SeminárioPós-Graduação em Computação Aplicada
INPE
Aplicações de Sinais Caóticos em Comunicações
Marcio Eisencraft
03/12/2009
Aplicações de Sinais Caóticos em Comunicações
1. Introdução - Sinais caóticos
2. Modulação usando portadoras caóticas
3. Estimação de sinais caóticos
Sumário da apresentação
2
3. Estimação de sinais caóticos
4. Espectro de sinais caóticos
5. Sequências pseudoaleatórias
�Sinais caóticos:� Limitados
� Determinísticos
� Aperiódicos
� Dependência sensível com as condições iniciais
1. Sinais Caóticos
� Dependência sensível com as condições iniciais
�Características levam a aplicações de sinais caóticos
em diversas áreas tecnológicas
�Telecomunicações desde 1990. Áreas: modulação,
codificação, criptografia entre outras
3
• Propriedades interessantes dos sinais caóticos
para Telecomunicações:
– Ocupam largas faixas de frequências;
– Função de autocovariância impulsiva;
1.1 Propriedades interessantes
4
– Função de autocovariância impulsiva;
– Função de covariância cruzada com outras órbitas
com valores muito baixos.
• Propriedades desejadas para modulações
spread spectrum.
1. Introdução - Apresentação - Sinais caóticos
2. Modulação usando portadoras caóticas
3. Estimação de sinais caóticos
Sumário da apresentação
5
3. Estimação de sinais caóticos
4. Espectro de sinais caóticos
5. Sequências pseudoaleatórias
2.1 Sistema de Wu e Chua
6
• Sincronismo de sistemas caóticos
• Mensagem inserida na geração do sinal
Exemplos - Sistema de Wu e Chua
7
2.2 Influência da Limitação em Banda
8m(t) = sen(2π500t) - fa = 8kHz - passo de integração = 0,06 - a = -30dB
2.2 Influência da Limitação em Banda
fci = 0,02fcs = 0,7 fci = 0,02fcs = 0,7 fci = 0,02
9
• Inserir filtros passa-banda nas malhas do transmissor e do receptor
de forma a limitar o espectro do sinal caótico a ser transmitido.
2.3 Resolvendo o problema da limitação em banda
10
fcs = 0,7, fss = 0,9fcs = 0,63
2.4 Resultados Obtidosfci =0,02, fli =0,05fcs = 0,7, fss = 0,9fcs = 0,63
11
2.4 Resultados Obtidos• Sinal transmitido pelo sistema modificado continua
caótico??
12
2.5 Trabalhos recentes e futuros
• Tempo discreto
• Mais simples de conseguir resultados analíticos
• Resultados obtidos em tempo discreto:
13
• Resultados obtidos em tempo discreto:
� filtros não afetam condições para o sincronismo
� estudo atual: condições em que o sinal gerado continua caótico
2.6 Diminuindo os efeitos do ruído
• Sincronismo é extremamente sensível ao ruído no canal
• Direção a seguir: comunicações digitais não-coerentes
14
• Direção a seguir: comunicações digitais não-coerentes
• Em sistemas não-coerentes não há necessidade de recuperar o sinal caótico no receptor
2.7 Modulações digitais
0.5
CO
OK
0 50 100 150 200 250 300 350 400-0.5
0
0.5
CS
K u
nipo
lar
Seqüência: {1,1,0,1,0,0,1,0}
0 50 100 150 200 250 300 350 400-0.5
0
CO
OK
0 50 100 150 200 250 300 350 400-0.5
0
0.5
n
CS
K b
ipol
ar
2.8 DCSK – Differential Chaos Shift Keying
• CSK em que as sequências de base consistem em segmentos de sinais caóticos repetidos
16
2.9 FM-DCSK – Frequency Modulated DCSK
Modulador
em
freqüência
( )s t• Modificação do DCSK – energia por símbolo
constante• Antes da modulação insere-se o sinal caótico num
modulador FM
17
1 0-2
1 0-1
1 00
BE
R
C urvas d e d e s e m p e nho e m c anal A W G N�
2.10 Simulações
18
-1 0 -5 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 01 0
-5
1 0-4
1 0-3
Eb/N
0 (d B )
BE
R
C S KC O O KD C S KF M -D C S KA S KD P S K
2.11 Comparações entre os sistemasSistema Limiar Energia Sincronização Não uso
da dinâmica
CSK coerente X X
19
CSK não-coerente X X XDCSK X XFM-DCSK X
1. Introdução - Apresentação - Sinais caóticos
2. Modulação usando portadoras caóticas
3. Estimação de sinais caóticos
Sumário da apresentação
20
3. Estimação de sinais caóticos
4. Espectro de sinais caóticos
5. Seqüências pseudoaleatórias
• Sistema dinâmico
• Sequência observada
3.1 CRLB - Formulação do problema
( ) ( ) ( )' , , 0 1s n s n s r n n N= + ≤ ≤ −
( ) ( )( )1s n f s n+ =
21
sendo r (n) AWGN com média nula• Determinar o menor mse que um estimador sem viés
de s0 pode assumir dado s’ (n) e f (.) (CRLB).
( ) ( ) ( )0' , , 0 1s n s n s r n n N= + ≤ ≤ −
Sejam
Teorema 1 ( ) ( ) ( )0' , , 0 1s n s n s r n n N= + ≤ ≤ −
• uma órbita do sistema dinâmico
( ) ( )( )1s n f s n+ =
• r(n) um processo ruído branco gaussiano de média nula e variância σ 2
( )0,s n s
22
nula e variância σr2
• o mapa f(.) derivável em todos os pontos dessa órbita
Então,( )
( )0
2
0 211
1 0 ,
ˆm se
1
r
nN
n j s j s
s
d f
ds
σ
−−
= =
≥
+
∑ ∏
Teorema 2• Nas mesmas condições do Teorema 1, o
limite do CRLB quando N → ∞ é
( )2
2
0 2
1ˆmse s
1r N
L
Lσ
−≥
−
23
• L≡L(s0) ≠ 1 é o número de Lyapunov do atrator para o qual a órbita s(n,s0) converge
• Resultado válido para órbitas caóticas ou não.
0 2 1r N
L −
Exemplo: Mapa fQ(.)
( ) ( )( ) ( )21 2 1Qs n f s n s n+ = = − +
1 0-5
1 00
CR
LB
N = 3N = 5N = 1 0N = 2 0
24
-1 -0 .5 0 0 .5 11 0 -15
1 0-10
s0
CR
LB
3.2 Estimação pelo algoritmo de Viterbi
• Idéia básica: interpretar sequências caóticas como um processo de Markov que em cada instante assume um de NS estados possíveis
• Domínio U segmentado em NS intervalos: U1, ..., UNs
• Estado q(n) = j se ( )s n U∈
25
• Estado q(n) = j se
• Dedieu e Kisel (1999) � partição uniforme
– Mapas com densidade uniforme
• Proposta para mapas mais genéricos: utilizar partição não-uniforme
( ) js n U∈
Exemplos de matrizes de transição de estados
-0.5
0
0.5
1
Mapa tenda fT(.)
U1
U2 U
3U
4U
5
-0.5
0
0.5
1
Mapa quadratico fQ
(.)
U1
U2
U3
U4 U
5
26
-1 -0.6 -0.2 0.2 0.6 1-1
-0.5
s-0.809 -0.309 0.309 0.809
-1
-0.5
s
1A
=
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1
0 0 0
0 0 0
0 0 0 0
0 2
1 2
0 0
1 0 0 02
( ) ( )( )1ij j i
a P s n U s n U= ∈ − ∈
Simulações - mapa quadrático fQ(.)
27
3.3 O ML-CSK modificado com dois mapas
• (Kisel; Dedieu; Schimming, 2001)• Transmissor igual ao do CSK com 2 mapas
• Receptor( ) ( ) ( )1 1 2 2m m mx n x s n x s n= +
28
Decodificadorde Viterbi
Decodificadorde Viterbi
Circuito dedecisão
Cálculo deverossimilhança
1A
2A
Cálculo de verossimilhança
( )mx n′
ˆ1q
2q̂
1−= Nn
1−= Nn
1mz
2mz
1ˆ
mx
Como escolher mapas? (1/2)• Caso mapa tenda: proposta adaptada de
(Kisel; Dedieu; Schimming, 2001)
1 1A
=
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1
0 0 0
0 0 0
0 0 0 0
0 20 0
29
2A
=
1 3 1 3 1 3
1 3 1 3 1 3
0 1 2 1 2 0
1 3 1 3 1 3
1 3 1 3 1
0 0
0 0
0
0 0
0 0 3
1 2 10 2
1 2
0 0
1 0 0 02
1 1A
=
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1
0 0 0
0 0 0
0 0 0 0
0 20 0
• Procedimento não necessariamente ótimo e deve ser aplicado com cautela
Como escolher o mapa? (2/2)
30
1 2 10 2
1 2
0 0
1 0 0 02
2A
=
0 1 2 1 /2
0 0 0
1 0 0 0
0 0 0
0 0
1 0
0
1 0
0 20 0 1 /2 1 /
Ponto fixo Ponto fixo
superatrator!superatrator!
3.5 Simulações computacionais
1 0-1
1 00
SE
R
M L -C S K - N = 1 0
31
0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0
1 0-3
1 0-2
Eb
/N0
(d B )
SE
R
2 m a p a s - fT
( .)
2 m a p a s - fQ
( .)
1 m a p a - fT
( .)
1 m a p a - fQ
( .)
C O O K
3.6 Trabalhos futuros (1/2)A. Análise dos sistemas propostos para o caso M-
árioB. Análise da complexidade computacional C. Generalização dos Teoremas 1 e 2 para o caso
multidimensionalD. Uso de modelos de canais mais complicados
32
D. Uso de modelos de canais mais complicadosE. Análise estatística da energia de trechos de
sinais caóticosF. Otimização da escolha dos mapas e
transformações utilizados no ML-CSK
G. Proposta de sistema de modulação com recepção diferencial e estimação com desempenho melhor do que o FM-DCSK.
H. Multiplexação – sistemas multiusuários
3.6 Trabalhos futuros (2/2)
33
H. Multiplexação – sistemas multiusuários
1. Introdução - Apresentação - Sinais caóticos
2. Modulação usando portadoras caóticas
3. Estimação de sinais caóticos
Sumário da apresentação
34
3. Estimação de sinais caóticos
4. Espectro de sinais caóticos
5. Seqüências pseudoaleatórias
4.1 Caracterização
• Ocupam larga faixa de freqüências
Objetivos:
• Verificar se caos implica banda larga
35
• Verificar se caos implica banda larga
• Determinar a banda essencial de sinais caóticos
• Gerar sinais caóticos com banda pré-definida
• Mapa define processo estocástico com órbitas como funções-
amostras
– Sequência de Autocorrelação (SAC)
– Densidade Espectral de Potência (DEP)
4.2 Caos como processo estocástico
– Densidade Espectral de Potência (DEP)
– Função Densidade de Probabilidade (FDP) ou Densidade
Invariante
• Exemplo: Ruído Branco Gaussiano
36
DEP FDP
4.3 FAMÍLIA DE MAPAS TENDA INCLINADA
2 1, 1
1 1( )
2 1, 1
1 1
I
s s
f s
s s
αα
α α
αα
α α
−+ − < < + +
= + − ≤ <
− −
( 1) ( ( ))Is n f s n+ =
em que
37
• Parâmetro α determina o valor da abscissa em que se localiza o pico da tenda
, 11 1
s sαα α
− ≤ < − −
4.5 Densidade Espectral de Potência
•Distribuição da potência em função da freqüência
( )
2
2
1( )
3 1 2 cos( )S
αω
α α ω
−=
+ −
38
( )3 1 2 cos( )α α ω+ −
4.8 Densidade Espectral de Potência
• Quanto maior |α |, mais concentrado é o espectro dos sinais resultantes
39
• Sinal de α define se órbitas geradas têm suas potências concentradas nas altas ou baixas frequências
• Simetria com relação a α = 0.5
4.6 Densidade Espectral de Potência
40
4.7 BANDA ESSENCIAL
• Um método para quantificar os resultados obtidos é por meio da banda essencial
• A Banda Essencial B é definida como o comprimento do intervalo de freqüência em que p = 95% da potência do sinal está concentrada (LATHI, 1998)
41
0 0
( ) ( )
B
S d p S d
π
ω ω ω ω=∫ ∫
12arctan tan
2 1
pB
π α
α
− =
+
4.8 BANDA ESSENCIAL
• |α | ≈ 0: processo ruído branco uniforme
42
• |αααα | ≈≈≈≈ 1: banda essencial extremamente estreita
4.9 Espectro - Conclusões parciaisCaracterização Espectral de Sinais Caóticos: Resultados Analíticos
• Principal motivação: poucos estudos sobre as características espectrais de sinais caóticos
• Resultados analíticos comprovam resultados numéricos
- Verificar se caos implica banda larga• Caos não é sinônimo de banda larga
43
• Caos não é sinônimo de banda larga • Sinais caóticos com potência concentrada nas baixas ou altas frequências
- Determinar a banda essencial de sinais caóticos• Fórmula analítica para família tenda inclinada• Banda essencial relacionada ao expoente de Lyapunov
- Gerar sinais caóticos com banda pré-definidaÉ possível escolher uma banda essencial e encontrar um mapa que gere sinais que ocupem essa largura de banda desejada
• Aplicação em sistemas de comunicação- Modulação digital – símbolos diferentes para bandas diferentes
4.9 Espectro - Conclusões parciais
44
- Modulação digital – símbolos diferentes para bandas diferentes- Multiplexação – como no caso convencional
• Existe unicidade?
Mapa unidimensional DEP e Densidade invariante
� Comportamento espectral de outros mapas
� Propriedades espectrais são mantidas por conjugação?
� Mapas multidimensionais
4.10 Algumas Propostas de Trabalhos Futuros
45
� Mapas multidimensionais
� Estudo de características espectrais de esquemas de
modulação caóticos: CSK, DCSK
� Novas aplicações empregando essa características
1. Introdução - Sinais caóticos
2. Modulação usando portadoras caóticas
3. Estimação de sinais caóticos
Sumário da apresentação
46
3. Estimação de sinais caóticos
4. Espectro de sinais caóticos
5. Sequências pseudoaleatórias
• Distribui a potência do sinal em um conjunto maior de frequências
• Técnicas de SS mais usadas: DSSS e FHSS
• Diagrama em blocos de um sistema SS básico
5.1 Princípios Básicos
f f
DEP DEP
47
Sincronismo
f f
• Solução convencional: registradores lineares de deslocamento
montados a partir de m flip-flops
• Características: períodos longos, equilíbrio e baixa correlação
cruzada
5.2 – Sequências PN
• Período da seqüência-m é 482 1mN = −
5.3 - Sequências PN usando Caos
• Sinais caóticos são candidatos naturais para o
espalhamento de uma informação em banda estreita
• Conversão do sinal caótico em uma seqüência polar
49
0 10 20 30 40 50
-1
-0.5
0
0.5
1
x 1(n
)
0 10 20 30 40 50
-1
-0.5
0
0.5
1
x 1´(
n)
1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1
0.7
0.8
0.9
1
Rmax
25
30
5.3 - Sequências PN usando Caos - correlação
Resultados para o mapa logístico
Condições iniciais ruins
(0) 0,875 (0) 0,4375a b
x x= =
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
xa(0)
x b(0
)
5
10
15
20
50
(0) 0,875 (0) 0,4375a b
x x= =
Condições iniciais boas
(0) 0, 4219 (0) 0,7031a b
x x= =
5.3 - Sequências PN usando Caos
Resultados para o mapa tenda inclinada
0.7
0.8
0.9
1
Rmax
25
30
Condições iniciais
(0) 0,875 (0) 0,4375a bx x= =
510 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
xa(0)
x b(0)
10
15
20
a b
Condições iniciais
(0) 0,4219 (0) 0,7031a bx x= =
5.4 - Sequências PN usando Caos
0 50-1
0
1
x 1(n)
n
-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100
0
0.5
1
Aut
ocor
rela
ção
52
-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100l
-500 -400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400 500-0.1
0
0.1
l
Cor
. C
ruza
da
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
1
2
DE
P
Freqüência (rad)
10-4
10-3
10-2
10-1
100
Sistema DS-BPSK - Seqüência caótica
BE
R
Sem interferencia
Canal com 1 usuário
Canal com 5 usuários10-4
10-3
10-2
10-1
100
Sistema DS-BPSK - Seqüência convencional
BE
R
Sem interferenciaCanal com 1 usuárioCanal com 5 usuários
5.5 – Canal com múltiplos usuários
53
-5 0 5 1010
-6
10-5
10-4
Eb/N
0 (dB)
Canal com 5 usuáriosCanal com 10 usuários
Canal com 50 usuários
Canal com 100 usuários
-5 0 5 1010
-6
10-5
10-4
Eb/N
0 (dB)
Canal com 5 usuáriosCanal com 10 usuáriosCanal com 50 usuáriosCanal com 100 usuários
1. Estudo analítico do sincronismo de sinais caóticos de tempo discreto com banda limitada
2. Criptografia
Desafios atuais
54
3. Comparação Viterbi x MLE
4. Outros...
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