5/13/2018 Área de uma superfície de revolução - slidepdf.com

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ÁREA DE UMA SUPERFÍCIE DE REVOLUÇÃO

Quando uma curva plana gira em torno de uma reta no plano, obtemos

uma superfície de revolução.

Seja a área da superfície de revolução S , obtida quando uma curva C ,

de equação [ ],b,a x  ), x ( f y  ∈=   gira em torno do eixo de x.

Dividindo o intervalo [a, b] em n subintervalos, onde:

.b x ... x  x ... x  x  x  x a ni 1i 32 10  =<<<<<<<<=−

Desta forma obtemos Q0, Q1, Q2 , . . ., Qn  pertencentes a curva C .

Fazendo cada segmento de reta desta linha poligonal girar em torno do eixo de

x, a superfície de revolução obtida é um tronco de cone.

Portanto, a área lateral do tronco de cone é dada por:

[ ] dx  ) x ( ' f 1 ) x ( f 2  Ab

a

2 

∫  += π  

Definição:

Seja C  uma curva de equação ),( x f y  = onde f  e f’  são funções

contínuas em [a, b] e ].[ b,a x ,0  ) x ( f  ∈∀≥ A superfície de revolução S,

gerada pela rotação da curva C ao redor do eixo dos x, é definida por:

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[ ] dx  ) x ( ' f 1 ) x ( f 2  Ab

a

2 

∫  += π  

Se ao invés de considerarmos uma curva)( x  f   y =

girando em torno doeixo dos x, considerarmos uma curva ],[),( d c y y g  x ∈= girando em torno do

eixo dos y, a área será dada por:

[ ] .dy  )y ( ' g 1 )y ( g 2  Ad 

c 

2 

∫  += π 

Exemplos:

Calcular a área da superfície de revolução obtida pela rotação, em torno do

eixo dos x, da curva dada por  4 x 4

1, x 4y  ≤≤=   .

Calcular a área da superfície de revolução obtida pela rotação, em torno do

eixo dos y, dada pela curva 1y 0 ,y  x  3≤≤=   .

1) Calcular a área da superfície gerada pela rotação do de curva dado, em

torno do eixo indicado.

a)

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 b)

c)

d)

e)

f) .

2) Calcular a área da superfície do cone gerado pela revolução do

segmento de reta :

a) Ao redor do eixo dos x;

 b) Ao redor do eixo dos y.

3) Calcular a área da superfície obtida pela revolução do arco da parábola

ao redor do eixo de x.