20/03/2017
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PEF2602 Estruturas na Arquitetura I I - Sistemas Reticulados
EP-USP
FAU-USP
Sistemas Reticulados
PEF2603 Estruturas na Arquitetura III -
Sistemas Reticulados e Laminares
Estados Duplos de Tensão
(Aula 13/03/2017)
Professores: Ruy Marcelo O. Pauletti, Leila Meneghetti, Luís Bitencourt
1º Semestre 2017
2 PEF2603 : Estruturas na Arquitetura III - Sistemas Reticulados e Laminares
Sumário
Princípio de Euler Cauchy Tensão normal e tangencial Estado de tensão em um ponto Tensor das tensões de Cauchy Estado duplo de tensão Tensão plana Tensões atuando em um plano inclinado Equações de transformação Tensões e planos principais Tensões de cisalhamento máximas Círculo de Mohr Estados de tensões especiais
3 PEF2603 : Estruturas na Arquitetura III - Sistemas Reticulados e Laminares
Tensão
• Princípio de Euler e Cauchy Sólido em equilíbrio Corte imaginário em um plano θ
1 (versor que define o plano )n
Importante!!! tensão depende do ponto de aplicação (P) e do plano de
atuação (θ)
0, lim
A
fP
A
F1
F2 Fn
Fn
F1 F2
fA
P
f
F1 F2
A
P
y
z
n
4 PEF2603 : Estruturas na Arquitetura III - Sistemas Reticulados e Laminares
Tensão
• Tensão Normal
• Tensão Tangencial
, onde n n n n
produto escalar
y
z
xz
xy
plano direção
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5 PEF2603 : Estruturas na Arquitetura III - Sistemas Reticulados e Laminares
Tensão
• Estado de tensão em um ponto
Convenção de sinais (teoria da elasticidade)
0 tração
0 sentido positivo
em ambos os eixosxy
x
y
z
xy
xz
yx
yz
zx
zy
z
y
x
6 PEF2603 : Estruturas na Arquitetura III - Sistemas Reticulados e Laminares
Tensão
• Tensor das tensões (Cauchy)
x xy xz
yx y yz
zx zy z
T
Obs: Conhecendo as tensões em 3 planos ortogonais quaisquer, é possível se obter as tensões em qualquer outro plano
Def.: Plano principal τ = 0
7 PEF2603 : Estruturas na Arquitetura III - Sistemas Reticulados e Laminares
Estado Duplo de Tensão Em diversos problemas é possível reconhecer a priori um dos planos
principais (τ = 0). Nesses casos, diz-se que o sólido está submetido a um ESTADO DUPLO DE TENSÃO
Exemplos chapas finas
barragens
𝑊
𝑁𝐴
𝑥 𝑧
𝑦
Superfícies livres
Estado plano de deformação (plano principal
perpendicular ao eixo)
Estado plano de tensão (plano principal paralelo à
superfície média)
Plano principal é tangente à superfície externa
8 PEF2603 : Estruturas na Arquitetura III - Sistemas Reticulados e Laminares
Estado Duplo de Tensão Tensão plana
No estado duplo, o equilíbrio de um prisma triangular infinitesimal contendo o ponto P permite obter as tensões em qualquer plano ortogonal ao plano da face triangular
espessura e=1
y
yx
xy
x
ds
ds
.yds sen
.yxds sen
. cosxyds
. cosxds
o
ds. cosds
.ds sen
Diagrama de corpo livre
0 sentido horário
x
y
+
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9 PEF2603 : Estruturas na Arquitetura III - Sistemas Reticulados e Laminares
Estado Duplo de Tensão Tensão em seções inclinadas
As tensões tangenciais em dois planos ortogonais são iguais em módulo e têm sentidos opostos junto à aresta comum aos planos.
Equilíbrio do prisma
00
xy yxM
2 2( ) 0 cos 2 cos
x y xyF sen sen
2 2( ) 0 ( ) cos (cos )
x y xyF sen sen
10 PEF2603 : Estruturas na Arquitetura III - Sistemas Reticulados e Laminares
Estado Duplo de Tensão
Equações de transformação para tensão plana
cos 2 2
2 2x y x y
xysen
2 cos 22
x y
xysen
Relações trigonométricas
2
2
1 cos 2cos
21 cos 2
2sen
11 PEF2603 : Estruturas na Arquitetura III - Sistemas Reticulados e Laminares
Exercício 01 Um elemento sob tensão plana na superfície de uma estrutura carregada é ilustrado na figura abaixo. Determine as tensões atuando em um elemento que está orientado a um ângulo de 15º no sentido horário em relação ao elemento original
46MPa
12MPa
19MPa
12y
MPa
46x
MPa
19xy
MPa
x
y
+
0150,8660 0,5
17 29
cos 2 2 32,62 2
x y x y
xy
MPa MPa
sen MPa
0150,5 0,8660
29
2 cos 2 312
x y
xy
MPa
sen MPa
Substituindo nas equações de transformação:
12 PEF2603 : Estruturas na Arquitetura III - Sistemas Reticulados e Laminares
Exercício 01
01050,8660 0,5
17 29
cos 2 2 1, 42 2
x y x y
xy
MPa MPa
sen MPa
0 015 105
46 12 32,6 1,4
Verificar que: 34x y
MPa
Tensão normal atuando em um plano ortogonal: 0 090 105
32,6MPa
1, 4MPa
31MPa015
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13 PEF2603 : Estruturas na Arquitetura III - Sistemas Reticulados e Laminares
Tensões e planos principais
Estado Duplo de Tensão
( ) 2 2 cos 2 0
x y xysen
2tan 2 xy
p
x y
Obs.:
0 2 cos 2 02
x y
xysen
2tan 2 xy
x y
Os planos onde atuam as tensões máximas e mínimas são também
planos principais (tensão de cisalhamento é nula)
Planos principais
14 PEF2603 : Estruturas na Arquitetura III - Sistemas Reticulados e Laminares
Tensões principais
Tensões e planos principais
Estado Duplo de Tensão
2
2
2
x y
xyr
cos 22
x y
p r
2
xy
psen
r
1 2 x y
2
2
1,2 2 2
x y x y
xy
xy
2
x y
2p
1 2
15 PEF2603 : Estruturas na Arquitetura III - Sistemas Reticulados e Laminares
Tensões de cisalhamento máximas
Estado Duplo de Tensão
tan 2
2
x y
sxy
( ) cos 2 2 2 0
x y xysen
Planos de tensões de cisalhamento máximas positiva e negativa
22
x y
ssen
r
cos 2xy
s r
16 PEF2603 : Estruturas na Arquitetura III - Sistemas Reticulados e Laminares
Estado Duplo de Tensão Tensões de cisalhamento máximas
2
2max min 2
x y
xy
1 2
max 2
2
x y
med
Os planos de tensão de cisalhamento máxima também
contêm tensões normais
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17 PEF2603 : Estruturas na Arquitetura III - Sistemas Reticulados e Laminares
Exercício 02 Para o elemento sob tensão plana abaixo, pede-se: a) Determine as tensões principais e faça um esboço do elemento b) Determine as tensões de cisalhamento máximas e faça um esboço do
elemento
50MPa
10MPa
40MPa
10y
MPa
50x
MPa
40xy
MPa
x
y
+
18 PEF2603 : Estruturas na Arquitetura III - Sistemas Reticulados e Laminares
Exercício 02
Substituindo nas equações de transformação:
02
tan 22 ( 40)
1,33 2 53,1350 ( 10)
xy
p
x y
p
0 0
0 0
2 53,13 e 26,6
2 126,87 e 63, 4p p
p p
026,60,6 0,8
20 30
cos 2 2 702 2
x y x y
xy
MPa MPa
sen MPa
063,40,6 0,8
20 30
cos 2 2 302 2
x y x y
xy
MPa MPa
sen MPa
a) Solução: alternativa 1
19 PEF2603 : Estruturas na Arquitetura III - Sistemas Reticulados e Laminares
Exercício 02
2
2 1
1,2
2
2050
2 250
7020
30x y x y
xy
MpaMPa
MPaMPa
a) Solução: alternativa 2
1
1
2
cos 22
400,8
5050 10
0,62 50
x y
xy
p
p
senr
r
1 1
0 0 0 00 360 2 53,13 26,6p p
2
2
250x y
xyr MPa
2 1
0 090 63, 4p p
20 PEF2603 : Estruturas na Arquitetura III - Sistemas Reticulados e Laminares
Exercício 02
2
2 1
1,2
2
2050
2 250
7020
30x y x y
xy
MpaMPa
MPaMPa
a) Solução: alternativa 2
11
2
0
02
70 e 26,6
30 e 63, 4p
p
MPa
MPa
70MPa
30MPa
40MPa
026,6
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21 PEF2603 : Estruturas na Arquitetura III - Sistemas Reticulados e Laminares
Exercício 02 b) Solução: alternativa 2
2
2max 2
50x y
xyMPa
220x y
medMPa
018, 43s
0tan 2 22
50 ( 10)0,75 36,86
2 ( 40)x y
s sxy
20MPa
20MPa 018, 43s
50MPa
22 PEF2603 : Estruturas na Arquitetura III - Sistemas Reticulados e Laminares
Estado Duplo de Tensão Círculo de Mohr para tensão plana
2 2
2 2
2 2x y x y
xy
2 2 20 0
( ) ( ) rx x y y
círculo
0 0centro: e 0
2x y
2
2raio: 2
x y
xyr
23 PEF2603 : Estruturas na Arquitetura III - Sistemas Reticulados e Laminares
Estado Duplo de Tensão Círculo de Mohr para tensão plana
0 0centro: e 0
2x y
2
2raio: 2
x y
xyr
0
1
2
max
min
r
24 PEF2603 : Estruturas na Arquitetura III - Sistemas Reticulados e Laminares
Estado Duplo de Tensão Círculo de Mohr para tensão plana
0 0centro: e 0
2x y
2
2raio: 2
x y
xyr
0
1
2
max
min
r
Tensões principais
2
2
2 2 2
x y x y
xy
Tensões normal máxima
2
2
1 2 2
x y x y
xy
Tensões normal mínima
Tensão de cisalhamento máxima e mínima
2
2max min 2
x y
xy
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25 PEF2603 : Estruturas na Arquitetura III - Sistemas Reticulados e Laminares
Estado Duplo de Tensão Propriedades do estado duplo de tensão
A soma das tensões normais em 2 planos ortogonais quaisquer é constante:
As tensões de cisalhamento são nulas nos planos onde atuam as tensões principais:
max min
e
Os planos principais são ortogonais;
( ) 1 2
( )2
x y
As tensões de cisalhamento extremas valem:
max min
e As tensões normais nos planos de
1 2
max min 2valem:
2x y
26 PEF2603 : Estruturas na Arquitetura III - Sistemas Reticulados e Laminares
Estado Duplo de Tensão Estados de tensão especiais
Estado simples de tensão
tração compressão
t
t
c
c 2
c 2c
2t
2t
t
t
c c
45º 45º
1
01 t
max 2c
2
0 2 c
max 2t
27 PEF2603 : Estruturas na Arquitetura III - Sistemas Reticulados e Laminares
Estado Duplo de Tensão Estados de tensão especiais
Estado de cisalhamento simples
TMA B
A
A
A
A
Ponto A
Ponto B
1 A
A
A
2 A
1 B
B
B
2 B
B
B
B
B
28 PEF2603 : Estruturas na Arquitetura III - Sistemas Reticulados e Laminares
Estado Duplo de Tensão Estados de tensão especiais
Estado hidrostático de tensão
P
Ponto P
p
p
pp
p
1 2
p
max min
0
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29 PEF2603 : Estruturas na Arquitetura III - Sistemas Reticulados e Laminares
Estado Duplo de Tensão Construção do círculo de Mohr
1. Desenhar um sistema de coordenas conforme desenho esquemático abaixo:
2. Localizar o centro C do círculo com coordenadas:
0 0 e 0
2x y
med
0
y
xy
x
xy
A
B
30 PEF2603 : Estruturas na Arquitetura III - Sistemas Reticulados e Laminares
Estado Duplo de Tensão Construção do círculo de Mohr 3. Localize os pontos A e B a partir das suas componentes de tensões atuantes nesses dois planos ortogonais
0
x
0( 0 )A xy
0( 90 )B xy
y
Obs: No círculo de Mohr a tensão de cisalhamento é positiva no sentido horário:
C
31 PEF2603 : Estruturas na Arquitetura III - Sistemas Reticulados e Laminares
Estado Duplo de Tensão Construção do círculo de Mohr 4. Desenhe uma linha do ponto A ao ponto B. Essa linha é o diâmetro do círculo e passa pelo centro C. Lembre que os pontos representam as tensões em planos ortogonais (90º) e no círculo estão 180º separados.
0
x
0( 0 )A xy
0( 90 )B xy
y
Obs: No círculo de Mohr a tensão de cisalhamento é positiva no sentido horário:
02 180
32 PEF2603 : Estruturas na Arquitetura III - Sistemas Reticulados e Laminares
Estado Duplo de Tensão Construção do círculo de Mohr 5. Usando o ponto C como centro, desenhe o círculo através dos pontos A e B. Note que o círculo desenhado possui raio r.
2
2raio: 2
x y
xyr
0
r
0( 0 )A
0( 90 )B
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33 PEF2603 : Estruturas na Arquitetura III - Sistemas Reticulados e Laminares
Estado Duplo de Tensão Construção do círculo de Mohr 6. Pode-se determinar por inspeção as tensões principais e tensões de cisalhamento máximas e seus respectivos ângulos (considerando o sentido horário como positivo) a partir do plano.
2
2raio: 2
x y
xyr
0
1
2
max
min
r
0( 0 )A
0( 90 )B
34 PEF2603 : Estruturas na Arquitetura III - Sistemas Reticulados e Laminares
Estado Duplo de Tensão
Exercício 03 Para um ponto na superfície de um sólido ilustrado abaixo sob estado duplo de tensões, calcule as quantidades a seguir com base no círculo de Mohr: a) Tensões agindo em um plano inclinado a um ângulo de 45º b) As tensões principais c) Tensões de cisalhamento máximas Obs: desenhar os resultados obtidos nos elementos infinitesimais
50MPa
10MPa
40MPa
x
y
+
35 PEF2603 : Estruturas na Arquitetura III - Sistemas Reticulados e Laminares
Exercício 04 (Prof. Martin)
F
F
T
T
Uma caneta com diâmetro de ϕ=8 mm e espessura de parede de e=0,5mm é submetida simultaneamente a uma torção de T=0,1Nm e uma força de tração F=50N. Qual a máxima tensão de cisalhamento que ocorre no ponto P, e qual a sua direção? Desenhe o círculo de Mohr do ponto P.
PP 1
s
2s
Resolução Precisamos conhecer as tensões no ponto P em dois planos para podermos desenhar o círculo de Mohr.
1s
1s
2s
36 PEF2603 : Estruturas na Arquitetura III - Sistemas Reticulados e Laminares
Exercício 04 (Prof. Martin) Resolução (cont...)
1 1
1 1
em S : 3,98MPa
2 2 1,99MPa
2
s
s s
F FA e
T TA T
A e
2 2 1
2
em S : 1,99MPa
0s s
s
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10
37 PEF2603 : Estruturas na Arquitetura III - Sistemas Reticulados e Laminares
Exercício 04 (Prof. Martin) Resolução (cont...)
1
min
2
max
0
2
2max min 2
x y
xy
0
3,98 01,99MPa
2 2x y
médio
2 2max min
1,99 1,99 2,81MPa
2
2
1,2 2 2
x y x y
xy
1
1,99 2,81 4,80MPa
2
1,99 2,81 -0,82MPa
38 PEF2603 : Estruturas na Arquitetura III - Sistemas Reticulados e Laminares
Exercício 04 (Prof. Martin) Resolução (cont...)
1
min
2
max
0
1,991
S
3,98
45º
45º 22,60º
1
1 1
tan 67,60ºs
s
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