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4. PRTICOS (QUADROS)4. PRTICOS (QUADROS)
ISOSTTICOSISOSTTICOS
So estruturas reticuladas formadas por vrias barras situadas num nicoplano, com carregamento atuante no mesmo plano do sistema estrutural.
Os ns entre as barras so LIGAES RGIDAS ou ROTULADAS.
Esforos solicitantes numa dada seo: MOMENTO FLETOR (M),
ESFORO CORTANTE (V) e ESFORO NORMAL (N).
Prticos simples ou compostos.
Barras retilneas ou curvas (arcos).
Observaes
Teoria das Estruturas I 49
a e n o
b) Exemplos
Prticos com barras retilneas
4.1. INTRODUO
P P P
p
,
articulao interna
(d) Em balano (e) De mltiplos vos (f) De mltiplis andares
P
P
P
P
P
P
pp
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PRTICOS (QUADROS) ISOSTTICOS
Teoria das Estruturas I 50
Prticos com barras curvas
Prticos compostos
pp
(c) Triarticulado
(d) Atirantado
pp
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PRTICOS (QUADROS) ISOSTTICOS
1. Momento Fletor (DMF)
Teoria das Estruturas I
2. Esforos Cortantes (DEC) e Esforos Normais (DEN)
51
Prticos espaciais
c) Diagramas de esforos solicitantes
Obteno imediata dos diagramas a partir do conhecimento das reaes de
apoio.
Obter os momentos fletores atuantes nos ns das barras e, em seguida, lig-los
por uma linha reta tracejada. A partir dessa linha reta, penduram-se os
diagramas de vigas biapoiadas referentes aos carregamentos que atuam sobre
cada uma das barras que constituem o quadro.
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PRTICOS (QUADROS) ISOSTTICOS
Exemplo: Pede-se as reaes e os diagramas (DMF, DEC e DEN).
Exemplo: Pede-se as reaes e os diagramas (DMF, DEC e DEN).
Teoria das Estruturas I 52
4.2. PRTICOS BIAPOIADOS
4.3. PRTICOS ENGASTADOS-LIVRES
CD E
F
A
GB
DE F
A
C
B
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PRTICOS (QUADROS) ISOSTTICOS
Exemplo: Pede-se as reaes e os diagramas (DMF, DEC e DEN).
Teoria das Estruturas I
N
N
Esco
ra
N
N
Tirante
53
a) Escoras e tirantes
4.4. PRTICOS TRIARTICULADOS
4.5. PRTICOS BIAPOIADOS COM ARTICULAO E TIRANTE (OU ESCORA)
Definio: Uma barra biapoiada sem carregamento aplicado diretamente sobre
ela que funciona como uma ligao do primeiro gnero, na qual surgem apenas
foras na direo do seu eixo (esforo normal).
Quando a barra est COMPRIMIDA, diz-se ue uma ESCORA. Quando est
TRACIONADA, diz-se que um TIRANTE.
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PRTICOS (QUADROS) ISOSTTICOS
b) Exemplo: Pede-se as reaes e os diagramas (DMF, DEC e DEN)
a) Definio: So estruturas formadas atravs de associaes de quadros simples.
Quadro Composto
Teoria das Estruturas I
Quadros Simples
54
4.6. PRTICOS COMPOSTOS
D
E F
A
C
B
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PRTICOS (QUADROS) ISOSTTICOS
Teoria das Estruturas I 55
b) Soluo
1. Decompor o quadro composto original em quadros simples.
2. Verificar quais os quadroscom e sem estabilidade prpria.
3. Resolver primeiro os quadros simples sem estabilidade prpria para o
carre amento atuante sobre eles.
4. Resolver em seguida os quadros simplescom estabilidade prpria para o
carregamento atuante sobre eles, acrescidos das foras transmitidas pelas
rtulas.
Quadro Composto
Quadros Simples
Exemplos:
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PRTICOS (QUADROS) ISOSTTICOS
Teoria das Estruturas I 56
Quadro Composto
Quadros Simples
Quadro Composto
Quadros Simples
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PRTICOS (QUADROS) ISOSTTICOS
Teoria das Estruturas I 57
Quadro Composto
Quadros Simples
Quadro Composto
Quadros Simples
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PRTICOS (QUADROS) ISOSTTICOS
c) Exemplo
Quadro Composto
Teoria das Estruturas I 58
: Pede-se as reaes e os diagramas (DMF, DEC e DEN).
Quadro Composto
Quadros Simples
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PRTICOS (QUADROS) ISOSTTICOS
4.7. ESTABILIDADE
Est relacionado com as restries impostas estrutura (vigas, quadros,
prticos, etc), ou se a estrutura geometricamente instvel ou estvel.
Restries Parciais
Restries Inadequadas
Teoria das Estruturas I
r = nmero de incgnitas (reaes e foras)
n = nmero de partes do sistema estrutural
As reaes so concorrentes (as linhas de ao das reaes se interceptam
um ponto em comum) ou so paralelas.
Situaes
59
a) Conceito Bsico
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PRTICOS (QUADROS) ISOSTTICOS
Teoria das Estruturas I 60
1. Restries Parciais:
2. Restries Inadequadas:
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PRTICOS (QUADROS) ISOSTTICOS
(c)
(a)
(b)
(d)
(e)
1. Estrutura Estaticamente Determinada
Teoria das Estruturas I
2. Estrutura Estaticamente Indeterminada
r = nmero de incgnitas (reaes e foras)
n = nmero de partes do sistema estrutural
61
f)Aplicao
4.8. GRAU DE INDETERMINAO
a) Conceito Bsico
=r 3n
>r 3n
Todas as foras (reaes e esforos internos) podem ser avaliadas atravs das
equaes de equilbrio da mecnica clssica.
As estruturas (vigas, quadros, prticos, etc) tm mais foras incgnitas do que
equaes de equilbrio da mecnica clssica.
Classifique cada uma das estruturas a seguir como estvel ou instvel. As
estruturas so submetidas a carregamentos externos conhecidos e que podem
atuar em qualquer lugar.
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PRTICOS (QUADROS) ISOSTTICOS
Teoria das Estruturas I 62
b) Aplicao
Classifique cada uma das vigas a seguir como estaticamente determinada ou
estaticamente indeterminada. Se estaticamente indeterminada avalie o grau de
indeterminao. As vigas so submetidas a carregamentos externos conhecidos e
que podem atuar em qualquer lugar.
(e)
(a) (b)
(c)
(d)
(f) (g)
(h) (i)
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PRTICOS (QUADROS) ISOSTTICOS
a) CASO A: Fora distribuda em uma barra inclinada
Teoria das Estruturas I 63
4.9. BARRAS INCLINADAS
(k)
(l)
1 x y
1p p=
1pp xy2 =Definio de p1 e p2:
Definio de p3 e p4: 3 1 2p p sen p cos= +
4 1 2p p cos p sen= +
2
2
xy2
2
y
x3 ppp
+=
2
yx
y2
yx
x4 ppp
+=
e
x
cos =
y
sen =
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PRTICOS (QUADROS) ISOSTTICOS
b) CASO B: Fora distribuda transversal em uma barra inclinada
c) Exemplo 1: Prtico plano biapoiado com uma barra inclinada.
Teoria das Estruturas I
(i) Reaes
AR = 55,625 kN
BR = 74,375 kN
64
cos 3 /5 0,6 = =
sen 4 / 5 0,8 = =
xcos =
y
sen =
y
331 psenpp ==Definio de p1 e p2:
x332 pcospp
==
y
1x pp
=
x
2y pp
=
3
y
y
3
y
1x pppp ===
3
x
x3
x
2y pppp ===
Definio de p3 e p4:
e
B AM 0 R 8 30(1,5 5) 20 5 2,5 0= + =
Y A BF 0 R R 30 20 5 0= + =
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PRTICOS (QUADROS) ISOSTTICOS
(ii) Esforos solicitantes
Momento Fletor
Esforo Cortantes e Normais
Teoria das Estruturas I 65
DMF (kNm)
DMF
Viga auxiliar
DMF
Seo A:
Seo Cd:
A AV R cos 55,625 0,6 33,375 kN= = =
A AN R sen 55,625 0,8 44,5 kN= = =
C' AV V 30cos 33,375 30 0,6 15,375 kN= = =
cos 3 / 5 0,6 = =
sen 4 / 5 0,8 = =
Seo Dd:
Seo B:
D AV R 30 55,625 30 25,625 kN= = =
DN 0=
B D BV V 20 5 25,625 100 74,375 kN R= = = =
BN 0=
DEC (kN)
DEN (kN)
C' AN N 30sen 44,5 30 0,8 20,5 kN= + = =
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PRTICOS (QUADROS) ISOSTTICOS
Teoria das Estruturas I 66
d) Exemplo 2: Barra biapoiada inclinada sob fora vertical uniformemente distribuda
na horizontal.
e) Exemplo 3: Barra biapoiada inclinada sob fora horizontal uniformemente distribuda
na vertical.
DMF DEC DEN
Viga auxiliar
DMF DEC DEN
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PRTICOS (QUADROS) ISOSTTICOS
Teoria das Estruturas I 67
DMF DEC DEN
f) Exemplo 4: Barra biapoiada inclinada sob fora horizontal uniformemente distribuda
ao longo do comprimento da barra.
g) Exemplo 5: Barra biapoiada inclinada sob fora vertical uniformemente distribuda
ao longo do comprimento da barra
DMF DEC DEN
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PRTICOS (QUADROS) ISOSTTICOS
Teoria das Estruturas I 68
4.10. PRTICOS COM BARRAS CURVAS (ARCOS)
4.11. ARCOS TRIARTICULADOS
Exemplo: Pede-se as reaes e os diagramas de esforos (DMF, DEC e DEN).
P
s
A B
R
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PRTICOS (QUADROS) ISOSTTICOS
Arco: X,Y, A, B, VA, VB, MS, NS, VS
Viga: x, y, a, b, Va, Vb, Ms, Ns, Vs
Notao
Teoria das Estruturas I 69
a) Estudo
b)Viga biapoiada de substituio
1. Arcos triarticulados com carregamentos atuantes em todas as direes: princpios
gerais da Esttica j utilizados.
2. Arcos triarticulados com carregamentos verticais: Viga biapoiada de substituio.
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PRTICOS (QUADROS) ISOSTTICOS
= = = = ' ' ' ' 'X A B A BF 0 H cos H cos 0 H H H
Y A B ii
F 0 V V P 0
= + =
(1)
(2)
( )
( )
= =
+ =
+
B A 1 2 i 1 2 ii
i 1 2 ii
A1 2
P l l x
Vl l
(3)
Substituindo (3) em (1):
( )
( )
i 1 2 ii
B i A B ii i 1 2
P l l x
V P V V Pl l
+ = =
+
(4)
( )( )
e
A 1 i 1 i' ' i
A 1 i 1 iGi
V l P l x
M 0 V l H cos f P l x 0 Hf cos
= = =
(5)
y a b ii
F 0 V V P 0
= + =
(6)
(7)
( ) ( )
( )
( )
b a 1 2 i 1 2 ii
i 1 2 ii
a1 2
M 0 V l l P l l x 0
P l l x
Vl l
= + + =
+ =
+
Teoria das Estruturas I
Substituindo (7) em (6):
(8)
( )g a 1 i 1 ii
M V l P l x = (9)
Momento fletor no ponto g:
( )
( )
i 1 2 ii
b i a b ii i 1 2
P l l x
V P V V Pl l
+ = =
+
70
c)Equaes de equilbrio
Arco
Viga de substituio
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PRTICOS (QUADROS) ISOSTTICOS
Comparaes: Arco x Viga de Substituio
Equaes (3) e (7): VA= Va
Equaes (4) e (8): VB= Vb
Equaes (5) e (9): =g'
MH
f cos
(10)
(11)
(12)
Concluso
Teoria das Estruturas I
Simplificando as expresses (14) e (15), tem-se:
71
d) Esforos solicitantes numa seo genrica S
Arco
As reaes do arco triarticulado podem ser obtidas analisando-se apenas
a viga de substituio.
( ) 'S A i ii
M V x P x x H cos y=
' 'S A i
i
V V cos P cos H cos sen H sen cos= +
' 'S A iN V sen P sen H cos cos H sen sen= +
(13)
(14)
(15)
( ) 'S A i ii
M V x P x x H cos y=
( )'S A ii
V V P cos H sen
=
( )'S A ii
N V P sen H cos =
(16)
(17)
(18)
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PRTICOS (QUADROS) ISOSTTICOS
Anlise dos esforos VA e H:
( )s a i ii
M V x P x x=
s a ii
V V P=
sN 0=
Comparaes: Arco x Viga de Substituio
(19)
(20)
(21)
Teoria das Estruturas I
Observao:essas expresses permanecem vlidas se ocorrerem tambm
cargas verticais distribudas.
72
Viga
VA
Seo S
N
V
VA
N = - V sen
V = V cos
A
A
H cos :
Seo S
H' cos
NN V
N = - H' cos cos
V = - H' cos sen
H sen :
H' sen
N
V
N = - H' sen sen
V = H' sen cos
Seo S
= '
S sM M H cos y
( )= 'S sV V cos H sen
( ) 'S sN = V sen H cos
(22)
(23)
(24)
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PRTICOS (QUADROS) ISOSTTICOS
Soluo: Na expresso (22), fazendo-se MS = 0, chega-se a:
=
(25)
Demonstrao que VS= 0
Derivando-se (25):
E levando-se em conta que:
(26)
Teoria das Estruturas I
(27)
Chega-se, aps a substiuio de (27) em (23), a:
73
e) Linha de Presses: determinao e definio
Problema: Qual a forma de um triarticulado AGB tal que, para um dado
carregamento, todas as sees tenham MF nulo (MS = 0). Isto ,
adotando-se a notao empregada, obter a ordenada y para cada
seo S tal que MS= 0. So dados l1, l2, f e .
'S sM M H cos y 0= =
s
s' '
dM
Vdy dx
dx H cos H cos
= =
** d dY d dy Y y tg tg
dx dx dx dx= = =
( ) 's s'Vdy
tg tg V tg tg H cosdx H cos
= = =
( ) ( )' 'SV tg tg H cos cos H sen=
(28)( ) ( )' 'SV H sen H sen 0= =
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PRTICOS (QUADROS) ISOSTTICOS
Inclinao da tangente ao eixo do arco
(29)
r ar cu a o na se o ver gura ou q. :
Concluso: quando um arco triarticuladoAGB, para um dado carregamento, est
submetido apenas aesforos normais, dizemos que sua forma a dalinha de
presses desse carregamento.
(30)
Observaes Finais:
Teoria das Estruturas I
2. Arcos triarticulados com concavidade voltada para baixo e carregamento de cima
para baixo: ESFOROS NORMAIS sempre de
3. Arcos triarticulados com concavidade voltada para cima e carregamento de cima
para baixo: ESFOROS NORMAIS sempre de TRAO (caso dos CABOS
74
1. No caso da reta AB ser horizontal:
COMPRESSO.
).
( ) ( )= + +
2 2' '
S sN V H sen H cos
+=
's
'
V H sentg
Hcos
Avaliao de NS
g' M
Hf
=
s'
My
H=
s
V
(32)
(31)
33'H
2 '2S sN V H= + (34)
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PRTICOS (QUADROS) ISOSTTICOS
Teoria das Estruturas I 75
4. Linha de presses: forma ideal para um arco triarticulado (forma mais econmica de
trabalho estrutural).
5. Linha de presses para carregamento uniforme: PARBOLA do 2 GRAU.
6. Construtores da antiguidade: notvel intuio esttica (venceram grandes vos com
arcos e abbadas de alvenaria de pedra).
7. Arcos triarticulados: encontrados em vrias construes.
Arcos biengastados (hiperestticos): mais utilizados na prtica.
f)Aplicao
Deseja-se construir uma estrutura cujo eixo coincida com a linha de presses do
carregamento indicado na figura a seguir. Pede-se:
a. A linha de presses.
b. Os esforos normais mximo e mnimo atuantes.
c. A inclinao da tangente ao eixo da estrutura na seo de abscissa x = 2,5 m.
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PRTICOS (QUADROS) ISOSTTICOS
Viga de substituio??
Viga de substituioArco triarticulado
Calcule as reaes e os esforos internos do prtico espacial mostrado abaixo:
Teoria das Estruturas I 76
Soluo
4.12. PRTICOS ESPACIAIS
a) Aplicao
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PRTICOS (QUADROS) ISOSTTICOS
Soluo 1: Reaes
Foras
Momentos
Soluo 2: Esforos Internos
Elemento 3, N 3 ao N 4 Elemento 2, N 2 ao N 3
Teoria das Estruturas I 77
x
y
z
F 0
F 0
F 0
=
=
=
x
y
z
M 0
M 0
M 0
=
=
=
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PRTICOS (QUADROS) ISOSTTICOS
Elemento 1, N 1 ao N 2
Teoria das Estruturas I 78
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REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS
Sssekind, J.C., Curso de Anlise Estrutural, Vol. 1, 12 edio, Editora Globo, Porto
Alegre, 1994.
Soriano, H.L. Esttica das Estruturas, 1 Edio, Editora Cincia Moderna, 2007.
Hibbeler, R.C., Structural Analysis, 7 edio, Prentice Hall, 2008.
Gonalves, P.B, Conceitos Bsicos de Anlise Estrutural, Notas de aula, Departamento
de Engenharia Civil, PUC-Rio, Rio de Janeiro, 2003.