UNIVERSIDADE NOVE DE JULHO
UNINOVE
Material de apoio
Métodos Quantitativos
Aplicados
4ª edição
CURSO: CIÊNCIAS CONTÁBEIS
Elaboração: Prof. Dr. Paulo Sergio Pereira da Silva
São Paulo, 2013
Métodos Quantitativos Aplicados – 4ª edição - Elaboração: Prof. Dr. Paulo Sergio Pereira da Silva
Métodos Quantitativos Aplicados – 4ª edição - Elaboração: Prof. Dr. Paulo Sergio Pereira da Silva
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INDÍCE
APRESENTAÇÃO ........................................................................................................................................... ..........................................................04
INTRODUÇÃO A ESTATÍSTICA........................................................................................................05
POPULAÇÃO OU UNIVERSO ..................................................................................................... ..........................................................05
AMOSTRA ................................................................................................................................................ ..........................................................05
VARIÁVEIS .............................................................................................................................................. ..........................................................05
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA ....................................................................................................... ..........................................................05
DADOS BRUTOS ................................................................................................................................. ..........................................................05
TABULAÇÃO DE DADOS ............................................................................................................. ..........................................................06
GRÁFICOS ........................................................................................................................................................... ..........................................................11
HISTOGRAMA ....................................................................................................................................... ..........................................................11
POLÍGONO DE FREQUÊNCIA................................................................................................................................................................11
SETOGRAMA .....................................................................................................................................................................................................11
OGIVA DE GALTON ........................................................................................................................ ..........................................................11
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL ............................................................................................. ..........................................................17
MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES...............................................................................................................................................................17
MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA ........................................................................................ ..........................................................17
MÉDIA ARITMÉTICA PARA DADOS AGRUPADOS.................................................................................................................18
MEDIANA SIMPLES ........................................................................................................................... ..........................................................18
MEDIANA PARA DADOS AGRUPADOS..........................................................................................................................................19
MODA SIMPLES ................................................................................................................................... ..........................................................20
MODA PARA DADOS AGRUPADOS ..................................................................................... ..........................................................20
SEPARATRIZES (QUANTIS)..................................................................................................................................................................................25
QUARTIL.................................................................................................................................................................................................................25
DECIL........................................................................................................................................................................................................................26
PERCENTIL ............................................................................................................................................... ..........................................................27
MEDIDAS DE DISPERSÃO....................................................................................................................................................................................31
DESVIO MÉDIO....................................................................................................................................................................................................31
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VARIÂNCIA............................................................................................................................................................................................................31
DESVIO PADRÃO .................................................................................................................................. ..........................................................32
COEFICIENTE DE VARIAÇÃO.................................................................................................................................................................32
CORRELAÇÃO ................................................................................................................................................. ..........................................................35
COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO DE PEARSON........................................................................................................................36
REGRESSÃO .............................................................................................................................................. ..........................................................38
PROBABILIDADE.........................................................................................................................................................................................................42
EXPERIMENTO ALEATÓRIO......................................................................................................................................................................42
ESPAÇO AMSOTRAL .......................................................................................................................... ..........................................................42
EVENTOS ................................................................................................................................................................................................................42
CÁLCULO DAS PROBABILIDADES......................................................................................................................................................42
EVENTOS COMPLEMENTARES..............................................................................................................................................................44
EVENTOS INDEPENDENTES.......................................................................................................................................................................44
EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS.......................................................................................................................................44
FATORIAL ........................................................................................................................................................... ..........................................................49
NÚMERSO BINOMIAIS.....................................................................................................................................................................................49
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL..........................................................................................................................................................................50
DITRIBUIÇÃO NORMAL........................................................................................................................................................................................53
EXERCÍCIOS SUPLEMENTARES ......................................................................................................... ..........................................................58
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS...................................................................................................................................................................63
APRESENTAÇÃO
Todos os direitos reservado e protegidos pela Lei
9.610 de 19/02/98. Nenhuma parte desta
apostila, sem autorização prévia por escrito do
autor, poderá ser reproduzida ou transmitida
sejam quais forem os meios empregados:
eletrônicos, mecânicos, fotográficos, gravação
ou quaisquer outros.
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APRESENTAÇÃO
Caro(a) aluno(a),
Ao longo de nossa vida acadêmica, são grandes as novidades e os desafios que se colocam
diante de nós. As relações entre professores e alunos são mediadas por linguagens e regras específicas,
diferentes daquelas que aprendemos a decifrar e a empregar em nossa vida escolar e profissional. Esse
universo desconhecido desperta, a um só tempo, curiosidade e temor. A final será que conseguiremos
dominar todas essa novidades e sobreviver a eles?
Esse material foi elaborado com o intuito de lhe apresentar algumas dessas normas e linguagens
e, assim, ajudá-lo a desvendar parte desse universo desconhecido. Espero, com as dicas que seguem
oferecer-lhe algumas ferramentas úteis para o seu desenvolvimento profissional e a acadêmico. Não
pretendo fazer com que você domine todo esse instrumental logo de saída, longe disso. Você só
aprenderá tudo o que aqui está contido à medida que for empregando cada uma das ferramentas. No
início lhe parecerão complexas, com o passar do tempo você aprenderá a decodificá-las e a utilizá-las
corretamente, de modo que elas passarão a fazer parte tanto do seu vocabulário quanto de seu
repertório de práticas.
O objetivo deste material é preparar o discente para a vida acadêmica, despertando-lhe o desejo
de aprimorar seus conhecimentos, de conhecer, pesquisar e investigar os mais diferentes aspectos da
realidade em que vive ou que venha a participar socialmente. Este material tem como objetivo
principal mostrar, de forma clara, por meio de exemplos práticos, o conceito de estatística e suas
aplicações, e utiliza para isso uma metodologia objetiva e de fácil compreensão.
Vale salientar que este material faz parte de um conjunto de textos, baseados em livros, artigos
de jornais e apostilas, que foram e continuam sendo aprimorados com o tempo, pelo autor. Este
material serve como complemento para o aluno a fim de facilitar a sua compreensão, dessa forma, não
substitui, em hipótese alguma, a pesquisa em livros específicos.
O autor,
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INTROUDUÇÃO A ESTATÍSTICA
A Estatística é uma parte da matemática Aplicada que fornece métodos para a coleta,
organização, descrição, análise e interpretação de dados e para a utilização dos mesmos na tomada de
decisões, em situações de incerteza, a partir de informações numéricas de uma amostra.
População ou Universo: Conjunto de elementos (pessoas ou objetos) que interessam à pesquisa.
Amostra: - Parte da população (universo) ou pequena parte de um todo (população).
OBS.: Que seja fiel a população (amostra representativa).
Ex.: Se o objetivo da pesquisa for verificar se houve aumento da aquisição de eletrodomésticos no ano
de 2001 no Brasil, nas camadas populares, a amostra será composta de pessoas de baixa renda,
preferencialmente de várias regiões do Brasil; de ambos os sexos, diversas faixas etárias, etc.
Variáveis
A cada fenômeno corresponde um número de resultados possíveis. Assim por exemplo:
- para o fenômeno “sexo” são dois os resultados possíveis: sexo masculino e sexo feminino;
- para o fenômeno “número de filhos” há um número de resultados possíveis expresso por meio
dos números naturais: 0, 1, 2, 3, .... , n;
- para o fenômeno “estatura” temos uma situação diferente, pois os resultados podem tomar um
número infinito de valores numéricos dentro de um determinado intervalo.
Variável - Substitui um elemento de uma série que pode assumir n valores numéricos ou não
numéricos (é, convencionalmente, o conjunto de resultados possíveis de um fenômeno).
TÉCNICAS DE LEVANTAMENTO ESTATÍSTICO: Distribuição de Frequência
Por meio de técnicas estatísticas, é possível estudar os conjuntos de dados e, a partir de uma
amostra, tirar conclusões válidas para conjuntos maiores (população).
Entre as várias técnicas adotadas em estatística, abordaremos a de uma variável, concentrando-nos na
chamada estatística descritiva, que consiste em organizar os dados coletados em tabelas de freqüência
e exibindo o número de percentagem de observações em cada classe, podendo ser a apresentado
através de tabelas ou gráficos correspondentes.
De maneira geral, as técnicas estatísticas são utilizadas em três etapas principais do trabalho de
pesquisa:
a coleta de dados, incluindo o planejamento do trabalho e da pesquisa(questionário ou
teste);
a apresentação dos dados coletados(técnicas específicas);
a análise dos dados coletados, com a formulação de conclusões e generalizações.
Simultânea a segunda, pois durante a própria organização dos dados já é possível ir percebendo
a tendência geral da pesquisa.
Dados brutos
Como primeiro resultado de uma pesquisa, obtêm-se dados brutos, um conjunto de números
ainda sem nenhuma organização. Esse material é então ordenado de forma crescente ou decrescente,
com a indicação da freqüência, dando origem ao que chamamos de rol.
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Um pesquisador, por exemplo, quer saber que idades predominam entre as pessoas economicamente
ativas de determinada cidade. Para isso, entrevistou 100 pessoas e obteve os seguintes dados brutos:
Idades predominantes
28 27 31 33 30 33 27 31 34 26
30 33 33 29 32 27 34 37 30 29
37 31 30 30 26 29 29 34 29 26
30 27 32 24 30 27 31 30 32 29
31 31 30 30 27 30 27 27 21 34
30 28 33 28 36 29 32 27 24 27
33 27 27 30 33 30 33 33 23 28
30 39 27 27 31 31 36 28 29 30
33 31 31 30 28 27 32 30 30 29
29 24 33 30 33 27 30 34 36 32
O rol desses dados brutos é:
IDADE(xi) FREQUÊNCIA(fi)
21 1
23 1
24 3
26 3
27 16
28 6
29 10
30 21
31 10
32 6
33 12
34 5
36 3
37 2
39 1
Total(n) 100
xi: elementos da amostra (no caso, idade);
fi : frequência, repetições ou peso de cada valor da amostra.
Tabulação de dados
Continuando com a mesma pesquisa, depois de elaborar o rol é necessário determinar quantas
faixas etárias terá a tabela de frequência. O passo seguinte é subdividir os dados por classe ou
categoria (no caso, a faixa etária) e determinar o número de indivíduos pertencentes a cada uma,
resultando na frequência de classe.
k: número de classes que a tabela de classe deverá conter
n: número de elementos da amostra
Como diretriz geral, recomendamos usar entre cinco e vinte classes (k). Os conjuntos de dados
com um número maior de observações usualmente exigem um número maior de classes. Conjuntos de
dados com um número menor de observações podem em geral ser facilmente sintetizados com apenas
cinco ou seis classe.
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Então, se você tem uma amostra com 100 dados, pode organiza-los em uma tabela de distribuição de
freqüência com k = n = 10 classes.
Encontrando o valor de k, é preciso determinar o intervalo de classe, isto é, o tamanho que cada
classe deverá ter. Chamaremos de h essa amplitude de classe, que será constante, isto é, todas as k
classes deverão ter a mesma amplitude. Para calcular h, fazemos:
AT = Xmáx. - Xmín. h = AT
k
h : amplitude do intervalo
Xmáx. : o maior valor de dados
Xmín. : o menor valor de dados
AT. : amplitude total, isto é, a diferença entre o maior e o menor valor de dados
Em nosso exemplo temos:
AT = Xmáx - Xmín. = 39 - 21 = 18
Logo, h = 18/10 = 1,8
Em seguida, o pesquisador determina os limites de cada classe: o limite superior (ls) e o limite
inferior (li), aplicando um dos quatro conceitos de intervalo que já estudamos. Escolhe um ponto de
partida, de acordo com os interesses da pesquisa. Pode decidir, por exemplo, que o limite inferior será
20. A partir dele, serão construídas as classes da tabela de frequência, que deverá abranger todos os
elementos do rol. Caso não ocorra a abrangência de todos os elementos do rol deveremos aumentar a
amplitude(h) ou o número de classes (k), aquele que melhor convier.
Assim, se k = 10 e h = 2, com a primeira classe iniciada por 20, temos a adição de h, a cada
classe:
K Classes Frequência(fi)
li ls
1 20 ------| 22 1
2 22 ------| 24 4
3 24 -----| 26 3
4 26 -----| 28 22
5 28 -----| 30 31
6 30 -----| 32 16
7 32 -----| 34 17
8 34 -----| 36 3
9 36 -----| 38 2
10 38 -----| 40 1
--------------------- 100
Obs.: a primeira e última classe não pode ter frequência igual a zero.
Nota: É importante observar se os elementos estão incluídos ou excluídos.
- O passo seguinte é escolher um número para representar cada classe, em geral o ponto médio (pm),
ou seja, a média entre os valores dos limites de classe.
pm = li + ls
2
Em seguida , é preciso encontrar:
- Frequência relativa (fr): Indica à proporção que cada classe representa em relação ao total (n) e é
obtida dividindo-se cada uma das frequências absolutas (fi) pelo tamanho (n):
fr = fi
n
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Obs.: A soma de sua coluna sempre deverá ser igual a 1. caso isso não ocorra, arredonda-se algum
valor de modo a obter 1.
- Frequência percentual (fp): Indica a porcentagem de cada classe. Para obtê-la, multiplica-se fr por
100:
fp = fr . 100
Obs.: a soma de sua coluna deverá ser igual a 100% .
- Frequência acumulada (fa): Corresponde à soma das frequências absolutas(fi ) de sua classe, mais as
anteriores caso haja:
fa = fiat + faant
Obs.: i = 1,2, ..., k
O f acumulado da última classe deverá ser igual a n.
Com base em todos os cálculos relacionados acima, podemos fazer uma nova tabela de
frequência, ainda para o exemplo das faixas etárias de pessoas ativas na cidade pesquisada.
Suponhamos, a gora, que queiramos iniciar o primeiro limite inferior da primeira classe em 18.
Teremos, então, de recalcular todas as frequências absolutas. A nova tabela será:
K
Classes
li ls
Frequência
(fi)
fr = fi/n fp = fr . 100
(%)
Pm = (li + ls)/2
fa = fiat + faant
1 20 ------| 22 1 0,01 1% 21 1
2 22 ------| 24 4 0,04 4% 23 5
3 24 -----| 26 3 0,03 3% 25 8
4 26 -----| 28 22 0,22 22% 27 30
5 28 -----| 30 31 0,31 31% 29 61
6 30 -----| 32 16 0,16 16% 31 77
7 32 -----| 34 17 0,17 17% 33 94
8 34 -----| 36 3 0,03 3% 35 97
9 36 -----| 38 2 0,02 2% 37 99
10 38 -----| 40 1 0,01 1% 39 100
------------- 100 1 100% -------- ------------
E X E R C I C I O S
1) O que você entende por o termo rol?
2) A tabela abaixo indica o número de um grupo de 1550 funcionários de determinadas faixas salariais
de uma empresa. Complete as colunas em branco.
Faixa salarial Número de
pessoas (fi)
Frequência
percentual (fp)
Frequência acumulada
(fa)
Até 3 salários mínimos 776
De 3 a 6 salários mínimos 387
De 6 a 9 salários mínimos 232
Acima de 9 salários mínimos 155
1550
3) Para o Curso de Administração uma classe de uma escola possui as seguintes notas:
36 40 54 31 32 34 43 49
50 56 40 42 44 33 54 55
56 59 65 67 50 68 51 54
61 44 39 66 60 36 44 49
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a) maior nota;
b) menor nota;
c) amplitude total;
d) tabela contendo: as notas, frequência relativa, frequência percentual e freqüência acumulada
(sugestão: (K = 6 e h = 6,16 usar h = 7) exemplo: 31|------|37);
e) quantas notas estão acima de 75?
f) quantas notas estão abaixo de 45?
g) informe o percentual de notas entre 50 e 68 inclusive. Resposta 50%
4) Os dados da amostra abaixo representam as vendas diárias de um determinado aparelho elétrico,
durante um mês, por uma firma comercial:
14 12 11 13 14 13
19 14 20 14 11 12
12 14 10 13 15 18
21 13 16 17 14 14
a) Elabore uma distribuição de frequência começando a primeira classe com o intervalo :10|----|12
b) Faça a análise da penúltima classe da distribuição
5) O corpo administrativo de um consultório médico estudou o tempo de espera dos pacientes que
chegavam ao consultório com uma solicitação de serviço de emergência. Os seguintes dados foram
coletados no período de um mês (os tempos de espera estão em minutos):
2 5 10 12 4 4 5 17 11 8 9 8 12 21 6 8 7 13 18 3
a) Construa a distribuição de frequência utilizando classes de 0|----|4, 5|----|9 etc.
b) Que proporção de pacientes necessita de serviço de emergência enfrentam um tempo de espera de
nove minutos ou menos? Resposta 60%
6) A MKT Icont é uma empresa de consultoria em contabilidade e iniciou um trabalho de pesquisa
para a TDI, que pretende lançar um novo produto no mercado brasileiro. Foram aplicadas algumas
pesquisas de mercado para verificar o potencial de compra por parte da população. A tabela abaixo
mostra os dados sobre uma amostra da população pesquisada, referente à renda familiar mensal (em
salário mínimo):
Salário Mínimo Número de pesquisados
0|-------5 734
5|-------10 526
10|-------15 205
15|-------20 140
20|-------25 60
TOTAL
Considerando os dados acima, podemos afirmar que:
a) 30% da amostra ganham 10 salários mínimos ou mais;
b) Somente 44,08% da amostra ganham abaixo de 10 salários mínimos;
c) Menos de 10% da amostra ganham 15 salários mínimos ou mais;
d) Mais de 75% da amostra ganham abaixo de 10 salários mínimos;
e) Mais de 5% da amostra ganham 20 salários mínimos ou mais. Resposta: (d) - 75,67%
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7) Complete a tabela abaixo:
K l L Fi fr Pm ou X fa
1 0|-------8 4
2 8|-------16 10
3 16|-------24 14
4 24|-------32 9
5 32|-------40 3
TOTAL
8) Complete os dados que faltam na distribuição de frequência:
K l L Fi fr Pm ou X fa
1 0|-------2 4 1
2 2|-------4 8 12
3 4|-------6 5
4 |------- 27 45
5 8|------- 15
6 |-------12 11
7 |-------14 10 77
TOTAL 77
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GRÁFICOS
Uma vez elaborada a tabela de frequência, segue-se o desenho do gráfico, um recurso de visualização
dos dados constantes na tabela. Os tipos de gráficos são: histograma; polígono de frequência; ogiva de
Galton; e setograma.
Histograma: utilizado para representar as frequencias absolutas (fi) em relação à sua classe, é
construído assim:
1. No eixo X (abscissas), marcamos, em escala, as classes dos dados.
2. No eixo Y (ordenadas), marcamos as freqüências de classe(fi).
3. Fazemos a correspondência entre cada intervalo no eixo dos X (classes) e um valor no eixo
vertical(fi), formando um desenho que lembra um conjunto de colunas paralelas( retangulares)
ou um conjunto de prédios.
Polígono de frequência: utilizado para indicar o ponto médio(pm) ou representante de classe com
suas respectivas frequências absolutas, é construído sobre o histograma. Para construí-lo, procedemos
assim:
1. No eixo X (abscissas), colocamos o ponto médio de cada intervalo de classe.
2. No eixo Y (ordenadas), permanecem as frequências absolutas de classe (fi).
3. Ligamos os pontos por segmentos de reta.
4. Para completar o polígono, acrescentamos um ponto médio com frequência zero em cada uma
das extremidades da escala horizontal.
Setograma: Também conhecido como gráfico de pizza, é utilizado para representar os valores
relativos (%).
1. Fazemos um círculo.
2. Cada Setor/Fatia é regido pela fórmula:
Total
fiSetor
.360
3. No círculo, distribuímos os valores das frequências percentuais.
Ogiva de Galton: utilizado para representar as frequências acumuladas de uma distribuição, é
construída assim:
1. No eixo X (abscissas), colocamos as classes dos dados, como no histograma.
2. No eixo Y (ordenadas), escrevemos uma das frequências acumuladas, marcando o ponto com
os limites superiores (ls) de cada classe. Iniciamos com frequência zero e com limite inferior da
1a classe.
Veja um exemplo: Numa cidade foram anotadas as idades de 64 pessoas aposentadas. Os dados
obtidos estão dispostos no quadro a seguir:
79 75 67 74 81 69 67 79 66 80
64 57 67 65 90 64 77 80 58
73 70 46 58 71 91 78 67 68
73 71 78 72 76 43 84 47 81
65 72 76 87 65 53 75 66 83
95 58 90 51 73 72 78 69 78
74 70 77 75 74 99 78 62 77
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Pede-se:
a) O rol.
b) O número de classes, a amplitude total (AT) e amplitude do intervalo de classes (h).
c) A tabela completa, com o limite inferior da primeira classe começando em 43.
d) Os seguintes gráficos: histograma, polígono das frequências, ogiva de Galton e Setograma.
Resolução: a)
Idade Frequência(fi) Idade Frequência(fi)
43 1 76 2
46 1 77 3
47 1 78 5
51 1 79 2
53 1 80 2
57 1 81 2
58 3 83 1
62 1 84 1
64 2 87 1
65 3 90 2
66 2 91 1
67 4 95 1
68 1 99 1
69 2 TOTAL 64
70 2
71 2
72 3
73 3
74 3
75 3
b) Estimaremos que a distribuição deverá ter: K= 64 = 8 classes, mais utilizamos 9 classes para
inserir todos os elementos da amostra. Amplitude Total: AT = 99 – 43 = 56 - Amplitude do
intervalo de classes: h = 56/8 = 7.
c)
Idade dos
aposentados
fi Pm fr fp fa
l L
43 |----| 49 3 46 0,0468 4,68% 3
50 |----| 56 2 53 0,0312 3,12% 5
57 |----| 63 5 60 0,0781 7,81% 10
64 |----| 70 16 67 0,25 25% 26
71 |----| 77 19 74 0,2968 29,68% 45
78 |----| 84 13 81 0,2031 20,31% 58
85 |----| 91 4 88 0,0625 6,25% 62
92 |----| 98 1 95 0,0156 1,56% 63
99 |----| 105 1 102 0,0156 1,56% 64
TOTAL 64 666 1,00 100%
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Setograma: cada Setor/Fatia é regido pela fórmula:
n
fiSetor
.360
1ª classe: 43|--------| 49 >> osetor = (360º . 3)/64 = 1080/64 = 16,87º
2ª classe: 50|--------| 56 >> osetor = (360º . 2)/64 = 720/64 = 11,25º
3ª classe: 57|--------| 63 >> osetor = (360º . 5)/64 = 1800/64 = 28,12º
4ª classe: 64--------| 70 >> osetor = (360º . 16)/64 = 5760/64 = 90,14º
5ª classe: 71|--------| 77 >> osetor = (360º . 19)/64 = 6840/64 = 106,87º
6ª classe: 78|--------| 84 >> osetor = (360º . 13)/64 = 4680/64 = 73,12º
7ª classe: 85|--------| 91 >> osetor = (360º . 4)/64 = 1440/64 = 22,5º
8ª classe: 92|--------| 98 >> osetor = (360º . 1)/64 = 360/64 = 5, 62º
9ª classe: 99||--------| 105 >> osetor = (360º . 1)/64 = 360/64 = 5, 62º
SETOGRAMA/PIZZA
4,68%3,12%
7,81%
25,01%
29,69%
20,32%
6,25%
1,56%
1,56%
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14
Interpretação: Podemos notar pelo histograma, que na faixa de 64 a 77 anos há um pico, o qual indica
a existência de maior número de aposentados nessa faixa – setograma de maior fatia. Se o objetivo do
pesquisador é saber qual a faixa etária com mais pessoas aposentadas na cidade, há indícios de que
será a faixa de 64 a 77 anos.
E X E R C Í C I O S
1) O faturamento de uma loja de brinquedos durante 40 semanas foi:
28 27 18 15 20 19 17 18
25 19 30 19 21 22 15 17
25 17 20 25 23 19 25 20
22 15 28 18 16 24 18 22
19 20 18 15 19 19 18 19
O gerente da loja deseja saber qual é a faixa do faturamento que se repete menos. Para isso determine:
a) As classes.
b) As frequências absolutas.
c) As frequências acumuladas.
d) O histograma e a ogiva.
2) Numa fábrica foram tabulados os salários dos funcionários, resultando na tabela de distribuição de
frequência a seguir. A amostra foi de 380 funcionários:
Classe de salários mensais Número de funcionários
280 |------------ 320 150
320 |------------ 360 73
360 |------------ 400 40
400 |------------ 440 52
440 |------------ 480 36
480 |------------ 520 29
TOTAL 380
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15
Pede-se :
a) Complete o quadro acima, a partir do que foi estudado anteriormente.
b) Elabore os quatro tipos de gráficos.
3) Dado a tabela, construir um gráfico de setores
Quantidade de vendas, em uma empresa de informática
Tipo de vendas Percentual
Computadores 35
Softwares 23
Assistência técnica 15
Redes 14
Outro serviços 13
Total 100
4) O gráfico abaixo representa o faturamento líquido de uma microempresa ao longo do 1º semestre de
um ano. Entende-se por faturamento líquido o valor recebido pela empresa já descontadas todas as
despesas.
0
1
2
3
4
5
6
7
JAN FEV MAR ABR MAI JUN
Em
1000 r
eais
a) Indique o mês de maior faturamento líquido e o valor correspondente.
b) Quando ocorreu maior queda no faturamento?
c) Indique o mês de menor faturamento líquido e o valor correspondente.
d) Segundo o gráfico, a tendência de faturamento, após o mês de junho, da microempresa?
5)(ENEM/2005) Moradores de três cidades, aqui chamadas de X, Y e Z, foram indagados quanto aos
tipos de poluição que mais afligiam as suas áreas urbanas. Nos gráficos abaixo estão representados as
porcentagens de reclamações sobre cada tipo de poluição ambiental.
Considerando a queixa principal dos cidadãos de cada cidade, a primeira medida de combate a poluição
em cada uma delas seria, respectivamente: R. (b)
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16
X Y Z
(A) Manejamento de lixo Esgotamento sanitário Controle emissão de gases
(B) Controle de despejo industrial Manejamento de lixo Esgotamento sanitário
(C) Manejamento de lixo Esgotamento sanitário Controle de despejo industrial
(D) Controle emissão de gases Controle de despejo industrial Esgotamento sanitário
(E) Controle de despejo industrial Manejamento de lixo Controle emissão de gases
6) (ENEM/2005) A escolaridade dos jogadores de futebol nos grandes centros é maior do que se
imagina, como mostra a pesquisa abaixo, dos quatro principais clubes de futebol do Rio de Janeiro.
De acordo com esses dados, o percentual dos jogadores dos quatro clubes que concluíram o Ensino
Médio é de aproximadamente: R. (c)
(A) 54% (B) 48% (C) 60% (D) 14% (E) 68%
7)(ENEM/2005) Este gráfico representa o resultado de uma pesquisa realizada com 1.000 famílias
com filhos em idade escolar: R. (c)
Considere estas afirmativas referentes às famílias pesquisadas:
I ) O pai participa da renda familiar em menos de 850 dessas famílias.
II ) O pai e a mãe participam, juntos, da renda familiar em mais de 500 dessas famílias.
Então, é CORRETO afirmar que
(A) nenhuma das afirmativas é verdadeira.
(B) apenas a afirmativa I é verdadeira.
(C) apenas a afirmativa II é verdadeira.
(D) ambas as afirmativas são verdadeiras.
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MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL OU MEDIDAS DE POSIÇÃO
As médias, denominadas medidas de tendência central, são valores numéricos que representam
o centro de um conjunto de dados ou uma seqüência numérica. Podem ser de vários tipos: média
aritmética, média geométrica, mediana e moda.
Média Aritmética Simples (dados não agrupados)
É a medida utilizada com maior frequência, por implicar um cálculo extremamente simples.
Consiste em adicionar os elementos e dividir a soma pelo número (n) de elementos adicionados.
Numa seqüência de n elementos, temos a média, representada por x (“x barra”): x1, x2, x3,
...xn.
x = x1 + x2 + x3 + ... + xn
n
Em notação somatório, a média é representada da seguinte forma:
x = xi
n
Exemplo 1: Imaginemos que, numa pesquisa sobre atividades físicas com mulheres de 5 faixas etárias,
o resultado de uma amostra tenha sido:
Quantos dias por semana andam a pé?
16 a 20 anos 6
21 a 25 anos 5
26 a 29 anos 4
30 a 33 anos 2
34 a 37 anos 1
Se, a partir da amostra, quisermos saber quantos dias por semana, em média as mulheres andam
a pé, considerando como universo as mulheres de 16 a 37 anos, fazemos:
x = 6 + 5 + 4 + 2 + 1 = 18 = 3,6
5 5
Então, em média, as mulheres de 16 a 37 anos andam a pé é 3,6 dias por semana, ou 4 dias,
arredondando.
Média Aritmética Ponderada
Indicada por x p difere da média aritmética vista anteriormente por apresentar multiplicações (que
representam frequências, ponderações) indicando quantas vezes cada elemento se repete:
x p = (x1 . f1) + (x2 . f2) + .... + (xk . fk)
f1 + f2 + .... + fk
Exemplo 2: Calcular a média aritmética ponderada das notas da turma de Administração na disciplina
matemática, usando a amostra de 30 alunos.
Nota (xi) 1 2 3 5 8 9 10 Total
Número de repetições (fi) 1 6 5 2 7 3 6 30
Xi . fi 1 12 15 10 56 27 60 181
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18
Note que nesta tabela de dados agrupados a soma de repetições é igual ao número total de elementos
da amostra (n = 30). Aplicando a fórmula temos:
x p = 181 = 6,03
30
Média Aritmética para dados agrupados em classes
Quando, numa distribuição por freqüência, os dados estão agrupados em classes, são considerados
coincidentes com os pontos médios das classes às quais pertencem. Para o cálculo da média aritmética,
usaremos os produtos dos pontos médios pelas frequências de cada classe (pm . fi ).
Exemplo 3: Seja a tabela que nos dá a altura (x) dos estudantes de uma classe de Ensino Fundamental:
Altura x(cm) fi Pm
li ls
150 |---- 155 6 152,5
155 |---- 160 9 157,5
160 |---- 165 16 162,5
165 |---- 170 5 167,5
170 |---- 175 3 172,5
175 |---- 180 1 177,5
TOTAL 40 ---
Pede-se: A partir da tabela, calcular a média aritmética.
Solução: Completando a tabela, com a coluna Pm . fi, temos:
Altura x(cm) fi Pm Pm . fi
150 |---- 155 6 152,5 915,0
155 |---- 160 9 157,5 1417,5
160 |---- 165 16 162,5 2600,0
165 |---- 170 5 167,5 837,5
170 |---- 175 3 172,5 517,5
175 |---- 180 1 177,5 177,5
TOTAL 40 -------- 6465,0
x = Pm . fi = 6465 = 161,625
fi 40
Mediana para dados não agrupados
A mediana corresponde ao valor que ocupa a posição central numa sequência de números e é
representada por md.
Na sequência numérica x1,x2,...xk,...xn, o elemento xk é a md se o número de elementos que o
antecedem for igual ao número de elementos que o sucedem.
Para obter a mediana, primeiro coloca a sequência numérica em ordem crescente ou
decrescente. Depois, verificamos se a amostra é par ou ímpar e adotamos um dos procedimentos a
seguir.
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10 caso. Se o número de elementos (n) for ímpar, a mediana corresponderá ao termo central da
série.
Exemplo 1: Calcular a mediana da sequência 2, 4, 1, 5 e 6.
Resolução: fazemos o ordenamento: 1, 2, 4, 5 e 6
Como o número de elementos é ímpar: Portanto, a mediana é: md = 4
20 caso. Se o número de elemento (n) for par, a mediana, nesse caso, corresponde a media
aritmética dos dois valores centrais:
Exemplo 2 : Encontrar a mediana da seqüência 82; 79; 70; 20; 33; 46.
Resolução: fazemos Ordenação 20; 33; 46; 70; 79; 82
md = 46 + 70 = 58
2
OBS.: Geralmente o valor da mediana é bem próximo da média aritmética, quando os valores são
uniformes.
Mediana para dados agrupados
I – Calcula-se a ordem n/2. Como a variável é contínua, não se preocupe se n é par ou ímpar.
II – Pela fa identifica-se à classe que contém a mediana (classe mediana).
III – Utiliza-se à fórmula:
n
Md = li + 2 - faant . h
fi
em que: li = limite inferior da classe mediana;
n = tamanho da amostra ou número de elementos;
faant = frequência acumulada anterior;
h = amplitude da classe;
fi = frequência absoluta da classe mediana.
Exemplo 3:
Dada a distribuição amostral, calcular a mediana.
K Classes
li ls
fi fa
1 35|----------45 5 5
2 45|----------55 12 17
3 55|----------65 18 35 a 29o posição encontra-se nesta classe
4 65|----------75 14 49
5 75|----------85 6 55
6 85|----------95 3 58
------------------ 58 ----
Resolução:
I – n/2 = 58/2 = 29o (posição)
II – identificar a classe mediana: procura-se a posição 29o através da coluna fa.
III – fazer o cálculo da mediana
md = 55 + (29-17) . 10
18
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20
md = 55 + 12 . 10
18
md = 55+ 0,6667 . 10
md = 55 + 6,66 md = 61,66
Moda para dados não agrupados
A moda é o valor que apresenta maior frequência no conjunto de números em questão, ou seja,
que se repete mais vezes. É representado por mo.
Uma sequência de números pode não ter valor modal ou apresentar vários tipos de repetições,
recebendo então várias denominações:
unimodal, quando um único valor se repete;
por exemplo: { 1, 2, 3, 2}: a moda é 2
bimodal, quando dois valores se repetem (com a mesma freqüência);
por exemplo: { 3, 2, 5, 4, 8, 2, 4}: a moda é 2 e 4.
multimodal, quando três ou mais valores se repetem (com a mesma freqüência).
por exemplo: { 3, 6, 7, 6, 4, 5, 4, 3, 1}: a moda é 3, 4 e 6.
Moda para dados agrupados
I – Identifica-se a classe modal (aquela que possue maior frequência).
II – encontrar os valores de 1 e 2, onde:
1 = fimodal – fianterior
2 = fimodal - fiposterior
III – Aplica-se a fórmula:
mo = li + 1 . h
1 + 2
Exemplo:
Determine a moda para a distribuição a seguir:
Classes fi
0|-------1 3
1|-------2 10
2|-------3 17
3|-------4 8
4|-------5 5
TOTAL 43
Resolução:
I – classe modal : 3a classe: 2 |---------3
II - 1 = 17 – 10 = 7
2 = 17 – 8 = 9
III – calculando a moda:
mo = 2 + 7 . 1
7 + 9
mo = 2 + [(7/16)] . 1
mo = 2 + [0,43750] . 1 mo = 2, 43750 aproximadamente 2,44
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E X E R C Í C I O S
1) Calcule a média aritmética e a mediana dos elementos: 5, 3, 8,10,15. R. média = 8,2 e md = 8
2) Calcule a média aritmética da turma de 18 alunos na prova de estatística: R. média = 7,5
8,2 8,7 6,1
7,5 5,6 7,3
7,0 7,2 5,9
7,8 8,0 6,5
8,5 7,5 9,0
9,0 7,4 7,8
3) A distribuição de frequência abaixo representa o número de carros que quatro revendedoras
venderam durante 1 mês. Determine a média aritmética ponderada. R. x p = 4,75
número de carros vendidos por dia (Xi) 5 3 6 4
fi 4 3 4 1
4) Em 20 números, quatro são 2, três são 4, cinco é 1 e os restantes são 3. Ache:
a) a tabela de frequência b) a média aritmética ponderada.R. x p = 2,45
5) Fornecemos a seguir uma distribuição de frequência do tempo em dias gasto por uma firma de
contabilidade para completar auditorias de fim de ano. A distribuição de frequência dos tempos de
auditoria está baseada em uma amostra de 20 clientes. Qual é o tempo médio, a mediana e a moda da
amostra? R. média = 19; md = 18,75; mo = 17,85
DISTRIBIÇÃO DE FREQUÊNCIA DOS TEMPOS DE
AUDITORIA
Tempo de
auditoria (dias)
fi Pm Pm . fi fa
10 |------| 14 4
15 |------| 19 8
20 |------| 24 5
25 |------| 29 2
30 |------| 34 1
TOTAL 20 ------- -------
6) Calcule a mediana:
a) 35; 98; 71; 2 ; 65 e 8 b) 8,2; 8,7; 4,1; 2,7; 3,3; 2,8 e 1,2 R. md= 50 R. md = 3,3
7) Ache a moda (se houver) de cada amostra:
a) 2; 3; 6; 4 e 3 b) 2; 3; 2; 4; e 3 R. mo = 3 R. mo = 2 e 3
8) Considerando a distribuição abaixo, calcule a média aritmética ponderada: R. Xp = 5,4
Xi 3 4 5 6 7 8
fi 4 8 11 10 8 3
9) Imagine que a margem de lucro na venda de um produto é variável, mas que, ao longo de cinco
meses, foram registrados os valores apresentados na tabela abaixo. Calcule a média. R. média = 40
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Classe Pm Frequência Pm . fi
15|-----25 20 30
25|-----35 30 45
35|-----45 40 150
45|-----55 50 45
55|-----65 60 30
TOTAL
10) Os salários-hora de cinco funcionários de uma companhia são:R$75, R$90, R$83, R$142, $ 88.
Determine: a) a média dos salários-hora; R. média = R$ 95,60 b) o salário-hora mediano. R. md =
R$ 88,00
11) A MKT Incons é uma empresa de consultoria em contabilidade e iniciou um trabalho de pesquisa
para a TDI, que pretende lançar um novo produto no mercado brasileiro. Foram aplicadas algumas
pesquisas de mercado para verificar o potencial de compra por parte da população. A tabela abaixo
mostra os dados sobre uma amostra da população pesquisada, referente à renda familiar mensal (em
salário mínimo): R. (a)
Salário Mínimo Número de pesquisados
(fi)
0|-------5 734
5|-------10 526
10|-------15 205
15|-------20 140
20|-------25 60
TOTAL
Considerando os dados da tabela, podemos afirmar que:
a) A média aritmética da amostra é um valor maior que 7 salários mínimos;
b) O valor mediano está estimado entre 4 e 5 salários mínimos;
c) A média aritmética da amostra está estimada entre 4 e 5 salários mínimos;
d) O valor mediano da amostra é o um valor maior que 7 salários mínimos;
e) O valor mediano é maior que a média aritmética.
Considere o texto a seguir para responder as questões 12, 13 e 14:
Suponha que você seja contratado pela MKT Incons para desenvolver estratégias que visam ampliar a
carteira de clientes, sua primeira reunião foi com os gerentes que reclamaram do número não suficiente
de consultores para atender a atual carteira, ampliar seria a ação que poderia ocasionar a perda de
atuais clientes em razão do não cumprimento dos prazos. Após a reunião você solicitou a sua secretária
Srta. Rita um relatório contendo a carteira e o respectivo número de dias que foram utilizados para a
realização dos trabalhos, após dois dias você recebe um e-mail:
Segue abaixo, o relatório solicitado contendo o tempo (em dias), para completar consultorias. Esta
tabela está baseada em uma amostra de 30 clientes de empresas de pequeno porte.
Tempo de Consultoria Número de clientes (fi)
10|-------14 4
14|-------18 10
18|-------22 6
22|-------26 5
26|-------30 3
30|-------34 2
TOTAL 30
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12) Neste relatório você observou que o maior número de consultorias realizadas são completadas no
período de 14 a 18 dias, conhecido como período modal. O valor exato da moda é: R. (e)
a)38 dias b)14,6 dias c)16 dias d)2,4 dias e)16,4 dias
13) Outra análise realizada foi calcular a porcentagem de consultorias que levaram vinte e seis dias ou
mais para serem concluídas, sendo o valor correspondente a: R. (d)
a) 83,33% das consultorias são concluídas em vinte e seis dias ou mais;
b) 33,33% das consultorias são concluídas em vinte e seis dias ou mais;
c) 86,67% das consultorias são concluídas em vinte e seis dias ou mais;
d) 16,67% das consultorias são concluídas em vinte e seis dias ou mais;
e) 6,67% das consultorias são concluídas em vinte e seis dias ou mais.
14) Interprete (relate) a 4ª Classe da tabela. Resposta pessoal
15) Este gráfico descreve a frequência das alturas dos recém-nascidos num mesmo dia, numa
maternidade.
Baseado no gráfico é CORRETO afirmar que a altura modal e a altura média das crianças são
respectivamente iguais a: R. (d)
(A) 48cm e 59,90cm
(B) 51cm e 47,80cm
(C) 49cm e 51,20cm
(D) 47cm e 49,10cm
(E) 47cm e 50,10cm
16) Observe as alturas de 10 crianças nascidas num mesmo dia, numa maternidade.
Criança Altura (cm)
Mariana 52
Jorge 48
Paulo 51
Mário 47
Tarsila 47
Priscila 51
Silvana 53
Alberto 47
Vítor 47
Ricardo 48
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Entre as alternativas abaixo a CORRETA em relação as alturas médias das meninas e dos meninos
respectivamente é: R. (b)
(A) 50,21cm e 46cm.
(B) 50,75cm e 48cm.
(C) 46cm e 50,28cm.
(D) 50,75cm e 46cm.
(E) 50,21cm e 50,75cm.
17) Dissertativa: Baseado no problema da questão anterior: Interprete o percentual que a diferença
entre as alturas médias das meninas e dos meninos representa em relação à altura média dos meninos.
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
18) Os 40 alunos de uma turma fizeram uma prova de Estatística valendo 100 pontos. A nota média
da turma foi de 70 pontos e apenas 15 dos alunos conseguiram a nota máxima. Seja M a nota média
dos alunos que não obtiveram a nota máxima. Então, é CORRETO afirmar que o valor de M é : R. (d)
(A) 53 (B) 50 (C) 51 (D) 52 (E) 48
19) Durante um determinado mês de verão, os oito vendedores de uma firma de calefação central e ar-
condicionado venderam os seguintes números de unidades de ar-condicionado central: 8, 11, 5, 14,
8, 11, 6. Considerando este mês como uma população estatística de interesse, o número médio de
unidades vendidas é: R. (e)
(A)18unidades (B)11unidades (C)8unidades (D)3unidades (E)9unidades
20) Uma pesquisa da ONU estima que, já em 2008, pela primeira vez na história das civilizações, a
maioria das pessoas viverá na zona urbana. O gráfico a seguir mostra o crescimento da população
urbana desde 1950, quando essa população era de 700 milhões de pessoas, e apresenta uma previsão
para 2030, baseada em crescimento linear no período de 2008 a 2030.
De acordo com o gráfico, a população urbana mundial em 2020 corresponderá em média,
aproximadamente, a quantos bilhões de pessoas? R. 4,25 bilhões
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25
SEPARATRIZES
Além das medidas de posição que estudamos, há outras que, consideradas individualmente, não
são medidas de tendência central, mas estão ligadas à mediana relativamente à sua característica de
separar a série em duas partes que apresentam o mesmo número de valores.
Vejamos então, alguns quantis e seus nomes específicos: o quartil, o decil e o percentil - são,
juntamente com a mediana, conhecida pelo nome genérico de separatrizes.
QUARTIL
Denominamos quartis os valores de uma série que a dividem em quatro partes iguais.
Precisamos, portanto de 3 quartis (Q1 , Q2 e Q3 ) para dividir a série em quatro partes iguais.
0% 25% 50% 75% 100%
| | | | |
Q1 Q2 Q3
Obs: O quartil 2 ( Q2 ) sempre será igual à mediana da série.
Quartis em dados não agrupados
O método mais prático é utilizar o princípio do cálculo da mediana para os 3 quartis. Na realidade serão
calculadas "3 medianas" em uma mesma série.
Exemplos:
1) Calcule os quartis da série: {5, 2, 6, 9, 10, 13, 15}
O primeiro passo a ser dado é o da ordenação (crescente ou decrescente) dos valores:
{2, 5, 6, 9, 10, 13, 15}
O valor que divide a série acima em duas partes iguais é igual a 9, logo a Md = 9 que será = Q2.
Temos agora {2, 5, 6} e {10, 13, 15} como sendo os dois grupos de valores iguais proporcionados pela
mediana (quartil 2). Para o calculo do quartil 1 e 3 basta calcular as medianas das partes iguais
provenientes da verdadeira Mediana da série (quartil 2).
Logo em {2, 5, 6} a mediana é = 5. Ou seja: será o quartil 1
em {10, 13, 15 } a mediana é =13 . Ou seja: será o quartil 3
2) Calcule os quartis da série: {1, 1, 2, 3, 5, 5, 6, 7, 9, 9, 10, 13}
A série já está ordenada, então calcularemos o Quartil 2 = md = (5+6)/2 = 5,5
O quartil 1 será a mediana da série à esquerda de md : {1, 1, 2, 3, 5, 5}
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26
Q1 = (2+3)/2 = 2,5
O quartil 3 será a mediana da série à direita de md : {6, 7, 9, 9, 10, 13}
Q3 = (9+9)/2 = 9
Quartis em dados agrupados
Determinação de Qi 10 passo: calcula-se (i . n) /4
20 passo: identifica-se a classe Qi pela Fa.
30 passo: aplica-se a fórmula:
i .n - faant
Qi = li + 4 . h
fi
Determinação de Q3: 10 passo: calcula-se (3 . n) /4
20 passo: identifica-se a classe Q3 pela Fa.
30 passo: aplica-se a fórmula:
3 . n - faant
Qi = li + 4 . h
fi
em que: i = 1, 2, 3
li = limite inferior da classe encontrada
h = amplitude do intervalo
faant = frequência acumulada anterior à da classe
fi = frequência absoluta da classe encontrada
DECIL
A definição dos decis obedece ao mesmo princípio dos quartis, com a modificação da
porcentagem de valores que ficam aquém e além do decil que se pretende calcular. Indicamos os decis:
D1, D2, ... , D9. Deste modo precisamos de 9 decis para dividir uma série em 10 partes iguais.
0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%
| | | | | | | | | | |
D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9
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27
De especial interesse é o quinto decil, que divide o conjunto em duas partes iguais. Assim sendo, o
quinto decil é igual ao segundo quartil, que por sua vez é igual à mediana.
Neste caso também é semelhante as separatrizes anteriores . Ei-la:
10 passo: calcula-se (i . n) /10, em que i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9
20 passo: identifica-se a classe Di pela Fa.
30 passo: aplica-se a fórmula:
i . n - faant
Di = li + 10 . h
fi
PERCENTIL
Denominamos percentis ou centis como sendo os noventa e nove valores que separam uma série em
100 partes iguais. Indicamos: P1, P2, ... , P99. É evidente que P50 = Md ; P25 = Q1 e P75 = Q3.
O cálculo de um centil segue a mesma técnica do cálculo da mediana, porém a fórmula será :
0% 1% 2% 3%.................... 50%....................97% 98% 99% 100%
| | | | | | | | |
P1 P2 P3 P50 P97 P98 P99
O cálculo de um percentil é dado por:
10 passo: calcula-se (i . n) /100 em que i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8............,98, 99.
20 passo: identifica-se a classe Pi pela fa.
30 passo: aplica-se a fórmula:
i.n - faant
Pi = li + 100 . h
fi
EXEMPLOS:
1) Dada a distribuição, determinar os quartis (Q1 e Q3), a mediana e a moda.
K Classes fi pm fi . pm fa
1 7|----------17 6 12 72 6
2 17|----------27 15 22 330 21 ←Classe Q1
3 27|----------37 20 32 640 41 ←Classe Md
4 37|----------47 10 42 420 51 ←Classe Q3
5 47|----------57 5 52 260 56
∑ 56 --- 1722 ---
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28
Resolução: 10 passo: n = 56
Q1=? md= ? Q3 = ?
n/4 = 56/4 = 140 n/2 = 56/2 = 28
0 3n/4
= (3 . 56) / 4 = 42
0
20 passo: Pela fa identifica-se a classe Q1, classe Md e classe Q3
30 passo: Para Q1 temos : li = 17, n = 56, faant = 6, h = 10, fi = 15
Para Md temos: li = 27, n = 56, faant = 21, h= 10, fi = 20
Para Q3 temos : li =37, n = 56, faant = 41, h= 10, fi = 10
1 . 56 - 6
Q1 = 17 + 4 .10 = 22,33
15
56 - 21
Md = 27 + 2 .10 = 30,5
20
3 . 56 - 41
Q3= 37 + 4 .10 = 38
10
x = fi . pm = 1 722 = 30,75
fi 56
mo = ?
1 = 20 – 15 = 5; 2 = 20 – 10 = 10
mo = 27 + 5 .10
5 + 10
mo = 27 + 5 .10
15
mo = 27 + [0,33 .10]
mo = 27 + 3,33 = 30,33
Diante desses resultados, pode-se afirmar que: 22,33 deixa 25% dos elementos; 30,5 deixa 50% dos
elementos; 38 deixa 75% dos elementos.
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29
2) Calcular o 40 decil e o 72
0 percentil da seguinte distribuição:
K Classes fi fa
1 4|-----------9 8 8
2 9|----------14 12 20 ←Classe D4
3 14|----------19 17 37 ←Classe P72
4 19|----------24 3 40
∑ 40 --------
Resolução:
Cálculo do D4 : Cálculo do P72 :
10
passo:
in/10 = (4 . 40)/10 = 160
in/100 = (72 . 40)/100 = 28,80
20
passo:
Identifica-se a classe D4 e P72 pela fa
Para D4: li = 9; faant = 8; n = 40; h = 5; fiD4 = 12
4 . 40 - 8
D4 = 9 + 10 . 5 = 12,33
12
Para P72: li = 14; faant = 20; n = 40; h = 5; fiP72 = 17
72 . 40 - 20
P72= 14 + 100 . 5 = 16,59
17
Portanto, nesta distribuição o valor 12,33 divide a amostra em duas partes: uma com 40% dos
elementos e a outra com 60% dos elementos. O valor 16,59 indica que 72% da distribuição estão
abaixo dele 28% acima.
E X E R C Í C I O S
1) Imagine que a margem de lucro na venda de um produto é variável, mas que, ao longo de seis
meses, foram registrados os valores apresentados na tabela abaixo. Pede-se: o sexto decil e o trigésimo
percentil. R. D6 = 43 e P30 = 36,5
Classes fi fa
15|---------25 30
25|---------35 45
35|---------45 150
45|---------55 45
55|---------65 30
65|---------75 25
TOTAL 325 ------
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30
2)Calcule o 10quartil, o 3
0decil e o 90
0 percentil da distribuição de frequência a seguir: R. Q1 = 27,081;
D3 = 27,486 e P90 = 33,375
K Classes fi fa
1 18-----------|21 1
2 21-----------|24 4
3 24-----------|27 19
4 27-----------|30 37
5 30-----------|33 28
6 33-----------|36 8
7 36-----------|39 3
Total 100 --------
3) A tabela a seguir contém rendimentos anuais dos funcionários administrativos de uma empresa (em
reais). Observe – a e encontre: a) Q1; R. 6.825,00 b) D3; R. 7093,75 c)P35; R. 7296,87
K Classes fi Fa
1 5000--------|6000 8
2 6000--------|7000 10
3 7000--------|8000 16
4 8000--------|9000 14
5 9000-------|10000 10
6 10000-----|11000 5
7 11000-----|12000 2
Total 65 --------
4)Dada a distribuição de frequência a seguir, pede-se: determinar o 1º e o 3º quartis. R. Q1 = R$ 630
Q3 = R$ 873
K CUSTOS (R$) fi Fa
1 450|--------550 8
2 550|--------650 10
3 650|--------750 11
4 750|--------850 16
5 850|--------950 13
6 950|--------1050 5
7 1050|-------1150 1
Total 64
5) Pra a distribuição do exercício anterior, determinar o 20º percentil. R. P20 = R$ 598
6) A pontuação nos testes de 15 empregados envolvidos em um curso de treinamento está disposta a
seguir: 13 9 18 15 14 21 7 10 11 20 5 18 37 16 17. Obtenha: o primeiro, o segundo e
terceiro quartil da pontuação dos testes. R. Q1 = 10; Q2 = 15 e Q3 = 18
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31
MEDIDAS DE DISPERSÃO
Desvio Médio
Poder-se-ia, por exemplo, calcular a distância que separa cada dado Xi da média x e
estabelecer a média de todos os valores.
Tomando os valores absolutos. Obtém-se, assim, o desvio médio.
Para dados não agrupados: Para dados agrupados :
Dm= | Xi - x | Dm = | Xi - x | . fi
n n
OBS.: Para calcular o desvio médio em dados agrupados utiliza-se a fórmula que determina a média
aritmética ponderada:
Exemplo:
Determine o desvio médio para o seguinte conjunto de números: 2, 4, 6, 8, 10
Solução:
Determinamos a média: x = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 6
5
Determinamos as diferenças: | Xi - x | = |2-6| + |4-6| + |6-6| + |8-6| + |10-6| = |-4| + |-2| + |2| + |4| =12
Desvio médio Dm = | Xi - x | = 12 = 2,4
n 5
Variância da amostra
Define-se a variância, e representa-se por S2, como sendo à medida que se obtém somando os
quadrados dos desvios das observações da amostra, relativamente à sua média, e dividindo pelo
número de observações da amostra menos um.
Para calcular a variância dados não agrupados Para calcular a variância dados agrupados
S2 = | Xi - x |
2
n - 1
Exemplo: Calcule a variância da amostra: 2, 4, 6, 8, 10
Solução: Já vimos que a média é: x = (2 + 4 + 6 + 8 + 10 )/5 = 6
Eis os cálculos necessários:
S2 = | Xi - x |
2 . fi
n - 1
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32
Xi |Xi - 6 | |Xi – 6 |2
2 |-4| 16
4 |-2| 4
6 |0 | 0
8 |+2| 4
10 |+4| 16
30 12 40
S2 = | Xi - x |
2 = 40 = 10
n - 1 5 - 1
Desvio Padrão Amostral
Uma vez que a variância envolve a soma de quadrados, a unidade em que se exprime não é a
mesma que a dos dados. Assim, para obter uma medida da variabilidade ou dispersão com as mesmas
unidades que os dados, nada mais é que a raiz quadrada da variância e obtemos o desvio padrão:
O desvio padrão é uma medida que só pode assumir valores não negativos e quanto maior for,
maior será a dispersão dos dados. Algumas propriedades do desvio padrão, que resultam
imediatamente da definição, são:
o desvio padrão é sempre não negativo e será tanto maior, quanta mais variabilidade houver
entre os dados.
se s = 0, então não existe variabilidade, isto é, os dados são todos iguais.
S = 2s
Calcule o desvio padrão da amostra do exemplo anterior
Solução: S = 10 S = 3,162278 aproximadamente 3,2
Coeficiente de variação
Trata-se de uma medida relativa de dispersão útil para a comparação em termos relativos do grau de
concentração em torno da média de séries distintas e é expresso em porcentagens. É dado por:
CV = S . 100
x
Para o exemplo anterior:
Solução: CV = (3,2 /6) . 100 CV= 53,33%
Diz-se que a distribuição possui pequena variabilidade (dispersão) quando o coeficiente der até 10%;
média dispersão quando estiver acima de 10% até 20%; e grande dispersão quando superar 20%.
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33
2) Determinar o desvio médio (dm), a variância, o desvio padrão e o coeficiente de variação da
distribuição amostral a seguir:
Solução: Primeiramente calculamos a média aritmética ponderada:
x = xi . fi = 106 = 5,88 aproximadamente 5,9
n 18
X fi Xi . fi |dm| = | Xi – x | . fi S2 = |Xi – x |
2 . fi
3 5 15 3 – 5,9 = |-2,9| . 5 = 14,5 |-2,9|2 = 8,41 . 5 = 42,05
4 2 8 4 – 5,9 = |-1,9| . 2 = 3,8 |-1,9|2 = 3,61 . 2 = 7,22
6 4 24 6 – 5,9 = |0,1| . 4 = 0,4 |0,1|2 = 0,01 . 4 = 0,04
7 2 14 7 – 5,9 = |1,1| . 2 = 2,2 |1,1|2 = 1,21 . 2 = 2,42
9 5 45 9 – 5,9 = |3,1| . 5 = 15,5 |3,1|2 = 9,61 . 5 = 48,05
18 106 36,4 99,78
Desvio médio: dm = |dm| . fi = 36,4 = 2,02
n 18
Variância: S2
= |Xi – x |2 . fi = 99,78 = 99,78 = 5,87
n - 1 18 – 1 17
Desvio Padrão: S = 2s S = 87,5
S = 2,43
Coeficiente de variação: CV = S . 100 = 2,43 . 100 = 243 = 41,18%
x 5,9 5,9
E X E R C Í C I O S
1) Determine o desvio médio para o conjunto de valores: 1, 2, 3, 4, 5 R. Dm = 1,2
2) Calcule a variância e o desvio padrão da amostra: 2, 5, 10, 5, 2 R. S2 = 10,7 e S = 3,27
3) Calcular o desvio-médio, a variância, o desvio padrão e o coeficiente de variação da seguinte
distribuição amostral: R. Dm = 1,2; S2 = 2,85; S = 1,69 e CV = 20,96%
Xi fi
5 2
7 3
8 5
9 4
11 2
16
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34
4)Calcule a variância para os dados do Conjunto A: 4, 6, 4, 6, 5, 5. R. S2 = 0,8
5) Os preços para a amostra de 6 modelos básicos de máquinas de café são apresentados a seguir
(Consumer Reports 1995 Buying Guide). R. a) Dm = 9; b) S2 =138,4; c) S = 11,76; d) CV = 40,56%
Modelo Preço($)
Mr. Coffee PR12A 27
Krups 50
Proctor 42301 20
Black & Decker 901 22
Black & Decker 900 20
West Bend 35
Determine:
a) o desvio médio b)a variância c)o desvio padrão d) o coeficiente de variação
6) Os dados da tabela abaixo representam a amostra para os dados de salários-inicias dos funcionários
de uma determinada empresa.
Salário Mensal(xi)(R$) fi
350,00 2
450,00 4
250,00 3
380,00 1
255,00 2
Determine:
a) a média b) o desvio médio c)a variância d) o desvio padrão R. a) média = 345,00 b) Dm = 77,5 c) S
2 = 8059,09 d) S = 89,77
7) Dada a tabela abaixo:
Xi fi
4 2
2 4
6 3
3 2
Total 11
CALCULAR:
a) o desvio-médio R. 1,42
b) a variância R. 2,85
c) o desvio-padrão R. 1,68
d) o coeficiente de variação R. 46,28%
8) Para o conjunto de números {3, 5, 2, 4}, determinar:
a) a média R. 3,5
b) o desvio-médio R. 1
c) a variância R. 1,66
d) o desvio-padrão R. 1,28
9) A altura média dos homens que trabalham em uma empresa é 1,80m, com desvio-padrão 1,40m e a
altura média das mulheres é 1,60m com desvio-padrão 1,30m. Determine o coeficiente de variação
para a altura dos homens e para altura das mulheres. R. CVh = 77,77% e CVm = 81,25%
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35
CORRELAÇÃO
Diagrama de Dispersão
Você provavelmente já ouviu dizer que o aumento do número de crimes está relacionado com o
aumento da taxa de desemprego. Você também deve ter ouvido falar que os preços sobem quando a
procura determinado produto aumenta. Estes exemplos mostram que, muitas vezes, o pesquisador
procura uma relação entre duas variáveis.
Até agora, analisamos distribuições de uma única variável, porém, a partir deste momento,
vamos considerar as relações entre duas ou mais variáveis. Para isso as medidas de tendência central e
variabilidades estudadas anteriormente já não são suficientes, teremos que usar uma nova medida
chamada de Correlação que descobre e mede as relações, bem como outra chamada de Regressão que
determina os parâmetros da função que descreve tais relações.
É através do gráfico denominado diagrama de dispersão, que ele busca visualizar a relação
entre as duas variáveis.
As relações podem ser subdivididas em :
● Estatísticas : Altura X peso, Cor de pele X cor de olhos (Resultados de pouca precisão ou previsibilidade) .
● Funcionais : Perímetro, área, volume (Resultados obtidos através de fórmulas 100% previsíveis)
Tomando uma amostra aleatória qualquer, relacionando duas grandezas, podemos dispor os resultados
em forma de um gráfico ( Diagrama de Dispersão ) .
Peso ( yi )
●
●
● ●
●
●
● ●
●
Idade ( xi )
Repare que os pontos estão dispersos, porém esta dispersão se dá em torno de uma reta que é
chamada de Reta Imagem ou Reta de Correlação Linear.
Peso ( yi )
●
● Reta Imagem
●
●
●
● ●
●
Idade ( xi )
Dependendo do diagrama de dispersão, temos . . .
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36
Coeficiente de Correlação de Pearson
r =
2222...
...
iiii
iiii
yynxxn
yxyxn
Com n o n.º de observações.
Este coeficiente mede o grau de intensidade da correlação entre duas variáveis, bem como o
sentido (Positivo ou Negativo ).
r = 1 Correlação Perfeita e Positiva entre as variáveis.
Temos r [ -1, 1 ] daí se r = 0 Correlação Não Linear, ou Não há correlação.
r = -1 Correlação Perfeita e Negativa entre as variáveis.
NOTA:
[ 0,6 ; 1 ] Intervalo que contém as melhores conclusões.
Ao usarmos Pearson temos | r | [ 0,3 ; 0,6 [ Correlação Linear Fraca .
[ 0 ; 0,3 [ Correlação Linear Muito fraca .
Dada uma amostra com n pares de valores Xi e Yi, para medir o grau de correlação entre elas,
calcula-se o coeficiente de correlação de Pearson.
Exemplo 01:
Taxa de mortalidade infantil e taxa de analfabetismo no Brasil em 1997, segundo a região.
Região
Taxa de
mortalidade
infantil (Xi)
Taxa de
analfabetismo
(Yi)
Xi .Yi
Xi2
Yi2
Norte 35,6 12,7 452,12 1267,36 161,29
Nordeste 59,0 29,4 1734,60 3481,00 864,36
Sudeste 25,2 8,6 216,72 635,04 73,96
Sul 22,5 8,3 186,75 506,25 68,89
Centro Oeste 25,4 12,4 314,96 645,16 153,76
167,7 71,4 2905,15 6534,81 1322,26
96,50974,71
29,281237,167
22
22
Y
X
Substituindo na fórmula, os somatórios pelos totais já calculados:
Correlação Linear Positiva Correlação Linear Negativa Correlação Não Linear Sem Correlação ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
● ● ● ● ● ● ●
● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
● ● ● ●
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37
9724,0
856,524
394,510
668,302 . 152,910
394,510
592,101926,1322.658,562481,6534
756,239415,2905
5
96,509726,1322.
5
29,2812381,6534
5
4,71.7,16715,2905
r
r
r
r
r
OUTRO EXEMPLO:
Tabela B
Biologia
( xi )
Química
( yi ) xi . yi xi
2 yi
2
7 8 56 49 64
9 8 72 81 64
8 7 56 64 49
3 4 12 9 16
4 6 24 16 36
5 5 25 25 25
36 38 245 244 254
Portanto temos n = 6 correlações , logo . . .
r =
80.168
102
]14441524].[12961464[
13681470
])38(254.6].[)36(244.6[
38.36245.6
22
r 0,88 Correlação Linear Forte e Positiva .
Exemplo 02:
País nº de carros (em milhões) (X)
nº de nascimentos (em milhões) (Y)
EUA 12,00 3,80
Japão 11,00 1,30
Alemanha 5,00 0,80
França 3,80 0,70
Coréia do Sul 2,80 0,68
Espanha 2,60 0,38
Canadá 2,10 0,36
Brasil 2,10 3,20
Reino Unido 1,90 0,70
Itália 1,80 0,50
Fonte: Agência Auto Informe (1998) soma
Dessa forma, existe alta
correlação positiva entre as
variáveis. Isto significa que
ocorrem mais mortes de menores
nas regiões que existem maior
número de analfabetos
Pois, r = 0,9724
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Alguns cuidados na interpretação da correlação
Veja o exemplo 2, apresentado também em
diagrama de dispersão. Os países com maior número de
nascimentos de crianças tem, em geral, maior número
de veículos zero quilometro. Contudo, o aumento da
primeira variável não causa o aumento da outra; é o
aumento da população que faz aumentar tanto o
número de nascimentos como o número de veículos
zero quilometro nos países.
REGRESSÃO
Ajustamento da Reta
A análise de Regressão tem como resultado uma equação matemática que descreve o
relacionamento entre duas variáveis, partindo de n observações das mesmas. Essas equações são
usadas em situações em que se deseja:
- estimar valores de uma variável com base em valores conhecidos de outra;
- explicar valores de uma variável em termos de outra;
- predizer valores futuros de uma variável.
A variável sobre a qual desejamos fazer uma estimativa recebe o nome de variável dependente e a
outra recebe o nome de variável independente.
Assim supondo X a variável independente e Y a variável dependente, vamos procurar determinar o
ajustamento de uma reta à relação entre essas variáveis, ou seja, vamos obter uma função definida
por:
Y = aX + b
Onde a e b são os parâmetros.
Y : Variável Dependente ( Aquela sobre a qual vamos fazer a Estimativa )
X : Variável Independente
Sejam duas variáveis X e Y, entre as quais exista uma correlação acentuada, embora não
perfeita, como, por exemplo a tabela a seguir:
Xi 5 8 7 10 6 7 9 3 8 2
Yi 6 9 8 10 5 7 8 4 6 2
Cujo diagrama de dispersão é dado por:
02468
1012
0 5 10 15
X
Y
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Podemos concluir, pela forma do diagrama, que se trata de uma correlação retilínea, de modo a
permitir o ajustamento de uma reta, imagem da função definida por:
Y = aX + b Vamos, então, calcular os valores dos parâmetros a e b com a ajuda das fórmulas:
x.ayb
e
xxn
y.xy.x.na
22
onde: n é o número de observações
x é a média dos valores x
n
xx
y é a média dos valores y
n
yy
Nota: Como estamos fazendo uso de uma amostra para obtermos os valores dos parâmetros, o
resultado, na realidade, é uma estimativa da verdadeira equação de regressão. Sendo assim,
escrevemos: baXY
Onde Y é o valor Y estimado. Formemos então a tabela de valores, com n = 10
Xi Yi Xi . Yi xi2
5 6 30 25
8 9 72 64
7 8 56 49
10 10 100 100
6 5 30 36
7 7 49 49
9 8 72 81
3 4 12 9
8 6 48 64
2 2 4 4
65 65 473 481
Temos assim:
0,890,86XY
:logo
0,89b e ,a
:donde
,,,, x ,,b
x.ayb
:vem
,10
65y e ,x
:como
,..
..
)(x
xxa
860
889206108556568632056
565610
65
86320585
505
22548104
22547304
6548110
6565473102
Para traçarmos a reta no gráfico, basta determinar dois de seus pontos:
X = 0 Y =0,89
X = 5 Y =0,86 x 5 + 0,89 = 5,19
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Assim, temos:
OUTRO EXEMPLO
Tabela B
Biologia
( xi )
Química
( yi )
xi . yi xi2
yi2
4 6 24 16 36
9 8 72 81 64
7 5 35 49 25
8 7 56 64 49
10 8 80 100 64
3 4 12 9 16
8 10 80 64 100
1 2 2 1 4
50 50 361 384 358
Portanto temos n = 8 correlações , logo . . .
a =
25003072
25002888
)50(384.8
50.50361.82
a 0,68.
b = _
y - a_
x = 8
50.68,0
8
50 b 2,01.
Logo temos
Y = aX + b
Y = 0,68X + 2,01. Equação da Reta Imagem ou Reta Ajustada
E X E R C I C I O S
1) Considere as variáveis (X,Y) onde as variáveis representam respectivamente
Y : indica nota de uma prova de matemática
X : Tempo de estudo para encarar essa prova (em horas)
Tempo 3,0 7,0 2,0 1,5 12,0
Nota 4,5 6,5 3,7 4,0 9,3
Ache o coeficiente de correlação e monte o diagrama de dispersão. R. 0,99; fazer o diagrama
2) Forme o esquema de cálculo do coeficiente de correlação, para os valores das variáveis Xi e Yi:
Xi 4 6 8 10 12
Yi 12 10 8 12 14 R. r = 0,42
y = 0,8631x + 0,89
02468
1012
0 5 10 15
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3) Determine a equação da reta para ajustamento dos dados da tabela:
Xi 2 4 6 8 10 12 14
Yi 30 25 22 18 15 11 10
R.
Y = -1,69x + 32,22
4) Um grupo de pessoas faz uma avaliação de alguns objetos. Com o peso real e a média dos pesos
aparentes, dados pelo grupo, obteve-se a tabela:
Peso Real 18 30 42 62 73 97 120
Peso Aparente 10 23 33 60 91 98 159
a) Verifique, pelo diagrama, se existe correlação retilínea. R. sim
b) Em caso, afirmativo, calcule o coeficiente de correlação.R. r = 0,98
c) Escreva, em poucas linhas, as conclusões a que chegou sobre a relação entre essas variáveis.
5) Certa empresa, estudando a variação de demanda de seu produto em relação à variação de preço de
venda, obteve a tabela:
Preço (xi) 38 42 50 56 59 63 70 80 95 110
Demanda (yi) 350 325 297 270 256 246 238 223 215 208
a) Determine o coeficiente de correlação. R. r = -0,90
b) Estabeleça a equação da reta ajustada. R.
Y =-1,87x + 386,8
c) Estime Y para x = 60 e x = 120. R. 274,6 e 162,4
6) Dada a tabela a seguir
( xi ) 5 7 9 12
( yi ) 8 9 10 11
a) Determine o coeficiente de correlação. R. r = 0,99
b) Estabeleça a equação da reta ajustada. R.
Y = 0,43x + 5,95
7) A tabela abaixo apresenta valores que mostram como o comprimento de uma barra de aço varia
conforme a temperatura:
Temperatura ( °C ) 10 15 20 25 30
Comprimento(m ) 103 105 110 112 116
Determine:
a) O coeficiente de correlação. R. 0,99
b) A reta ajustada a essa correlação. R.
Y = 0,66x + 96
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PROBABILIDADE
Os fenômenos estudados pela Estatística variam de resultados de uma observação para outra,
dificultando assim a previsão de um resultado futuro. Por isso adota-se um modelo matemático
probabilístico.
EXPERIMENTO ALEATÓRIO
Experimentos aleatórios são aqueles que, mesmo repetidos várias vezes sob condições
semelhantes, apresentam resultados imprevisíveis.
Em uma afirmação do tipo: “é provável que meu time ganhe a partida de hoje” pode resultar:
a) que o time perca;
b) que o time ganhe;
c) que ele empate.
Como vimos, o resultado é imprevisível e depende do acaso. Fenômenos como esses são chamados
fenômenos aleatórios ou experimentos aleatórios.
ESPAÇO AMOSTRAL
A cada experimento aleatório (E) correspondem em geral a vários resultados possíveis a que
chamamos de Espaço Amostral (S).
Exemplos:
E = lançar um dado e observar o nº da face de cima
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
E = lançar uma moeda e observar o resultado
S = {cara, coroa}
EVENTOS
É qualquer subconjunto do espaço amostral S de um experimento aleatório.
Exemplo:
No lançamento de um dado, onde S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, seja B o evento “obter um nº par na face
superior” temos: B = {2, 4, 6}
CÁLCULO DAS PROBABILIDADES
Dado um experimento aleatório, sendo S o seu espaço amostral, vamos admitir que todos os
elementos de S tenham a mesma chance de acontecer, chamamos de probabilidade de um evento A o
nº real P(A) tal que:
P(A) = n(A)
n(S) onde: n(A) = nº de elementos de A ;
n(S) = nº de elementos de S.
Exemplos:
Considerando o lançamento de um dado:
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- qual a probabilidade do evento A “obter um número par na face superior”.
Temos: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, logo n(S) = 6
A = {2, 4, 6}, logo n(A) = 3
Então: P(A) = 2
1
6
3
- qual a probabilidade do evento B “obter um nº menor ou igual a 6 na face superior”
Temos: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(S) = 6
B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(B) = 6
Então : P(B) = 16
6
- qual a probabilidade do evento C “obter um número 4 na face superior”
Temos: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(S) = 6
C = {4}, n( C ) = 1
Então : P (C) = 6
1
- qual a probabilidade do evento D “obter um número maior que 6 na face superior”
Temos: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(S) = 6
D = vazio, n(D) = 0
Então: P(D) = 06
0
Pelos exemplos acima temos:
a) A probabilidade do evento certo é igual a 1: P(S) = 1
b) A probabilidade do evento impossível é igual a zero: P(Ø) = 0
c) A probabilidade de um evento E qualquer é um nº real P(E) tal que: 1)(0 EP
EVENTOS COMPLEMENTARES
Sabemos que um evento pode ocorrer ou não. Sendo p a probabilidade de que ele ocorra
(sucesso) e q a probabilidade de que ele não ocorra (insucesso), para um mesmo evento existe sempre
a relação:
p + q = 1 → q = 1 – p
Assim, se a probabilidade de se realizar um evento é p = 1/5, a probabilidade de que ele não
ocorra é:
p + q = 1 → q = 1 – 1 = 4
5 5 Sabemos que a probabilidade de tirar 4 no lançamento de um dado é p(4) = 1/6. Logo, a probabilidade
de não tirar o 4 no lançamento de um dado é:
q = 1 – 1 = 5
6 6
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EVENTOS INDEPENDENTES Dizemos que dois eventos são independentes quando a realização ou a não realização de um
dos eventos não afeta a probabilidade da realização do outro e vice-versa, ou seja, então a
probabilidade da ocorrência de ambos é igual ao produto de suas probabilidades individuais, ou
“marginais” :
P = P1 . P2
Exemplos:
1) No lançamento de dois dados. A probabilidade de obtermos 1 no primeiro dado é:
P1 = 1/6
A probabilidade de obtermos 5 no segundo dado é:
P2 = 1/6
Logo, a probabilidade de obtermos simultaneamente, 1 no primeiro dado e 5 no segundo dado é:
Resolução:
P = 1/6 . 1/6 P = 1/36
2) Jogam-se duas moedas equilibradas. Qual a probabilidade de ambas darem cara?
Resolução:
É razoável admitir que os resultados das duas moedas sejam independentes um do outro. Além disso,
para moedas equilibradas, P(caras) = ½ . Logo, P(cara, e coroa) será:
1a jogada 2
a jogada ambas
½ . ½ = ¼
3) No caso de três moedas. Qual a probabilidade de três caras?
Resolução:
1a jogada 2
a jogada 3
a jogada ambas
½ . ½ . ½ = 1/8
4) Em 25% das vezes John chega em casa para jantar. Por outro lado, o jantar atrasa 10% das vezes. Se
não há qualquer relacionamento entre os atrasos de John e os atrasos do jantar, qual a probabilidade de
ocorrerem ambos os casos?
Resolução:
P(ambos atrasos) = P(John atrasado)P(jantar atrasado)
P(ambos atrasos) = (0,25)(0,10)
P(ambos atrasos) = 0,025 ou 2,5%
EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS
Dizemos que dois ou mais eventos são mutuamente exclusivos quando a realização de um
exclui a realização do(s) outro(s).
De modo geral, podemos dizer que se dois eventos são mutuamente exclusivo, a
probabilidade de que um ou outro se realize é igual a soma das probabilidades de ocorrência de
que cada um deles se realize:
P = P1 + P2
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EXEMPLOS:
1) No lançamento de um dado; a probabilidade de se tirar o 3 ou o 5 em uma jogada é:
Resolução:
p(3) = 1/6 p(5) = 1/6 logo
p(3 ou 5) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3
2) Numa empresa 30% dos funcionários são do primeiro turno, 35% do segundo, 20% do terceiro, e o
restante do quarto turno. Um dos funcionários ganhou R$ 1.000,00 numa loteria. Determine as
probabilidades:
a) de o funcionário ser do quarto turno;
b) de ser do primeiro turno;
c) de não ser do primeiro turno.
Resolução:
(a)
10 2
0 3
0 4
0
30 + 35 + 20 = 85 15
P(quarto) = 15/100 = 0,15 . 100 = 15%
(b) 1
0 = 30
P(primeiro = 30/100
P(primeiro) = 0,30 . 100 = 30%
(c)
20 3
0 4
0
20 + 35 + 15 = 70
P(não ser do primeiro) = 70/100 = 0,7 . 100 = 70%
E X E R C Í C I O S
1) Determine o complemento de cada um dos seguintes eventos:
a) ganhar num jogo de beisebol
b) ganhar num jogo de futebol
c) obter dois ou três no lançamento de um dado
2) Joga-se um dado equilibrado; determine a probabilidade de obter:
a) um seis R. 1/6 ou 16,66%
b) cinco, seis ou sete R. 2/6 ou 33,33%
c) um número par R. 3/6 ou 50%
d) um número menor que quatro R. 3/6 ou 50%
3) Há 50 bolas numa urna, distribuídas como segue:
COR NÚMERO
AZUL 20
VERMELHA 15
LARANJA 10
VERDE 5
TOTAL 50
Misturam-se as bolas e escolhe-se uma. Determine a probabilidade de a bola escolhida ser:
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a) verde R. 5/50 ou 10%
b) azul R. 20/50 ou 40%
c) azul ou verde R. 25/50 ou 50%
d) não vermelha R. 35/50 ou 70%
e) vermelha ou verde R. 20/50 ou 40%
f) laranja R. 10/50 ou 20%
g) não laranja R. 40/50 ou 80%
4) De um lote de 10 fusíveis, testa-se um. Determine P(defeituoso) se:
a) 1 fusível é defeituoso; R. 1/10
b) 2 fusíveis são defeituosos; R. 2/10
c) 3 fusíveis são defeituosos. R. 3/10
5)Em um lote de 12 peças, 4 são defeituosas. Sendo retirada uma peça, calcule:
a)A probabilidade dessa peça ser defeituosa . R. 1/3
b)A probabilidade dessa peça não ser defeituosa. R. 2/3
6) Considere uma população de igual número de homens e mulheres, em que sejam daltônicos 5% dos
homens e 0,25% das mulheres. Indique a probabilidade de que seja mulher uma pessoa daltônica
selecionada ao acaso nessa população. R. d
a)12,50% b) 14,28% c) 23,80% d) 4,76% e)25%
7) Numa sala de aula de um curso noturno, a distribuição das idades dos alunos é dada pelo gráfico
seguinte: no de alunos
5
4
3
2
1
16 17 18 19 20 21 idade dos alunos
Escolhido um aluno ao acaso, a probabilidade de sua idade ser no máximo 18 anos é: R. (c)
a) 4/5 b) 2/5 c) 3/5 d) 9/20 e) 1/4
8) Uma firma realizou um concurso para selecionar alguns universitários que pretendem fazer estágio.
A tabela apresenta as escolhas das carreiras dos estudantes inscritos, por sexo.
SEXO
Carreira Masculino Feminino
Economia 8 6
Contabilidade 6 5
Administração 11 4
Um desses estudantes é escolhido ao acaso, e sabe-se que ele é do sexo masculino. A probabilidade de
este estudante ter escolhido Contabilidade é de: R. (c)
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a) 6%
b) 15%
c) 24%
d) 30%
e) 19,05%
9)Baseado no problema da questão anterior, a probabilidade de este estudante ter escolhido
Contabilidade ou Economia é de: R. (a)
a) 56% b) 32% c) 24% d) 80.95% e) 19,05%
10) Com referência a tabela abaixo, qual a probabilidade de uma família aleatoriamente escolhida
tenha renda familiar entre $ 8.000 e $ 12.999? R. (e)
Tabela: Renda familiar anual de 500 famílias
Categoria Níveis de renda No de Famílias
1 Menos do que $ 8.000 60
2 8.000 ------ 12.999 100
3 13.000 ------ 19.999 160
4 20.000 ------ 29.999 140
5 30.000 e mais 40
TOTAL -------------------------- 500
a) 0,18 b) 0,28 c) 0,12 d) 0,32 e) 0,20
11) (ENEM/2005 - modificada) As ex-alunas de uma turma que completou o curso de Ciências
Contábeis há 10 anos se encontraram em uma reunião comemorativa. Várias delas haviam se casado e
tido filhos. A distribuição das mulheres, de acordo com a quantidade de filhos, é mostrada no gráfico
abaixo. Um prêmio foi sorteado pela instituição onde as mulheres concluíram o curso superior entre
todos os filhos dessas ex-alunas. A probabilidade de que cada criança premiada tenha sido um(a)
filho(a) único(a) é: R. (e)
(A) 1/3 (B) ¼ (C) 7/15 (D) 7/23 (E) 7/25
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MAIS EXERCICIOS
1) Determine a probabilidade de cada evento abaixo:
a) Um nº par aparecer no lançamento de um dado. R. ½;
b) No lançamento de um dado, qual é a probabilidade de sair o nº 6 ou um nº ímpar? R. 2/3
2) Uma loja dispõe de 12 geladeiras do mesmo tipo, das quais 4 apresentam defeitos. Se um freguês
vai comprar uma geladeira, qual a probabilidade de levar uma defeituosa? R. 1/3
3) Um lote é formado por 10 peças boas, 4 com defeitos e duas com defeitos graves. Uma peça é
escolhida ao acaso. Calcule a probabilidade de que:
a) ela não tenha defeitos graves; R. 7/8
b) ela não tenha defeitos; R. 5/8
c) ela, ou seja, boa ou tenha defeitos graves. R. 3/4
4) Suponha que um gerente de um grande complexo de apartamentos forneça as seguintes estimativas
de probabilidade sobre o número de vagas que haverá no próximo mês:
Vagas probabilidades
0 0,05
1 0,15
2 0,35
3 0,25
4 0,10
5 0,10
Forneça a probabilidade do evento.
a) sem vagas; R. 0,05
b) pelo menos quatro vagas; R. 0,20
c) duas vagas ou menos. R. 0,55
5) Determine a probabilidade de obter 3 ou menos pontos no lance de um dado. R. 1/2
6)Suponhamos uma urna com 10 bolas, 8 vermelhas e 2 verdes. Qual a probabilidade de escolher uma
verde numa única extração? R. 1/5
7) Jim e Tim acham uma velha moeda. Um exame detido revela que a moeda foi alterada, de modo
que uma face é mais provável que a outra. Jim decide verificar, e lança a moeda 40 vezes, obtendo cara
24 vezes. Em seguida, Tim lança a moeda 50 vezes, obtendo cara 28 vezes.
a) Pode-se dizer que Jim ou Tim tenha obtido uma verdadeira experiência de freqüência relativa?
Por quê?
b) Se o leitor tivesse de escolher um dos dois resultados, qual escolheria e por quê?
8) Um terço dos eleitores de certa comunidade é constituído de mulheres, e 40% dos eleitores votaram
na última eleição presidencial. Supondo que esses dois eventos sejam independentes, determine a
probabilidade de escolher aleatoriamente um eleitor da lista geral, que seja mulher e que tenha votado
na última eleição presidencial. R. 13,33%
9) As falhas de diferentes máquinas são independentes umas das outras. Se há quatro máquinas, e se
suas respectivas probabilidades de falha são 1%; 2%; 5% e 10% em determinado dia, calcule as
probabilidades:
a) de todas falharem em determinado dia; R. 0,00010%
b) de nenhuma máquina falhar. R. 82,95%
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49
FATORIAL
Chama-se fatorial de um número natural n > 1 e se indica por n! ao produto dos n fatores
decrescentes de n até 1.
n! = n(n – 1) ( n – 2) ( n – 3) ......3 . 2 . 1
onde n! lê-se n fatorial
EXEMPLOS
1. Calcule:
a) 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120
b) 4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24
c) 3!2! = (3 . 2 . 1) . (2 . 1) = 12
d) 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 60
2! 2.1
e) 8! = 8 . 7 . 6 . 5! = 336
5! 5!
OBS.: Por definição: 0! = 1 e 1! = 1
Números Bnomiais
Chama-se número binomial de classe x do número n, onde n e x são números naturais e x ≤ n,
a expressão:
n n!
x = x!(n – x)!
o “n” é o numerador e “x” o denominador do número binomial.
EXEMPLOS
1. 8 = 8! = 8! = 8 . 7 . 6 . 5! = 56
5 5!(8 –5)! 5!3! 5! 3 . 2. 1
2. 9 = 9! = 9! = 9 . 8! = 9
1 1!(9 –1)! 1!8! 1. 8!
3. 3 = 3! = 3! = 3! = 1
3 3!(3 –3)! 3!0! 3! . 1
4. 6 = 6! = 6! = 1
0 0!(6 –0)! 1 . 6!
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50
Distribuição Binomial
Vamos imaginar fenômenos cujos resultados só podem ser de dois tipos, um dos quais é
considerado como sucesso e o outro insucesso. Este fenômeno pode ser repetido tantas vezes quanto se
queira (n vezes), nas mesmas condições. As provas repetidas devem ser independentes, isto é, o
resultado de uma não deve afetar os resultados das sucessivas. No decorrer do experimento, a
probabilidade p do sucesso e a probabilidade de q (q =1- p) do insucesso, manter-se-ão constantes.
Resolveremos problemas do tipo: determinar a probabilidade de se obter x sucessos em n
tentativas. Nessas condições X é uma variável aleatória discreta que segue uma distribuição binomial.
Fórmula:
P(x) = xn
q.x
p.x
n
P(x) = é a probabilidade de que o evento se realize x vezes em n provas.
n = nº de vezes que o experimento aleatório é repetido
x = nº de sucessos em n tentativas
p = é a probabilidade de que o evento se realize em uma só prova = sucesso.
q = é a probabilidade de que o evento não se realize no decurso dessa prova = insucesso.
n
x é o coeficiente binomial de n sobre x, igual a )!(!
!
xnx
n
Variância - S2 = n.p.q
Desvio padrão – S = 2s
OBS: O nome binomial é devido à fórmula, pois representa o termo geral do desenvolvimento do
binômio de Newton:
Fórmula do Termo geral
(p + q)n
= n pxq
n-x + n p
1q
n-1 + n p
2q
n-2 + n p
3 q
n-3 + ... + n p
nq
0
0 1 2 3 n
EXEMPLOS
1) Uma moeda é lançada 5 vezes seguidas e independentes. Calcule a probabilidade de serem obtidas 3
caras nessas 5 provas.
Resolução:
n = 5 x = 3 p = 1/2 q = 1 - (1/2) = 1/2
P(x=3) = 5 . (½)3 . (1/2)
5-3
3
P(x=3) = 5 . (1/8) . (1/4)
3
P(x=3) = 5 . (1/32)
3
Métodos Quantitativos Aplicados – 4ª edição - Elaboração: Prof. Dr. Paulo Sergio Pereira da Silva
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51
P(x=3) = 5 = 5! . 0,03125
3 3!(5 –3)!
P(x=3) = 5 = 5 . 4 . 3!
3 3! 2!
P(x=3) = 5 = 5 . 4 = 20 = 10
3 2 . 1 2
P(x=3) = 10 . 0,03125
P(x=3) = 0,3125 . 100 = 31,25%
2) Uma empresa produz 10% de peças defeituosas. As peças são embaladas em caixas que contém 12
peças. Calcule a probabilidade de um cliente comprar uma caixa contendo:
a) nenhuma peça defeituosa;
b) uma peça defeituosa.
Solução:
1. E: examinar uma peça D P(D) = 0,1
N P(N) = 0,9
2. n = 12 repetições independentes de E.
3. Se convencionarmos D como sucesso, então estamos interessados no item a na ocorrência de 0
sucesso.
P(x =0) = 12 (0,1)0 (0,9)
12 = 0,2824 ou 28,24%
0
No item b estamos interessados na ocorrência de 1 sucesso.
P(x =1) = 12 (0,1)1 (0,9)
11 = 12 (0,1 ) ( 0,3138106) = 0,37657 0u 37,66%
1
3) Um levantamento efetuado na carteira de uma agência bancária indicou que 20% dos títulos eram
pagos com atraso. Se em determinado dia foram pagos 20 títulos da carteira, determine a probabilidade
que: No máximo dois sejam pagos com atraso.
Solução: No máximo dois sejam pagos com atraso.
E: Sem Atraso: SA P(SA) = 0,8
Com Atraso: CA P(CA) = 0,2
n = 20 repetições independentes de E.
considerando como sucesso CA, estamos interessados na ocorrência de 0,1 ou 2 sucessos.
P[x < 2] = P[0] + P[1] + P[2]
P[x < 2] = 20 (0,2)0
(0,8)20
+ 20 (0,2)1 (0,8)
19 + 20 (0,2)
2 (0,8)
18
0 1 2
P[x < 2] = 0,0115 + 20(0,2)(0,0144) + 190(0,0400)(0,01800)
P[x < 2] = 0,01150 + 0,05760 + 0,13680
P[x < 2] = 0,2059 ou 20,59%
OBS.: 20! = 190
2
Métodos Quantitativos Aplicados – 4ª edição - Elaboração: Prof. Dr. Paulo Sergio Pereira da Silva
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52
E X E R C I C I O S
1) Calcule:
a) 6! b) 3! 4! c) 5! + 2! d)4! – 3! e)3! + 5! R. a) 720; b) 144; c)122; d) 18; e) 126;
2) Calcule:
a) 9 b) 7 c) 3 R. a) 36; b) 21; c) 3
2 2 1
3) Determine a probabilidade de obtermos exatamente 3 caras em 6 lances de uma moeda. R. 0,3125 ou 31,25%
4) Considere um experimento binomial com dois ensaios e p = 0,4.
a) Calcule a probabilidade de um sucesso, f(1). R. 48%
b) Calcule f(0). R. 36%
c) Calcule f(2). R. 16%
d) Encontre a probabilidade de pelo menos um sucesso. R. 64%
e) Encontre a variância e o desvio padrão. R. 0,48 e 0,6928
5) Considerando as decisões de compra dos próximos três cliente que entram na loja de roupas “Leve
Tudo”. Com base em experiências passadas, o gerente da loja “Leve Tudo”estima que a probabilidade
de qualquer um dos clientes comprará é de 0,30.Calcular a probabilidade de que nenhum cliente faça
uma compra; exatamente um cliente faz uma compra; exatamente dois clientes fazem uma compra e
todos os três clientes fazem uma compra. R. f(0) = 0,343; f(1) = 0,441; f(2) = 0,189; f(3) = 0,027
6) Considerando o problema com 3 clientes da loja “Leve Tudo”, vemos que a variância e desvio-
padrão para o número de clientes que fazem uma compra são de? R. 0,63 e 0,79
7) Se considerarmos a estimativa de probabilidade que qualquer um dos clientes que entra na loja
“Leve Tudo” seja de 0,30, a probabilidade de fazer exatamente 4 vendas a 10 clientes que entram na
loja é ? R. f(4) = 0,2001 ou 20,01%
8) Para os próximos 1000 clientes que entram na loja “Leve Tudo”, a variância e o desvio–padrão para
o número de clientes que fazem uma compra é de? R. 210 e 14,49
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53
DISTRIBUIÇÃO NORMAL DE PROBABILIDADES
f(x)
x
“x = s possui um máximo para z = 0, e neste caso sua ordenada 0,39”
f(x)
x
-s
+ s
“f(x) tem dois pontos de inflexão cujas abscissas valem -s
e
+ s”
Cálculo de Probabilidades
A probabilidade de P[a < x < b] é a área da região sob a curva definida pelo intervalo ]a,b[.
f(x)
x
a b
A determinação desta área usando-se o cálculo integral é bastante complicada.
Para superar esta dificuldade, uma particular distribuição normal z com média =0 e s (z) =1
foi utilizada.
Uma tabela contendo os valores positivos de z e a área compreendida sob a curva entre 0 e z foi
construída.
z: f(z)
z
0 z
Esta distribuição foi escolhida pelo fato de apresentar os parâmetros mais simples.
Qualquer outra distribuição normal x com média e desvio-padrão s pode ser transformada,
para efeito do cálculo de área, na distribuição normal padrão z, através da mudança de variável:
Z = X – μ
S
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54
Onde:
μ= np (média)
S = 2s (desvio padrão)
Propriedades da distribuição normal
1ª - A variável aleatória X pode assumir todo e qualquer valor real.
2ª - A representação gráfica da distribuição normal é uma curva em forma de sino, simétrica em torno
da média, que recebe o nome de curva normal ou de Gauss.
3ª - A área total limitada pela curva e pelo eixo das abscissas é igual a 1, já que essa área corresponde à
probabilidade de a variável aleatória X assumir qualquer valor real.
4ª - A curva normal é assintótica em relação ao eixo das abscissas, isto é, aproxima-se indefinidamente
do eixo das abscissas sem, contudo, alcançá-lo.
5ª - Como a curva é simétrica em torno da média, a probabilidade de ocorrer valor maior que a média é
igual à probabilidade de ocorrer valor menor do que a média, isto é, ambas as probabilidades são
iguais a 0,5 ou 50%. Cada metade da curva representa 50% de probabilidade.
Conhecendo-se a área especificada na tabela, qualquer outro tipo de área poderá ser calculada
usando-se a simetria da curva.
Uso de Tabela – distribuição z
Exemplo 01:
Calcule a probabilidade de a variável normal padrão z assumir valores entre 0 e 1.
Solução:
z: f(z)
z
0 1
Note que a área entre zero e um valor positivo é exatamente a área fornecida pela tabela.
- Entra-se na tabela na 1a coluna z vai até o 1 têm-se o correspondente na 2
a coluna 0,00
O valor da área correspondente a z = 1,00 é 0,3413. Portanto, P(0<z<1) = 0,3413.
Exemplo 02:
Calcule a probabilidade de a variável normal padrão z assumir valores maiores que 1.
Solução:
z: f(z)
z
0 1
Observe que o valor tabelado na distribuição normal padrão é o valor da área entre 0 e 1.
No entanto, pela simetria da curva, a área à direita de zero é igual a 0,5.
Portanto, P(z > 1) = 0,5 – P(0 < z < 1)
P(z >1) = 0,5 – 0,3413
P(z >1) = 0,1587
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Exemplo 03:
Calcule a probabilidade de a variável normal padrão z assuma o valor 1.
Solução:
Como neste caso, o intervalo se reduz a um ponto, a área é zero.
Assim, P(z = 1) = 0
De um modo geral, a probabilidade de a variável z assumir um único valor é sempre zero.
Exemplo 04:
Calcule a probabilidade de a variável normal padrão z assumir um valor menor que –1.
Solução:
z: f(z)
z
-1 0
Pela simetria a área da esquerda –1 é igual à área da direita de 1.
Assim, P(z < - 1) = P(z > 1)
P(z < - 1) = 0,5 – 0,3413 P(z < - 1) = 0,1587
Exemplo 05:
Deseja-se a probabilidade P( -2,55 < z < 1,2).
Solução:
z: f(z)
z
-2,55 0 1,2
Entra-se na tabela, com o valor 1,2 na 1a coluna(z) e 0,00 na 1
a linha, obtendo 0,3849.
Lembrando a propriedade da simetria em relação a z = 0, entra-se com 2,5 na 1a coluna e 0,05 na 1
a
linha, obtendo 0,4946. Portanto,
P(-2,55 < z < 1,2) = 0,3849 + 0,4946
P(-2,55 < z < 1,2) = 0,8795
Exemplo 06:
Uma variável aleatória x normal apresenta média 20 e desvio-padrão 3. Calcule P(20< x< 23).
Solução:
x: f(x)
x
20 23
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Usando a mudança de variável:
z = x –
s
Obtemos os valores de z correspondentes aos pontos 20 e 23:
z = 20 – 20 = 0
3
z = 23 – 20 = 1,00
3
A área entre os pontos 20 e 23 na distribuição de x é a mesma área entre os pontos 0 e 1 na
distribuição de z. desta forma , P(20< x< 23) = P(0 < z < 1,00).
Este valor é obtido diretamente na tabela consultando-se o valor z = 1,00.
Assim, P(20 < x <23) = 0,3413.
E X E R C I C I O S
1. Deseja-se a probabilidade de P(z 1,93). R. 2,68%
2. As alturas dos funcionários de determinada empresa são normalmente distribuídas com média
1,60m e desvio-padrão 0,30m. Encontre a probabilidade de um funcionário medir:
a) entre 1,50 e 1,80m; R. 37,47%
b) mais de 1,75 m; R. 30,85%
c) menos de 1,48m. R. 34,46%
3. A duração de 500 componentes eletrônicos tem média 800 dias e desvio-padrão 35 dias. Calcular a
probabilidade de esse componente durar:
a) entre 700 e 900 dias; R. 99,56%
b) mais que 800 dias. R. 50%
4. O salário mensal dos operários industriais é distribuído normalmente em torno de uma média de
R$180,00 com desvio- padrão de R$ 25,00. Pede-se que encontre a probabilidade de um operário ter
salário mensal situado entre R$ 150,00 e R$ 178,00. R. 41,68%
5. Determinada máquina enche latas baseada no peso bruto com média 1kg e desvio-padrão 45g.
Determine a probabilidade de uma lata conter mais de 950g de peso líquido. R. 13,35%
6. Uma fábrica de pneumáticos fez um teste para medir o desgaste de seus pneus e verificou que ele
obedecia a uma distribuição normal, de média 48.000 km e desvio-padrão 2.000 km. Calcular a
probabilidade de um pneu escolhido ao acaso:
a) dure mais que 46.000 km; R. 15,87%
b) dure entre 45.000 e 50.000 km. R. 77,45%
7. A média dos diâmetros internos de uma amostra de 200 arruelas produzidas por uma certa máquina
é 0,502 polegadas e o desvio padrão é 0,005 polegadas. A finalidade para a qual essas arruelas são
fabricadas permite a tolerância máxima, para diâmetro, de 0,496 a 0,508 polegadas; se isso não se
verificar, as arruelas serão consideradas defeituosas. Determinar a porcentagem de arruelas defeituosas
produzidas pela máquina, admitindo-se que os diâmetros são distribuídos normalmente. R. 76,98% e
23,02%
8. Os salários dos bancários são distribuídos normalmente, em torno da média R$ 10.000,00, com
desvio padrão de R$ 800,00. Calcule a probabilidade de um bancário ter o salário situado entre R$
9.800,00 e R$ 10.400,00. R. 29,02%
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57
TABELA : Áreas para a Distribuição Normal Padronizada
x
0 z
Cada casa na tabela dá a proporção sob a curva inteira entre z = 0 e um valor positivo de z. As áreas
para os valores de z negativos são obtidos por simetria.
z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359
0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753
0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141
0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517
0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879
0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224
0,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2518 0,2549
0,7 0,2580 0,2612 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852
0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133
0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389
1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3354 0,3357 0,3599 0,3621
1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830
1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015
1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177
1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319
1,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441
1,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545
1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633
1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4606
1,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767
2,0 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817
2,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857
2,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890
2,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916
2,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936
2,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952
2,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964
2,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974
2,8 0,4974 0.4975 0.4976 0.4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,4981
2,9 0,4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986
3,0 0,4986 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990
4,0 0,49997
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58
EXERCICIOS SUPLEMENTARES
Média/Mediana e Moda
Os dados
Número de
garrafas (fi)
320 300 280
1) Os dados da tabela abaixo, referem-se aos salários de 50
funcionários da empresa X. Com base nesses dados determine:
Salários(R$)
l L
Funcionários
(fi)
100|---200 2
200|---300 15
300|---400 6
400|---500 7
500|---600 6
600|---700 2
700|---800 1
800|---900 2
900|---1000 3
1000|---1100 4
1100|---1200 2
TOTAL 50
a) A média salarial. R. R$ 514,00
b) A moda salarial. R. R$ 259,00
c) A mediana. R. R$ 428,57
d) A freqüência percentual dos funcionários que recebem
salário inferior a R$ 600,00. R. 72%
e) A porcentagem de funcionários que recebem salário
abaixo de R$ 800,00. R. 78%
f) A porcentagem de funcionários que recebem salário
superior ou igual a R$ 500,00. R. 40%
g) A freqüência percentual da 4a classe. R. 14%
h) A amplitude da amostra. R. R$ 1100,00
i) A amplitude da classe. R. R$ 100,00
j) O valor numérico entre a média salarial e a moda.
R. R$ 255,00
k) Interprete a 6a classe da tabela demonstrativa (tabela
acima). Resposta livre
2) Cinco baldes contêm 4L de água cada um, três outros
contêm 2L de água cada um, e, ainda dois contém 5L de água
cada um. Se toda essa água fosse distribuída igualmente entre
esses baldes, com quantos litros ficaria cada um?
R. 3,6 litros
3) Numa empresa, dez operários têm salários de R$ 2000,00
mensais; doze têm salário de R$ 1.500,00 mensais e oito
operários têm salário de R$ 1.400,00 mensais. Qual é o salário
médio ponderado desses operários?
R. R$ 1640,00
4) Entre sessenta números, vinte são iguais a 5, dez são
iguais a 6, quinze são iguais a 8, dez são iguais a 12, e cinco
são iguais a 16. Determine a média aritmética ponderada
desses números. R. 8
5) As idades dos jogadores de um time de basquetebol são
18, 23, 19, 20 e 21 anos. Qual é a média de idade desses
jogadores?
R. 20,2 anos
6) O gráfico mostra a distribuição de uma amostra de
garrafas de refrigerantes e seus respectivos volumes em
mililitros.
Número de garrafas
400
200
100
0
a) Quantas garrafas compõem essa amostra?
R. 700 garrafas b) Qual a freqüência percentual da classe “300 ml”?
R. 57,14% aproximadamente c) qual a freqüência percentual da classe “280 ml”?
R. 14,28% aproximadamente d) qual a freqüência percentual da classe “320 ml”?
R. 28,57% aproximadamente. e) qual a diferença percentual entre a classe “300 ml” e a
classe “280 ml”?
R. 42,86%
f) qual é a classe modal? R. 300
7)Uma pessoa comprou 5 garrafas de suco de frutas, uma de
cada tipo. A tabela mostra o preço de cada garrafa de suco. SUCOS MARACUJÁ LARANJA CAJU ABACAXI UVA
PREÇO
POR
GARRAFA
R$
5,70
R$
3,50
R$
2,30
R$
3,20 ?
Sabendo que nessa compra o preço médio de uma garrafa foi
de R$ 3,80, pode-se concluir que o preço da garrafa de suco
de uva é: R. (c)
a) R$ 3,80 b) R$ 4,20 c) R$ 4,30 d) R$ 4,70
e) R$ 4,90
Volume(ml)
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Correlação e Regressão
1) Determine a equação de ajuste dos dados da tabela a seguir: R. Y = 0,108x – 0,93
X 30 34 28 29 33 45 30 28 28 43 45
Y 2 3 2 3 4 4 3 1 1 4 3
2) Para saber se a temperatura de armazenagem influi na potência do produto, 12 amostras foram
guardadas a diferentes temperaturas. Depois de 20 dias, mediu-se a potência de cada produto. Os
resultados foram:
Temperatura(X) 30 40 30 35 40 50 70 90 90 70 90 70
Potencia(Y) 39 40 43 37 39 26 18 20 17 27 15 23
Pede-se: a) A equação estimativa do ajustamento. R. Y = - 0,405x + 52,5
b) Faça a estimativa para X(temperatura) = 20 e X(temperatura) = 95 R. 44,40 e 14,02
3) Numa loja, o gerente resolveu verificar qual é a tendência referente às vendas. Para isso, coletou
uma amostra de 12 vendas com seus respectivos preços em reais:
Vendas(X) 30 25 32 20 15 18 25 30 18 23 25 32
Preços(Y) 200,00 150,00 210,00 110,00 90,00 105,00 180,00 210,00 110,00 140,00 170,00 230,00
a)Determine a reta de estimação. R. Y = 8,10492x – 39, 1451
b)Se a loja vender 21 peças ou 35 peças, qual deverá ser o preço estimado? R. R$ 131,06 e R$ 244,53
c)Construir o gráfico de dispersão.
4) Uma estudante de marketing conduz um estudo para determinar se existe relação linear entre o peso
de uma pessoa (em libras) e o consumo diário de água (em onças). Os dados estão dispostos na tabela a
seguir. Organize os dados em mapa (gráfico) de dispersão e descreva o tipo de correlação.
PESO(X) 102 119 124 141 142 154 201 220
AGUA(Y) 50 32 82 64 54 21 86 39
R. ao construir o gráfico nota-se que não existe correlação linear
5) Um contador conduz um estudo para determinar se existe uma relação linear entre o dinheiro gasto
em propaganda e as vendas de uma companhia. Os dados estão dispostos na tabela à seguir:
Gasto com
propaganda (milhares
de dólares), X
Vendas da empresa
(milhares de dólares),
Y
X . Y X2 Y
2
2,4 225
1,6 184
2,0 220
2,6 240
1,4 180
1,6 184
2,0 186
2,2 215 SOMA=
Pede-se :
a) Construir o mapa de dispersão.
b) Existe relação linear? R. Sim
c) Calcule o coeficiente de correlação. R. aproxi. 0,913
d) O que você pode concluir?
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Cálculo de Probabilidade
1) Se extrairmos uma só bola de uma urna com 321 bolas, qual a probabilidade de extrair qualquer
delas? R. 0,3115%
2) Os arquivos de uma companhia imobiliária revelam que, num período de 16 dias, a frequência de
casas vendidas por dia foi:
Número
vendido
Número dias
0 3
1 2
2 5
3 6
TOTAL 16
Se admitirmos que o passado é representativo do futuro (o que nem sempre é o caso), determine a
probabilidade na tabela acima: R. P(0) = 18,75%; P(1) = 12,50%; P(2) = 31,25% e P(3) = 37,50%
3) Um carregamento de 10.000 caixas de lenços de papel chega a um depósito. Cada caixa traz a
indicação “400 unidades”; mas na verificação de uma amostra de 300 caixas, constam-se 45 com
menos de 400 unidades. Estime a probabilidade de qualquer caixa da remessa ter menos de 400
unidades. R. 15%
4) Uma pesquisa de tráfego levada a efeito das 5 às 6 horas da manhã num trecho de uma estrada
federal revelou que, de 200 carros que pararam para uma verificação rotineira de segurança, 25
tinham pneus em más condições. Estime a probabilidade de um carro que pare naquele trecho ter os
pneus bons. R. 87,5%
5) Os dados metereológicos de determinada localidade indicam que, nos últimos 100 anos, a
temperatura máxima do primeiro dia de verão excedeu a 750F em 79 anos. Estime a probabilidade de
que tal ocorra no primeiro dia de verão deste ano. R. 79%
EVENTOS INDEPENDENTES:
6) Uma firma exploradora de petróleo perfura um poço quando acha que há pelo menos 25% de
chance de encontrar petróleo. Ela perfura quatro poços. Dos quais atribui às probabilidades: 0,3; 0,4;
0,7 e 0,8. Determine:
a) Determine a probabilidade de nenhum dos poços produzirem petróleo, com base nas estimativas da
firma. R. 2,52%
b) Qual a probabilidade de os quatro poços produzirem petróleo? R. 6,72%
7) Mike tem dois velhos automóveis. Nas manhãs frias, há 20% de probabilidade de um deles não
“pegar” e 30% de outro não “pegar”. Qual a probabilidade de nenhum pegar? R. 6%
8) Rone aguarda com ansiedade o resultado de dois exames que acaba de fazer. Ele estima em 0,80 a
probabilidade de obter A em literatura Inglesa, e em 0,40 a probabilidade de obter A em Filosofia.
Determine as seguintes probabilidades:
a) grau A em ambos os exames. R. 32%
b) nenhum A. R. 12%
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EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS:
8.1) As probabilidades de 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ou sete acidentes num dia de semana entre 1 e 6 horas
da manhã são respectivamente, 0,08, 0,15, 0,20, 0,25, 0,18, 0,07 e 0,01. Determine as seguintes
probabilidades para um dia qualquer da semana naquele horário:
a) menos de três acidentes. R. 43%
b) três ou mais acidentes. R. 51%
c) exatamente três acidentes. R. 25%
d) nenhum acidente. R. 8%
e) mais de quatro acidentes. R. 8%
8.2) Suponha que temos um espaço amostral S = {E1, E2, E3, E4, E5, E6}, onde E1, E2, .........., E6
denotam os pontos amostrais. As seguintes atribuições de probabilidades se aplicam: P(E1) = 0,05,
P(E2 )= 0,20, P(E3) = 0,20, P(E4) = 0,25, P(E5) = 0,15, P(E6) = 0,10. seja:
A = {E1, E4 }
B = {E2, E4, E6 }
C = {E2, E3, E5 }
a) Encontre P(A) ou P(B). R. 85%
b) Encontre a P(C ) ou P (A) R. 85%
c) Encontre P(B) ou P(C) R. 110%
Fatorial
9) Se um torneio de basquetebol consiste de 36 times, de quantas maneiras podem ser conquistados os
três primeiros lugares? R. 42.840 maneiras
10) Um cardápio oferece cinco tipos de carne ou peixe, quatro de salada, três de batatas e duas de
vegetais. Quantos jantares são possíveis formar, com um tipo de cada um? R. 120 tipos
11) Calcule: 40 R. 780
38
12) De quantas maneiras podemos escolher um comitê de quatro pessoas dentre oito? R. 70 maneiras
13) Joga-se uma moeda sete vezes. De quantas maneiras podem ocorrer os seguintes resultados?
a) cinco caras. R. 21 maneiras
b) quatro caras. R. 35 maneiras
c) todas caras. R. 1 maneira
d) uma cara. R. 7 manerias
14) A Pizzaria Joe oferece as seguintes escolhas de pizza: presunto, cogumelo, pimentão, enchova e
mussarela. De quantas maneiras podemos escolher dois tipos diferentes de pizza? R. 10 maneiras
Distribuição Binomial
15) Um vendedor de automóveis novos constatou que 80% dos carros vendidos são devolvidos ao
departamento mecânico para corrigir defeitos de fabricação, nos primeiros 25 dias após a venda. De
11 carros vendidos num período de 5 dias, qual é a probabilidade de que:
a) todos voltem dentro de 25 dias para reparo. R. 8,59%
b) só um não volte. R. 23,62%
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16) Suponha que 8% dos cachorros-quentes vendidos num estádio de beisebol sejam pedidos sem
mostarda. Se sete pessoas pedem cachorro-quente, determine a probabilidade de que:
a) todos queiram mostarda. R. 0,000002097%
b) apenas um não a queira. R. 0,0016882%
c) determine a variância e o desvio padrão. R. 0,51520 e 0,7177
17) Sejam 0,10 a probabilidade de sucesso e 100 o número de observações. Determine à média e o
desvio padrão da distribuição. R. 10 e 3
18) Os registros de uma pequena companhia indicam que 40% das faturas por ela emitidas são pagas
após o vencimento. De 14 faturas expedidas, determine a probabilidade de:
a) nenhuma ser paga com atraso. R. 0,00078
b) no máximo duas serem pagas com atraso. R. 3,99%
c) ao menos uma ser paga com atraso. R. 3,91%
Distribuição Normal (Z):
19) As vendas de gasolina num depósito de atacado acusam a média de 40.000 galões diários, com
um desvio-padrão de 30.000 galões. Supondo adequada a distribuição normal, determine a
probabilidade de serem vendidos mais de 42.000 galões de gasolina por dia. R. 47,61%
20) Um fornecedor de ferro alega que seu produto apresenta resistência à tensão aproximadamente
normal com média de 50.000psi e desvio-padrão de 8.100psi. Supondo verdadeira a situação, que
percentagem de mensuração dará resultado inferior a 49.550psi? R. 48,01%
21) Uma variável aleatória está distribuída normalmente com uma média de 50 e um desvio-padrão
de 5. Qual é a probabilidade de a variável aleatória assumir um valor entre 40 e 60? R. 95,44%
22) O tempo médio que um assinante gasta lendo o jornal é de 49 minutos. Considere que o desvio-
padrão seja de 16 minutos e que os tempos sejam distribuídos normalmente. Qual é a probabilidade
de que um assinante gaste mais do que 30 minutos lendo o jornal? R. 11,90%
23) O volume de comercialização na Bolsa de Valores de Nova York tem crescido nos últimos anos.
Para as duas primeiras semanas de janeiro de 1998, o volume médio diário foi de 646 milhões de
ações(Barron’s, janeiro de 1998). A distribuição de probabilidade do volume diário é
aproximadamente normal com um desvio-padrão de cerca de 100 milhões de ações.
a) Qual é a probabilidade de que o volume de comercialização será menor do que 400 milhões de
ações? R. 0,69%
b) Durante que porcentagem de tempo o volume de comercialização excedeu 500 milhões de ações? R. 7,21%
24) Suponha que o salário médio dos funcionários de uma empresa possa ser razoavelmente
aproximado por uma distribuição normal com média de R$ 1.800,00 e desvio-padrão de R$ 700,00.
Que percentagem dos funcionários terá salários superior a R$ 2.600,00? R. 12,71%
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BEARZOTI, E.; OLIVEIRA, M. S. de. Estatística Básica. Apostila da Graduação da UFLA. 1998.
CRESPO, Antonio Arnot. Estatística Fácil – 17ª edição – São Paulo: Saraiva, 2002.
FARHAT, Cecília Aparecida Vaiano – Introdução a Estatística Aplicada – S. Paulo: FTD. 1998 -
(coleção ensino técnico).
GUERRA, M. J.; DONAIRE, D. Estatística Indutiva: Teoria e Aplicações. Livraria Ciência e
Tecnologia Editora, São Paulo: 1984.
IEZZI, G.E Outros – Fundamentos da Matemática Elementar – Vols 1 e 2 – Atual Editora, 1993.
MARTINS, G. de A. ; DONAIRE, D. Princípios de Estatística. Editora Atlas, São Paulo: 1991.
Medeiros e Outros – Matemática para os cursos de Administração, Economia e Ciências Contábeis.
Volume 1 - Editora Atlas – 5ª edição –SP.
NAZARETH, R. de S. Helena da – Curso Básico de Estatística. 4a ed., Ed. Ática, São Paulo:1991.
NERY, Chico E Totta, Fernando – Matemática Curso Completo – Editora Moderna ,1994 – SP.
SILVA, Luiza Maria O. da; MACHADO, Maria Augusta S. – Matemática Aplicada à Administração,
Economia e Contabilidade. São Paulo: Cengage Learning, 2010.
VIEIRA, S.; WADA, R. Estatística – Introdução Ilustrada. 2a ed., Editora Atlas, São Paulo: 1988.
TAN, S. T. matemática aplicada à Administração e Economia – 5ª edição. São Paulo: Thomson
Learning, 2001.
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MÉTODOS QUANTITATIVOS - GRADE: 1º SEMESTRE / 2013
CURSO: CIÊNCIAS CONTÁBEIS - 2º Semestre
Carga Horária Semanal 04 – Carga Horária Semestral 68 horas
O aluno poderá ter no máximo 25% de faltas durante o semestre
EMENTA
Apresentar uma introdução aos princípios gerais da estatística. Estatística Descritiva: Distribuição de
Frequência, Classes, Amplitude de Classes(intervalos). Medidas de Tendência Central, Medidas de Dispersão.
Probabilidade. Distribuição Binomial e Normal . Correlação Linear de Pearson. Retas de Regressão.
OBJETIVO
O aluno deverá estar apto a resolver problemas da vida prática: Pesquisar, Coletar, classificar, analisar
dados e informações. Identificar os problemas e resolvê-los com as ferramentas do cálculo estatístico
(fórmulas, tabelas, gráficos, planilhas), método prático: utilizando o raciocínio lógico-matemático,
aplicando os conceitos estatísticos na economia e em outras disciplinas, possibilitando maior acuidade
nos processos decisórios e na análise dos resultados dos diversos nichos de negócios no âmbito das
Ciências Contábeis.
Conteúdo
1. Apresentação do Conteúdo: Introdução à Estatística; Gráficos
2. Distribuição de Frequência;
3. Gráficos: Histograma e Polígono de Frequência, Polígono de Frequência Acumulada;
4. Medidas de Tendência Central: Média Aritmética, Moda e Mediana;
5. Separatrizes: Quartil, Decil e Percentil;
6. Medidas de Dispersão: Desvio Médio, Variância, Desvio Padrão e Coeficiente de Variação;
7. Correlação Linear e Reta de Regressão;
8. Probabilidade;
9. Distribuição Binomial;
10. Distribuição Normal.
METODOLOGIA DE ENSINO
A metodologia de ensino consiste em aulas expositivas, durante as quais são apresentados e discutidos os
conceitos, exercícios e suas aplicações principalmente na área econômica, busca-se a participação contínua do
corpo discente, visando dinamizar as aulas práticas e consolidar os conceitos, além de permitir avaliar o grau
da aprendizagem e absorção do discente em relação ao conteúdo ministrado.
SISTEMA DE AVALIAÇÃO:
A avaliação do aproveitamento do aluno é realizada por meio de tres instrumentos de avaliação, como
Av1,Av2 e Av3. A avaliação é expressa por nota(s) representadas numericamente, em escala de 0 (zero) a 10
(dez). As avaliações Av1, Av2, Av3, prova escrita sem consulta e individual. média de aprovação ≥ 6
Média = Av1 +(maior nota entre Av2 e Av3)
2
Além da nota mínima, o aluno tem que apresentar frequência mínima de 75% (setenta e cinco por cento).
- Avaliação substutiva será aplicada mediante concessão do regime domiciliar deferido e expedido pela
Secretaria.
BIBLIOGRAFIA BÁSICA
Fonseca, Jairo Simon da. Estatística Aplicada . Atlas. 1989.
Morettin, Pedro A.Estatística Básica. São Paulo. Saraiva, 2002.
Crespo, Antonio Arnot. Estatística Fácil. São Paulo. Saraiva, 2002.
Martins, Gilberto de Andrade. Estatística Geral e Aplicada. São Paulo, Atlas, 2002.
Silva, Ermes Medeiros da. Estatística para os Cursos de Economia, Administração e Ciências Contábeis. São
Paulo, Atlas, 1997.