. Já o
observador no hemisfério oposto, neste mesmo período, jamais vê o Sol, isto é, tem um noite
com a duração de 6 meses. Em 21 de setembro termina o “dia” do Hemisfério Norte, pois o
Sol agora passa ao hemisfério oposto, proporcionando agora 6 meses de luminosidade ao
Hemisfério Sul, de 21 de setembro (início da primavera) a 21 de março (fim do verão).
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
60
Observador na zona tropical (-23º 27’ < φ < 23º 27’)
Figura 31 – Trajetória aparente do Sol com observador na zona tropical.
Observadores na zona tropical “vê” o Sol culminar no zênite duas vezes no
ano; este fenômeno ocorre quando a declinação do Sol tem o mesmo valor que a latitude do
observador e também estar ambos no mesmo hemisfério. Em Presidente Prudente (φ = -22º
07’) a culminação no zênite ocorrerá (para o ano de 2015) nos dias 9 de janeiro e 4 de
dezembro.
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
61
Observador na zona temperada (-66º 33’ < φ < -23º 27’ ou 23º 27’ < φ < 66º 33’)
Figura 32 – Trajetória aparente do Sol com observador na zona temperada.
Analisando a Figura 32 observa-se que o Sol, para os moradores das zonas
temperadas, em nenhuma época do ano atinge o zênite, o que significa que durante todo o ano
terá sombras projetadas.
Para os observadores na latitude 66º 33’ (N ou S) – círculo polar ártico ou
antártico –, o Sol permanece 24 horas acima do horizonte no dia do solstício de verão.
Nos locais de latitude maior que 66º 33’, pode-se observar o “Sol de meia-
noite”.
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
62
8 ESTUDO ANALÍTICO DO MOVIMENTO DIURNO
Em consequência do movimento diurno os corpos celestes giram com a
esfera celeste de leste para oeste. Alguns astros apresentem nascer e ocultar, outros são
circumpolares (eternamente visíveis) ou eternamente invisíveis.
Utilizando-se do triângulo de posição é possível obter as coordenadas de um
astro para um determinado instante. O estudo analítico do movimento diurno dos astros
permitirá o cálculo da hora sideral (S) e das coordenadas horizontais (A, z ou h) do astro em
uma determinada posição de interesse.
8.1 Posição de um Astro em um Dado Instante
Objetivo: determinar A e z (elementos de calagem do astro);
Deve-se conhecer: φ, α, δ e S.
Considerando o triângulo de posição abaixo e um observador na latitude φ,
deseja-se observar o astro E, de coordenadas α e δ, às S horas siderais. O problema consiste
em determinar as coordenadas horizontais A e z do astro.
Figura 33 – Triângulo de posição.
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
63
As deduções das equações a seguir são apresentadas nas seções 6.2 e 6.3:
H cosδ cos cosδsen sen z cos += (41)
cosδ tgH cossen
Hsen A tg
−= (42)
onde:
α SH −= (43)
8.2 Astro na Passagem Meridiana Superior
Objetivo: determinar A, z e S;
Deve-se conhecer: φ, α e δ;
Condição: H = 0h ou 0º.
Figura 34 – Astro na passagem meridiana superior (H = 0h ou 0º).
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
64
Diz que um astro está em sua passagem meridiana quando ele cruza o
meridiano celeste do observador. Neste instante o ângulo horário do astro é nulo (H = 0h ou
0º), resultando para a distância zenital:
δ cos cosδsen sen z cos0 cosδ cos cosδsen sen z cos +=+= (44)
Sabendo que:
( ) b cosa cosbsen asen bacos +=− (45)
Portanto:
( ) δ cos cosδsen sen δcosz cos +=−=
( )δcosz cos −=
( )δz −= (46)
Como a distância zenital z é sempre positiva (z ≥ 0º), deve-se escolher o
sinal que torne ou conserve positiva a quantidade entre parênteses (φ – δ), ou seja, caso
(φ – δ) seja positivo utiliza-se o sinal +, ou, caso (φ – δ) seja negativo utiliza-se o sinal –
(multiplica por –1).
O sinal de (φ – δ) convém somente à interpretação do fenômeno:
▪ Se (φ – δ) for positivo, a passagem meridiana dá-se ao Sul do zênite,
sendo A = 0º; ou
▪ Se (φ – δ) for negativo, a passagem meridiana dá-se ao Norte do
zênite, sendo A = 180º.
Observação: como H = 0h, portanto S = α, isto é, a hora sideral da passagem
meridiana superior do astro é o valor da ascensão reta.
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
65
8.3 Astro na Passagem Meridiana Inferior
Objetivo: determinar A, z e S;
Deve-se conhecer: φ, α e δ;
Condição: H = 12h ou 180º.
Figura 35 – Astro na passagem meridiana inferior (H = 12h ou 180º).
Na passagem meridiana inferior tem-se que H = 12h ou 180º, portanto:
δ cos cosδsen sen z cos180 cosδ cos cosδsen sen z cos −=+= (47)
Sabendo que:
( ) ( ) b cosa cosbsen asen bacosb cosa cosbsen asen bacos −=+−+−=+ (48)
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
66
Portanto:
( ) δ cos cosδsen sen δcosz cos −=+−=
( )δcosz cos +−=
( )δ180z += (49)
Como a distância zenital z varia de 0º a 180º, deve-se escolher o sinal que
torne ou conserve negativa a quantidade entre parênteses (φ + δ), ou seja, caso (φ + δ) seja
positivo utiliza-se o sinal –, ou, caso (φ + δ) seja negativo utiliza-se o sinal +.
O sinal de (φ + δ) convém somente à interpretação do fenômeno:
▪ Se (φ + δ) for positivo, a passagem meridiana dá-se ao Norte do
zênite, sendo A = 180º; ou
▪ Se (φ + δ) for negativo, a passagem meridiana dá-se ao Sul do zênite,
sendo A = 0º.
Observação: como H = 12h, portanto S = 12h + α.
8.4 Astro na Culminação
Diz-se que o astro culmina quanto atinge a sua distância zenital mínima (ou
altura máxima). Derivando a equação (50), considerando fixo apenas a latitude do observador,
tem-se que:
H cosδ cos cosδsen sen z cos += (50)
−−=− dδH cosδsen cosdHHsen δ cos cosdδδ cossen dzzsen
( ) dHHsen δ cos cosdδH cosδsen cosδ cossen dzzsen −−=− (51)
Para os astros fixos, admite-se que a declinação dos mesmos seja fixa no
movimento diurno, ou seja, dδ = 0. Assim, a equação (51) pode ser simplificada,
proporcionando a derivada temporal da distância zenital:
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
67
zsen
Hsen δ cos cos
dH
dz =
(52)
Como o astro culminando significa que a distância zenital é mínima,
portanto dz/dH = 0, assim:
0hou 0H0Hsen 0zsen
Hsen δ cos cos =→=→=
Portanto, a culminação dos astros fixos se processa na passagem meridiana
superior.
Já para os astros errantes têm-se que a declinação não é fixa no movimento
diurno, ou seja, dδ ≠ 0. Portanto, a equação (51) pode ser reescrita como:
( )zsen
Hsen δ cos cos
dH
dδ
zsen
H cosδsen cosδ cossen
dH
dz +
−−=
(53)
sendo dz/dH = 0:
( )
=
+−
− 0senz
Hsen δ cos cos
dH
dδ
senz
H cosδsen cosδ cossen
( ) −=dH
dδH cosδsen cosδ cossen Hsen δ cos cos
−=
dH
dδ
δ cos cos
H cosδsen cosδ cossen Hsen
( )dH
dδH cosδ tg tgHsen −= (54)
Sendo o ângulo H muito pequeno, pode-se assumir que:
dH
dδ
1"sen
δ tg tgH"
−=
(55)
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
68
Expressando o ângulo horário em segundos de tempo:
( )dH
dδδ tg tg98708,13750H
dH
dδ
1"sen 15
δ tg tgH SS −=
−=
(56)
As efemérides dos astros do sistema solar disponibilizam a declinação e a
respectiva variação (Δδ = dδ/dH), este último em “/hora (segundos de arco por hora). Assim,
pode-se obter o ângulo horário da culminação de um astro errante dividindo a equação (56)
sucessivamente por 15 e 3600:
( ) Δδδ tg tg0,2546HS −= (57)
8.5 Astro na Passagem pelo Horizonte
Objetivo: determinar A e S;
Deve-se conhecer: φ, α e δ;
Condição: h = 0º ou z = 90º.
Figura 36 – Astro na passagem pelo horizonte - nascendo (h = 0º ou z = 90º).
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
69
Figura 37 – Astro na passagem pelo horizonte - ocultando (h = 0º ou z = 90º).
Um astro está nascendo ou ocultando quando o mesmo cruza o horizonte do
observador, respectivamente a leste e a oeste. Neste momento o triângulo de posição é
retilátero (lado z = 90º), assim, partindo da equação (58), tem-se que:
H cosδ cos cosδsen sen z cos += (58)
+=+= H cosδ cos cosδsen sen 0H cosδ cos cosδsen sen 90 cos
δ tg tgH cosδ cos cos
δsen sen H cosδsen sen H cosδ cos cos −=
−=−=
(59)
Verifica-se que o ângulo horário H da equação (59) somente é possível se:
−− 90δou 90tgδ tg (59)
Analisando a equação (59) verifica-se que apenas os astros de declinação
menor que a colatitude local possuem nascer e ocultar; caso contrário o astro será circumpolar
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
70
ou eternamente invisível se pertencer ao hemisfério oposto ao do observador. Essa equação
também possui duas raízes, ou seja, são possíveis os ângulos ±H: o sinal positivo é atribuído
aos astros a oeste do meridiano celeste do observador (ocultar), e o sinal negativo aos astros a
leste do meridiano do observador (nascer), sendo que nesse caso deve-se somar 360º ou 24h
ao valor de –H.
Assim, a hora sideral S do nascer ou ocultar do astro é determinada
utilizando a Fórmula Fundamental da Astronomia de Posição (S = H + α), sendo o ângulo
horário do nascer ou ocultar definido anteriormente.
Já o cálculo do azimute A do nascer/ocultar do astro é obtido utilizando a
equação a seguir (dedução apresentada na seção 6.2):
A coszsen cosz cossen δsen −= (60)
−=−= A cos cosδsen A cos90sen cos90 cossen δsen
cos
δsen A cos −= (61)
Análogo ao ângulo horário, a equação (61) do cálculo do azimute possui
duas raízes (±A): o sinal positivo é atribuído aos astros a oeste do meridiano celeste do
observador (ocultar), e o sinal negativo aos astros a leste do meridiano do observador
(nascer), sendo que nesse caso deve-se somar 360º ao valor de –A.
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
71
8.6 Astro na Passagem pelo Primeiro Vertical
Objetivo: determinar z e S;
Deve-se conhecer: φ, α e δ;
Condição: A = 90º ou A = 270º.
Figura 38 – Astro na passagem pelo primeiro vertical (A = 90º ou A = 270º).
Entende-se por primeiro vertical como sendo o plano vertical que forma um
ângulo de 90º com o meridiano celeste do observador, portanto, intercepta o horizonte
astronômico segundo a linha leste-oeste.
Assim, o azimute do astro na passagem pelo primeiro vertical a oeste (W) é
AW = 90º, e na passagem pelo primeiro vertical a leste (E) é AE = 270º. Nestas condições o
triângulo de posição é retângulo no zênite (Figura 39), o que permite aplicar a Regra de
Mauduit: “o cosseno do elemento médio é igual ao produto dos senos dos elementos
separados”, sendo o elemento médio o lado 90º – δ.
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
72
Figura 39 – Triângulo de posição retângulo no zênite.
( ) ( ) ( ) =−−−=− z cossen δsen z90sen9090senδ90cos
sen
δsen z cos = (62)
Verifica-se que a distância zenital z da equação (62) somente é possível se:
δ (63)
Quando φ e δ tem o mesmo sinal (observador e astro pertencem ao mesmo
hemisfério) a passagem pelo primeiro vertical se processa acima do horizonte (é visível).
Para o cálculo da hora sideral da passagem do astro pelo primeiro vertical,
primeiramente deve-se determinar o ângulo horário. Aplicando a Regra de Mauduit (“o
cosseno do elemento médio é igual ao produto das cotangentes dos elementos conjuntos”) no
triângulo de posição retângulo no zênite, porém dessa vez considerando como elemento
médio o ângulo horário H, tem-se:
( ) ( )
tg
δ tgH cosδ90cotg9090cotg H cos =−−−=
(64)
A equação (64) admite duas raízes (±H), sendo o sinal positivo atribuído
para a passagem a oeste e o sinal negativo para a passagem a leste, sendo que nesse caso
deve-se somar 360º ou 24h ao valor de –H.
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
73
Assim, a hora sideral S da passagem do astro pelo primeiro vertical é
determinada utilizando a Fórmula Fundamental da Astronomia de Posição (S = H + α), sendo
os ângulos horários da passagem a oeste e leste definidos anteriormente.
8.7 Astro na Passagem pelo Círculo das Seis Horas
Objetivo: determinar A, z e S;
Deve-se conhecer: φ, α e δ;
Condição: H = 6h ou H = 18h.
Figura 40 – Astro na passagem pelo círculo das seis horas (H = 6h ou H = 18h).
O círculo das seis horas é o círculo máximo perpendicular ao Equador
celeste ao longo da linha leste-oeste, ou em outras palavras, é o meridiano celeste que contém
os pontos leste (E) e oeste (W).
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
74
Analisando a Figura 40 tem-se que no momento da passagem pelo círculo
das seis horas o ângulo horário H do astro torna-se igual a 6h = 90º (na passagem por oeste)
ou 18h = 270º (na passagem por leste). Assim o triângulo de posição fica retângulo no Pólo
(Figura 41):
Figura 41 – Triângulo de posição retângulo no Pólo.
Aplicando a Regra de Mauduit (“o cosseno do elemento médio é igual ao
produto dos senos dos elementos separados”), sendo o elemento médio o lado z, tem-se:
( ) ( ) δsen sen z cosδ9090sen9090sen z cos =−−−−= (65)
A equação acima é satisfeita para qualquer valor de latitude e declinação.
Assim, todos os astros passam pelo círculo das seis horas.
Aplicando a Regra de Mauduit (“o cosseno do elemento médio é igual ao
produto das cotangentes dos elementos conjuntos”), sendo o elemento médio o lado (90º – φ),
tem-se:
( ) ( ) ( ) −=−−−=−− δ cotgA cotg cosδ9090cotgA180cotg9090cos
δ tg cos
1A tg
δ cotg
cosA cotg
−=−=
(66)
A equação (66) admite duas raízes (±A), sendo o sinal positivo atribuído
para a passagem a oeste e o sinal negativo para a passagem a leste, sendo que nesse caso
deve-se somar 180º ao valor de +A.
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
75
A hora sideral da passagem do astro pelo círculo das seis horas a oeste é
dado por: SW = 6h + α. Já a passagem a leste é: SE = 18h + α.
8.8 Astro em Elongação
Objetivo: determinar A, z e S;
Deve-se conhecer: φ, α e δ;
Condição: Q = 90º (ângulo paralático).
Figura 42 – Astro elongando (Q = 90º).
Os astros, em seu movimento diurno, estão constantemente variando de
azimute. Por definição, um astro está elongando quando seu azimute passa por um máximo ou
por um mínimo; em outras palavras, quando a velocidade azimutal (derivada do azimute em
relação ao tempo – dA/dH) é nula.
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
76
O astro com δ gira em torno da vertical do lugar, no sentido SENW,
continuamente, completando uma circunferência. Como o azimute do astro é contado do
ponto Sul (Hs), por oeste, até a vertical do astro, pode-se dizer que seu azimute decresce sem
cessar de 360º a 0º.
Observando a Figura 42, onde o observador e o astro estão no mesmo
hemisfério, com δ , verifica-se que a vertical do astro não descreve mais uma
circunferência em torno da vertical do observador, mas sim desloca-se ora num sentido, ora
em outro. Assim, o azimute do astro ora cresce, ora decresce, admitindo um valor máximo e
um valor mínimo.
A expressão que fornece a velocidade azimutal é (demonstração a cargo do
aluno):
zsen
Q cosδ cos
dH
dA = (67)
Na elongação tem-se que dA/dH =0, então: 0zsen
Q cosδ cos=
, sendo z e δ
diferentes de zero, resta 0 Q cos = , o que implica em Q = 90º. Logo, no momento da
elongação, o ângulo paralático é 90º, isto é, o triângulo de posição é retângulo no astro
(Figura 43).
Figura 43 – Triângulo de posição retângulo no astro.
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
77
Aplicando a Regra de Mauduit (“o cosseno do elemento médio é igual ao
produto dos senos dos elementos separados”), sendo o elemento médio o lado (90º – φ):
( ) ( ) ( ) δsen
sen z cosδsen z cossen δ9090senz90sen 90cos
==−−−=−
(68)
Regra de Mauduit (“o cosseno do elemento médio é igual ao produto dos
senos dos elementos separados”), sendo o elemento médio o lado (90º – δ):
( ) ( ) ( )
cos
δ cosAsen Asen cosδ cosA180sen90sen δ9090cos ==−−=−−
(69)
Regra de Mauduit (“o cosseno do elemento médio é igual ao produto das
cotangentes dos elementos conjuntos”), sendo o elemento médio o ângulo horário H:
( ) ( ) δ tg
tgH cosδ9090cotg90cotg H cos
=−−−=
(70)
As equações (69) e (70) possibilitam dupla solução – ±A e ±H – sendo o
sinal positivo correspondente à elongação a oeste, e o sinal negativo à elongação a leste.
Por fim, as horas siderais da elongação a oeste e a leste são dadas por:
αHSW ++= e αHSE +−= (71)
Somente ocorrerá elongação se δ , e para que o fenômeno seja visível
é necessário que o observador e o astro estejam no mesmo hemisfério. Observando o astro na
elongação com o teodolito, vê-se o mesmo “percorrer” o fio vertical do retículo do
instrumento.
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
78
8.9 Exercícios Propostos
1. Calcular o azimute (A), a distância zenital (z) e a hora sideral (S) da estrela 652, em
Presidente Prudente, no(a):
a) Nascer;
b) Ocultar;
c) Passagem meridiana superior;
d) Passagem meridiana inferior;
e) Círculo das seis horas, a leste e a oeste;
f) Primeiro vertical, a leste e a oeste;
g) Elongação, a leste e a oeste;
h) Almicantarado z = 30º; e
i) Às 14 horas siderais.
2. Idem o exercício 1 para a estrela 622.
3. Idem o exercício 1 para a estrela 706.
4. Pretende-se observar Saturno às 13 horas siderais em Presidente Prudente. Pede-se para
calcular os elementos de calagem, sabendo-se que:
φ = 22º 07’ S
δ = 6º 09’ 35” N
α = 1h 21min 33s
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
79
9 TEMPO EM ASTRONOMIA
A medida de tempo está diretamente relacionada aos movimentos de rotação
e translação da Terra. O tempo é medido pelo ângulo horário que um determinado ponto
tomado como referencial faz com o meridiano celeste do observador. Para o tempo sideral,
por exemplo, a origem do tempo é o instante da passagem deste referencial pelo
semimeridiano superior do observador. Assim, o conceito de tempo deve estar sempre ligado
ao meridiano do observador.
Há três tipos de tempo astronômico rotacionais, isto é, baseados no
movimento de rotação terrestre, sendo a diferenciação de cada um dependente do “astro” que
serve de referência para o movimento rotatório:
▪ Tempo Sideral: referencial → estrela/ponto vernal (γ);
▪ Tempo Solar Verdadeiro: referencial → Sol; e
▪ Tempo Solar Médio: referencial → Sol Médio (Sol fictício).
O ângulo horário de um astro é função do tempo e varia sempre no mesmo
sentido (de 0h a 24h, por oeste), assim, surge a definição genérica: “Hora (instante) é o
ângulo horário de um astro”.
9.1 Tempo Sideral
O tempo sideral é regulado pelo ponto vernal ou pelas estrelas que, apesar
de serem elementos móveis (o ponto vernal tem movimento retrógrado da ordem de 50,23”
por ano) na esfera celeste, têm os movimentos tão pequenos que são tidos como referenciais
fixos.
O Dia Sideral é definido como o intervalo de tempo decorrido entre duas
passagens consecutivas do semimeridiano superior do lugar/observador pelo ponto vernal. O
dia sideral tem a duração de 24 horas siderais e começa às 00h 00min 00s, no instante da
passagem do semimeridiano superior do lugar pelo ponto vernal.
Tempo Sideral Local (S): com a passagem do semimeridiano superior do
lugar pelo ponto vernal, tem início o tempo sideral local (00h 00min 00s); assim, num dado
instante o tempo sideral local é igual ao ângulo horário do ponto vernal nesse instante (ver
Figura 22).
Para um dado instante e lugar tem-se que:
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
80
αHS += (72)
que é a Fórmula Fundamental da Astronomia de Posição. Assim, o tempo sideral local (S)
pode ser calculado desde que sejam conhecidos, para um dado instante, a ascensão reta (α) e o
ângulo horário (H) de um astro.
Pode-se concluir que: “Hora sideral local (instante) é o ângulo horário do
ponto vernal”.
Figura 44 – Hora sideral local.
Tempo Sideral de Greenwich às 0h TU (S0): as efemérides fornecem para
todos os dias do ano às 0h do Tempo Universal (TU) o tempo sideral de Greenwich (ângulo
horário do ponto vernal às zero horas do Tempo Universal).
9.2 Tempo Solar Verdadeiro
O tempo solar verdadeiro é regulado pelo movimento diurno do Sol.
O Dia Solar Verdadeiro é definido como o intervalo de tempo decorrido
entre duas passagens consecutivas do Sol pelo mesmo semimeridiano. O dia solar verdadeiro
tem início a partir da passagem do Sol pelo semimeridiano inferior do lugar/observador.
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
81
Em virtude do movimento anual aparente do Sol ser no sentido direto
(contrário ao do movimento diurno), o dia solar verdadeiro é mais longo que o dia sideral.
Pelo fato da velocidade linear do Sol não ser constate ao longo do ano, o dia
solar verdadeiro não se presta ao papel de “unidade” de intervalo de tempo. À saber: por
percorrer o Sol a eclíptica e não o Equador celeste e por fazê-lo com velocidade tangencial
variável (Leis das Áreas de Kepler), a variação de seu ângulo horário não é uniforme.
Assim, pode-se concluir que: “Hora solar verdadeira (instante),
representada por V, é o ângulo horário do Sol (verdadeiro) acrescido de 12 horas”.
12hHV Verdadeiro Sol += (73)
9.3 Tempo Solar Médio
Com a finalidade de sanar os inconvenientes decorrentes da variabilidade do
dia solar verdadeiro, os astrônomos conceberam o Sol Médio: “também denominado de Sol
Fictício, é o Sol que ‘percorre’ o Equador celeste, tendo como origem o ponto vernal, no
mesmo intervalo de tempo que o Sol Verdadeiro percorre a eclíptica”.
Dessa forma, o tempo solar médio é regulado pelo movimento diurno do Sol
Médio.
O Dia Solar Médio é definido como o intervalo de tempo decorrido entre
duas passagens consecutivas do Sol Médio pelo mesmo semimeridiano, tendo início a partir
da passagem do Sol Médio pelo semimeridiano inferior do lugar/observador.
Assim, pode-se concluir que: “Hora solar média (instante), representada
por M, é o ângulo horário do Sol Médio acrescido de 12 horas”.
12hHM Médio Sol += (74)
O ângulo horário do Sol Médio em Greenwich é conhecido como GMAT
(Greenwich Mean Astronomical Time). Quando o Sol Médio está passando pelo
semimeridiano inferior de Greenwich seu ângulo horário é 12 horas, ou seja, meia noite
naquele local, o que significa que um novo dia civil está nascendo. O tempo solar médio
contado a partir do semimeridiano inferior de Greenwich é chamado de GMT (Greenwich
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
82
Mean Time), atualmente designado por TU (Tempo Universal). O Tempo Universal e o
Tempo das Efemérides podem, em uma primeira aproximação, serem considerados iguais.
9.4 Equação do Tempo
A Equação do Tempo (E) fornece a diferença entre a hora solar verdadeira
(V) e a hora solar média (M):
M V E −= (75)
A equação do tempo vem consignada no anuário para às 0h TU
(representada por E0). Muitas vezes necessita-se saber esta equação para transformação de
tempo solar médio em verdadeiro e vice-versa. Assim, faz-se necessário a atualização da
equação do tempo para o instante desejado:
( ) ΔEλ M E E 00 −+= (76)
onde:
E – equação do tempo para o instante M;
E0 – equação do tempo para às 0h TU;
M – hora solar média;
λ – longitude do local (positiva a leste de Greenwich e negativa a oeste de Greenwich); e
ΔE0 – variação horária da equação do tempo (em segundos por hora).
As efemérides astronômicas do Observatório Nacional trazem, para cada dia
do ano, a hora solar média (M) da passagem do Sol pelo semimeridiano superior de
Greenwich (lembrando que esta passagem, em qualquer lugar, ocorre às 12h verdadeiras).
Assim, pode-se determinar a equação do tempo, na data desejada, subtraindo de 12 horas
verdadeiras a hora média da passagem. Estes dados permitem que sejam calculadas as
equações do tempo, bem como sua variação horária, para qualquer dia do ano. Segue um
exemplo:
No dia 5 de maio de 1999 a passagem meridiana do Sol em Greenwich dá-
se às M = 11h 56min 42,45s. Com auxílio da equação (75) tem-se que:
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
83
17,55s3min 42,45s56min 11h 12h E5 =−= (77)
Já para o dia 6 de maio de 1999 a passagem meridiana em Greenwich dá-se
às 11h 56min 37,51s, o que traduz numa equação do tempo de E6 = 3min 22,49s. Assim,
verifica-se que a equação do tempo do dia 5 para o dia 6 cresceu 4,94s. Então sua variação
horária será:
s/h 0,20624h
17,55s3min 22,49s3min
24h
EEΔEΔE 56
0 =−
=−
== (78)
Agora pode-se reduzir a equação do tempo para às 0h TU. No dia 5 de maio
de 1999, a equação do tempo às 0h TU será:
( ) ( ) −=−=−= 2,472s17,55s3min Es/h 0,20612h17,55s3min EΔE12hE E 5
0
5
005
5
0
15,08s3min E5
0 = (79)
9.5 Hora Legal
Se na vida prática fosse adotada a hora média, verdadeira ou sideral,
somente os relógios situados em um mesmo meridiano acusariam a mesma hora. Imaginando
um viajante que se deslocasse em longitude, estaria o seu relógio a todo instante atrasado ou
adiantado, conforme o deslocamento fosse para leste ou para oeste. Tal situação traria sérios
inconvenientes e causaria várias confusões.
Face essa problemática foi idealizado um sistema de fusos horários: a
superfície terrestre foi “dividida” em 24 fusos de 15º de amplitude cada um (ou uma hora
cada); os fusos horários foram numerados de 0 a +12h para fusos localizados a oeste de
Greenwich e de 0 a -12h para os fusos a leste de Greenwich (Figura 45). Apenas para
esclarecer: o fuso zero (origem) é limitado pelas longitudes 7º 30’ W e 7º 30’ E. O fuso zero
contem o meridiano astronômico médio do Observatório de Greenwich.
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
84
Figura 45 – Sistema de fusos horários utilizado na Astronomia.
Assim surgiu o conceito de Hora Legal, uma hora não astronômica imposta
por lei: “Hora legal em um ponto é a hora média do meridiano central do fuso a que pertence
o ponto”.
Por essa convenção adotada, todos os relógios do mundo marcam os
mesmos minutos e os mesmos segundos, sendo diferentes apenas as horas “cheias”.
A hora legal (Hl), em um determinado local e instante, é igual ao tempo
médio de Greenwich (MG) nesse instante menos o fuso do lugar (F), respeitando a convenção
de sinal adotada:
F M Hl G −= (80)
Assim, quando em Greenwich são 13h, os relógios dos moradores de
Presidente Prudente marcam: Hl = 13h – (+3h) = 10h.
No sistema adotado todos os lugares compreendidos dentro de um fuso
horário têm a mesma hora (hora média do meridiano central do fuso), denominada de hora
legal. Assim, se pretender saber a hora legal do lugar, representado por A na Figura 45, basta
saber a hora média do fuso de +2h. Porém, se pretender saber a hora média de A tem-se que
transformar a sua hora legal em média usando a correção do fuso (f), que é a diferença entre a
hora média e a hora legal do lugar:
Hl M f −= (81)
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
85
Para o cálculo do valor de f deve-se conhecer a longitude (λ) do lugar e o
fuso a que pertence o lugar. A soma algébrica da longitude com o fuso fornece o valor de f:
F λ f += (82)
Calculado o valor da correção do fuso (f), para calcular a hora média de um
lugar utiliza-se da equação (83):
fHlM += (83)
Das equações (81) e (82) pode-se deduzir:
FHlλMFλHl M +=−+=− (84)
A equação (84) possibilita transformar hora legal em média e vice-versa,
com a ressalva que deve-se considerar a longitude negativa a oeste de Greenwich e os fusos
positivos a oeste de Greenwich.
9.6 Diferença de Horas entre Dois Meridianos
Considerando a Figura 46, sendo dois lugares L1 e L2 de longitude λ1 e λ2,
um astro S cujos ângulos horários em relação aos lugares L1 e L2 são, num mesmo instante
físico, H1 e H2:
Figura 46 – Diferença de horas entre dois meridianos.
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
86
A partir da Figura 46 tem-se:
( )21212211 λλHHλHλH −−=−+=+ (85)
Sabendo-se que S = H + α, então: S1 = H1 + α e S2 = H2 + α. Assim:
21212121 HHSSαHαHSS −=−−−+=− (86)
Substituindo a equação (85) na equação (86) obtém-se:
( )2121 λλSS −−=− (87)
Quando um dos lugares for Greenwich (G), tem-se que:
GSSλ −= (88)
Generalizando esse conceito para o tempo verdadeiro e médio tem-se:
GVVλ −= e GMMλ −= (89)
Pelo exposto pode-se afirmar que a longitude de um lugar é igual a hora
astronômica local menos a hora astronômica de Greenwich.
O movimento de rotação da Terra não é rigorosamente uniforme; a
velocidade de rotação da Terra está sujeita a:
▪ Um leve retardamento de natureza secular;
▪ Variações sazonais, provavelmente devido a causas meteorológicas; e
▪ Variações irregulares de origem ainda não satisfatoriamente
explicadas.
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
87
Devido às variações na velocidade de rotação da Terra e ao movimento do
Pólo, há três tipos de Tempo Universal:
▪ TU0: é o tempo universal obtido diretamente das observações
astronômicas;
▪ TU1: é o TU0 corrigido da influência do movimento do Pólo sobre a
longitude; e
▪ TU2: é o TU1 corrigido da influência das variações sazonais da
velocidade de rotação.
9.7 Tempo das Efemérides
As irregularidades do tempo rotacional aliadas à crescente demanda de
precisão levaram os astrônomos ao Tempo das Efemérides (TE), também denominado de
Tempo Terrestre ou Tempo Dinâmico Terrestre, desvinculado do movimento de rotação da
Terra.
A partir de 1960 a referência das efemérides dos astros do sistema solar
passou a ser o TE. O tempo das efemérides pode ser determinado comparando a posição
observada do Sol, da Lua ou de outro planeta com a calculada em função das efemérides nas
quais o argumento é o tempo definido pelas fórmulas de Newcomb. Atualmente:
32,184s TAI TE += (90)
onde: TAI – Tempo Atômico Internacional.
O segundo atômico é definido como “a duração de 9.192.631.770 períodos
da radiação correspondente a transição entre dois níveis hiperfinos do estado fundamental
do átomo de Césio 133”.
A partir de 01 de janeiro de 2017 a diferença entre o TAI e o Tempo
Universal Coordenado (TUC) é de:
s37 TUC TAI +=− (91)
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
88
9.8 Tempo Universal Coordenado (TUC)
Os padrões de frequência do Césio hoje existentes em todos os
observatórios astronômicos, e que controlam a transmissão de sinais horários, tendem a se
afastar do TU1 (que é o mais representativo da rotação da Terra). Assim, surgiu a necessidade
de uma escala de tempo que fosse mantida constantemente próxima de TU1 através de
correções periódicas. Essa escala de tempo recebeu o nome de Tempo Universal Coordenado
(TUC):
segundos de inteiro número TAI TUC −= (92)
Quando TU1 – TUC = DTU1 for maior, em módulo, que 0,75s o número
inteiro de segundos é incrementado em 1s. Desde novembro de 2017 o valor de DTU1 é de
+0,2s. O próximo Boletim D deve ser divulgado em fevereiro de 2018.
9.9 Ano
Genericamente, ano corresponde ao intervalo de tempo decorrido entre duas
passagens consecutivas do centro do Sol pelo mesmo ponto da eclíptica. Se o ponto o
eclíptica for:
▪ Um ponto fixo – tem-se o ano sideral;
▪ O ponto vernal – tem-se o ano trópico; ou
▪ O perigeu – tem-se o ano anomalístico.
No ano trópico o Sol, em seu movimento aparente (sentido direto), não
percorre inteiramente a eclíptica pois o ponto vernal, em virtude da precessão, retrograda
50,2”, assim, o arco realmente descrito pelo Sol é de 359º 59’ 09,8” (Figura 47 a)). Já no ano
anomalístico ocorre o contrário pois as perturbações planetárias determinam um deslocamento
do perigeu, no sentido direto, da ordem de 11,6” por ano; com isso em um ano anomalístico o
Sol percorre 360º 00’11,6” (Figura 47 b)).
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
89
Figura 47 – a) Ano trópico e b) ano anomalístico.
Ano Trópico < Ano Sideral < Ano Anomalístico
Tabela 2 – Unidades médias dos anos trópico, sideral e anomalístico.
Ano Duração
Trópico 365,24219879d = 365d 05h 48min 45,975s
Sideral 365,25636042d = 365d 06h 09min 09,540s
Anomalístico 365,259598d = 365d 06h 13min 53,50s
O Sol Médio completa uma revolução ao longo do Equador no mesmo
intervalo de tempo que o Sol Verdadeiro completa uma revolução ao longo da eclíptica.
Assim, tem-se o Ano Juliano: intervalo de tempo igual a 365,25 dias médios, o que conduz a
uma múltiplo inteiro, o Século Juliano, com 36.525 dias médios.
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
90
9.10 Relação entre os Dias Sideral e Médio
Na Figura 48 tem-se a Terra e a esfera celeste projetadas sobre o plano do
Equador celeste, sendo o momento em que o ponto vernal (γ) e o Sol Médio (S) são
alcançados simultaneamente pelo meridiano celeste do observador.
Figura 48 – Relação entre os dias sideral e médio.
Decorridas 24 horas siderais a Terra terá completado uma rotação em torno
do seu eixo, no sentido indicado na Figura (cumpriu-se um dia sideral). Porém o Sol Médio,
devido ao seu movimento anual aparente que o obriga a deslocar-se no sentido direto, ainda
não foi alcançado pelo meridiano celeste do observador, o que se dará numa posição S’,
quando então se terá completado um dia médio. O atraso do Sol nas sucessivas culminações
pelo semimeridiano do observador irá se acentuando dia-a-dia; após exatamente um ano
trópico o Sol Médio e o ponto vernal cruzarão junto novamente no meridiano do
observador. Assim, se a Terra executa, tomando como referência o ponto vernal, n rotações,
no mesmo período cumprirá, em relação ao Sol, apenas n-1 rotações.
1 ano trópico = 365,24219879 dias médios
1 ano trópico = 366,24219879 dias siderais
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
91
9261,0027379079365,242198
79366,242198
médios dias em Ano
siderais dias em Anoγ === (93)
9.11 Conversões de Horas
O tempo sideral médio em Greenwich a 0h TU (S0) é o tempo marcado por
um cronômetro sideral em Greenwich no instante da passagem meridiana inferior do Sol
Médio (zero hora média em Greenwich). Então:
Médio Sol0 α12hS += (94)
Na passagem seguinte o ponto vernal estará adiantado em 3min 56,56s.
Hora sideral a zero hora média, num local de longitude λ
λ9261,00273790SS 00λ−= (95)
Conversão de hora (instante) média em sideral
( ) 9260,00273790λMMSS 0 −++= (96)
Conversão de hora (instante) sideral em média
9261,00273790
9260,00273790λSSM 0 +−
= (97)
Conversão de hora (instante) média em verdadeira
( ) 00 ΔEλMEMV −++= (98)
Conversão de hora (instante) verdadeira em média
0
00
ΔE1
ΔEλEVM
+
+−= (99)
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
92
Conversão de hora legal em média
λFHlM ++= (100)
Conversão de hora (instante) média em legal
λFMHl −−= (101)
Conversão de hora legal em sideral
( ) 9261,00273790FHlλSS 0 +++= (102)
Conversão de hora (instante) sideral em legal
F9261,00273790
λSSHl 0 −
−−= (103)
9.12 Interpolação de Coordenadas Uranográficas
As efemérides registram de 10 em 10 dias as posições aparentes das estrelas
(α, δ) na sua passagem pelo semimeridiano superior de Greenwich, sendo a fração do dia
registrada com apenas um decimal, por exemplo: 10,5 data TU significa dia 10 em Greenwich
às 12 horas médias (ver Figura 19).
A declinação do Sol, devido a sua grande variação (aproximadamente 47º
por semestre), é registrada nas efemérides para todos os dias do ano para às 0h TU (δ0). Assim
interessa o valor da declinação do Sol (δ) para o instante da observação. Se a longitude do
local é λ e a observação deu-se às M hora média, no mesmo instante em Greenwich serão (M
– λ) horas, tendo δ0 variado (M – λ).Δδ0. Portanto, para interpolação:
( ) ( ) 0000 ΔδFHlδδΔδλMδδ ++=−+= (104)
( ) 00 ΔαFHlαα ++=
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
93
9.13 Cronometria e Radiofusão dos Sinais Horários
Instrumentos registradores da hora
Os cronômetros utilizados em Astronomia de Posição são instrumentos de
precisão, mas que adiantam ou atrasam em relação a um marcador de tempo de referência.
Assim, quando se utiliza um cronômetro na Astronomia de Posição necessita-se da correção
cronométrica, que permite a obtenção do tempo preciso.
O estado do cronômetro (E) é a quantidade de tempo que o cronômetro está
adiantado ou atrasado em relação a um sistema de tempo de referência:
T H E −= (105)
onde:
H – Hora referenciada a um sistema de tempo; e
T – Instante cronométrico.
O estado do cronômetro pode ser determinado em relação à hora de
Greenwich ou em relação à hora legal local.
Marcha do cronômetro
Entende-se por marcha de um cronômetro como sendo a quantidade de
tempo que o cronômetro adianta ou atrasa por unidade de tempo. Comparando o estado do
cronômetro em duas épocas diferentes (E1 e E2), é possível verificar o avanço ou retardo do
cronômetro, ou seja, a marcha do cronômetro (m):
12
12
TT
EEm
−
−= (106)
Assim, a hora cronométrica corrigida será:
( )12 TTmETH −++= (107)
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
94
Emissoras de sinais horários
As emissoras de sinais horários utilizam-se de esquemas para sua emissão:
▪ Esquema Americano Moderno: o último sinal dá-se no segundo 60 de
cada minuto e o sinal tem uma duração maior;
▪ Esquema Internacional: a estação emite uma série de pulsos durante 5
minutos, sendo cada pulso marcando um segundo e tendo a duração de
12/10s, com exceção do ponto inicial de cada minuto que tem uma
duração de 1/4s. A emissão começa no início dos minutos múltiplos
de 5; e
▪ Esquema da Estação WWV: os sinais são contínuos, com períodos de
transmissão de 5 minutos, sendo os dois últimos apenas de sinais
horários. No minuto final de cada período o locutor informa a hora
legal.
Frequências das principais emissoras
As principais emissoras retransmitem os sinais horários nas frequências
20KHz, 2,5MHz, 5MHz, 10MHz, 15MHz, 20MHz e 25MHz. Todas as emissoras de sinais
horários informam a diferença entre o TU1 e TUC, denominado de DTU1.
Algumas emissoras brasileiras de sinais horários:
Figura 49 – Emissora: Observatório Nacional.
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
95
Figura 50 – Emissora: Rio Rádio.
Figura 51 – Emissora: Rádio Relógio Federal.
Figura 52 – Emissora: Serviço da Hora do Observatório Nacional.
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
96
9.14 Exercícios Propostos
1. Calcular a hora média correspondente às 16h 33min 17s legais, em um lugar de longitude
3h 25min 38s W.
2. Calcular a hora média correspondente às 14h 20min legais, em um lugar de longitude 2h
04min W.
3. Calcular a hora média, em um lugar de longitude 3h 25min 38s W, correspondente às 21h
45min 00s do tempo legal.
4. Em um lugar de longitude 51º 24’ 24” W são 14h 13min 20s do tempo legal. Calcular a
hora legal de Greenwich.
5. Em Presidente Prudente, longitude 3h 25min 38s W, determinar o valor da correção do
fuso.
6. Qual a hora legal correspondente às 9h 13min 12s médios no dia 21 de maio de 2016, num
lugar de longitude 3h 25min 38s W?
7. Calcular a hora legal correspondente às 15 horas siderais do dia 5 de maio de 2016, em um
lugar de longitude 3h 25min 38s W.
8. Calcular a hora legal correspondente às 21 horas siderais do dia 12 de junho de 2016, em
um lugar de longitude 3h 25min 38s W.
9. Calcular a hora sideral correspondente às 19 horas legais do dia 5 de maio de 2016, em um
lugar de longitude 3h 25min 38s W.
10. Calcular os elementos de calagem e a hora legal da estrela 141 em sua passagem
meridiana superior, no dia 22 de junho de 2016, em Presidente Prudente (longitude 3h 25min
38s W e latitude 22º 07’ 18”S).
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
97
11. Calcular os elementos de calagem e a hora legal do nascer e ocultar da estrela 169, no dia
28 de junho de 2016, em Presidente Prudente.
12. Calcular os elementos de calagem e a hora legal da estrela 1160 em sua passagem pelo
primeiro vertical (a leste e a oeste do meridiano), no dia 4 de abril de 2016, em Presidente
Prudente.
13. Calcular os elementos de calagem e a hora legal da estrela 437 em sua passagem pelo
círculo das seis horas (a leste e a oeste do meridiano), no dia 25 de agosto de 2016, em
Presidente Prudente.
14. Calcular os elementos de calagem e a hora legal da estrela 631 em sua elongação (a leste e
a oeste do meridiano), no dia 21 de setembro de 2016, em Presidente Prudente.
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
98
10 CIRCUNSTÂNCIAS FAVORÁVEIS ÀS DETERMINAÇÕES ASTRONÔMICAS
As determinações astronômicas para o cálculo das coordenadas geográficas
de um lugar e do ângulo que uma direção forma com o meridiano local (azimute) geralmente
são realizadas por aproximações sucessivas, ou seja, inicialmente faz-se determinações
expeditas, determinações de precisão e finalmente determinações de alta precisão.
O conjunto de métodos e processos para a realização das determinações
incluem observações aos astros (Sol e estrelas) nas mais diversas situações (posições dos
astros em seus movimentos diurnos), sendo, portanto, necessário que seja analisado quais as
situações e circunstâncias que mais favorecem essas determinações. Analisam-se neste
capítulo quais as condições e circunstâncias mais favoráveis (posição do astro em relação ao
observador) às determinações da latitude, longitude e azimute.
10.1 Circunstância Favorável à Determinação da Latitude
Seja o triângulo de posição:
Figura 53 – Triângulo de posição.
Utilizando a fórmula dos quatros elementos relativa a lado, tem-se:
H cosδ cos cosδsen sen z cos += (108)
Considerando δ fixo (isento de erros) e φ, z e H como variáveis, por
diferenciação tem-se:
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
99
−−=− dHδ cos cosHsen dH cosδ cossen dδsen cosdzzsen
( ) −−=− dHδ cos cosHsen dH cosδ cossen δsen cosdzzsen
( ) dHδ cos cosHsen dH cosδ cossen δsen cosdzzsen ++−= (109)
Da fórmula dos cinco elementos (2 ângulos e 3 lados), tem-se:
H cosδ cossen δsen cosA coszsen +−= (110)
E pela analogia dos senos:
Hsen δ cosAsen zsen Asen
δ cos
Hsen
zsen == (111)
Substituindo as equações (110) e (111) em (109), tem-se:
+= dHAsen zsen cosdA coszsen dzzsen
dHAsen cosdA cos dz += (112)
A equação (112) é a equação diferencial que relaciona as incertezas de z às
incertezas de φ e H. Assim:
dHA tg cosA cos
dz d
A cos
dHAsen cosdz d −=
−=
(113)
A equação (113) mostra que para que o erro em latitude (dφ) seja mínimo é
necessário que A cos
dz seja mínimo e que dHA tg cos também seja mínimo.
A cos
dz será
mínimo quando cos A for máximo, isto é, quando cos A = ±1, ou seja, quando o azimute (A)
for 0º ou 180º, e dHA tg cos será mínimo quando tg A for mínimo, isto é, quando tg A =
0, isto ocorre quando A = 0º ou A = 180º.
Diante destas afirmações, dφ será mínimo e por conseguinte a latitude será
melhor determinada quando o astro possuir azimute 0º ou 180º, isto é, quando o astro estiver
na passagem meridiana ou em suas proximidades. Ou seja, as influências dos erros acidentais
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
100
terão menor impacto na determinação da latitude quando o astro estiver nas proximidades do
meridiano do observador.
10.2 Circunstância Favorável à Determinação da Longitude
Da equação (112) diferencial, pode-se obter:
cosA tg
d
Asen cos
dzdH dHAsen cosdA cos dz
−
=+= (114)
Nesta última equação tem-se que dH é o erro em ângulo horário (o qual está
relacionado a longitude); para que dH seja mínimo é necessário que Asen cos
dz
e
cosA tg
d
sejam mínimos, ou seja, que sen A e tg A sejam máximos; isto ocorre quando o
azimute do astro for 90º ou 270º. Verifica-se que os erros dz e dφ terão influência mínima na
determinação do ângulo horário quando o astro estiver nas proximidades do primeiro vertical.
10.3 Circunstância Favorável à Determinação do Azimute
Utilizando-se da fórmula dos quatro elementos relativa a lado no triângulo
de posição tem-se:
A coszsen cosz cossen δsen −= (115)
Considerando δ fixo (isento de erros) e φ, z e A como variáveis, por
diferenciação tem-se:
+−−+= dAAsen zsen cosdzA cosz cos cosdzzsen sen dA coszsen sen dz cos cos0
( ) ( ) dAAsen zsen cosdzA cosz cos coszsen sen dA coszsen sen z cos cos0 +−−++=
(116)
Pela fórmula dos cinco elementos (3 lados e 2 ângulos) têm-se:
A cosz cos coszsen sen Q cosδ cos −−=− (117)
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
101
A coszsen sen z cos cosH cosδ cos += (118)
Substituindo as equações (117) e (118) em (116) tem-se:
+−= dAAsen zsen cosdzQ cosδ cosdH cosδ cos 0
+−= dzQ cosδ cosdH cosδ cos dA Asen zsen cos
dzAsen zsen cos
Q cosδ cosd
Asen zsen cos
H cosδ cos dA
+
−=
(119)
Utilizando-se da analogia dos senos duas vezes:
δ cosQsen
cosAsen Qsen δ cos cosAsen
cos
Qsen
δ cos
Asen =
==
(120)
δ cosHsen
Asen zsen Hsen δ cosAsen zsen
Asen
δ cos
Hsen
zsen =
== (121)
Multiplicando a equação (120) por cos Q e a equação (121) por cos H, tem-
se respectivamente:
Q cosδ cosQsen
Q cos cosAsen = (122)
H cosδ cosHsen
H cosAsen zsen = (123)
Introduzindo as equações (122) e (123) na equação (119) obtém-se:
+
−= dzAsen zsen cos
Qsen
Q cos cosAsen
dAsen zsen cos
Hsen
H cosAsen zsen
dA
+
−= dz
Qsen Asen zsen cos
Q cos cosAsen d
Hsen Asen zsen cos
H cosAsen zsen dA
dzQ tgzsen
1d
H cos
Hsen cos
1 dA dz
Qsen zsen
Q cosd
Hsen cos
H cos dA
+
−=
+
−=
(124)
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
102
Pela lei dos senos:
Hsen
Qsen zsen cosHsen cosQsen zsen
Hsen
zsen
Qsen
cos ===
(125)
Portanto:
+
−= dzQ tgzsen
1d
H cos
Hsen
Hsen
Qsen zsen
1 dA
dzQ tgzsen
1d
H secQsen zsen
1 dA
+
−= (126)
A partir da equação (126) pode-se deduzir que os erros em φ e em z terão
influência mínima na determinação do azimute quando Q = 90º, ou seja, quando o astro
estiver elongando ou nas proximidades da elongação. Quando o azimute for determinado por
observações às estrelas que não elongam, estas devem ser observadas nas proximidades do
primeiro vertical, quando o ângulo paralático Q terá seu maior valor.
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
103
11 CORREÇÕES ÀS OBSERVAÇÕES
Usualmente, as coordenadas geográficas de um ponto podem ser retiradas
de uma carta geográfica por interpolação linear. Todavia, quando não existe uma carta do
lugar, pode-se por observações ao Sol determinar por processos expeditos a latitude, longitude
e azimute de uma direção.
Existem diferentes maneiras de se visar o Sol, seja para a medida da
distância zenital, seja para leituras azimutais ou para fazer ambas as medidas
simultaneamente. A seguir são apresentados os dois principais métodos de observação ao Sol:
Método de uma tangência e uma bisseção
Figura 54 – Observação ao Sol pelo método de uma tangência e uma bisseção.
Se o Sol for bissetado no fio vertical as leituras azimutais são isentas da
influência do semidiâmetro solar.
Observando o Sol na posição direta (limbo a esquerda) do instrumento,
como na Figura 54 a), e depois na posição inversa (limbo a direita), Figura 54 b), a média das
distâncias zenitais estará isenta da correção do semidiâmetro.
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
104
Método da dupla tangência
Figura 55 – Observação ao Sol pelo método da dupla tangência.
Quando observa-se o Sol na posição direta, conforme a Figura 55 a), e na
posição inversa, Figura 55 b), a média das leituras azimutais estará isenta da influência do
semidiâmetro, entretanto as leituras zenitais terão que ser corrigidas do efeito do
semidiâmetro solar. Se a observação for na posição direta conforme a Figura 55 c) e na
posição inversa como na Figura 55 d), então as médias das leituras azimutais e zenitais
corresponderão às leituras feitas para o centro geométrico do Sol e portanto estarão isentas da
influência do semidiâmetro.
Correções às observações
As coordenadas das estrelas estão catalogadas no sistema uranográfico, cuja
origem coincide com o centro de massa da Terra (geocentro). As observações astronômicas,
por sua vez, são realizadas na superfície da Terra (topocentro), então faz-se necessária a
transformação das observações topocêntricas em geocêntricas. Essas correções referem-se à
paralaxe, semidiâmetro do Sol e refração astronômica. Além destas correções, deve-se
realizar também a correção do Pz (erro do ponto zenital).
11.1 Ponto Zenital (PZ)
A graduação do teodolito com origem no zênite proporciona a distância
zenital de uma visada, que é uma quantidade sempre positiva, eliminando assim o
inconveniente dos sinais existentes quando a contagem se inicia no horizonte, os quais podem
ser positivos (visadas acima do horizonte instrumental) ou negativos (visadas abaixo do
horizonte instrumental).
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
105
Quando o zênite instrumental não coincide com o zênite do lugar ocorre o
chamado Ponto Zenital (Pz) do instrumento (Figura 56).
Figura 56 – Erro do ponto zenital do instrumento.
O valor do Pz é dado por:
2
PIPD180Pz
+−= (127)
onde PD e PI corresponde as leituras das distâncias zenitais nas posições direta (limbo a
esquerda) e inversa (limbo a direita), respectivamente.
Para a determinação do Pz recomenda-se a realização de, no mínimo, três
séries de leituras a um determinado alvo fixo.
11.2 Paralaxe (p)
As observações são realizadas na superfície da Terra, porém devem ser
reduzidas ao centro da mesma, pois as coordenadas uranográficas são geocêntricas. Na Figura
57, a mudança de posição do observador da superfície para o centro da Terra ocasiona no
deslocamento das projeções do astro E na esfera celeste, pois, do centro da Terra o astro é
visto na posição E”. Assim, a Paralaxe (p) astronômica pode ser definida como o ângulo sob
o qual é visto do astro o raio da Terra.
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
106
Figura 57 – Paralaxe do astro.
A paralaxe (p) pode ser calculada por:
sen Z'p p 0 = (128)
onde:
p0 – paralaxe horizontal do astro (Sol), isto é, paralaxe que o astro teria se estivesse situado no
horizonte (vem tabelado para o início de cada mês nas efemérides); e
Z’ – distância zenital observada no instrumento.
11.3 Semidiâmetro do Sol (SD)
Dada a dificuldade de se visar diretamente o centro do Sol devido ao seu
grande diâmetro aparente, limita-se a observar um de seus bordos e depois, com a correção do
semidiâmetro, as observações são reduzidas ao centro do Sol.
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
107
Figura 58 – Redução da distância zenital ao centro do Sol.
O semidiâmetro do Sol (SD) vem tabelado nas efemérides astronômicas
para todos os dias no ano. Analisando a Figura 58 observa-se que dependendo do bordo em
que se realiza a tangência, o sinal de SD pode ser positivo ou negativo na etapa de correção da
distância zenital observada. Utiliza-se o sinal positivo quando a observação ao Sol for
realizada em seu bordo superior, e o sinal negativo quando a tangência do retículo for
realizada no bordo inferior do Sol.
Em relação à correção do ângulo azimutal observado (H’), com o intuito de
obter o ângulo azimutal corrigido (H), deve-se determinar a correção devido ao semidiâmetro
do Sol (dH):
sen Z'
SD dH = (129)
Assim:
sen Z'
SD H' H dH H' H == (130)
Quanto a raiz dupla da equação (129), utiliza-se o sinal positivo para as
observações realizadas no bordo esquerdo do Sol, e o sinal negativo para observações
realizadas no bordo direito do Sol (Figura 59).
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
108
Figura 59 – Redução do ângulo azimutal ao centro do Sol.
11.4 Refração Astronômica (R)
As camadas de ar que envolve a Terra, sendo de índices de refração
diferentes, atuam como um meio refringente, produzindo desvios dos raios luminosos que
emanam dos astros. A Refração Astronômica (R) é o deslocamento que um raio luminoso
sofre ao passar de um meio a outro de densidades diferentes.
Quando o raio incidente passa de um meio de densidade menor para um
meio de densidade maior (menos refringente para um meio mais refringente), o raio se
aproxima da normal (Figura 60).
Figura 60 – Efeito da refração.
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
109
Na atmosfera, à medida que se afasta da superfície terrestre, o ar vai se
tornando menos denso. Assim, a luz do astro ao adentrar a atmosfera vai sucessivamente
atravessando meios de densidade maiores, ou seja, o raio luminoso vai se aproximando
sucessivamente da normal (Figura 61).
Figura 61 – Refração astronômica.
O efeito da refração astronômica é a elevação aparente do astro, assim, a
correção desse efeito nas determinações das distâncias zenitais é sempre positiva.
A refração no instante da observação pode ser calculada a partir da refração
média (Rm), cujo valor encontra-se tabelado nas efemérides astronômicas em função de Z’. A
refração média é válida para a atmosfera padrão, no entanto, em campo as condições de
temperatura e pressão são diferentes. Assim, deve-se introduzir a correção em virtude da
temperatura e pressão (CTP), valor esse tabelado nas efemérides astronômicas em função da
temperatura e pressão em mmHg:
TPCRm R = (131)
O valor da refração astronômica (R) também pode ser calculado com uma
boa aproximação, válida para qualquer observação astronômica, a partir da equação (132):
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
110
C][ T273,15
[mbar] P Z'tg16,27"R"
+= (132)
onde:
T – temperatura ambiente em graus centígrados;
P – pressão atmosférica ambiente em mbar; e
R” – refração astronômica em segundos de arco.
11.5 Correção Total nas Distâncias Zenitais
A distância zenital corrigida (Z) é obtida por:
RSDpPz Z'Z +−+= (133)
onde:
Z’ – distância zenital observado no instrumento;
Pz – erro do ponto zenital (equação (127));
p – paralaxe astronômica (equação (128));
SD – semidiâmetro solar (tabelado); e
R – refração astronômica (equação (132)).
Observação: uma vez determinada a distância zenital corrigida (Z), para se obter o ângulo
azimutal corrigido (H) deve-se substituir Z’ por Z na equação (130), obtendo:
sen Z
SD H' H = (134)
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
111
11.6 Exercício Proposto
1. No dia 19 de maio de 2011 foi observado o bordo inferior do Sol com distância zenital de
42º 09’ 37,5”, temperatura de 19ºC e pressão atmosférica de 977,5 mbar. Calcular a distância
zenital corrigida, sabendo-se que p0 = 8,67” e para fins de determinação de Pz foram feitas as
seguintes leituras no limbo vertical do instrumento:
Série/Posição PD PI
1ª Série 87º 23’ 14,3” 272º 36’ 24,2”
2ª Série 87º 23’ 15,6” 272º 36’ 35,8”
3ª Série 87º 23’ 13,9” 272º 36’ 30,1”
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
112
12 DETERMINAÇÕES ASTRONÔMICAS EXPEDITAS
Caracterizam-se por determinações astronômicas expeditas as
determinações que admitem um erro médio superior a 1,0” (um segundo de arco) para a
latitude e longitude e 1,5” (um segundo e meio de arco) para o azimute.
Instrumental
Os equipamentos mais utilizados na Astronomia de Posição são:
▪ Teodolito;
▪ Ocular de cotovelo;
▪ Prismas;
▪ Filtros;
▪ Termômetro;
▪ Barômetro;
▪ Cronômetro; e
▪ Rádio receptor.
12.1 Determinação da Latitude pelo Método da Culminação do Sol
O método da determinação da latitude por observação ao Sol consiste
basicamente em medir a distância zenital do Sol em sua culminação. Os astros fixos (estrelas)
culminam na passagem meridiana, no entanto o Sol, sendo um astro errante e
consequentemente a sua declinação variando ao longo do movimento diurno, não culmina
necessariamente na passagem meridiana; a culminação solar dá-se sempre com um ângulo
horário inferior a 20s (vinte segundos de tempo). Assim, para fins de determinações
expeditas, pode-se considerar que a culminação do Sol dá-se na passagem meridiana, ou seja,
às 12 horas verdadeiras.
Conforme já apresentado no Estudo Analítico do Movimento Diurno, para
os astros na passagem meridiana superior (seção 8.2) tem-se:
( )δz −= (135)
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
113
Assim:
z δ = (136)
onde:
φ – latitude do lugar;
δ – declinação do Sol no exato instante da observação; e
z – distância zenital do Sol corrigida.
A distância zenital z é determinada em campo, já a declinação δ pode ser
calculada por (ver seção 9.12 – Interpolação de Coordenadas Uranográficas):
( ) 00 ΔδFHlδδ ++= (137)
onde:
δ0 – declinação do Sol às 0h TU;
Hl – hora legal da observação;
F – fuso horário da estação de observação; e
Δδ0 – variação horária da declinação.
Conforme já mencionado, o procedimento para a determinação da latitude
consiste em simplesmente medir a distância zenital do Sol na passagem meridiana. Há três
situações para realizar essa medição:
1. Observar o Sol na passagem meridiana quando se conhece o
meridiano do observador (para orientar o instrumento);
2. Quando se conhece apenas a longitude da estação; ou
3. Quando não se conhece o meridiano e nem a longitude da estação.
Na situação 1 a determinação da latitude será um processo bastante
simplificado, simplesmente orienta-se o teodolito e no momento da passagem meridiana do
Sol faz-se a tangência do retículo médio no bordo inferior do Sol. Assim tem-se a distância
zenital do Sol em sua passagem meridiana. Note que na equação (136) deve-se utilizar a
distância zenital do Sol corrigida do erro do ponto zenital, da paralaxe astronômica, do
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
114
semidiâmetro solar e da refração astronômica, além da necessidade da interpolação da
declinação do Sol no instante da passagem meridiana. Dada estas considerações, então além
da observação da distância zenital do Sol (z’), tem-se que observar a pressão (P) e
temperatura (T) ambiente e também anotar a hora legal (Hl) em que ocorreu a passagem
meridiana, pois esta será utilizada na atualização da declinação do Sol para instante da
passagem.
Na situação 2 faz-se um programa de observação ao Sol, ou seja,
conhecendo-se a longitude da estação calcula-se a hora legal (Hl) da culminação. Assunto já
estudado no capítulo 9 (Tempo em Astronomia), por tratar-se de determinações expeditas,
pode-se considerar que a culminação ocorre às 12 horas verdadeiras. Calculada a hora legal da
culminação, o procedimento para a observação consiste em fazer a tangência ao bordo inferior
do Sol na hora legal calculada. Para realizar a tangência ao bordo inferior aconselha-se iniciar
as observações ao Sol pelo menos 20 minutos antes do horário previsto para a culminação.
Este procedimento é apenas para familiarizar e treinar o observador a fazer a tangência ao Sol.
Nesta situação 2 deve-se adotar o mesmo procedimento para a realização das correções à
distância zenital observada.
Na situação 3 sabe-se que o Sol culmina aproximadamente às 12 horas
verdadeiras, ou seja, por volta das 12 horas legais mais a correção do fuso. Assim, para que
possa ser garantido que o início das observações seja realizada antes da culminação do Sol,
inicia-se as observações às 11h 30min legais, pois neste horário o Sol ainda deve estar em
ascensão (subindo). Após instalado e nivelado o teodolito, com auxílio de prismas, filtros ou
papel de anteparo, faz-se a pontaria ao Sol (fazendo com que o retículo médio tangencie o
bordo inferior do Sol); acompanha-se o Sol (atuando no parafuso de chamada vertical) até que
o mesmo para de subir (quando o astro culmina sua “velocidade vertical” é nula), neste
instante o movimento do Sol será tangente ao retículo horizontal. Verificado que o Sol parou
de subir faz-se a leitura da hora legal, pressão, temperatura e distância zenital do Sol. Deve-se
fazer as correções à distância zenital observada, conforme as situações 1 e 2.
Operações de campo
▪ Instalação do instrumento (teodolito);
▪ Determinação do Pz;
▪ Montagem da ocular de cotovelo ou do prisma;
▪ Focalizar a luneta do teodolito em um ponto bem afastado;
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
115
▪ Fazer pontaria ao Sol conforme as situações 1, 2 ou 3;
▪ Registrar o bordo observado do Sol; e
▪ Anotar a temperatura e pressão ambiente e a hora legal da culminação.
Sequência de cálculos para a determinação da latitude
▪ Cálculo do Pz → 2
PIPD180Pz
+−= ;
▪ Cálculo da paralaxe → sen Z'p p 0 = ;
▪ Determinação do semidiâmetro do Sol → ±SD (+ para observação ao
bordo superior do Sol e – para observação ao bordo inferior do Sol);
▪ Cálculo da refração astronômica → C][ T273,15
[mbar] P Z'tg16,27"R"
+= ;
▪ Cálculo da distância zenital corrigida → RSDpPz Z'Z +−+= ;
▪ Interpolação da declinação do Sol → ( ) 00 ΔδFHlδδ ++= ; e
▪ Cálculo da latitude → z δ = .
Exercício resolvido
Com base na situação 2 (λ = 3h 25min 38s W), determinar a latitude pelo
método da culminação do Sol para o dia 10 de agosto de 2011 para Pres. Prudente.
Dados do Sol extraídos da efeméride astronômica do Observatório Nacional:
Data α δ SD M
Pass. Merid. Greenwich
9 de agosto 9h 14min 12,70s 16º 00’ 39,6” 15’ 46,45” 12h 05min 33,57s
10 de agosto 9h 18min 00,82s 15º 43’ 23,5” 15’ 46,60” 12h 05min 24,83s
11 de agosto 9h 21min 48,34s 15º 25’ 52,3” 15’ 46,76” 12h 05min 15,50s
Dados para a determinação do Pz:
Série PD PI
1ª 87º 04’ 24” 272º 55’ 21”
2ª 83º 09’ 15” 276º 50’ 35,3”
3ª 86º 59’ 07,9” 273º 00’ 47,3”
Dados de campo:
Temperatura 25ºC
Pressão Atmosférica 972 mbar
Borda de Tangência ao Sol Inferior
Distância Zenital Observada 37º 54’ 30”
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
116
1º Passo: Cálculo da hora legal da culminação (passagem meridiana)
o 33,57s5min 33,57s05min 12h 12h MV E 99 −=−=−=
o 24,83s5min 24,83s05min 12h 12h MV E 1010 −=−=−=
o ( )
s/h 0,36424h
8,74s
24h
33,57s5min 24,83s5min
24h
EEΔEΔE 910
0 ==−−−
=−
==
o ( ) ( ) 29,2s5min s/h 0,36412h24,83s5min ΔE12hE E 010010−=−−=−=
o ( ) ( ) 0000 ΔEλMEVMΔEλMEMV1010
−−−=−++= , considerando V=M=12h
tem-se:
• 1ª iteração: ( ) ( )( ) s/h 0,36438s25min 3h 12h29,2s5min 12hM' −−−−−=
23,58s05min 12h M'=
• 2ª iteração:
( ) ( )( ) s/h 0,36438s25min 3h 23,58s05min 12h 29,2s5min 12hM" −−−−−=
23,55s05min 12h M"=
o =−−= λFM"Hl
2º Passo: Cálculo do Pz
o ==
=→
=→
=→
=+
−= m
a
a
a
Pz
?Pzsérie 3
?Pzsérie 2
?Pzsérie 1
2
PIPD180Pz o
3º Passo: Cálculo da paralaxe
o sen Z'p p 0 = , onde p0 = 8,67”, assim: p =
4º Passo: Determinação do semidiâmetro do Sol
o Bordo inferior: SD = –15’ 46,60”
5º Passo: Cálculo da refração astronômica
o =+
=C][ T273,15
[mbar] P Z'tg16,27"R"
oo
6º Passo: Cálculo da distância zenital corrigida
o =+−+= RSDpPz Z'Z
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
117
7º Passo: Interpolação da declinação do Sol
o ( ) 00 ΔδFHlδδ ++= , onde:
• 23,5" 43' 15δδ 100
==
• F = 3
• =−
=24h
δδΔδ 1011
0
= δ
8º Passo: Cálculo da latitude
o == z δ
12.2 Determinação da Longitude pelo Método das Distâncias Zenitais do Sol
A determinação da longitude é, em última análise, a determinação da hora
local, pois a diferença de horas entre o meridiano local e o meridiano de Greenwich fornece a
longitude do lugar. Assim:
GGG MMVVSSλ −=−=−= (138)
onde:
S – hora sideral local;
SG – hora sideral de Greenwich (no mesmo instante físico);
V – hora verdadeira local;
VG – hora verdadeira de Greenwich (no mesmo instante físico);
M – hora média local; e
MG – hora média de Greenwich (no mesmo instante físico).
Na determinação da longitude pelo método das distâncias zenitais do Sol
utiliza-se:
GMMλ −= (139)
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
118
A obtenção de MG é um processo relativamente fácil: utilizando-se de um
rádio receptor determina-se o estado do cronômetro (E), assim, a hora média de Greenwich
(no mesmo instante físico da observação ao Sol) é calculada por (ver dedução na seção 9.5):
FETMG ++= (140)
onde:
T – instante cronométrico da observação ao Sol;
E – estado do cronômetro; e
F – fuso do lugar.
Utilizando-se da Trigonometria Esférica e do triângulo de posição pode-se
determinar o ângulo horário (H) quando o Sol atinge uma dada distância zenital (z) (dedução
da equação na seção 6.2):
δ cos cos
δsen sen z cosH cosH cosδ cos cosδsen sen z cos
−=+=
(141)
Observação: deve-se conhecer a latitude do observador e o valor interpolado da declinação do
Sol, e a distância zenital observada deve ser corrigida dos efeitos da refração astronômica, da
paralaxe, do semidiâmetro do Sol e do Pz.
A equação (141) admite duas raízes: +H e –H. O valor negativo
corresponde às observações ao Sol quando o mesmo está a leste do meridiano local
(observações realizadas no período da manhã), e o valor positivo é utilizado quando as
observações ao Sol dão-se a oeste do meridiano local (observações realizadas no período da
tarde).
A partir do ângulo horário (H) calcula-se a hora verdadeira local (V = H +
12h) e, de posse da hora verdadeira local (V) determina-se a hora média local (M):
( ) 00 ΔEFHlEVM +−−= (142)
onde:
E0 – equação do tempo para às 0h TU; e
ΔE0 – variação horária da equação do tempo (em segundos por hora).
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
119
De acordo com a circunstância favorável para a determinação da longitude
(seção 10.2), o momento mais propício para determinação da mesma é quando o astro
encontra-se nas proximidades do primeiro vertical, sendo que a condição para que o astro
passe pelo primeiro vertical é δ . O Sol sendo um astro errante, sua declinação varia
durante o ano, de aproximadamente –23º 27’ à +23º 27’, o que implica em dizer que não é
durante todo o ano que o Sol passa pelo primeiro vertical de um dado local. Quando o astro
está próximo ao primeiro vertical sua velocidade azimutal é máxima, o que significa que a
influência de um erro na distância zenital será mínima na determinação do ângulo horário do
Sol. Observa-se também que a refração astronômica (que é máxima quando o astro está no
horizonte) é mínima quando o astro está culminando, e que a pior situação para a
determinação do ângulo horário do Sol em função da distância zenital é quando este está em
sua passagem meridiana. Diante do exposto, e por tratar-se de determinações expeditas,
aconselha-se observar o Sol quando este encontrar-se afastado de duas horas do meridiano
local e de duas horas do horizonte (aproximadamente entre 8h 30min – 10h 30min e entre 14h
30min – 16h 30min).
Operações de campo
▪ Determinação do estado do cronômetro (E);
▪ Instalação do instrumento (teodolito);
▪ Determinação do Pz;
▪ Montagem da ocular de cotovelo ou do prisma;
▪ Focalizar a luneta do teodolito em um ponto bem afastado;
▪ Fazer pontaria ao Sol respeitando as janelas de horários aconselhados;
▪ Anotar o instante cronométrico (T) no momento em que o Sol “cruza”
o retículo médio na distância zenital z’;
▪ Registrar o bordo observado do Sol; e
▪ Anotar a temperatura e pressão ambiente.
Sequência de cálculos para a determinação da longitude
▪ Cálculo do Pz → 2
PIPD180Pz
+−= ;
▪ Cálculo da paralaxe → sen Z'p p 0 = ;
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
120
▪ Determinação do semidiâmetro do Sol → ±SD (+ para observação ao
bordo superior do Sol e – para observação ao bordo inferior do Sol);
▪ Cálculo da refração astronômica → C][ T273,15
[mbar] P Z'tg16,27"R"
+= ;
▪ Cálculo da distância zenital corrigida → RSDpPz Z'Z +−+= ;
▪ Cálculo da hora legal local→ E T Hl += ;
▪ Interpolação da declinação do Sol → ( ) 00 ΔδFHlδδ ++= ;
▪ Cálculo do ângulo horário do Sol → δ cos cos
δsen sen z cosH cos
−=
;
▪ Cálculo da hora verdadeira local → 12h H V += ;
▪ Cálculo da equação do tempo (E0) e de sua variação horária (ΔE0);
▪ Cálculo da hora média local → ( ) 00 ΔEFHlEVM +−−= ;
▪ Cálculo da hora média de Greenwich → FHlMG += ; e
▪ Cálculo da longitude → GMMλ −= .
Exercício resolvido
Determinar a longitude pelo método das distâncias zenitais do Sol para o dia
19 de agosto de 2011 em Pres. Prudente (φ = –22º 07’ 20,44”).
Dados do Sol extraídos da efeméride astronômica do Observatório Nacional:
Data α δ SD M
Pass. Merid. Greenwich
18 de agosto 9h 48min 05,36s 13º 16’ 37,8” 15’ 47,92” 12h 03min 54,78s
19 de agosto 9h 51min 48,57s 12º 57’ 16,8” 15’ 48,09” 12h 03min 41,19s
20 de agosto 9h 55min 31,29s 12º 37’ 43,4” 15’ 48,27” 12h 03min 27,13s
Dados de campo:
Dados 1ª Série 2ª Série 3ª Série
Instante Cronométrico 14h 54min 18,8s 15h 32min 40,6s 15h 35min 10s
Estado do Cronômetro 0s 0s 0s
Distância Zenital Observada 49º 30’ 12,9” 56º 35’ 58,2” 57º 04’ 26,4”
Borda de Tangência ao Sol Superior Superior Superior
Temperatura 35,3ºC 33,7ºC 33,8ºC
Pressão Atmosférica 951 mbar 950 mbar 950 mbar
Pz 1,38” 1,38” 1,38”
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
121
1º Passo: Cálculo do Pz
o 1,38"Pz = , para todas as séries
2º Passo: Cálculo da paralaxe
o sen Z'p p 0 = , onde p0 = 8,67”, assim:
=→
=→
=→
3
a
2
a
1
a
psérie3
psérie2
psérie1
3º Passo: Determinação do semidiâmetro do Sol
o Bordo superior: SD = +15’ 48,09”, para todas as séries
4º Passo: Cálculo da refração astronômica
o
=→
=→
=→
+=
"
3
a
"
2
a
"
1
a
R série3
R série2
R série1
C][ T273,15
[mbar] P Z'tg16,27"R"
oo
5º Passo: Cálculo da distância zenital corrigida
o
=→
=→
=→
+−+=
3
a
2
a
1
a
Zsérie3
Zsérie2
Zsérie1
RSDpPz Z'Z
6º Passo: Cálculo da hora legal local
o
=→
=→
=→
+=
3
a
2
a
1
a
Hlsérie3
Hlsérie2
Hlsérie1
E T Hl
7º Passo: Interpolação da declinação do Sol
o ( ) 00 ΔδFHlδδ ++= , onde:
• 16,8" 57' 12δδ 190
==
• F = 3
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
122
• =−
=24h
δδΔδ 1920
0
=→
=→
=→
3
a
2
a
1
a
δsérie3
δsérie2
δsérie1
8º Passo: Cálculo do ângulo horário do Sol
o δ cos cos
δsen sen z cosH cos
−=
, onde φ = –22º 07’ 20,44”, assim:
( )( )
( )( )
( )( )
−
−−=→
−
−−=→
−
−−=→
08,13" 42' 12 cos20,44" 07' 22cos
08,13" 42' 12sen 20,44" 07' 22sen26,35" 21' 57 cosH cossérie3
10,15" 42' 12 cos20,44" 07' 22cos
10,15" 42' 12sen 20,44" 07' 22sen56,82" 52' 56 cosH cossérie2
41,41" 42' 12 cos20,44" 07' 22cos
41,41" 42' 12sen 20,44" 07' 22sen54,52" 46' 49 cosH cossérie1
3
a
2
a
1
a
=→
=→
=→
3
a
2
a
1
a
H cossérie3
H cossérie2
H cossérie1
9º Passo: Cálculo da hora verdadeira local
o
=→
=→
=→
+=
3
a
2
a
1
a
Vsérie3
Vsérie2
Vsérie1
12h H V
10º Passo: Cálculo da equação do tempo (E0) e sua variação horária (ΔE0)
o =−= 1919 MV E
o =−= 2020 MV E
o =−
==24h
EEΔEΔE 1920
0
o ( )=−= 0190 ΔE12hE E19
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
123
11º Passo: Cálculo da hora média local
o ( ) 00 ΔEFHlEVM +−−=
=→
=→
=→
3
a
2
a
1
a
Msérie3
Msérie2
Msérie1
=→
=→
=→
3
a
2
a
1
a
Msérie3
Msérie2
Msérie1
12º Passo: Cálculo da hora média de Greenwich
o
=→
=→
=→
+=
3G
a
2G
a
1G
a
G
Msérie3
Msérie2
Msérie1
F Hl M
13º Passo: Cálculo da longitude
o
=→
=→
=→
−=
3
a
2
a
1
a
G
λsérie3
λsérie2
λsérie1
M M λ
o λm =
12.3 Determinação do Azimute por Distâncias Zenitais do Sol
Determinar o azimute significa materializar no terreno a linha norte-sul
verdadeira (meridiano). Na realidade não há a necessidade de se materializar no terreno a
direção norte-sul, é mais comum e prático determinar o ângulo que o meridiano forma com
uma direção definida no campo (azimute da mira).
Na determinação do azimute de uma mira, o astro (Sol) porta-se como um
alvo no qual se conhece o seu azimute. Assim, a questão praticamente se resume em
transportar o azimute do astro para a mira (transporte de azimute), onde o azimute do astro é
determinado em função da distância zenital observada, da declinação e da latitude do local.
Então deduz-se que ao observar o astro tem-se que simultaneamente determinar o ângulo
horizontal e a distância zenital do astro.
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
124
A Figura 62 proporciona a visualização esquemática do azimute do astro
AA, do azimute da mira AM, da leitura do ângulo horizontal do astro LA e da leitura do ângulo
horizontal da mira LM.
Figura 62 – Azimute da mira.
Da Figura 62 tem-se que:
AMAMMAMA LLAALLAA −+=−=− (143)
Utilizando-se da Trigonometria Esférica e do triângulo de posição pode-se
determinar o azimute do astro AA quando o Sol atinge uma dada distância zenital (z) (dedução
da equação na seção 6.2):
zsen cos
δsen z cossen A cosA coszsen cosz cossen δsen AA
−=−=
(144)
Observação: deve-se conhecer a latitude do observador e o valor interpolado da declinação do
Sol, e a distância zenital observada deve ser corrigida dos efeitos da refração astronômica, da
paralaxe, do semidiâmetro do Sol e do Pz.
A equação (144) admite duas raízes: +AA e –AA. O valor negativo
corresponde às observações ao Sol quando o mesmo está a leste do meridiano local
(observações realizadas no período da manhã), e o valor positivo é utilizado quando as
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
125
observações ao Sol dá-se a oeste do meridiano local (observações realizadas no período da
tarde).
Em relação ao ângulo horizontal do astro LA, deve-se realizar a correção do
semidiâmetro do Sol no ângulo observado L’A:
sen Z
SD L L '
AA = (145)
Quanto à raiz dupla da equação (145), utiliza-se o sinal positivo para as
observações realizadas no bordo esquerdo do Sol, e o sinal negativo para observações
realizadas no bordo direito do Sol.
No estudo das circunstâncias favoráveis à determinação do azimute viu-se
que a posição mais favorável é observar o astro próximo a sua elongação. Porém, devido às
mesmas explicações da determinação da longitude, as determinações do azimute também
devem ser realizadas no horário entre 8h30min e 10h 30min para o período da manhã e entre
14h 30min e 16h 30min para o período da tarde.
Operações de campo
▪ Instalação do instrumento (teodolito);
▪ Determinação do Pz;
▪ Montagem da ocular de cotovelo ou do prisma;
▪ Focalizar a luneta do teodolito em um ponto bem afastado;
▪ Fazer pontaria ao Sol respeitando as janelas de horários aconselhados,
realizando a dupla tangência dos retículos horizontal e vertical;
▪ No instante em que o Sol tangenciar simultaneamente os retículos
horizontal e vertical, fazer as leituras da hora legal, da pressão
atmosférica, da temperatura, do ângulo horizontal e da distância
zenital;
▪ Registrar os bordos observados do Sol;
▪ Desmontagem da ocular de cotovelo ou do prisma; e
▪ Visar a mira e fazer a leitura do ângulo horizontal.
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
126
Sequência de cálculos para a determinação do azimute
▪ Cálculo do Pz → 2
PIPD180Pz
+−= ;
▪ Cálculo da paralaxe → sen Z'p p 0 = ;
▪ Determinação do semidiâmetro do Sol → ±SD (+ para observação ao
bordo superior do Sol e – para observação ao bordo inferior do Sol);
▪ Cálculo da refração astronômica → C][ T273,15
[mbar] P Z'tg16,27"R"
+= ;
▪ Cálculo da distância zenital corrigida → RSDpPz Z'Z +−+= ;
▪ Cálculo do ângulo horizontal do Sol corrigido → sen Z
SD L L '
AA = ;
▪ Interpolação da declinação do Sol → ( ) 00 ΔδFHlδδ ++= ;
▪ Cálculo do azimute do Sol → zsen cos
δsen z cossen A cos A
−=
; e
▪ Cálculo do azimute da mira → AMAM LLAA −+= .
Exercício resolvido
Determinar o azimute de uma mira pelo método das distâncias zenitais do
Sol para o dia 19 de agosto de 2011 em Pres. Prudente (φ = –22º 07’ 20,44”).
Dados do Sol extraídos da efeméride astronômica do Observatório Nacional:
Data α δ SD M
Pass. Merid. Greenwich
18 de agosto 9h 48min 05,36s 13º 16’ 37,8” 15’ 47,92” 12h 03min 54,78s
19 de agosto 9h 51min 48,57s 12º 57’ 16,8” 15’ 48,09” 12h 03min 41,19s
20 de agosto 9h 55min 31,29s 12º 37’ 43,4” 15’ 48,27” 12h 03min 27,13s
Dados de campo:
Hora Legal 15h 18min 39s
Distância Zenital Observada 53º 54’ 57,3”
Bordas de Tangência ao Sol Superior Direito
Temperatura 33ºC
Pressão Atmosférica 950 mbar
Pz 1,38”
Leitura do Ângulo Horizontal ao Sol 91º 41’ 44,7”
Leitura do Ângulo Horizontal à Mira 262º 56’ 37,2”
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
127
1º Passo: Cálculo do Pz
o 1,38"Pz =
2º Passo: Cálculo da paralaxe
o sen Z'p p 0 = , onde p0 = 8,67”, assim: p =
3º Passo: Determinação do semidiâmetro do Sol
o Bordo superior: SD = +15’ 48,09”
4º Passo: Cálculo da refração astronômica
o =+
=C][ T273,15
[mbar] P Z'tg16,27"R"
oo
5º Passo: Cálculo da distância zenital corrigida
o =+−+= RSDpPz Z'Z
6º Passo: Cálculo do ângulo horizontal do Sol corrigido
o Bordo direito: =−=sen Z
SD L L '
AA
7º Passo: Interpolação da declinação do Sol
o ( ) 00 ΔδFHlδδ ++= , onde:
• 16,8" 57' 12δδ 190
==
• F = 3
• =−
=24h
δδΔδ 1920
0
=δ
8º Passo: Cálculo do azimute do Sol
o zsen cos
δsen z cossen A cos A
−=
, onde φ = –22º 07’ 20,44”, assim:
( )( )
−
−−=
49,03" 11' 54sen 20,44" 07' 22cos
21,58" 42' 12sen 49,03" 11' 54 cos20,44" 07' 22senA cos A
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
128
= AA cos
9º Passo: Cálculo do azimute da mira
o =−+= AMAM LLAA
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
129
13 DETERMINAÇÃO DE PRECISÃO
13.1 Determinação da Latitude
Conforme já visto, a circunstância favorável para a determinação da latitude
é observar o astro na passagem meridiana. Assim sendo, serão apresentados métodos de
determinação da latitude por observação às estrelas na passagem meridiana.
13.1.1 Determinação da latitude pelo método da passagem meridiana de uma estrela
Este método de determinação da latitude, basicamente, consiste em observar
a estrela na passagem meridiana (culminação), e nessa passagem medir a sua distância zenital.
Na passagem meridiana tem-se:
( )δz −= (146)
onde, na dupla raiz, utiliza-se o sinal que torna positivo a distância zenital. Se o valor (φ – δ)
for negativo significa que a passagem meridiana da estrela dá-se ao Norte do zênite (A =
180º), caso contrário a passagem dá-se o Sul do zênite (A = 0º). Assim, tem-se que:
▪ Para estrelas que culminam ao Norte do zênite:
( ) NNNN zδδz −=−−= (147)
▪ Para estrelas que culminam ao Sul do zênite:
( ) SSSS zδδz +=−+= (148)
Lista de estrelas
Para efetuar as observações às estrelas deve-se ter em mãos uma listagem de
estrelas que “atendam” ao método. Esta listagem também é denominada de Programa de
Observações. O Programa de Observações deve conter os elementos de calagem das estrelas
(Hl, A, z). Para a elaboração da lista de estrelas é necessário o conhecimento aproximado das
coordenadas do ponto (latitude e longitude).
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
130
Procedimento para a elaboração da lista de estrelas:
▪ Determinada a hora legal do início das observações (Hli), calcula-se a
hora sideral correspondente ao início das observações (Si):
( ) 9261,00273790FHlλSS i0i +++= (149)
onde S0 é o tempo sideral médio em Greenwich a 0h TU (fornecido
nas Efemérides Astronômicas);
▪ Na passagem meridiana as estrelas (astros fixos) possuem H = 0h, o
que implica em S = α. Assim, calculada a hora sideral do início das
observações e com auxílio de um catálogo de estrelas, escolhe-se as
estrelas que possuem ascensão reta (α) maior que a hora sideral do
início das observações (α > Si) e calcula-se a distância zenital
aproximada das estrelas (z0) (Equação (146)), utilizando a latitude
aproximada do local e a declinação contida no catálogo;
▪ Das estrelas selecionadas no programa de observações calcula-se a
hora legal correspondente a hora sideral (igual a ascensão reta da
estrela) através da equação (150):
F9261,00273790
λSSHl 0 −
−−= (150)
Entretanto é mais prático e usual não calcular a hora legal
correspondente à sideral, mas sim calcular o quanto a hora sideral está
adiantada ou atrasada em relação a hora legal. Determinado a
diferença de horário entre o tempo sideral e o tempo legal (ΔT), em
um relógio auxiliar (relógio piloto) adianta-se ou atrasa-se desta
quantidade ΔT. Realizado essa operação, o relógio piloto estará
marcando, aproximadamente, o tempo sideral;
▪ Por fim, elabora-se uma tabela contendo todas as informações
necessárias para realizar as observações, bem como os espaços para
anotar os dados de campo (z’, P e T). Um exemplo de tabela que pode
ser elaborada é apresentada a seguir:
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
131
Tabela 3 – Programa de observações para a determinação da latitude pelo método da
passagem meridiana de um estrela.
nº Est. Mag. Hl ou α Z0 Az. (N/S) Z’ P [mbar] T [ºC]
Operações de campo
▪ Instala-se e nivela-se o teodolito sobre o ponto (deve-se realizar o
nivelamento com todo o cuidado possível, pois o erro devido ao mal
nivelamento do equipamento refletirá em um erro na determinação da
latitude de um valor igual ao do mal nivelamento);
▪ Determinação do Pz;
▪ Faz-se a orientação do teodolito, ou seja, faz com que o eixo de
colimação da luneta fique paralelo ao meridiano local. Este processo
de orientação é executado conforme segue: realiza-se a pontaria a um
alvo (mira) que se conheça o azimute e em seguida registra-se no
limbo horizontal do instrumento o valor desse azimute através do
parafuso reiterador, assim o teodolito está orientado;
▪ Montagem da ocular de cotovelo;
▪ Focalizar a luneta do teodolito em um ponto bem afastado;
▪ Aproximadamente 3 minutos antes da passagem meridiana da estrela
(prevista no programa de observações), registra-se no instrumento os
elementos de calagem da estrela (azimute e distância zenital
aproximada). Ficar atento, pois a estrela deve estar no campo ótico da
luneta; e
▪ Verificado que a estrela “adentrou” no campo ótico da luneta,
acompanha-se a mesma apenas utilizando-se do parafuso de chamada
vertical (retículo médio). No instante que a estrela “cruzar” o retículo
vertical cessa o acompanhamento da estrela e lê-se a distância zenital,
pressão atmosférica e temperatura.
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
132
Sequência de cálculos para a determinação da latitude
▪ Cálculo do Pz → 2
PIPD180Pz
+−= ;
Para cada estrela observada realiza-se:
▪ Cálculo da refração astronômica → C][ T273,15
[mbar] P Z'tg16,27"R"
+= ;
▪ Cálculo da distância zenital corrigida → RPz Z'Z ++= ;
▪ Interpolação da declinação da estrela para o instante da observação →
( ) 00 ΔδFHlδδ ++= ; e
▪ Cálculo da latitude → z δ = (utiliza-se o sinal positivo para as
estrelas observadas ao Sul do zênite e o sinal negativo para as estrelas
observadas ao Norte do zênite).
Determinada a latitude a partir de cada estrela faz-se a média e o desvio-
padrão da latitude.
13.1.2 Determinação da latitude pelo método de Sterneck
O método de Sterneck para a determinação da latitude consiste basicamente
em observar duas estrelas em suas passagens pelo meridiano, sendo uma estrela ao Norte e
outra ao Sul do zênite. Nessas passagens medem-se as distâncias zenitais das estrelas. A
Figura 63 apresenta o conceito do método de Sterneck, onde ENorte representa a estrela ao
Norte do zênite, ESul a estrela ao Sul do zênite, ZN a distância zenital da estrela ao Norte do
zênite, ZS a distância zenital da estrela ao Sul do zênite, δN a declinação da estrela ao Norte do
zênite, δS a declinação da estrela ao Sul do zênite e φ a latitude do ponto.
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
133
Figura 63 – Determinação da latitude pelo método de Sterneck.
Observando a Figura 63 tem-se:
NN
SS
zδ
zδ
−=
+=
(151)
Somando as expressões acima, obtêm-se:
2
zz
2
δδ
2
zzδδzzδδ2 NSNSNSNS
NSNS
−+
+=
−++=−++= (152)
Considerando as condições reais de observações deve-se considerar na
distância zenital a influência da refração astronômica e a influência do ponto zenital do
instrumento. Assim, tem-se:
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
134
N
'
NN
S
'
SS
RPzzz
RPzzz
++=
++= (153)
onde:
z’S – leitura da distância zenital observada da estrela ao Sul do zênite;
z’N – leitura da distância zenital observada da estrela ao Norte do zênite;
Pz – ponto zenital do instrumento;
RS – refração astronômica da estrela ao Sul do zênite; e
RN – refração astronômica da estrela ao Norte do zênite.
Substituindo as expressões da Equação (153) na Equação (152) obtém-se:
( )
−−−+++
+=
++−+++
+=
2
RPzzRPzz
2
δδ
2
RPzzRPzz
2
δδ N
'
NS
'
SNSN
'
NS
'
SNS
2
RR
2
zz
2
δδ
2
RRzz
2
δδ NS
'
N
'
SNSNS
'
N
'
SNS −+
−+
+=
−+−+
+= (154)
A Equação (154) fornece a latitude pelo método de Sterneck.
A maior influência dos erros sistemáticos na determinação da latitude se
deve ao fato da refração astronômica não ser perfeitamente conhecida. Na Equação (154)
utiliza-se a diferença da influência causada pela refração astronômica, assim, caso um par de
estrelas seja observado com a mesma distância zenital (z’), o último termo da Equação (154)
pode ser anulado, pois a influência da refração da estrela ao Sul do zênite será a mesma da
estrela ao Norte.
Todavia, em determinações de precisão da latitude, o caso acima
dificilmente ocorre. Então, para minimizar essa influência e visando resultados de precisão,
algumas restrições são impostas ao método:
1. As distâncias zenitais observadas (z’N e z’S), preferencialmente, devem
ser menores que 45º (z’N < 45º e z’S < 45º);
2. A diferença entre as distâncias zenitais das estrelas de cada par não
deve exceder 15º ( 15zz '
S
'
N − );
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
135
3. O intervalo de tempo decorrido entre a observação da estrela ao Sul e
da estrela ao Norte do zênite não deve exceder a 20 minutos
( min 20αα SN − ); e
4. Deve-se observar 3 grupos de estrelas, onde cada grupo contém 8
estrelas (4 pares).
Lista de estrelas
Para a elaboração da lista de estrelas devem ser consideradas as restrições
impostas ao método. Além disso, faz-se necessário o conhecimento aproximado das
coordenadas da estação onde serão efetuadas as observações, ou seja, latitude, longitude e o
meridiano local.
Procedimento para a elaboração da lista de estrelas:
▪ Determinada a hora legal do início das observações (Hli), calcula-se a
hora sideral correspondente ao início das observações (Si):
( ) 9261,00273790FHlλSS i0i +++= (155)
onde S0 é o tempo sideral médio em Greenwich a 0h TU (fornecido
nas Efemérides Astronômicas);
▪ Na passagem meridiana as estrelas (astros fixos) possuem H = 0h, o
que implica em S = α. Assim, calculada a hora sideral do início das
observações e com auxílio de um catálogo de estrelas, escolhe-se as
estrelas que possuem ascensão reta (α) maior que a hora sideral do
início das observações (α > Si);
▪ Calcula-se a distância zenital aproximada das estrelas (z0) (Equação
(146)), utilizando a latitude aproximada do local e a declinação
contida no catálogo, sendo que, para respeitar a restrição 1 (z’N < 45º e
z’S < 45º), deve-se determinar os limites da declinação das estrelas:
o Estrelas ao Sul do zênite: ( ) 0S0 δ45 − (156)
o Estrelas ao Norte do zênite: ( )45δ 0N0 + (157)
▪ Calculado os limites de declinação das estrelas, escolhe-se no catálogo
as estrelas que estejam neste intervalo de declinação, bem como
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
136
respeitando as restrições 2 e 3. Assim, calcula-se a hora legal
correspondente a hora sideral (igual a ascensão reta da estrela) através
da equação (158):
F9261,00273790
λSSHl 0 −
−−= (158)
Entretanto é mais prático e usual não calcular a hora legal
correspondente à sideral, mas sim calcular o quanto a hora sideral está
adiantada ou atrasada em relação a hora legal. Determinado a
diferença de horário entre o tempo sideral e o tempo legal (ΔT), em
um relógio auxiliar (relógio piloto) adianta-se ou atrasa-se desta
quantidade ΔT. Realizado essa operação, o relógio piloto estará
marcando, aproximadamente, o tempo sideral;
▪ Por fim, elabora-se uma tabela contendo todas as informações
necessárias para realizar as observações, bem como os espaços para
anotar os dados de campo (z’, P e T). Um exemplo de tabela que pode
ser elaborada é apresentada a seguir:
Tabela 4 – Programa de observações para a determinação da latitude pelo método de
Sterneck.
nº Est. Mag. Hl ou α Z0 Az. (N/S) Par Z’ P [mbar] T [ºC]
Operações de campo
▪ Instala-se e nivela-se o teodolito sobre o ponto (deve-se realizar o
nivelamento com todo o cuidado possível, pois o erro devido ao mal
nivelamento do equipamento refletirá em um erro na determinação da
latitude de um valor igual ao do mal nivelamento);
▪ Faz-se a orientação do teodolito, ou seja, faz com que o eixo de
colimação da luneta fique paralelo ao meridiano local. Este processo
de orientação é executado conforme segue: realiza-se a pontaria a um
alvo (mira) que se conheça o azimute e em seguida registra-se no
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
137
limbo horizontal do instrumento o valor desse azimute através do
parafuso reiterador, assim o teodolito está orientado;
▪ Montagem da ocular de cotovelo;
▪ Focalizar a luneta do teodolito em um ponto bem afastado;
▪ Aproximadamente 3 minutos antes da passagem meridiana da estrela
(prevista no programa de observações), registra-se no instrumento os
elementos de calagem da estrela (azimute e distância zenital
aproximada). Ficar atento, pois a estrela deve estar no campo ótico da
luneta;
▪ Verificado que a estrela “adentrou” no campo ótico da luneta,
acompanha-se a mesma apenas utilizando-se do parafuso de chamada
vertical (retículo médio). No instante que a estrela “cruzar” o retículo
vertical cessa o acompanhamento da estrela e lê-se a distância zenital,
pressão atmosférica e temperatura; e
▪ Repetir as duas últimas etapas para as demais estrelas até o término
dos grupos de estrelas.
Sequência de cálculos para a determinação da latitude
Para cada estrela observada realiza-se:
▪ Cálculo da refração astronômica → C][ T273,15
[mbar] P Z'tg16,27"R"
+= ;
▪ Interpolação da declinação da estrela para o instante da observação →
( ) 00 ΔδFHlδδ ++= .
Para cada par de estrelas realiza-se:
▪ Cálculo da latitude → 2
RR
2
zz
2
δδ NS
'
N
'
SNS −+
−+
+= .
Determinada a latitude a partir de cada par de estrelas de um grupo faz-se a
média e o desvio-padrão da latitude e, em seguida, faz-se a média e o
desvio-padrão da latitude dos grupos de estrelas.
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
138
Exercício resolvido 1
Elaborar um programa de observações para a determinação da latitude pelo
método de Sterneck em 15 de junho de 2011 em PP (φ0 = –22º 07’ e λ0 = –3h 25min), sendo
que se pretende iniciar as observações às 18h 30min legal.
Dados:
Tempo sideral médio em Greenwich a 0h TU no dia 15/06/2011 → S0 = 17h 31min 43,289s;
Figura 64 – Posições médias das estrelas, 2011.
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
139
1º Passo: Cálculo da hora sideral do início das observações
o ( ) 9261,00273790FHlλSS i00i +++= , onde:
• S0 = 17h 31min 43,289s;
• λ0 = -3h 25min;
• Hli = 18h 30min; e
• F = +3.
15,2s40min 11h S24h subtrai15,2s40min 35h S ii ==
2º Passo: Seleção inicial das estrelas
o Selecionam-se as estrelas cuja α > Si. Assim, as estrelas que podem ser selecionadas para
a elaboração do programa de observações é a partir da seguinte estrela:
nº Est. Nome Mag. α δ
439 OMICRON HYA 4.8 11h 40min 47,1s -34⁰ 48’ 30”
3º Passo: Determinação dos limites da declinação das estrelas
o Estrelas ao Sul do zênite: ( ) 07' 22δ07' 67δ45 S0S0
−−− ;
o Estrelas ao Norte do zênite: ( ) 53' 22δ07' 2245δ N0N0
−+ .
4º Passo: Escolha das estrelas do catálogo cujas declinações atendam os intervalos
determinados
nº Est. Nome Mag. α δ Az. (N/S)
439 OMICRON HYA 4.8 11h 40min 47,1s -34⁰ 48’ 30” S
1301 ZETA CRT 4.8 11h 45min 20,8s -18⁰ 24’ 53” N
442 LAMBDA MUS 3.7 11h 46min 09,4s -66⁰ 47’ 33” S
1302 NI VIR 4.1 11h 46min 26,9s +06⁰ 27’ 53” N
443 65 G. CEN 4.1 11h 47min 04,4s -61⁰ 14’ 32” S
1304 93 LEO 4.4 11h 48min 34,6s +20⁰ 09’ 18” N
444 BETA LEO 2.1 11h 49min 38,7s +14⁰ 30’ 28” N
445 BETA VIR 3.7 11h 51min 17,6s +01⁰ 41’ 59” N
446 B CEN 4.6 11h 51min 43,2s -45⁰ 14’ 15” S
1311 PI VIR 4.5 12h 01min 27,7s +06⁰ 33’ 01” N
450 OMICRON VIR 4.1 12h 05min 47,6s +08⁰ 40’ 09” N
452 DELTA CEN 2.8 12h 08min 57,5s -50⁰ 47’ 11” S
453 EPSILON CRV 3.1 12h 10min 43,0s -22⁰ 41’ 01” S
455 DELTA CRU 3.0 12h 15min 45,6s -58⁰ 48’ 46” S
457 GAMA CRV 2.7 12h 16min 23,9s -17⁰ 36’ 21” N
460 ETA VIR 4.0 12h 20min 29,6s -00⁰ 43’ 50” N
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
140
nº Est. Nome Mag. α δ Az. (N/S)
462 ALFA CRU A 1.5 12h 27min 14,8s -63⁰ 09’ 45” S
464 SIGMA CEN 4.1 12h 28min 39,9s -50⁰ 17’ 40” S
465 DELTA CRV 3.0 12h 30min 27,6s -16⁰ 34’ 46” N
468 GAMA CRU 1.5 12h 31min 48,6s -57⁰ 10’ 39” S
471 BETA CRV 2.7 12h 34min 59,5s -23⁰ 27’ 37” S
1323 23 COM 4.7 12h 35min 25,3s +22⁰ 33’ 57” N
475 CHI VIR 4.7 12h 39min 50,4s -08⁰ 03’ 32” N
481 BETA CRU 1.4 12h 48min 24,0s -59⁰ 45’ 05” S
482 150 G. CEN 4.2 12h 54min 04,6s -40⁰ 14’ 28” S
1335 PSI VIR 4.8 12h 54min 57,0s -09⁰ 36’ 04” N
484 DELTA VIR 3.6 12h 56min 10,9s +03⁰ 20’ 06” N
488 EPSILON VIR 3.0 13h 02min 44,9s +10⁰ 53’ 51” N
489 KSI2 CEN 4.3 13h 07min 35,1s -49⁰ 58’ 03” S
5º Passo: Cálculo das distâncias zenitais aproximadas
nº Est. Mag. α δ Z0 Az. (N/S)
439 4.8 11h 40min 47,1s -34⁰ 48’ 30” 12⁰ 41’ 30” S
1301 4.8 11h 45min 20,8s -18⁰ 24’ 53” 3⁰ 42’ 07” N
442 3.7 11h 46min 09,4s -66⁰ 47’ 33” 44⁰ 40’ 33” S
1302 4.1 11h 46min 26,9s +06⁰ 27’ 53” 28⁰ 34’ 53” N
443 4.1 11h 47min 04,4s -61⁰ 14’ 32” 39⁰ 07’ 32” S
1304 4.4 11h 48min 34,6s +20⁰ 09’ 18” 42⁰ 16’ 18” N
444 2.1 11h 49min 38,7s +14⁰ 30’ 28” 36⁰ 37’ 28” N
445 3.7 11h 51min 17,6s +01⁰ 41’ 59” 23⁰ 48’ 59” N
446 4.6 11h 51min 43,2s -45⁰ 14’ 15” 23⁰ 07’ 15” S
1311 4.5 12h 01min 27,7s +06⁰ 33’ 01” 28⁰ 40’ 01” N
450 4.1 12h 05min 47,6s +08⁰ 40’ 09” 30⁰ 47’ 09” N
452 2.8 12h 08min 57,5s -50⁰ 47’ 11” 28⁰ 40’ 11” S
453 3.1 12h 10min 43,0s -22⁰ 41’ 01” 0⁰ 34’ 01” S
455 3.0 12h 15min 45,6s -58⁰ 48’ 46” 36⁰ 41’ 46” S
457 2.7 12h 16min 23,9s -17⁰ 36’ 21” 4⁰ 30’ 39” N
460 4.0 12h 20min 29,6s -00⁰ 43’ 50” 21⁰ 23’ 10” N
462 1.5 12h 27min 14,8s -63⁰ 09’ 45” 41⁰ 02’ 45” S
464 4.1 12h 28min 39,9s -50⁰ 17’ 40” 28⁰ 10’ 40” S
465 3.0 12h 30min 27,6s -16⁰ 34’ 46” 5⁰ 32’ 14” N
468 1.5 12h 31min 48,6s -57⁰ 10’ 39” 35⁰ 03’ 39” S
471 2.7 12h 34min 59,5s -23⁰ 27’ 37” 1⁰ 20’ 37” S
1323 4.7 12h 35min 25,3s +22⁰ 33’ 57” 44⁰ 40’ 57” N
475 4.7 12h 39min 50,4s -08⁰ 03’ 32” 14⁰ 03’ 28” N
481 1.4 12h 48min 24,0s -59⁰ 45’ 05” 37⁰ 38’ 05” S
482 4.2 12h 54min 04,6s -40⁰ 14’ 28” 18⁰ 07’ 28” S
1335 4.8 12h 54min 57,0s -09⁰ 36’ 04” 12⁰ 30’ 56” N
484 3.6 12h 56min 10,9s +03⁰ 20’ 06” 25⁰ 27’ 06” N
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
141
nº Est. Mag. α δ Z0 Az. (N/S)
488 3.0 13h 02min 44,9s +10⁰ 53’ 51” 33⁰ 00’ 51” N
489 4.3 13h 07min 35,1s -49⁰ 58’ 03” 27⁰ 51’ 03” S
6º Passo: Formação dos pares de estrelas respeitando as restrições 2 e 3
nº Est. Mag. α δ Z0 Az. (N/S) Par
439 4.8 11h 40min 47,1s -34⁰ 48’ 30” 12⁰ 41’ 30” S 01
1301 4.8 11h 45min 20,8s -18⁰ 24’ 53” 3⁰ 42’ 07” N 01
442 3.7 11h 46min 09,4s -66⁰ 47’ 33” 44⁰ 40’ 33” S 02
1302 4.1 11h 46min 26,9s +06⁰ 27’ 53” 28⁰ 34’ 53” N 03
443 4.1 11h 47min 04,4s -61⁰ 14’ 32” 39⁰ 07’ 32” S 03
1304 4.4 11h 48min 34,6s +20⁰ 09’ 18” 42⁰ 16’ 18” N 02
444 2.1 11h 49min 38,7s +14⁰ 30’ 28” 36⁰ 37’ 28” N 04
445 3.7 11h 51min 17,6s +01⁰ 41’ 59” 23⁰ 48’ 59” N
446 4.6 11h 51min 43,2s -45⁰ 14’ 15” 23⁰ 07’ 15” S 04
1311 4.5 12h 01min 27,7s +06⁰ 33’ 01” 28⁰ 40’ 01” N 05
450 4.1 12h 05min 47,6s +08⁰ 40’ 09” 30⁰ 47’ 09” N 06
452 2.8 12h 08min 57,5s -50⁰ 47’ 11” 28⁰ 40’ 11” S 05
453 3.1 12h 10min 43,0s -22⁰ 41’ 01” 0⁰ 34’ 01” S 07
455 3.0 12h 15min 45,6s -58⁰ 48’ 46” 36⁰ 41’ 46” S 06
457 2.7 12h 16min 23,9s -17⁰ 36’ 21” 4⁰ 30’ 39” N 07
460 4.0 12h 20min 29,6s -00⁰ 43’ 50” 21⁰ 23’ 10” N 08
462 1.5 12h 27min 14,8s -63⁰ 09’ 45” 41⁰ 02’ 45” S
464 4.1 12h 28min 39,9s -50⁰ 17’ 40” 28⁰ 10’ 40” S 08
465 3.0 12h 30min 27,6s -16⁰ 34’ 46” 5⁰ 32’ 14” N 09
468 1.5 12h 31min 48,6s -57⁰ 10’ 39” 35⁰ 03’ 39” S 10
471 2.7 12h 34min 59,5s -23⁰ 27’ 37” 1⁰ 20’ 37” S 09
1323 4.7 12h 35min 25,3s +22⁰ 33’ 57” 44⁰ 40’ 57” N 10
475 4.7 12h 39min 50,4s -08⁰ 03’ 32” 14⁰ 03’ 28” N 11
481 1.4 12h 48min 24,0s -59⁰ 45’ 05” 37⁰ 38’ 05” S
482 4.2 12h 54min 04,6s -40⁰ 14’ 28” 18⁰ 07’ 28” S 11
1335 4.8 12h 54min 57,0s -09⁰ 36’ 04” 12⁰ 30’ 56” N
484 3.6 12h 56min 10,9s +03⁰ 20’ 06” 25⁰ 27’ 06” N 12
488 3.0 13h 02min 44,9s +10⁰ 53’ 51” 33⁰ 00’ 51” N
489 4.3 13h 07min 35,1s -49⁰ 58’ 03” 27⁰ 51’ 03” S 12
7º Passo: Determinação da diferença de horário entre o tempo sideral e o tempo legal
o 44,8s49min 6h 15,2s40min 11h 30min18h HlT i =−=−= iS , portanto em um
relógio piloto subtrai-se 6h 49min 45s da hora legal. Assim o relógio piloto estará
marcando a hora sideral aproximada.
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
142
8º Passo: Elaboração do programa de observações para o método de Sterneck
1º Grupo de Estrelas
nº Est. Mag. α Z0 Az. Par Z’ P T
439 4.8 11h 40min 47,1s 12⁰ 41’ 30” S 01
1301 4.8 11h 45min 20,8s 3⁰ 42’ 07” N 01
442 3.7 11h 46min 09,4s 44⁰ 40’ 33” S 02
1302 4.1 11h 46min 26,9s 28⁰ 34’ 53” N 03
443 4.1 11h 47min 04,4s 39⁰ 07’ 32” S 03
1304 4.4 11h 48min 34,6s 42⁰ 16’ 18” N 02
444 2.1 11h 49min 38,7s 36⁰ 37’ 28” N 04
446 4.6 11h 51min 43,2s 23⁰ 07’ 15” S 04
2º Grupo de Estrelas
nº Est. Mag. α Z0 Az. Par Z’ P T
1311 4.5 12h 01min 27,7s 28⁰ 40’ 01” N 01
450 4.1 12h 05min 47,6s 30⁰ 47’ 09” N 02
452 2.8 12h 08min 57,5s 28⁰ 40’ 11” S 01
453 3.1 12h 10min 43,0s 0⁰ 34’ 01” S 03
455 3.0 12h 15min 45,6s 36⁰ 41’ 46” S 02
457 2.7 12h 16min 23,9s 4⁰ 30’ 39” N 03
460 4.0 12h 20min 29,6s 21⁰ 23’ 10” N 04
464 4.1 12h 28min 39,9s 28⁰ 10’ 40” S 04
3º Grupo de Estrelas
nº Est. Mag. α Z0 Az. Par Z’ P T
465 3.0 12h 30min 27,6s 5⁰ 32’ 14” N 01
468 1.5 12h 31min 48,6s 35⁰ 03’ 39” S 02
471 2.7 12h 34min 59,5s 1⁰ 20’ 37” S 01
1323 4.7 12h 35min 25,3s 44⁰ 40’ 57” N 02
475 4.7 12h 39min 50,4s 14⁰ 03’ 28” N 03
482 4.2 12h 54min 04,6s 18⁰ 07’ 28” S 03
484 3.6 12h 56min 10,9s 25⁰ 27’ 06” N 04
489 4.3 13h 07min 35,1s 27⁰ 51’ 03” S 04
Exercício resolvido 2
Determinar a latitude pelo método de Sterneck com base nos seguintes
dados coletados em campo em PP (λ0 = –3h 25min 38s) para 15 de junho de 2011:
Grupo de Estrelas
nº Est. Mag. α Z0 Az. Par Z’ P T
1311 4.5 12h 01min 27,7s 28⁰ 40’ 01” N 01 28⁰ 39’ 41,4” 979 15
452 2.8 12h 08min 57,5s 28⁰ 40’ 11” S 01 28⁰ 39’ 37,2” 979 15
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
143
Tempo sideral médio em Greenwich a 0h TU no dia 15/06/2011 → S0 = 17h 31min 43,289s;
Figura 65 – Posições aparentes das estrelas 1311 e 452 no trânsito pelo meridiano de
Greenwich, 2009.
1º Passo: Cálculo da refração astronômica das estrelas
o Estrela 1311: =1311R"
o Estrela 452: =452R"
2º Passo: Interpolação da declinação das estrelas
o Estrela 1311:
• Conversão da hora sideral em legal:
F9261,00273790
λSSHl 0 −
−−=
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
144
=Hl
• Conversão da hora legal e em tempo universal:
=+= FHlTU
• Conversão do tempo universal em decimais do mês:
=+= dia24
TUTUd
• Interpolação da declinação:
VI 15,8d → 37,54" 33' 615,8
+=
VI 25,7d → 38,15" 33' 625,7
+= 0,61"9,9 =→ d
0,1109597d15,8dd15,910959715,8dTUΔTU d =−=−=
se
→
=→
x 0,1109597d
0,61"9,9 d x =
=+= xδδ 15,8
1311
15,9109597
o Estrela 452:
• Conversão da hora sideral em legal:
F9261,00273790
λSSHl 0 −
−−=
=Hl
• Conversão da hora legal e em tempo universal:
=+= FHlTU
• Conversão do tempo universal em decimais do mês:
=+= dia24
TUTUd
• Interpolação da declinação:
VI 15,8d → 51,99" 46' 5015,8
−=
VI 25,7d → 51,99" 46' 5025,7
−= 0,00"9,9 =→ d
0,1161515d15,8dd15,916151515,8dTUΔTU d =−=−=
se
→
=→
x 0,116155d
0,00"9,9 d =x
=+= xδδ 15,8
452
15,9161515
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
145
3º Passo: Cálculo da latitude
o Par de estrelas 1311-452: −
+−
++
=2
RR
2
zz
2
δδ NS
'
N
'
SNS
=
Observação 1: no exemplo foi observado apenas um par de estrelas. O correto é observar 3
grupos de estrelas, sendo cada grupo contendo 4 pares de estrelas, onde a latitude do ponto é
obtido a partir da média de todas as latitudes calculadas de cada par.
Observação 2: no exemplo foi utilizado as posições aparentes das estrelas referente ao ano de
2009, no entanto as observações foram realizadas em 2011.
13.2 Determinação da Longitude
Longitude astronômica de um lugar é o ângulo formado entre o plano do
meridiano astronômico deste lugar e o plano do meridiano astronômico médio de Greenwich,
medido sobre o plano do Equador.
Conforme já apresentado, a longitude de uma estação é dada por:
−=
−=
−=
−=
G
G
G
G
MMλ
VVλ
SSλ
HHλ
(159)
onde:
H – hora astronômica local;
HG – hora astronômica de Greenwich (no mesmo instante físico);
S – hora sideral local;
SG – hora sideral de Greenwich (no mesmo instante físico);
V – hora verdadeira local;
VG – hora verdadeira de Greenwich (no mesmo instante físico);
M – hora média local; e
MG – hora média de Greenwich (no mesmo instante físico).
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
146
13.2.1 Determinação da longitude pelo método da passagem meridiana
O astro na passagem meridiana superior possui ângulo horário nulo (H = 0h)
e na passagem meridiana inferior possui ângulo horário 12 horas (H = 12h). Com uso da
Fórmula Fundamental da Astronomia de Posição (S = H + α), tem-se que a hora sideral local
da passagem meridiana superior e inferior do astro será S = α e S = 12h + α, respectivamente.
Recordando, tem-se que o estado do cronômetro é dado por:
T H E −= (160)
onde:
H – Hora astronômica local referenciada a um sistema de tempo; e
T – Instante cronométrico.
E o estado de relativo do cronômetro dado por:
T H E GG −= (161)
onde:
HG – Hora astronômica de Greenwich referenciada a um sistema de tempo; e
T – Instante cronométrico.
Assim, no exato momento da passagem meridiana do astro, pode-se
substituir a hora astronômica local referenciada a um sistema de tempo (H) pela hora sideral
local (S), obtendo o seguinte estado do cronômetro (E) para a passagem meridiana superior
(Equação (162)) e inferior (Equação (163)):
T α TS E −=−= (162)
T α 12hTS E −+=−= (163)
Isolando H e HG das Equações (160) e (161), respectivamente, obtém-se:
T E H += e T E H GG += (164)
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
147
Substituindo as expressões da Equação (164) na fórmula da longitude
(Equação (159)), tem-se:
GGG EEλTETEλHHλ −=−−+=−= (165)
Ou seja, a longitude também pode ser determinada a partir da diferença
entre o estado absoluto (E) e o estado relativo (EG) do cronômetro.
Este método consiste em se obter o instante cronométrico (T) no exato
momento em que o astro passa pelo meridiano. Assim, o estado absoluto pode ser obtido pela
Equação (162) ou (163), e o estado relativo através de sinais horários.
O método requer o conhecimento do meridiano com precisão, o que
normalmente não acontece na Astronomia de Posição. O método da passagem meridiana
usualmente é utilizado na Astronomia Geodésica (Alta Precisão), mas, desejando-se
determinar a longitude por este método, deve-se minimizar a influência da má orientação do
aparelho observando grupos de estrelas, que são formados por um número igual de estrelas
que tenham passagem meridiana ao Sul e ao Norte do zênite.
13.2.2 Determinação da longitude pelo método das distâncias zenitais absolutas
Conforme visto no capítulo 10 (Circunstâncias Favoráveis às Determinações
Astronômicas), a circunstância favorável à determinação da longitude em função da distância
zenital do astro é que o mesmo esteja nas proximidades do primeiro vertical (A = 90º ou A =
270º).
Foi visto que pode-se obter a hora sideral calculando o ângulo horário do
astro e somando-o com a sua ascensão reta (S = H + α). O método de determinação da
longitude por distâncias zenitais absolutas consiste em medir a distância zenital do astro e
calcular o ângulo horário.
No mesmo instante em que se visa o astro para ler a distância zenital, faz-se
a cronometragem para se obter o instante cronométrico (T).
Aplicando a Fórmula dos Quatro Elementos no triângulo de posição tem-se
(ver dedução na página 114):
δ cos cos
δsen sen z cosH cos
−=
(166)
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
148
onde z é a distância zenital corrigida, φ a latitude da estação e δ a declinação interpolada da
estrela. Ressalta-se que as estrelas a leste do meridiano local possui ângulo horário negativo.
O cálculo da hora sideral local (S) é dada por: S = H + α, onde α é a
ascensão reta interpolada da estrela. Já a hora sideral de Greenwich é dada por:
( ) 91,00273790FHlSS 0G ++= (167)
Portanto, a longitude é calculada por:
GSSλ −= (168)
Lista de estrelas
Para a elaboração da lista de estrelas deve ser considerada a condição
δ , sendo que, para que a passagem pelo primeiro vertical se processa acima do
horizonte (seja visível), é necessário que φ e δ tenha o mesmo sinal. Além disso, faz-se
necessário o conhecimento aproximado das coordenadas da estação onde serão efetuadas as
observações, ou seja, latitude, longitude e o meridiano local.
Procedimento para a elaboração da lista de estrelas:
▪ Determinada a hora legal do início das observações (Hli), calcula-se a
hora sideral correspondente ao início das observações (Si):
( ) 9261,00273790FHlλSS i00i +++= (169)
onde S0 é o tempo sideral médio em Greenwich a 0h TU (fornecido
nas Efemérides Astronômicas);
▪ Com auxílio de um catálogo de estrelas, selecionam as estrelas que
atendam δ , sendo φ e δ com o mesmo sinal. Assim, calcula-se o
ângulo horário (H) das estrelas utilizando a seguinte Equação:
tg
δ tgH cos = (170)
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
149
A Equação (170) admite duas raízes (±H), sendo o sinal positivo
atribuído para a passagem a oeste (AW = 90º) e o sinal negativo para a
passagem a leste (AE = 270º), sendo que nesse caso deve-se somar
360º ou 24h ao valor de –H. Calculado os ângulos horários das
estrelas tanto para passagem a oeste quanto a leste do primeiro
vertical, determina-se a hora sideral local dessas passagens utilizando
a expressão S = H + α, sendo a ascensão reta da estrela contida no
catálogo;
▪ Calculadas a hora sideral do início das observações (Si) e as horas
siderais locais das passagens das estrelas pelo primeiro vertical (a
oeste e leste), verifica-se se as horas das passagens são superiores a
hora sideral de início. Caso algumas estrelas não atendam esse
critério, descarta-as;
▪ Calcula-se a distância zenital aproximada das estrelas (z0) a partir da
Equação (171), a qual utiliza a latitude aproximada do local e a
declinação da estrela contida no catálogo:
sen
δsen z cos 0 = (171)
▪ Ordenam-se as estrelas selecionadas pela hora sideral local;
▪ Calcula-se a hora legal correspondente a hora sideral através da
equação (172):
F9261,00273790
λSSHl 0 −
−−= (172)
Entretanto é mais prático e usual não calcular a hora legal
correspondente à sideral, mas sim calcular o quanto a hora sideral está
adiantada ou atrasada em relação à hora legal. Determinado a
diferença de horário entre o tempo sideral e o tempo legal (ΔT), em
um relógio auxiliar (relógio piloto) adianta-se ou atrasa-se desta
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
150
quantidade ΔT. Realizado essa operação, o relógio piloto estará
marcando, aproximadamente, o tempo sideral;
▪ Por fim, elabora-se uma tabela contendo todas as informações
necessárias para realizar as observações, bem como os espaços para
anotar os dados de campo (z’, P, T e os instantes cronométricos T1, T2,
T3, T4 e T5). Um exemplo de tabela que pode ser elaborada é
apresentada a seguir:
Tabela 5 – Programa de observações para a determinação da longitude pelo método das
distâncias zenitais absolutas.
Pressão Inicial:____ mbar Temp. Inicial:_____ºC
nº Est. Mag. Hl ou S Z0 Az. (E/W) T1 T2 T3 T4 T5 Z’
Pressão Final:____ mbar Temp. Final:_____ºC
Operações de campo
▪ Instala-se e nivela-se o teodolito sobre o ponto (deve-se realizar o
nivelamento com todo o cuidado possível, pois o erro devido ao mal
nivelamento do equipamento refletirá em um erro na determinação da
longitude de um valor igual ao do mal nivelamento);
▪ Determinação do Pz;
▪ Faz-se a orientação do teodolito, ou seja, faz com que o eixo de
colimação da luneta fique paralelo ao meridiano local. Este processo
de orientação é executado conforme segue: realiza-se a pontaria a um
alvo (mira) que se conheça o azimute e em seguida registra-se no
limbo horizontal do instrumento o valor desse azimute através do
parafuso reiterador, assim o teodolito está orientado;
▪ Montagem da ocular de cotovelo;
▪ Focalizar a luneta do teodolito em um ponto bem afastado;
▪ Sintoniza-se uma emissora que retransmita sinais horários e
determina-se o estado do cronômetro;
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
151
▪ Anota-se a pressão atmosférica e temperatura do início das
observações;
▪ Aproximadamente 3 minutos antes da passagem da estrela pelo
primeiro vertical (prevista no programa de observações), registram-se
no instrumento os elementos de calagem da estrela (azimute e
distância zenital aproximada). Ficar atento, pois a estrela deve estar no
campo ótico da luneta;
▪ Verificado que a estrela “adentrou” no campo ótico da luneta,
determina-se os instantes cronométricos em que a estrela cruza os
cinco fios (retículos) horizontais e anota-se a distância zenital;
▪ Repetir as duas últimas etapas para as demais estrelas até o término do
programa de observações; e
▪ Anota-se a pressão atmosférica e temperatura do final das
observações.
Sequência de cálculos para a determinação da longitude
Cálculo do Pz → 2
PIPD180Pz
+−= ;
Cálculo da pressão e temperatura média → 2
PPP fi += e
2
TTT fi +=
Para cada estrela observada realiza-se:
▪ Cálculo da refração astronômica → C][ T273,15
[mbar] P Z'tg16,27"R"
+= ;
▪ Cálculo da distância zenital corrigida → RPz Z'Z ++= ;
▪ Cálculo da hora legal → 5
TTTTTHl 54321 ++++
= ;
▪ Interpolação da declinação da estrela para o instante da observação →
( ) 00 ΔδFHlδδ ++= ;
▪ Interpolação da ascensão reta da estrela para o instante da observação
→ ( ) 00 ΔαFHlαα ++= ;
▪ Cálculo do ângulo horário da estrela → δ cos cos
δsen sen z cosH cos
−=
;
▪ Cálculo da hora sideral local → αHS += ;
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
152
▪ Cálculo da hora sideral de Green → ( ) 91,00273790FHlSS 0G ++= ;
▪ Cálculo da longitude → GS Sλ −= ;
Determinada a longitude a partir de cada estrela, faz-se a média e o desvio-
padrão da longitude.
Exercício resolvido 1
Elaborar um programa de observações para a determinação da longitude
pelo método das distâncias zenitais absolutas em 28 de setembro de 2011 em PP (φ0 = –22º
07’ e λ0 = –3h 25min), sendo que se pretende iniciar as observações às 18h 30min legal.
Dados:
Tempo sideral médio em Greenwich a 0h TU no dia 28/09/2011 → S0 = 0h 25min 41,602s;
Figura 66 – Posições médias das estrelas, 2011.
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
153
1º Passo: Cálculo da hora sideral do início das observações
o ( ) 9261,00273790FHlλSS i00i +++= , onde:
• S0 = 0h 25min 41,602s;
• λ0 = -3h 25min;
• Hli = 18h 30min; e
• F = +3.
13,52s34min 18h Si =
2º Passo: Seleção inicial das estrelas
o Selecionam-se as estrelas cuja δ , φ e δ com o mesmo sinal, onde φ = -22º 07’.
nº Est. Nome Mag. α δ
1630 30 PSC 4.6 0h 02min 32,9s -05º 57’ 01”
1002 33 PSC 4.6 0h 05min 55,4s -05º 38’ 36”
9 IOTA CET 3.7 0h 20min 00,7s -08º 45’ 37”
1022 20 CET 4.8 0h 53min 35,7s -01º 04’ 55”
501 ZETA VIR 3.3 13h 35min 16,7s -00º 39’ 16”
525 IOTA VIR 4.1 14h 16min 37,1s -06º 03’ 17”
545 MI VIR 4.0 14h 43min 40,0s -05º 42’ 28”
1394 DELTA LIB 4.8 15h 01min 35,2s -08º 33’ 50”
577 GAMA LIB 4.0 15h 36min 10,2s -14º 49’ 38”
1417 48 LIB 4.6 15h 58min 50,0s -14º 18’ 43”
1463 58 OPH 4.8 17h 44min 07,1s -21º 41’ 17”
682 MI SGR 4.0 18h 14min 27,0s -21º 03’ 18”
710 KSI2 SGR 3.5 18h 58min 24,8s -21º 05’ 26”
1561 IOTA CAP 4.2 21h 22min 53,0s -16º 47’ 06”
812 GAMA CAP 3.7 21h 40min 43,5s -16º 36’ 36”
819 DELTA CAP 3.0 21h 47min 40,3s -16º 04’ 29”
828 IOTA AQR 4.3 22h 07min 03,3s -13º 48’ 49”
861 TAU AQR 4.1 22h 50min 11,9s -13º 31’ 54”
866 DELTA AQR 3.4 22h 55min 15,5s -15º 45’ 34”
1608 PSI1 AQR 4.4 23h 16min 29,5s -09º 01’ 30”
o Cálculo do ângulo horário das estrelas: tg
δ tgH cos = → +H (AW = 90º) e –H (AE = 270º)
nº Est. Mag. α δ +H (AW=90º) -H (AE=270º)
1630 4.6 0h 02min 32,9s -05º 57’ 01” 5h 00min 33,49s 18h 59min 26,51s
1002 4.6 0h 05min 55,4s -05º 38’ 36” 5h 03min 42,62s 18h 56min 17,38s
9 3.7 0h 20min 00,7s -08º 45’ 37” 4h 30min 52,07s 19h 29min 07,93s
1022 4.8 0h 53min 35,7s -01º 04’ 55” 5h 49min 20,75s 18h 10min 39,25s
501 3.3 13h 35min 16,7s -00º 39’ 16” 5h 53min 33,45s 18h 06min 26,55s
525 4.1 14h 16min 37,1s -06º 03’ 17” 4h 59min 28,93s 19h 00min 31,07s
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
154
nº Est. Mag. α δ +H (AW=90º) -H (AE=270º)
545 4.0 14h 43min 40,0s -05º 42’ 28” 5h 03min 02,99s 18h 56min 57,01s
1394 4.8 15h 01min 35,2s -08º 33’ 50” 4h 33min 00,08s 19h 26min 59,92s
577 4.0 15h 36min 10,2s -14º 49’ 38” 3h 17min 24,98s 20h 42min 35,02s
1417 4.6 15h 58min 50,0s -14º 18’ 43” 3h 24min 27,62s 20h 35min 32,38s
1463 4.8 17h 44min 07,1s -21º 41’ 17” 0h 47min 28,78s 23h 12min 31,22s
682 4.0 18h 14min 27,0s -21º 03’ 18” 1h 14min 45,61s 22h 45min 14,39s
710 3.5 18h 58min 24,8s -21º 05’ 26” 1h 13min 29,74s 22h 46min 30,26s
1561 4.2 21h 22min 53,0s -16º 47’ 06” 2h 48min 19,18s 21h 11min 40,82s
812 3.7 21h 40min 43,5s -16º 36’ 36” 2h 51min 06,14s 21h 08min 53,86s
819 3.0 21h 47min 40,3s -16º 04’ 29” 2h 59min 22,08s 21h 00min 37,92s
828 4.3 22h 07min 03,3s -13º 48’ 49” 3h 31min 04,85s 20h 28min 55,15s
861 4.1 22h 50min 11,9s -13º 31’ 54” 3h 34min 45,01s 20h 25min 14,99s
866 3.4 22h 55min 15,5s -15º 45’ 34” 3h 04min 04,69s 20h 55min 55,31s
1608 4.4 23h 16min 29,5s -09º 01’ 30” 4h 27min 58,53s 19h 32min 01,47s
o Calculo da hora sideral das estrelas: αHS += → SW (AW = 90º) e SE (AE = 270º)
nº Est. Mag. α δ SW (AW=90º) SE (AE=270º)
1630 4.6 0h 02min 32,9s -05º 57’ 01” 5h 03min 06,39s 19h 01min 59,41s
1002 4.6 0h 05min 55,4s -05º 38’ 36” 5h 09min 38,02s 19h 02min 12,78s
9 3.7 0h 20min 00,7s -08º 45’ 37” 4h 50min 52,77s 19h 49min 08,63s
1022 4.8 0h 53min 35,7s -01º 04’ 55” 6h 42min 56,45s 19h 04min 14,95s
501 3.3 13h 35min 16,7s -00º 39’ 16” 19h 28min 50,15s 7h 41min 43,25s
525 4.1 14h 16min 37,1s -06º 03’ 17” 19h 16min 06,03s 9h 17min 08,17s
545 4.0 14h 43min 40,0s -05º 42’ 28” 19h 46min 42,99s 9h 40min 37,01s
1394 4.8 15h 01min 35,2s -08º 33’ 50” 19h 34min 35,28s 10h 28min 35,12s
577 4.0 15h 36min 10,2s -14º 49’ 38” 18h 53min 35,18s 12h 18min 45,22s
1417 4.6 15h 58min 50,0s -14º 18’ 43” 19h 23min 17,62s 12h 34min 22,38s
1463 4.8 17h 44min 07,1s -21º 41’ 17” 18h 31min 35,88s 16h 56min 38,32s
682 4.0 18h 14min 27,0s -21º 03’ 18” 19h 29min 12,61s 16h 59min 41,39s
710 3.5 18h 58min 24,8s -21º 05’ 26” 20h 11min 54,54s 17h 44min 55,06s
1561 4.2 21h 22min 53,0s -16º 47’ 06” 0h 11min 12,18s 18h 34min 33,82s
812 3.7 21h 40min 43,5s -16º 36’ 36” 0h 31min 49,64s 18h 49min 37,36s
819 3.0 21h 47min 40,3s -16º 04’ 29” 0h 47min 02,38s 18h 48min 18,22s
828 4.3 22h 07min 03,3s -13º 48’ 49” 1h 38min 08,15s 18h 35min 58,45s
861 4.1 22h 50min 11,9s -13º 31’ 54” 2h 24min 56,91s 19h 15min 26,09s
866 3.4 22h 55min 15,5s -15º 45’ 34” 1h 59min 20,19s 19h 51min 10,81s
1608 4.4 23h 16min 29,5s -09º 01’ 30” 3h 44min 28,03s 18h 48min 30,97s
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
155
3º Passo: Comparação da hora sideral de início e as horas siderais das passagens
o Descarta as passagens cuja hora sideral é inferior a 13,52s34min 18h Si = (destacada em
vermelho).
nº Est. Mag. α δ SW (AW=90º) SE (AE=270º)
1630 4.6 0h 02min 32,9s -05º 57’ 01” 5h 03min 06,39s 19h 01min 59,41s
1002 4.6 0h 05min 55,4s -05º 38’ 36” 5h 09min 38,02s 19h 02min 12,78s
9 3.7 0h 20min 00,7s -08º 45’ 37” 4h 50min 52,77s 19h 49min 08,63s
1022 4.8 0h 53min 35,7s -01º 04’ 55” 6h 42min 56,45s 19h 04min 14,95s
501 3.3 13h 35min 16,7s -00º 39’ 16” 19h 28min 50,15s 7h 41min 43,25s
525 4.1 14h 16min 37,1s -06º 03’ 17” 19h 16min 06,03s 9h 17min 08,17s
545 4.0 14h 43min 40,0s -05º 42’ 28” 19h 46min 42,99s 9h 40min 37,01s
1394 4.8 15h 01min 35,2s -08º 33’ 50” 19h 34min 35,28s 10h 28min 35,12s
577 4.0 15h 36min 10,2s -14º 49’ 38” 18h 53min 35,18s 12h 18min 45,22s
1417 4.6 15h 58min 50,0s -14º 18’ 43” 19h 23min 17,62s 12h 34min 22,38s
1463 4.8 17h 44min 07,1s -21º 41’ 17” 18h 31min 35,88s 16h 56min 38,32s
682 4.0 18h 14min 27,0s -21º 03’ 18” 19h 29min 12,61s 16h 59min 41,39s
710 3.5 18h 58min 24,8s -21º 05’ 26” 20h 11min 54,54s 17h 44min 55,06s
1561 4.2 21h 22min 53,0s -16º 47’ 06” 0h 11min 12,18s 18h 34min 33,82s
812 3.7 21h 40min 43,5s -16º 36’ 36” 0h 31min 49,64s 18h 49min 37,36s
819 3.0 21h 47min 40,3s -16º 04’ 29” 0h 47min 02,38s 18h 48min 18,22s
828 4.3 22h 07min 03,3s -13º 48’ 49” 1h 38min 08,15s 18h 35min 58,45s
861 4.1 22h 50min 11,9s -13º 31’ 54” 2h 24min 56,91s 19h 15min 26,09s
866 3.4 22h 55min 15,5s -15º 45’ 34” 1h 59min 20,19s 19h 51min 10,81s
1608 4.4 23h 16min 29,5s -09º 01’ 30” 3h 44min 28,03s 18h 48min 30,97s
4º Passo: Cálculo da distância zenital aproximada das estrelas
o sen
δsen z cos 0 = , onde φ = -22º 07’.
nº Est. Mag. α δ SW (AW=90º) SE (AE=270º) Z0
1630 4.6 0h 02min 32,9s -05º 57’ 01” 19h 01min 59,41s 74º 01’ 02,91”
1002 4.6 0h 05min 55,4s -05º 38’ 36” 19h 02min 12,78s 74º 51’ 34,01”
9 3.7 0h 20min 00,7s -08º 45’ 37” 19h 49min 08,63s 66º 08’ 19,36”
1022 4.8 0h 53min 35,7s -01º 04’ 55” 19h 04min 14,95s 87º 07’ 30,82”
501 3.3 13h 35min 16,7s -00º 39’ 16” 19h 28min 50,15s 88º 15’ 41,44”
525 4.1 14h 16min 37,1s -06º 03’ 17” 19h 16min 06,03s 73º 43’ 49,01”
545 4.0 14h 43min 40,0s -05º 42’ 28” 19h 46min 42,99s 74º 40’ 58,50”
1394 4.8 15h 01min 35,2s -08º 33’ 50” 19h 34min 35,28s 66º 42’ 04,93”
577 4.0 15h 36min 10,2s -14º 49’ 38” 18h 53min 35,18s 47º 10’ 45,57”
1417 4.6 15h 58min 50,0s -14º 18’ 43” 19h 23min 17,62s 48º 57’ 35,58”
1463 4.8 17h 44min 07,1s -21º 41’ 17” 18h 31min 35,88s 11º 01’ 07,30”
682 4.0 18h 14min 27,0s -21º 03’ 18” 19h 29min 12,61s 17º 24’ 02,89”
710 3.5 18h 58min 24,8s -21º 05’ 26” 20h 11min 54,54s 17º 06’ 13,21”
1561 4.2 21h 22min 53,0s -16º 47’ 06” 18h 34min 33,82s 39º 54’ 44,18”
812 3.7 21h 40min 43,5s -16º 36’ 36” 18h 49min 37,36s 40º 36’ 04,45”
819 3.0 21h 47min 40,3s -16º 04’ 29” 18h 48min 18,22s 42º 39’ 18,37”
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
156
nº Est. Mag. α δ SW (AW=90º) SE (AE=270º) Z0
828 4.3 22h 07min 03,3s -13º 48’ 49” 18h 35min 58,45s 50º 38’ 27,37”
861 4.1 22h 50min 11,9s -13º 31’ 54” 19h 15min 26,09s 51º 34’ 32,97”
866 3.4 22h 55min 15,5s -15º 45’ 34” 19h 51min 10,81s 43º 49’ 50,10”
1608 4.4 23h 16min 29,5s -09º 01’ 30” 18h 48min 30,97s 65º 22’ 36,67”
5º Passo: Ordenação das estrelas selecionadas pela hora sideral local
nº Est. Mag. α δ SW (AW=90º) SE (AE=270º) Z0
1463 4.8 17h 44min 07,1s -21º 41’ 17” 18h 31min 35,88s 11º 01’ 07,30”
1561 4.2 21h 22min 53,0s -16º 47’ 06” 18h 34min 33,82s 39º 54’ 44,18”
828 4.3 22h 07min 03,3s -13º 48’ 49” 18h 35min 58,45s 50º 38’ 27,37”
819 3.0 21h 47min 40,3s -16º 04’ 29” 18h 48min 18,22s 42º 39’ 18,37”
1608 4.4 23h 16min 29,5s -09º 01’ 30” 18h 48min 30,97s 65º 22’ 36,67”
812 3.7 21h 40min 43,5s -16º 36’ 36” 18h 49min 37,36s 40º 36’ 04,45”
577 4.0 15h 36min 10,2s -14º 49’ 38” 18h 53min 35,18s 47º 10’ 45,57”
1630 4.6 0h 02min 32,9s -05º 57’ 01” 19h 01min 59,41s 74º 01’ 02,91”
1002 4.6 0h 05min 55,4s -05º 38’ 36” 19h 02min 12,78s 74º 51’ 34,01”
1022 4.8 0h 53min 35,7s -01º 04’ 55” 19h 04min 14,95s 87º 07’ 30,82”
861 4.1 22h 50min 11,9s -13º 31’ 54” 19h 15min 26,09s 51º 34’ 32,97”
525 4.1 14h 16min 37,1s -06º 03’ 17” 19h 16min 06,03s 73º 43’ 49,01”
1417 4.6 15h 58min 50,0s -14º 18’ 43” 19h 23min 17,62s 48º 57’ 35,58”
501 3.3 13h 35min 16,7s -00º 39’ 16” 19h 28min 50,15s 88º 15’ 41,44”
682 4.0 18h 14min 27,0s -21º 03’ 18” 19h 29min 12,61s 17º 24’ 02,89”
1394 4.8 15h 01min 35,2s -08º 33’ 50” 19h 34min 35,28s 66º 42’ 04,93”
545 4.0 14h 43min 40,0s -05º 42’ 28” 19h 46min 42,99s 74º 40’ 58,50”
9 3.7 0h 20min 00,7s -08º 45’ 37” 19h 49min 08,63s 66º 08’ 19,36”
866 3.4 22h 55min 15,5s -15º 45’ 34” 19h 51min 10,81s 43º 49’ 50,10”
710 3.5 18h 58min 24,8s -21º 05’ 26” 20h 11min 54,54s 17º 06’ 13,21”
6º Passo: Determinação da diferença de horário entre o tempo sideral e o tempo legal
o 13,52s4min 13,52s34min 18h 30min18h HlT i −=−=−= iS , portanto em um relógio
piloto soma-se 4min 13,52s da hora legal. Assim o relógio piloto estará marcando a hora
sideral aproximada.
7º Passo: Elaboração do programa de observações
Pressão Inicial:____ mbar Temp. Inicial:_____ºC
nº Est. Mag. S Z0 Az. T1 T2 T3 T4 T5 Z’ 1463 4.8 18h 31min 35,88s 11º 01’ 07,30” 90º 1561 4.2 18h 34min 33,82s 39º 54’ 44,18” 270º 828 4.3 18h 35min 58,45s 50º 38’ 27,37” 270º 819 3.0 18h 48min 18,22s 42º 39’ 18,37” 270º
1608 4.4 18h 48min 30,97s 65º 22’ 36,67” 270º 812 3.7 18h 49min 37,36s 40º 36’ 04,45” 270º
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
157
nº Est. Mag. S Z0 Az. T1 T2 T3 T4 T5 Z’ 577 4.0 18h 53min 35,18s 47º 10’ 45,57” 90º 1630 4.6 19h 01min 59,41s 74º 01’ 02,91” 270º 1002 4.6 19h 02min 12,78s 74º 51’ 34,01” 270º 1022 4.8 19h 04min 14,95s 87º 07’ 30,82” 270º 861 4.1 19h 15min 26,09s 51º 34’ 32,97” 270º 525 4.1 19h 16min 06,03s 73º 43’ 49,01” 90º
1417 4.6 19h 23min 17,62s 48º 57’ 35,58” 90º 501 3.3 19h 28min 50,15s 88º 15’ 41,44” 90º 682 4.0 19h 29min 12,61s 17º 24’ 02,89” 90º 1394 4.8 19h 34min 35,28s 66º 42’ 04,93” 90º 545 4.0 19h 46min 42,99s 74º 40’ 58,50” 90º
9 3.7 19h 49min 08,63s 66º 08’ 19,36” 270º 866 3.4 19h 51min 10,81s 43º 49’ 50,10” 270º 710 3.5 20h 11min 54,54s 17º 06’ 13,21” 90º
Pressão Final:____ mbar Temp. Final:_____ºC
Exercício resolvido 2
Determinar a longitude pelo método das distâncias zenitais absolutas com
base nos seguintes dados coletados em campo em PP (φ0 = –22º 07’ 18”) para 28 de setembro
de 2009, sendo o Pz = 1,38”:
Pressão Inicial: 968,5 mbar Temp. Inicial: 22ºC
nº Est. Mag. S Z0 Az. T1 hh:mm:ss T2 T3 T4 T5 Z’ º:‘:“
1463 4.8 18h 31min 35,88s 11º 01’ 07,30” 90º
1561 4.2 18h 34min 33,82s 39º 54’ 44,18” 270º
828 4.3 18h 35min 58,45s 50º 38’ 27,37” 270º
819 3.0 18h 48min 18,22s 42º 39’ 18,37” 270º
1608 4.4 18h 48min 30,97s 65º 22’ 36,67” 270º
812 3.7 18h 49min 37,36s 40º 36’ 04,45” 270º
577 4.0 18h 53min 35,18s 47º 10’ 45,57” 90º 18:54:05 18:54:22 18:54:40 18:54:56 18:55:14 48:14:34,1
1630 4.6 19h 01min 59,41s 74º 01’ 02,91” 270º
1002 4.6 19h 02min 12,78s 74º 51’ 34,01” 270º
1022 4.8 19h 04min 14,95s 87º 07’ 30,82” 270º
861 4.1 19h 15min 26,09s 51º 34’ 32,97” 270º 19:17:32 19:17:48 19:18:05 19:18:22 19:18:40 50:05:45
525 4.1 19h 16min 06,03s 73º 43’ 49,01” 90º
1417 4.6 19h 23min 17,62s 48º 57’ 35,58” 90º
501 3.3 19h 28min 50,15s 88º 15’ 41,44” 90º
682 4.0 19h 29min 12,61s 17º 24’ 02,89” 90º 19:28:41 19:28:59 19:29:16 19:29:33 19:29:50 18:16:10,9
1394 4.8 19h 34min 35,28s 66º 42’ 04,93” 90º
545 4.0 19h 46min 42,99s 74º 40’ 58,50” 90º
9 3.7 19h 49min 08,63s 66º 08’ 19,36” 270º
866 3.4 19h 51min 10,81s 43º 49’ 50,10” 270º 19:51:47 19:52:05 19:52:21 19:52:39 19:52:56 42:40:14,9
710 3.5 20h 11min 54,54s 17º 06’ 13,21” 90º
Pressão Final: 965 mbar Temp. Final: 26ºC
Tempo sideral médio em Greenwich a 0h TU no dia 28/09/2011 → S0 = 0h 25min 41,602s;
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
158
Figura 67 – Posições aparentes das estrelas 577, 682, 861 e 866 no trânsito pelo meridiano de
Greenwich, 2009.
1º Passo: Cálculo do Pz
o 1,38"Pz =
2º Passo: Cálculo da pressão e temperatura média
o =+
=2
PPP fi
o =+
=2
TTT fi
3º Passo: Cálculo da refração astronômica das estrelas
o Estrela 577: =577R"
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
159
o Estrela 861: =861R"
o Estrela 682: =682R"
o Estrela 866: =866R"
4º Passo: Cálculo da distância zenital corrigida das estrelas
o Estrela 577: =++= 577577577 R"Pz Z'Z
o Estrela 861: =++= 861861861 R"Pz Z'Z
o Estrela 682: =++= 682682682 R"Pz Z'Z
o Estrela 866: =++= 866866866 R"Pz Z'Z
4º Passo: Cálculo da hora legal das estrelas
o Estrela 577: =++++
=5
TTTTTHl 54321
577
o Estrela 861: =++++
=5
TTTTTHl 54321
861
o Estrela 682: =++++
=5
TTTTTHl 54321
682
o Estrela 866: =++++
=5
TTTTTHl 54321
866
5º Passo: Interpolação da declinação das estrelas
o Estrela 577:
• Conversão da hora legal e em tempo universal:
=+= FHlTU
• Conversão do tempo universal em decimais do mês:
=+= dia24
TUTUd
• Interpolação da declinação:
IX 23,6d → 20,60" 49' 14δ23,6
−=
X 3,6d → 20,30" 49' 14δ3,6
−= 0,30"Δδ10d =→
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
160
5,312956d23,6dd28,912956023,6dTUΔTU d =−=−=
se
→
=→
x 5,312956d
0,30"Δδ10d =x
=+= xδδ 23,6
577
28,9129560
o Estrela 861:
• Conversão da hora legal e em tempo universal:
=+= FHlTU
• Conversão do tempo universal em decimais do mês:
=+= dia24
TUTUd
• Interpolação da declinação:
IX 23,6d → 17,08" 32' 13δ23,6
−=
X 3,6d → 17,55" 32' 13δ3,6
−= 0,47"Δδ10d −=→
5,3292291d23,6dd28,929229123,6dTUΔTU d =−=−=
se
→
−=→
x 5,3292291d
0,47"Δδ10d x =
=+= xδδ 23,6
861
28,9292291
o Estrela 682:
• Conversão da hora legal e em tempo universal:
=+= FHlTU
• Conversão do tempo universal em decimais do mês:
=+= dia24
TUTUd
• Interpolação da declinação:
IX 23,6d → 23,38" 03' 21δ23,6
−=
X 3,6d → 23,34" 03' 21δ3,6
−= 0,04"Δδ10d =→
5,3369884d23,6dd28,936988423,6dTUΔTU d =−=−=
se
→
=→
x 5,3369884d
0,04"Δδ10d x =
=+= xδδ 23,6
682
28,9369884
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
161
o Estrela 866:
• Conversão da hora legal e em tempo universal:
=+= FHlTU
• Conversão do tempo universal em decimais do mês:
=+= dia24
TUTUd
• Interpolação da declinação:
IX 23,6d → 57,41" 45' 15δ23,6
−=
X 3,6d → 58,01" 45' 15δ3,6
−= 0,60"Δδ10d −=→
5,3530277d23,6dd28,953027723,6dTUΔTU d =−=−=
se
→
−=→
x 5,3530277d
0,60"Δδ10d x =
=+= xδδ 23,6
866
28,9530277
6º Passo: Interpolação da ascensão reta das estrelas
o Estrela 577:
• Interpolação da ascensão reta:
IX 23,6d → 04,387s36min 15h α23,6 =
X 3,6d → 04,276s36min 15h α3,6 = 0,111sΔα10d −=→
5,312956dΔTU=
se
→
−=→
x 5,312956d
0,111sΔα10d x =
=+= xαα 23,6
577
28,9129560
o Estrela 861:
• Interpolação da ascensão reta:
IX 23,6d → 08,509s50min 22h α23,6 =
X 3,6d → 08,477s50min 22h α3,6 = 0,032"Δα10d −=→
5,3292291dΔTU=
se
→
−=→
x 5,3292291d
0,032sΔα10d x =
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
162
=+= xαα 23,6
861
28,9292291
o Estrela 682:
• Interpolação da ascensão reta:
IX 23,6d → 21,768s14min 18h α23,6 =
X 3,6d → 21,592s14min 18h α3,6 = 0,176sΔα10d −=→
5,3369884dΔTU=
se
→
−=→
x 5,3369884d
0,176sΔα10d =x
=+= xαα 23,6
682
28,9369884
o Estrela 866:
• Interpolação da ascensão reta:
IX 23,6d → 12,118s55min 22h α23,6 =
X 3,6d → 12,090s55min 22h α3,6 = 0,028sΔα10d −=→
5,3530277dΔTU=
se
→
−=→
x 5,3530277d
0,028sΔα10d x =
=+= xαα 23,6
866
28,9530277
7º Passo: Cálculo do ângulo horário das estrelas (considerando φ = –22º 07’ 18”)
o Estrela 577 (oeste → +H):
( ) ( )( ) ( )20,44" 49' 14cos18" 07' 22cos
20,44" 49' 14sen18" 07' 22sen34,77" 15' 48 cos
δ cos cos
δsen sen ZcosH cos
577
577577577
−−
−−−=
−=
=577H cos
o Estrela 861 (leste → -H):
( ) ( )( ) ( )17,33" 32' 13cos18" 07' 22cos
17,33" 32' 13sen18" 07' 22sen49,68" 06' 50 cos
δ cos cos
δsen sen ZcosH cos
861
861861861
−−
−−−=
−=
=861H cos
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
163
o Estrela 682 (oeste → +H):
( ) ( )( ) ( )23,36" 03' 21cos18" 07' 22cos
23,36" 03' 21sen18" 07' 22sen29,75" 16' 18 cos
δ cos cos
δsen sen ZcosH cos
682
682682682
−−
−−−=
−=
=682H cos
o Estrela 866 (leste → -H):
( ) ( )( ) ( )57,73" 45' 15cos18" 07' 22cos
57,73" 45' 15sen18" 07' 22sen05,07" 41' 42 cos
δ cos cos
δsen sen ZcosH cos
866
866866866
−−
−−−=
−=
=866H cos
8º Passo: Cálculo da hora sideral local das estrelas
o Estrela 577:
=+= 577577577 αHS
o Estrela 861:
=+= 861861861 αHS
o Estrela 682:
=+= 682682682 αHS
o Estrela 866:
=+= 866866866 αHS
9º Passo: Cálculo da hora sideral de Greenwich
o Estrela 577:
( ) 91,00273790FHlSS 5770
577
G ++=
=577
GS
o Estrela 861:
( ) 91,00273790FHlSS 8610
861
G ++=
=861
GS
o Estrela 682:
( ) 91,00273790FHlSS 6820
682
G ++=
=682
GS
o Estrela 866:
( ) 91,00273790FHlSS 8660
866
G ++=
=866
GS
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
164
10º Passo: Cálculo da longitude
o Estrela 577:
=−= 577
G577577 S Sλ
o Estrela 861:
=−= 861
G861861 S Sλ
o Estrela 682:
=−= 682
G682682 S Sλ
o Estrela 866:
=−= 866
G866866 S Sλ
λm =
13.2.3 Determinação da longitude pelo método das alturas iguais de uma estrela
Este método consiste em cronometrar os instantes das passagens de uma
mesma estrela pelo mesmo almicantarado (círculo de igual altura). São anotados os instantes
cronométricos TE e T’W em que a estrela passa pelo almicantarado a leste e a oeste do
meridiano do lugar. A Figura 68 ilustra o conceito do método.
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
165
Figura 68 – Determinada da longitude pelo método das alturas iguais de uma mesma estrela.
O instante cronométrico TW (instante cronométrico da estrela a oeste do
meridiano do lugar corrigido da marcha do cronômetro m) é obtido por:
( )E
'
W
'
WW TTmTT −+= (173)
A partir da equação (162), sabe-se que:
+=
+=+=−=
ETS
ETS ETSTS E
WW
EE (174)
E pela Fórmula Fundamental da Astronomia de Posição tem-se:
+=
−=+=
WW
EE
HαS
HαS Hα S (175)
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
166
Assim, igualando as expressões obtêm-se:
WW
EE
HαET
HαET
+=+
−=+ (176)
Somando-se as expressões da equação (176) e considerando que os ângulos
horários da estrela a leste e a oeste do meridiano, em módulo, possuem o mesmo valor
( WE HH = ), tem-se:
( ) ( )WEWEWEWE TT2
1αETT2α2EHH2α2ETT +−=+−=+−=++ (177)
Obtido o estado absoluto (E), determina-se o estado relativo (EG) do
cronômetro através de sinais horários. Assim a longitude do lugar é dada por:
GEEλ −= (178)
Este método é, teoricamente, o mais preciso na determinação da longitude,
pois para determinar o estado absoluto (E) não é necessário o conhecimento da latitude da
estação e nem o valor da declinação e ascensão reta da estrela. O método apenas obriga que o
astro seja observado a leste e a oeste do meridiano na mesma altura (ou mesma distância
zenital).
Na prática o processo apresenta o inconveniente decorrente do longo espaço
de tempo entre as duas observações. Durante esse tempo as condições atmosféricas podem
sofrer alterações, bem como o instrumento pode sofrer intempéries de várias causas.
13.2.4 Determinação da longitude pelo método de Zinger
Para eliminar o inconveniente do método das alturas iguais de uma estrela,
Zinger em 1874 apresentou a solução: “observar duas estrelas em suas passagens pelo mesmo
almicantarado quase ao mesmo tempo, com diferença de alguns minutos, sendo uma a leste e
outra a oeste do meridiano, e também que estas estrelas devem estar o mais próximo possível
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
167
do primeiro vertical”. Nas passagens das estrelas pelo almicantarado fazem-se as
cronometragens.
Para que se possa observar as duas estrelas é necessário a elaboração de um
programa de observações, sendo que este programa somente é possível se possuir um catálogo
de pares de estrelas (Catálogo de Zinger).
O cálculo do estado absoluto (E) é apresentado a seguir:
( ) ( )2
TTm
2
TTcaE EWWE −
−+
−+= (179)
onde:
2
ααa WE += (180)
−=
γtg
b tg
sen γ
tg
15
βc
(181)
2
δδβ WE −= (182)
2
δδb WE += (183)
2
TTmα
2
TTγ EWWE −
−−−
= (184)
2
ααα WE −= (185)
Assim:
GEEλ −= (186)
Lista de estrelas
Para a elaboração do programa utiliza-se do catálogo de Zinger (este
catálogo contém os pares de estrelas que passam pelo mesmo almicantarado próximo ao
primeiro vertical, conforme a exigência do método). Para as latitudes do Brasil, o Prof. Allyro
Hugueney de Mattos elaborou um catálogo de estrelas que passam pelo primeiro vertical
quase ao mesmo tempo. De posse deste catálogo, a elaboração do programa consiste apenas
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
168
em atualizar os elementos de calagem das estrelas para a latitude na qual vai ser determinada
a longitude.
Para elaborar o programa fixa-se a hora legal aproximada em que pretende
iniciar as observações. Transforma-se esta hora legal em sideral. Como os pares estão
catalogados em ordem crescente de hora sideral, escolhe-se um cuja hora sideral é igual ou
superior a hora sideral calculada. Como não pode-se observar duas estrelas no mesmo instante
físico, observa-se a de leste três minutos antes e a de oeste três minutos após a hora
catalogada.
13.3 Determinação do Azimute
Determinar o azimute significa materializar no terreno a linha norte-sul
verdadeira (meridiano). Na realidade não há a necessidade de se materializar no terreno a
direção norte-sul, é mais comum e prático determinar o ângulo que o meridiano forma com
uma direção definida no campo (azimute da mira).
Na determinação do azimute de uma mira, o astro porta-se como um alvo no
qual se conhece o seu azimute. Assim, a questão praticamente se resume em transportar o
azimute do astro para a mira (transporte de azimute). A Figura 69 proporciona a visualização
esquemática do azimute do astro AA, do azimute da mira AM, da leitura do ângulo horizontal
do astro LA e da leitura do ângulo horizontal da mira LM.
Figura 69 – Azimute da mira.
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
169
Da Figura 69 tem-se que:
AMAMMAMA LLAALLAA −+=−=− (187)
Utilizando-se da Trigonometria Esférica e do triângulo de posição pode-se
determinar o azimute do astro AA quando a estrela atinge uma dada distância zenital (z)
(dedução da equação na seção 6.2):
zsen cos
δsen z cossen A cos A
−=
(188)
Observação: deve-se conhecer a latitude do observador e o valor interpolado da declinação da
estrela, e a distância zenital observada deve ser corrigida dos efeitos da refração astronômica e
do Pz.
A equação (188) admite duas raízes: +AA e –AA. O valor negativo
corresponde às observações a estrela quando a mesma está a leste do meridiano local, e o
valor positivo é utilizado quando as observações a estrela dá-se a oeste do meridiano local.
Pode-se determinar também o azimute do astro AA com base na seguinte
equação (dedução na seção 6.2):
cosδ tgH cossen
Hsen A tg
−= (189)
Observação: deve-se conhecer a latitude do observador, o valor interpolado da declinação da
estrela e o ângulo horário da mesma.
13.3.1 Determinação do azimute por distâncias zenitais absolutas de estrelas
Este método consiste em observar a distância zenital (z) e o ângulo azimutal
de uma estrela conhecida (LA) e em seguida o ângulo azimutal da mira (LM). Esta estrela deve
estar “afastada” de pelo menos 2 horas do meridiano astronômico local. Assim:
zsen cos
δsen z cossen A cos A
−=
(190)
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
170
AMAM LLAA −+= (191)
Lista de estrelas
Para este método não é necessário a elaboração de um programa de
observações. Apenas deve se atentar para que as estrelas a ser observadas estejam afastadas de
pelo menos duas horas do meridiano central, ou seja: 2h < H < 10h ou 14h < H < 22h.
Operações de campo
▪ Instala-se e nivela-se o teodolito sobre o ponto (deve-se realizar o
nivelamento com todo o cuidado possível, pois o erro devido ao mal
nivelamento do equipamento refletirá em um erro na determinação da
longitude de um valor igual ao do mal nivelamento);
▪ Determinação do Pz;
▪ Montagem da ocular de cotovelo;
▪ Focalizar a luneta do teodolito em um ponto bem afastado;
▪ Fazer a pontaria à estrela, sendo que a pontaria dever ser no
cruzamento dos retículos. Em seguida ler a distância zenital observada
(Z’), o ângulo horizontal (LA) e a hora legal da observação;
▪ Anotar pressão atmosférica e temperatura ambiente; e
▪ Fazer a pontaria à mira e realizar a leitura do ângulo horizontal (LM).
Sequência de cálculos para a determinação do azimute
▪ Cálculo do Pz → 2
PIPD180Pz
+−= ;
▪ Cálculo da refração astronômica → C][ T273,15
[mbar] P Z'tg16,27"R"
+= ;
▪ Cálculo da distância zenital corrigida → RPz Z'Z ++= ;
▪ Interpolação da declinação da estrela para o instante da observação →
( ) 00 ΔδFHlδδ ++= ;
▪ Cálculo do azimute da estrela → zsen cos
δsen z cossen A cos A
−=
; e
▪ Cálculo do azimute da mira → AMAM LLAA −+= .
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
171
13.3.2 Determinação do azimute por estrelas em elongação
Um astro está elongando quando seu azimute passa por um máximo ou por
um mínimo, ou seja, quando sua velocidade azimutal é nula (Q = 90º). Conforme já relatado,
a condição para que um astro elongue é que o mesmo possua o módulo da declinação maior
que o módulo da latitude da estação δ , e para que o fenômeno seja visível (acima do
horizonte) é necessário que δ e φ tenham o mesmo sinal.
Aplicando a Regra de Mauduit três vezes no triângulo retângulo da Figura
70 obtêm-se:
Figura 70 – Triângulo de posição retângulo no astro.
δsen
sen z cos
= (192)
cos
δ cosAsen = (193)
δ tg
tgH cos
= (194)
As equações (193) e (194) possibilitam dupla solução – ±A e ±H – sendo o
sinal positivo correspondente à elongação a oeste, e o sinal negativo à elongação a leste do
meridiano do observador.
Assim, a partir da equação (193) obtém-se o azimute do astro (AA) e, por
sua vez, possibilita a determinação do cálculo do azimute da mira (AM) (equação (191)).
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
172
Lista de estrelas
Para a elaboração da lista de estrelas deve ser considerada a condição
δ , sendo que, para que a elongação da estrela se processe acima do horizonte (seja
visível), é necessário que φ e δ tenha o mesmo sinal. Além disso, faz-se necessário o
conhecimento aproximado das coordenadas da estação onde serão efetuadas as observações,
ou seja, latitude, longitude e o meridiano local.
Procedimento para a elaboração da lista de estrelas:
▪ Determinada a hora legal do início das observações (Hli), calcula-se a
hora sideral correspondente ao início das observações (Si):
( ) 9261,00273790FHlλSS i00i +++= (195)
onde S0 é o tempo sideral médio em Greenwich a 0h TU (fornecido
nas Efemérides Astronômicas);
▪ Com auxílio de um catálogo de estrelas, selecionam as estrelas que
atendam δ , sendo φ e δ com o mesmo sinal. Assim, calcula-se o
ângulo horário (H) das estrelas utilizando a seguinte equação:
δ tg
tgH cos
= (196)
A equação (196) admite duas raízes (±H), sendo o sinal positivo
atribuído para a elongação a oeste e o sinal negativo para a elongação
a leste do meridiano do lugar, sendo que nesse caso deve-se somar
360º ou 24h ao valor de –H. Calculado os ângulos horários das
estrelas tanto para a elongação a oeste quanto a leste, determina-se a
hora sideral local desses momentos utilizando a expressão S = H + α,
sendo a ascensão reta da estrela contida no catálogo;
▪ Calculadas a hora sideral do início das observações (Si) e as horas
siderais locais das elongações das estrelas (a oeste e leste), verifica-se
se as horas das elongações são superiores a hora sideral de início.
Caso algumas estrelas não atendam esse critério, descarta-as;
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
173
▪ Calcula-se a distância zenital aproximada das estrelas (z0) a partir da
Equação (197), a qual utiliza a latitude aproximada do local e a
declinação da estrela contida no catálogo:
δsen
sen z cos 0
= (197)
▪ Calcula-se o azimute aproximado das estrelas (A0) a partir da Equação
(198), a qual utiliza a latitude aproximada do local e a declinação da
estrela contida no catálogo:
cos
δ cosAsen 0 = (198)
A equação (198) admite duas raízes (±A), sendo o sinal positivo
atribuído para a elongação a oeste e o sinal negativo para a elongação
a leste do meridiano do lugar, sendo que nesse caso deve-se somar
360º ao valor de –A;
▪ Ordenam-se as estrelas selecionadas pela hora sideral local;
▪ Calcula-se a hora legal correspondente a hora sideral através da
equação (199):
F9261,00273790
λSSHl 0 −
−−= (199)
Entretanto é mais prático e usual não calcular a hora legal
correspondente à sideral, mas sim calcular o quanto a hora sideral está
adiantada ou atrasada em relação à hora legal. Determinado a
diferença de horário entre o tempo sideral e o tempo legal (ΔT), em
um relógio auxiliar (relógio piloto) adianta-se ou atrasa-se desta
quantidade ΔT. Realizado essa operação, o relógio piloto estará
marcando, aproximadamente, o tempo sideral;
▪ Por fim, elabora-se uma tabela contendo todas as informações
necessárias para realizar as observações, bem como os espaços para
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
174
anotar os dados de campo (LM, LA e o instante cronométrico T). Um
exemplo de tabela que pode ser elaborada é apresentada a seguir:
Tabela 6 – Programa de observações para a determinação do azimute por estrelas em
elongação.
nº Est. Mag. S Z0 A0 LM LA T
Operações de campo
Na elongação a estrela possui velocidade azimutal nula, assim a mesma
percorre o retículo vertical.
▪ Instala-se e nivela-se o teodolito sobre o ponto (deve-se realizar o
nivelamento com todo o cuidado possível, pois o erro devido ao mal
nivelamento do equipamento refletirá em um erro na determinação da
longitude de um valor igual ao do mal nivelamento);
▪ Faz-se a orientação do teodolito, ou seja, faz com que o eixo de
colimação da luneta fique paralelo ao meridiano local. Este processo
de orientação é executado conforme segue: realiza-se a pontaria a um
alvo (mira) que se conheça o azimute e em seguida registra-se no
limbo horizontal do instrumento o valor desse azimute através do
parafuso reiterador, assim o teodolito está orientado;
▪ Montagem da ocular de cotovelo;
▪ Focalizar a luneta do teodolito em um ponto bem afastado;
▪ Aproximadamente 3 minutos antes do horário previsto, registram-se
no instrumento os elementos de calagem da estrela (azimute e
distância zenital aproximada). Ficar atento, pois a estrela deve estar no
campo ótico da luneta;
▪ No horário previsto (quando a estrela cruzar o retículo horizontal)
fazer com o que retículo vertical esteja sobre a estrela e, em seguida,
faz-se a leitura do ângulo azimutal LA e do instante cronométrico;
▪ Visar a mira e fazer a leitura do ângulo azimutal LM; e
▪ Repetir as três últimas etapas para as demais estrelas até o término do
programa de observações.
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
175
Sequência de cálculos para a determinação do azimute
Para cada estrela observada realiza-se:
▪ Interpolação da declinação da estrela para o instante da observação →
( ) 00 ΔδFHlδδ ++= ;
▪ Cálculo do azimute da estrela → cos
δ cosAsen A = ;
▪ Cálculo do azimute da mira → AMAM LLAA −+= ;
Determinado o azimute da mira a partir de cada estrela, faz-se a média e o
desvio-padrão do azimute.
13.3.3 Determinação do Azimute por Observações às Estrelas em Circum-elongação
Este método é semelhante ao da elongação, porém, não observa-se a estrela
no instante da elongação, mas sim momentos antes e momentos após a elongação, devido a
este fato é que o método é denominado de circum-elongação. Pelo fato das estrelas serem
observadas antes e depois da elongação, deve-se fazer pelo menos três observações antes da
elongação e três após a elongação.
Análogo ao método anterior, aplicando a Regra de Mauduit três vezes no
triângulo retângulo da Figura 70 obtêm-se:
δsen
sen z cos
= (200)
cos
δ cosAsen = (201)
δ tg
tgH cos
= (202)
Novamente, as equações (201) e (202) possibilitam dupla solução – ±A e
±H – sendo o sinal positivo correspondente à elongação a oeste, e o sinal negativo à
elongação a leste do meridiano do observador.
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
176
As equações (200), (201) e (202) possibilitam determinar a distância zenital,
azimute e a hora sideral (a partir do ângulo horário) aproximada das estrelas. Observada as
estrelas, registra-se o instante cronométrico e o ângulo azimutal das estrelas LA.
A partir do instante cronométrico estima-se a hora sideral utilizando a
equação (203):
( ) 91,00273790FHlλSS 0 +++= (203)
Com valor interpolado da ascensão reta, obtém-se o ângulo horário:
αS H −= (204)
Assim, o azimute do astro pode ser obtido por (deve-se interpolar a
declinação do astro):
cosδ tgH cossen
Hsen A tg A
−= (205)
Portanto:
AMAM LLAA −+= (206)
Lista de estrelas
Para a elaboração da lista de estrelas deve ser considerada a condição
δ , sendo que, para que a elongação da estrela se processe acima do horizonte (seja
visível), é necessário que φ e δ tenha o mesmo sinal. Além disso, faz-se necessário o
conhecimento aproximado das coordenadas da estação onde serão efetuadas as observações,
ou seja, latitude, longitude e o meridiano local.
Procedimento para a elaboração da lista de estrelas:
▪ Determinada a hora legal do início das observações (Hli), calcula-se a
hora sideral correspondente ao início das observações (Si):
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
177
( ) 9261,00273790FHlλSS i00i +++= (207)
onde S0 é o tempo sideral médio em Greenwich a 0h TU (fornecido
nas Efemérides Astronômicas);
▪ Com auxílio de um catálogo de estrelas, selecionam as estrelas que
atendam δ , sendo φ e δ com o mesmo sinal. Assim, calcula-se o
ângulo horário (H) das estrelas utilizando a seguinte equação:
δ tg
tgH cos
= (208)
A equação (208) admite duas raízes (±H), sendo o sinal positivo
atribuído para a elongação a oeste e o sinal negativo para a elongação
a leste do meridiano do lugar, sendo que nesse caso deve-se somar
360º ou 24h ao valor de –H. Calculado os ângulos horários das
estrelas tanto para a elongação a oeste quanto a leste, determina-se a
hora sideral local desses momentos utilizando a expressão S = H + α,
sendo a ascensão reta da estrela contida no catálogo;
▪ Calculadas a hora sideral do início das observações (Si) e as horas
siderais locais das elongações das estrelas (a oeste e leste), verifica-se
se as horas das elongações são superiores a hora sideral de início.
Caso algumas estrelas não atendam esse critério, descarta-as;
▪ Calcula-se a distância zenital aproximada das estrelas (z0) a partir da
equação (209), a qual utiliza a latitude aproximada do local e a
declinação da estrela contida no catálogo:
δsen
sen z cos 0
= (209)
▪ Calcula-se o azimute aproximado das estrelas (A0) a partir da Equação
(210), a qual utiliza a latitude aproximada do local e a declinação da
estrela contida no catálogo:
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
178
cos
δ cosAsen 0 = (210)
A equação (210) admite duas raízes (±A), sendo o sinal positivo
atribuído para a elongação a oeste e o sinal negativo para a elongação
a leste do meridiano do lugar, sendo que nesse caso deve-se somar
360º ao valor de –A;
▪ Ordenam-se as estrelas selecionadas pela hora sideral local;
▪ Calcula-se a hora legal correspondente a hora sideral através da
equação (211):
F9261,00273790
λSSHl 0 −
−−= (211)
Entretanto é mais prático e usual não calcular a hora legal
correspondente à sideral, mas sim calcular o quanto a hora sideral está
adiantada ou atrasada em relação à hora legal. Determinado a
diferença de horário entre o tempo sideral e o tempo legal (ΔT), em
um relógio auxiliar (relógio piloto) adianta-se ou atrasa-se desta
quantidade ΔT. Realizado essa operação, o relógio piloto estará
marcando, aproximadamente, o tempo sideral;
▪ Por fim, elabora-se uma tabela contendo todas as informações
necessárias para realizar as observações, bem como os espaços para
anotar os dados de campo (LM, LA e o instante cronométrico T). Um
exemplo de tabela que pode ser elaborada é apresentada a seguir:
Tabela 7 – Programa de observações para a determinação do azimute por estrelas em circum-
elongação.
nº Est. Mag. S Z0 A0 LM LA T
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
179
Operações de campo
▪ Instala-se e nivela-se o teodolito sobre o ponto (deve-se realizar o
nivelamento com todo o cuidado possível, pois o erro devido ao mal
nivelamento do equipamento refletirá em um erro na determinação da
longitude de um valor igual ao do mal nivelamento);
▪ Faz-se a orientação do teodolito, ou seja, faz com que o eixo de
colimação da luneta fique paralelo ao meridiano local. Este processo
de orientação é executado conforme segue: realiza-se a pontaria a um
alvo (mira) que se conheça o azimute e em seguida registra-se no
limbo horizontal do instrumento o valor desse azimute através do
parafuso reiterador, assim o teodolito está orientado;
▪ Montagem da ocular de cotovelo;
▪ Focalizar a luneta do teodolito em um ponto bem afastado;
▪ Aproximadamente 4 minutos antes do horário previsto, registram-se
no instrumento os elementos de calagem da estrela (azimute e
distância zenital aproximada). Ficar atento, pois a estrela deve estar no
campo ótico da luneta;
▪ Faz-se a pontaria à estrela antes da elongação, observa-se o instante
cronométrico e o ângulo azimutal no momento que a estrela “cruza” o
retículo vertical. Após a elongação, faz-se novamente a pontaria à
estrela e observa-se o instante cronométrico e o ângulo azimutal. O
número de observação à estrela antes de sua elongação deve ser igual
ao número de observação após a sua elongação;
▪ Visar a mira e fazer a leitura do ângulo azimutal LM; e
▪ Repetir as três últimas etapas para as demais estrelas até o término do
programa de observações.
Sequência de cálculos para a determinação do azimute
Para cada estrela observada realiza-se:
▪ Interpolação da declinação da estrela para o instante da observação →
( ) 00 ΔδFHlδδ ++= ;
▪ Interpolação da ascensão reta da estrela para o instante da observação
→ ( ) 00 ΔαFHlαα ++= ;
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
180
▪ Cálculo da hora sideral local → ( ) 91,00273790FHlλSS 0 +++= ;
▪ Cálculo do ângulo horário → αS H −= ;
▪ Cálculo do azimute da estrela → cosδ tgH cossen
Hsen A tg A
−= ;
▪ Cálculo do azimute da mira → AMAM LLAA −+= ;
Determinado o azimute da mira a partir de cada estrela, faz-se a média e o
desvio-padrão do azimute.
Exercício resolvido 1
Elaborar um programa de observações para a determinação do azimute pelo
método das observações às estrelas em circum-elongação em 3 de novembro de 2011 em PP
(φ0 = –22º 07’, λ0 = –3h 25min, F = +2), sendo que se pretende iniciar as observações às 20h.
Dados:
Tempo sideral médio em Greenwich a 0h TU no dia 03/11/2011 → S0 = 2h 47min 37,595s;
Figura 71 – Posições médias das estrelas, 2011.
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
181
1º Passo: Cálculo da hora sideral do início das observações
o ( ) 9261,00273790FHlλSS i00i +++= , onde:
• S0 = 2h 47min 37,595s;
• λ0 = -3h 25min;
• Hli = 20h; e
• F = +2.
14,44s26min 21h Si =
2º Passo: Seleção inicial das estrelas
o Selecionam-se as estrelas cuja δ , φ e δ com o mesmo sinal, onde φ = -22º 07’.
nº Est. Nome Mag. α δ
35 ALFA SCL 4.3 00h 59min 09,5s -29º 17’ 44”
82 FI ERI 3.7 02h 16min 55,2s -51º 27’ 34”
86 KAPA ERI 4.3 02h 27min 24,4s -47º 39’ 10”
602 DELTA TRA 4.0 16h 16min 29,5s -63º 42’ 49”
1424 DELTA1 APS 4.7 16h 22min 06,0s -78º 43’ 21”
610 ZETA TRA 4.8 16h 29min 43,1s -70º 06’ 32”
625 ALFA TRA 1.8 16h 49min 53,5s -69º 02’ 50”
1435 ETA ARA 3.6 16h 50min 46,9s -59º 03’ 39”
631 ZETA ARA 3.0 16h 59min 34,4s -56º 00’ 25”
632 EPSILON1 ARA 4.1 17h 00min 30,1s -53º 10’ 37”
638 ETA SCO 3.3 17h 12min 58,6s -43º 15’ 11”
654 TETA SCO 2.0 17h 38min 08,7s -43º 00’ 14”
660 KAPA SCO 2.4 17h 43min 16,9s -39º 02’ 06”
666 IOTA1 SCO 3.0 17h 48min 23,3s -40º 07’ 49”
669 G SCO 3.2 17h 50min 38,4s -37º 02’ 45”
683 ETA SGR 3.1 18h 18min 24,2s -36º 45’ 26”
689 EPSILON SGR 2.0 18h 24min 56,0s -34º 22’ 42”
1496 TAU SGR 3.3 19h 07min 39,3s -27º 39’ 10”
736 52 SGR 4.6 19h 37min 24,3s -24º 51’ 26”
806 ZETA CAP 3.8 21h 27min 19,2s -22º 21’ 40”
o Calculo do ângulo horário das estrelas: δ tg
tgH cos
= → +H (oeste) e –H (leste)
nº Est. Mag. α δ +H (oeste) -H (leste)
35 4.3 00h 59min 09,5s -29º 17’ 44” 2h 54min 21,00s 21h 05min 39,00s
82 3.7 02h 16min 55,2s -51º 27’ 34” 4h 44min 26,69s 19h 15min 33,31s
86 4.3 02h 27min 24,4s -47º 39’ 10” 4h 33min 02,25s 19h 26min 57,75s
602 4.0 16h 16min 29,5s -63º 42’ 49” 5h 13min 40,83s 18h 46min 19,17s
1424 4.7 16h 22min 06,0s -78º 43’ 21” 5h 41min 24,39s 18h 18min 35,61s
610 4.8 16h 29min 43,1s -70º 06’ 32” 5h 26min 10,67s 18h 33min 49,33s
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
182
nº Est. Mag. α δ +H (oeste) -H (leste)
625 1.8 16h 49min 53,5s -69º 02’ 50” 5h 24min 11,38s 18h 35min 48,62s
1435 3.6 16h 50min 46,9s -59º 03’ 39” 5h 03min 36,20s 18h 56min 23,80s
631 3.0 16h 59min 34,4s -56º 00’ 25” 4h 56min 22,75s 19h 03min 37,25s
632 4.1 17h 00min 30,1s -53º 10’ 37” 4h 49min 08,45s 19h 10min 51,55s
638 3.3 17h 12min 58,6s -43º 15’ 11” 4h 17min 37,82s 19h 42min 22,18s
654 2.0 17h 38min 08,7s -43º 00’ 14” 4h 16min 40,11s 19h 43min 19,89s
660 2.4 17h 43min 16,9s -39º 02’ 06” 3h 59min 40,43s 20h 00min 19,57s
666 3.0 17h 48min 23,3s -40º 07’ 49” 4h 04min 42,65s 19h 55min 17,35s
669 3.2 17h 50min 38,4s -37º 02’ 45” 3h 49min 41,89s 20h 10min 18,11s
683 3.1 18h 18min 24,2s -36º 45’ 26” 3h 48min 09,03s 20h 11min 50,97s
689 2.0 18h 24min 56,0s -34º 22’ 42” 3h 34min 13,91s 20h 25min 46,09s
1496 3.3 19h 07min 39,3s -27º 39’ 10” 2h 36min 33,20s 21h 23min 26,80s
736 4.6 19h 37min 24,3s -24º 51’ 26” 1h 54min 45,85s 22h 05min 14,15s
806 3.8 21h 27min 19,2s -22º 21’ 40” 0h 35min 41,74s 23h 24min 18,26s
o Calculo da hora sideral das estrelas: αHS += → SW (oeste) e SE (leste)
nº Est. Mag. α δ SW (oeste) SE (leste)
35 4.3 00h 59min 09,5s -29º 17’ 44” 3h 53min 30,50s 22h 04min 48,50s
82 3.7 02h 16min 55,2s -51º 27’ 34” 7h 01min 21,89s 21h 32min 28,51s
86 4.3 02h 27min 24,4s -47º 39’ 10” 7h 00min 26,65s 21h 54min 22,15s
602 4.0 16h 16min 29,5s -63º 42’ 49” 21h 30min 10,33s 11h 02min 48,67s
1424 4.7 16h 22min 06,0s -78º 43’ 21” 22h 03min 30,39s 10h 40min 41,61s
610 4.8 16h 29min 43,1s -70º 06’ 32” 21h 55min 53,77s 11h 03min 32,43s
625 1.8 16h 49min 53,5s -69º 02’ 50” 22h 14min 04,88s 11h 25min 42,12s
1435 3.6 16h 50min 46,9s -59º 03’ 39” 21h 54min 23,10s 11h 47min 10,70s
631 3.0 16h 59min 34,4s -56º 00’ 25” 21h 55min 57,15s 12h 03min 11,65s
632 4.1 17h 00min 30,1s -53º 10’ 37” 21h 49min 38,55s 12h 11min 21,65s
638 3.3 17h 12min 58,6s -43º 15’ 11” 21h 30min 36,42s 12h 55min 20,78s
654 2.0 17h 38min 08,7s -43º 00’ 14” 21h 54min 48,81s 13h 21min 28,59s
660 2.4 17h 43min 16,9s -39º 02’ 06” 21h 42min 57,33s 13h 43min 36,47s
666 3.0 17h 48min 23,3s -40º 07’ 49” 21h 53min 05,95s 13h 43min 40,65s
669 3.2 17h 50min 38,4s -37º 02’ 45” 21h 40min 20,29s 14h 00min 56,51s
683 3.1 18h 18min 24,2s -36º 45’ 26” 22h 06min 33,23s 14h 30min 15,17s
689 2.0 18h 24min 56,0s -34º 22’ 42” 21h 59min 09,91s 14h 50min 42,09s
1496 3.3 19h 07min 39,3s -27º 39’ 10” 21h 44min 12,50s 16h 31min 06,10s
736 4.6 19h 37min 24,3s -24º 51’ 26” 21h 32min 10,15s 17h 42min 38,45s
806 3.8 21h 27min 19,2s -22º 21’ 40” 22h 03min 00,94s 20h 51min 37,46s
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
183
3º Passo: Comparação da hora sideral de início e as horas siderais das elongações
o Descarta as elongações cuja hora sideral é inferior a 14,44s26min 21h Si = (destacada
em vermelho).
nº Est. Mag. α δ SW (oeste) SE (leste)
35 4.3 00h 59min 09,5s -29º 17’ 44” 3h 53min 30,50s 22h 04min 48,50s
82 3.7 02h 16min 55,2s -51º 27’ 34” 7h 01min 21,89s 21h 32min 28,51s
86 4.3 02h 27min 24,4s -47º 39’ 10” 7h 00min 26,65s 21h 54min 22,15s
602 4.0 16h 16min 29,5s -63º 42’ 49” 21h 30min 10,33s 11h 02min 48,67s
1424 4.7 16h 22min 06,0s -78º 43’ 21” 22h 03min 30,39s 10h 40min 41,61s
610 4.8 16h 29min 43,1s -70º 06’ 32” 21h 55min 53,77s 11h 03min 32,43s
625 1.8 16h 49min 53,5s -69º 02’ 50” 22h 14min 04,88s 11h 25min 42,12s
1435 3.6 16h 50min 46,9s -59º 03’ 39” 21h 54min 23,10s 11h 47min 10,70s
631 3.0 16h 59min 34,4s -56º 00’ 25” 21h 55min 57,15s 12h 03min 11,65s
632 4.1 17h 00min 30,1s -53º 10’ 37” 21h 49min 38,55s 12h 11min 21,65s
638 3.3 17h 12min 58,6s -43º 15’ 11” 21h 30min 36,42s 12h 55min 20,78s
654 2.0 17h 38min 08,7s -43º 00’ 14” 21h 54min 48,81s 13h 21min 28,59s
660 2.4 17h 43min 16,9s -39º 02’ 06” 21h 42min 57,33s 13h 43min 36,47s
666 3.0 17h 48min 23,3s -40º 07’ 49” 21h 53min 05,95s 13h 43min 40,65s
669 3.2 17h 50min 38,4s -37º 02’ 45” 21h 40min 20,29s 14h 00min 56,51s
683 3.1 18h 18min 24,2s -36º 45’ 26” 22h 06min 33,23s 14h 30min 15,17s
689 2.0 18h 24min 56,0s -34º 22’ 42” 21h 59min 09,91s 14h 50min 42,09s
1496 3.3 19h 07min 39,3s -27º 39’ 10” 21h 44min 12,50s 16h 31min 06,10s
736 4.6 19h 37min 24,3s -24º 51’ 26” 21h 32min 10,15s 17h 42min 38,45s
806 3.8 21h 27min 19,2s -22º 21’ 40” 22h 03min 00,94s 20h 51min 37,46s
4º Passo: Cálculo da distância zenital aproximada das estrelas
o δsen
sen z cos 0
= , onde φ = -22º 07’.
nº Est. Mag. α δ S (oeste/leste) Z0
35 4.3 00h 59min 09,5s -29º 17’ 44” 22h 04min 48,50s 39º 41’ 49,99”
82 3.7 02h 16min 55,2s -51º 27’ 34” 21h 32min 28,51s 61º 13’ 35,75”
86 4.3 02h 27min 24,4s -47º 39’ 10” 21h 54min 22,15s 59º 22’ 31,35”
602 4.0 16h 16min 29,5s -63º 42’ 49” 21h 30min 10,33s 65º 10’ 14,43”
1424 4.7 16h 22min 06,0s -78º 43’ 21” 22h 03min 30,39s 67º 25’ 26,88”
610 4.8 16h 29min 43,1s -70º 06’ 32” 21h 55min 53,77s 66º 23’ 53,01”
625 1.8 16h 49min 53,5s -69º 02’ 50” 22h 14min 04,88s 66º 13’ 28,65”
1435 3.6 16h 50min 46,9s -59º 03’ 39” 21h 54min 23,10s 63º 57’ 47,04”
631 3.0 16h 59min 34,4s -56º 00’ 25” 21h 55min 57,15s 62º 59’ 35,48”
632 4.1 17h 00min 30,1s -53º 10’ 37” 21h 49min 38,55s 61º 56’ 39,65”
638 3.3 17h 12min 58,6s -43º 15’ 11” 21h 30min 36,42s 56º 40’ 15,05”
654 2.0 17h 38min 08,7s -43º 00’ 14” 21h 54min 48,81s 56º 29’ 43,23”
660 2.4 17h 43min 16,9s -39º 02’ 06” 21h 42min 57,33s 53º 17’ 14,07”
666 3.0 17h 48min 23,3s -40º 07’ 49” 21h 53min 05,95s 54º 15’ 28,14”
669 3.2 17h 50min 38,4s -37º 02’ 45” 21h 40min 20,29s 51º 19’ 21,58”
683 3.1 18h 18min 24,2s -36º 45’ 26” 22h 06min 33,23s 51º 00’ 47,75”
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
184
nº Est. Mag. α δ S (oeste/leste) Z0
689 2.0 18h 24min 56,0s -34º 22’ 42” 21h 59min 09,91s 48º 10’ 54,86”
1496 3.3 19h 07min 39,3s -27º 39’ 10” 21h 44min 12,50s 35º 47’ 07,43”
736 4.6 19h 37min 24,3s -24º 51’ 26” 21h 32min 10,15s 26º 24’ 28,99”
806 3.8 21h 27min 19,2s -22º 21’ 40” 22h 03min 00,94s 8º 15’ 45,10”
5º Passo: Cálculo do azimute aproximado das estrelas
o cos
δ cosAsen 0 = , onde φ = -22º 07’.
nº Est. Mag. α δ S (oeste/leste) Z0 Az
35 4.3 00h 59min 09,5s -29º 17’ 44” 22h 04min 48,50s 39º 41’ 49,99” 289º 42’ 58,80”
82 3.7 02h 16min 55,2s -51º 27’ 34” 21h 32min 28,51s 61º 13’ 35,75” 317º 44’ 07,37”
86 4.3 02h 27min 24,4s -47º 39’ 10” 21h 54min 22,15s 59º 22’ 31,35” 313º 21’ 14,90”
602 4.0 16h 16min 29,5s -63º 42’ 49” 21h 30min 10,33s 65º 10’ 14,43” 28º 33’ 25,06”
1424 4.7 16h 22min 06,0s -78º 43’ 21” 22h 03min 30,39s 67º 25’ 26,88” 12º 11’ 11,19”
610 4.8 16h 29min 43,1s -70º 06’ 32” 21h 55min 53,77s 66º 23’ 53,01” 21º 32’ 47,51”
625 1.8 16h 49min 53,5s -69º 02’ 50” 22h 14min 04,88s 66º 13’ 28,65” 22º 42’ 21,15”
1435 3.6 16h 50min 46,9s -59º 03’ 39” 21h 54min 23,10s 63º 57’ 47,04” 33º 42’ 29,22”
631 3.0 16h 59min 34,4s -56º 00’ 25” 21h 55min 57,15s 62º 59’ 35,48” 37º 07’ 15,10”
632 4.1 17h 00min 30,1s -53º 10’ 37” 21h 49min 38,55s 61º 56’ 39,65” 40º 18’ 43,01”
638 3.3 17h 12min 58,6s -43º 15’ 11” 21h 30min 36,42s 56º 40’ 15,05” 51º 49’ 48,60”
654 2.0 17h 38min 08,7s -43º 00’ 14” 21h 54min 48,81s 56º 29’ 43,23” 52º 07’ 43,26”
660 2.4 17h 43min 16,9s -39º 02’ 06” 21h 42min 57,33s 53º 17’ 14,07” 56º 58’ 38,64”
666 3.0 17h 48min 23,3s -40º 07’ 49” 21h 53min 05,95s 54º 15’ 28,14” 55º 37’ 10,94”
669 3.2 17h 50min 38,4s -37º 02’ 45” 21h 40min 20,29s 51º 19’ 21,58” 59º 29’ 26,70”
683 3.1 18h 18min 24,2s -36º 45’ 26” 22h 06min 33,23s 51º 00’ 47,75” 59º 51’ 40,48”
689 2.0 18h 24min 56,0s -34º 22’ 42” 21h 59min 09,91s 48º 10’ 54,86” 62º 59’ 01,94”
1496 3.3 19h 07min 39,3s -27º 39’ 10” 21h 44min 12,50s 35º 47’ 07,43” 72º 57’ 56,30”
736 4.6 19h 37min 24,3s -24º 51’ 26” 21h 32min 10,15s 26º 24’ 28,99” 78º 21’ 26,19”
806 3.8 21h 27min 19,2s -22º 21’ 40” 22h 03min 00,94s 8º 15’ 45,10” 86º 37’ 00,11”
6º Passo: Ordenação das estrelas selecionadas pela hora sideral local
nº Est. Mag. α δ S (oeste/leste) Z0 Az
602 4.0 16h 16min 29,5s -63º 42’ 49” 21h 30min 10,33s 65º 10’ 14,43” 28º 33’ 25,06”
638 3.3 17h 12min 58,6s -43º 15’ 11” 21h 30min 36,42s 56º 40’ 15,05” 51º 49’ 48,60”
736 4.6 19h 37min 24,3s -24º 51’ 26” 21h 32min 10,15s 26º 24’ 28,99” 78º 21’ 26,19”
82 3.7 02h 16min 55,2s -51º 27’ 34” 21h 32min 28,51s 61º 13’ 35,75” 317º 44’ 07,37”
669 3.2 17h 50min 38,4s -37º 02’ 45” 21h 40min 20,29s 51º 19’ 21,58” 59º 29’ 26,70”
660 2.4 17h 43min 16,9s -39º 02’ 06” 21h 42min 57,33s 53º 17’ 14,07” 56º 58’ 38,64”
1496 3.3 19h 07min 39,3s -27º 39’ 10” 21h 44min 12,50s 35º 47’ 07,43” 72º 57’ 56,30”
632 4.1 17h 00min 30,1s -53º 10’ 37” 21h 49min 38,55s 61º 56’ 39,65” 40º 18’ 43,01”
666 3.0 17h 48min 23,3s -40º 07’ 49” 21h 53min 05,95s 54º 15’ 28,14” 55º 37’ 10,94”
86 4.3 02h 27min 24,4s -47º 39’ 10” 21h 54min 22,15s 59º 22’ 31,35” 313º 21’ 14,90”
1435 3.6 16h 50min 46,9s -59º 03’ 39” 21h 54min 23,10s 63º 57’ 47,04” 33º 42’ 29,22”
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
185
nº Est. Mag. α δ S (oeste/leste) Z0 Az
654 2.0 17h 38min 08,7s -43º 00’ 14” 21h 54min 48,81s 56º 29’ 43,23” 52º 07’ 43,26”
610 4.8 16h 29min 43,1s -70º 06’ 32” 21h 55min 53,77s 66º 23’ 53,01” 21º 32’ 47,51”
631 3.0 16h 59min 34,4s -56º 00’ 25” 21h 55min 57,15s 62º 59’ 35,48” 37º 07’ 15,10”
689 2.0 18h 24min 56,0s -34º 22’ 42” 21h 59min 09,91s 48º 10’ 54,86” 62º 59’ 01,94”
806 3.8 21h 27min 19,2s -22º 21’ 40” 22h 03min 00,94s 8º 15’ 45,10” 86º 37’ 00,11”
1424 4.7 16h 22min 06,0s -78º 43’ 21” 22h 03min 30,39s 67º 25’ 26,88” 12º 11’ 11,19”
35 4.3 00h 59min 09,5s -29º 17’ 44” 22h 04min 48,50s 39º 41’ 49,99” 289º 42’ 58,80”
683 3.1 18h 18min 24,2s -36º 45’ 26” 22h 06min 33,23s 51º 00’ 47,75” 59º 51’ 40,48”
625 1.8 16h 49min 53,5s -69º 02’ 50” 22h 14min 04,88s 66º 13’ 28,65” 22º 42’ 21,15”
7º Passo: Determinação da diferença de horário entre o tempo sideral e o tempo legal
o 14,44s26min 1h 14,44s26min 21h 20hSHlΔT ii −=−=−= , portanto em um relógio
piloto soma-se 1h 26min 14,44s da hora legal. Assim o relógio piloto estará marcando a
hora sideral aproximada.
8º Passo: Elaboração do programa de observações
nº Est. Mag. S Z0 Az LM LA T
602 4.0 21h 30min 10,33s 65º 10’ 14,43” 28º 33’ 25,06”
638 3.3 21h 30min 36,42s 56º 40’ 15,05” 51º 49’ 48,60”
736 4.6 21h 32min 10,15s 26º 24’ 28,99” 78º 21’ 26,19”
82 3.7 21h 32min 28,51s 61º 13’ 35,75” 317º 44’ 07,37”
669 3.2 21h 40min 20,29s 51º 19’ 21,58” 59º 29’ 26,70”
660 2.4 21h 42min 57,33s 53º 17’ 14,07” 56º 58’ 38,64”
1496 3.3 21h 44min 12,50s 35º 47’ 07,43” 72º 57’ 56,30”
632 4.1 21h 49min 38,55s 61º 56’ 39,65” 40º 18’ 43,01”
666 3.0 21h 53min 05,95s 54º 15’ 28,14” 55º 37’ 10,94”
86 4.3 21h 54min 22,15s 59º 22’ 31,35” 313º 21’ 14,90”
1435 3.6 21h 54min 23,10s 63º 57’ 47,04” 33º 42’ 29,22”
654 2.0 21h 54min 48,81s 56º 29’ 43,23” 52º 07’ 43,26”
610 4.8 21h 55min 53,77s 66º 23’ 53,01” 21º 32’ 47,51”
631 3.0 21h 55min 57,15s 62º 59’ 35,48” 37º 07’ 15,10”
689 2.0 21h 59min 09,91s 48º 10’ 54,86” 62º 59’ 01,94”
806 3.8 22h 03min 00,94s 8º 15’ 45,10” 86º 37’ 00,11”
1424 4.7 22h 03min 30,39s 67º 25’ 26,88” 12º 11’ 11,19”
35 4.3 22h 04min 48,50s 39º 41’ 49,99” 289º 42’ 58,80”
683 3.1 22h 06min 33,23s 51º 00’ 47,75” 59º 51’ 40,48”
625 1.8 22h 14min 04,88s 66º 13’ 28,65” 22º 42’ 21,15”
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
186
Exercício resolvido 2
Determinar o azimute de uma mira pelo método das observações às estrelas
em circum-elongação com base nos seguintes dados coletados em campo em PP (φ0 = –22º
07’ 18”, λ0 = –3h 25min 38s, F = +2) para 3 de novembro de 2011. Observação: foram
observados as estrelas apenas antes da elongação.
nº Est. Mag S Z0 Az LM LA T 602 4.0 21h 30min 10,33s 65º 10’ 14,43” 28º 33’ 25,06”
638 3.3 21h 30min 36,42s 56º 40’ 15,05” 51º 49’ 48,60”
736 4.6 21h 32min 10,15s 26º 24’ 28,99” 78º 21’ 26,19”
82 3.7 21h 32min 28,51s 61º 13’ 35,75” 317º 44’ 07,37”
669 3.2 21h 40min 20,29s 51º 19’ 21,58” 59º 29’ 26,70”
660 2.4 21h 42min 57,33s 53º 17’ 14,07” 56º 58’ 38,64”
1496 3.3 21h 44min 12,50s 35º 47’ 07,43” 72º 57’ 56,30”
632 4.1 21h 49min 38,55s 61º 56’ 39,65” 40º 18’ 43,01”
666 3.0 21h 53min 05,95s 54º 15’ 28,14” 55º 37’ 10,94”
86 4.3 21h 54min 22,15s 59º 22’ 31,35” 313º 21’ 14,90”
1435 3.6 21h 54min 23,10s 63º 57’ 47,04” 33º 42’ 29,22”
654 2.0 21h 54min 48,81s 56º 29’ 43,23” 52º 07’ 43,26”
610 4.8 21h 55min 53,77s 66º 23’ 53,01” 21º 32’ 47,51”
631 3.0 21h 55min 57,15s 62º 59’ 35,48” 37º 07’ 15,10”
689 2.0 21h 59min 09,91s 48º 10’ 54,86” 62º 59’ 01,94” 297º 40’ 63º 04’ 40” 20h 33min 03s
806 3.8 22h 03min 00,94s 8º 15’ 45,10” 86º 37’ 00,11”
1424 4.7 22h 03min 30,39s 67º 25’ 26,88” 12º 11’ 11,19”
35 4.3 22h 04min 48,50s 39º 41’ 49,99” 289º 42’ 58,80”
683 3.1 22h 06min 33,23s 51º 00’ 47,75” 59º 51’ 40,48” 297º 40’ 59º 57’ 21” 20h 40min 42s
625 1.8 22h 14min 04,88s 66º 13’ 28,65” 22º 42’ 21,15” 297º 40’ 22º 46’ 55” 20h 45min 46s
Figura 72 – Posições aparentes das estrelas 625, 683 e 689 no trânsito pelo meridiano de
Greenwich, 2009.
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
187
Tempo sideral médio em Greenwich a 0h TU no dia 03/11/2011 → S0 = 2h 47min 37,595s;
1º Passo: Interpolação da declinação das estrelas (como o estado o relógio é nulo, o instante
cronométrico T é igual a hora legal Hl)
o Estrela 689:
• Conversão da hora legal e em tempo universal:
=+= FHlTU
• Conversão do tempo universal em decimais do mês:
=+= dia24
TUTUd
• Interpolação da declinação:
XI 2,6d → 52,24" 22' 34δ2,6
−=
XI 12,6d → 51,60" 22' 34δ12,6
−= 0,64"Δδ10d =→
6d1,339618052,6d6d3,939618052,6dTUΔTU d =−=−=
se
→
=→
x 6d1,33961895
0,64"Δδ10d x =
=+= xδδ 2,6
689
63,93961895
o Estrela 683:
• Conversão da hora legal e em tempo universal:
=+= FHlTU
• Conversão do tempo universal em decimais do mês:
=+= dia24
TUTUd
• Interpolação da declinação:
XI 2,6d → 36,17" 45' 36δ2,6
−=
XI 12,6d → 35,40" 45' 36δ12,6
−= 0,77"Δδ10d =→
6d1,344930552,6d6d3,944930552,6dTUΔTU d =−=−=
se
→
=→
x 6d1,34493955
0,77"Δδ10d x =
=+= xδδ 2,6
683
63,94493055
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
188
o Estrela 625:
• Conversão da hora legal e em tempo universal:
=+= FHlTU
• Conversão do tempo universal em decimais do mês:
=+= dia24
TUTUd
• Interpolação da declinação:
XI 2,6d → 52,05" 02' 69δ2,6
−=
XI 12,6d → 49,56" 02' 69δ12,6
−= 2,49"Δδ10d =→
4d1,348449072,6d4d3,948449072,6dTUΔTU d =−=−=
se
→
=→
x 4d1,34844907
2,49"Δδ10d x =
=+= xδδ 2,6
625
43,94844907
2º Passo: Interpolação da ascensão reta das estrelas
o Estrela 689:
• Interpolação da ascensão reta:
XI 2,6d → 49,626s24min 18h α2,6 =
XI 12,6d → 49,518s24min 18h α12,6 = 0,108sΔα10d −=→
6d1,33961805ΔTU=
se
→
−=→
x 61,33961805
0,108sΔα10d x =
=+= xαα 2,6
689
63,93961805
o Estrela 683:
• Interpolação da ascensão reta:
XI 2,6d → 17,613s18min 18h α2,6 =
XI 12,6d → 17,505s18min 18h α12,6 = 0,108sΔα10d −=→
6d1,34493055ΔTU=
se
→
−=→
x 61,34493055
0,108sΔα10d x =
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
189
=+= xαα 2,6
683
63,94493055
o Estrela 625:
• Interpolação da ascensão reta:
XI 2,6d → 41,303s49min 16h α2,6 =
XI 12,6d → 41,186s49min 16h α12,6 = 0,117sΔα10d −=→
4d1,34844907ΔTU=
se
→
−=→
x 41,34844907
0,117sΔα10d x =
=+= xαα 2,6
625
43,94844907
3º Passo: Cálculo da hora sideral local das estrelas
o Estrela 689:
( ) 91,00273790FHlλSS 6890689 +++=
( ) 91,00273790203s33min 20h 38s25min 3h 37,595s47min 2h S689 ++−=
=689S
o Estrela 683:
( ) 91,00273790FHlλSS 6830683 +++=
( ) 91,00273790242s40min 20h 38s25min 3h 37,595s47min 2h S683 ++−=
=683S
o Estrela 625:
( ) 91,00273790FHlλSS 6250625 +++=
( ) 91,00273790246s45min 20h 38s25min 3h 37,595s47min 2h S625 ++−=
=625S
4º Passo: Cálculo do ângulo horário das estrelas
o Estrela 689:
=−= 689689689 αSH
o Estrela 683:
=−= 683683683 αSH
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
190
o Estrela 625:
=−= 625625625 αSH
5º Passo: Cálculo do azimute da estrela
o Estrela 689:
cosδ tgH cossen
Hsen A tg
689689
689689
−=
( ) ( ) ( )18" 07' 22cos52,15" 22' 34tg 48,87" 28' 53 cos18" 07' 22sen
48,87" 28' 53sen A tg 689
−−−−=
=689A
o Estrela 683:
cosδ tgH cossen
Hsen A tg
683683
683683
−=
( ) ( ) ( )18" 07' 22cos36,07" 45' 36tg 52,83" 01' 57 cos18" 07' 22sen
52,83" 01' 57sen A tg 683
−−−−=
=683A
o Estrela 625:
cosδ tgH cossen
Hsen A tg
625625
625625
−=
( ) ( ) ( )18" 07' 22cos51,71" 02' 69tg 10,10" 27' 80 cos18" 07' 22sen
10,10" 27' 80sen A tg 625
−−−−=
=625A
6º Passo: Cálculo do azimute da mira
o Estrela 689:
=−+= 689
689
M689
689
M LLAA
o Estrela 683:
=−+= 683
683
M683
683
M LLAA
o Estrela 625:
=−+= 625
625
M625
625
M LLAA
=médio
MA
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
191
14 DETERMINAÇÃO DE ALTA PRECISÃO
14.1 Determinação da Latitude pelo Método de Horrebow-Talcott
O método de Horrebow-Talcott é o mais preciso que existe para a
determinação da latitude em Astronomia de Posição. Horrebow (1732) foi o primeiro
geodesista que a teve a ideia de combinar as observações de duas estrelas que culminam em
lados opostos do zênite para a determinação da latitude.
Considerando ZS a distância zenital e δS a declinação da estrela ao Sul do
zênite, e ZN a distância zenital e δN a declinação da estrela ao Norte do zênite, tem-se, na
passagem meridiana:
NN
SS
zδ
zδ
−=
+=
(212)
Somando as duas expressões da equação (212) têm-se a Formula de
Horrebow (equação (213)):
2
zz
2
δδzzδδ2 NSNS
NSNS
−+
+=−++= (213)
O capitão Norte-Americano Talcott apresentou em 1834 a luneta zenital
(luneta astronômica de forte aumento, com micrômetro ocular para a medida direta da
diferença das distâncias zenitais das estrelas do par de Horrebow e dotada de nível de grande
sensibilidade para correção do erro de verticalismo).
A medida de pequenas diferenças de distâncias zenitais meridianas com o
micrômetro é feita com grande precisão, da mesma maneira o nível de Talcott permite
determinar com suficiente precisão a correção diferencial do verticalismo. Como as duas
estrelas tem praticamente a mesma altura, a correção diferencial da refração pode ser,
também, calculada com grande precisão.
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
192
Restrições impostas ao método para a elaboração do programa de
observações, com o intuito de obter resultados de alta precisão:
1. As distâncias zenitais observadas (z’N e z’S) devem ser menores que
30º (z’N < 30º e z’S < 30º);
2. A diferença entre as distâncias zenitais das estrelas de cada par não
deve exceder 20’ ( 20'zz '
S
'
N − );
3. O intervalo de tempo decorrido entre a observação da estrela ao Sul e
da estrela ao Norte do zênite não deve ser inferior a 4 minutos e não
deve exceder 15 minutos ( min 15ααmin4 SN − );
4. O intervalo mínimo entre dois pares de estrelas deve ser de 5 minutos;
5. O brilho das estrelas deve ser entre 3.0 e 7.0 (7.0 < mag. < 3.0), pois
estrelas de brilho superior a 3.0 dificultam as observações;
6. Quando a 1ª estrela for observada com a ocular W/E, a segunda deverá
ser com a ocular E/W. Geralmente a 2ª estrela de um par e a 1ª do par
seguinte são observadas na mesma posição da ocular;
7. Para calcular a correção do cronômetro sobre a hora sideral local,
devem-se receber sinais horários durante as observações;
8. A pressão atmosférica e a temperatura do ar devem ser observadas no
começo e no final das observações de um grupo de estrelas;
9. Deve-se observar 3 grupos de estrelas, onde cada grupo contém 20
estrelas (10 pares);
10. É sempre útil que os pares sejam selecionados de tal maneira que a
soma algébrica das diferenças micrométricas das distâncias zenitais
seja menor que o número total de pares; e
11. Sempre que possível, em cada noite, devem ser observados pares
formados por estrelas diferentes dos observados nas noites anteriores.
Lista de estrelas
Calculada a hora sideral do início das observações, escolhe-se uma estrela
de ascensão reta próxima da hora sideral calculada e de magnitude entre 3.0 e 7.0, tal que:
30δz 10 −= (214)
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
193
isto é, a estrela deve possuir declinação compreendida entre φ0 ± 30º e φ0. A distância zenital
calculada da equação (214) pode apresentar valor negativo ou positivo, sendo que +
corresponde a estrelas ao Sul do zênite (A = 0º) e – a estrelas ao Norte do zênite (A = 180º).
Encontrada a primeira estrela do par tem-se, para a 2ª estrela:
20'δ2δ 102 − (215)
Assim, procurar-se uma estrela de declinação δ2, de magnitude entre 3.0 e
7.0 e que atenda a restrição número 3 ( min 15ααmin4 SN − ). Dessa forma, a distância
zenital de calagem para ambas as estrelas é a distância zenital média:
2
δδz
δz
δzSN
0N
S0 −=
−=
−=
(216)
As posições que as lunetas, com a ocular de cotovelo, podem ocupar durante
as observações são:
▪ Estrela ao Sul → OW Estrela ao Norte → OE; e
▪ Estrela ao Sul → OE Estrela ao Norte → OW.
No primeiro caso a distância zenital de calagem é a calculada, já no
segundo, é tomado o seu replemento (o que falta para 360º).
Para a elaboração dos demais pares de estrelas, devem-se atender as
restrições 4, 9, 10 e 11.
Operações de campo
▪ O instrumento deve estar no meridiano, com um erro máximo de 3”;
▪ Uma lista de observações é preparada incluindo todas as estrelas
disponíveis;
▪ As comparações radio-cronômetro são feitas no início e no término de
cada período (noite). Se for necessário, faz-se no início e no término
de cada grupo de estrelas. Três observações consecutivas de tempo
devem ser feitas, isto é, ler o cronômetro no começo de um período de
5 minutos e duas vezes mais nos pulsos de minutos identificáveis. Não
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
194
é necessário tomar comparações rádio-cronômetro entre grupos de
estrelas a menos que o intervalo entre eles sejam maior que duas
horas;
▪ A pressão atmosférica e a temperatura são registradas no início e no
término de cada grupo;
▪ As estrelas observadas são usualmente selecionadas de maneira que
uma estrela Sul é observada depois de uma estrela Norte, ou vice-
versa. Não é aconselhável observar mais do que duas estrelas Norte ou
duas estrelas Sul sucessivamente;
▪ Na observação dos grupos, todas as estrelas são observadas em uma
posição do círculo vertical, isto é, posição direta ou inversa. Números
iguais de grupos são observados com a posição do círculo à esquerda e
a direita (alternadamente);
▪ Cerca de um minuto e meio deve ser permitido entre passagens
sucessivas de estrelas, quando ambas estão no mesmo lado do zênite.
Dois minutos são permitidos quando o instrumento for invertido, isto
é, uma estrela Norte seguida de estrela Sul; e
▪ Na observação de cada estrela deve-se registrar na caderneta o instante
cronométrico, a distância zenital, leituras do nível vertical (esquerda e
direita), número da estrela e sua posição com relação ao zênite.
Sequência de cálculos para a determinação da latitude
Após o cálculo da latitude (análogo ao método de Sterneck, pág. 133),
devem ser feitas as correções redução ao nível do mar, redução ao polo médio e redução à
estação geodésica, conforme segue:
▪ Redução ao nível do mar (RNMM): essa correção parte da
suposição de que a Terra é um elipsoide e que não existem
irregularidades nas superfícies equipotenciais. Já que a força da
gravidade é menor no Equador do que nos Polos, deduz-se que uma
superfície equipotencial é mais afastada do nível do mar no Equador
do que nos Polos. As superfícies equipotenciais são paralelas entre si
nos Polos e no Equador. Portanto, as normais a cada superfície, no
mesmo meridiano, não são paralelas. A redução ao nível médio do
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
195
mar decorre da convergência das superfícies de nível, e seu valor
teórico para o elipsoide internacional é dado por:
2sen H0,000172"RNMM −= (217)
onde H é a altitude ortométrica em metros e φ a latitude da estação;
▪ Redução ao polo médio (RPM): destina-se a corrigir o efeito
denominado “variação das latitudes”, decorrente da variação da
posição do eixo de rotação na superfície da Terra. A correção é dada
por:
( )λsen yλ cosx"RPM −−= (218)
onde x e y são as coordenadas do polo instantâneo e λ a longitude da
estação;
▪ Redução à estação geodésica (REG): quando a determinação da
latitude astronômica não for na estação geodésica, deve-se reduzi-la a
esta estação. A redução é feita através da seguinte equação:
M
Az cosDREG
−= (219)
onde D é a distância em metros entre os pontos, Az o azimute da
estação geodésica a estação astronômica, e M o raio médio de
curvatura da seção meridiana, dado por:
( )( )3/222
2
sene1
e1aM
−
−= (220)
onde a é semieixo maior do elipsoide, e a 1ª excentricidade.
Assim, a latitude astronômica da estação geodésica (φa) é finalmente obtida
aplicando todas as correções na latitude calculada:
REGRPMRNMMa +++= (221)
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
196
14.2 Determinação da Longitude pelo Método de Mayer
Dentre os vários métodos de determinação da longitude astronômica, o
método de Mayer é o mais utilizado nas determinações de alta precisão. Este método
proporciona resultados com um erro médio inferior a 0,1”, sendo de fácil operacionalidade.
Longitude astronômica e hora local são valores iguais, expressos em
grandezas deferentes, pois a grandeza hora representa intervalo de tempo e a grandeza
longitude representa um ângulo, onde uma hora corresponde a um ângulo de quinze graus
(15o). Então a diferença de horas locais de dois pontos é o mesmo que a diferença de
longitude entre esses pontos. Se um desses pontos estiver contido no meridiano médio de
Greenwich (origem da longitude astronômica), conclui-se que esta diferença de longitude será
a própria longitude astronômica do ponto.
Na passagem meridiana, o ângulo horário do astro é nulo. Com auxílio da
Fórmula Fundamental da Astronomia de Posição, conclui-se que a ascensão reta do astro é,
numericamente, igual à hora sideral da passagem meridiana do astro:
αS :que se tem0H com α,HS =−=+= (222)
Determinada a hora sideral local (S), a longitude () é dada pela relação:
GSSλ −= (223)
onde SG represente a hora sideral de Greenwich.
A determinação da hora sideral local consiste em determinar o instante do
astro em sua passagem meridiana. Devido a erros acidentais e sistemáticos, o instante
cronométrico não corresponde à exata passagem meridiana do astro. Estes erros () podem ser
minimizados através da equação de Mayer modificada:
kCcBbAaτ +++= (224)
onde:
τ – redução do instante cronométrico ao meridiano;
A – fator de azimute;
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
197
a – desvio azimutal do instrumento (incógnita da equação de Mayer, mas pode ser
determinada pelo MMQ);
B – fator de nível;
b – inclinação do eixo secundário do instrumento;
C – fator de colimação; e
K – aberração diária.
Sendo:
( ) δ secδsenA −= (225)
( ) δ secδ cosB −= (226)
( ) d/60ΔEΔW b −= (227)
δ secC = (228)
( ) R/200sm c −= (229)
H cosδ sec coss0,02132k = (230)
onde:
ΔW – diferença aritmética da maior e menor leitura do nível (ocular a oeste);
ΔE – diferença aritmética da maior e menor leitura do nível (ocular a leste);
d – sensibilidade do nível;
m – movimento perdido do micrômetro impessoal;
s – espessura média dos contatos do micrômetro;
R – valor equatorial da volta do micrômetro; e
H – ângulo horário da estrela.
Aplicando estas correções, a expressão da Mayer assumirá:
( )kCcBbAaSαλ G ++++−= (231)
Considerando:
0λλΔλ −= (232)
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
198
onde:
Δλ – correção à longitude;
λ – longitude do ponto obtida pelo método de Mayer; e
λ0 – longitude aproximada do ponto.
Pode-se obter a equação de verificação:
0kCcBbAaSαλ G0 =+++++−+ (233)
Para alcançar resultados de alta precisão, na determinação da longitude
astronômica, são impostas algumas restrições às estrelas, conforme segue:
1. Devem estar catalogadas no FK5 (5o catálogo fundamental) ou
A.P.F.S.;
2. Ter magnitude entre 3,0 e 7,0;
3. O fator de azimute (A) de qualquer estrela não deve exceder 0,60, e a
soma algébrica do fator (A) em um grupo não deve exceder 1,0;
4. Devem ser observados pelo menos seis grupos de estrelas, e também
devem ser observadas em pelo menos duas noites de trabalhos;
5. O número mínimo de estrelas em um grupo é cinco. Quando um
determinado número de estrelas forma um grupo, elas devem ser
exatamente divididas entre estrelas Norte e Sul;
6. Os contatos de registros do cronógrafo para determinar o tempo de
passagem da estrela devem ser 20 e no mínimo 10 pares, para obter
uma observação de boa precisão;
7. As comparações rádio-cronômetros são feitas no início e no fim de
cada período de observação (noite). As comparações contêm não
menos do que 20 sinais de rádio; e
8. No cálculo de séries individuais, o resíduo de qualquer estrela não
deve exceder um valor absoluto 0,08s sec .
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
199
Operações de campo
▪ O instrumento é cuidadosamente ajustado e posicionado no meridiano
com um erro de azimute menor que 1”, antes das observações
começarem. Durante as observações as diferenças no nível (W – E)
não devem nunca exceder 10 divisões e o somatório das diferenças do
nível para todas as séries de longitudes devem ser próximas de zero. O
instrumento não pode ser renivelado durante uma série de passagens;
▪ Antes de começar as observações uma lista de estrelas é preparada.
Esta lista contém todas estrelas disponíveis com considerações dadas
ao fator “A”;
▪ Nas comparações rádio-cronômetro, o cronômetro deve ser ajustado o
mais próximo possível da hora local (ele não deve ser alterado durante
o período de observação);
▪ O cronógrafo registra dez pares de instante cronométrico para cada
estrela, e posteriormente é calculado o valor médio;
▪ São registradas a temperatura e pressão no início e o fim de cada
grupo, o tipo de cronógrafo, a emissora de rádio que foi usada na
observação, a data (dia, mês e ano). Além disso, para cada estrela são
registradas as quatros leituras no nível, sendo duas com o instrumento
na posição leste e duas com o instrumento na posição oeste;
▪ Antes de selecionar as passagens das estrelas as comparações rádio-
cronômetro são selecionadas e calculadas para saber se são
aproveitáveis. As comparações incorretas ou insuficientes podem
causar rejeição de uma ou mais séries. São registradas a hora
transmitida do sinal (hora da rádio), e a hora cronométrica local do
sinal (correspondendo a hora cronométrica). Com a fita de saídas as
comparações rádio-cronômetro, são identificadas e então,
selecionados os minutos exatos para cada segundo cronométrico e
cada sinal de rádio identificável. Pelo menos 20 sinais são
selecionados. A época média dotada é a hora de segundo cheio mais
próxima da época média. A leitura média selecionada é a média das
horas cronométricas selecionada mais próximas de 0,0001s;
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
200
▪ Depois de calcular todas as épocas de sinal médio de rádio e suas
correspondentes horas cronométricas, devemos determinar a marcha e
estado do cronômetro;
▪ O tempo despendido para um sinal de rádio ser transportado da
estação transmissora à estação no campo não é instantâneo e varia
com a distância entre as duas estações. Quando usamos apenas um
sinal fonte, a correção é uma constante em qualquer estação no campo
e é aplicada na longitude observada; e
▪ Pequenas correções devem ser aplicadas aos sinais de tempo emitidos
pelas estações de rádio. Essa correção é divulgada pelo boletim B do
Boureau International de l’Heure (BIH).
Sequência de cálculos para a determinação da longitude
Calculados todos os valores da longitude para cada grupo e determinado o
valor da longitude final através da média aritmética, e de posse dos resíduos, são aplicados os
testes de rejeição da série.
A longitude final determinada pelas séries aproveitáveis precisa ser
submetida às seguintes correções:
▪ Redução ao polo médio (RPM):
( )λsen yλ cosx"RPM −−= (234)
onde x e y são as coordenadas do polo instantâneo e λ a longitude da
estação;
▪ Redução à estação geodésica (REG):
M
Az cosDREG
−= (235)
onde D é a distância em metros entre os pontos, Az o azimute da
estação geodésica a estação astronômica, e M o raio médio de
curvatura da seção meridiana, dado por:
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
201
( )( )3/222
2
sene1
e1aM
−
−= (236)
onde a é semieixo maior do elipsoide, e a 1ª excentricidade.
Assim, a latitude astronômica da estação geodésica (λa) é finalmente obtida
aplicando todas as correções na longitude calculada:
TTREGRPMλλa +++= (237)
14.3 Determinação do Azimute Através de Observações à Estrela Polar Sul Sigma
Octantis (σOct)
Este método utiliza o ângulo horário da estrela (H), a colatitude (90o – ) e a
distância polar (90o – ) para calcular o azimute (A) de uma estrela. É empregado nos lugares
de latitudes médias, nas determinações de alta precisão, servindo para orientação das redes
fundamentais. O método consiste na observação da estrela de brilho 5,5 Sigma Octantis (Oct)
em um instante qualquer (mas a estrela deve estar afastada de meridiano local de pelo menos
uma hora).
Pelo fato da estrela Oct estar “próxima” ao Polo Sul (possui declinação
aproximada de 88o 58’), possui uma velocidade azimutal “muito baixa” (descreve um arco de
aproximadamente 2o em 24 horas siderais). Diante do exposto, a estrela está praticamente
elongando 20 horas em seu movimento diurno.
Para a determinação de Alta Precisão o erro provável do azimute médio
astronômico não deve ser maior que 0,3”. Assim, para alcançar resultados de alta precisão, na
determinação do azimute astronômico, são impostas algumas restrições às estrelas, conforme
segue:
1. Devem ser observados dois grupos, cada um contendo 16 posições.
Pelo menos 12 posições devem ser aceitáveis em cada grupo;
2. Os grupos devem ser separados por um período mínimo de quatro
horas e preferencialmente serem observados em noites diferentes;
3. Qualquer observação com um resíduo maior que 5,0” (em valor
absoluto) deverá ser rejeitada;
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
202
4. Os azimutes médios de cada grupo são calculados separadamente. Se o
azimute médio dos dois grupos diferirem mais que 1”, um terceiro
grupo de 16 posições deve ser observado;
5. Quando mais do que dois grupos forem observados, o azimute de
qualquer grupo deve ter um resíduo menor que 1” do azimute final.
Operações de campo
▪ Basicamente, o método consiste em observar a estrela Oct em um
instante qualquer afastado do meridiano, de preferência na elongação;
▪ O instrumento deve ser precisamente nivelado sobre a estação. As
linhas de visada para a mira e para a estrela devem ser desobstruídas;
▪ As comparações rádio-cronômetro devem ser obtidas antes de começar
a observação do grupo e imediatamente após o término deste. O
cronômetro será ajustado o mais próximo da hora sideral local. A
precisão da comparação deve estar dentro de 0,2s;
▪ O astro e a mira devem ser medidos 32 vezes (cada um); 16 em cada
posição do círculo horizontal. O intervalo de reiteração é 11o 15’;
▪ É recomendável que as observações se realizem pelo em duas noites
diferentes, ou na mesma noite com quatro horas de intervalo entre os
grupos;
▪ A mira deve estar afastada do ponto estação a fim de que eles sejam
observados com a mesma focalização;
▪ No caso de um grupo com 16 observações, são cronometrados 2
instantes em cada observação (astro e mira), um no início (mira) e
outro no fim (astro) fornecendo um total de 32 instantes cronométricos
no grupo; e
▪ O cronômetro deve ser acertado o mais próximo possível da hora
sideral local. O estado, marcha do cronômetro devem ser corrigidos
para o instante da observação.
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
203
Sequência de cálculos para a determinação do azimute
Para calcular o azimute do astro no instante de observação utiliza-se:
cosδ tgH cossen
Hsen A tg A
−= (238)
Assim, o azimute da mira é obtido pela equação:
AMAM LLAA −+= (239)
No entanto, algumas correções devem ser aplicadas as observações:
▪ Correção da curvatura (CC): o intervalo de tempo entre as duas
pontarias direta e inversa sobre a estrela devem ser tão pequenas
quanto possível. O resultado do azimute é calculado usando a média
dos instantes cronométricos e a média das pontarias do instrumento. O
azimute assim calculado é o azimute do ângulo horário médio e não é
igual ao azimute médio da hora cronométrica das pontarias individuais
na observação. A razão do azimute variar constantemente é devido a
curvatura da órbita aparente de uma estrela. A expressão geral para o
cálculo da correção é:
( )1"sen
A tg2Tsen2CC A
2 −= (240)
com: ( ) 2ttT 12 −= , sendo t1 o instante cronométrico da 1ª pontaria e
t2 o instante cronométrico da última pontaria.
▪ Correção da inclinação (CI): o ângulo medido entre dois objetos que
não estão no mesmo plano não é um ângulo horizontal verdadeiro.
Isso ocorre quando o eixo vertical do instrumento não está na vertical.
Por essa razão as leituras no círculo são corrigidas usando a seguinte
expressão:
( )4
h tgΔWΔEdCI
−= (241)
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
204
onde: d – sensibilidade do nível, ΔE – diferença aritmética da maior e
menor leitura do nível (ocular a leste), ΔW – diferença aritmética da
maior e menor leitura do nível (ocular a oeste) e h – altura do astro,
dado por:
( ) cosH cosδ cossen δsen cos arch += (242)
▪ Correção da aberração diurna em declinação (CA):
h secA cos cos0,3198CA A −= (243)
▪ Correção da elevação da mira (RM): como as normais, nos dois
pontos sobre o elipsoide, não estão no mesmo plano, tem-se um erro
da direção horizontal observada de uma estação, em função da sua
altitude acima do elipsoide. A correção é dada pela fórmula:
A
2 2Asen cosH0,000109RM = (244)
onde H é a altitude da mira.
▪ Redução ao polo médio (RPM):
( )λsen yλ cosx"RPM −−= (245)
onde x e y são as coordenadas do polo instantâneo e λ a longitude da
estação;
Assim, o azimute astronômico da estação geodésica (AM) é finalmente
obtido aplicando todas as correções:
RPMRMCACICCLLAA AMAM +++++−+= (246)
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
205
15 VARIAÇÃO DAS COORDENADAS URANOGRÁFICAS
15.1 Histórico
As coordenadas uranográficas das estrelas sofrem lentas variações no
tempo, geralmente inferiores a um minuto de arco por ano.
Hiparco no século II antes de Cristo, medindo a longitude celeste da estrela
Spica, notou que esta coordenada celeste havia aumentado de cerca de 2o desde um século e
meio atrás, quando Timocaris havia feito estas mesmas medidas. Foi o primeiro a constatar
variações nas coordenadas celestes. Exemplificando:
Tabela 8 – Comparação da variação da longitude da estrela Spica entre 283 a.C. e 129 a. C..
Astrônomo Ano Estrela Longitude
Timocaris 283 a.C. Spica (α Vir) 172º
Hiparco 129 a.C. Spica (α Vir) 174º
Diferença 154 anos - 2º
15.2 Fatores Determinantes das Variações
Os fatores determinantes das variações das coordenadas celestes são:
▪ Movimento do eixo de rotação da Terra, que causa a precessão
lunissolar e a nutação;
▪ Movimento da eclíptica e que ocasiona a precessão planetária;
▪ Movimento anual da Terra (translação) que produz a paralaxe anual e
aberração anual;
▪ Movimento próprio das estrelas;
▪ Movimento diário da Terra (rotação) que causa a aberração diária e a
paralaxe diária;
▪ Refração astronômica dos raios luminosos provenientes dos astros; e
▪ Movimento da Terra em relação ao seu eixo originando o movimento
do Polo, fazendo com que variem as coordenadas uranográficas.
É comum dividir (didaticamente) as variações das coordenadas
astronômicas em seculares e periódicas. As variações seculares são variações lentas, que
prosseguem através dos tempos, de maneira que para um certo número de anos, ou mesmo
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
206
séculos, podem ser consideradas proporcionais ao tempo. As variações periódicas são as
variações relativamente rápidas, que oscilam entre seus valores extremos num certo período,
as quais não podem ser consideradas proporcionais ao tempo, com exceção de intervalos
muito pequenos.
A maioria das variações seculares, a rigor, são periódicas, porém seu
período é muito grande, como é o caso da precessão, cujo período é de 260 séculos.
As variações periódicas podem ser ainda de longo período, quando o
período for de meses ou anos, e de curto período, quando for de apenas alguns dias ou menos.
As variações que a ascensão reta e a declinação sofrem podem ser
imputadas:
▪ Um complexo movimento do eixo de rotação da Terra → precessão
lunissolar e nutação;
▪ A um lento deslocamento da eclíptica → precessão planetária;
▪ Ao movimento anual da Terra → paralaxe anual e aberração anual; e
▪ A própria estrela → movimento próprio.
15.3 Precessão Lunissolar
Sabe-se que o eixo de rotação da Terra está inclinado em relação ao eixo da
eclíptica, de um valor igual à obliquidade da eclíptica. Devido ao fato da Terra não ser
esférica, e sim achatada nos Polos, é que se dá o fenômeno da precessão lunissolar. Pode-se
chamar de precessão lunissolar a um lento balanço de nosso planeta que obriga o seu eixo de
rotação (eixo médio) a girar em torno do eixo da eclíptica no sentido retrógrado, gerando em
cerca de 26000 anos uma superfície cônica de duas folhas com vértice no centro da Terra
(único ponto terrestre que não participa do movimento). Em consequência, cada Polo celeste
(polo médio) descreve no mesmo período, sobre a esfera celeste, uma circunferência que
delimita uma calota cujo vértice é o Polo da eclíptica.
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
207
Figura 73 – Precessão lunissolar (1).
A eclíptica mantém-se imóvel no espaço (no que tange à precessão
lunissolar) enquanto o Equador sofre um balanço para conservar-se, obediente à própria
definição, constantemente normal ao eixo terrestre. Em consequência desse deslocamento (do
Equador), a linha equinocial retrograda, obrigando o ponto vernal a movimentar-se sobre a
eclíptica, em sentido contrário ao do movimento anual aparente do Sol, de aproximadamente
50,3” por ano, é o que se conhece por retrogradação dos nodos.
A precessão lunissolar é devida à ação atrativas do Sol e da Lua sobre a
protuberância equatorial, proporcionando um deslocamento de 50” dos pontos equinociais por
ano, aproximadamente 34” é devido à influência da Lua.
O Sol situado no plano da eclíptica exerce sobre as protuberâncias
equatoriais atrações F1 e F2 (Figura 74). Como F2 está mais distante do Sol, tem-se que F1 >
F2, o que ocasiona uma resultante F que cria um momento em relação ao centro da Terra. Se a
Terra estivesse parada este momento tenderia tombar o plano do Equador sobre o plano da
eclíptica. Como a Terra possui o movimento de rotação, os Polos PN e PS descrevem
circunferências cujos centros se acham sobre o eixo da eclíptica, isto é, a Terra está animada
de um movimento giroscópio. O eixo de rotação da Terra descreve uma superfície cônica de
duas folhas de centro em 0. O efeito da atração da Lua se superpõe ao efeito da atração do
Sol, dando origem a chamada precessão lunissolar.
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
208
Figura 74 – Precessão lunissolar (2).
Os polos celestes giram em torno do eixo da eclíptica com um período de
cerca de 25.800 anos. Como o Equador é perpendicular ao eixo de rotação da Terra, o ponto
vernal sofre um deslocamento no sentido retrógrado de cerca de 50,2” por ano.
Efeitos da precessão lunissolar:
▪ Variação de coordenadas. As abcissas esféricas que tem origem no
ponto vernal, longitude celeste e ascensão reta, são alteradas para
mais, uma vez que o sentido de contagem das mesmas é contrário ao
da precessão dos equinócios. Variando a posição do Equador, que se
mantém sempre perpendicularmente ao eixo da Terra, também varia a
declinação;
▪ Variação na duração das estações;
▪ Deslocamento dos polos;
▪ Deslocamento do ponto vernal em relação às constelações zodiacais; e
▪ Redução na duração do ano trópico.
15.4 Nutação
Como a órbita (translação) da Terra não é circular, a distância Terra-Sol
sofre variações periódicas. O mesmo ocorre com a Lua. A consequência deste fato é que a
intensidade das forças de atração terá também variações periódicas. Além disto, o plano da
órbita da Lua não coincide com a eclíptica, isto provoca alterações periódicas na direção das
forças atrativas. O fenômeno resultante destas causas é conhecido como nutação astronômica
ou apenas nutação, que é o movimento periódico dos Polos celestes com amplitude de
aproximadamente 18” e período aproximado de 18,6 anos.
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
209
Figura 75 – Nutação (1).
A atração lunissolar sobre a protuberância equatorial obriga o eixo da Terra
a girar em torno do eixo da eclíptica com um movimento complexo cuja parte secular
(precessão lunissolar) foi estudada isoladamente quando supunha-se que o eixo médio
gerando uma superfície cônica de bases circulares que admite como eixo o eixo da eclíptica.
A parte não uniforme, periódica, constitui a nutação astronômica, de expressão matemática
complexa e formada por termos periódicos que podem ser separados em dois grupos (os de
longos períodos (até 18,6 anos) e dos de curto períodos (menos de 35 dias). Nas coordenadas
aparentes das estrelas que vêm registradas nas efemérides não está incluído o efeito dos
termos de curto período em nutação.
A nutação superposta à precessão lunissolar ocasiona um movimento
ondulatório aos Polos celestes (Figura 76).
Figura 76 – Nutação (2).
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
210
A nutação pode ser decomposta em uma série de movimentos ondulatórios
de longo período (18,6 anos até 35 dias) e de curto período (menos de 35 dias) (Figura 77).
Figura 77 – Nutação (3).
15.5 Precessão Planetária
Viu-se que a precessão lunissolar e a nutação astronômica decorrem da ação
atrativa do Sol e da Lua e não exercem influência alguma no que tange à posição da eclíptica
no espaço; esta sofre pequenos deslocamentos em consequência da ação atrativa dos planetas
(principalmente Vênus, Marte e Júpiter) que designa-se de precessão planetária.
A precessão planetária traduz-se por um balanço da eclíptica que determina
um deslocamento do ponto vernal no sentido direto sobre o Equador. Em consequência da
precessão planetária, a obliquidade varia de aproximadamente 48” por século, oscilando entre
um máximo de 24o 36’ e um mínimo de 21o 59’ num período de 20 milênios.
15.6 Precessão Geral
Em geral, a precessão lunissolar e a precessão planetária são consideradas
simultaneamente, sendo que a combinação das duas é conhecida como precessão geral.
Conforme já estudado, conclui-se que devido à precessão geral o ponto
vernal sofre um movimento secular e, devido a nutação, um movimento periódico. Como este
ponto é a origem de contagem da abcissa esférica no sistema de coordenadas uranográficas,
conclui-se que a ascensão reta sofre variações com o tempo. Como a precessão geral tem
caráter secular e uniforme corrigem-se as coordenadas uranográficas de seu efeito para o
intervalo de tempo decorrido entre duas épocas.
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
211
A nutação tem caráter periódico, assim as coordenadas em uma determinada
época devem ser corrigidas da nutação nesta mesma época.
15.7 Paralaxe Anual
Em decorrência do movimento translativo do nosso planeta, cada estrela
parece descrever uma pequena elipse em torno de sua projeção sobre a esfera celeste a partir
do Sol; essa elipse – elipse paralática – será tanto mais excêntrica quanto menor for a latitude
do astro, degenerando num segmento no caso de uma estrela situada no plano da eclíptica. O
ângulo p sob o qual do astro se subentende o semieixo maior da órbita terrestre denomina-se
paralaxe anual e varia de uma estrela para outra em função de sua distância.
15.8 Aberração Estelar
Entende-se por aberração estelar o fenômeno do deslocamento aparente de
um objeto celeste causado pela velocidade da luz e pelo movimento relativo do objeto e do
observador.
15.9 Aberração Anual
O fenômeno em estudo (aberração estelar) depende da relação entre a
velocidade de propagação da luz e a velocidade do observador, até aqui, considerou-se o
observador arrastado pelo movimento de translação a Terra ao redor do Sol, o que justifica a
expressão aberração anual. E é precisamente esta aberração estelar anual que interessa no
problema da variação das coordenadas uranográficas de uma estrela.
15.10 Aberração Diária
Considerando-se o movimento de rotação da Terra tem-se a aberração
estelar diurna, cujos efeitos são menos acentuados que os da anual, pois a velocidade
tangencial do observador é muito menor.
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
212
15.11 Movimento Próprio
No movimento diurno as estrelas foram consideradas como astros fixos na
esfera celeste, mas sabe-se que tais astros acham-se animados de grandes velocidades, mas
praticamente imperceptíveis devido seu extraordinário afastamento.
Halley e Cassini tentaram estudar o movimento próprio das estrelas com
base em indicações que remontavam a Ptolomeu. Mayer, valendo-se de posições
determinadas por Roëmer compôs um catálogo, em 1760, onde registrou o movimento
próprio de 80 estrelas.
A estrela “Flecha de Bernard”, estrela de magnitude 9,6 situada na
constelação de Ofiuco e uma das mais próximas da Terra, é a que apresenta maior movimento
próprio conhecido (10”/ano).
No posicionamento astronômico, interessa a influência de tal deslocamento
sobre as coordenadas uranográficas, ou, como é usual dizer, o movimento próprio anual em
ascensão reta e o movimento anual em declinação. Tais valores podem ser obtidos, nos casos
conhecidos, nos catálogos estelares.
15.12 Coordenadas Médias, Verdadeiras e Aparentes
Figura 78 – Coordenadas médias, verdadeiras e aparentes.
Notas de Aulas da Disciplina de Astronomia de Posição
213
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