Escola Secundária de Fontes Pereira de Melo - 401780
"Escola em processo de mudança“
Disciplina: Matemática Professora: Manuela Lopes Ano Lectivo: 2011-2012 2ºPeriodo
Tema: Sucessões Reais Aula: 84 Data: 08-5-2012 Hora: 12:00-13:30
Sub-tema: Progressões aritmética Turma: 11ºA Sala: 1.1.2 Duração: 90´
1Manuela Lopes
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"Escola em processo de mudança“
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Lição nº 84 Data: 08-5-2012
Progressão aritmética e estudo da
monotonia.
Resolução de exercícios.
Sumário:
Manuela Lopes
3Manuela Lopes
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Sucessões
Limitadas
O número a é majorante doconjunto P se e só se a émaior ou igual que qualquerelemento de P
O número b é minorante doconjunto P se e só se b émenor ou igual que qualquerelemento de P
4Manuela Lopes
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"Escola em processo de mudança“
Assim batizado porque Edmond
Halley foi o primeiro astrônomo a
teorizar que as características
observáveis de um cometa em 1683
eram praticamente as mesmas que as
de dois cometas que tinham aparecido
em 1531 e 1607, eram os mesmos
cometas e seriam objetos periódicos.
Cometa Halley
5Manuela Lopes
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Edmond Halley previu o seu regresso no
ano de 1758.
A previsão feita por Halley estava
correcta, o cometa foi observado a 25 de
Dezembro de 1758.
A sua última aparição foi em 1986, vamos tentar
perceber quando será a próxima?
6Manuela Lopes
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Objectivos:
Definir progressão aritmética;
Reconhecer uma sucessão que seja progressão aritmética;
Averiguar se uma sucessão é ou não uma progressão
aritmética;
Concluir a monotonia de uma progressão aritmética;
Deduzir a expressão do termo geral de uma progressão
aritmética;
Determinar termos de uma progressão aritmética.
7Manuela Lopes
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PROGRESSÕES ARITMÉTICAS
Nº de
traços 104 6 8
(4+2) (6+2) (8+2) (2n+2)
2n+2
+ 2 + 2 + 2
Na sucessão 4, 6, 8, 10, …, 2n + 2, … passa-se de um termo para o
seguinte adicionando uma constante.
Neste caso, a constante 2.
Diz-se que uma sucessão é uma progressão
aritmética de razão 2.
8Manuela Lopes
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Uma sucessão (Un) é uma Progressão Aritmética (p.a.) se existe um número
real r tal que:
PROGRESSÕES ARITMÉTICAS
Ao numero r chama-se razão da progressão aritmética.
Assim, se (Un) é uma progressão aritmética, cada termo da sucessão obtém-se
do anterior adicionando-lhe a constante r.
9Manuela Lopes
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O termo geral da progressão aritmética anterior è: Un = 2n + 2
A sua representação gráfica é, como em qualquer sucessão, um conjunto
de pontos isolados como mostra a figura.
PROGRESSÕES ARITMÉTICAS
Os pontos da representação gráfica de uma
Progressão Aritmética pertencem a uma recta.
O declive da recta que contém os pontos do
gráfico da sucessão é igual á razão da
progressão aritmética.
10Manuela Lopes
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Estudo da Monotonia de uma Progressão aritmética
Se a razão é positiva (r > 0), a progressão é estritamente
crescente; ou seja, cada termo é maior que o anterior.
11Manuela Lopes
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Estudo da Monotonia de uma Progressão aritmética
Se a razão é negativa (r < 0), a progressão é
estritamente decrescente, ou seja, cada termo é menor
que o anterior.
12Manuela Lopes
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Estudo da Monotonia de uma Progressão aritmética
Se a razão é zero, a progressão é constante (r = 0), ou
seja, tem todos os seus termos iguais.
13Manuela Lopes
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Exemplo prático
Exercício 19 – Manual escolar
Considere a sucessão Un definida por:
19.1. Mostra que Un é uma progressão aritmética e classifica-a quanto à monotonia.
14Manuela Lopes
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Termo geral de uma progressão aritmética
Se Un+1= Un + r
U2= U1 + r
U3 = U2 + r = (U1 + r) + r = U1 + 2.r
U4 = U3 + r = (U1 + 2r) + r = U1 + 3.r
U5 = U4 + r = (U1 + 3r) + r = U1 + 4.r
Logo,
Esta fórmula pode ser adaptada e obtém-se:
15Manuela Lopes
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Exemplo prático
Exercício 21– Manual escolar
Determina a razão e o termo geral da progressão bn , sabendo:
21.1. b1 = -1 e b8 = 20.
Calcular a razão:
bn = bk + (n-k).r
b8 = b1 + (8-1).r
20 = -1 + 7r
7r = 21
r =
r = 3
Calcular o termo geral:
bn = b1 + (n-1).r
bn = -1 + (n-1).3
bn = -1+3n-3
bn = 3n – 4
7
21
16Manuela Lopes
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2062.
+76 +76 +76 +76 +76 +76
Cometa Halley
A última aparição foi em
1986 e a sua próxima aparição
é em …
1758 19101834 1986168316071531 2062
17Manuela Lopes
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Praticar os conceitos
18Manuela Lopes
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Síntese aula
19Manuela Lopes
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Objectivos:
Deduzir a expressão da soma dos n primeiros
termos;
Calcular a soma de termos consecutivos de uma
progressão aritmética;
Resolver problemas envolvendo progressões
aritméticas;
Resolução de uma questão aula.