Edição de agosto de 2005
Universidade Federal da Bahia
Samuel Luporini
Transferência de Massa
OBJETIVOS: 1. Conhecimento básico das leis de transferência de massa indispensável a uma formulação correta
dos problemas correntes de engenharia química. 2. Desenvolvimento da capacidade para modelar matematicamente, simular e avaliar processos de
transferência de massa com ênfase em equipamentos de contato direto. TRANSFERÊNCIA DE MASSA 1. Fundamentos da transferência de massa
1.1. Transferência de massa molecular 1.2. O coeficiente de difusão 1.3. Transferência de massa convectiva
2. Equações diferenciais de transferência de massa
2.1. A equação diferencial de transferência de massa 2.2. Formas especiais da equação de transferência de massa 2.3. Condições de contorno 2.4. Modelagem de processos envolvendo difusão molecular
3. Difusão molecular no estado estacionário
3.1. Transferência de massa independente de reação química 3.2. Sistemas associados com reação química 3.3. Sistemas de duas e três dimensões 3.4. Transferências simultâneas de momento, calor e massa
4. Difusão molecular no estado transiente
4.1. Difusão transiente e a segunda lei de Fick 4.2. Difusão transiente em meio semi-infinito 4.3. Difusão transiente em um meio finito sob condições de resistência de superfície
desprezível 4.4. Cartas de concentração tempo para formas geométricas simples
5. Transferência de massa convectiva
5.1. Considerações fundamentais em transferência de massa convectiva 5.2. Parâmetros significantes em transferência de massa convectiva 5.3. Analise dimensional 5.4. Análise exata da camada limite de concentração laminar 5.5. Análise aproximada da camada limite de concentração 5.6. Analogias entre transferência de massa, calor e momento 5.7. Modelos para coeficientes de transferência de massa convectiva
6. Transferência de massa convectiva entre fases 6.1. Equilíbrio 6.2. Teoria das duas resistências
7. Correlações para transferência de massa convectiva
7.1. Transferência de massa para placas, esferas e cilindros 7.2. Transferência de massa envolvendo escoamento através de tubos 7.3. Transferência de massa em colunas de parede molhada 7.4. Transferência de massa em leitos fixo e fluidizado 7.5. Transferência de massa gás-líquido em tanques agitados 7.6. Coeficientes de capacidade para torres de recheio 7.7. Modelagem para processos de transferência de massa envolvendo convecção
8. Equipamentos de transferência de massa
8.1. Tipos de equipamentos de transferência de massa 8.2. Operações de transferência de massa gás-líquido em tanques de mistura perfeita 8.3. Balanços de massa para torres de contatos contínuos 8.4. Balanço de entalpia para torres de contatos contínuos 8.5. Coeficientes de capacidade para transferência de massa 8.6. Analises de equipamentos de contatos contínuos
Bibliografia: WELTY, J.R., WICKS, C.E., WILSON, R.E., RORRER, G., Fundamentals of Momentum, Heat
and Mass Transfer, 4th Edition, John Wiley & Sons, Inc., 2001. WELTY, J.R., WICKS, C.E., WILSON, R.E., Fundamentals of Momentum, Heat and Mass
Transfer, 3th Edition, John Wiley & Sons, Inc., 1984. BIRD, R.B., STEWART, W.E., LIGTHFOOT, E.N., Fenômenos de Transporte, 2a. edição, LTC
EDITORA, 2004. CREMASCO, M.A., Fundamentos de Transferência de Massa, 2ª. Edição revista, Editora
UNICAMP, 2002. GEANKOPLIS, C.J., Mass Transfer Phenomena, Holt Rineart and Winston, Inc., 1972. MILLS, A.F., Mass Transfer, Prentice Hall, 2001. CUTLIP, M.B., SHACHAM, M., Problem Solving in Chemical Engineering with Numerical
Methods, Prentice Hall PTR, Chapter 7 Mass Transfer, 1999.
Fundamentos de Transferência de Massa 1.1
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
1. FUNDAMENTOS DA TRANSFERÊNCIA DE MASSA o Quando um sistema dois ou mais componentes na qual as concentrações variam de ponto a
ponto, há uma tendência natural da massa ser transferida, minimizando as diferenças de concentração entre os sistemas.
o O transporte de um constituinte de uma região de alta concentração para aquela de menor
concentração é chamado de transferência de massa. o Exemplos:
o A remoção de poluente a partir de uma corrente de descarga por absorção. ‘Stripping’ de gases por lavagem de água.
o Difusão de nêutron em um reator nuclear. o A difusão de substâncias adsorventes dentro de poros de carbono ativado. o A taxa de catalise química e reações biológicas.
o A transferência de massa pode ocorrer pelo movimento molecular ao acaso em fluidos
estagnados ou podem ser transferidos a partir de uma superfície para um liquido em movimento, adicionado pelas características dinâmicas do escoamento.
o Dois modos distintos de transporte: molecular convectivo simultâneos 1.1 TRANSFERÊNCIA DE MASSA MOLECULAR 1815 → Panot observou quantitativamente que uma mistura de gases contendo duas ou mais espécies moleculares, na qual as concentrações relativas variam de um ponto ao outro, um processo natural resulta em diminuir a desigualdade da composição, chamando de difusão molecular. O fluxo líquido de cada espécie molecular ocorre na direção de um gradiente de concentração negativo. Teoria cinética dos gases. A transferência de massa ou difusão ocorre somente em misturas.
Fundamentos de Transferência de Massa 1.2
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
CONCENTRAÇÕES:
densidadeou totalmássica ãoconcentraç
A espécie da mássica ãoconcentraç mistura da volume
A de massaA
=ρ
==ρ (1.1)
(1.3) 1w
(1.2) w mássica Fração
n
1ii
An
1ii
AA
=
ρρ
=
ρ
ρ==
∑
∑
=
=
n = número de espécie da mistura A concentração molar da espécie A, cA é o número de moles de A presentes por unidade de volume da mistura. 1 mol de A ≡ massa equivalente ao seu peso molecular
M
cA
AA
ρ= (1.4)
MA = peso molecular de A Pela lei dos gases ideais pAV = nART, logo:
RT
p
V
nc AA
A == (1.5)
Onde: PA = pressão parcial da espécie A na mistura nA = número de moles da espécie A V = volume do gás
Moléculas de espécie AMoléculas de espécie A
Fundamentos de Transferência de Massa 1.3
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
T = temperatura absoluta R = constante dos gases A concentração molar total, c, é o mole total da mistura por unidade de volume.
RTP
V
ncc
n
1i
totali∑
==== (1.6)
P = pressão total Fração molar de líquidos e sólidos: xA = cA/c Gases: yA = cA/c (1.7) Para uma mistura que obedece a lei dos gases ideais:
(1.9) 1y e 1x
Dalton de Lei (1.8) P
p
RTP
RTp
c
cy
n
1ii
n
1ii
AAAA
==
===
∑∑==
Tabela 24.1 Concentrações em uma mistura binária com A e B (Welty)
Exemplo 1: A composição do ar é muitas vezes dada em termos das duas espécies principais na mistura de gases:
79,0yN
21,0yO
2
2
N2
O2
=⇒
=⇒
Determinar a fração mássica de O2 e N2 e o peso molecular médio do ar a 25o C e 1atm.
Velocidades Num sistema multicomponentes as varias espécies n, moverá normalmente a diferentes velocidades. A velocidade de mistura será a media das velocidades da cada espécie presente.
Fundamentos de Transferência de Massa 1.4
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
médiamolar e velocidada relativa i de difusão de e velocidadVv
média mássica e velocidada relativa i de difusão de e velocidadvv
molar média ade velocid(1.11) c
vc
V
ioestacionár eixo um para i de absoluta velocidadev
mássica média ade velocid(1.10)
vv
v
i
i
n
1iii
i
n
1iii
n
1ii
n
1iii
=−
=−
=
=
ρ
ρ
=
ρ
ρ
=
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
rr
rr
rr
r
rr
r
De acordo com a lei de Fick um componente pode ter uma velocidade relativa para a velocidade média molar ou mássica somente se existir gradientes de concentração.
Exemplo 2: Sabendo que as velocidades absolutas das espécies químicas presentes na mistura gasosa são: cm/s; 11 vcm/s; 19 vcm/s; 13 vcm/s; 10v z,NzO,HzO,zCO, 22
====
Determinar: a) velocidade média molar da mistura b) velocidade média mássica da mistura c) velocidade de difusão de O2 na mistura relativa a velocidade média molar da mistura d) velocidade de difusão de O2 na mistura relativa a velocidade média mássica da mistura
Fluxos É um vetor quantitativo atribuído a quantidade da espécie particular, em unidade mássica ou molar, que passa em um incremento de tempo através de uma área normal ao vetor. Podem ser definidos com referência a coordenadas fixas no espaço, coordenadas que movem com a velocidade média mássica ou molar. O fluxo molar na direção z:
Fundamentos de Transferência de Massa 1.5
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
zd
cdDJ A
ABz,A −= 1ª Lei de Fick (1.12)
DAB = difusividade mássica ou coeficiente de difusão do componente A difundindo em B. dcA/dz = gradiente de concentração na direção z.
zd
ydcDJ A
ABz,A −= (1.13)
O fluxo mássico na direção z:
zd
wdDj A
ABz,A ρ−= (1.14)
zd
dDj A
ABz,Aρ
−= (1.15)
Para um sistema binário com uma velocidade média constante na direção z o fluxo molar relativo a velocidade média molar é:
( ) VcJ zz,AAz,A −ϑ= (1.16)
Igualando (1.13) com (1.16), temos:
( )
( ) ( )z,BBz,AAAzAz,BBz,AAz
zAA
BA,z,AA
ABA,zz,AAz,A
ccyVcou ccc1
V:sendo
Vcdz
dycDc :Portanto
dz
dy-cD VcJ
ϑ+ϑ=ϑ+ϑ=
+−=ϑ
=−ϑ=
Fundamentos de Transferência de Massa 1.6
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
( )
:que temos
cN e cN
:são ioestacionár eixo ao relativo B eA scomponente dos fluxos Os
ccydz
dycDc:Logo
BBBAAA
z,BBz,AAAA
BA,z,AA
ϑ=ϑ=
ϑ+ϑ+−=ϑ
rrrr
( )
+
=
++−=
solução da globalmovimento do
resultante fluxo
difusivaãocontribuiç da
resultante fluxo
z eixo aoreferênciac/
A de fluxo
NNy dz
dycD N z,Bz,AA
ABA,z,A
( )
: temosforma mesma Da
mistura naA de difusão de ecoeficient D
(1.18) NyycD N
:nentemulticompo mistura uma para
(1.17) NNyycD N
MA,
n
1iiAAMA,A
BAAABA,A
=
+∇−=
++∇−=
∑=
rr
rrr
( )
( )B,zA,zAA
A,BA,z
B,zA,zAA
A,BA,z
nnwdz
dwDn
liquidos para NNxdz
dxcDN
++ρ−=
++−=
Fundamentos de Transferência de Massa 1.7
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
Exemplo 3: Sabendo que a mistura gasosa tem as velocidades relativas:
cm/s. 11 cm/s; 19 cm/s; 13 cm/s; 10 z,Nz,OHz,Oz,CO 222=ϑ=ϑ=ϑ=ϑ
Determine para a temperatura de 105º C e 1 atm: a) Fluxo difusivo molar de O2 na mistura. b) Contribuição do fluxo convectivo de O2 na mistura. c) Fluxo molar total com referência ao eixo estacionário
2. COEFICIENTE DE DIFUSÃO Lei de Fick ⇒ a constante de proporcionalidade é conhecida como coeficiente de difusão.
( )w,T,PfD
tL
L1LM
1
tL
Mdzdc
JD
AB
2
32A
z,AAB
=
≡
⋅
≡
−=
Idêntico as dimensões fundamentais de outras propriedades de transporte. Viscosidade cinemática: ν Difusividade térmica: α = k/ρcp
Difusividade mássica de gases
- mistura gasosa de baixa densidade - teoria cinética dos gases
Aumenta a mobilidade da molécula
Gases → 5 x 10-6 a 10-5 m2/s líquidos → 10-10 a 10-9 m2/s sólidos → 10-14 a 10-10 m2/s
DAB diminui
Fundamentos de Transferência de Massa 1.8
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
Figura 1.2 Movimento molecular para a superfície de um volume de controle Transferência de massa
médio livre caminho Nd2
1
acaso aomolecular e velocidadmkT8
C
C31
D
yC
31
j
2
AA
Ay,A
⇒π
=λ
⇒π
=
λ=
∂
ρ∂λ=
?
k = constante de Boltzmann N = concentração molecular m = massa de uma molécula
CN41
Z =
d = diâmetro da molécula esférica Z = freqüência em que as moléculas alcançam a área ∆x ∆z
0 (estacionário)
( ) 0dvt
dAnCVCS
=ρ∂∂
+ϑρ ∫∫∫∫∫rr
→ Fluxo para frente = fluxo para trás
∆y ∆x
x
y
ρA = ρA(y)
Fundamentos de Transferência de Massa 1.9
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
*A isótoposeu eA Ex
similares. moléculas de mistura uma de difusão de eCoeficientmTk
Pd3
2*D
PcRTNkT
:ideal gás um Para
mkT
Nd3
2*D :Logo
2133
223AA
21
223AA
π=
==
π=
A equação de Chapman-Enkosg:
D
2AB
21
BA
233
ABP
M1
M1
T10x858,1
DΩσ
+
=
−
onde: DAB (cm2/s) MA e MB = pesos moleculares P = pressão absoluta (atm) σAB = diâmetro de colisão, parâmetro de Leonard-Jones (Å) ΩD = integral de colisão É válida para um par de gases apolares e moléculas não reagentes.
ε
=ΩAB
kTf TABELA K.1 WELTY
onde: k = constane de Boltzmann = 1,38 x 10-16 erg/K εA = energia de interação molecular (ergs) Os parâmetros de Leonard-Jones σ e εAB ⇒ TABELA K.2 WELTY Na ausência de dados experimentais:
Fundamentos de Transferência de Massa 1.10
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bA
cA
31
c
c
31c
31b
T15,1k
T77,0k
P
T44,2
V841,0
V18,1
=ε
=ε
=σ
=σ
=σ
Vb = volume molar para o ponto normal de ebulição (cm3/gmol) ⇒ TABELA 24.4 WELTY Vc = volume molar crítico (cm3/gmol) Tc = temperatura crítica (K) Tb = temperatura de ebulição normal (K) Pc = pressão crítica em (atm) Para pares de moléculas apolares, tem-se
BAAB
BAAB 2
εε=ε
σ+σ=σ
Para moléculas polar-polar e polar-apolar são discutidas por Bird e Cremasco Predição de DAB variando com a P e T
2
11122
T,D
T,D23
1
2
2
1P,T,ABP,T,AB T
T
P
PDD
Ω
Ω
=
Apêndice J.1 de Welty
Exemplo 4: Avaliar o coeficiente de difusão para o CO2 no ar a 20ºC e 1 atm. Comparar com os dados experimentais.
Fundamentos de Transferência de Massa 1.11
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
Quando os parâmetros de Lennard-Jones não são disponíveis pode-se utilizar a equação de Fuller.
( ) ( )[ ]231
B31
A
21
BA
75,13
AB
P
M1
M1
T10
D
∑∑ ϑ+ϑ
+
=
−
ϑ ⇒ TABELA 24.3 WELTY
Exercicio 5 (24.12), itens a, b, e Determinar os valores da difusividade dos seguintes gases. a) CO2/ar 310 K e 1,5 x 105 Pa b) Etanol/ar 325 K e 2,0 x 105 Pa e) SO2/ar 300 K e 1,5 x 105 Pa
Exemplo 6. Reavaliar o coeficiente de difusão do dióxido de carbono em ar a 20º C e 1 atm, utilizando a equação de Fuller, Schettler e Giddings e comparar o novo valor com o obtido no exemplo 4.
Para compostos polares, tem-se a equação de Hirschfelder com a integral de colisão avaliada por:
( )
(K) ebulição de normal pontoT
)gmol/(cm ebulição de ponto no líquido domolar volumeV
(debyes) dipolo momento
TV
10x94,1
:onde
T
169,0
b
3b
p
bb
p3
21BAAB
2AB
DoD
==
=µ
µ=δ
δδ=δ
δ+Ω=Ω
∗
Fundamentos de Transferência de Massa 1.12
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( )
( ) ( ) ( )*HTexpG
*FTexpE
*DTexpC
*T
A
T3,1118,1k
kkk
kTT*
BDo
b2
21BAAB
AB
+++=Ω
δ+=ε
ε+
ε=
ε
ε=
A = 1,06036 E = 1,03587 B = 0,15610 F = 1,52996 C = 0,19300 G = 1,76474 D = 0,47635 H = 3,89411
( )
31
2b
21BAAB
AB
3,11
V585,1
colisão de diâmetro
δ+=σ
σσ=σ
=σ
Mistura de gases (WILKE)
yyyy
yy 1 de livremolar Fração
Dy
D
y
Dy
1D
n432
22
n,1
n
3,1
3
2,1
2mistura,1
+++=′⇒
′′+
′=
L
L
Fundamentos de Transferência de Massa 1.13
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
Exemplo 7: Determinar a difusividade do monóxido de carbono através de uma mistura de gases na qual a fração molar de cada componente são:
10,0y,70,0y,2,0y CONO 22===
O gás esta a 298 K e 2 atm de pressão total.
Exemplo 8 (24.14 – WELTY) Determinar a difusividade do dióxido de carbono em uma mistura de gases com as seguinte Composição: O2 = 7%, CO = 10%, CO2 = 15% e N2 = 68%. T = 273 K e P = 1,5 x 105 Pa.
DIFUSIVIDADE MÁSSICA EM LÍQUIDOS Equação de Stoke-Einsteim, da teoria hidrodinâmica.
B
AB 6kT
Dπµ
= Solução diluída de não eletrólitos. É uma equação pouco precisa
Em geral: ( )VfkT
D AB = Função do volume molar
Equação de Wilke-Chang para não eletrólitos: ( )
6,0A
21BB
8AB
BV
M10x4,7
T
D φ=µ
−
Onde: µB = viscosidade da solução de não eletrólitos cP VA = volume molar no ponto normal de ebulição (TABELAS 24.4 E 24.5– WELTY) φB = parâmetro de associação para o solvente B (complemento da TABELA 24.5 –WELTY) Deduções de compostos com anel (complemento da TABELA 24.5 –WELTY)
Exemplo 9 Estimar o coeficiente de difusão em liquido do etanol (C2H5OH) em solução diluída de água a 10oC O volume molecular do etanol pode ser avaliado usando valores da tabela 24.5.
Hayduk e Laudie propuseram a equação: 589,0
A14,1
B5
AB V10x26,13D −−− µ= . Com resultados semelhantes a equação Wilke-Chang.
Fundamentos de Transferência de Massa 1.14
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
O coeficiente de difusão de um sal univalente em soluções diluídas pode ser calculado utilizando a equação de Nernst
eequivalent Coulumbs/g 96500Faraday de constante
CREMASCO - 1.10 Tabela
cm
eequivalent g
cm
voltAmpzero ãoconcentraç a iônica acondutânci,
gmol.K/J316,8R
11
RT2D
33oo
2oo
AB
==ℑ
=λλ
=
ℑ
λ+
λ
=
−+
−+
Substituindo 2 por 1/n+ + 1/n- onde n+ e n- são as valências do cátion e anion. Para temperaturas diferentes de 25oC, estes parâmetros podem ser estimados a partir da seguinte correlação: ( ) ( )
32C25iTCiT
)25T(c)25T(b)25T(aoo −+−+−+λ=λ Tabela 1.11 – CREMASCO
Exemplo 10: Estimar o coeficiente de difusão em solução diluída do cloreto de potássio a 30o C. Comparar com o valor experimental de 2,233 x 10-5 cm2/s.
Fundamentos de Transferência de Massa 1.15
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DIFUSÃO EM SÓLIDOS CRISTALINOS
Fundamentos de Transferência de Massa 1.16
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
• Arranjos nas estruturas cristalina: cúbica, CCC, CFC. • Movimento do soluto → ocupar vazios (falhas na estrutura cristalina ou nos interstícios
entre os átomos da matriz cristalina. • A energia de vibração do átomo deve ser alta o suficiente para vencer a barreira energética
‘Q’ determinada pela energia de ativação.
Exercício 11: Estime a difusividade do carbono em Fe (CCC) e em Fe (CFC) a 1000º C. Analise os resultados.
Q
difusão
z
Energia
RTQoAB eDD −=
Q = energia de ativação difusional (cal/mol) R = 1,987 cal/mol K Do = coeficiente de difusão sem que houvesse a necessidade de salto energético Q e Do = TABELA 1.13 - CREMASCO
Fundamentos de Transferência de Massa 1.17
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
DIFUSÃO EM SÓLIDOS POROSOS
a) Difusão de Fick ou ordinária b) Difusão de Knudsen c) Difusão configuracional
Difusão ordinária
• Poros maiores que o livre caminho médio das moléculas difundentes.
dz
dCDJ A
efz,A −= 1ª Lei de Fick
Def = coeficiente efetivo aparece em razão da natureza tortuosa do sólido poroso.
Fundamentos de Transferência de Massa 1.18
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τ
ε=
pABef DD
εp = porosidade τ = tortuosidade ⇒ TABELA 1.14 – CREMASCO τ = 4,0 εp = 0,5 ⇒ Na ausência de dados tabelados
Difusão de Knudsen Poros estreitos da ordem de tamanho do livre caminho médio do difundente, ocorre colisões com as paredes dos poros.
pk d31
D Ω=
dp = diâmetro médio dos poros (cm) Ω = velocidade média molecular (cm/s)
[ ]
[ ]cm S
V2
S
2r
s/cm M
Tr10x7,9D
p
B
pp
221
Ap
3k
=ρ
ε=
=
Fundamentos de Transferência de Massa 1.19
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Onde: εp = porosidade do sólido S = área da matriz porosa ρB = massa especifica aparente do sólido Vp = volume especifico do poro da partícula sólida Quando a tortuosidade do poro é considerada, efetuar a correção:
τ
ε= p
KKef DD
Devido a estrutura do sólido poroso, um soluto gasoso, ao se difundir, pode deparar com vários tamanhos de poros, ocorrendo a difusão ordinária e a de Knudsen, logo:
321321
Knudsen
Kef
Fick de Lei1 a segue
ordinária
ef
efetivo
Aef D1
D1
D1
a
+=
Exemplo 1.12: Determine o coeficiente efetivo de difusão do dióxido de carbono em partícula catalítica esférica de alumina a 30º C.
Difusão configuracional
• Ocorre em matrizes porosas (zeólitas). • Macro e microporos. • Arranjo tipo colméia → peneira molecular. • A difusão ocorre devido a saltos energéticos do solutos pelos microporos.
−=
RTQ
expDD oA zeo ⇒ TABELA 1.16 – CREMASCO
Fundamentos de Transferência de Massa 1.20
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
Difusão em membranas
• Osmose inversa • Ultrafiltração • Diálise • Perevaporação • Perpetração
• Podem ser de materiais cerâmicos → inorgânicos • ou materiais poliméricos → orgânicos
• A difusão do soluto em polímeros ocorre por um processo de estado ativado, via saltos
energéticos, ocupando vazios na estrutura polimérica.
−=
RTQ
expDD oa me ⇒ TABELA 1.17 - CREMASCO
Fundamentos de Transferência de Massa 1.21
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
Exemplo 1.13: Estime a difusividade do CO2 a 30º C para as seguintes situações: a) difusão em um membrana de borracha butilica. b) difusão em uma membrana de polibutadieno. c) difusão em uma membrana de poli(dimetil butadieno).
Fundamentos de Transferência de Massa 1.22
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
TRANSFERÊNCIA DE MASSA CONVECTIVA o Envolve um fluido em movimento e uma superfície ou entre dois fluidos em movimento
relativamente imiscíveis. o Depende das propriedades de transporte e das características dinâmicas do fluido em
escoamento. o Quando bombas ou outros equipamentos similares externos causam o movimento no fluido ⇒
convecção forçada. o Movimento do fluido causado pela diferença de densidade, a qual é conseqüência da diferença
de concentração ou temperatura ⇒ convecção natural.
AcA ckN ∆= ⇒ Equação da taxa de transferência de massa convectiva, generalizada de uma
maneira análoga a lei de resfriamento de Newton.
NA = Transferência de massa molar, ∆cA = diferença entre a concentração da superfície e a concentração média da corrente de
fluido da espécie A se difundindo. kc = coeficiente de transferência de massa convectivo.
o Transferência de massa molecular: a transferência de massa convectiva ocorre na direção do decréscimo de concentração.
o kc inclui as características de escoamento laminar e turbulento. o kc é uma função da: geometria, propriedades do fluido e escoamento, ∆cA. o Similaridades entre kc e h ⇒ técnicas desenvolvidas para avaliar h, pode ser reaplicadas para kc.
Equações diferenciais em transferência de massa 2.1
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
CAPITULO 2: EQUAÇÕES DIFERENCIAIS EM TRANSFERÊNCIA DE MASSA O balanço material para uma dada espécie química A através de um volume de controle apropriado é:
controle de
volumeno massa de acúmulo de Taxa
controle de volumeno massa de
produção de Taxa
controle de volumeno sai que
massa de Taxa
controlede volumeno entra
que massa de Taxa
=
+
−
(2.1)
A transferência de massa através da área zy∆∆ para x será :
AAAxx,AA nou zy ϑρ=∆∆ϑρ
r
O fluxo líquido (entrada-saída) do constituinte A será:
zzA,zzzA,
yyA,yyyA,
xxA,xxxA,
yxnyxn :z direção an e
zxnzxn :y direção an
zynzyn : xdireção an
∆∆−∆∆
∆∆−∆∆
∆∆−∆∆
∆+
∆+
∆+
A taxa de acúmulo de A no volume de controle será:
y∆
? y
x
y
z
x∆ z∆
Equações diferenciais em transferência de massa 2.2
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
zyxtA ∆∆∆
∂ρ∂
Se A é produzido no interior do volume de controle por uma reação química a uma taxa rA (massa de A produzida)/(volume⋅tempo), a taxa de produção de A é: zyxrA ∆∆∆
Substituindo cada termo na equação (2.1) temos:
0rtz
nn
y
nn
x
nn
: termosos cancelando e ,zyx volumepelo Dividindo
0zyxrzyxt
yxn
yxnzxnzxn zynzyn
AAzzA,zzzA,yyA,yyyA,
xxA,xxxA,
AA
zzA,
zzzA,yyA,yyyA,xxA,xxxA,
=−∂ρ∂
+∆
−+
∆
−+
∆
−
∆∆∆
=∆∆∆−∆∆∆∂ρ∂
+∆∆−
∆∆+∆∆−∆∆+∆∆−∆∆
∆+∆+∆+
∆+∆+∆+
(2.3) 0rt
n
A componente o para decontinuida da equaçãoA
(2.2) 0rtz
n
y
n
x
n
: temoszero a tendendo? z e? y ? x, com limite o Avaliando
AA
A
AAz,Ay,Ax,A
=−∂ρ∂
+⋅∇
=−∂ρ∂
+∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
r
Uma equação da continuidade similar pode ser desenvolvida para o componente B.
0rt
n BB
B =−∂ρ∂
+⋅∇r
(2.4)
Adicionando os dois componentes, nós obtemos:
Operador divergente
Equações diferenciais em transferência de massa 2.3
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
( ) ( ) ( ) 0rrt
nn BABA
BA =+−∂
ρ+ρ∂++⋅∇
rr
Para uma mistura binária vale: ϑρ=ϑρ+ϑρ=+
rrrrr nn BBAABA
ρ=ρ+ρ BA
rr BA −=
Logo: ( )
0t
=∂ρ∂
+ϑρ⋅∇r
(2.5)
Da definição de derivada substantiva:
∇⋅ϑ+∂∂
=r
tDtD
Figura 3.2 Cremasco
Logo:
0DtD
=ϑ⋅∇ρ+ρ r
em termos de fração molar:
Equações diferenciais em transferência de massa 2.4
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
0rJDt
DwAA
A =−⋅∇+ρr
0rJwt
wAAA
A =−⋅∇+∇⋅ϑρ+∂
∂ρ
rr
Em termos de unidades molares:
0Rt
cN A
AA =−
∂∂
+⋅∇r
Componente A
0Rt
cN B
BB =−
∂∂
+⋅∇r
Componente B
e a mistura:
( ) ( )( ) 0RR
t
ccNN BA
cABA
A =+−∂
+∂++⋅∇
rr
ϑ=ϑ+ϑ=+
rrrrrcccNN BBAABA
ccc BA =+
Não se pode tomar RA + RB = 0, salvo para cada mol de A produzido desaparece o mesmo tanto de B (ou vice-versa). BA ↔ em geral:
( ) 0RRtc
c BA =+−∂∂
+ϑ⋅∇r
[ ] ( )BA RRcctc
+=ϑ⋅∇+∇⋅ϑ+∂∂ rr
Equações diferenciais em transferência de massa 2.5
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
FORMAS ESPECIAIS DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE TRANSFERÊNCIA DE MASSA Temos a equação para o componente A:
AA
A Rt
cN =
∂∂
+⋅∇r
Como: ( )BAAAABA NNyycDN
rrr++∇−=
e seus equivalentes: ϑ+∇−=
rrAAABA cycDN
e ( )BAAAABA nnwwDn
rrr++∇ρ−=
e seu equivalente: ϑρ+∇ρ−=
rrAAABA wDn
nós obtemos:
0rt
wD AA
AAAB =−∂ρ∂
+ϑρ⋅∇+∇ρ⋅∇−r
(2.6)
0Rt
ccycD A
AAAAB =−
∂∂
+ϑ⋅∇+∇⋅∇−r
(2.7)
SIMPLIFICAÇÕES
a) Se a densidade da mistura, ρ, e o coeficiente de difusão, DAB, são assumidos constantes, a equação (2.6) torna-se:
0rt
D AA
A
decontinuida da equação0
AA2
AB =−∂ρ∂
+ρ∇ϑ+ϑ⋅∇ρ+ρ∇−=
rr
Equações diferenciais em transferência de massa 2.6
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
Dividindo cada termo pelo peso molecular
( ) ( )geração
difusivaãocontribuiç
acúmuloconvectiva
ãocontribuiç
RcDt
cc AA
2AB
AA
+
=+
+∇=∂
∂+∇⋅ϑ
r
(2.8)
b) RA = 0: sem reação química, ρ e DAB = constantes
A2
ABA
A cDt
cc ∇=
∂∂
+∇⋅ϑr
ou A2
ABA cDtD
cD∇=
c) 0=ϑ
r, RA = 0: sem reação química, ρ e DAB = constantes
A2
ABA cDt
c∇=
∂∂
2ª Lei de Fick da difusão.
- Líquidos estagnados - Sólidos d) As equações dos itens a, b e c podem ser simplificadas se o processo esta em estado
estacionário, isto é:
0t
c A =∂
∂
Se 0c A
2 =∇ temos a equação de Laplace.
Laplaciano 2∇ : coordenadas retangulares, cilíndricas e esféricas. 2ª Lei de Fick
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=
∂∂
2A
2
2A
2
2A
2
ABA
z
c
y
c
x
cD
tc
Coordenadas retangulares.
Equações diferenciais em transferência de massa 2.7
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
∂
∂+
θ∂
∂+
∂∂
+∂
∂=
∂∂
2A
2
2A
2
2A
2A
2
ABA
z
cc
r
1r
cr1
r
cD
tc
Coordenadas cilíndricas.
φ∂
∂
θ+
θ∂
∂θ
θ∂∂
θ+
∂
∂∂∂
=∂
∂2A
2
2A
2A2
2ABA c
senr
1csen
senr
1r
cr
rr
1D
tc
Coordenadas
esféricas. A equação diferencial geral para transferência de massa do componente A, ou a equação da continuidade de A são descritas nas 3 coordenadas, como:
Az,Ay,Ax,AA R
z
N
y
N
x
N
tc
=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂∂
( ) Az,A,A
r,AA R
z
NN
r1
Nrrr
1t
c=
∂
∂+
θ∂
∂+
∂∂
+∂
∂ θ
( ) ( ) A,A
,Ar,A2
2A R
N
senr1
senNsenr1
Nrrr
1t
c=
φ∂
∂
θ+θ
θ∂∂
θ+
∂∂
+∂
∂ φθ
CONDIÇÕES DE CONTORNO E INICIAL MAIS COMUM As condições de contorno e inicial utilizadas são muito similares à aquelas de transferência de calor. Condições iniciais: Para t = 0, cA = cA0 (unidades molares) Para t = 0, ρA = ρA0 (unidades mássicas) As condições de contorno geralmente encontradas, são: a) A concentração na superfície pode ser especificada: cA = cA1 , frações molares yA = yA1, gases
Equações diferenciais em transferência de massa 2.8
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
xA = xA1, líquidos e sólidos ρA = ρA1, concentração mássica wA = wA1, fração mássica Quando o sistema é um gás pode-se utilizar a pressão parcial pela lei Dalton: pA = pA1 = yA1P Para casos específicos de difusão de um líquido dentro de uma fase gasosa, pode-se utilizar a equação da lei de Rault: pA1 = xAPA onde: xA = fração molar da fase líquida PA = pressão de vapor de A na transferência ao líquido b) O fluxo mássico para a superfície pode ser especificado como, por exemplo: jA = jA1 ou NA = NA1 O fluxo na superfície pode ser:
0z
AABz,A dz
dwDj
=
ρ−=
Em superfícies impenetráveis: jA,z = 0 c) A taxa de reação química pode ser especificada: 1A11A ckN = reação de 1ª ordem, sendo k1 a constante da taxa.
Equações diferenciais em transferência de massa 2.9
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
d) Quando o fluido esta escoando sobre uma fase, a espécie pode ser perdida a partir da fase de interesse por transferência de massa convectiva.
( )∞−= A1Ac1A cckN
cA∞ = concentração de A na corrente de fluido. cA1 = concentração de A no fluido adjacente a superfície. kc = coeficiente de transferência de massa convectivo.
EXEMPLO 2.1: Num cilindro de combustível nuclear com material fissionável, a taxa de produção de nêutrons é proporcional a concentração de nêutrons. Use a equação diferencial de transferência de massa para escrever a equação diferencial que descreve o processo de transferência de massa. Liste suas condições de contorno.
EXEMPLO 2.2: Numa câmara de combustão, o oxigênio difunde através de um filme de ar para a superfície de carbono, onde ele reage de acordo com a seguinte equação:
22 COCO2O2C3 +→+
a) Escreva a equação diferencial especifica para este processo em estado estacionário para o
componente O2. b) Escreva a lei de Fick para o componente oxigênio.
z = 0
O2 CO CO2
z = δ
Difusão em regime permanente 3.1
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
CAPÍTULO 3: DIFUSÃO EM REGIME PERMANENTE Temos a equação diferencial de transferência de massa:
0Rt
cN A
AA =−
∂∂
+⋅∇r
RA = taxa de produção química do componente A dentro da fase através da qual a massa esta sendo transferida.
t
c A
∂∂
= acumulo de A dentro da fase.
AN⋅∇ = taxa líquida de fluxo mássico do componente A.
t
c A
∂∂
= 0 no estado estacionário, ou seja, a concentração de A não varia com o tempo.
TRANSFERÊNCIA DE MASSA UNIDIMENCIONAL INDEPENDENTE DE REAÇÃO QUÍMICA Num sistema binário, o componente z deste fluxo é expresso por:
( )z,Bz,AAA
ABz,A NNydz
dycDN ++−=
3.1 DIFUSÃO ATRAVÉS DE UM FILME GASOSO INERTE E ESTAGNADO
Encontrar o fluxo molar da difusão através de um filme gasoso inerte e estagnado Hipóteses: T e P = constantes B é quimicamente inerte a A Solubilidade de B em A é desprezível
Difusão em regime permanente 3.2
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
Figura 3.1 Célula de difusão de Arnold
Solução: ( )
,lnB
2A1A
12
ABz,A y
yyzz
cDN
−−
= (3.1)
Para um gás ideal: P
pye
RTP
Vn
c AA === , substituindo em (3.1), temos:
( )( )
ln,B
2A1A
12
ABz,A p
ppzzRT
PDN
−−
= (3.2)
As equações (3.1) e (3.2), correspondente a difusão em estado estacionário de um gás através de um segundo gás estagnado. Um difunde e o outro não è absorção e umidificação. A equação (3.2) tem sido usada para descrever o coeficiente de transferência de massa convectivo pela teoria do filme.
Figura 3.2 Modelo do filme para a transferência de massa do componente A movendo para a corrente gasosa.
Líquido puro A
z = z1
z = z2
∆z
NAz|z
NAz|z+∆z
Gás B escoando
Escoamento
de gás B Líquido A
Líquido A
z = δ z = 0 NAz
Corrente de gás principal Filme de gás movendo lentamente
Difusão em regime permanente 3.3
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
Neste caso z2 – z1 = δ, logo a equação (3.2) fica:
( )
ln,B
2A1AABz,A p
ppRT
PDN
−δ
=
Pela definição de convecção temos: ( )2A1Acz,A cckN −= ou
( )2A1Ac
z,A RTk
N ρ−ρ=
Por comparação o coeficiente de transferência de massa convectivo é:
δ
=,lnB
ABc p
PDk
Modelo do filme sugere que ABc Dk ∝
Outros modelos (capítulo 28 – Welty) 1 a 0,5 n :onde ,Dk n
ABc =∝
Determine o perfil de concentração para a difusão através de um filme gasoso inerte estagnado e também sua concentração media.
Solução: ( ) ( )121 zzzz
1B
2B
1B
B
yy
yy
−−
= Perfil de concentração
( ) ,lnB1b2B
1B2BB y
yylnyy
y =−
= Concentração média
Difusão em regime permanente 3.4
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
Exercício 3.1: Através de uma abertura acidental de uma válvula, água foi espalhada no chão de uma planta industrial em uma área remota de difícil acesso. Estimar o tempo necessário para evaporar a água nas vizinhanças que esta estagnada. A camada de água é de 0,04’’, que pode ser assumida constante a temperatura de 75º F. O ar esta a 75º F e 1 atm, com uma umidade absoluta de 0,002 lb de água/lb ar seco. A evaporação é assumida constante e ocorre por difusão molecular através do filme de gás de espessura 0,20 in. Resposta: 2,73 hrs
3.2 DIFUSÃO PSEUDO-ESTACIONÁRIA NUM FILME GASOSO ESTAGNADO
• Um dos contornos move com o tempo • Após um intervalo de tempo longo, nota-se a variação no nível do líquido a partir do topo do
capilar.
Figura 3.3 Célula de difusão de Arnold com liquido se movendo na superfície. • Sobre um intervalo de tempo considerável somente uma pequena fração de difusão. • t1 – t0 => longo tempo. • O fluxo molar na fase gasosa estagnada é:
( )
zzz onde ,y
yyz
cDN 12
,lnB
2A1AABz,A =−
−= (3.2.1)
∆z
z = z1 para t0 = zto
z = z1 para t1 = zt
Líquido puro A
NAz|z
NAz|z+∆z
Gás B escoando
Difusão em regime permanente 3.5
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
• O fluxo molar NA,z esta relacionado com a quantidade de A deixando o liquido por:
líquida fase naA demolar densidade M
onde ,dtdz
MN
A
L,A
A
L,Az,A =
ρρ= (3.2.2)
Em condições pseudo-estacionária, igualam-se (3.2.1) e (3.2.2),
( )
,lnB
2A1AAB
A
L,A
yyy
zcD
dtdz
M−
=ρ
(3.2.3)
Integrando:
( ) ∫∫ −
ρ=
t
0t
z
z2A1AAB
Aln,BL,At
0
dzzyycD
Mydt
Rearranjando, temos:
( )
−
−
ρ=
2
zz
tyyc
MyD
2t
2t
2A1A
Aln,BL,AAB
0 (3.2.4)
A equação (3.2.4) é utilizada para determinação do coeficiente de difusão do gás a partir dos dados experimentais da célula de Arnold.
Exemplo 3.2: E. M. Larson, usando uma célula de Arnold, mediu a difusividade do clorofórmio no ar a 25º C e 1 atm de pressão. A densidade do clorofórmio líquido a 25º C é 1,485 g/cm3, e sua pressão de vapor a 25º C é 200 mmHg. No tempo tempo t = 0 a superfície do liquido de clorofórmio era 7,40 cm a partir do topo do tubo, e após 10 hrs a superfície do líquido caiu de 0,44 cm. Se a concentração do clorofórmio é zero no topo do tubo, qual seria o coeficiente de difusão do gás clorofórmio no ar? Resposta: 9,3 x 10-6 m2/s
Difusão em regime permanente 3.6
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
3.3 CONTRADIFUSÃO EQUIMOLAR • Destilação de 2 constituintes quando os calores latentes de vaporização são iguais. • Fluxos iguais em direções opostas. z,Bz,A NN −=
0N A =⋅∇
• Considerando somente a direção z:
0Ndzd
z,A =
• Lei de Fick
( )444 3444 2143421
bulk
z,Bz,AA
difusão
AABz,A NNy
dzdc
DN ++−=
• Como z,Bz,A NN −= , logo:
dz
dcDN A
ABz,A −= (3.3.1)
• Condições de contorno: Para z = z1 temos: cA = cA1 Para z = z2 temos: cA = cA2 Integrando a equação (3.3.1) com as c.c., temos:
( )2A1A12
ABz,A cc
zzD
N −−
= (3.3.2)
Pela lei dos gases ideais:
e.e. = 0 sem reação = 0
0Rt
cN A
AA =−
∂∂
+⋅∇r
Difusão em regime permanente 3.7
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
RTp
Vn
c AAA == , substituindo, fica:
( ) ( )2A1A12
ABz,A pp
zzRTD
N −−
= (3.3.3)
As equações (3.3.2) e (3.3.3) são comumente referidas como equações da contradifusão equimolar no estado estacionário.
Obter o perfil de concentração para contradifusão equimolar no estado estacionário.
Resposta: 21
1
2A1A
1AA
zzzz
cccc
−−
=−−
Por comparação:
( ) ( )
δ=
−=−δ
=
ABo
2A1Ao
2A1AAB
z,A
Dk :Logo
cckccD
N para a contradifusão equimolar.
Exemplo 3.3: Calcule o fluxo molar da amônia gasosa, sabendo-se que ela se difunde num capilar de 10 cm de comprimento com 2 reservatórios contendo nitrogênio. O sistema esta a 25º C e 1 atm. A pressão parcial da amônia em um dos reservatórios é 90 mmHg e no outro 10 mmHg.
Resposta: -1,07 x 10-7 gmol/s.cm2
NA,z pA2 = 90 mmHg
pA1 = 10 mmHg
∆z
A ≡ amônia B ≡ Nitrogênio
Difusão em regime permanente 3.8
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
3.4 SISTEMAS ASSOCIADOS COM REAÇÕES QUÍMICAS • Quando ocorre uniformemente através de uma fase => reação homogênea. Acontece em todos
os pontos do elemento de volume. Aparece diretamente na equação da continuidade do soluto. • Toma lugar numa região restrita no contorno da fase => reação heterogênea.
0Rt
cN
)(homogêneaA espécie datoaparecimen de taxa
AA
A =−∂
∂+⋅∇
r (3.4.1)
• Numa reação heterogênea a taxa de aparecimento de A não aparece na equação diferencial,
desde que a reação não ocorra dentro do volume de controle, ao invés disto ela entra na analise como uma condição de contorno:
0Aszz,AA ckNR ==
δ=
• A reação heterogênea as vezes aparece na equação da continuidade de A => sistemas pseudo-
homogêneo. 3.4.1 DIFUSÃO SIMULTÂNEA E HETEROGÊNEA, REAÇÃO QUÍMICA DE 1ª ORDEM: DIFUSÃO COM VARIAÇÃO DE ÁREA • Quando a taxa de reação é instantânea em relação a taxa de difusão => processo com difusão
controlada. • Quando a taxa de reação para o componente transferido nos limites da superfície limita a taxa de
transferência de massa => processo com reação controlada.
Difusão em regime permanente 3.9
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
Exemplo: Partícula de carvão pulverizada dentro de uma câmara de combustão em leito fluidizado => difusão controlada. Moles de oxigênio transferido pelo tempo
Figura Difusão através de um filme esférico ( ) ( ) ( ) ( )gCOgCO2gO5,2sC3 22 +→+
Equação geral de transferência de massa em coordenadas esféricas:
( ) ( ) A
remnalunidireciodifusão
0
,A,Ar,A
22
ioestacionárestado
0
A RN
senr1
senNsenr1
Nrrr
1t
c=
φ∂
∂
θ+θ
θ∂∂
θ+
∂∂
+∂
∂
=
φθ
=4444444 34444444 21321
RA = 0 se A = O2 => nenhuma reação homogênea ocorre ao longo do caminho da difusão.
( )Rr,O
2
rr,O2
r,O2
r,O2
2222NRNrou cteNr0Nr
r==⇒=
∂∂
quadro
C R
r ∆r
NCO2,r
NO2,r
NCO,r
Ar nas vizinhanças
Difusão em regime permanente 3.10
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
Equação da Lei de Fick para o O2 fica:
dr
dy
y2,01
cDN 2
2
22
O
O
misOz,O +
−=−
Condições de contorno: r = R, yO2 = 0 ⇒ reação instantânea r = ∞, yO2 = 0,21
Solução:
=
−
042,11
ln2,0
cD
R1
NrmisO
z,O2 2
2
Como ( )rO
22O 22
Nr4 tempopelo do transferiO de Moles W π==
( )042,1ln2,0
cDR4W
misOO
22
−π−=
A esfera de carvão oxida com o tempo => diminuição da esfera => pseudo-estacionário Tempo para esfera de carbono encolher de um raio inicial para um final. Balanço material para o carbono:
( ) ( ) ( )( ) ( )
dtdR
R4Mdt
dVM
onde
dtdV
Mw0
CCC
2
C
C
C
C
C
CC
acumuladosaientra
πρ
=ρ
ρ=−
=−
quadro
( )( )042,1lncD12
RRM
tmisO
2f
2i
C
C
2 −
−ρ
=
Difusão em regime permanente 3.11
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
PRODUÇÃO DE DIOXIDO DE CARBONO SOMENTE
( ) ( ) ( )gCOgOsC 22 →+
quadro Equação da Lei de Fick para o O2 fica:
dr
dycDN 2
22
OmisOr,O −−=
Condições de contorno: r = R, a)instantâne (não ordem 1a. de Reação ckN sOsRrO 22
⇒−==
r = ∞, yO2 = yO2∞
Solução: ( )sOOmisOr,O2
2222yycD
R1
Nr −−=
∞−
Como ( )rO
22O 22
Nr4 tempopelo do transferiO de Moles W π==
( )sOOmisOO 2222
yyRcD4W −π−= ∞−
C R
r ∆r
NCO2,r
NO2,r
Ar nas vizinhanças
Difusão em regime permanente 3.12
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
quadro
ck
N
c
cy
s
ROsOsO
222
−== logo:
Rk
D1
yRcD4W
s
misO
OmisOO
2
222
−
∞−
+
π−=
Se misOs 2
Dk −>>
∞−π−=
222 OmisOO yRcD4W
EXEMPLO 3 Um reator de leito fluidizado de carvão tem sido proposto para uma nova planta. Se operar a 1145 K, o processo será limitado pela difusão de oxigênio em contracorrente com dióxido de carbono, formado na superfície da partícula. Assumir que o carvão é carbono puro sólido com densidade de 1,28 x 103 kg/m3 e que a partícula é esférica com diâmetro inicial de 1,5 x 10-4 m. Ar (21% O2 e 79% N2) existe a vários diâmetros da esfera. Sob as condições de combustão, a difusividade do O2 na mistura é 1,3 x 10-4 m2/s a 1145 K. Se o processo esta em estado estacionário, calcular o tempo necessário para reduzir o diâmetro da partícula de carbono a 5 x 10-5 m. O ar nas vizinhanças é uma fonte infinita de transferência de O2, onde a oxidação do carbono na superfície da partícula é diminuída pela transferência de O2. A reação na superfície é: ( ) ( ) ( )gCOgOsC 22 →+
Resposta: t = 0,92 s
Difusão em regime permanente 3.13
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
3.4.2 DIFUSÃO COM UMA REAÇÃO QUÍMICA DE 1ª ORDEM HOMOGÊNEA • Operações unitárias: um constituinte de uma mistura gasosa é preferencialmente dissolvido em
contato com um liquido. Dependendo da natureza química das moléculas envolvida a absorção pode envolver reação química.
Condições de contorno: Em z = 0 ⇒ cA = cA0 Em z = δ ⇒ cAs = 0 Figura Absorção com reação química homogênea.
Fluxo molar: ( )444 3444 2143421
filmedo dentro pequena muito éA de ãoconcentraç a 0,
bulk
z,Bz,AA
difusão
AABz,A NNy
dzdc
DN
≈
++−= (3.4.2.1)
Equação diferencial de transferência de massa no estado estacionário considerando apenas a direção z:
0Rdz
dN
)(homogêneaA espécie damentodesapareci de taxa
Az,A =− (3.4.2.2)
A1A ckR −= ⇒ Taxa de desaparecimento de A ⇒ reação química de 1ª ordem. (3.4.2.3)
Substituindo (3.4.2.3) e (3.4.2.1) em (3.4.2.2), temos:
z
z = 0
∆z
z = δ
NAz|z
NAz|z+∆z
Líquido B
Superfície do líquido Mistura gasosa
(A e gás inerte)
Difusão em regime permanente 3.14
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
0ckdz
dcD
dzd
A1A
AB =+
− , com DAB = constante, fica:
0ckdz
cdD A12
A2
AB =+− (3.4.2.4)
A solução geral da equação (3.4.2.4) é:
zDk
senhczDk
coshccAB
12
AB
11A +=
As condições de contorno permitem calcular c1 e c2 (quadro), e o perfil de concentração fica:
δ
−=
AB
1
AB
10A
AB
10AA
Dk
tgh
zDk
senhc
zDk
coshcc (3.4.2.4)
Fluxo molar:
dz
dcDN A
ABz,A −=
Solução:
δ
δ
δ=
=
AB
1
AB
1
0AAB0zz,A
Dk
tgh
Dk
cDN (3.4.2.5)
• Se não houver reação química: δ
= 0AABz,A
cDN
• Numero adimensional de Hatta = ⇒
δ
δ
AB
1
AB
1
Dk
tgh
Dk
mostra a influencia da reação química.
Difusão em regime permanente 3.15
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
• Se a taxa da reação química aumenta (k1 aumenta) o fator δAB
1
Dk
tgh se aproxima de 1, e
( )0ckDN 0A1AB0zz,A −==
Por comparação com a equação da convecção: ( )2A1Acz,a cckN −= , temos que:
⇒∝ ABc Dk Teoria da penetração
Se ⇒∝ ABc Dk Teoria do filme
EXEMPLO 4 Considerando um processo unitário com um disco rotativo para o tratamento de fenol (espécie A) em água. O biofilme contém um microrganismo em enzima peroxidase que degrada o fenol. A concentração de A dentro do biofilme diminuirá à medida que o penetra, ou seja A é degradado. Não há resistência convectiva entre o fluido e a superfície do biofilme.
Figura Tratamento de água de lavagem por biofilme.
É desejável tratar 0,1 m3/h de água contendo 0,1 mol/m3 de fenol. Se a espessura do biofilme é 2 x 10-3 m, qual é a área do biofilme necessária para obter uma concentração de saída de 0,02 mol/m3?
A taxa de degradação é descrita pela cinética de Michales-Menten: AA
Amax,AA ck
cRR
+=
onde RA,max = 5,7 x 10-3 mol/m3, kA = 0,3 mol/m3 e DAB = 2 x 10-10 m2/s a T = 25º C. Solução: S = 57 m2
Corrente de alimentação da água de lavagem CAi = moles/m3
Biofilme
Água de lavagem tratada CAO Mistura perfeita
Seção transversal do biofilme
CAO CA(z)
biofilme
Superfície Sólida inerte
z = 0 z = δ dcA/dz = 0
Capítulo 28 Welty
Difusão em regime permanente 3.16
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
3.4.3 DIFUSÃO INTRAPARTICULAR COM REAÇÃO QUÍMICA (Cremasco) Quando um sólido poroso apresenta sua área interna maior (30 m2/g ou maior) ou da mesma magnitude do que a sua superfície externa, considera-se o soluto, depois de atingir a superfície da partícula, difunda no interior desta para depois ser absorvido e sofrer transformação por reação química nas paredes dos sítios ativos do catalisador, conforme mostra a figura.
Figura - Difusão com reação química heterogênea no interior de um sólido poroso
• Termo reacional = aR”A, onde a = superfície do poro/unidade de volume da matriz porosa (sistema pseudo-homogêneo)
• Equação geral para espécie A:
( ) ( ) A
remnalunidireciodifusão
0
,A,Ar,A
22
ioestacionárestado
0
A RaN
senr1
senNsenr1
Nrrr
1t
c′′=
φ∂
∂
θ+θ
θ∂∂
θ+
∂∂
+∂
∂
=
φθ
=4444444 34444444 21321
( ) Ar,A2
2RaNr
rr
1 ′′=∂∂
∴ (3.4.3.1)
Sendo a reação de desaparecimento do soluto A escrita como: AsA CkR −=′′ (3.4.3.2)
R”A sólido
poro
A B
CAs
Difusão em regime permanente 3.17
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
O fluxo de A no interior da matriz porosa será dado por:
dr
dCDN A
efr,A −= (3.4.3.3)
Supondo temperatura e pressão constantes e substituindo (3.4.3.2) e (3.4.3.3) em (3.4.3.1),
Aef
s2A2 CD
akr
drdC
rdrd
=
(3.4.3.4)
Denominando: ef
s2
Dak
=λ
A equação (3.4.3.4) fica na forma:
0Cdr
dCr2
dr
CdA
2A2A
2
=λ−+ (3.4.3.5)
a qual esta sujeita as seguintes condições de contorno: C.C.1: em r = R → CA = CAs
C.C.2: em r = 0 → finitovalor Climou 0dr
dCA
0r
A ==→
(simetria da partícula)
Chamando: ψ=ArC
A equação (3.4.3.5) fica:
0dr
d 22
2=ψλ−+
ψ (3.4.3.6)
A solução geral da eq. (3.4.3.6) é:
( ) ( )rsenhCrcoshC 21 λ+λ=ψ ou ( ) ( )[ ]rsenhCrcoshCr1
C 21A λ+λ= (3.4.3.7)
A determinação das constantes parte da aplicação das condições de contorno C.C.1 e C.C.2, ficando:
Difusão em regime permanente 3.18
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
( )( )Rsenh
rsenhrR
CC
As
A
λλ
= (3.4.3.8)
A eq. (3.4.3.8) fornece o perfil de concentração de A no interior da matriz porosa em função da relação entre as resistências a difusão e a reação química irreversível de 1ª ordem que se processa nos sítios internos da partícula. O fator de efetividade O fator de efetividade representa o efeito que a taxa da matéria exerce na taxa de reação numa partícula, sendo definido como a razão entre a taxa real de reação química, Rsg, e a taxa da reação baseada nas condições de superfície externa da partícula, como se toda a superfície ativa dos poros estivesse exposta nas mesmas condições da superfície, sgR . Assim:
sg
sg
R
R=ηε
com: Rr
Aef
2R,A
2sg dr
dCDR4NR4R
=
π−=π=
representado todo o soluto consumido na superfície externa da partícula transportado para dentro dessa partícula. Substituindo a eq. (3.4.3.8) e efetuando a derivação, temos:
( ) ( )[ ]RcothR1CRD4R Asefsg λλ−π−=
Caso ocorra somente reação química irreversível de 1ª ordem, a taxa é:
Ass3
A3
sg CakR34
RR34
R π−=′′π=
Logo: ( ) ( )[ ]
( )2R
1RcothR3
λ
−λλ=ηε
O parâmetro λ pode ser reformulado da seguinte maneira: λ=φ neR , que é o modulo de Thiele,
indica a relação entre a taxa de reação química de 1ª ordem e a taxa de difusão. E Rne = Vp/Sm um raio generalizado que depende da geometria da partícula. Pa esfera perfeita: Vp = 4πR3/3 e Sm = 4πR2, logo: λR = 3φ.
Difusão em regime permanente 3.19
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
O perfil de concentração do soluto e o fator de efetividade em função do modulo de Thiele no interior do catalisador esférico são fornecidos por:
( )
( )φφ
=3senh
Rr3senhrR
CC
As
A
( )23
13coth3
φ
−φφ=ηε
Para catalisadores muito ativos (ks elevado) → φ = elevado → baixos valores de ηε Para catalisadores pouco ativos → altos valores de ηε → utilizam quase toda a área interna do catalisador.
Exemplo No craqueamento catalítico do petróleo utilizaram-se microesferas de sílica-alumina de diâmetro igual a 1,8 mm e de área especifica dos poros de 3,2 cm2/cm3. Estime o valor do fator de efetividade considerando que a reação química catalítica, cuja velocidade é 6,9 cm/s, é irreversível e de 1ª ordem. O coeficiente efetivo de difusão é 8,0 x 10-4 cm2/s. Resposta: ηε = 0,187
Difusão em regime permanente 3.20
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
3.5 SISTEMAS DE DUAS E TRÊS DIMENSÕES • A transferência de condução de calor é análoga a transferência de massa molecular, as soluções
analíticas, analógicas e numéricas são similares (cap. 17 Welty). • J.Crank – The Mathematics of Diffusion, Oxford University Press, London,1957. Exemplo: Considerar uma placa plana retangular fina, largura W e comprimento L. O topo é imerso em inseticida (y = L).
Figura 3.5.1 – Modelo de três dimensões para o transporte de inseticida.
A equação geral de transferência de massa fica:
0Rt
cN A
AA =−
∂∂
+⋅∇r
ou
0Rt
cz
Ny
N
xN
químicareaçãosem
0
A
ioestacionárestado
0
A
0
AzAyAx =−∂
∂+
∂∂
+∂
∂+
∂∂
321321 (3.5.1)
( )444 3444 21
0 bulk termo
BxAxAA
ABAx NNydx
dCDN
=
++−= (3.5.2)
x
y
CA = 0
CA = C(x)
CA = 0
CA = 0
L
0 W
Difusão em regime permanente 3.21
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
( )444 3444 21
0 bulk termo
ByAyAA
ABAy NNydy
dCDN
=
++−= (3.5.3)
Substituindo (3.5.3) e (3.5.2) em (3.5.1):
0y
C
x
C2A
2
2A
2
=∂
∂+
∂
∂ (3.5.4)
que é uma equação diferencial parcial, linear e homogênea com solução da forma: ( ) ( ) ( )yYxXy,xC A = (3.5.5)
Substituindo (3.5.5) em (3.5.4), temos:
2
2
2
2
yd
Ydy1
xd
Xdx1
=
Ambos os lados são constantes, logo:
0Xxd
Xd 22
2=λ+ (3.5.6)
0Yyd
Yd 22
2=λ− (3.5.7)
A eq. (3.5.6) tem a solução geral da forma: xBsenxcosAX λ+λ= (3.5.8) A eq. (3.5.7) tem a solução geral da forma: yy EeDeY λλ− += (3.5.9) A eq. (3.5.5) fica: ( ) ( )( )yy
A EeDexBsenxcosAy,xC λλ− +λ+λ= (3.5.10)
Difusão em regime permanente 3.22
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
Onde A, B, C e D são constantes avaliadas pelas condições de contorno: x = 0 → CA = 0 x = W → CA = 0 y = 0 → CA = 0 y = L → CA = C(x) Utilizando as três primeiras condições de contorno a solução é:
( )W
ynsenh
Wxn
senAy,xC1n
nAππ
= ∑∞
= (3.5.11)
Utilizando a ultima condição de contorno:
( )W
Lnsenh
Wxn
senAxC1n
nAππ
= ∑∞
= (3.5.12)
A avaliação de An é mostrada por Cremasco, a solução final é:
( ) ( ) dxW
xnsenxC
Wxn
sen
WLn
senh
Wyn
senh
W2
y,xCW
0A
1nA ∫∑
ππ
π
π
=∞
= (3.5.13)
A equação (3.5.13) é resolvida após se conhecer a função CA(x).
Exemplo: Considere a situação na qual ocorra o fluxo mássico de A através da superfície de um catalisador. Ao entrar em contato com o catalisador, o soluto A se difunde nas direções x e y. Atingindo três das quatro superfícies, a espécie A reage instantaneamente. Em y = L para qualquer x, a sua concentração mantém-se constante em um valor β. Considerando a existência da contradifusão equimolar entre produto e reagente, pede-se: a) a distribuição mássica do soluto A.
Difusão em regime permanente 3.23
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
3.6 TRANSFERÊNCIA SIMULTÂNEA DE MOMENTO, CALOR E MASSA • Exemplo: Secagem de uma superfície molhada pelo calor de um gás quente e seco: energia
transferida a para superfície fria por convecção e radiação; transferência de massa associada a entalpia na corrente gasosa se movendo.
• Os processos de transporte simultâneos são mais complexos, requerendo o tratamento simultâneo de cada fenômeno de transporte envolvido.
3.6.1 Transferência simultânea de calor e massa • Condições isotérmicas
∑=
=n
1iii
D HNA
q rr (3.6.1.1)
mistura numa i de parcialmolar entalpia H
mássica difusãopor calor de fluxo A
q
i
D
=
=r
• Condições não isotérmicas (diferenças de temperatura)
∑=
+∆−∇−=n
1iii
convectivocondutivo
D HNThTkA
q rr (3.6.1.2)
Difusão em regime permanente 3.24
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
Exemplo: Condensação de vapor em uma superfície fria A condensação de um filme liquido escoando para baixo em uma superfície fria e um filme de gás na qual o condensado é transferido por difusão molecular.
Figura Condensação de vapor em uma superfície fria. z1 → yA1 = conhecido por psicometria T1 = conhecido T3 = conhecida (temperatura na superfície) Na fase gasosa ocorre convecção natural onde h é estimado pela equação:
( )[ ] 94169
41L
LPr/492,01
Ra670,068,0Nu
++=
A equação diferencial que descreve a transferência de massa na fase gasosa é:
0Ndzd
z,A = ⇒ fluxo mássico é constante na direção z.
Se o componente A esta se difundindo através do gás estagnado, o fluxo é descrito pela seguinte forma da lei de Fick:
dz
dyy1
cDN A
A
ABz,A −
−=
Se o perfil de temperatura é conhecido:
Filme líquido condensado Contorno do
filme gasoso
T1
T2
T3
T = T(z)
yA1
yA2
yA= yA(z)
z3 z2 z1
Difusão em regime permanente 3.25
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
n
11 zz
TT
=
Podemos estimar o coeficiente de difusão que varia com a temperatura:
2n3
1TAB
23
1TABAB z
zD
TT
DD11
=
=
A concentração também varia com a temperatura:
( )n
1zzR
PRTP
c ==
A equação de fluxo torna-se:
( ) dzdy
zz
y1RT
DPN A
2n
1A1
TABz,A
1
−
−=
Para uma pequena faixa de temperatura, pode-se aproximar para uma equação:
( )
( ) dzdy
y1
cDN A
A
médioABz,A −
=
Com as condições de contorno: Para z = z1 ⇒ yA = yA1
Para z = z2 ⇒ yA = yA2 = PA/P, Lei de Dalton, Integrando a equação temos:
( ) ( )
( ) ln,B12
2A1AmédioABz,A yzz
yycDN
−
−=
O fluxo de energia total é:
( ) ( ) ( )21Az,A21C32Lz HHMNTThTTh
Aq
−+−=−=
Difusão em regime permanente 3.26
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
2 líquido de plano no Entalpia H1 vapor de plano no Entalpia H
A demolecular Massa M
gasoso filme no naturalcalor de ncia transferêde convectivo eCoeficient hlíquido filme nocalor de ncia transferêde convectivo eCoeficient h
2
1
A
C
L
===
==
Para resolver a equação de fluxo de energia, utiliza-se a técnica de tentativa e erro: Assume o valor da temperatura da superfície liquida: T2 Calcula hC e (cDAB)médio. Calcula yA2 = PA/P, com PA = pressão de vapor acima do liquido a T2 e P = pressão total do sistema Quando os lados esquerdo e direito se satisfazerem o chute de T2 esta correto.
Exemplo: Uma mistura de vapor etanol-água esta sendo destilada pelo contato da solução liquida etanol/água. O etanol é transferido a partir do líquido para a fase vapor e a água é transferida na direção oposta. A condensação de vapor de água fornece a energia para a vaporização do etanol. Ambos os componentes estão se difundindo através do filme de gás de 0,1 mm de espessura. A temperatura é 368 K e a pressão é 1,013 x 105 Pa. Para estas condições, a entalpia de vaporização dos componentes puros do etanol e água são 840 e 2300 kJ/kg, respectivamente. a)Desenvolver a equação de fluxo para o vapor de etanol. b) Desenvolver a equação de fluxo assumindo que os componentes tem calores equimolares de vaporização.
Figura - Retificação adiabática de uma mistura etanol/água. • Assumir uma direção • Processo de transferência de massa molecular adiabático • Espessura do filme δ
Parede adiabática
Mis
tura
liqu
ida
satu
rada
de
etan
ol/á
gua Filme
gasoso (δ)
Vapor etanol/água
NEtOH (vapor)
NH2O (condensado)
Difusão em regime permanente 3.27
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
3.6.2 Transferência simultânea de momento e massa • Absorção: A dissolução seletiva de um dos componentes de uma mistura gasosa por um líquido:
coluna de parede molhada.
• Escoamento de um filme ao longo de uma parede na qual esta em contato com uma mistura de
gás. Suposições: 1. O comprimento para contato entre as duas fases é curto, portanto uma pequena quantidade de
massa é absorvida ⇒ propriedades do liquido são inalteradas. 2. A velocidade do filme não afetara o processo de difusão. - Balanço de momento na direção x:
x
0
zxyx
0
xx
0
x
0
zx
0
y
cte0
xx
ioestacionár estado0
x gzyxx
Pzyxt
x
ρ+
∂τ∂
+∂
τ∂+
∂τ∂
−∂∂
−=
∂ϑ∂
ϑ+∂ϑ∂
ϑ+∂ϑ∂
ϑ+∂ϑ∂
ρ
=====
=ϑ
321321321321
Logo, gyyx ρ−=
∂
τ∂ (3.6.2.1)
As condições de contorno que devem ser satisfeitas: C.C.1 para y = 0 ϑx = 0 C.C.2 para y = δ ∂ϑx/∂y = 0 ( contato do liquido com o gás)
Difusão em regime permanente 3.28
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
Fluido newtoniano: dy
d xxy
ϑµ=τ
Substituindo em (1), temos:
21
2
x1x
2x
2
cyc2
ygcy
gy
gy
++µρ
−=ϑ⇒+µρ
−=∂ϑ∂
⇒ρ−=∂
ϑ∂µ (3.6.2.2)
Pela C.C.1 ⇒ c2 = 0 Pela C.C.2 ⇒ c1 = ρgδ/µ Substituindo e após um rearranjo, temos:
δ
−δ
δµρ
−=ϑ2
2x
y21yg
(3.6.2.3)
2yxmax 2
gδ
µρ
=ϑ=ϑ δ= (3.6.2.4)
Logo:
δ
−δ
ϑ=ϑ2
maxxy
21y
2 (perfil de velocidade) (3.6.2.5)
Equação diferencial de transferência de massa
0Rt
cN
químicareaçãosem
0
A
ioestacionárestado
0
AA =−
∂∂
+⋅∇=
=321
r
nas direções x e y apenas:
0y
N
x
N y,Ax,A =∂
∂+
∂
∂ (3.6.2.6)
Os fluxos molares são definidos pela Lei de Fick como:
Difusão em regime permanente 3.29
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
( )444 3444 2143421
xAc
x,Bx,AA
curto.muito é liquido o com vapor do
contato de tempoo desprezar,
AABx,A NNx
dxdc
DN
ϑ=
++−= (3.6.2.7)
( )444 3444 21
B emA de desolubilida abaixa muito ,desprezar
y,By,AAA
ABy,A NNxdy
dcDN ++−= (3.6.2.8)
Direção y: A é transportado principalmente por difusão. Direção x: A é transportado principalmente por convecção. Substituindo (3.6.2.7) e (3.6.2.8) em (3.6.2.6), temos:
( )
:logo apenas,y de dependente é como ,0y
cD
xc
x2A
2
ABxA ϑ=
∂
∂−+
∂ϑ∂
0y
cD
xc
2A
2
ABA
x =∂
∂−+
∂∂
ϑ (3.6.2.9)
Sendo ϑx dado pela equação (3.6.2.5), ∴
0y
cD
xcy
21y
22A
2
ABA
2
max =∂
∂−+
∂∂
δ
−δ
ϑ (3.6.2.9)
As condições de contorno para a película deslizando são: C.C.1: para x = 0 → cA = 0
C.C.2: para y = 0 → 0y
c A =∂
∂ (parede)
C.C.3: para y = δ → cA = cA0 (contato com o gás) A qual pode ser resolvida numericamente pelo método das diferenças finitas. Johnstone & Pigford (1942) resolveram a equação (3.2.6.9) analiticamente, e obtiveram a concentração adimensional no fundo da coluna(Trans. AICHE, 38, 25, 1942):
Difusão em regime permanente 3.30
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
L++
++=−
−
−
−−−
δ==
δ==
n75,204
n64,105n318,39n1213,5
yA0xA
yALxA
e01811,0
e03500,0e1001,0e7857,0cc
cc
(3.2.6.10)
Onde:
líquido no soluto do difusão de ecoeficient D
superfície na localizada filme, do máxima e velocidadpelícula da espessura
coluna da altura L
coluna da topono soluto do ãoconcentraç c
liquido-gás interface na soluto do ãoconcentraç c
coluna da fundo no soluto do ãoconcentraç c
LD n
AB
max
0xA
xA
LxA
max2
AB
==ϑ
=δ=
=
=
=
ϑδ=
=
δ=
=
Teoria da penetração: modelo desenvolvido por Higbie (Trans, AICHE, 31, 368-389, 1935) • Um soluto é transferido dentro de uma película em y = δ. O efeito da película deslizando sobre a
espécie difundindo, é tal que a velocidade do escoamento do fluido pode ser considerada uniforme e igual a ϑmax.
• O soluto A não será afetado pela presença da parede, então o fluido pode ser considerado de
profundidade infinita.
Profundidade da penetração
Difusão em regime permanente 3.31
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
Com estas simplificações, a equação (3.2.6.8) fica:
2A
2
ABA
maxy
cD
xc
∂
∂=
∂∂
ϑ
com as condições de contorno: C.C.1: para x = 0 → cA = 0 C.C.3: para y = δ → cA = cA0 (contato com o gás) C.C.3: para y = -∞ → cA = 0 Fazendo ξ = δ - y, temos:
2A
2
ABA
maxc
Dx
c
ξ∂
∂=
∂∂
ϑ
e as condições de contorno ficam: C.C.1: para x = 0 → cA = 0 C.C.2: para ξ = 0 → cA = cA0 (contato com o gás) C.C.3: para ξ = ∞ → cA = 0 Aplicando a Transformada de Laplace na direcao x, na equação acima, temos:
( )2
A2
ABAmaxs,c
D0csξ∂
ξ∂=−ϑ no domínio de Laplace
rearranjando: ( )
0D
css,c
AB
Amax2
A2
=ϑ
−ξ∂
ξ∂
Esta equação diferencial ordinária de 2ª ordem, possui a solução geral de:
( )
ξ
ϑ−+
ξ
ϑ=ξ
AB
max1
AB
max1A D
sexpB
Ds
expAs,c
As constantes A1 e B1 são avaliadas utilizando as condições de contorno transformada para o domínio de Laplace:
C.C.1: para ξ = 0 → ( )s
cs,0c 0A
A = (contato com o gás)
Difusão em regime permanente 3.32
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
C.C.2: para ξ = ∞ → ( ) 0s,cA =∞
Produzindo a solução:
( )
ξ
ϑ−=ξ
AB
max0AA D
sexp
sc
s,c
Aplicando a inversa da transformada de Laplace, temos:
( )
ϑ−
ξ−=ξ
max
AB0AA
xD4erf1c,xc ou
( )
−
ξ−=ξ
expAB0AA
tD4erf1c,xc
onde o tempo de exposição é definido como texp = x/ϑmax. A função erro: erf() → apêndice L de Welty.
Fluxo:
−
π=
π=
∂∂
−====δ=
δ==ξ0
2A
c
1Aexp
AB
exp
AB0A
y
AAByy,A0y,A cc
tD
tD
cy
cDNN
0A
Por comparação com a equação de convecção: ( )2A1Acy,A cckN −=
21ABc
exp
ABc Dkou
tD
k ∝π
= ⇒ Teoria da penetração.
Difusão molecular no estado transiente 4.1
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
CAPÍTULO 4: DIFUSÃO MOLECULAR NO ESTADO TRANSIENTE • 2 variáveis independentes: posição e tempo • Grandes quantidades de problemas de difusão podem ser resolvidos simplesmente olhando as
soluções do problema análogo à condução de calor. Quando a equação diferencial e a condição inicial e de contorno do processo de difusão são exatamente da mesma forma daqueles do processo de condução de calor, então a solução pode ser tomada com as mudanças apropriadas na notação.
• Muitas soluções analíticas em:
o Carslaw & Jaeger, Heat conduction in solids, Oxford University Press, 1959, 2ª edição. o J. Crank, The mathematics of diffusion, Oxford University Press, London, 1958.
• São peculiares apenas para transferência de massa:
o Difusão com reações químicas o Difusão com velocidade media molar diferente de zero o Difusão com mais de 2 componentes o Convecção forçada com taxas de transferência de massa elevada
• Processos transientes:
o O processo na qual esta em estado não estacionário somente em sua partida inicial. o O processo na qual é uma batelada (descontínuo) ou operações em sistemas fechados do
começo ao fim de sua duração. SOLUÇÃO ANALÍTICA A segunda lei de Fick, descreve uma situação onde: • Não ocorre nenhuma contribuição ao movimento (bulk), isto é, 0=ϑ
r
• Nenhuma reação química, isto é, RA = 0 Logo:
0Rt
cN
químicareaçãosem0
AA
A =−∂
∂+⋅∇
=
r (1)
Difusão molecular no estado transiente 4.2
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
( )44 344 21rr
r0c
BAAAABz,A NNxxcDN
=ϑ=
++∇−= 1ª Lei de Fick, logo:
AABz,A cDN ∇−= (2)
Introduzindo (2) em (1), temos:
A2
ABA cDt
c⋅∇=
∂∂
2ª Lei de Fick (3)
Útil para: • Difusão em sólidos, líquidos estacionários, ou em sistemas em contradifusão equimolar. • Devido a taxa de difusão extremamente lenta em líquidos, a contribuição do movimento bulk,
da 1ª lei de Fick (isto é, ∑ iA Nxr
) aproxima de zero para soluções diluídas, portanto satisfaz a
2ª lei de Fick. 4.1 DIFUSÃO TRANSIENTE EM UM MEIO SEMI INFINITO • Transferência de massa unidirecional dentro de um meio estacionário semi-infinito com uma
concentração superficial fixa. • Absorção de O2 a partir do ar na aeração de um lago. • Processo de difusão na fase sólida envolvendo a dureza do aço em atmosfera rica em carbono. • A equação diferencial a ser resolvida é:
2A
2
ABA
z
cD
tc
∂
∂=
∂∂
e as condições inicial e de contornos são: C.I.: 0AA cc = para t = 0, para todo z
C.C.1: AsA cc = para z = 0, para todo t
C.C.2: 0AA cc = para z = ∞, para todo t, o soluto penetra uma distância muito pequena
durante o tempo finito de exposição em relação a profundidade do meio.
Difusão molecular no estado transiente 4.3
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
usando a transformação: 0AA cc −=θ
2
2
ABz
Dt ∂
θ∂=
∂θ∂
(2)
e as condições inicial e de contornos são: C.I.: ( ) 00,z =θ
C.C.1: ( ) 0AAs cct,0 −=θ
C.C.2: ( ) 0t, =∞θ
Pela transformada de Laplace da eq. (2), temos:
2
2
ABz
D0s∂
θ∂=−θ ou
0D
s
z AB2
2
=θ
−∂
θ∂ (3)
E as condições de contorno na T.L.:
C.C.1: ( ) ( )s
ccs,0 0AAs −
=θ
z
CA0 CAs
z
t aumenta
CA0
CAs
Difusão molecular no estado transiente 4.4
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
C.C.2: ( ) 0s, =∞θ
A solução geral de (3) é:
zDszDs ABAB BeAe −+=θ Pelas condições de contorno: z = ∞ ⇒ A = 0 z = 0 ⇒ B = (cAs-cA0)/s
Logo: zDs0AAs ABes
cc −
−=θ (4)
A inversa da T.L. da eq. (4), fica:
( )
−=θ
tD2
zerfccc
AB0AAs ou
−=
−−
tD2
zerf1
cccc
AB0AAs
0AA (perfil de concentração) (5)
erf( ): função erro, apêndice L de Welty ou no Excel. O fluxo unidirecional de A na placa semi-infinita, na superfície do meio é:
( )0AAsAB
0z
AAB0zA cc
tD
dzdc
DN −π
=−==
= (6)
4.2 DIFUSÃO TRANSIENTE EM UM MEIO DIMENSIONAL FINITO SOB CONDIÇÕES
DE RESISTÊNCIA DE SUPERFÍCIE DESPREZIVEL • Um corpo é submetido a uma mudança subta nas vizinhanças a qual influencia sua
concentração na superfície cAs. • Consideramos uma lamina larga de madeira a qual possui uma espessura uniforme L. • A distribuição de concentração inicial é uma função de z, ou seja, cA0(z).
Difusão molecular no estado transiente 4.5
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
• Condições: C.I.: ( )zcc 0AA = para t = 0, para todo 0 ≤ z ≤ L
C.C.1: AsA cc = para z = 0, para t > 0
C.C.2: AsA cc = para z = L, para t > 0
A equação da 2ª lei de Fick, com a concentração adimensional, As0A
AsA
cccc
Y−−
= , na direção z, fica:
2
2
ABz
YD
tY
∂
∂=
∂∂
(1)
Com as condições inicial e de contorno adimensionais: C.I.: ( )zYY 0= para t = 0, para todo 0 ≤ z ≤ L
C.C.1: 0Y = para z = 0, para t > 0 C.C.2: 0Y = para z = L, para t > 0
( ) 0t,2LdzdY
= , devido a simetria no meio da placa.
Resolvendo a equação (1) pelo método de separação de variáveis (Welty) leva a seguinte solucao produto:
( ) tD21
2ABexsenCxcosCY λ−λ+λ=
z = 0
CAs CAs
z = L
Difusão molecular no estado transiente 4.6
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
As constantes C1 e C2 e o parâmetro λ são obtidos da C.I. e das C.C.1 e C.C.2, obtendo:
( ) ( ) dzL
znsenzYe
Lzn
senL2
cccc
YL
00
X2n
1nAs0A
AsA D2
∫∑
π
π
=−−
= π−∞
= (2)
onde:
L 5, 3, 1,nL/2 de ticocaracteris ocompriment x
relativo tempode razão x
DX
1
1
ABD
==
→=
Se a lamina tem uma concentração uniforme, no instante inicial, isto é Y0(z) = Y0, então a eq. (2), fica:
( ) D2 X2n
1nAs0A
AsA eL
znsen
n14
cccc
Y π−∞
=∑
π
π=
−−
= (3)
onde: n = 1, 3, 5, ... O fluxo mássico para algum plano da placa de madeira pode ser avaliado por:
z
cDN A
ABz,A ∂∂
−=
( ) ( ) D2 X2n
1n0AAs
ABz,A e
Lzn
cosccL
D4N π−
∞
=∑
π
−=
onde: n = 1, 3, 5, ...
No centro da placa (z = L/2), NA = 0 pois ( ) 0t,2Ldz
dc A =
Difusão molecular no estado transiente 4.7
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
Exemplo: Considerando a dopagem do fósforo no silício cristalino, semicondutor tipo n, a 1100º C, uma temperatura capaz de promover a difusão do fósforo. A concentração da superfície do fósforo (cAs) no silício é 2,5 x 1020 atomos de P/cm3 de Si sólido, que é relativamente diluído, desde que o silício contem 5 x 1022 atomos de Si/cm3 de sólido. A cobertura rica de fósforo é considerada como uma fonte infinita para a quantidade de átomos de P transferido, de maneira que, cAs é constante. Predizer a profundidade do filme Si-P após 1 h, se a concentração é de 1% na superfície (2,5 x 1018 atomos de P/cm3 de silício sólido).
Resposta: 1,76 µm
z = 0
Si(s) + 2POCl3(g) → SiO2(s) + 3Cl2 + 2P(s)
P
POCl3 Cl2 Vapor de POCl3
Cobertura de SiO2(s) + 2P(s)
Placa de Si
Fonte rica de P
P Si
cAs
Difusão molecular no estado transiente 4.8
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
4.3 GRÁFICOS CONCENTRAÇÃO-TEMPO PARA FORMAS GEOMÉTRICAS SIMPLES • Gráficos de “Gurney-Lurie” apresentam soluções para placa plana, esfera e cilindros longos. • Equação diferencial para condução de calor análoga a equação diferencial para difusão
molecular ⇒ estes gráficos podem ser utilizados para ambos os fenômenos de transportes. • Para difusão molecular, temos:
Y = mudança na concentração adimensional = 0AAs
AAs
cccc
−−
XD = tempo relativo = 21
AB
x
tD
n = posição relativa = 1x
x
m = resistência relativa = 1c
AB
xkD
=internamolecular massa de ncia transferêde aresistênci
convectiva massa de ncia transferêde aresistênci
x1 = comprimento característico, é a distância do ponto médio para a posição de interesse. Condições:
a) Assumir a 2ª lei de Fick, isto é, 0=ϑ , nenhum termo de produção, RA = 0, e difusividade constante.
b) O corpo tem um concentração inicial uniforme, cA0. c) O contorno esta sujeito a uma nova condição que permaneça constante com o tempo.
1. Para formas onde o transporte ocorre em somente uma das faces, a razões adimensionais são
calculadas como se a espessura fosse duas vezes o valor verdadeiro.
Difusão molecular no estado transiente 4.9
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
1) Transporte em uma barra retangular com extremidades seladas:
Ybar = YaYb Ya = avaliação com a largura x1 = a Yb = avaliação com a espessura x1 = b 2) Paralelepípedo retangular
Ypar = YaYbYc Ya = avaliação com a largura x1 = a Yb = avaliação com a espessura x1 = b Yc = avaliação com a espessura x1 = c
a a
b b
c
c
a a
b b
selada
selada
Difusão molecular no estado transiente 4.10
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
3) Cilindros, incluindo ambas as extremidades
Ycil = YcilindroYa, Ycilindro = avaliado em coordenada radial (x1 = R) Ya = avaliado para placa plana, de espessura x1 = a (axial)
Exemplo Uma placa de madeira 12 in por 12 in por 1 in, é exposta ao ar seco. As extremidades são inicialmente seladas para limitar o processo de secagem para as faces planas mais largas da placa. O liquido interno difunde para a superfície, onde é evaporada pela passagem da corrente de ar. O conteúdo de umidade sobre a superfície permanece constante a 15% em peso. Após 10 hr de secagem o conteúdo de umidade do centro diminui de 50 para 32% em peso Se o coeficiente de transferência de massa convectivo pode ser considerado suficientemente elevado, a resistência relativa m é aproximada para zero, calcule: a) O coeficiente de difusão efetiva. b) O conteúdo de umidade se as seis faces são usadas para o mesmo período de secagem. c) O tempo necessário para diminuir o conteúdo de umidade do centro de um cubo de 1 ft de aresta
feito com a mesma madeira, de 50 para 32% em peso se todas as 6 faces são usadas. Assumir que o coeficiente de difusão efetiva calculado em (a) é constante através do cubo.
Resposta: a) 8,85 x 10-5 ft2/h; b) 0,471 lbm de água/lbm de madeira seca; c)650 h
a
a
R
R
Difusão molecular no estado transiente 4.11
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4.4 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ANÁLISE DE TRANSFERÊNCIA DE MASSA TRANSIENTE
Enunciado: Uma placa de material com uma espessura de 0,004 m tem uma superfície subitamente exposta a uma solução do componente A com CA0 = 6 x 10-3 kg-mol/m3 enquanto que a outra superfície é suportada sólido isolado permitindo nenhuma transferência de massa. Há um perfil de concentração inicial linear para o componente A dentro da placa a partir de CA = 1 x 10-3 kg-mol/m3 para um lado e CA = 2 x 10-3 kg-mol/m3 para o lado sólido. A difusividade DAB = 1x 10-9 m2/s. O coeficiente de distribuição. O coeficiente de distribuição entre a concentração na solução adjacente a placa CALi e a concentração na placa sólida para a superfície CAi é definida por: K = CAli/CAi, onde K = 1,5. O coeficiente de transferência de massa para a superfície da placa pode ser considerado infinito.
x = 0,004 m
CA3 CA5 CA7CA1
CA2 CA4 CA6 CA8
1 2 3 4 5 6 7 8 9
x dx = 0,0005 m
CA9
Superfície expostaCondições de contorno CA1 é mantido a um valor constante.
Figura 1 – Transferência de massa transiente em uma placa unidimensional A equação diferencial parcial:
2A
2
ABA
x
CD
tC
∂
∂=
∂∂
2ª Lei de Fick
Condições iniciais CA para t = 0, perfil linear de 1 x 10-3 a 2 x 10-3
Difusão molecular no estado transiente 4.12
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
Condições de contorno Como a equação diferencial é de 2ª ordem são necessárias duas condições de contorno:
CC1: k
CC 0A
0xAi == , onde k = 1,5
CC2: 0x
C
004,0x
A =∂
∂
=
, condição de fluxo difusional para o contorno isolado.
a) Calcular as concentrações dentro da placa até 2500 s. Utilize o método numérico em x com intervalo entre nodos de 0,0005 m (ver fig. 1) correspondente a 9 nodos. b) Fazer o gráfico da concentração versus tempo ate 2500 s. Método numérico O método de linhas (MOL: method of lines): o tempo é resolvido como equações diferenciais ordinárias: método de Euler ou Runge Kutta por exemplo. O espaço é discretizado por diferenças finitas. Neste exemplo o espaço é dividido em N = 8 intervalos envolvendo N + 1 = 9 nodos (figura 1). Utilizando a fórmula da diferença central para a 2ª derivada (equação A9), deixando o tempo como uma derivada ordinária, temos:
( )1nn1n AAA2
ABA CC2Cx
Ddt
dC−+
+−∆
= para 2 ≤ n ≤ 8
Condições de contorno Superfície exposta Neste exemplo em x = 0
( )0x
AAB1A0Ac x
CDKCCk
=∂∂
−=−
CA1
x = 0
CA0
Difusão molecular no estado transiente 4.13
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
Usando a formula das diferenças (A5) para o derivativo do lado direito desta equação temos:
( )x2
C3C4Cx
C 1A2A3A
0x
A
∆−+−
=∂
∂
=
Logo: ( ) ( )x2
C3C4CDKCCk 1A2A3A
AB1A0Ac ∆−+−
−=−
Isolando CA1, que nos interessa temos:
xKk2D3CD4CDxCk2
CcAB
2AAB3AAB0Ac1A ∆+
+−∆=
no nosso exemplo temos que kc →∞ logo K
CC 0A
1A = , onde K = 1,5.
Superfície isolada Neste exemplo em x = L
0x
C
004,0x
A =∂
∂
=
Utilizando a formula da diferença finita (A7) para este derivativo, temos
0x2
CC4C3dx
dC 7A8A9A9A =∆
+−=
Isolando CA9 que nos interessa, temos:
3CC4
C 7A8A9A
−=
CA9
x = 0
isolante
x = L = 0,004m
Difusão molecular no estado transiente 4.14
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
Condição inicial Perfil de concentração inicial, neste exemplo é lineal de 1 x 10-3 a 2 x 10-3, ficando:
x em m CA x 103 Nodo n
0 1 1 0,0005 1,125 2 0,001 1,25 3 0,0015 1,375 4 0,002 1,5 5 0,0025 1,625 6 0,003 1,75 7 0,0035 1,825 8 0,004 2 9
dx = 0,0005 Equações discretizadas:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )2
7A8A9AAB
8A8
26A7A8A
AB7A
7
25A6A7A
AB6A
6
24A5A6A
AB5A
5
23A4A5A
AB4A
4
22A3A4A
AB3A
3
21A2A3A
AB2A
2
dx
CC2CD
dtdC
f
dx
CC2CD
dtdC
f
dx
CC2CD
dtdC
f
dx
CC2CD
dtdC
f
dx
CC2CD
dtdC
f
dx
CC2CD
dtdC
f
dx
CC2CD
dtdC
f
+−==
+−==
+−==
+−==
+−==
+−==
+−==
CA9 e CA1 são diferentes devido as condições de contorno, logo
KC
C
3CC4
C
0A1A
7A8A9A
=
−=
Difusão molecular no estado transiente 4.15
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
onde CA0 = 6 x 10-3 e K = 1,5 Neste exemplo usaremos o método de Euler para discretizar o tempo:
( ) ( )
( ) ( )j2A21j2A
j2A1j2A2
2A2
CtfCt
CCf
dtdC
f
+∆=∆
−=
=
+
+
Neste exemplo ∆t = 1 s e j é o numero de tempos.
Difusão molecular no estado transiente 4.16
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
Fluxograma:
Dados
Condições iniciais
J = 0 a 2500
( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) 2
7A8A9AAB8
26A7A8AAB7
25A6A7AAB6
24A5A6AAB5
23A4A5AAB4
22A3A4AAB3
21A2A3AAB2
dxjCjC2jCDf
dxjCjC2jCDf
dxjCjC2jCDf
dxjCjC2jCDf
dxjCjC2jCDf
dxjCjC2jCDf
dxjCjC2jCDf
+−=
+−=
+−=
+−=
+−=
+−=
+−=
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) dtjt1jt
31jC1jC41jC
dtfjC1jC
dtfjC1jC
dtfjC1jC
dtfjC1jCdtfjC1jC
dtfjC1jCdtfjC1jC
KC1jC
7A8A9A
28A8A
27A7A
26A6A
55A5A
44A4A
33A3A
22A2A
0A1A
+=+
+−+=++=++=++=++=++=++=++=+
=+
Impressão
Difusão molecular no estado transiente 4.17
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
Módulo em VBA aplicado ao EXCEL Public Sub Ptran() Dim t(3000) As Double Dim CA1(3000) As Double Dim CA2(3000) As Double Dim CA3(3000) As Double Dim CA4(3000) As Double Dim CA5(3000) As Double Dim CA6(3000) As Double Dim CA7(3000) As Double Dim CA8(3000) As Double Dim CA9(3000) As Double 'Dados dx = 0.0005 CA0 = 0.006 K = 1.5 DAB = 0.000000001 tf = 2500 Cells(12, 1) = "dx =" Cells(12, 2) = dx Cells(13, 1) = "CA0 =" Cells(13, 2) = CA0 Cells(14, 1) = "K =" Cells(14, 2) = K Cells(15, 1) = "DAB =" Cells(15, 2) = DAB 'Condições iniciais t(0) = 0 CA1(0) = 0.001 CA2(0) = 0.001125 CA3(0) = 0.00125 CA4(0) = 0.001375 CA5(0) = 0.0015 CA6(0) = 0.001625 CA7(0) = 0.00175
Difusão molecular no estado transiente 4.18
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
CA8(0) = 0.001825 CA9(0) = 0.002 dt = 1 'Solução numérica For j = 0 To 2500 f2 = DAB * (CA3(j) - 2 * CA2(j) + CA1(j)) / dx ^ 2 f3 = DAB * (CA4(j) - 2 * CA3(j) + CA2(j)) / dx ^ 2 f4 = DAB * (CA5(j) - 2 * CA4(j) + CA3(j)) / dx ^ 2 f5 = DAB * (CA6(j) - 2 * CA5(j) + CA4(j)) / dx ^ 2 f6 = DAB * (CA7(j) - 2 * CA6(j) + CA5(j)) / dx ^ 2 f7 = DAB * (CA8(j) - 2 * CA7(j) + CA6(j)) / dx ^ 2 f8 = DAB * (CA9(j) - 2 * CA8(j) + CA7(j)) / dx ^ 2 CA1(j + 1) = CA0 / K CA2(j + 1) = CA2(j) + f2 * dt CA3(j + 1) = CA3(j) + f3 * dt CA4(j + 1) = CA4(j) + f4 * dt CA5(j + 1) = CA5(j) + f5 * dt CA6(j + 1) = CA6(j) + f6 * dt CA7(j + 1) = CA7(j) + f7 * dt CA8(j + 1) = CA8(j) + f8 * dt CA9(j + 1) = (4 * CA8(j + 1) - CA7(j + 1)) / 3 t(j + 1) = t(j) + dt Next j 'impressão na planilha For i = 0 To 8 Cells(18, 5 + i) = i * dx te = 50 Next i For j = 0 To 2500 Step te Cells(20 + j / te, 4) = t(j) Cells(20 + j / te, 5) = CA1(j) Cells(20 + j / te, 6) = CA2(j) Cells(20 + j / te, 7) = CA3(j) Cells(20 + j / te, 8) = CA4(j) Cells(20 + j / te, 9) = CA5(j) Cells(20 + j / te, 10) = CA6(j)
Difusão molecular no estado transiente 4.19
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
Cells(20 + j / te, 11) = CA7(j) Cells(20 + j / te, 12) = CA8(j) Cells(20 + j / te, 13) = CA9(j) Next j End Sub Planilha Placa_transiente_7_13.xls do EXCEL: Próxima pagina.
Difusão molecular no estado transiente 4.20
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
dx = 0.00050
CA0 = 0.00600
K = 1.50000
DAB = 1.00000E-09
distância x
0 0.0005 0.001 0.0015 0.002 0.0025 0.003 0.0035 0.004
tempo
(s) CA1 CA2 CA3 CA4 CA5 CA6 CA7 CA8 CA9
0 0.001 0.001125 0.00125 0.001375 0.0015 0.001625 0.00175 0.001825 0.002
50 0.004 0.001616 0.001294 0.001378 0.0015 0.001624 0.001741 0.001816 0.00184
100 0.004 0.001965 0.001394 0.001392 0.001501 0.001622 0.001733 0.001806 0.00183
150 0.004 0.002217 0.001514 0.001421 0.001505 0.00162 0.001726 0.001796 0.00182
200 0.004 0.002406 0.001635 0.001462 0.001514 0.001619 0.001719 0.001787 0.00181
250 0.004 0.002553 0.001751 0.00151 0.001527 0.001618 0.001713 0.001778 0.0018
300 0.004 0.002669 0.001859 0.001564 0.001544 0.00162 0.001707 0.00177 0.00179
350 0.004 0.002764 0.001957 0.00162 0.001565 0.001623 0.001703 0.001761 0.001781
400 0.004 0.002843 0.002047 0.001676 0.001589 0.001628 0.001699 0.001754 0.001772
450 0.004 0.00291 0.002128 0.001732 0.001615 0.001635 0.001696 0.001747 0.001764
500 0.004 0.002967 0.002202 0.001787 0.001643 0.001644 0.001695 0.00174 0.001756
550 0.004 0.003017 0.002269 0.001841 0.001673 0.001655 0.001694 0.001735 0.001748
600 0.004 0.003061 0.00233 0.001892 0.001703 0.001667 0.001695 0.00173 0.001741
650 0.004 0.003101 0.002386 0.001941 0.001734 0.001681 0.001697 0.001725 0.001735
700 0.004 0.003136 0.002438 0.001987 0.001765 0.001695 0.0017 0.001722 0.001729
750 0.004 0.003167 0.002485 0.002032 0.001795 0.00171 0.001704 0.00172 0.001725
Difusão molecular no estado transiente 4.21
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
800 0.004 0.003196 0.002529 0.002074 0.001825 0.001726 0.001709 0.001718 0.001721
850 0.004 0.003222 0.00257 0.002114 0.001855 0.001743 0.001715 0.001717 0.001718
900 0.004 0.003246 0.002608 0.002153 0.001884 0.00176 0.001721 0.001717 0.001716
950 0.004 0.003269 0.002643 0.002189 0.001913 0.001777 0.001728 0.001718 0.001715
1000 0.004 0.003289 0.002677 0.002224 0.00194 0.001795 0.001736 0.00172 0.001714
1050 0.004 0.003308 0.002708 0.002257 0.001968 0.001812 0.001745 0.001723 0.001715
1100 0.004 0.003326 0.002737 0.002288 0.001994 0.00183 0.001754 0.001726 0.001716
1150 0.004 0.003342 0.002764 0.002319 0.00202 0.001848 0.001764 0.00173 0.001719
1200 0.004 0.003358 0.00279 0.002347 0.002045 0.001865 0.001774 0.001735 0.001722
1250 0.004 0.003372 0.002814 0.002375 0.002069 0.001883 0.001785 0.00174 0.001726
1300 0.004 0.003386 0.002837 0.002401 0.002093 0.0019 0.001796 0.001747 0.00173
1350 0.004 0.003398 0.002859 0.002426 0.002115 0.001918 0.001807 0.001753 0.001736
1400 0.004 0.003411 0.00288 0.00245 0.002138 0.001935 0.001819 0.001761 0.001742
1450 0.004 0.003422 0.002899 0.002473 0.002159 0.001952 0.00183 0.001769 0.001748
1500 0.004 0.003433 0.002918 0.002495 0.00218 0.001969 0.001843 0.001777 0.001756
1550 0.004 0.003443 0.002936 0.002516 0.002201 0.001986 0.001855 0.001786 0.001763
1600 0.004 0.003453 0.002953 0.002537 0.002221 0.002003 0.001868 0.001796 0.001772
1650 0.004 0.003462 0.002969 0.002556 0.00224 0.002019 0.00188 0.001805 0.00178
1700 0.004 0.003471 0.002985 0.002575 0.002259 0.002035 0.001893 0.001816 0.00179
1750 0.004 0.003479 0.003 0.002594 0.002277 0.002052 0.001906 0.001826 0.001799
1800 0.004 0.003487 0.003014 0.002611 0.002295 0.002068 0.001919 0.001837 0.001809
1850 0.004 0.003495 0.003028 0.002628 0.002313 0.002083 0.001933 0.001848 0.00182
1900 0.004 0.003503 0.003041 0.002645 0.00233 0.002099 0.001946 0.001859 0.001831
1950 0.004 0.00351 0.003054 0.002661 0.002346 0.002114 0.001959 0.001871 0.001842
2000 0.004 0.003516 0.003066 0.002676 0.002363 0.00213 0.001973 0.001883 0.001853
2050 0.004 0.003523 0.003078 0.002691 0.002379 0.002145 0.001986 0.001895 0.001865
Difusão molecular no estado transiente 4.22
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
2100 0.004 0.003529 0.00309 0.002706 0.002394 0.00216 0.002 0.001907 0.001876
2150 0.004 0.003535 0.003101 0.00272 0.00241 0.002175 0.002013 0.00192 0.001888
2200 0.004 0.003541 0.003111 0.002734 0.002425 0.002189 0.002027 0.001932 0.001901
2250 0.004 0.003547 0.003122 0.002747 0.002439 0.002204 0.00204 0.001945 0.001913
2300 0.004 0.003552 0.003132 0.00276 0.002454 0.002218 0.002054 0.001958 0.001926
2350 0.004 0.003558 0.003141 0.002773 0.002468 0.002232 0.002068 0.001971 0.001938
2400 0.004 0.003563 0.003151 0.002786 0.002482 0.002246 0.002081 0.001983 0.001951
2450 0.004 0.003568 0.00316 0.002798 0.002495 0.00226 0.002095 0.001997 0.001964
2500 0.004 0.003573 0.003169 0.00281 0.002509 0.002274 0.002108 0.00201 0.001977
Difusão molecular no estado transiente 4.23
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
0.0010
0.0015
0.0020
0.0025
0.0030
0.0035
0.0040
0.0045
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 2200 2400 2600
tempo (s)
CA
(kg
-mol
/m3 )
CA1 CA2 CA3 CA4 CA5 CA6 CA7 CA8 CA9
Difusão molecular no estado transiente 4.24
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
Aproximações por diferenças finitas úteis:
Transferência de massa por convecção 5.1
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
CAPÍTULO 5: TRANSFERÊNCIA DE MASSA POR CONVECÇÃO ⇒ Envolve o transporte de material entre uma superfície de contorno e um fluido escoando ou
entre dois fluidos relativamente imiscíveis em escoamento.
ãoconcentraçde diferença
A
convectivo massa de
ciatransferênde ecoeficient
c
ãoconcentraçde decréscimo do
direção na ocorre massa de Fluxo
A ckN ∆=
→
sistema do geometria e dinâmicas ticascaracteris fluido, do desproprienda das função h
k c
é análogo a : ThAq
∆= da transferência de calor
Considerações fundamentais em transferência de massa ⇒ Camada extremamente fina junto à superfície → escoamento laminar. ⇒ Escoamento laminar: o transporte entre a superfície do fluido escoando é por meio molecular. ⇒ Escoamento turbulento: movimento físico de volume de material através de linhas de corrente,
transportada por turbilhões. Altas taxas de transferência de massa ou transferência de calor estão associadas ao escoamento turbulento.
( )AAscA cckN −=
Onde:
fluido fase da dentro ponto algum para composicão csistema do pressão e ra temperatua para sólido o com equilíbrio
em fluido do composição a é interface; na fluido no soluto do ãoconcentraç clinterfacia área x tempointerface a deixandoA soluto do moles
N
A
As
A
=
=
=
⇒ Há quatro métodos de avaliação do coeficiente de transferência de massa convectivo que serão
discutidos neste capítulo. Estes são:
Transferência de massa por convecção 5.2
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
1. Análise dimensional ligada a experimentos; 2. Análise exata da camada limite; 3. Análise aproximada da camada limite; 4. Analogia entre momento, energia e transferência de massa.
EXEMPLO 1 O ar escoa sobre uma placa sólida de dióxido de carbono congelado (gelo seco) com uma área superficial exposta de 1 x 10-3 m2. O CO2 sublima com uma corrente escoando a 2 m/s e taxa de liberação de 2,29 x 10-4 mol/s. O ar está a 293 K e 1,013 x 105 Pa ( sm10x5,1D 25
ar,CO 2−= e νar
= 1,55x10-5 m2/s). Determine o coeficiente de transferência de massa do CO2 sublimando sobre o ar escoando. Resp.: 0,118 m/s
5.2. PARÂMETROS SIGNIFICANTES: ⇒ A difusividade molecular para cada fenômeno de transporte são:
=
ρ=α
ρµ
=ν
tL
mássica dedifusivida D
térmicadedifusivida ck
momento de dedifusivida
2
AB
p
⇒ Número de Schmidt (Sc)
mássica dedifusividamomento de dedifusivida
DDSc
ABAB=
ρµ
=ν
=
Sc (T.M.) é análogo ao Pr (T.C.) ⇒ Número de Lewis (Le)
mássica dedifusivida térmicadedifusivida
Dck
DLe
ABpAB=
ρ=
α=
Le é importante quando o processo envolve transferência de massa de energia simultaneamente.
Transferência de massa por convecção 5.3
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
Figura 5.1 – Perfil de velocidade e concentração para um fluido escoando numa superfície sólida. Na interface => mesmo fluxo do componente A deixando a superfície do fluido.
( )∞−= AAscA cckN deixando a superfície por convecção
( )
0y
AsAABA dy
ccdDN
=
−−= Entrando no fluido por difusão melecular
Logo: ( ) ( )0y
AsAABAAsc dy
ccdDcck
=
−−=∞−
Rearranjando e multiplicando por L, ambos os lados, temos:
( ) ( )
⇒∞−−
−== L
ccdy
ccdD
Lk AAs
0y
AsA
AB
c
global ãoconcentraç de gradientesuperfície a para ãoconcentraç de gradiente
fluido do convectiva massa de ncia transferêde aresistêncimolecular massa de ncia transferêde aresistênci
=
ShouNuD
LkAB
AB
c =
NuAB: número de Nusselt para transferência de massa Sh: número de Sherwood.
ϑ = ϑ(y)
ϑ∞
cAs - cA∞
cAs - cA = (cAs – cA)(y)
x
y
cAs na interface
Transferência de massa por convecção 5.4
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
EXEMPLO 2 Determine o número de Schmidt para o metanol em ar a 298 K e 1,013 x 103 Pa e em água líquida a 298 K.
5.3. ANÁLISE DIMENSIONAL DE TRANSFERÊNCIA DE MASSA CONVECTIVA Transferência em uma corrente escoando sob convecção forçada ⇒ Considerando a transferência de massa da parede de um tubo para o fluido escoando através do
conduite. (força direcional cAs – cA)
Variável Símbolo Dimensões
Diâmetro do tubo D L Densidade do fluido ρ M/L3
Viscosidade do fluido µ M/Lt Velocidade do fluido ϑ L/t Difusividade do fluido DAB L2/t Coeficiente de transferência de massa kc L/t
D ρ µ ϑ DAB kc
M 0 1 1 1 0 1 L 1 -3 -1 0 2 0
t 0 0 -1 -1 -1 1
- Várias combinações de matriz 3 x 3. - Variáveis incluem sistema geométrico, o escoamento, props. do fluido - kc tem o interesse principal - rank = 3 ⇒ r de uma matriz: significa o numero de coluna do maior determinante diferente de zero, que se pode formar a partir dela. i = no de variareis – rank = 6 – 3 = 3 grupos adimensionais. DAB, ρ e D → variáveis central (núcleo) pode conter qualquer das variáveis que, entre elas incluem todas as dimensões básicas (MLt).
Transferência de massa por convecção 5.5
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
µρ=π
ϑρ=π
ρ=π
ihgAB3
fedAB2
ccba
AB1
DD
DD
kDD
Escrevendo π1 na forma adimensional:
( )
=
tL
LLM
tL
1 cba2
Equacionando os expoentes, temos:
1c0b1a
b0:M1a0:t
1cb3a20:L
==
−=
=−−=
++−=
Sherwood de no.
massa dencia transferêpara
Nusselt de no.
ABAB
c1 ShouNu
DDk
321≡=π
Os outros 2 grupos são determinados da mesma maneira, produzindo:
Schimidt de no.AB
3AB
2 ScD
eDD
≡ρ
µ=π
ϑ=π
Dividindo π2 por π3:
Reynolds de no.
AB
AB3
2 ReDD
DD
≡µϑρ
=
µ
ρ
ϑ=
ππ
Portanto uma correlação poderia ser feita da forma: Sh = NuAB = f(Re, Sc) Que é análoga a correlação de transferência de calor,
Transferência de massa por convecção 5.6
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
Nu = f(Re, Pr) Transferência dentro de uma fase na qual o movimento é devido a convecção natural ⇒ Correntes de convecção natural → desenvolvera se existir variação de densidade na fase líquida
ou gasosa. Ex.: parede plana vertical com um fluido adjacente. As variáveis importantes, seus símbolos e representações adimensionais são:
Variável Símbolo Dimensões
Comprimento característico L L Difusividade do fluido DAB L2/t Densidade do fluido ρ M/L3
Viscosidade do fluido µ M/Lt Força de empuxo g ∆ρA M/L2t2
Coeficiente de transferência de massa kc L/t
L DAB ρ µ g ∆ρA kc
L 1 2 1 1 1 0 M 0 0 -3 -1 -2 1
t 0 -1 0 -1 -2 -1
⇒ DAB, L e µ → variáveis central (núcleo) pode conter qualquer das variáveis que, entre elas
incluem todas as dimensões básicas (MLt). ⇒ Matriz 3 x 3 ⇒ maior det ≠ 0, portanto o rank = 3 ⇒ i = no de variareis – rank = 6 – 3 = 3 grupos adimensionais.
Aihg
AB3
fedAB2
ccba
AB1
gLD
LD
kLD
ρ∆µ=π
ρµ=π
µ=π
Resolvendo os 3 grupos adimensionais, obtemos
AB
A3
3AB
2ABAB
c1 D
gL,
Sc1D
,NuD
Lkµ
ρ∆=π≡
µρ
=π≡=π
Transferência de massa por convecção 5.7
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
Multiplicando π2 e π3
321Grashof de no
AB2A
3
AB
A3
AB32 Gr
gLDgLD
≡
ρν
ρ∆=
µρ∆
µ
ρ=ππ
Portanto sugere uma correlação da forma: Sh = f(GrAB, Sc) para convecção natural. ⇒ As correlações de dados experimentais pode ser feita em termos de 3 variáveis ao invés de 6
originais, tanto para convecção forçada como para natural. ⇒ Correlações => equações empíricas capitulo 30 do Welty, 7 deste apontamento. 5.4 ANÁLISE EXATA DA CAMADA LIMITE LAMINAR DA CONCENTRAÇÃO ⇒ Extensão da solução exata desenvolvida por Blasius para a camada limite hidrodinâmica.
Figura – Camada limite de concentração para escoamento laminar em uma placa plana A equação da continuidade em coordenadas retangulares; componentes A, ρ e DAB = constantes.
A deprodução
enhuman0
A
)y,x(fc0
2A
2
2A
2
y
c
2A
2
ABA
0
zA
yA
x
ioestacionárestado
0
A Rz
c
y
c
x
cD
zc
yc
xc
tc
A2A
2=
==
∂
∂<<
==
+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=
∂∂
ϑ+∂
∂ϑ+
∂∂
ϑ+∂
∂
321321321
x
y
Extremidade da C.L. de concentração
cA∞
cAs
cA = cA(y)
Transferência de massa por convecção 5.8
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
logo, temos:
2A
2
ABA
yA
xy
cD
yc
xc
∂
∂=
∂∂
ϑ+∂
∂ϑ (13)
Equação similar as equações desenvolvidas a partir das equações de momento e energia para a solução da camada limite hidrodinâmica e a camada limite térmica; portanto terá solução análoga as estes fenômenos de transporte, pois as condições de contorno são análogas. Condições de contorno:
1D
Sc
ypara1cc
cc
e;0ypara0cc
cc
AB
AsA
AsA
AsA
AsA
=ν
=
∞==−∞
−
==−∞
−
AsA
AsA
s,x
s,xxx
cccc
222f−∞
−=
ϑ−ϑ
ϑ−ϑ=
ϑϑ
=′∞∞
(14) e
xRex2
yxx2
yx2
y=
νϑ
=νϑ
=η ∞∞ (15)
( ) ( )( )∞ϑν
ψ=η
x
y,xf (16)
( )η′ϑ
=∂
ψ∂=ϑ ∞ f
2yx (17)
( )ffx2
1xy −′η
νϑ=
∂ψ∂
=ϑ ∞ (18)
Introduzindo as equações (14) a (18) na (13), obtemos:
0fff =′′+′′′ com as condições de contorno:
Transferência de massa por convecção 5.9
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
∞=η=′
=η=′=
/p2f
0/p0ff
A solução análoga a transferência de momento sugere que:
( ) 328,1
Rex2
yd
cccc
2d
0fdfd
0yx
AsA
AsA
=
−∞
−
=′′=η′
=
(19)
A equação (19) pode ser rearranjada para obter uma expressão para o gradiente de concentração na interface:
( )
−∞=
=xAsA
0y
As Rex332,0
ccdy
dc (20)
Eq. (20) ⇒ a taxa na qual a massa entra ou deixa a superfície da camada limite é tão pequena que não altera o perfil de velocidade predito pela solução de Blasius, onde ϑy não é envolvido. Se ⇒=ϑ
=0
0yy contribuição bulk para a 1ª lei de Fick na direção y é zero, logo:
0y
AABy,A y
cDN
=∂∂
−= (21)
Substituindo (21) em (20), temos:
( )∞−
= AAsxABy,A ccRe
x332,0
DN (22)
O fluxo de massa do componente A se difundindo é definido como:
( )∞−= AAscy,A cckN (23)
igualando as equações (22) e (23), temos:
Transferência de massa por convecção 5.10
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
xABAB
c Re332,0NuD
xk== (24)
onde: Sc = 1 e a transferência de massa entre a placa plana e a camada limite é baixa.
(19). equação 0,332 é inclinação ay em e e, velocidadde perfil o sobre efeito nenhum temnão massa de ncia transferêde taxa
0Re
placa. a para fluido dopartir a massa de ncia transferê0Re
limite. camada da dentro para placa dapartir a massa de ncia transferê0Re
21x
ys
21x
ys
21x
ys
⇒=
⇒=ϑ
ϑ
⇒<ϑ
ϑ
⇒>ϑ
ϑ
∞
∞
∞
⇒ Em muitas operações físicas envolvendo transferência de massa 21x
ysRe
∞ϑ
ϑ é desprezível,
valendo a equação (24). ⇒ Vaporização de um material volátil dentro de uma corrente gasosa escoando a baixa pressão, a
suposição de baixa transferência de massa não pode ser feita.
Transferência de massa por convecção 5.11
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
31
cSc=
δδ
Solução de Pohlhausen
δ = espessura da camada limite hidrodinâmica δc = espessura da camada limite da concentração. Para y = 0, temos:
( )
−∞=
=
3xAsA
0y
As ScRex332,0
ccdy
dc
Conduzindo a: 3xx
AB
c ScRe332,0ShD
xk== (25)
Coeficiente de transferência de massa médio para uma placa plana (largura W e comprimento L)
∫
∫∫
∫
∫
−∞
∞
µ
ρϑ=
⇒
µρϑ
===
L
0
2121
31ABc
L
0
31
21
ABL
0
3121
xAB
L
0
L
0c
c
dxxScD332,0Lk
L
dxScx
xD332,0
L
dxScx
ReD332,0
dxW
dxkW
k
Inclinação = 0,332
ϑys = 0
3121x
ysScRe
∞ϑ
ϑ
∞−−
AAs
AAs
cccc
Transferência de massa por convecção 5.12
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
Resolvendo e rearranjando, temos:
3121LL
AB
c ScRe664,0ShD
Lk== (28)
O numero de Sherwood local para uma distancia x, esta relacionado com o numero de Sherwood médio para uma placa plana pela relação: ShL = 2 Shx|x=L
O parâmetro do limite da superfície, 0Re 21x
ys>
ϑ
ϑ
∞, aumenta quando a inclinação da curva
decresce (ver gráfico). Como a magnitude do coeficiente de transferência de massa esta relacionado
com a inclinacao pela relação:
0y
AAs
AAs
c dy
cccc
d
k
=
∞
−−
= , o decréscimo na inclinação => o sistema
com valores elevados no limite da superfície terá um menor coeficiente de transferência de massa. Escoamento turbulento A mesma expressão encontrada para transferência de calor, na camada limite laminar térmica, é encontrada para a camada limite laminar para a concentração, utilizando a equação integral de von Kármán, onde o perfil de concentração é dado por:
71,AA ycc ξ+η=− ∞
obtendo: 54
xx Re0292,0Sh = para Sc = 1 e aplicando a solução de Pohlhausen, extende-se para:
3154
xx ScRe0292,0Sh = , para Rex > 3 x 105 (29)
Transferência de massa por convecção 5.13
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
EXEMPLO 3 O coeficiente de transferência de massa para uma camada limite turbulenta formado sobre uma placa plana tem sido correlacionado em termos de um número de Sherwood local por:
3154x
AB
turb,cx ScRe0292,0
D
xkSh ==
onde x é a distancia a partir do começo de turbulência da placa plana. A transição do escoamento laminar para turbulento ocorre para Rex = 2 x 105. a) Desenvolver a expressão para o coeficiente de transferência de massa médio para uma placa
plana de comprimento L. b) Um vasilhame contendo acetona foi acidentalmente derrubado, cobrindo uma superfície plana
do laboratório. O exaustor produz uma velocidade de ar de 6 m/s paralelo a superfície da bancada de 1 m de largura. O ar foi mantido a 298 K e 1,013 x 105 Pa. A pressão de vapor da acetona a 298 K é 3,066 x 104 Pa.
1. Determinar o coeficiente de transferência de massa a 0,5 m do ponto inicial da bancada. 2. Determinar a quantidade de acetona evaporada por m2 de superfície a cada segundo. A 298 K, a viscosidade cinemática do ar é 1,55 x 10-5 m2/s e a difusividade mássica da acetona em ar é 0,93 x 10-5 m2/s.
5.5 ANALOGIAS ENTRE TRANSFERÊNCIAS DE MOMENTO, CALOR E MASSA ⇒ Fenômenos de transferência => similaridades de mecanismos. ⇒ As analogias são úteis para o entendimento do fenômeno de transferência e como um meio
satisfatório para predizer o comportamento dos sistemas na qual são disponíveis uma quantidade limitada de dados quantitativos.
⇒ Condições: 1. As propriedades físicas são constantes. 2. Não há produção de energia ou massa, não ocorre nenhuma reação química. 3. Não há emissão ou absorção de energia radiante. 4. Não há dissipação viscosa. 5. O perfil de velocidade não é afetado pela transferência de massa, então há uma baixa
transferência de massa.
Analogia de Reynolds ⇒ Extensão da teoria de Reynolds incluindo o mecanismo de transferência de massa se o no de
Schimidt, Sc, é igual a 1.
Transferência de massa por convecção 5.14
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
Placa plana com Sc = 1. Os perfis de concentração e velocidade dentro da camada limite estão relacionados por:
0y
x
0yAsA
AsA
ycccc
y=∞=∞
ϑϑ
∂∂
=
−−
∂∂
(30)
O contorno próximo da placa, onde y = 0, é:
( ) ( )∞=
−=−∂∂
−= AAsc0y
AsAABy,A cckccy
DN (31)
DAB = µ/ρ, pois Sc = 1 (32)
De (31), 0yAAs
AsAABc cc
ccy
Dk=∞
−−
∂∂
−=
Substituindo (32) em (30), temos:
0y
xc y
k=∞ ∂
ϑ∂ρϑ
µ= (33)
A definição do coeficiente de fricção Cf é:
0y
x2
0f y
22
C=∞∞ ∂
ϑ∂
ρϑ
µ=
ρϑτ
= (34)
Substituindo (33) em (34), temos:
2Ck fc =
ϑ∞ (35), que é a analogia de Reynolds para transferência de massa para Sc = 1.
A eq. (35) é análoga a analogia de Reynolds para transferência de calor com Pr = 1.
2C
ch f
p=
ϑρ ∞, analogia de Reynolds para transferência de calor para Pr = 1.
A equação (35) não pode ser utilizada se o sistema envolver forma de arraste.
Transferência de massa por convecção 5.15
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
Considerações sobre escoamento turbulento ⇒ Na maioria das aplicações praticas o escoamento na corrente principal é turbulento. ⇒ Hipótese do comprimento de mistura de Prandt: alguma velocidade de flutuação xϑ′ é devido ao
momento na direção y de um turbilhão através de uma distancia igual ao comprimento de mistura L. O turbilhão de fluido, possui uma velocidade media,
yxϑ , e é deslocado dentro de
uma corrente onde o fluido adjacente tem uma velocidade media, Lyx +
ϑ . A velocidade de
flutuação esta relacionada com o gradiente de velocidade media por:
dy
dL x
yxLyxxϑ
±=ϑ−ϑ=ϑ′+
(1)
a tensão de cisalhamento total é definida por:
yxx
dyd
ϑ′ϑ′ρ−ϑ
µ=τ (2)
Substituindo (1) em (2), temos:
[ ] [ ]dy
dou
dyd
L xM
xy
ϑε+νρ=τ
ϑϑ′+νρ=τ (3)
Onde:
. momento, demolecular dedifusivida a analoga momento dear turbilhondedifusivida L yM ν→ϑ′=ε
De maneira similar é analisado o escoamento turbulento em transferência de massa.
Transferência de massa por convecção 5.16
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
Figura 5.6 – Perfil da porção turbulenta de concentração, mostrando o comprimento de mistura de Prandt. A taxa de transferência instantânea do componente A na direção y é:
yAy,A cN ϑ′′= (4)
onde:
A componente doãoconcentraç da
flutuação
A
temporalmédiaãoconcentraç
AA ccc ′+=
dycd
Lccc AyALyAA ±=−=′
+ (5)
Substituindo (5) em (4), temos:
dycd
LN Ayy,A ϑ′−= taxa de transferência de massa instantânea devido a turbulência.
( )dycd
Ddycd
Ldycd
DN ADAB
turbulento
Ay
laminar
AABy,A ε+−=ϑ′−−=
4342143421 (6)
onde: yD Lϑ′=ε é a difusividade mássica turbilhonar.
L
LyAc +
yAc
dycd
L A
y
ξA
Transferência de massa por convecção 5.17
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
A eq. (6) é similar a:
dyTd
cA
q
rturbilhonatérmica
dedifusivida
H
térmicamolecular
dedifusividap
y
ε+αρ−=
⇒ Região turbulenta: transporte rápido, redução no gradiente de concentração. ⇒ Região laminar: difusão molecular, maior resistência a transferência de massa na camada
limite próxima a superfície o gradiente de concentração é mais excessivo. As analogias de Prandtl e von Kármán Analogia de Prandtl ⇒ Considerações dos efeitos na região turbulenta e na subcamada laminar. Subcamada laminar ⇒ Difusividade turbilhonar de momento e massa são desprezíveis ⇒ τs = tensão de cisalhamento na superfície = constante. ⇒ NAy,s = fluxo de massa na superfície = cte.
ρνξτ
=ϑρντ
=ϑ ξ
ξϑ
∫∫ξ
sx0
0
sx oudyd
x
(7)
onde ξ é a espessura da subcamada laminar. A porção laminar da equação (6)
( )AB
s,AyAAs0AB
s,Ayc
c A D
Nccoudy
D
NcdA
As
ξ=−−= ξ
ξ∫∫ ξ (8)
Eliminando ξ das equações (7) e (8), temos:
( )ξξ
−=τ
ϑρνAAs
s,Ay
AB
s
xcc
ND
(9)
Transferência de massa por convecção 5.18
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
Região turbulenta ⇒ Aplica-se a analogia de Reynolds:
2sfc
2Ck
∞∞ ρϑ
τ==
ϑ
de y = ξ a y = condições bulk. O fluxo mássico na região turbulenta torná-se:
( ) ( )( )∞ξξ∞
∞ξ −ϑ−ϑρν
τ=−= AA
x
sAAcAy cccckN (10)
União das regiões laminar e turbulenta Eliminando ξAc entre as equações (9) e (10), temos:
−
νϑ+ϑ
τρ
=−
ξ∞∞ 1
DNcc
ABx
sAy
AAs (11)
Substituindo as definições:
ABAAs
Ac2
sf D
Sc;cc
Nk;
2C
ν=
−=
ϑρ
τ=
∞∞
na eq. (11) e rearranjando, temos:
( )( )1Sc12Ck
x
fc
−ϑϑ+=
ϑ ∞ξ∞ (12)
Na subcamada laminar é definido que ϑ+ = y+ = 5, portanto:
2C
5ou5
2C
fx
f
x=
ϑ
ϑ=
ϑ
ϑ=ϑ
∞
ξ
∞
ξ+ (13)
Substituindo (13) em (12), obtemos:
Transferência de massa por convecção 5.19
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
( )1Sc2
C51
2Ck
f
fc
−+
=ϑ∞
(14)
multiplicando ambos os lados de (14) por ABD/L∞ϑ , onde L é o comprimento característico:
( )
( )1Sc2
C51
ScRe2CSh
f
f
−+
= (15)
As equações (13) e (14) são análogas a analogia de Prandtl para momento e energia. Elas reduzem a analogia de Reynolds quando Sc = 1. Analogia de von Kármán ⇒ Von Kármán extendeu a analogia de Prandtl considerando a zona de transição em adição a
subcamada laminar e o núcleo turbulento, obtendo:
( )
( )[ ] 6Sc51ln1Sc2
C51
ScRe2CSh
f
f
++−+
= (16)
ou ( )
( )[ ] 6Sc51ln1Sc2
C51
2CScRe
Shk
f
fc
++−+
==ϑ∞
(17)
( )
==
ϑ∞
44444 344444 21Reynolds de analogia a para correção
fc
termosde complexos grupo
2CScRe
Shk → resultados de muitas analogias
Analogia de Chilton-Colburn ⇒ Utilizando dados experimentais
32cD Sc
kj
∞ϑ= → fator j para transferência de massa.
Transferência de massa por convecção 5.20
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
⇒ Baseado em dados coletados para escoamentos em regime laminar e turbulento, encontraram:
2C
Sck
j f32cD =
ϑ=
∞ (18)
Válida para gases e líquidos na faixa 0,6 < Sc < 2500 A equação (18) satisfaz a solução exata para escoamento laminar sobre uma placa plana:
3121xx ScRe332,0Sh =
Se ambos os lados são divididos por RexSc1/3, temos:
21x
31x
x
Re
332,0
ScRe
Sh= (19)
∞∞ ϑ=
µ
ρ
ρϑ
µ
==
32c32AB
AB
c
x
32x
31x
x SckSc
DxD
xkScRe
ScSh
ScRe
Sh (20)
Das equações (19), (20) e (18), temos:
2C
Re
332,0Sck f21
x
32c ==ϑ∞
(21)
⇒ A analogia de Chilton-Colburn relaciona os 3 fenômenos de transporte:
2C
jj fDH == (22)
A equação (22) é válida quando não tem nenhuma forma de arraste presente. Porem quando a forma de arraste esta presente, temos:
DH jj = (23)
ou ∞∞ ϑ
=ρϑ
32c32
p
SckPr
ch
(24),
Transferência de massa por convecção 5.21
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
⇒ A equação (24) é uma relação entre transferência de massa e calor convectivos, válida para 0,6 < Sc < 2500 e 0,6 < Pr < 100.
⇒ A equação (24) é válida para muitas geometrias diferentes como: escoamento em placas planas, escoamento em tubos, e escoamento ao redor de cilindros.
EXEMPLO 4 Utilizando o enunciado e o coeficiente de transferência de massa do exemplo 1, determinar o valor do coeficiente de transferência de calor, h, para a corrente de ar.
EXEMPLO 5 O ar seco sob pressão de 1,013 x 105 Pa sopra o termômetro na qual o bulbo foi coberto com um pano úmido. A clássica temperatura do bulbo úmido indica que a temperatura no estado estacionário foi alcançado por uma pequena quantidade de água evaporando num grande reservatório de mistura de gás e vapor insaturado. A leitura no termômetro é 290 K. Propriedades do ar e água: PA, pressão de vapor da água = 1,94 x 103 Pa ρ, densidade do ar = 1,219 kg/m3 λTs, calor latente de vaporização da água = 2461 kJ/kg Pr = 0,71 Sc = 0,61 cp, calor especifico do ar = 1,006 J/kgK Qual é a temperatura do ar seco? Resp: 322,1 K
5.6 MODELOS PARA O COEFICIENTE DE TRANSFERÊNCIA DE MASSA CONVECTIVO ⇒ Em muitos casos kc é empírico (determinado por experimentos) ⇒ A explicação teórica requer um melhor entendimento do mecanismo da turbulência →
características dinâmicas do escoamento. Teoria do filme: é baseada na presença de um filme fictício de fluido, onde se admite existir toda a resistência e transferência de massa, na qual o transporte é inteiramente por difusão molecular. A espessura do filme, δ, é estendida alem da subcamada laminar para incluir uma resistência equivalente encontrada com a mudança de concentração dentro da região de transição e do núcleo turbulento.
Transferência de massa por convecção 5.22
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
⇒ Fluido estagnante (célula de difusão de Arnold)
( ) ( )δ
=∴−≡−δ
=,lnB
ABc2A1A
c2A1A
,lnB
ABAz p
PDkpp
RTk
ppRTp
PDN
⇒ Contradifusão equimolar (NAz = -NBz)
( )
( )
( )δ
=∴−=δ=−
−−
=⇒−=
++−=
∫ ∫
=
AB0c2A1AcAz12
2A1A12
ABAz
z
z
c
c AABAz
0
BzAzAA
ABAz
DkcckN como ,zz
cczz
DNdcDdzN
NNxdz
dcDN
2
1
2A
1A
44 344 21
O superescristo 0 → não há uma transferência molar liquida dentro do filme devido a contradifusão equimolar. Na teoria do filme: kc esta relacionado com DAB e δ é fictício, portanto nunca será medido. Teoria da penetração: originalmente proposta por Higbie em 1935, para explicar a transferência de massa na fase liquida durante a absorção do gás.
⇒ Aplicada para escoamento turbulento por Danckwerts (Ind. Eng. Chem. 43, 1460-67, 1951) quando o componente que difunde apenas penetra uma curta distancia dentro de uma fase de interesse, devido ao seu rápido desaparecimento através da reação química ou seu tempo relativamente curto de contato.
⇒ Higbie considerou a transferência de massa para dentro da fase liquida como um transporte molecular no estado não estacionário, encontrando:
( )∞−π
= AAsexp
ABAy cc
tD
N
⇒ Danckwertz aplicou este conceito de estudo não estacionário para a absorção do componente
A numa corrente liquida turbulenta. Seu modelo assume que o movimento do liquido é constantemente levado por turbilhões de liquido fresco do interior até a superfície, onde estes substituem os elementos do liquido anteriormente sobre a superfície. Enquanto que sobre a superfície cada elemento do liquido torna-se exposto a uma segunda fase e a massa é
Transferência de massa por convecção 5.23
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
transferida para dentro do liquido apesar dela ser estagnante e de profundidade infinita. A total penetração do soluto no turbilhão num tempo de exposição é:
( ) ( )21
expABAAs
t
021
AAsABt
0 AtD
cc2dttccD
dtN expexp
π−=−
π= ∞
−∞ ∫∫
( )21
expABAAs
to durantemédia ncia transferêde taxa
AtD
cc2N
exp
π−= ∞
⇒ Danckwertz modificou a suposição de período de exposição constante propondo uma faixa
infinita de idades para os elementos de superfície → probabilidade de um elemento de superfície ser substituído por um novo turbilhão. A taxa de transferência de massa com a renovação da superfície ao acaso é:
( )∞−= AAsABA ccsDN
onde s = fator de renovação da superfície (experimental)
O conceito de renovação da superfície de renovação tem sido bem sucedido em: o Reações químicas na fase líquida. o É valida somente se a superfície de renovação é relativamente rápida.
Teoria entre a do filme e a da penetração:
AB5,0
ABc DaDk ∝
Modelo da camada limite:
321
ABD
3121L
ABc ScRe
LD
664,0kν
=
=
logo 32
ABc Dk ∝
⇒ Sublimação de um sólido dentro de um gás. ⇒ Dissolução de um sólido por um líquido.
Transferência de massa convectivo entre fases 6.1
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
CAPÍTULO 6: TRANSFERÊNCIA DE MASSA CONVECTIVO ENTRE FASES ⇒ Até agora vimos a transferência de massa dentro de uma única fase. ⇒ Transferência entre 2 fases de contato; exemplos:
o Corrente gasosa em contato com líquido o Dois líquidos imiscíveis. o Fluido escoando sobre um sólido.
⇒ A transferência entre duas fases requer o desvio do equilíbrio a qual pode existir entre a
concentração media (bulk) dentro de cada fase ⇒ desvio do equilíbrio fornece o gradiente de concentração dentro de uma fase.
6.1 EQUILÍBRIO ⇒ Equilíbrio dinâmico: é indicado por uma concentração constante do soluto na fase líquida
(solvente) e uma concentração constante ou pressão parcial do soluto na fase gasosa. Exemplo: inicialmente ar e amônia na fase gasosa e água pura na fase líquida → quando em contato, a amônia é transferida para dentro da água, a qual é solúvel, e a água é vaporizada dentro da fase gasosa, um equilíbrio dinâmico entre as duas fases eventualmente será estabelecido.
Figura 6.1 – Distribuição de equilíbrio do soluto A entre uma fase gasosa e uma líquida à temperatura controlada. ⇒ Adicionando mais soluto (concentração de A) ao sistema isobárico e isotérmico, um novo
equilíbrio é alcançado.
Pres
são
parc
ial d
e A
no
gás
P A
Concentração de A no líquido, cA
Transferência de massa convectivo entre fases 6.2
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
⇒ Equações relacionadas a equilíbrio nas duas fases → livros de termodinâmica. ⇒ Gases reais e fases líquidas → equações complexas. Fase líquida ideal (Lei de Raoult) AAA Pxp = (1)
Onde:
.equilíbrio de ra temperatua para puroA de vapor de pressãoP
líquida. fase naA demolar fração xlíquida. fase da acima vapor fase naA componente do equilíbrio de parcial pressão p
A
A
A
===
Fase gasosa ideal (Lei de Dalton) Pyp AA = (2)
Onde:
sistema. do totalpressãoP
gasosa. fase naA demolar fração y A
==
Duas fases ideais (Lei de equilíbrio Raoult-Dalton) AAA PxPy = (3)
Soluções diluídas (Lei de Henry) AA Hcp = (4)
Onde: H = constante de Henry cA = composição de A no equilíbrio na fase líquida.
Lei da distribuição (dois líquidos imiscíveis) 2líquido,A1líquido,A Kcc = (5)
Onde: cA = concentração do soluto A na fase líquida especificada. K = coeficiente de distribuição.
Transferência de massa convectivo entre fases 6.3
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
⇒ Conceitos básicos para todos os sistemas envolvendo a distribuição de um componente entre duas fases.
1. Para condições fixas de temperatura e pressão, a regra das fases de Gibbs estabelece que existe
relações de equilíbrio, a qual pode ser apresentada na forma de curva de distribuição de equilíbrio.
2. Quando o sistema esta em equilíbrio, não há transferência de massa liquida entre as fases. 3. Quando o sistema não esta em equilíbrio, componente ou componentes do sistema serão
transportados de tal maneira que cause a composição do sistema um retorno ao equilíbrio num tempo suficiente.
EXEMPLO 1 Uma corrente de exaustão a partir de uma unidade de fabricação de um semicondutor contem 3 mol% de acetona e 97 mol% de ar. Para eliminar alguma possível poluição ambiental, esta corrente de acetona-ar alimenta uma coluna de transferência de massa na qual a acetona será eliminada por contracorrente de água a 293 K. A torre opera a uma pressão total de 1,013 x 105 Pa. Se a relação de equilíbrio Raoult-Dalton pode ser usada para determinar a distribuição acetona entre o ar e a fase aquosa, determinar: a) A fração molar da acetona dentro da fase aquosa a qual estaria em equilíbrio com 3 mol% de
acetona na mistura gasosa. b) A fração molar da acetona na fase gasosa a qual estaria em equilíbrio com 20 ppm de acetona na
fase aquosa. A 293 K a pressão de vapor da acetona é 5,64 x 104 Pa.
EXEMPLO 2 A constante da lei de Henry para o oxigênio dissolvido em água é 4,06 x 109 Pa/(mol de O2 por mol da solução total) a 293 K. Determine a concentração da solução de oxigênio na água que é exposta ao ar seco a 1,013 x 105 Pa e 293 K. A lei de Henry pode ser expressada em termos de unidade de fração molar por: AA xHp ′= , onde H’ é 4,06 x 109 Pa/(mol de O2/mol da solução total).
Transferência de massa convectivo entre fases 6.4
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
6.2 TEORIA DAS DUAS RESISTÊNCIAS Envolvem 3 etapas:
1. Transferência de massa do meio (bulk) de uma fase para a superfície interfacial. 2. Transferência através da interface para a segunda fase. 3. Transferência para o meio (bulk) da segunda fase.
Figura 6.2 – Absorção de um gás com um soluto A transferido da fase gasosa para a fase líquida. ⇒ A teoria das duas resistências foi inicialmente sugerida por Whitman (Chem. Met. Engr., 29 (4),
147, 1923), esta possuía duas suposições principais:
1. A taxa de transferência de massa entre as duas fases é controlada pela taxa de difusão através das fases sobre cada lado da interface
2. Nenhuma resistência é oferecida na transferência do componente difundindo na interface.
Interface gás-líquido
NA
Filme gasoso Filme líquido
Transferência de massa convectivo entre fases 6.5
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
Figura 6.3 – Gradientes de concentração entre duas fases em contato, onde o soluto é transferido do gás para o líquido. Na fig. 6.3 o gradiente de pressão parcial, pAG, até a composição do gás interfacial, pAi, e o gradiente de concentração da fase líquida, cAi, na interface até a concentração bulk da fase líquida, cAL. ⇒ Se não existe nenhuma resistência a transferência de massa na interface ⇒ pAi e cAi são
concentrações de equilíbrio. ⇒ PAi pode ser menor, maior ou igual a cAi, de acordo com as condições da temperatura e pressão
do sistema. Se ocorrer transferência de massa da fase liquida para a gasosa ⇒ cAL > cAi e pAi > pAG como mostram as figuras abaixo:
pAG
pAi
cAi
cAL
δG δL
Distância z
Con
cent
raçã
o de
A s
e di
fund
indo
Interface se H < 1,0
pAG
pAi
cAi
cAL
δG δL
Distância z
Con
cent
raçã
o de
A s
e di
fund
indo
Interface se H =1,0
Fase gás Fase líquida Fase líquida Fase gás
Transferência de massa convectivo entre fases 6.6
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
Figura 6.4 – Desorção (stripping) do liquido com o soluto A transferido do líquido para o gás.
Figura 6.5 – Gradiente de concentração entre duas fases em contato quando o soluto é transferido do líquido para o gás. Coeficientes de transferência de massa individuais ⇒ Taxa de difusão na direção z sobre cada lado da interface: ( )AiAGGAz ppkN −= (6)
( )ALAiLAz cckN −= (7)
pAG
pAi cAi
cAL
δG δL
Distância z
Con
cent
raçã
o de
A s
e di
fund
indo
Interface
Fase gás Fase líquida
Interface gás-líquido
NA
Filme gasoso Filme líquido
Transferência de massa convectivo entre fases 6.7
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
Onde:
líquida. fase a paraA componente or transferiacontinuar para necessária direcional força ccfases. duas as separando interface a para
gasoso meio do condições dasA componente or transferipara necessária direcional força pplíquida fase na convectivo massa de ncia transferêde ecoeficient k
ãolconcentraç de unidades x interfacia área x tempoidoA transfer de moles
gasosa fase na convectivo massa de ncia transferêde ecoeficient k
ALAi
AiAG
L
A
G
=−
=−=
ρ∆
≡
=
Em regime no estado estacionário, o fluxo de massa de uma fase é igual ao fluxo de massa na segunda fase, portanto: ( ) ( )AiALLAiAGGAz cckppkN −−=−= (8)
e AiAL
AiAG
G
L
cc
pp
k
k
−
−=− (9)
Figura 6.6 – Composições interfacial predita pela teoria das duas resistências. 0 → condições do meio (bulk) em um plano de transferência de massa. As condições em outro plano poderiam ser diferentes. A tabela 29.1 (WELTY) apresenta os coeficientes de transferência de massa individual encontrados com mais freqüência, bem como a inter-relações entre eles.
0 Inclinação = -kL/kG
Curva de equilíbrio pAG
pAi
cAL cAi Pres
são
parc
ial d
e A
na
fase
gas
osa
Composição de A na fase líquida
Transferência de massa convectivo entre fases 6.8
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
Transferência de massa convectivo entre fases 6.9
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
Coeficientes de transferência de massa global ⇒ É muito difícil medir fisicamente a pressão parcial e a concentração na interface. É conveniente
empregar os coeficientes global, baseado na força direcional global entre as composições do meio (bulk), pAG e cAL.
( )∗−= AAGGA ppKN (10)
Onde:
ALA
AG
G
G
c A, de líquida fase dabulk composição a com equilíbrio emA de parcial pressão p
gasosa fase dabulk composição p
pressão x linterfacia área x tempoicoA transfer de moles
K
parcial. pressão da direcional força na baseado global, massa de ncia transferêde ecoeficient K
=
=
≡
=
∗
( )ALALA ccKN −= ∗
Onde:
ALA
AL
L
L
p com equilíbrio emA de ãoconcentraç c
líquida fase dabulk composição c
memoles/volu x linterfacia área x tempoicoA transfer de moles
K
líquida. fase na ãoconcentraç da direcional força na baseado global, massa de ncia transferêde ecoeficient K
=
=
≡
=
∗
Transferência de massa convectivo entre fases 6.10
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
Figura 6.7 – Forças direcionais de concentrações para a teoria das duas resistências. A figura 6.7 ilustra as forças direcionais associadas a cada fase e as forças direcionais global.
G
G
total,A
gás filme,A
K1
k1
p
p
fases as ambas em totalaresistêncigasosa fase na aresistênci
=∆
∆=
L
L
total,A
líquido filme,A
K1
k1
c
c
fases as ambas em totalaresistêncilíquida fase na aresistênci
=∆
∆=
⇒ Relação entre os coeficientes global e os coeficientes da fase individual: Ai
õesconcentraç baixas paraHenry de lei da
constante H, Ai cmp
=
= (12)
utilizando a equação (12):
Transferência de massa convectivo entre fases 6.11
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
AiAi
ALA
AAG
mcp
mcp
mcp
=
=
=
∗
∗
Pela equação (10) rearranjada:
Az
AAi
Az
AiAG
Az
AAG
G N
pp
N
pp
N
pp
K1 ∗∗ −
+−
=−
=
Substituindo pela Lei de Henry:
( )
Az
ALAi
Az
AiAG
Az
AAG
G Nccm
Npp
Npp
K1 −
+−
=−
=∗
Substituindo (6 ) e (7), temos:
LGG k
mk1
K1
+= (13)
Pode ser encontrada uma expressão similar para KL, como segue:
( ) ( )
Az
ALAi
Az
AiAG
Az
ALA
L N
cc
mN
pp
N
cc
K1 −
+−
=−
=∗
ou
LGL k
1mk
1K
1+= (14)
⇒ Se m é pequeno: KG = kG ⇒ fase gasosa controlada. ⇒ Se m é grande: KL = kL ⇒ fase gasosa pode ser desprezada, fase líquida controlada.
Transferência de massa convectivo entre fases 6.12
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
EXEMPLO 3 Num estudo experimental de absorção de amônia em água numa coluna de parede molhada, o coeficiente global de transferência de massa, KG, foi encontrado no valor de 2,74 x 10-9 kg mol/m2.s.Pa. Para um ponto na coluna, a fase gasosa contem 8 mol% de amônia e a concentração na fase líquida foi de 0,064 kg mol de amônia/m3 de solução. A torre opera a 293 K e 1,013 x 105 Pa. Para esta temperatura, a constante da lei de Henry é 1,358 x 103 Pa/(kg mol/m3). Se 85% da resistência total para transferência de massa é encontrada na fase gasosa, determine os coeficientes individuais de massa do filme e as composições interfaciais.
EXEMPLO 4 Uma corrente de água para lavagem é introduzida no topo de uma torre de transferência de massa onde uma corrente de ar escoa em contracorrente. Para um ponto na torre, a corrente de água contem 1 x 10-3 g mol de A/m3 e o ar é essencialmente livre de A. Para as condições de operação da torre, os coeficientes de transferência de massa do filme são kL = 5 x 10-4 kg/mol/m2.s.(kg mol/m3) e kG = 0,01 kg mol/m2.s.atm. As concentrações esta na região da lei de Henry onde pAi =HcAi com H = 10 atm/(kg mol/m3). Determine a) O fluxo de massa global de A. b) O coeficiente de transferência de massa global, KL e KG.
Correlações para transferência de massa convectiva 7.1
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
CAPÍTULO 7: CORRELAÇÕES PARA TRANSFERÊNCIA DE MASSA CONVECTIVA
⇒ Correlações para transferência de massa baseada em dados experimentais e quando possível teórico.
TABELA 7.1 Números adimensionais em correlação para dados de transferência de massa
Correlações para transferência de massa convectiva 7.2
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
7.1 TRANSFERÊNCIA DE MASSA PARA PLACAS, ESFERAS E CILINDROS Técnicas empregadas para obter o coeficiente de transferência de massa entre o fluido em movimento e certas formas:
o Sublimação de um sólido. o Vaporização de um líquido no ar. o Dissolução de um sólido na água.
PLACA PLANA
3121L
AB
cL ScRe664,0
DLk
Sh == (Laminar) ReL < 2 x 105 (1)
318,0L
AB
cL ScRe0365,0
DLk
Sh == (Turbulento) ReL > 2 x 105 (2)
onde: µ
ρϑ= ∞ L
Re L
Para uma distancia x a partir do inicio da placa plana, temos:
3121x
AB
cL ScRe332,0
Dxk
Sh == (Laminar) (3)
onde: µ
ρϑ= ∞ x
Re x
As equações também podem ser escritas em termos se fator j, como:
31
L
L32
AB
AB
AB
c32cD
ScRe
ShD
DLD
LkSc
kj =
ρ
µµ
ρρϑ
µ=
ϑ=
∞∞, logo:
21LD Re664,0j −= (laminar) Re < 2 x 105 (4)
2,0LD Re0365,0j −= (turbulento) Re > 2 x 105 (5)
Estas equações podem ser usadas com 0,6 < Sc < 2500.
Correlações para transferência de massa convectiva 7.3
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
Em muitas situações a camada limite da concentração começa após a camada limite hidrodinâmica, conseqüentemente a camada limite hidrodinâmica começa a se desenvolver antes da camada limite da concentração.
Figura: Escoamento laminar sobre uma placa plana com inicio da camada limite hidrodinamica antes da camada limite de concentração. Condições de contorno: 0 ≤ x < X, cA = cA∞
X ≤ x < ∞, cA = cAs E o numero de Sherwood local, fica:
31
4321
xx
xX
1
ScRe332,0Sh
−
=
CA = 0 p/ parede
Parede inerte Parede (fonte de A)
x = 0 x = x x = X x = 0
cAs
NA
cA∞
ϑ∞
δc δ
Correlações para transferência de massa convectiva 7.4
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
Exemplo 7.1 Reator horizontal de deposição química (CVD): crescimento de um filme de arsenito de gálio (GaAs)
Reações simplificadas que ocorrem na superfície de silício:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )gCH6sGa2gH3gCHGa2
gH3sAs2gHA2
4233
23s
+→+
+→
No presente processo, a placa de silício de 10 cm é posicionada a 4 cm a partir da placa quente. A temperatura do processo é 800 K e a pressão total do sistema é 101,3 KPa (1 atm). Considerando o caso limitante onde o escoamento do gás rico em H2 esta a uma velocidade media de 100 cm/s (Ga(CH3)3 diluído). Determinar o coeficiente de transferência de massa global (kc) para o trimetil gálio em H2 no centro da placa de silício usando:
a) A teoria da camada limite. b) A teoria do filme
DAB = 1,55 cm2/s a 800 K e 1 atm (A = trimetil gálio e B = H2)
Dis
trib
uido
r de
gás
Alimentação de gás
Gás de alimentação: H2 + Ga(CH3)3 + AsH3
Placa de silício de 10 cm
Placa aquecida (susceptor)
x = 0 cm x = 4 cm x = 9 cm
Correlações para transferência de massa convectiva 7.5
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
ESFERA ÚNICA Forma geral:
4434421
forçadaconvecção
31m
moleculardifusãoAB
c ScReC2D
DkSh +==
C e m são constantes da correlação.
µ
ρϑ= ∞ D
Re
Onde: D = diâmetro da esfera ϑ∞ = velocidade do fluido bulk ρ, µ = densidade e viscosidade da mistura de fluidos, respectivamente. Transferência de massa dentro de uma corrente líquida
( ) 2132AB
AB
L Pe21,14D
DkSh +== (Brian and Hales) (1)
PeAB = número de Peclet = Re⋅Sc < 10000
31ABPe01,1Sh = Levick, para PeAB > 10000 (2)
Transferência de massa numa corrente gasosa
3121
AB
c ScRe552,02D
DkSh +== (Fröessling) (3)
válida para 2 < Re < 800 e 0,6 < Sc < 2,7 A equação (1) a (3) são válidas quando a convecção natural é desprezível e a convecção forçada é predominante, isto é, quando: 6121 ScGr4,0Re −≥ (4)
Correlações para transferência de massa convectiva 7.6
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
A seguinte correlação é recomendada quando ocorre transferência na presença de convecção natural.
( ) 62,021o ScRe347,0ShSh += (Steinberger and Treybal) (5)
onde Sho é dependente de Gr e Sc. ( ) 25,0
o GrSc569,02Sh += , para GrSc < 108 (6)
( ) 244,031
o ScGrSc0254,02Sh += , para GrSc > 108 (6)
válidas para 2 ≤ Re ≤ 3 x 104 e 0,6 ≤ Sc ≤ 3200 Onde: Gr = número de Grashof, definido como:
2
3 gDGr
µ
ρ∆ρ= (7)
ρ e µ são tomados nas condições bulk do fluido em escoamento. ∆ρ = diferença de densidade entre as duas fases em contato.
Correlações para transferência de massa convectiva 7.7
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
EXEMPLO 7.2 Estimar a distância de percurso de uma gota esférica de água em escoamento, originalmente 1,0 mm em diâmetro, em ar seco imóvel a 323 K, de modo a reduzir seu volume em 50%. Assumir que a velocidade da gota é sua velocidade terminal avaliada no diâmetro médio e que a água permaneça a 293 K. Avaliar as propriedades do gás para a temperatura média do filme gasoso de 308 K. O sistema físico requer uma analise combinada de transporte de momento e massa. A gota de água líquida é a fonte de transferência de massa, o ar das vizinhanças serve como meio infinito, e o vapor de água (A) é transferido. A taxa de evaporação é pequena de maneira que a gota de água é considerada isotérmica a 293 K, senão o transporte de calor também deveria ser combinado. Considerando um balanço de força na partícula esférica no meio fluido, nós podemos mostrar que a velocidade terminal da partícula é:
( )
arD
aráguapo C3
gd4
ρ
ρ−ρ=ϑ
Onde: dp = diâmetro da partícula g = aceleração da gravidade CD = coeficiente de arraste, função de Reynolds e da esfericidade, que neste caso é 1 por ser
considerada partícula esférica. Resp: 56,6m
CILINDROS ÚNICOS
Sublimação do cilindro sólido em ar escoando normal ao seu eixo.
( ) 4,0D
M
56,0G Re281,0
GPSck −= válida para 400 < ReD < 25000 e 0,6 < Sc < 2,6
Onde: P = pressão total do sistema.
GM = velocidade superficial molar do gás (kg.mol/m2.s) ReD = número de Reynolds em termos do diâmetro do cilindro.
Para outras faixa se Re e Sc pode-se utilizar analogia de Chilton-Colburn: jD = jH.
Correlações para transferência de massa convectiva 7.8
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
EXEMPLO 7.3 Em um aparelho de umidificação, a água líquida escoa em filme estreito sobre um cilindro vertical. Ar seco a 310 K e 1,013 x 105 Pa escoa em ângulo reto alinhado verticalmente ao cilindro de 0,076 m de diâmetro e 1,22 m de comprimento a uma velocidade de 4,6 m/s. A temperatura do filme líquido é 290 K. Calcular a taxa na qual o líquido deve ser suprido ao topo do cilindro se a superfície total do cilindro é usada para o processo de evaporação e nenhuma água deve escorrer a partir do fundo do cilindro. O filme líquido do lado externo do cilindro representa a fonte de transferência de massa, e a corrente de ar escoando normal ao cilindro representa o meio infinito. As propriedades da corrente de ar são avaliadas para a temperatura média do filme de 300 K (ρ = 1,1769 kg/m3, ν = 1,5689 x 10-
5 m2/s). Resp.: 1,14 x 10-4 kg/s.
TRANSFERÊNCIA DE MASSA ENVOLVENDO ESCOAMENTO TURBULENTO ATRAVÉS DE CANOS
44,083,0ln,b
AB
c ScRe023,0P
p
DDk
= para 2000 < Re < 35000 e 0,6 < Sc < 2,5 (Gilliland and
Sherwood) (1) onde D é o diâmetro interno do cano; pB,ln é a composição média logarítmica do gás de arraste, avaliado entre a composição da superfície e a corrente bulk; P é a pressão total; DAB é a difusividade mássica do componente A se difundindo no gás de arraste B; Re e Sc são avaliados nas condições bulk da corrente de escoamento.
3183,0
AB
L ScRe023,0D
Dk= para 2000 < Re < 35000 e 1000 < Sc < 2260 (Gilliland, Sherwood e
Linton)(2) TRANSFERÊNCIA DE MASSA EM COLUNAS DE PAREDE MOLHADA O coeficiente de transferência de massa convectivo para a corrente gasosa utiliza a equação (1) anterior. O coeficiente para o filme líquido segue a correlação:
( ) ( ) 4,0L
61
2
3221
AB
L Regz
Sc433,0D
zk
µ
ρ= (Vivian and Peaceman) (3)
Correlações para transferência de massa convectiva 7.9
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
Onde: z = comprimento de contato DB = difusividade mássica de A se difundindo em B ρ = densidade do líquido B. µ = viscosidade do líquido B. Sc = número de Schmidt para o soluto dissolvido no líquido na temperatura do filme líquido.
µπ
=µΓ
=Dw44
Re L
w = vazão mássica do líquido. D = diâmetro interno da coluna. Γ = vazão mássica do liquido por unidade de perímetro molhado da coluna.
EXEMPLO 7.4 Uma coluna de parede molhada de 2 esta sendo utilizada para absorver CO2 a partir de uma solução aquosa por uma corrente de ar escoando a 2,5 ft/s. Para um ponto da coluna, a concentração de CO2 na corrente de ar é 1 mol%. Para o mesmo ponto da coluna, a concentração de CO2 na água é 0,5 mol%. Determinar o coeficiente de transferência de massa na fase gasosa e o fluxo mássico para o ponto da coluna. A coluna é operada a 10 atm e 25º C.
TRANSFERÊNCIA DE MASSA EM LEITOS FIXO E FLUIDIZADO - Adsorção - troca íons - cromatografia - reações gasosas catalisadas em superfícies sólidas. Equação de Sherwood, Pigford e Wilke, para leito fixo: 415,0
D Re17,1j −= 10 < Re < 2500
onde: µ
ρ=
avep udRe
uave = velocidade superficial do fluido dp = diâmetro da esfera que tem a mesma superfície ou volume como a partícula.
Correlações para transferência de massa convectiva 7.10
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
Transferência de massa entre líquidos e leitos de esferas, equação de Wilson e Geankoplis:
eR09,1
jD ′′′=ε para 0,0016 < eR ′′′ < 55, 165 < Sc < 70600 e 0,35 < ε < 0,75.
( ) 31,0DeR
25,0j
′′′=ε para 55 < eR ′′′ < 1500, 165 < Sc < 10690
eR ′′′ é definido em termos do diâmetro da partícula, velocidade mássica superficial do fluido, G,
massa por unidade de tempo por unidade da seção transversal da torre sem recheio. ε é a fração de vazios.
sólidas partículas as mais vazioespaço do totalvolume
sólidas partículas as entre vazioespaço do volume=ε
Correlação de Gupta e Thodos, para gases e leito de esferas:
( ) 575,0D
eR
06,2j
′′′=ε para 90 < eR ′′′ < 4000
Correlação de Gupta e Thodos, para gases e líquidos em leito de esferas fluidizado:
( ) 483,0eR
863,0010,0j
58,0D−′′′
+=ε
Mais detalhes sobre transferências de massa, calor e momento em leitos fluidizados se encontra no livro de Kunii & Levenspiel, Fluidization Engineering, Wiley, New York, 1969.
Correlações para transferência de massa convectiva 7.11
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
EXEMPLO 7.5 Para realizar ensaios de transferência de massa, construí-se uma coluna que se comportasse como leito fixo e fluidizado, dependendo da velocidade de injeção do fluido de trabalho na base do equipamento. Para proceder a experimentação, esferas de naftaleno de 2,9 mm de diâmetro e massa especifica igual a 1,145 g/cm3 foram eleitas como material de teste. Utilizando ar seco como fluido de trabalho a 25º C e 1 atm (Sc = 2,45 e DAB = 0,0611 cm2/s), determine: a) O valor de Sherwood da partícula quando o ar é injetado a 14,91 cm/s na base da coluna. Nessa
condição observou-se que o leito comportara-se como fixo de porosidade 0,49. Utilize a correlação apresentada neste tópico e compare os resultados obtidos com o experimental que é 12,95.
b) Mantendo-se a carga de partículas presentes no item anterior, estime o valor do ShP, para o caso
da velocidade do ar ser duplicada. Nesse caso, assume-se que o leito comporta-se como fluidizado com porosidade igual a 0,69.
uo
Correlações para transferência de massa convectiva 7.12
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
ENXAME DE BOLHAS ESFÉRICAS ⇒ Introdução do gás em líquidos através de orifícios gerando o enxame de bolhas. ⇒ Comportamento diferente aos de esferas rígidas. Calderbank e Môo-Young: transferência de um soluto A do gás para o solvente liquido B através de grande quantidade de bolhas contendo o gás A.
3131
AB
bL ScGr31,0D
dkSh == para db < 2,5 mm
2131
AB
bL ScGr42,0D
dkSh == para db ≥ 2,5 mm
2L
L3b gd
Grµ
ρ∆ρ=
∆ρ = diferença de densidade do líquido e a densidade do gás no interior da bolha. ρL e µL avaliados nas propriedades bulk da mistura. Para relacionar o fluxo NA com a taxa de transferência a razão ‘hold up’do gás deve ser conhecida (φg).
V
V
líquido do Volumegás de bolhas das Volume g
g ==φ
A área da interface de transferência de massa por unidade de volume para bolha é:
b3b
2b
bg
gi
d6
d6
d
bolha da Volumebolha da área
pois d6
bolha da Volumebolha da área
V
V
VA
=π
π=
φ=⋅=
φg < 0,2 para muitos casos e t
g ϑϑ
∝φ com a agitação mecânica do líquido.
Correlações para transferência de massa convectiva 7.13
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
Para transferência de massa de gases a líquidos em tanques agitados por impulsor. Devido as colisões continuas das bolhas de gás borbulhando e a agitação mecânica do impulsor, a área interfase para transferência de massa é impossível de ser medida. Nestes casos a medida do coeficiente de transferência de massa para tanques agitados são colocadas na forma de coeficiente de capacidade, por exemplo, kLa. O parâmetro a, é definido como:
líquido do Volume
interfase massa de ncia transferêpara disponivel áreaV
Aa i ==
Conversão de unidades:
13
2i
L sm
msm
VA
kakL
−=
==
( )AALi
AA ccVakVVA
Nw −⋅=⋅⋅= ∗
⇒ Equações de Van’t Riet para transferência de O2 em água com bolhas de ar coalescendo:
( ) ( ) 5,0gs
4,0g2
OL uV
P10x16,2ak
2
= − para V < 2,6 cm3 de líquido, e
⇒ Transferência de O2 em água com bolhas de ar que não coalescem:
( ) ( ) 2,0gs
7,0g3
OL uV
P10x2ak
2
= − para V < 2,6 cm3 de líquido
Ambas valendo para: 500 < V
Pg < 10000 w/m3
=
3
g
m
Wlíquido Volume
aeração da consumo de poênciaV
P
ugs = velocidade superficial do gás escoando através do recipiente vazio (m/s) = (vazão volumétrica do gás)/(área da seção transversal)
Correlações para transferência de massa convectiva 7.14
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
EXEMPLO 7.6: Num projeto de remediação airada para tratamento de água contaminada com tricloroetileno (TCE) a uma concentração de 50 mg/L. A trincheira é um duto aberto de 1 m de largura (W) e profundidade de 2 m (H), e a vazão volumétrica da água de lavagem adicionada a trincheira é 0,1 m3/s. O ar é borbulhado no fundo do duto a uma taxa que fornece um hold up de gás de 0,02 m3 de gás por 1 m3 de água, e o diâmetro médio das bolhas é 0,01 m. Determine o comprimento da trincheira necessária para reduzir a concentração do efluente TCE para 0,05 mg/L. A temperatura do processo é 293 K e a pressão do sistema é 1 atm.
⇒ Estado estacionário ⇒ Processo contínuo onde TCE é transferido da água de lavagem para o gás de aeração. ⇒ Variação do perfil apenas na direção axial (boa mistura)
Ar
Solo Forro
z z + ∆z
NAAi
Atmosfera
W = 1 m H
= 2
m
Equipamentos de transferência de massa 8.1
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
CAPÍTULO 8: EQUIPAMENTOS DE TRANSFERÊNCIA DE MASSA Exemplos típicos de equipamentos de transferência de massa incluem:
1) Transferência do soluto de uma fase gasosa para uma fase líquida: absorção, desudimificação e destilação.
2) Transferência do soluto de uma fase líquida para uma fase gasosa: desorção ou stripping e umidificação.
3) Transferência de um soluto da fase líquida para uma segunda fase líquida imiscível (ex. fase aquosa para hidrocarboneto): extração líquido-líquido.
4) Transferência de um soluto a partir de um sólido para uma fase fluido: secagem e lavagem (leaching).
5) Transferência de um soluto a partir de um fluido para a superfície de um sólido: adsorção coluna troca íons.
⇒ Torres e tanques: contato íntimo as duas fases. 8.1 TIPOS DE EQUIPAMENTOS DE TRANSFERÊNCIA DE MASSA Classificação em 4 tipos gerais de acordo com o método usado para produzir contato entre as duas fases: TORRES DE BOLHAS Consiste de uma câmara aberta na qual a fase líquida escoa e a fase gasosa é dispersa no líquido na forma de pequenas bolhas. As bolhas fornecem a área de contato desejada. ⇒ A fase líquida normalmente controla a taxa de transferência de massa. Ex. absorção de gases
parcialmente insolúveis, como a oxidação pelo ar na água. O tempo de contato e a área de contato determinam a quantidade de massa transferida entre as fases.
aeróbios mistura de tanqueágua de o tratamentde Operações
biológica Oxidação
⇒⇒
Equipamentos de transferência de massa 8.2
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
Figura 1 – torre de bolhas TORRES DE SPRAY O gás escoa para cima numa câmara aberta e a fase líquida é introduzida, na parte superior, por atomização na forma de pequenas gotas em contracorrente a fase gasosa. As pequenas gotas garantem uma grande área de contato entre as duas fases. ⇒ Gases altamente solúveis. ⇒ A resistência da fase gasosa normalmente controla a taxa de transferência de massa.
Figura 2 – torres spray
Saída do líquido
Entrada do líquido
Entrada do gás
Saída do gás
Z
Saída do líquido
Entrada do líquido
Entrada do gás
Saída do gás
Z
Equipamentos de transferência de massa 8.3
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
TORRES DE RECHEIO Envolve o contato contracorrente continuo entre duas fases imiscíveis. As torres são colunas verticais preenchidas com recheio (ver figura). Uma variedade de materiais para recheios é usada como cerâmicas e plásticos. A proposta do recheio é fornecer uma grande área de contato entre as duas fases imiscíveis. O líquido é distribuído sobre o leito e escoa sobre a superfície do recheio com um filme líquido. O gás geralmente escoa para cima em contracorrente ao líquido. ⇒ Sistemas gás-líquido na qual as resistências de ambas as fases controlam a taxa de transferência
de massa (ambas são importantes). ⇒ Ex. torre de resfriamento onde a água é recirculada como meio de transferência de calor
(condicionador de ar natural).
Anéis de Raschig Selas de Berl Anéis de Lessing Anéis de Pall Figura 3 – Recheios comuns na industria.
Figura 4 – torre de recheio
Saída do líquido
Entrada do líquido
Entrada do gás
Saída do gás
Z
Equipamentos de transferência de massa 8.4
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
TORRES DE PRATOS ⇒ São as torres mais comumente utilizadas nas industrias. ⇒ Mecanismo combinado: torre de bolhas com torre spray.
Em cada prato, as bolhas de gás são formadas a partir do fundo do liquido pobre, forçando o gás através de pequenos orifícios no prato ou sobre válvulas imersas no liquido. A transferência de massa interfase ocorre durante a formação das bolhas, e quando as bolhas aumentam em dímetro através do liquido agitado. Os pratos são arranjados um em cima do outro em uma torre cilíndrica (fig.5). O líquido escoa cruzando o primeiro prato superior e então os pratos abaixo. O vapor aumenta através de cada prato.
⇒ Torres de pratos não podem ser projetadas por equações obtidas por integração sobre uma área continua de contato interfase. São projetadas por cálculos para cada estágio ou prato.
Figura 5 – Torre de pratos
Equipamentos de transferência de massa 8.5
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
8.2 OPERAÇÕES DE TRANSFERÊNCIA DE MASSA GÁS-LÍQUIDO EM TANQUES BEM AGITADOS A aeração é uma operação de contato gás-líquido onde o ar comprimido é introduzido no fundo de um tanque de água liquida através de pequenos orifícios dispersos, como tubos perfurados, tubo ou placas porosas. O agitador (turbina) quebra as bolhas e dispersa através do líquido, ocorre um processo de absorção ou stripping.
Figura 6 – Tanque agitado airado
Absorção: O soluto no gás de aeração é transferido para o líquido. Muitas vezes o soluto é o oxigênio gasoso presente no ar, a qual é poupadamente solúvel em água. A absorção de oxigênio na água é muito importante em muitos processos de engenharia química. Stripping: O soluto volátil dissolvido é transferido do líquido para o gás de aeração, importante em processos de tratamento de água em engenharia ambiental. Quando o gás está disperso em uma fase continua líquida, a fase líquida controla a taxa de transferência de massa, portanto o balanço de massa para transferência de massa do soluto é feito para a fase líquida.
Equipamentos de transferência de massa 8.6
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
A transferência de massa do soluto A nos filmes gás e liquido baseado no coeficiente global de transferência de massa é (ver cap. 6): ( )AALA ccKN −= ∗ (1)
A taxa de transferência de massa é:
( ) ( )AALAAi
LA ccaVKccVV
AKW −=−= ∗∗ (2)
onde: H
pc A
A =∗ Lei de Henry.
pA = pressão parcial de A na fase bulk. KLa = coeficiente de capacidade, pois o área de interface de TM por unidade de volume é difícil de se medir. O processo da figura 6 é continuo se for batelada elimina-se a corrente de entrada e saída, e o balanço de massa no estado transiente para o soluto A na fase liquida fica:
( )
dt
VcdVRANcc A
homogeneareação há não0
AiA
0
A
0
0A0 =++ϑ−ϑ
===32143421
(3)
Como V = constante, portanto, ( )dt
dcVccaVK A
AAL =−∗
=∗Ac constante, logo: ∫∫ −=
−−
∗
t
0Lc
cAA
A dtaKcc
dcA
0A (4)
ficando: ( ) taK0AAAA
Lecccc ⋅−∗∗ −−= (5)
∞→≅ ∗ tse cc AA
Para processo continuo no estado estacionário temos:
Equipamentos de transferência de massa 8.7
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
( )
4342132143421
ioestacionárestado
0
A
homogeneareação há não0
AiA
saída
A
entrada
0A0 dt
VcdVRANcc
==
=++ϑ−ϑ (6)
Para processos com soluções diluídas as vazões volumétricas ϑ=ϑ0 , a equação (6), fica:
( ) ( ) 0ccVaKcc AALA0A =−⋅+−ϑ ∗
ou aK
V
caKcVc
L0
AL0A0
A
+ϑ
⋅+ϑ
=
∗
(7)
EXEMPLO 8.1 O projeto de um sistema de aeração para processos de fermentação aeróbia é baseado na transferência de massa gás-líquido. Microorganismos crescem numa suspensão líquida e são alimentados por nutrientes dissolvidos em glicose e sais minerais. Microorganismos aeróbios em líquidos suspensos também requerem oxigênio para o seu crescimento. Se o oxigênio não é suprido com uma taxa suficiente para suportar o crescimento da célula, as células morrerão. No presente processo, Aerobacter aerogenes está sendo cultivado dentro de um fermentador continuo de 3 m3 de volume líquido (V) e o diâmetro do tanque (dT) de 1,5 m. O meio nutriente fresco contem uma quantidade de traços de oxigênio dissolvido a uma concentração de 0,01 mol O2/m3 entrando no fermentador a uma vazão de 1,8 m3/h. Para condições de estado estacionário, o fermentador aeróbio opera a uma concentração celular (cX) de 5 kg de massa sêca/m3 de cultura líquida. A concentração celular é determinada por taxa de crescimento especifico dos organismos e a composição nutriente do meio líquido. A suspensão celular líquida consome oxigênio proporcionalmente a concentração da célula de acordo com a equação da taxa: X0A cqR −=
onde q0 é a taxa de consumo de oxigênio especifico das células = 20 mol O2/kg de célula⋅h, que é assumido constante. Determinar o valor de KLa necessário para assegurar que a concentração de oxigênio na cultura líquida (cA) é pelo menos 0,05 mol/m3. Determinar a potencia de entrada para 3 m3 do fermentador se a vazão de gás no fermentador é 1 m3 de ar/min para as condições do processo a 298 K e 1 atm. Assumir que as bolhas não coalescem. Para 298 K, a constante da lei de Henry para o oxigênio dissolvido no meio nutriente líquido é 0,826 atm.m3/mol. Resp.: KLa = 0,136 s-1 e Pg = 4716 W
Equipamentos de transferência de massa 8.8
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
Eckenfelder desenvolveu uma correlação geral par transferência de oxigênio de bolhas de ar para o liquido.
V
hQ
VA
K78,0n1
ggL
+θ= (8)
onde: θg = constante de acordo com o tipo de dispersador. Qg = taxa de escoamento do gás (ft/min). n = constante que depende do tamanho dos orifícios do dispersador. h = profundidade abaixo da superfície líquida para qual o ar é introduzido no tanque. Um gráfico para a equação (8) é representado abaixo:
Figura 7 – fator de transferência de oxigênio para um único dispersor num tanque de aeração.
EXEMPLO 8.2 Uma lagoa de aeração de 566 m3 é airada com 15 dispersores, cada um usando ar comprimido a uma taxa de 7,08 x 10-3 m3/s. Os dispersores estão localizados a 4,57 m abaixo da superfície da lagoa. Encontrar o tempo requerido para aumentar o oxigênio dissolvido de 2 mg/L para 5 mg/L se a temperatura da água é de 293 K. Resp.: 1540 s.
Equipamentos de transferência de massa 8.9
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
8.3 BALANÇO DE MASSA PARA TORRES DE CONTATO CONTÍNUO: EQUAÇÕES PARA A LINHA DE OPERAÇÃO
São quatro fundamentos importantes que constituem a base de projeto para equipamentos de contato contínuo:
1) Balanço material e de entalpia, envolvendo equações de conservação da massa e energia: forma a expressão para avaliar a composição bulk das duas fases em contato em algum ponto da torre, bem como a mudança nas composições bulk entre dois pontos da torre.
2) Equilíbrio interfase (leis termodinâmicas => capítulo 6) 3) Equações de transferência de massa: desenvolvidas nas formas diferenciais, combinadas
com o balanço diferencial de massa, e quando integrado sobre a área interfacial de contato fornece o comprimento requerido na troca de massa.
4) Equações de transferência de momento: importante para avaliar a queda de pressão no equipamento.
Escoamento contracorrente Considerando alguma operação no estado estacionário que envolve o contato contracorrente de duas fases insolúveis como mostra a fig. 8. As duas fases insolúveis são identificadas como G e L.
Figura 8 – Processo contracorrente no estado estacionário.
z = z1
z = z2
z
G1, yA1, YA1
G2, yA2, YA2
Gz, yAz, YAz Lz, xAz, XAz
L2, xA2, XA2
L1, xA1, XA1
Equipamentos de transferência de massa 8.10
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
Para o fundo da torre temos as definições: G1 = Vazão molar de entrada da fase G [moles da fase G/h⋅área da seção transversal da torre] L1 = Vazão molar de entrada da fase L [moles da fase L/h⋅área da seção transversal da torre] yA1 = fração molar de A na fase G [moles de A/moles total na fase G] xA1 = fração molar de A na fase L [moles de A/moles total na fase L] As definições são similares para o topo da coluna, no plano z2. O balanço global macroscópico de massa para o componente A no trocador de massa no estado estacionário, na qual não ocorre produção química de A ou desaparecimento de A, requer:
=
torrena deixandoA de moles
torrena entrtandoA de moles
ou 1A12A22A21A1 xLyGxLyG +=+ (1)
Um balanço de massa para o componente A no plano z = z1 e um plano arbitrário z, é: 1A1AzzAzz1A1 xLyGxLyG +=+ (2)
As equações ficam mais fáceis de manipular se forem designadas concentrações por unidade de concentração livre de soluto como:
A
AA y1
yY
−= (3)
A
AA x1
xX
−= (4)
Onde: YA = moles de A em G por mol livre de A em G. XA = moles de A em L por mol livre de A em L. As taxas de escoamento usadas com unidades livres de soluto são: LS = moles da fase L sobre uma base livre de soluto GS = moles da fase G sobre uma base livre de soluto
( ) ( )
( ) ( )2A21A1S
2A21A1S
y1Gy1GG
x1Lx1LL
−=−=
−=−=
Equipamentos de transferência de massa 8.11
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
O balanço global de A pode ser escrito em termos livre de soluto: 1AS2AS2AS1AS XLYGXLYG +=+ ou
( ) ( )2A1AS2A1AS XXLYYG −=− (5)
Logo: 2A1A
2A1A
S
S
XXYY
GL
−−
= (6)
Equação (6) ⇒ equação de uma reta que passa por (XA1,YA1) e (XA2,YA2) com inclinação LS/GS. Um balanço de massa em A no plano z1 e o plano arbitrário z em termos livre de soluto: 1ASAzSAzS1AS XLYGXLYG +=+ ou
( ) ( )Az1ASAz1AS XXLYYG −=− (7)
Logo: Az1A
Az1A
S
S
XXYY
GL
−−
= (8)
Equação (7) ⇒ equação de uma reta que passa por (XA1,YA1) e (XAz,YAz) com inclinação LS/GS. Equação (5) ≡ Equação (7) A equação (7) é uma expressão geral relacionando as composições bulks das duas fases para algum ponto do trocador de massa. Esta define as condições operacionais dentro do equipamento: é linha de operação para operações contracorrente. Figura 9: Ilustra a localização da linha de operação relativa a linha de equilíbrio para transferência de soluto da fase G para a fase L(absorção). O equilíbrio bulk, localizado sobre a linha de operação , deve ser maior do que a concentração de equilíbrio para fornecer uma força direcional,
AiAG YY − ou seu equivalente AiAG pp − ou ∗− AAG YY ou seu equivalente ∗− AAG pp ,
necessária para transferir a partir da fase G para fase L.
Equipamentos de transferência de massa 8.12
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
Figura 9 – Processo contracorrente no estado estacionário, transferência a partir da fase G para a L.
Figura 10 – Processo contracorrente no estado estacionário, transferência a partir da fase L para a G. Figura 10: Ilustra a localização da linha de operação relativa a linha de equilíbrio para transferência de soluto da fase L para a fase G(stripping). A localização da linha de operação abaixo da curva de equilíbrio assegura uma força direcional, ALAi xx − ou seu equivalente ALAi cc − ou
ALA xx −∗ ou seu equivalente ALA cc −∗ , necessária para transferir a partir da fase L para fase G.
YA
YA1
YA2
XA2 XA1
S
S
G
L inclinação =
Linha de operação
Curva de equilíbrio YAi versus XAi
YA
YA1
YA2
XA2 XA1 XA
S
S
G
L inclinação =
Linha de operação
Curva de equilíbrio YAi versus XAi
XA
Equipamentos de transferência de massa 8.13
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
O balanço de massa para o componente A sobre o comprimento diferencial dz, é facilmente obtido pela diferenciação da equação (7). Esta equação diferencial ASAS dYGdXL =
relaciona a transferência molar em operações contracorrente pelo tempo e pela área da seção transversal disponível no comprimento dz No projeto de equipamentos de transferência de massa, a vazão de pelo menos uma fase e três das 4 composições de entrada e saída devem ser fixadas pelo requisito do processo. A necessidade da vazão da segunda fase é muitas vezes a variável projetada. Três possíveis linhas de operação são mostradas na figura 11. A inclinação decresce quando o valor da vazão LS decresce. O mínimo LS, que deve ser usado, corresponde a linha de operação que toca a linha de equilíbrio. Para o ponto de tangencia a força direcional é zero, e a transferência de massa entre as duas fases não ocorre. Isto representa a condição limite, a razão mínima LS/GS para transferência de massa.
Figura 11 Localização da linha de operação.
YA
YA1
YA2
XA2 XA
inclinações
Curva de equilíbrio
(LS/
GS)
1
(LS/
GS)
2
(LS/
GS)
3
P1 P2 P3
Equipamentos de transferência de massa 8.14
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
EXEMPLO 8.3 A amônia deve ser absorvida a partir de uma mistura com ar a 293 K e 1,013 x 105 Pa de pressão numa torre de recheio contracorrente, usando água a 293 K como absorvente. A vazão do gás de entrada é 1,21 x 10-2 m3/s e uma corrente de água sem amônia de 9,46 x 10-3 kg/s será utilizada. Se a concentração da amônia, NH3, é reduzida de 3,52 1,29% por volume, determine a razão ( ) ( )minSSrealSS GLGL . Os dados de equilíbrio para o sistema a 293 K e 1,013 x 105 Pa são
os seguintes:
OH de mol kg
NH de mol kgX
2
3 0,0164 0,0252 0,0349 0,0455 0,0722
OH de mol kg
NH de mol kgY
2
3 0,021 0,032 ,042 0,053 0,08
Resp.: 1,38 Equilíbrio
X Y kg mol de NH3/ kg mol de NH3/ kg mol de H2O kg mol de H2O
0 0 0.0164 0.0210 0.0252 0.0320 0.0349 0.0420 0.0455 0.0530 0.0722 0.0800
linha de operação
0 0.0131 0.0215 0.0365
Equipamentos de transferência de massa 8.15
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
0, 0.0131
0.0215, 0.0365
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08
XA, moles de NH3/mol de água
YA, m
ol d
e N
H3/
mol
de
ar
Curva de equiíbrioLinha de operação
(Ls/Gs)min
0.0296
Escoamento cocorrente Para operações e transferência de massa no estado estacionário envolvendo contato cocorrente de duas fases imiscíveis, mostrada na figura 14, o balanço de massa global para o componente A com base livre de soluto é:
Figura 14 – Processo cocorrente no estado estacionário
z = z1
z = z2
z
G1, GS, yA1, YA1
G2,GS, yA2, YA2
Gz, GS, yAz, YAz Lz,LS, xAz, XAz
L2,LS, xA2, XA2
L1, LS, xA1, XA1
Equipamentos de transferência de massa 8.16
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
1AS1AS2AS2AS XLYGXLYG +=+ ou
( ) ( )1A2AS2A1AS XXLYYG −=− (1)
Logo: 2A1A
2A1A
S
S
XXYY
G
L
−−
=−
Equação (1) ⇒ equação de uma reta que passa por (XA1,YA1) e (XA2,YA2) com inclinação -LS/GS. Um balanço de massa em A no plano z1 e o plano arbitrário z em termos livre de soluto: 1AS1ASAzSAzS XLYGXLYG +=+ ou
( ) ( )1AAzSAz1AS XXLYYG −=− (2)
Logo: Az1A
Az1A
S
S
XXYY
G
L
−−
=−
Equação (1) e equação (2) ambas são equações de uma reta que passa por um ponto comum(XA1,YA1) com a mesma inclinação -LS/GS. A equação (2) é uma expressão geral que relaciona a composição das duas fases em contato para algum ponto do equipamento. É designada como equação da linha de operação para operações cocorrente. As figuras 15 e 16 ilustram a localização do linha de operação relativa a curva de equilíbrio.
Figura 15 – Processo cocorrente no estado estacionário, transferência a partir da fase G para a L.
YA
YA1
YA2
XA2 XA1 XA
S
S
G
L- inclinação =
Linha de operação
Curva de equilíbrio YAi versus XAi
Equipamentos de transferência de massa 8.17
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
Figura 16 – Processo contracorrente no estado estacionário, transferência a partir da fase L para a G. Um balanço de massa para o componente A sobre o comprimento diferencial, dz, para escoamento cocorrente: ASAS dYGdXL −=
que verifica a inclinação para a linha de operação em operação cocorrente de –LS/GS. EXEMPLO 8.4 Uma corrente de ar-amônia descrita no exemplo 3 é alimentada cocorrentemente com uma corrente de água sem amônia. A concentração da amônia deve ser reduzida de 3,52 para 1,29% por volume, usando uma corrente de água 1,37 vezes a mínima. Determine (a) a razão mínima LS/GS, (b) vazão real de água, e (c) concentração na corrente aquosa de saída.
YA
YA1
YA2
XA2 XA1
S
S
G
L- inclinação =
Linha de operação
Curva de equilíbrio YAi versus XAi
XA
Equipamentos de transferência de massa 8.18
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
Equilíbrio
X Y kg mol de NH3/ kg mol de NH3/ kg mol de H2O kg mol de H2O
0 0 0.0164 0.0210 0.0252 0.0320 0.0349 0.0420 0.0455 0.0530 0.0722 0.0800
linha de operação
0 0.0365 0.0072 0.0131
0, 0.0365
0.0072, 0.0131
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08
XA, moles de NH3/mol de água
YA, m
ol d
e N
H3/
mol
de
ar
Curva de equiíbrioLinha de operação
(Ls/Gs)min
Equipamentos de transferência de massa 8.19
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
8.4 BALANÇO DE ENTALPIA PARA TORRES DE CONTATO CONTÍNUO Muitas operações de transferência de massa são isotérmicas, principalmente quando envolve misturas diluídas. No entanto, quando grandes quantidades de soluto são transferidas, o calor de mistura pode produzir um aumento de temperatura na fase receptora. Se a temperatura da fase muda, a solubilidade no equilíbrio do soluto será alterada, e a força de difusão também se alterará. Considerando um processo contracorrente como da figura 8, um balanço entalpico no plano z = z2 e um plano arbitrário z, temos: L2G2G2L2 LHHGGHHL +=+ (1)
Onde: H = entalpia molar da corrente em sua temperatura particular, pressão e concentração. As entalpias são normalmente baseadas sobre uma referencia de solvente livre de soluto e soluto puro para uma temperatura base escolhida, T0. A entalpia normal de uma mistura líquida é avaliada sobre uma temperatura base pela relação: ( ) Savg0LpLL HMTTcH ∆+−= (2)
Onde: HL = entalpia da corrente liquida [kJ/mol] cpL = capacidade calorífica da mistura sobre uma base mássica [kJ/kg⋅K] TL = temperatura da mistura [K] Mavg = massa molecular media da mistura ∆HS = calor integral da solução em T0 e para a concentração da mistura [kJ/mol] A entalpia molar para a mistura gasosa, com a mesma temperatura base e estado padrão do soluto é
( )( )( )[ ]( ) solutosoluto,g,fsoluto0G
GfasedasolutolivreGfasesolutolivre,G,psolutosolutosoluto,G,psolutoG
MhyTT
Mcy1McyH
+−
−+=
Onde: HG = entalpia da corrente gasosa [kJ/mol] cp,G = capacidade calorífica na fase gas [kJ/kg⋅K] TG = temperatura da mistura gasosa [K] hf,g, soluto = calor de vaporização do soluto [kJ/kg]
Equipamentos de transferência de massa 8.20
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
8.5 COEFICIENTES DE CAPACIDADE PARA TRANSFERÊNCIA DE MASSA Coeficiente individual de transferência de massa, kG, foi definido pela expressão: ( )i,AG,AGA ppkN −= (1)
Coeficiente global de transferência de massa, KG, foi definido pela expressão: ( )∗−= AG,AGA ppKN (2)
Para coluna de parede molhada as equações (1) e (2) são convenientes, pois possui a área da superfície interfacial definida. Outros equipamentos de transferência de massa são impossíveis de se medir a área da superfície interfacial, por esta razão a é introduzido como área da superfície interfacial/volume.
( )( ) ( )
( )( )al transversseção da áreatempoidoA transfer de moles
ocomprimentdzvolume
linterfacia áreaa
linterfacia áreatempoidoA transfer de moles
N A
=
ou
( )dzppakdzaN i,AG,AGA −= (3) e
( )dzppaKdzaN AG,AGA
∗−= (4)
Onde: kGa = coeficiente de capacidade de transferência de massa individual KGa = coeficiente de capacidade de transferência de massa global São combinados como um produto
( )( )( )
( )( )( )
⋅⋅==
Pams
A de gmolpressãovolumetempo
idoA transfer de moles
volumelinterfacia área
pressãolinterfacia áreatempoidoA transfer de moles
ak
3
G
Na fase líquida L, temos:
Equipamentos de transferência de massa 8.21
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
( )dzccakdzaN L,Ai,ALA −= (5) e
( )dzccaKdzaN L,AALA −= ∗ (6)
⋅⋅solução de m
A de gmolms
A de gmolak
33
L
8.6 ANÁLISES DE EQUIPAMENTOS DE CONTATO CONTÍNUOS Coeficiente de capacidade global constante Hipóteses: - isotérmico - contracorrente - KYa = constante O balanço de massa do componente A sobre o comprimento diferencial dz é descrito como:
( )( ) ASAS dYGdXLal transversseção da áreatempo
idoA transfer de moles== (1)
A transferência de massa do componente A no comprimento diferencial dz é definido por:
( )( ) ( )dzYYaKadzNal transversseção da áreatempo
idoA transfer de molesAAYA∗−== (2)
A transferência de A a partir da fase gasosa G para a fase líquida L fica: ( )dzYYaKdYG AAY
A perdendo estaG fase a
AS∗−=−
43421
ou ∗−
−=AA
A
Y
S
YY
dYaK
Gdz
Equipamentos de transferência de massa 8.22
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
∫∫ ∗−−= 2A
1A
2
1
Y
YAA
A
Y
Sz
z YY
dY
aK
Gdz (3)
(4)
Pela curva de equilíbrio e a linha de operação (fig. 19) podemos avaliar ∗− AA YY e calcular o
recíproco ∗− AA YY1 plotando contra YA (fig. 20) e encontrando a área sob a curva.
Figura 19 – Avaliação de ∗− AA YY , a força direcional global
YA
YA1
YA2
XA2 XA1 XA
Linha de operação
Curva de equilíbrio YA
∗AY
( )44 344 21
numéricaou gráficaintegração
Y
YAA
A
Y
S12
massa de trocadeocompriment
1A
2A YY
dYaK
Gzzz ∫ ∗−
=−=
Equipamentos de transferência de massa 8.23
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
Figura 20 – Avaliação da integral ∫ ∗−
1A
2A
Y
YAA
A
YY
dY
Após obter a área sob a curva da figura 20, podemos avaliar o comprimento do trocador de massa pela equação (4). Para transferência da fase L para a fase G (desorção ou stripping) temos:
( )dzYYaKdYG AAY
A ganhando estaG fase a
AS −= ∗43421
( )44 344 2144 344 21
numéricaou gráficaintegração
Y
YAAG
A
Y
S
numéricaou gráficaintegração
Y
YAA
A
Y
S12
massa de trocadeocompriment
1A
2A
1A
2A pp
dY
aK
G
YY
dY
aK
Gzzz ∫∫ ∗∗ −
=−
=−= (5)
Em termos da fase líquida, para a transferência de massa de A a partir da fase G para a fase L, temos: ( )dzXXaKdXL AAX
A ganhando estaL fase a
AS∗−=
43421
∗− AA YY
1
YA2 YA1 YA
∫ ∗−= 1A
2A
Y
YAA
A
YY
dYÁrea
Equipamentos de transferência de massa 8.24
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
( )44 344 21
numéricaou gráficaintegração
X
XAA
A
X
S12
massa de trocadeocompriment
1A
2A XX
dX
aK
Lzzz ∫
−=−=
∗ (7)
z é avaliado com o mesmo procedimento da fase G. Coeficiente de capacidade global variável O coeficiente de capacidade global variável quando a inclinação da linha de equilíbrio varia dentro da região que incluem as concentrações bulk e interfacial. No caso se as linhas de equilíbrio tiver curvatura pronunciada, o cálculo exato é baseado sobre um dos coeficientes de capacidade individual. O balanço de massa para A sobre um comprimento diferencial dz é ASAS dYGdXL = (1)
YA = moles de A por mol livre de A, ambos na fase G, ou seja:
A
AA y1
yY
−= , que diferenciando fica:
( )2
A
AA
y1
dydY
−=
Substituindo em (1),
( )2
A
ASASA
y1
dyGdXLadzN
−== (2)
Sabemos que: ( )dzppakdzaN i,AG,AGA −= (3)
Combinando (2) com (3)
( )( )2
AGAiAGG
AGS
y1ppak
dyGdz
−−
−= ou
Equipamentos de transferência de massa 8.25
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
( )( )2
AGAiAGG
AGS
y1yyaPk
dyGdz
−−
−=
A composição interfacial, yAi e xAi pode ser encontrada para cada ponto da linha de operação dirigindo uma reta até tocar a linha de equilíbrio. As inclinações destas retas são GL kk− para gráfico pA contra cA ou GL Pkck− para gráfico yA contra xA, ver figuras 21.
Figura 21 Determinação da composição interfacial para transferência a partir da fase G para a fase L. Força direcional média logarítmica Hipóteses:
⇒ Para correntes relativamente diluídas ⇒ Curva de equilíbrio e linha de operação linear em termos de frações molares na faixa de
concentração envolvida. ⇒ G1 ≈ G2≈ G e L1 ≈ L2≈ L
Logo o balanço de massa aproximado: ( ) ( )AAiAAi yyGxxL −=− (1)
ou AA GdyLdx = (2)
( )dzyyaPKadzN AAGA
∗−= (3)
Definindo ∗−=∆ AA yy
Equipamentos de transferência de massa 8.26
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
2A1A
21
A yydyd
−∆−∆
=∆
Como ∆
−=−
−=∗
A
GAA
A
G
dy
aPKG
yy
dy
aPKG
dz
Ou ( )
∆∆
∆−∆−
−=dyy
aPKG
dz21
2A1A
G
Integrando e rearranjando:
( )( )lnAA
2A1A
G yy
yy
aPKG
z∗−
−−= (4)
onde: ( ) ( ) ( )( )( )
−
−
−−−=−
∗
∗
∗∗∗
2AA
1AA
2AA1AAlnAA
yy
yyln
yyyyyy (5)
Similarmente em termos de coeficiente de capacidade global para a fase líquida, temos:
( )( )lnAA
2A1A
L xx
xx
acKL
z−
−=
∗ (6)
onde: ( ) ( ) ( )( )( )
−
−
−−−=−
∗
∗
∗∗∗
2AA
1AA
2AA1AAlnAA
xx
xxln
xxxxxx (7)
EXEMPLO 8.5 A amônia é absorvida a partir do ar a 293 K e 1,013 x 105 Pa de pressão em uma torre de recheio contracorrente de 0,5 m de diâmetro, utilizando água livre de amônia como absorvente. A vazão do gás de entrada é 0,2 m3/s e a vazão da água de entrada 203 kg/s. Sob estas condições o coeficiente
de capacidade global, KYa, pode ser assumido para ser A
3 Ysm
mol80
∆⋅⋅. A fração molar da amônia
será reduzida de 0,0825 para 0,003. A torre será resfriada, operação ocorrera a 293 K; os dados de equilíbrio do exemplo 3 poder ser usado. Determinar o comprimento do trocador de massa.
Equipamentos de transferência de massa 8.27
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
X Y kg mol de NH3/ kg mol de NH3/ kg mol de H2O kg mol de H2O
0.0164 0.0210 0.0252 0.0320 0.0349 0.0420 0.0455 0.0530 0.0722 0.0800
y = -2.839x2 + 1.3098xR2 = 0.9993
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.00 0.02 0.04 0.06 0.08
X
Y
Dados de equilíbrio
Polinômio (Dados de equilíbrio)
Equipamentos de transferência de massa 8.28
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
YA XA Y*A Y - Y* 1/(Y - Y*) [1/(Y - Y*)]médo ∆YA [1/(Y - Y*)]médo∆YA
0.003 0.00003 0.00004 0.00296 337.6823 299.6194894 0.007 2.097336426
0.01 0.00477 0.00618 0.00382 261.5567 225.5574282 0.01 2.255574282
0.02 0.01153 0.01472 0.00528 189.5582 166.3360319 0.01 1.663360319
0.03 0.01830 0.02301 0.00699 143.1139 127.3647849 0.01 1.273647849
0.04 0.02506 0.03104 0.00896 111.6157 100.4864383 0.01 1.004864383
0.05 0.03183 0.03881 0.01119 89.35719 81.22129633 0.01 0.812212963
0.06 0.03859 0.04632 0.01368 73.0854 66.96731932 0.01 0.669673193
0.07 0.04536 0.05357 0.01643 60.84924 56.13770455 0.01 0.561377045
0.08 0.05212 0.06055 0.01945 51.42617 47.72352068 0.01 0.477235207
0.09 0.05889 0.06728 0.02272 44.02087 Área total 10.81528167
y = -721827x3 + 150572x2 - 11309x + 365.43R2 = 0.9986
0
50
100
150
200
250
300
350
400
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1
Y
1/(Y
-Y*)
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