Aula 0707.01. a
Se f x x( ) = −2 10, então:
• x f x f= ⇒ = = ⋅ − = −0 0 2 0 10 10( ) ( )
• f x x x( ) = ⇒ = − ⇒ =0 0 2 10 5
x
–10
f(x)
0 5
Portanto, os vértices do triângulo, que o gráfico da função f x x( ) = −2 10 forma com os eixos coordenados, são os pontos
( , )0 0 , ( , )5 0 e ( , )0 10− .
07.02. cTrata-se de um triângulo retângulo cujos catetos medem 5 u c. . ou
10 u c. . (observe a figura da questão anterior).
Assim, temos que:⋅= =5 10
25Área2
u.a.
07.03. eO valor de y duplica, quando duplica o valor de x, se, na lei de for-mação da função afim, o termo independente de x for nulo, ou seja, se a lei de formação for do tipo y a x= ⋅ , sendo a um número real
diferente de zero, pois a x a x⋅ = ⋅ ⋅( ) ( )2 2 .
Dentre as alternativas apresentadas, a única do tipo y a x= ⋅ , com
a ≠ 0, é y x= 5 .
07.04. cA reta é decrescente e y = 0 quando x =1. Portanto,
I. os valores de y diminuem à medida que os de x aumentam e, por isso, y x< ⇔ >0 1;
II. os valores de y aumentam à medida que os de x diminuem e, por isso, y x> ⇔ <0 1.
a) INCORRETO.Para x >1 , tem-se y < 0
b) INCORRETO.Para x ≥1 , tem-se ≤y 0
c) CORRETO.De II, segue que: y > 0 quando x <1
d) INCORRETO. f( , )0 09 0> , pois x y= < ⇒ >0 09 1 0,
e) INCORRETO.f( ) ,− >10 0 pois x = − <10 1
07.05. cSalário 800 4% das Vendas S 800 0,04 V= + ⇒ = + ⋅
07.06. dConsiderando que cada um utilize x metros de fio, • o Sr. José cobra J x x( ) ,= 4 5 reais.
• o valor L(x) cobrado pelo Sr. Luiz, em reais, é tal que L x ax b( ) = + , onde b indica o valor cobrado pelo orçamento (parte fixa) e a indi-ca quanto ele cobra por metro de fio instalado.De acordo com o gráfico, temos que L( )15 80= e L( ) .25 100=Substituindo esses valores em L x ax b( ) = + , obtemos o sistema
15 80
25 100
a b
a b
+ =+ =
, donde segue que a= 2 e b= 50. Portanto, o Sr.
Luiz cobra L x x( ) = +2 50 reais, sendo 50 reais o valor da parte fixa.
a) INCORRETO.50 60<
b) INCORRETO.O Sr. Cobra R$ ,2 00 por metro de fio instalado.
c) INCORRETO.Por metro de fio instalado, o Sr. José cobra mais do que o Sr. Luiz. Logo, a partir de algum valor de x não será vantajoso contratar o Sr. José. De fato:J x L x x x x( ) ( ) ,> ⇔ > + ⇔ >4 5 2 50 20
d) CORRETO.J L reais( ) ( )20 20 90= = .
07.07. a Considerando que a distância de Belo Horizonte até Inhotim é igual a x km, a distância total percorrida (ida e volta) é igual a 2 90⋅ +( )x km . Então:
( ) , ( ( ))
, ( )
, ( )
2 80 0 75 2 90 385
160 1 5 90 385
1 5 90 225
⋅ + ⋅ ⋅ + =+ ⋅ + =
⋅ + =
x
x
x
990 150
60
+ ==
x
x
07.08. b Supondo que A(x) e B(x) indicam os valores cobrados pelas em-presas A e B, respectivamente, passados x meses de manutenção, temos:
B x A x
x x
x
x x
( ) ( )<+ < +
<< ⇒ >
120 12 80 20
40 8
5 5
A empresa B será mais vantajosa que a A a partir do 5o. mês. 07.09. d
V t V t
t t
t
t
A B( ) ( )=+ = −
==
200 3 5000 3
6 4800
800 minutos
1Extensivo Terceirão – Matemática 3A
Resoluções 3AMatemáticaApostila especial de exercícios
07.10. d Lembre que o volume de 1 m3 equivale a 1000 litros.O gráfico (parte representada) é um segmento de reta. Logo, a va-riação do volume é proporcional à variação de tempo. Portanto:
1 03 0
25000
10003
25007 5 7 3
3mh
litrost
litrosh
litrost
t h h
−−
=−
= ⇒ = =, 00 min
07.11. a y mx n m= + ⇒ = taxa de varia�ª o mØdia taxa de variação média
Considerando que ( ; )1 6 e ( ; )3 2 são pontos do gráfico da função, temos:
m n
m nm
⋅ + =⋅ + =
⇒ = −1 6
3 22
Outra forma:
myx
y yx x
B A
B A
= =−−
=−−
= −∆∆
2 63 1
2
07.12. d Receita Custo Lucro
x x
x x
− =⋅ − + ⋅ =
− − =( ) ( )45 5000 25 4000
45 5000 25 40000
20 9000
450
x
x
==
07.13. a
As soluções da inequação − +
−>
xx
32 1
0 são soluções do sistema
− + >− >
x
x
3 0
2 1 0 ou do sistema
− + <− <
x
x
3 0
2 1 0, pois o numerador e o de-
nominador da fração − +
−xx
32 1
têm que ser ambos positivos ou am-
bos negativos.
• − + >
− >
⇒<>
⇒ < <x
x
x
xx
3 0
2 1 0
3
0 50 5 3
,,
• − + <
− <
⇒><
⇒x
x
x
x
3 0
2 1 0
3
0 5, esse sistema não admite solução.
• 0 5 3
1 2,
.< <
∈
⇒ = =x
xx ou x
• Soma das soluções = 1 + 2 = 307.14. d
Se, e somente se, ( )3 25 0x − ≥ e ( )5 2 0− ≥x , ou ( )3 25 0x − ≤ e
( )5 2 0− ≤x , então ( )( )3 25 5 2 0x x− − ≥ .
• 3 25 0
5 2 0
253
52
x
x
x
x
− ≥− ≥
⇒≥
≤
⇒ esse sistema não admite solução.
• 3 25 0
5 2 0
253
52
52
253
x
x
x
xx
− ≤− ≤
⇒≤
≥
⇒ ≤ ≤
• 52
253 3 4 5 6 7 8
≤ ≤
∈
⇒ =
x
xx ou
, , , , .
• A inequação ( )( )3 25 5 2 0x x− − ≥ admite 6 soluções inteiras.
07.15. a
R R kT
R k
k
k
= += −= − >
=
0
0
0
1
0 1 273
0 1 273 0
1273
( )
( )
( )pois R
07.16. b
x x xx x
x x
x
xx− < − < + ⇒
− < −− < +
⇒><
⇒ < <1 3 5 2 11 3 5
3 5 2 1
2
62 6
2 6 3 4 5< < ⇒ = = =x x x e x, são as 3 soluções inteiras da ine-
quação.07.17. b
Considerando que a temperatura siga a tendência de aumento li-near observada entre 1995 e 2010, e que em 2012 deverá ser igual a T, temos:
T
TT
−−
=−−
−= ⇒ = °
13 82012 2010
13 8 13 352010 1995
13 82
0 4515
13 86
, , ,
, ,, CC
07.18. d
5 25 5500
8 3501 210 5
1905
19071905 1907
n
n n
n
nn
+ >− + > −
⇒><
⇒ < <
Se n representa o número de foguetes, então n é um número na-tural.
1905 1907
1906< <
∈
⇒ =n
nn
07.19. a) Preço = (Valor fixo) + (R$ 0,80 por quilômetro rodado)
P x x
P x
( ) ( , ) ( , )
, ,
= + ⋅= +
3 20 0 8
3 20 0 8
b) P≥120
0 8 3 20 120
0 8 116 80
146
, ,
, ,
x
x
x
+ ≥≥≥
Para que, em uma corrida, o preço a ser cobrado não ultrapasse R$ 120,00, devem ser rodados, no máximo, 146 km.
07.20. x h0 30=
• A x x( ) = −720 10 e B x x( ) = +60 12
• A x B x( ) ( )0 0=
720 10 60 12
660 22
30
0 0
0
0
− ⋅ = + ⋅= ⋅=
x x
x
x h
2 Extensivo Terceirão – Matemática 3A
Aula 0808.01. d
Do gráfico, temos que yv = 3 e xx x
v =+
=+
=1 2
21 5
23.
O vértice da parábola é o ponto ( , )3 3 .
08.02. a Observando o gráfico da questão anterior, verifica-se que yv = 3 e que f x( ) ≤ 3 para todo x do domínio da função correspondente.
Então, 3 é o valor máximo que essa função assume.08.03. d
a) INCORRETO.A função é quadrática e o coeficiente de x2 é igual a 1 (e 1 > 0). Então, o gráfico da parábola tem concavidade voltada para cima.
b) INCORRETO.
f( )0 0 16 162= − = −
O gráfico intersecta o eixo das ordenadas no ponto ( , ).0 16−
c) INCORRETO.A função admite um ponto de mínimo, pois a parábola corres-pondente tem concavidade voltada para cima.
d) CORRETO.
f x x x x ou x( ) .= ⇒ − = ⇒ = ⇒ = = −0 16 0 16 4 42 2
e) INCORRETO.f x( )= 0 se x = 4 ou x = −4.
08.04. d
f x x x( ) = − +1
2022
xbav = − = −
⋅ −
=2
2
21
20
20
08.05. b f x x x
yav
( )
( )
= − +
= − − ⋅ ⋅ =
= − = −⋅
= −
2 5 2
5 4 2 2 9
49
4 298
2
2∆∆
08.06. b Se o ponto ( , )−1 2 pertence ao gráfico da função f x k x x( ) ( ),= ⋅ ⋅ + 3então:f k k k( ) ( ) ( )− = ⇒ ⋅ − ⋅ − + = ⇒ − = ⇒ = −1 2 1 1 3 2 2 2 1
08.07. a 2
2 2
2
máximo v
y 4x 24x
24 4 ( 4) 0 24
24h y
4a 4 ( 46 m
)3
= − +
∆ = − ⋅ − ⋅ =
∆= = − = − =⋅ −
08.08. e• p x receita⋅ =
( )600 10 5000
600 10 5000
60 500 0 10 50
2
2
− ⋅ =
− =
− + = ⇒ = =
x x
x x
x x x ou x
•
x p
x p
= ⇒ = − ⋅ =
= ⇒ = − ⋅ =
10 600 10 10 500
50 600 10 50 100
• Soma dos preços = + =500 100 600 reais
08.09. b O ponto de mínimo de uma função quadrática é o vértice da pará-bola correspondente. Portanto, nesse ponto de mínimo:
x xbav= = − = −
−⋅
=2
22 1
1
08.10. a
y x x
xba
y x x
v
v v v
= + +
= − = −⋅
= −
= ⋅ + ⋅ + = ⋅ −
+
4 4 1
24
2 412
4 4 1 412
2
22
( ) 4412
1 0⋅ −
+ =
A parábola tem vértice no ponto −
12
0, .
08.11. d
f x x x( ) = − + +2 12
A imagem dessa função é máxima quando:
x xbav= = − = −
⋅ −= =
21
2 112
0 5( )
,
a) INCORRETO. 0 5 3 2, ,∉ − −[ ]
b) INCORRETO. 0 5 2 1, ,∉ − −[ ]
c) INCORRETO. 0 5 1 0, ,∉ −[ ]
d) CORRETO. 0 5 0 1, ,∈[ ]
e) INCORRETO. 0 5 1 2, ,∉[ ]08.12. c
v
v
x kVértice (k, 9)
y 9
== ⇒ =
y x bx= + +6 152
∆∆
= − ⋅ ⋅ = −
= −
= −−⋅
= −−
⇒ = ⇒ =
b b
ya
b
bb b
v
2 2
2
22
4 6 15 360
4
9360
4 6
9360
24144 112 12ou b = −
A incógnita b pode ser igual a 12 ou a –12. A alternativa (c) é a única que apresenta um valor possível para a incógnita b: 12.
08.13. e
f x ax x
f y
y
aa
a
v
v
( )
Im( ) ,
( )
= − += − ∞[ [ ⇒ = −
= −
− = −
=
− − ⋅ ⋅
2
2
4 6
6 6
6
46
24
4 4
∆
∆
66 24
16 24 2413
=
− = ⇒ =
a
a a a
3Extensivo Terceirão – Matemática 3A
08.14. c f x g x
x x
x x x ou x
( ) ( )=
+ = +
= ⇒ = =
2 2
0 1
2
2
08.15. b
2
v v
Receita (preço unitário) (unidades vendidas)
R(x) (x) (86 2x)
R(x) 2x 86x
b 86Receita máxima "y " x x 21,5
2a 2 ( 2)
= ⋅
= ⋅ −
= − +
= ⇒ = = − = − =⋅ −
A receita será máxima quando o preço unitário for igual a R$ , .21 50
08.16. c
xx
2x
–x
y
y = 4 – x2
4 – x2
2
2
perímetro f(x) 2 (2x (4 x ))
f(x) 2x 4x 8
= = ⋅ + −
= − + +
2
máximo4 4 ( 2) 8
períme 10 utro máximo f(x)4a 4 2)
.c(
.∆ − ⋅ − ⋅= = − = − =
⋅ −
08.17. dConsiderando que as duas parcelas, cuja soma é igual a 10, são x e 10 – x, temos:
= = ⋅ −
= − +
∆ − ⋅ − ⋅= = − = − =⋅ −
2
2
máximo
produto f(x) x (10 x)
f(x) x 10x
10 4 ( 1) 0produto máximo f(x)
4a 4 ( 1)25
08.18. b
• yx x
= − +2
7525
yx x x x
x
ou
x
= ⇒ − + = ⇒ ⋅ − +
= ⇒
=
=0
7525
05 15
2 0
0
30
2
Portanto, yx x
= − +2
7525
é a equação da parábola de vértice C,
donde segue que xA = 30.
Observe a figura a seguir.
y (m)
x (m)
C
D
O 30 xB35
• A distância do ponto O ao ponto B é igual à distância entre as abscissas desses pontos. Portanto:d x x x xOB B O B B= − = − =0
• Pela simetria da parábola:x x d mB B OB− = − ⇒ = ⇒ =35 35 30 40 40
08.19. x =1
Na figura abaixo, além do triângulo destacado, considere o triângu-lo T, de vértices ( , ), ( , ) ( , )−2 0 2 0 0 3 e , e o retângulo R, cuja altura
está indicada por h.
2x
2x
3 – h
–x–2
4
3
h
O triângulo destacado, nessa figura, é semelhante ao triângulo T. Sendo assim, temos que:3
324
33 2
6 32
−= ⇒
−= ⇒ =
−h x h xh
x
• Área do retângulo R:
2
Área 2x h
6 3xÁrea 2x
2
Área f(x) 3x 6x
= ⋅− = ⋅
= = − +
Para que a área seja máxima, devemos ter:
x xbav= = − = −
⋅ −=
26
2 31
( )
08.20. a) Se no preço do pacote for dado um desconto de 1 real, então o lucro, por pacote vendido, passará a ser de 2 1 1− = real e o su-permercado aumentará sua venda em 400 1 400⋅ = pacotes por semana, passando a vender, então, 400 400 800+ = pacotes na semana.Nesse caso, o lucro desse supermercado, em uma semana, será igual a 800 1 800⋅ = reais.
b) Se for dado um desconto de x reais, no preço do pacote, então o lucro, por pacote vendido, será igual a ( )2− x reais e o supermer-cado passará a vender 400 400+ x pacotes por semana.Na semana considerada, teremos:Lucro x x
Lucro x x
= − ⋅ +
= − + +
( ) ( )2 400 400
400 400 8002
vb 400
Lucro máximo x x 0,52a 2 ( 400)
⇒ = = − = − =⋅ −
== − =
Desconto R$ 0,50
Preço do pacote R$ 6,00 R$0 R$,50 5,50
4 Extensivo Terceirão – Matemática 3A
Aula 0909.01. d
1+ + + + +
–1 0+ + + + +
– – – –– – – –
Do gráfico, temos que: I. y = 0 se x = −1 ou se x =1;
II. y < 0 se x < −1 ou se x >1;III. y > 0 se − < <1 1x .De III, é correto afirmar que y > 0 para todos os valores de x per-
tencentes ao intervalo −] [1 1, 09.02. e
Observe, na questão anterior, que y < 0 se x < −1 ou se x >1. Ou
seja, y > 0 para todos os valores de x pertencentes ao intervalo
−∞ −] [ ∪ +∞] [, ,1 1 .
09.03. a
x x ou x2 4 0 2 2− = ⇒ = − =
Observe a figura a seguir.
2–2
y = x2 – 4
+ + +– – – –
+ + +
x x2 4 0 2 2− ≤ ⇒ − ≤ ≤09.04. e
f x a x x x x( ) ( ) ( )= ⋅ − ⋅ −1 2 Do gráfico, temos que x 1 1= e x 2 3= . Então:f x a x x( ) ( ) ( )= ⋅ − ⋅ −1 3
O ponto ( , )0 3 pertence ao gráfico da função. Logo, f( ) .0 3= f a a( ) ( ) ( )0 3 0 1 0 3 3 1= ⇒ ⋅ − ⋅ − = ⇒ =
Portanto, f x x x( ) ( )( )= − −1 3
09.05. c Se todos os pontos do gráfico da função f x( ) estão acima do eixo x, então f x( )> 0 para todos os valores reais de x. Portanto, não existe x real tal que f x( ) .< 0
09.06. e
x x x ou x2 3 0 0 3− = ⇒ = =
30
y = x2 – 3x
+ + +– – – –
+ + +
x x x2 3 0 0 3− ≤ ⇒ ≤ ≤Portanto, as soluções inteiras da inequação são os elementos do
conjunto 0 1 2 3, , ,{ }.
09.07. b
x x x ou x2 32 252 0 14 18− + = ⇒ = =
1814
y = x2 – 32x + 252
+ + +– – – –
+ + +
x x x2 32 252 0 14 18− + < ⇒ < <
O único número inteiro par, pertencente a esse intervalo, é 16.
09.08. d f x a x x x x( ) ( )( )= − −1 2
Se x 112
= e x 2 1= , então f x a x x( ) ( )= −
−
12
1
Mas f( ) .0 1= Logo:
f a
a a
( ) ( )
( )
0 012
0 1
112
1 2
= −
−
= −
− ⇒ =
Assim, segue que:
f x x x
f x x x f x x x
( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
= −
−
= − − ⇒ = − +
212
1
2 1 1 2 3 12
09.09. c f x x x( ) ( ) ( )= − ⋅ −1 3
• x∈[ ]0 5,f f( ) ( ) ( ) ( )0 0 1 0 3 0 3= − ⋅ − ⇒ =
f f( ) ( ) ( ) ( )5 5 1 5 3 5 8= − ⋅ − ⇒ =
• f x x x x ou x( ) ( ) ( )= ⇒ − ⋅ − = ⇒ = =0 1 3 0 1 3
x xv v=+
⇒ =1 3
22
y f yv v= ( ) = −( ) −( ) ⇒ = −2 2 1 2 3 1.
• Dos resultados anteriores, concluímos que
Im( ) ,f = −[ ]1 8 ,conforme podemos verificar no gráfico esboçado a seguir.
8
1 2 3 5
–1
xv
yv
xv
yv
5Extensivo Terceirão – Matemática 3A
09.10. a 2
máximo v
máximo
2
máximo
máximo
L(x) x 48x 10
L(x) "y "
L(x)4a
48 4 ( 1) ( 10)L(x)
4 ( 1)
L(x) 566
R$ 566000,566 1000 566000 Lucro má 00ximo
= − + −=
∆= −
− ⋅ − ⋅ −= − ⋅ − =
× = ⇒ =
09.11. c
x x x ou x2 10 21 0 3 7− + = ⇒ = =
73
y = x2 – 10x + 21
+ + +– – – –
+ + +
x x x2 10 21 0 3 7− + ≤ ⇒ ≤ ≤
As soluções inteiras dessa inequação são os elementos do conjunto
3 4 5 6 7, , , ,{ }.
A inequação x x2 10 21 0− + ≤ admite exatamente 5 soluções in-
teiras. 09.12. d
Os pontos (0, 0), (3, 9) e (6, 0) pertencem ao gráfico da função
y ax bx c= + +2 . Então:
• ( , )0 0 0 0 0 02⇒ = ⋅ + ⋅ + ⇒ =a b c c
y ax bx= +2
• ( , )3 9 9 3 3 3 32⇒ = ⋅ + ⋅ ⇒ + =a b a b
• ( , )6 0 0 6 6 6 02⇒ = ⋅ + ⋅ ⇒ + =a b a b
• 6 0
3 31 6
a b
a ba e b
+ =+ =
⇒ = − =
• a b c+ + = − + + =1 6 0 5
Outra forma:
y ax bx c a x x x x= + + = − −21 2( )( )
• x e x1 20 6= = :
y a x x
y a x x
= − −= ⋅ ⋅ −
( )( )
( )
0 6
6
• x y= ⇒ =3 9 :
y a x x
a a y x x
= ⋅ ⋅ −= ⋅ ⋅ − ⇒ = − ⇒ = − ⋅ −
( )
( ) ( )
6
9 3 3 6 1 6
• y x x= − ⋅ −( )6
y x x= − +2 6
ax bx c x x a b e c2 2 6 1 6 0+ + = − + ⇒ = − = =, .
• a b c+ + = − + + =1 6 0 5
09.13. a
f x ax bx c( ) = + +2
• Se o gráfico corta o eixo das ordenadas em y = 25 , então c = 25,
donde segue que
f x ax bx( ) = + +2 25
• O eixo de simetria do gráfico está na reta x = 3. Portanto, x v = 3 .
xba
b av = ⇒ − = ⇒ = −32
3 6
Substituindo b por −6a, na lei de formação da função, temos:
f x ax ax( ) = − +2 6 25
• Se a equação f x( )= 0 tem uma raiz igual a 1, então:
f a a a b( )1 0 1 6 1 25 0 5 302= ⇒ ⋅ − ⋅ + = ⇒ = ⇒ = −
Assim, temos que f x x x( ) = − +5 30 252
• a > ⇒0 a parábola correspondente tem concavidade voltada
para cima e, então,
Im( ) ,f y v= + ∞[ [ .
x f x yv v v= ⇒ = ⋅ − ⋅ + ⇒ = −3 5 3 30 3 25 202( )
Então: Im( ) ,f = − + ∞[ [20
09.14. d Receita (preço da passagem) (número de passageiros)
R(x) (300 0,75x) x
= ⋅
= − ⋅
( , )
,
300 0 75 0
0
300 0 75 0 400
− ⋅ = ⇒=
− = ⇒ =x x
x
ou
x x
x v =+
=0 400
2200
Se o avião tem apenas 180 lugares, então a receita máxima possível é obtida quando x =180 , conforme indicado a seguir.
180 200
R(x)
x
R(180)
Receita máxima R(180)
R(180) (300 0,75 180) 180
R(180) 29700
Receita máxi R$29700,ma 00
== − ⋅ ⋅=
=
09.15. d
y x bx c f x x bx c
f k b c k c k
= − − + ⇒ = − − +
= ⇒ − − ⋅ + = ⇒ =
2 2
20 0 0
( )
( )
Então: f x x bx k( ) = − − +2
k k> ⇒ − <0 0
Se x k1 = − , para qualquer k > 0 , então:
x xca
k xk
x1 2 2 211⋅ = ⇒ − ⋅ =
−⇒ =
yv
6 Extensivo Terceirão – Matemática 3A
09.16. b
x x2 210000 10000 0< ⇒ − <
x x2 10000 0 100− = ⇒ = ou x = −100.
100–100
y = x2 – 10000
+ + +– – – –
+ + +
x x2 10000 0 100 100− < ⇒ − < <
Temos então que:
x x∈ <{ }= − − −{ }� … …/ , , , , , , , ,2 10000 99 98 1 0 1 2 99
O número de elementos desse conjunto é 199.09.17. e
f x x x( ) = + +4 5 12
4 5 1 014
2x x x+ + = ⇒ =−
ou x = −1
xbav = − = −
⋅= −
25
2 458
yav = − = −
− ⋅ ⋅⋅
= −∆4
5 4 4 14 4
916
2
Observe, na figura a seguir, o triângulo AVB.
V(vértice da parábola)
–114
–
916
– = yv
1 9 3 9(1) 0
4 16 4 16Área2
27u.a.
122 8
− − ⋅ − ⋅ = = =
09.18. c L x R x C x
L x x x x
L x x x
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
= −
= − − +
= − + −
60 10 40
50 400
2
2
• − + − = ⇒=
=x x
x
ou
x
2 50 400 0
10
40
• xv =+
=10 40
225
• y L xv v= = − + ⋅ − =( ) 25 50 25 400 2252
• 0 x 50≤ ≤ e f f( ) ( )50 0 400= = −
Com essas informações, podemos esboçar o gráfico a seguir:
10 25 40 50
L(x)
x
225
–400
Agora, vamos analisar as afirmativas. I. CORRETO.
L x( )≥ 0 para 10 40≤ ≤x
II. CORRETO.Observe, no gráfico, que se 0 251 2≤ < ≤x x , então f x f x( ) ( ).1 2< Ou seja: a função lucro L(x) é crescente no intervalo [0, 25].
III. INCORRETO.Para que a fábrica tenha o maior lucro possível, deve produzir 25 itens por dia.
IV. CORRETO.f( )50 400= − ⇒ se a fábrica produzir 50 itens num único dia,
terá prejuízo.09.19. a) 2 raízes reais;
b) m ou m≤ ≥4 16 ( )m∈
Se 8 1
1x
xmx
−+
= , com x ≠ −1, então:
8 1 1
8 1 8 1 02 2
x x mx
x mx mx mx m x
− = + ⋅
− = + ⇒ + − + =
( )
( )
a) Para m=1, temos:
x x2 7 1 0− + =
∆ = − − ⋅ ⋅ =( )7 4 1 1 452
∆ > ⇒0 a equação admite 2 raízes reais.
b) A equação mx m x2 8 1 0+ − + =( ) admite ao menos uma raiz real
se, e somente se, ∆ ≥ 0. Ou seja, se:
( )m m
m m
− − ⋅ ⋅ ≥
− + ≥
8 4 1 0
20 64 0
2
2
• m m x2 20 64 0 4− + = ⇒ = ou x =16
164
y = m2 – 20m + 64
+ + +– – – –
+ + +
m m m ou m2 20 64 0 4 16− + ≥ ⇒ ≤ ≥
09.20. 12 Se a parábola corta o eixo x em dois pontos, então ∆ > 0.
Sendo L a medida do lado do triângulo ABV, temos:L x x
Lb
ab
a
Lb b
aL
a
B A= −
=− +
−− −
=− + + +
⇒ =
∆ ∆
∆ ∆ ∆
2 2
2
Indicando por H a medida da altura do triângulo equilátero, e ob-servando a figura, podemos escrever:
HL
yL
y L
y La a
v v
v
=⋅
⇒ − = ⇒ = − ⋅
= − ⋅ ⇒ − = − ⋅ ⇒ = ⇒ =
32
03
23
2
32 4
32 2
3 122∆ ∆ ∆∆ ∆ ∆
• Se ∆ > 0 e ∆ ∆2 12= , então ∆ = 12.
yv yv
yv
7Extensivo Terceirão – Matemática 3A
07.01. bObserve a seguinte ilustração:
4
6
A área de um triângulo retângulo pode ser calculada pelo semipro-duto das medidas dos catetos, ou seja:
S =⋅4 62
S m=12 2
07.02. cUm triângulo equilátero possui ângulos internos medindo 60°. Assim, sendo x metros a medida de qualquer lado, tem-se:
S x x sen= ⋅ ⋅ ⋅ °12
60
S = ⋅ ⋅ ⋅12
2 23
2
S m= 3 2
07.03. bA área do triângulo pode ser calculada da seguinte maneira:
S sen= ⋅ ⋅ ⋅ °12
4 6 3 60
S = ⋅ ⋅ ⋅12
4 6 33
2
S m=18 2
07.04. dObserve a seguinte figura:
B C
A
H
54
5
33
O ponto H, extremo da altura do triângulo em relação ao vértice A, divide ao meio o lado de extremos B e C. Desta forma, BH = HC = 3 e AHC é um triângulo retângulo pitagórico. Desta forma, a área do triângulo ABC é dada por:
SBC AH
ABC =⋅2
S ABC =⋅6 42
S cmABC =12 2
07.05. bO triângulo cujos lados medem 5 cm, 12 cm e 13 cm, é um triângu-lo retângulo, pois satisfaz o teorema de Pitágoras:132 = 52 + 122
5
12
13
Logo, a área pode ser calculada pelo semiproduto das medidas dos catetos, ou seja:
S =⋅5 122
S m= 30 2
07.06. aConsiderando que x e 2x são as medidas dos catetos do triângulo retângulo, cuja hipotenusa mede 5 5 cm, temos:( ) ( )5 5 2
25 5 5 5 2 10
2 2 2
2
= +
⋅ = ⇒ = ⇒ =
x x
x x cm x cmA área do triângulo retângulo pode ser calculada pelo semiproduto das medidas dos catetos. Portanto:
S cm=⋅
=10 5
225 2
07.07. bO triângulo ABC é retângulo de hipotenusa AC, pois AC é diâmetro. Utilizando Pitágoras no triângulo ABC, tem-se:
(AC)2 = (AB)2 + (BC)2
102 = 62 + (BC)2
(BC)2 = 64BC = 8 cm (BC > 0)
A área do triângulo ABC é dada por:
SAB BC
ABC =⋅2
S cmABC =⋅
=6 8
224 2
A medida da área do triângulo OBC é igual à metade da medida da área do triângulo ABC, pois ambos têm alturas congruentes (dis-tância de B ao segmento AC), mas OBC possui base igual à metade da base de ABC (AC = 2 . OC):
SS
cmOBCABC= = =2
242
12 2
Aula 07
Resoluções
PB 1Extensivo Terceirão – <disciplina> <numdisciplina> Extensivo Terceirão – Matemática 3B
3BMatemática
07.08. aA área do triângulo destacado na cor branca é igual à área de um triângulo retângulo isósceles de catetos medindo 4 (cor azul), sub-traída da área de um retângulo da área medindo 2, de um triângulo retângulo de área medindo 1 e de um triângulo retângulo de área medindo 3.
3
2 1
Logo, a área do triângulo em destaque é dada por:
S =⋅
− ⋅ −⋅
−⋅4 4
22 1
2 12
2 32
S = − − −8 2 1 3
S = 2
07.09. bAs figuras geométricas são equivalentes quando possuem a mes-ma área. Logo, se a área do paralelogramo deve ser igual à área do retângulo, deve-se ter:
S S
sen
sen
sen
p r=
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅
⋅ = + ⋅
⋅ = +
212
13 6 8 6 6
78 8 0 6 6
78 869
α
α
α
,
( , )
⋅
⋅ = +
⋅
⋅ =
⋅
⋅ =
6
78 823
6
78263
6
78 52
sen
sen
sen
sen
α
α
α
α ==
=
527823
sen α
07.10. eA área do triângulo ABC é dada por:
ABC1 ˆS AB AC sen(BAC)2
= ⋅ ⋅ ⋅
A área do triângulo ADE é dada por:
ADE1 ˆS AD AE sen(DAE)2
= ⋅ ⋅ ⋅
Os ângulos ˆBAC e ˆDAE são congruentes. Assim, a razão entre as medidas das áreas dos triângulos ABC e ADE é igual a:
ABC
ADE
1 ˆAB AC sen(BAC)S 21S ˆAD AE sen(DAE)2
⋅ ⋅ ⋅=
⋅ ⋅ ⋅
ABC
ADE
ˆS AB AC sen(BAC)ˆS AD AE sen(DAE)
= ⋅ ⋅
SS
ABC
ADE
= ⋅ ⋅41
32
1
SS
ABC
ADE
= 6
07.11. aCálculo da medida do lado do triângulo equilátero ABC:
S sen= ⋅ ⋅ ⋅ °12
60n n
312
32
2= ⋅ ⋅n
n 2 4=
n = 2
Cálculo da medida da altura MP do lado do triângulo isósceles APB:C
MA B
P
SAB MP
APB =⋅( ) ( )2
22
2=
⋅( )MP
MP = 2
07.12. dA área do triângulo retângulo é igual ao semiproduto das medidas dos catetos:
S =⋅6 82
S = 24 cm2
Utilizando Pitágoras, obtém-se a medida da hipotenusa a:a2 = b2 + c2
a2 = 62 + 82
a2 = 100
a = 10 cm (a > 0)
O semiperímetro do triângulo retângulo, de lados de medidas 10 cm, 6 cm e 8 cm, é dado por:
pa b c
=+ +
2
p =+ +10 6 8
2p = 12 cm
A medida do raio do círculo inscrito num triângulo retângulo é dada por:
S = p . r
24 = 12 . r
r = 2 cm
2 3Extensivo Terceirão – Matemática 3B Extensivo Terceirão – Matemática 3B
07.13. aSendo ℓ a medida do lado de cada quadrado da malha, tem-se:
B C
A
2ℓ
2ℓ
S1
A área S1 do triângulo ABC é dada por:
S u a122 2
22=
⋅=
n nn . .
A área S2 do quadrilátero DEFG é igual à área do retângulo PQRS subtraída das áreas dos triângulos DGS, FGR, EFQ e DEP.
D
RS
EP Q
F
G
5ℓ
4ℓ2ℓ
2ℓ
3ℓ4ℓ
3ℓℓ
ℓ
2ℓ
S2
S 224 5
22
2 22
3 32
42
10 5= ⋅ −⋅
−⋅
−⋅
−⋅
=n nn n n n n n n n
n,
Portanto:
SS
2
1
2
210 5
25 25= =
,,
n
n
07.14. aObserve a seguinte figura:
C
A B
E
3
3x
b
a h
41D
O triângulo ABC é pitagórico com catetos medindo 3 cm e 4 cm. Logo, AC = 5 cm.Utilizando Pitágoras no triângulo BCD, tem-se:
x2 = (BD)2 + (BC)2 x2 = 12 + 32
x2 = 10
Utilizando Pitágoras nos triângulos ADE e CDE, tem-se:
32 = a2 + h2 (I) x2 = b2 + h2 (II)
Fazendo (I) – (II), tem-se:
9 – x2 = a2 – b2
Substituindo x2 = 10 e observando que a = 5 – b, tem-se:
9 – 10 = (5 – b)2 – b2
–1 = 25 – 10b + b2 – b2
b=135
Substituindo em (II), tem-se:
x2 = b2 + h2
10135
22=
+h
1016925
2− =h
8125
2=h
h h= >95
0( )
A área do triângulo CDE é dada por:
SCE DE
CDE =⋅2
S CDE =⋅
135
95
2
S cmCDE =11750
2
07.15. dCálculo do semiperímetro p do triângulo ABC:
pa b c
m=+ +
=+ +
=2
7 8 92
12
Cálculo da medida S da área do triângulo ABC:
S p p a p b p c= ⋅ − ⋅ − ⋅ −( ) ( ) ( )
S = ⋅ − ⋅ − ⋅ −12 12 7 12 8 12 9( ) ( ) ( )
S = ⋅ ⋅ ⋅12 5 4 3
S m=12 5 2
Cálculo da medida r do raio da circunferência inscrita:
S p r= ⋅
12 5 12= ⋅r
r m= 5
Cálculo da medida R do raio da circunferência circunscrita:
Sa b c
R=
⋅ ⋅4
12 57 8 9
4=
⋅ ⋅R
R = ⋅21
2 555
R =21 5
10
Cálculo da razão Q entre as áreas dos círculos circunscrito e inscrito ao triângulo:
QRr
Rr
=⋅⋅
=
=
=
=
ππ
2
2
2
2
221 5
105
2110
4411000
4 41= ,
Portanto:4 < Q ≤ 5
2 3Extensivo Terceirão – Matemática 3B Extensivo Terceirão – Matemática 3B
07.16. F – V – V – F
1. Falsa: O triângulo ABC é isósceles, ou seja, AC = BC = 12 km.Utilizando a lei dos cossenos, tem-se:
(AB)2 = 122 + 122 – 2 . 12 . 12 . cos 120°
(AB) 2 = 432
AB km AB= >12 3 0( )
Logo, os lados da região de floresta determinados pelas estradas rAB e rAC medem, respectivamente, 12 3 km e 12 km.
2. Verdadeira: A distância h entre o ponto A e a estrada rBC é a me-dida da altura do triângulo ABC em relação ao vértice A.
120o
30o
30o
Qh
C D
rAB
rAC
rBC
BC = 12 kmB
A
Utilizando a razão trigonométrica seno, no triângulo ABD, tem--se:
hsen 30º h 6 3 km
12 3= → = .
3. Verdadeira: A área S, ocupada pela região de floresta, é dada por:
S sen= ⋅ ⋅ ⋅ °12
12 12 120
S km= 36 3 2
4. Falsa: A distância comum r entre o ponto de observação O e cada uma das estradas é igual ao raio da circunferência inscrita no triângulo. Logo:
S = p . r em que
p =+ +
= +12 12 12 3
212 6 3
36 3 12 6 3= + ⋅( ) r
r =+
36 312 6 3
r km=+6 3
2 3
07.17. b I. Verdadeira: Seja x a medida do ângulo oposto ao lado de me-
dida igual a 7. Então:72 = 82 + 52 – 2 . 8 . 5 . cos x49 = 64 + 25 – 80 . cos x80 . cos x = 40cos x = 1/2 ⇒ x = 60°Logo, um dos ângulos internos do triângulo mede 60°.
II. Falsa: Como o ângulo oposto ao lado de medida igual a 7 é igual a 60°, a área do triângulo pode ser calculada por:
S sen= ⋅ ⋅ ⋅ °12
5 8 60
S =10 3
S ≅17 3,
III. Verdadeira: Seja α a medida do maior dos ângulos internos, oposto ao lado de medida 8, então:82 = 72 + 52 – 2 . 7 . 5 . cos α64 = 49 + 25 – 70 . cos α70 . cos α = 10cos α = 1/7Como cos α > 0, conclui-se que o maior ângulo interno do triân-gulo é agudo, pois 0 < α < 90°. Para ângulos α tais que 90° < α < 180°, tem-se cos α < 0.Portanto, o triângulo é acutângulo.
IV. Falsa: Utilizando a lei dos senos, tem-se:5 7
60sen senβ=
°
75 3
2⋅ =senβ
senβ =5 314
07.18. V – V – F – F – F
00. Verdadeira. Em qualquer triângulo, uma mediana o divide em dois outros triângulos que possuem as mesmas medidas da base e da altura.
CMB
A
h
Na figura, BM = CM (bases congruentes) e h é a medida da altu-ra tanto do triângulo ABM, quanto do triângulo ACM. Logo, os triângulos ABM e ACM são equivalentes (mesma área). Conclusão: uma mediana divide um triângulo em dois outros equivalentes, ou seja, triângulos que possuem a mesma área.Isto vale para qualquer triângulo, não importando se o triângu-lo é retângulo e escaleno.
01. Verdadeira: Um triângulo retângulo é inscritível em um círculo desde que a medida da hipotenusa seja igual à medida de um diâmetro desse círculo. Consequentemente, a mediana relativa à hipotenusa vai dividir o triângulo em dois outros de modo que cada um possua dois lados iguais ao raio do círculo:
COB
A
RR
R
A mediana relativa à hipotenusa divide o triângulo em dois tri-ângulos isósceles. Na figura, observa-se que AO = OB = OC = R.
02. Falsa: Na afirmação anterior, por exemplo, mostrou-se que a di-visão da fazenda pode ser realizada por meio de uma mediana, pois a mediana de qualquer lado permite dividir o triângulo em dois triângulos equivalentes. Entretanto, mesmo equivalentes, os triângulos não são congruentes entre si.
03. Falsa: Observe o triângulo seguinte com lados de medidas a, b, c, e bissetriz do ângulo reto de medida x:
4 5Extensivo Terceirão – Matemática 3B Extensivo Terceirão – Matemática 3B
c
a bx1 2
45o 45o
A área do triângulo 1 é dada por:
S a x sena x
212
452
4= ⋅ ⋅ ⋅ ° =
⋅ ⋅
A área do triângulo 2 é dada por:
S b x senb x
212
452
4= ⋅ ⋅ ⋅ ° =
⋅ ⋅
Como o triângulo é escaleno, tem-se a ≠ b. Logo, S1 ≠ S2.Conclusão: a bissetriz interna de um ângulo de um triângulo escaleno divide-o em dois outros triângulos não equivalentes. Para que as áreas de S1 e S2 fossem iguais, seria necessário que os lados de medidas a e b fossem congruentes, ou seja, o triân-gulo deveria ser isósceles.
04. Falsa: Observe o triângulo ABC dividido em duas partes (tri-ângulo CDM e quadrilátero ABMD) por meio da mediatriz da hipotenusa que passa pelos pontos M e D:
CM
D
B
AMediatriz da hipotenusa
h
Os triângulos BDM e CDM são congruentes, pois possuem a mesma altura, DM, e bases congruentes (BM = CM). Logo, ne-cessariamente, o quadrilátero ABMD terá uma medida de área maior do que a área do triângulo CDM.Conclusão: a mediatriz da hipotenusa de um triângulo retân-gulo escaleno divide o triângulo inicial em duas figuras (um triângulo e um quadrilátero) de áreas com medidas distintas.Caso o triângulo inicial fosse retângulo e isósceles, a mediatriz da hipotenusa o dividiria em dois triângulos retângulos equivalentes.
07.19. Se os arcos em que ficou dividida a circunferência possuem o mes-mo comprimento, então o triângulo ABC é equilátero, ou seja, cada um dos ângulos internos mede 60°. Cálculo da medida do lado do triângulo equilátero ABC:
S sen= ⋅ ⋅ ⋅ °12
60n n
27 312
32
2= ⋅ ⋅n
n 2 108=
n = 6 3 cm
Cálculo da medida do raio da circunferência circunscrita ao triân-gulo equilátero:
BR
6
120oR
A
C
O
3
Lei dos cossenos no triângulo OBC:
(BC)2 = (OB)2 + (OC)2 – 2 . (OB) . (OC) . cos 120°2 2 2(6 3) R R 2 R R ( cos 60 )= + − ⋅ ⋅ ⋅ − °
108 2 212
2 2= − ⋅ −
R R
108 3 2= R
36 2=R
R = 6 (R > 0)
Portanto, a medida do raio dessa circunferência é igual a 6 cm.07.20.
a) A medida da área do triângulo pode ser calculada por meio de:
1 ˆS AC BC sen C2
= ⋅ ⋅ ⋅
Como S = 12 cm2, AC = 8 cm e BC = 6 cm, tem-se:
1 ˆ12 8 6 senC2
= ⋅ ⋅ ⋅
1ˆsen C2
=
Logo, C 30= ° ou C 150= °, e os possíveis esboços são os se-guintes:
C
A
B
C
A
B
8
8
6
6
30o
150o
b) Para o ângulo de 30°, pela lei dos cossenos, tem-se:(AB)2 = 82 + 62 – 2 . 8 . 6 . cos 30°
( )AB 2 100 48 3= −
Para o ângulo de 150°, de forma análoga, tem-se:
(AB)2 = 82 + 62 – 2 . 8 . 6 . cos 150°
( )AB 2 100 48 3= +
Logo, a soma dos quadrados das possíveis medidas do lado AB é igual a:
( ) ( )100 48 3 100 48 3 200 2− + + = cm
4 5Extensivo Terceirão – Matemática 3B Extensivo Terceirão – Matemática 3B
08.01. aSe o triângulo é rotacionado em 60°, a figura formada será um polígono côncavo de 12 lados (dodecágono). Os 12 lados do do-decágono são congruentes de modo que cada um deles mede 1 cm (estrela de 6 pontas), pois os triângulos que representam cada ponta da estrela possuem lado cuja medida é igual a 1/3 da medi-da do triângulo equilátero que foi rotacionado.
11
1
1
111
1
1
1
11
O perímetro do dodecágono côncavo é igual a 12 cm.
08.02. aI. Falsa.
cos 2 22 2 2
22
α β+ =
+
=sen
ba
ba
ba
II. Verdadeira.
tgcb b
ctg
αβ
= = =1 1
III. Verdadeira.
senca
α β= = cos
IV. Falsa.
cosα =ba
e
cosβ =ca
V. Falsa.
senca
α =
08.03. aAs mediatrizes dos três lados de um triângulo concorrem em um mesmo ponto, equidistante dos vértices e denominado circuncen-tro do triângulo.
O
c a
bA C
B
O ponto O é o circuncentro do triângulo ABC.O circuncentro é o centro da circunferência que passa pelos vérti-ces A, B e C do triângulo e equidista desses vértices, mesmo que o triângulo seja isósceles:
A
CB
R
R RO
O baricentro (ponto de encontro das medianas de um triângulo) coincide com o circuncentro apenas no caso de o triângulo ser equilátero.
08.04. cSendo b e c as medidas dos catetos opostos aos ângulos α e β, respectivamente, e a a medida da hipotenusa. Logo:
sen senα β= ⋅4
b c4
a a= ⋅
b = 4c
Se a medida do lado oposto ao ângulo α mede 40 cm, então b = 40:
40 = 4c
c = 10 cm08.05. d
Se o perímetro do quadrado é igual a 400 2 m, então a medida de cada lado é igual a 100 2 m. Por Pitágoras, pode-se calcular a medida da diagonal BD:
(BD)2 = (AB)2 + (AD)2
( ) ( ) ( )BD 2 2 2100 2 100 2= +
( )BD 2 20000 20000= +
( )BD 2 40000=
BD = 40000 (BD > 0)
BD = 200 m
Como a porteira EF tem comprimento igual a 2 m, a medida da cerca é dada por:200 m – 2 m = 198 m
08.06. cUtilizando Pitágoras no triângulo ABC, tem-se:
(AC)2 = (AB)2 + (BC)2
52 = 32 + (BC)2
BC = 4 m (BC > 0)Como M é ponto médio do segmento de extremos B e C, então BM = MC = 2 m. Utilizando Pitágoras no triângulo ABM, tem-se:(AM)2 = (AB)2 + (BM)2
(AM)2 = 32 + 22
(AM)2 = 13AM= 13AM ≅ 3,6 m
08.07. bObserve a seguinte ilustração:
A
8
8
P
60o
60o
30o
30o
30o
A’
O triângulo AA´P é isósceles, pois tem dois ângulos congruentes e iguais a 30°.Logo, AP = AA´ = 8 km.Se o avião percorreu AA´ = 8 km em 2 minutos, então sua veloci-dade é dada por:
Aula 08
6 7Extensivo Terceirão – Matemática 3B Extensivo Terceirão – Matemática 3B
vkm km
h
km
hkm
hkm h= = = = ⋅ =
82
82
60
81
30
8301
240min
/
08.08. aConsidere a seguinte ilustração na qual estão indicados os triân-gulos APB e BPT:
A
T2,5
8
11P
B
Utilizando Pitágoras no triângulo APB, tem-se:
(BP)2 = (AP)2 + (AB)2
(BP)2 = 112 + 42
(BP)2 = 137
Utilizando Pitágoras no triângulo BPT, tem-se:
(PT)2 = (BP)2 + (BT)2
(PT)2 = 137 + (2,5)2
(PT)2 = 137 + 6,25(PT)2 = 143,25
PT = 143 25, (PT > 0)
PT ≅ 144
PT m≅12
08.09. bSeja P o ponto de intersecção dos segmentos MN e AB. O triângulo APN é retângulo com AP = y/2; PN = x/2 e AN = 4. Então, utilizando Pitágoras, temos:
(AN)2 = (AP)2 + (PN)2
42 = (y/2)2 + (x/2)2
16 = y2/4 + x2/4
64 = y2 + x2
64 – x2 = y2
y x y e x= − > < <64 0 0 82 ;
08.10. dObserve a seguinte ilustração:
C
AB8
x
x6
8 – xD
Sendo x = AD = CD, no triângulo retângulo BCD, de acordo com o teorema de Pitágoras, tem-se: (CD)2 = (BC)2 + (BD)2
x2 = 62 + (8 – x)2
16x = 100
x =254
Logo, AD =254
cm.
08.11. cConsidere a seguinte ilustração:
Nx x
y
yM
D C
2x
2y
A B
1. Verdadeira.
Sx y
x yABM =⋅
= ⋅2
2
Sy x
x yAND =⋅
= ⋅2
2
Logo, os triângulos ABM e AND têm mesma área.
2. Falsa.
Sx y
x yABM =⋅
= ⋅2
2
Sx y
CNM =⋅2
SS
x y
x yCNM
ABM
=
⋅
⋅=2 1
2
Portanto, a área do triângulo CNM é 1/2 da área do triângulo ABM.
3. Verdadeira.S x y xyABCD = ⋅ =2 2 4
S S S S SAMN ABCD ABM AND CNM= − − −
S xy xy xyxy xy
AMN = − − − =42
32
SS
xy
xyAMN
ABCD
= =
32
438
Desta forma, a área do triângulo AMN é 3/8 da área do retân-gulo ABCD.
08.12. dObserve a figura:
5 cm5 cm
5 cmα
10 cm
10 cm
Utilizando a razão seno no triângulo retângulo em destaque, tem-se:
senα = =5
1012
Como 0° < α < 90°, conclui-se que α = 30°.
08.13. bEm 1 hora, o primeiro navio teria percorrido 16 km, enquanto o segundo navio teria percorrido 6 km. Na próxima ilustração, de acordo com as trajetórias destacadas no enunciado, vamos consi-derar que, após uma hora, o primeiro navio situe-se no ponto A, o segundo navio esteja no ponto B e que ambos tenham partido do porto localizado no ponto O.
6 7Extensivo Terceirão – Matemática 3B Extensivo Terceirão – Matemática 3B
N
L
x
A
BO
16
6
60o
45o
Aplicando a lei dos cossenos no lado de medida AB, do triângulo ABO, tem-se:(AB)2 = (AO)2 + (BO)2 – 2 . (AO) . (BO) . cos 60°
( )AB 2 2 216 6 2 16 612
= + − ⋅ ⋅ ⋅
(AB)2 = 196
(AB)2 = 142
AB = 14, pois AB > 0
Portanto, a distância entre os navios, após uma hora, é igual a 14 km.08.14. b
Sejam x e y as medidas dos ângulos agudos e obtusos do losango, respectivamente. O losango pode ser decomposto em dois triân-gulos, de modo que a soma dos quatro ângulos internos é igual a 360°, ou seja:
2x + 2y = 360° x + y = 180°
Mas, do enunciado, 2y = 3 . 2x, o que corresponde a y = 3x. Substituindo y = 3x em x + y = 180°, tem-se:
x + 3x = 180° 4x = 180° x = 45°
Substituindo x = 45º em x + y = 180°, tem-se y = 135°.
Utilizando a lei dos cossenos no triângulo ABC, em que B possui ângulo agudo de medida 45º, observando-se que AB = BC = L e sendo AC = d a medida da menor diagonal do losango, tem-se:
(AC)2 = (AB)2 + (BC)2 – 2 . (AB) . (BC) . cos 45°
d L L L L2 2 2 22
2= + − ⋅ ⋅ ⋅
d L L2 2 22 2= −
d L2 2 2 2= ⋅ −( )
Ld2
2
2 2=
−
Ld
=−
2
2 2, (L > 0)
Ld
=−2 2
, (d > 0)
08.15. c
xy
1,5 m(3,9 – 1,4)m
3,9 m
Triângulo menor(3,9 – 1,4)2 = 1,52 + y2
2,52 = 1,52 + y2
y2 = 4 ⇒ y = 2
Triângulo maior3,92 = 1,52 + (2 + x)2
12,96 = (2 + x)2
3,6 = 2 + x ⇒ x = 1,6 m
08.16. 05 (01, 04)Sem perda de generalidade, vamos considerar que AD = DE = EC = AB = 1.A medida da hipotenusa do triângulo, BC, pode ser calculada por meio do teorema de Pitágoras:
(BC)2 = (AB)2 + (AC)2
(BC)2 = 12 + 32
BC = 10
Assim, considere a seguinte ilustração na qual já se encontram destacadas algumas medidas importantes para a resolução do problema:
A CD E
F135o
135o
135o
45o
45o
45o45o45o
45o
45o
45o
B
G
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2 1/2 111
210
210
Vamos analisar cada uma das afirmações:
01) Verdadeira. Utilizando a razão cosseno no triângulo retângulo ABC, tem-se:
AB 1ˆcosBBC 10
= =
1 10 10ˆcosB1010 10
= ⋅ =
02) Falsa. Os triângulos BDC e FEC possuem ângulos congruentes, mas lados com medidas distintas. Isso significa que BDC e FEC são semelhantes, mas não são congruentes.
04) Verdadeira. 2ˆsen(BDC) sen(135 ) sen(45 )
2= ° = ° =
08) Falsa. O triângulo EDF é retângulo e isósceles, mas o triângulo BDF, apesar de ser triângulo retângulo, não é isósceles. Logo, os triângulos EDF e BDF não são semelhantes.
16) Falsa. Lei dos senos no triângulo EFC:EC FC
ˆ ˆsen(EFC) sen(CEF)=
101 2
ˆ sen(135 )sen(EFC)=
°
ˆ2 10 sen(EFC)2 2
⋅=
1ˆsen(EFC)5
=
Utilizando a relação fundamental da trigonometria:2 2ˆ ˆsen (EFC) cos (EFC) 1+ =
8 9Extensivo Terceirão – Matemática 3B Extensivo Terceirão – Matemática 3B
221 ˆcos (EFC) 1
5 + =
2 1ˆcos (EFC) 15
= −
2 4ˆcos (EFC)5
=
Como o ângulo ˆEFC é agudo, necessariamente deve ter ˆcos (EFC) 0> , logo:
2 5 2 5ˆcos (EFC)55 5
= ⋅ =
08.17. 21 (01, 04, 16)Considere a seguinte ilustração com as informações do enunciado:
C
D AB
30o
30o60o
30o
01) Verdadeira.O triângulo ACD é isósceles, ou seja, AD = CD.Utilizando a razão cosseno no triângulo BCD, tem-se:
cos 60 2° = ⇒ = ⋅BDCD
CD BD
Desta forma, tem-se:AB = BD + AD = BD + CD = BD + 2 . BD = 3 . BD
02) Falsa.O ângulo CDB mede 60°.
04) Verdadeira.Utilizando a razão seno no triângulo ABC, tem-se:
senBCAC
AC BC30 2° = ⇒ = ⋅
08) Falsa.O triângulo ADC é isósceles, pois os ângulos dos vértices A e C são congruentes, cada um medindo 30°.
16) Verdadeira.
A medida, em radianos, do ângulo CDA é igual a 120° ou 23π
.
08.18. F – V – F – F – F – V00 ) Falsa. As circunferências inscrita e circunscrita são concêntricas
apenas no caso de o triângulo ser equilátero.
01) Verdadeira. O ponto de encontro das bissetrizes dos ângulos internos é chamado de incentro. O incentro é o centro da cir-cunferência inscrita.
02) Falsa. A área de um triângulo pode ser calculada pelo produto da medida do semiperímetro pelo apótema do triângulo, ou seja:
S p r= ⋅
Sa b c
r=+ +
⋅
2
S a b c r= ⋅ + + ⋅12
( )
03) Falsa.Observe a figura:
r30o
30o
ℓ2
Utilizando a razão tangente no triângulo destacado, tem-se:
rtg 30 2 3 r
2
° = → =
n
04) Falsa.O incentro equidista dos três lados do triângulo.O circuncentro equidista dos três vértices do triângulo.Logo, os vértices do triângulo são equidistantes do centro da circunferência circunscrita.
05) Verdadeira.Todo triângulo retângulo inscrito em uma circunferência pos-sui, necessariamente, hipotenusa congruente ao diâmetro.
CB
A
22
2
Assim, se o raio mede 2 cm, então a hipotenusa mede 4 cm.
08.19. Sejam a = 6 m, b = 10 m e c = 12 m as medidas dos lados do tri-ângulo.Inicialmente, pode-se calcular a medida da área do triângulo, utili-zando-se a fórmula de Heron:
S p p a p b p c= ⋅ − ⋅ − ⋅ −( ) ( ) ( ) em que p =+ +
=6 10 12
214 m.
S = ⋅ − ⋅ − ⋅ −14 14 6 14 10 14 12( ) ( ) ( )
S = ⋅ ⋅ ⋅14 8 4 2
S m= 8 14 2
Altura relativa ao lado de medida 6 m:
Sa ha=⋅2
8 146
2=
⋅ha
h ma =8 14
3
Altura relativa ao lado de medida 10 m:
Sb hb=
⋅2
8 1410
2=
⋅hb
h mb =8 14
5
8 9Extensivo Terceirão – Matemática 3B Extensivo Terceirão – Matemática 3B
Altura relativa ao lado de medida 12 m:
Sc hc=
⋅2
8 1412
2=
⋅hc
h mc = =8 14
64 14
3
08.20. No triângulo ABC, PB é mediana relativa ao vértice B e CM é me-diana relativa ao vértice C. Logo, Q é baricentro do triângulo ABC. Analogamente, no triângulo BCD, PC é mediana relativa ao vértice C e DN é mediana relativa ao vértice D, de modo que S é o bari-centro do triângulo BCD.
A
B
M
NC
D
P
Q
R
S
Dessa forma, o triângulo DNB é semelhante ao triângulo DSQ e, pela propriedade do baricentro distar 1/3 da mediana ao ponto médio de um lado e 2/3 da mediana ao vértice oposto, conclui-se
que SQ é paralelo a CB e SQCB x
= =3 3
.
Consequentemente, o triângulo PSQ é retângulo e isósceles, ou seja, PS = PQ.Utilizando Pitágoras no triângulo PQS, tem-se:
(SQ)2 = (PS)2 + (PQ)2
(SQ)2 = (PS)2 + (PS)2
xPS
32
22
= ⋅( )
PSx
=26
, pois PS > 0
Utilizando Pitágoras no triângulo CDN, tem-se:
(DN)2 = (DC)2 + (CN)2
DN xx x( ) = +
=2 2
2 2
25
4
DNx
=52
, pois DN > 0
Se o ponto S é baricentro do triângulo BCD, então:
SNDN x x
= = =3
13
52
56
.
O triângulo CNR é semelhante ao triângulo QSR. Logo:
CNSQ
NRSR
=
Da propriedade das proporções, pode-se escrever:
CN SQSQ
NR SRSR
+=
+
CN SQSQ
SNSR
+=
Substituindo as medidas, tem-se:
x x
x
x
SR2 3
3
56
+=
Resolvendo, obtém-se:
5xSR
15=
Utilizando-se Pitágoras no triângulo RQS, tem-se:
(SQ)2 = (SR)2 + (QR)2
x xQR
35
15
2 22
=
+( )
Resolvendo, obtém-se:
QR
x=
2 515
A área do triângulo retângulo RQS é dada por:
S
SR QRRQS =
( ) ( ).
2
S
x xRQS = ⋅ ⋅
12
515
2 515
S
xRQS =
2
45
A área do triângulo retângulo e isósceles PQS é dada por:
SPQ PS
PQS =( ) ( ).
2
S
x xPQS =
12
26
26
. .
Sx
PQS =2
36
A área do quadrilátero PQRS é dada por:
S S SPQRS PQS RQS= +
S
x xPQRS = +
2 2
36 45
Sx
PQRS =2
20
A área do triângulo DBN é igual à do triângulo ACM:
S S xx x
DBN ACM= = ⋅ ⋅ =12 2 4
2
A área sombreada é igual à área do triângulo DBN adicionada à medida da área do triângulo ACM e subtraída do dobro da área do quadrilátero PQRS:
S S S SDBN ACM PQRS= + − 2 .
Sx x x
= + − ⋅
2 2 2
4 42
20
Sx
=2
5
2
b) O perímetro do quadilátero PQRS é dado por:
PQ RQ SR PSx x x x
x+ + + = + + + = +
⋅
26
2 515
515
26
23
55
10 11Extensivo Terceirão – Matemática 3B Extensivo Terceirão – Matemática 3B
09.01. eApenas com a leitura do gráfico, não é possível analisar e quan-tificar o número de pessoas diagnosticadas com AIDS. Por outro lado, pelo gráfico apresentado pode-se corretamente concluir que o quociente do número de homens pelo de mulheres tendeu à estabilidade, iniciada em 2002.
09.02. bSegundo os dados apresentados na tabela, o total do 1.o trimestre é dado por: 980 . 31 + 1000 . 28 + 960 . 31 = 88140 A alternativa b é a única que apresenta este valor para o 1.o trimes-tre.
09.03. dAs quantidades de alunos que preferem as revistas A, B, C e D são, respectivamente, iguais a 15, 10, 25 e 20. Logo, o número de alunos que preferem a revista D é igual à média aritmética dos que prefe-rem as revistas A ou C:
15 252
20+
=
09.04. b
Energia (em Mtep*)
Fontes Renováveis 2012 2011
Energia hidráulica e eletricidade 39,2 39,9
Biomassa da cana 43,6 42,8
Lenha e carvão vegetal 25,7 26,0
Outras 11,8 11,1
Total 120,3 119,8
Houve uma diminuição de (120,3 – 119,8) Mtep = 0,5 Mtep
09.05. dDe acordo com as informações apresentadas, o gráfico que repre-senta corretamente os dados reunidos na tabela é o da alternativa d.
09.06. dSe a porcentagem das ações da empresa D é igual a x, então da empresa E será 2x. Logo, x + 2x + 26 + 17 + 30 = 100. Ou seja, x = 9. Dessa forma, o valor das ações da empresa E é 18% e, portan-
to, a razão solicitada é igual a 1830
0 60%%
,= .09.07. c
Supondo que as informações estejam na mesma unidade, a se-guinte tabela pode resumir as informações numéricas dos dois gráficos:
Mês Receita Despesa Lucro
Janeiro 1000000 250000 750000
Fevereiro 1200000 200000 1000000
Março 600000 100000 500000
Abril 800000 150000 650000
Maio 1300000 400000 900000
Junho 1400000 550000 850000
Logo, os meses de maior lucro foram, em ordem decrescente, feve-reiro (1000000) e maio (900000).
09.08. bA partir do segundo dia, observa-se um menor nível de oxigênio no aquário que detinha o maior percentual de óleo. Essa influên-cia torna-se maior a partir do terceiro dia. Assim, no período e nas condições do experimento, quanto maior a quantidade de óleo na água, maior a sua influência sobre o nível de concentração de oxi-gênio nela dissolvido.
09.09. eA média aritmética da capacidade instalada dos 10 países apresen-tados é igual a:
X =
+ + + + + + + + +133 93 61 32 28 25 22 18 15 1110
X GW= =
43810
43 8,
Os países europeus são Alemanha (61 GW), Espanha (32 GW), Itália (28 GW), França (18 GW) e Reino Unido (11 GW). A média aritméti-ca da capacidade instalada destes 5 países é igual a:
X =
+ + + +61 32 28 18 115
X = =
1505
30GW
A média da capacidade instalada dos 5 países europeus correspon-de, aproximadamente, a 68,49% da média aritmética dos 10 países:
3043 8
0 6849 68 49,
, , %≅ =
09.10. da) Falsa: Nos 10 minutos iniciais, João percorreu uma distância me-
nor do que a percorrida por Pedro.b) Falsa: Nos 15 minutos iniciais, Pedro percorreu uma distância
menor do que a percorrida por João.c) Falsa: Com 20 minutos do início da corrida, João e Pedro tinham
percorrido distâncias iguais.d) Verdadeira: Com 30 minutos do início da corrida, João tinha
percorrido cerca de 3500 m, enquanto Pedro tinha percorrido menos do que 3000 m. Logo, João tinha percorrido pelo menos 500 m a mais do que Pedro.
e) Falsa: Com 40 minutos do início da corrida, Pedro tinha percorri-do 4000 m, enquanto João tinha percorrido 4500 m. Logo, com 40 minutos do início da corrida, Pedro tinha percorrido 500 m a menos do que João.
09.11. cPor meio do gráfico apresentado, não é possível se determinar com exatidão a quantidade de ingressos vendidos em cada período considerado. A tabela seguinte apresenta a quantidade estimada de ingressos vendidos em função da quantidade de dias transcorri-dos desde o início das vendas:
Aula 09
10 11Extensivo Terceirão – Matemática 3B Extensivo Terceirão – Matemática 3B
Número de dias transcorridos
Número de ingressos vendidos
5 1
10 1 + 4 = 5
15 5 + 12 = 17
20 17 + 27 = 44
25 44 + 43 = 87
30 87 + 50 = 137
35 137 + 43 = 180
40 180 + 27 = 207
45 207 + 12 = 219
50 219 + 4 = 223
55 223 + 1 = 224
60 224 + 0 = 224
De acordo com os dados, o gráfico que melhor representa o to-tal (acumulado) de ingressos vendidos até cada dia do período de vendas é o da alternatica C.
09.12. eA quantidade total de pessoas é igual a: 6 + 10 + 15 + 4 + 3 + 1 = 39.
1.a afirmação: VerdadeiraA porcentagem do total de pessoas que esperou até 2h45min na fila foi de, aproximadamente:6 10 15 31
0,795 79,5%39 39
+ + = ≅ =
2a afirmação: FalsaA quantidade de pessoas que esperaram por menos de 2h40min é igual a: 6 + 10 = 16Como a quantidade total de pessoas é igual a 39, conclui-se que menos da metade das pessoas esperaram por menos de 2h40min.
3.a afirmação: VerdadeiraA quantidade de pessoas que esperaram entre 2h35min e 2h45min é igual a: 10 + 15 = 25Logo, mais da metade das pessoas esperaram entre 2h35min e 2h45min.
4.a afirmação: VerdadeiraO número de pessoas que esperou de 150 min até 160 min é igual a: 6 + 10 = 16O número de pessoas que esperou de 2h45min até 3 h é igual a: 4 + 3 + 1 = 8Portanto, o número de pessoas que esperou de 150 min até 160 min foi o dobro do número de pessoas que esperou de 2h45min até 3 h.
5.a afirmação: FalsaDe acordo com o gráfico, 4 + 3+ 1 = 8 pessoas esperaram por mais de 2h45min.
09.13. bA partir do gráfico, pode-se construir a seguinte tabela:
Número diário de atendimentos
Quantidade de meses desde o início da vacinação
1000 0
500 3
250 6
125 9
63 12
32 15
Os números da tabela indicam que a cada 3 meses a quantidade diária de atendimentos cai para cerca de 50% do valor anterior.A precisão apresentada no gráfico permite concluir que a frase mais adequada à campanha de vacinação seria: “A cada três meses, a quantidade de pessoas que chega todos os dias ao hospital com a gripe X cai, aproximadamente, pela metade!”
09.14. aObserve a quantidade total de embarques efetuados em cada cate-goria e a análise de cada afirmação:
embarques do mesmopassageiro
número de pessoas
número de embarques
5 X 1 000 = 5 000
4 X 1 500 = 6 000
3 X 3 000 = 9 000
2 X 10 000 = 20 000
1 X 60 000 = 60 000
total = 100 000
I. Verdadeira. Adicionando as quantidades de embarques de to-das as pessoas que fizeram mais de um embarque, tem-se:5 000 + 6 000 + 9 000 + 20 000 = 40 000 Mesmo que todos esses embarques sejam concentrados na companhia A, seriam ainda necessários 10 000 embarques de passageiros (dentre aqueles com apenas um embarque).
II. Falsa. Adicionando as quantidades de embarques de todas as pessoas que fizeram três ou mais embarques, tem-se:5 000 + 6 000 + 9 000 = 20 000 É possível que todos eles tenham sido concentrados na com-panhia B.
III. Falsa. Existe a possibilidade de que, na distribuição, em que todos os clientes sejam “fiéis” à sua companhia. Observe um exemplo:
B (2 x 10 000) C (1 x 30 000)
A (1 x 30 000 + 3 x 3000 + 4 x 1500 + 5 x 1000)
09.15. eDe acordo com o gráfico, nas 3 primeiras semanas, tem-se:
• Companhia A: 0,4 . 20000 + 0,6 . 25000 + 0,50 . 30000 = 38000 passageiros
• Companhia B: 0,4 . 20000 + 0,1 . 25000 + 0,15 . 30000 = 15000 passageiros
• Companhia C: 0,2 . 20000 + 0,3 . 25000 + 0,35 . 30000 = 22000 passageiros
Na quarta semana, tem-se:
• Companhia A: 50000 – 38000 = 12000 passageiros
• Companhia B: 20000 – 15000 = 5000 passageiros
• Companhia C: 30000 – 22000 = 8000 passageiros
Nessa semana, o número total de passageiros nas 3 companhias, A, B e C, foi igual a 25000.
12 13Extensivo Terceirão – Matemática 3B Extensivo Terceirão – Matemática 3B
Logo, os percentuais da quarta semana foram, respectivamente:
• 1200025000
0 48 48= =, %
• 5000
250000 20 20= =, %
• 8000
250000 32 32= =, %
09.16. eSendo V o preço da gasolina em janeiro, após um aumento de x% e, em seguida, uma diminuição de x%, o preço é:V . (1 + x%) . (1 – x%) = V . [1 – (x%)2]A última expressão indica que o preço em março é (x%)2 menor do que o preço em janeiro.
09.17. aA partir das informações do gráfico, a seguinte tabela pode ser construída:
Mês Consumo Custo do kWh Custo TotalJaneiro 260 R$0,40 R$ 104,00
Fevereiro 240 R$0,40 R$ 96,00
Março 200 R$0,40 R$ 80,00
Abril 180 R$0,40 R$ 72,00Maio 160 R$0,55 R$ 88,00
Junho 170 R$0,55 R$ 93,50
Julho 180 R$0,55 R$ 99,00
Agosto 190 R$0,55 R$ 104,50
Setembro 190 R$0,55 R$ 104,50
Outubro 190 R$0,70 R$ 133,00
Novembro 200 R$0,70 R$ 140,00
Dezembro 220 R$0,70 R$ 154,00
Assim, os meses de menor e maior custo de energia elétrica para esse consumidor serão, respectivamente, abril e dezembro.
09.18. a I. Falsa. A temperatura média máxima ocorreu no dia 1º de janeiro
e foi de 4 °C. II. Verdadeira. No dia 4 de janeiro a temperatura média foi de
0 °C .III. Verdadeira. A média das temperaturas nesses 8 dias foi igual a:
X =− − + − + + +4 1 3 0 1 3 2 1
8
X C= = °58
0 625,
Logo, a média das temperaturas nesses 8 dias foi maior do que 0 °C .
09.19. Gasto total dos turistas de viagens a lazer no Brasil, em 2012:0,468 . 5 670 000 . 877 = 2 327 172 120 dólaresGasto total dos turistas de negócios no Brasil, em 2012:0,253 . 5 670 000 . 1599 = 2 293 781 490 dólaresDiferença entre o valor gasto pelos turistas de viagens a lazer e pe-los turistas de negócios no Brasil, no ano de 2012: 2 327 172 120 – 2 293 781 490 = 33 390 630 dólares
09.20. 1. O percentual de mulheres com 5 filhos, representado por x, é
dado por:7 + 20 + 30 + 20 + 15 + x = 10092 + x = 1200x = 8%Logo, a quantidade de mulheres com 5 filhos é dada por: 0,08 . 100 = 96
2. A quantidade média de filhos por mulher deve ser ponderada pelo percentual de mulheres com cada número de filhos. Logo, sendo X a média de filhos por mulher, tem-se:
X
X
=⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅
+ + + + +=
=
0 7 1 20 2 30 3 20 4 15 5 87 20 30 20 15 8
240100
2 4, fillhos por mulher
3. Exatamente 15% + 20% + 8% = 43% das mulheres possuem 3 filhos ou mais. Logo, a probabilidade de uma mulher, escolhida ao acaso, ter 3 filhos ou mais é igual a 0,43.
12 13Extensivo Terceirão – Matemática 3B Extensivo Terceirão – Matemática 3B
Aula 0707.01. a
1 1 2
1 2 3 1
2 0 2
1 1
1 2 3
2 0
6 2 0 12 0 1
1 1 2
1
23 1
2 0 2
21
−
−
−= − − + − − −
−
−
= −
/ / ( ) ( ) ( )
07.02. a
3 1 2
1 4 1
3 2 1
3 1
1 4
3 2
12 3 4 24 6 1 12
−−
−− = − + + − − − − =( ) ( ) ( )
a) 0 4
3 50 12 12
−= − − =( )
b) 3 5
0 412 0 12
−= − − = −( )
c) 5 3
0 420 0 20
−= − − = −( )
d) 3 5
4 00 20 20
−= − − =( )
e) 3 4
5 00 20 20
−= − − =( )
07.03. aa b
b a
a b
b aa b a b
a b
b a
a b
b aa b a b
+− −
= − + − +
+− −
= − − + =
( ) ( )2 2 2 2
2 2 2 2 0
Portanto,
a b
b a
a b
b a+
− −= 0 quaisquer que sejam os valores reais de a e
de b.07.04. e
a
b
c
a b b a
1 0
3 0
4 1
0 3 0 3= ⇒ − = ⇒ =
07.05. d
Se a b
c d≠ 0 , então:
yx
a b
c da b
c d
a b
c da b
c d
=
− −
=− ⋅ ⋅
= −
4 4
5 54 5
20( )
07.06. d
A A
x y z
x w
x
x
y x x
z w
x y z
x w
x
t= −
= −
1
2 0
1 2
0
1
2 0
=− − −− − −− −
⇒
= − ⇒ == −= −= − =
x
y x x
z w
x x x
y
z
w x
1 2
0
0
1
2
0
Então:
det( )A =− −
=0 1 2
1 0 0
2 0 0
0
Observação: após estudar as propriedades dos determinantes (aula 09), você poderá resolver esse teste de uma forma mais simples e direta, sem a necessidade de determinar os valores de x, y e z.
07.07. d
f x
x
x
x
x
x
x
f x x
f x x f
( ) ( )
( ) ( , ) , ,
= ⇒ =
= ⇒ = ⋅ =
2 4
3 9
4 16
2
3
4
2
2 0 001 2 0 001 0 0022
Mas 0 0022
10001
500500 1, = = = − . Portanto:
f( , )0 001 500 1= −
Observação: após estudar sobre o determinante da matriz de Vandermonde, na aula 10, você concluirá de forma simples, sem usar a regra de Sarrus, que f x x( )= 2 .
07.08. eAs matrizes que representam as vendas nos meses de janeiro e fe-vereiro, respectivamente, são:
J =
20 60
80 100 e F =
30 20
40 60
1. CORRETO.
J F+ =
+
=
20 60
80 100
30 20
40 60
50 80
120 160
2. INCORRETO.
J J t=
⇒ =
20 60
80 100
20 80
60 100
3. CORRETO.
30 20
40 60
30 40
20 6030 60 20 40= = ⋅ − ⋅
*Veremos, na aula 09, que o determinante de qualquer matriz quadrada é sempre igual ao determinante da sua transposta.
1Extensivo Terceirão – Matemática 3C
Resoluções 3CMatemáticaApostila especial de exercícios
07.09. d
1 1 1
2 632
2 632
1 1 1
112
1
114
1
1 1
112
112 2 2
sen sen sen
sen sen sen
π π π
π π π
= −
44
1 1 1
2 632
2 632
12
114
12
2 2 2
sen sen sen
sen sen sen
π π π
π π π= − + −
− −−
− = −
14
132
( )
Observação: assim como no teste 07.07, este determinante não precisa ser calculado, necessariamente, pela Regra de Sarrus. Outra opção será apresentada na aula 10: determinante da matriz de Vandermonde.
07.10. b Na face 5 temos f = 5. Portanto:
ai se i j
i se i j
a a
a aij =+ =
≠
⇒ =⋅ +
⋅ +=
2 5 2 1 5 1
2 2 2 5
7 1
2 911 12
21 22
,
,
7 1
2 963 2 61= − =
07.11. b • 2 4 2 2+ + = ⇒ + = ⇒ = −x y x y y x (I)
•
2 1 0
3 4
1 1
19x
y
= −
2 4 0 0 8 3 19xy y+ + − − − = −( ) ( ) ( )
2 3 15 2 3 15xy y y x− = − ⇒ − = −( ) (II)
• Substituindo (I) em (II):( )( )2 2 3 15
4 6 2 3 15
2 7 9 0 192
2
2
− − = −
− − + = −
− − = ⇒ = − =
x x
x x x
x x x ou x
Mas x e y são inteiros. Portanto:x y x y= − ⇒ = − − = ⇒ ⋅ = −1 2 1 3 3( )
07.12. 23 (01, 02, 04, 16)
Aa a
a a=
11 12
21 22
A
A A t
=⋅ −− ⋅
=−
⇒ =
−
1 1 1 2
2 1 2 2
1 1
1 4
1 1
1 4
B A A t= +
B B=−
+
−
⇒ =
1 1
1 4
1 1
1 4
2 0
0 8
01) CORRETO.
B =
→
2 0
0 8apenas a diagonal principal tem elementos di-
ferentes de zero.
02) CORRETO.
2 22 0
0 8
4 0
0 164 16 0 0 64⋅ = ⋅
=
= ⋅ − ⋅ =B
04) CORRETO.
B Btt
=
=
=
2 0 2
00 8
0
8
08) INCORRETO.
A A
A A A A
t
t t
− =−
−
−
− =−
⇒ − =
−
1 1
1 4
1 1
1 4
0 2
2 0
0 2det( )
22 00 4 4= − − =( )
16) CORRETO.A matriz At foi determinada no início desta resolução.
07.13. e
( )A X B
A X B
X B A
X X
t
t
t
+ =
+ =
= −
=−
−
−
⇒ =
−
1 4
3 2
1 2
3 4
2 2
0 6 ⇒ = −det( )X 12
07.14. bTriângulos equiláteros tem lados de mesma medida. Logo, sendo x a medida dos lados desse triângulo equilátero, temos que
a dx se i j
se i jij ViV j= =
≠=
,
,0
Portanto:det( )A
a a a
a a a
a a a
x x
x x
x x
x
=
=
= ⇒ =
54
54
0
0
0
54 2 54
11 12 13
21 22 23
31 32 33
3 ⇒⇒ = ⇒ =x x3 27 3
07.15. c
A I
A I
− ⋅ =−
− ⋅
− ⋅ =−
−
λ λ
λλ
λ
4 2
1 1
1 0
0 1
4 2
1 1
0
0
AA I
A I
− ⋅ =− −
−
− ⋅ =− ⋅ − − ⋅ − =
−
λλ
λ
λλ λ
4 2
1 1
0
4 1 1 2 0
4
det( )
( ) ( ) ( ) ( )
44 2 0
5 6 0 2 3
2 3 4 9 13
2
2
2 2
λ λ λ
λ λ λ λ
− + + =
− + = ⇒ = =
+ = + =
ou
2 Extensivo Terceirão – Matemática 3C
07.16. 10 (02, 08)
++ =− =
= + ⇒ = ⋅−
+ ⋅
− −
X Y A
X Y B
X A B X
X
3
2
2 3 2 2 32 4
0 22
6 1
4 1
2 ==−
+
− −
=− −
=− −
6 12
0 6
12 2
8 2
26 14
8 8
3 7
4 4
X
X
X Y A Y A X
Y
Y
+ = ⇒ = −
= ⋅−
−
− −
=−
−
−
3 3
32 4
0 2
3 7
4 4
6 12
0 6
3 −−
=−
−
7
4 4
9 5
4 2Y
01) INCORRETO.
det( ) ( )X =− −
= − − − = − + =3 7
4 412 28 12 28 16
02) CORRETO.
X tt
=− −
=
−−
3 7
4 4
3 4
7 4
04) INCORRETO.
26 14
8 8
9 5
4 2
3 19
4 10X Y+ =
− −
+
−−
=
−
08) CORRETO.
det( ) ( )Y =−
−= − = −
9 5
4 218 20 2
16) INCORRETO.Na matriz Y, os elementos da diagonal secundária são negativos.
07.17. d
22
4
22
3
1
3
22
A
1 11 00 0
A A A 2 2
A
A
0 12 0 2 0
A A A I A
I
IA A A A A A
=
= ⋅ = ⋅ = = = ⋅ = ⋅ =
= ⋅ = ⋅ = =
Podemos concluir que:
= =
expoente ímp expoente par2
ar A (A) (A ) I
Portanto:
S A A A A
S A A A A A A
= + + + +
= + + + + + + +
2 3 11
1 3 11 2 4
…
… …� ��� ���( ) (6 parcelas
110
5
5
parcelas
6 parcelas
� ��� ���
… …� ��� ���
)
( ) (S A A A I I I= + + + + + + parcelas��� �� )
S A I
S
S
= ⋅ + ⋅
= ⋅
+ ⋅
6 5
60
12
2 05
1 0
0 1
==
+
=
⇒ = = − ⇒
0 3
12 0
5 0
0 5
5 3
12 5
5 3
12 525 36S Sdet( ) deet( )S = −11
07.18. d 01) CORRETO.
A A It+ =−
+
−
=
= ⋅
= ⋅
1 1
1 1
1 1
1 1
2 0
0 22
1 0
0 12 ,
onde I indica, aqui, a matriz quadrada de ordem 2. 02) INCORRETO.
A B⋅ =−
⋅
−
=− +
+ −
1 1
1 1
32
12
12
32
32
12
12
32
32
12
12
32
⋅ =− +
+ − −
A B
32
12
32
12
32
12
32
12
⋅ = − −
− +
⋅ = − − +
det( )
det( )
A B
A B
32
12
32
12
34
32
2 2
114
34
32
14
34
32
14
34
32
14
− + +
⋅ = − + − − − −det( )
det
A B
(( )A B⋅ = −2
Outra maneira:As matrizes A e B são quadradas e de mesma ordem. Então, segundo o teorema de Binet, que será estudado na aula 09, temos:det( ) det( ) det( )
det( )
A B A B
A B
⋅ = ⋅
⋅ =−
⋅
−
1 1
1 1
32
12
12
32
ddet( ) ( )
det( ) ( )
det(
A B
A B
A
⋅ = − −( ) ⋅ − −
⋅ = ⋅ −⋅
1 134
14
2 1
BB) = −2
3Extensivo Terceirão – Matemática 3C
03) CORRETO.
22
4
1
3 22
32
2
B
3 1 3 11 02 2 2 2B B B0 11 3 1 3
2 2 2 2
B B B I
B
BB
B B B B B
I
B I
=
= ⋅ = ⋅ = = − −
= ⋅ = ⋅ =
= ⋅ = ⋅ = =
Podemos concluir que:
= =
expoente ímp expoente par2
ar B (B) (B ) I
Portanto:
B B2007 =
07.19. 50
− − − ⋅ = − ⋅ = − −
−⋅ = − − =
= + ⋅ = + =
2 1 4 3 51 2 3
A B 2 2 6 2 42 1 1
0 1 2 1 1
4 3 5
det(A B) 6 2 4 0
2 1 1
N 50 det(A B) 50 0 50
07.20. a) 18 kg;b) 11 anos p x A
p x x p x x
( ) det
( ) ( )
=
=−
− ⇒ = +1 1 1
3 0
0 223
8 2
a) p x x
xp p kg
( )( ) ( )
= +=
⇒ = + ⋅ ⇒ =8 2
55 8 2 5 5 18
b) p x x
p xx x anos
( )
( )
= +=
⇒ = + ⋅ ⇒ =8 2
3030 8 2 11
Aula 0808.01. b
A
A
A
A
121 2
12
12
12
11 1
1 1
1 1 1 1 1
1 2
2
= − ⋅−
= − ⋅ − ⋅ − ⋅= − ⋅ −=
+( )
( ) ( )
( ) ( )
08.02. aO elemento –2 localiza-se na primeira linha e na terceira coluna.
A
A
A
131 3
13
13
13 10
1 7
1 3 7 10 1
31
= − ⋅−
= ⋅ ⋅ − ⋅ −=
+( )
[ ( )]
08.03. a
C
C
141 4
14
14
1
1 3 2
2 1 1
1 3 2
1 2 3 12 2 12 3
1 2
= − ⋅−
= − ⋅ − + + − −= − ⋅ −
+( )
( ) ( )
C ( ) ( ))
C14 2=
08.04. c
A
a a a
a a a
a a a
=
=11 12 13
21 22 23
31 32 33
2 2 2
2 2 2
2 2 2
1 2 3
2 2 3
3 3 3
=
= − ⋅
= − ⋅
+
1 4 9
4 4 9
9 9 9
11 4
9 9
1
232 3
23
A
A
( )
( ) (( )
A ( ) ( )
1 9 4 9
1 27
2723
23
⋅ − ⋅= − ⋅ −=A
08.05. cVamos usar o teorema de Laplace usando a primeira linha da matriz.
A
A A A
A
=−
= ⋅ + ⋅
= ⋅
3 0 0 2
5 1 1 1
2 1 1 2
1 2 1 0
3 2
3
11 14det( )
det( ) (( ) ( )
det( ) (
− ⋅−
+ ⋅ − ⋅−
= ⋅ ⋅ − + −
+ +1
1 1 1
1 1 2
2 1 0
2 1
5 1 1
2 1 1
1 2 1
3 1 4 1 2
1 1 1 4
A −− + ⋅ − ⋅ + − + − −= ⋅ − − ⋅ −= −
2 2 1 5 1 4 1 2 10
3 7 2 9
3
) ( ) ( )
det( ) ( ) ( )
det( )
A
A
4 Extensivo Terceirão – Matemática 3C
08.06. eVamos usar o teorema de Laplace usando a terceira coluna da matriz.
A
A A
A
=−
−
= ⋅
= − +
1 1 0
2 3 1
2 1 0
0 0 1
1
1
0
0
0
1
43
4 3
det( )
det( ) ( ) ⋅⋅−
= − ⋅ − −= − ⋅ −=
1 1 0
2 3 1
2 1 0
1 2 1
1 3
3
det( ) ( ) ( )
det( ) ( ) ( )
det( )
A
A
A
08.07. c
Ax
x x
Ax
y
212 1
323 2
11
2 11 1 1 2 1 2
11
2
= − ⋅−
= − ⋅ − ⋅ − ⋅ = +
= − ⋅ =
+
+
( ) ( ) [( ) ]
( ) (−− ⋅ ⋅ − ⋅ = − +1 1 2 2) ( )x y xy
Assim:1 2 1 1
2 7 2 1 7 5
2 5 2 1 7
+ = − ⇒ = −− + = − ⇒ − + − ⋅ = − ⇒ =
− = − ⋅ − =
x x
xy y y
y x
( )
( )
08.08. dVamos usar o teorema de Laplace usando a quarta linha da matriz.
A
y z w
x w
x z
x A y A
x
x y
=
= ⋅ + ⋅
= ⋅
0
0 0
0 0
0 0
41 42det(A)
det(A) (−− ⋅ + ⋅ − ⋅
= ⋅ − ⋅ − +
+ +1 0 0
0 0
1
0
0
0
1
4 1 4 2) ( )
det(A) ( ) ( )
y z w
w
z
y
z w
x w
x z
x yzw yy
xyzw xyzw
xyzw
⋅ ⋅ += +=
1
2
3
(xzw xzw)
det(A)
det(A)
08.09. d
p xx
p x A A A
p x
( )
( )
( ) ( )
=
= ⋅ + ⋅ + ⋅
= ⋅ − ⋅+
1
2
3
0
1 1 1
0 1 3
1 0
3 1 2
1 2 3
1 1
11 21 31
1 1
00 1 3
1 0
3 1 2
2 1
1 1 1
1 0
3 1 2
3 1
1 1 1
0 1 3
3 1 2
1
2 1 3 1x x
p x
+ ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅
= ⋅
+ +( ) ( )
( ) (33 9 2 2 2 1 3 2 3 2 9 3 3
9 1 2 2 15
− − − ⋅ + − − + ⋅ + − −= − + + + += −
x x x
p x x x
p x
) ( ) ( )
( )
( ) 77 18x +
Portanto, o coeficiente de x é –7.
08.10. b
x
x
x
x
x
x
x x
x
x
0 0 0
1 1 2
2 0 3
0 0 0 2
16
1
1 2
0 3
0 0 2
16
2 16
2 16
1 1
2
3
=
⋅ − ⋅ =
⋅ =
=
+( )
( )
33 8=
Considerando que x é um número real, então x = 2.
Portanto, x 2 22 4= = .
08.11. c
x x
x x
x
2
4 2
2
2
0
0
0
1
110
7 5 5 2
10 4 2
1 1 1
0
1 1
110
7 5 5 2
10 4 2
0
10
−
=
⋅ − ⋅
−
=
+
+
,
( ) ,
220 3 5 15 8 0
2 5 2 012
2
2
2
x x x
x x x ou x
− + − − =
+ + = ⇒ = − = −
Portanto:Nenhuma raiz é nula.
A soma das raízes é −52
.
O produto das raízes é 1.08.12. d
det( )
det( ) ( )
det( )
B
a b c
d e f
g h i
B
a b c
d e f
g h i
B
=
= ⋅ − ⋅+
0
0
0
12
232
6
12
1 4 4
== ⋅12
det( )A
Como o determinante da matriz A é positivo, então det( ) det( ).B A<
5Extensivo Terceirão – Matemática 3C
08.13. d1 2 1 0
1 1 2 1
1 1 2 1
1 3 3
0
1 1
1 2 1
1 2 1
3 3
2 1
1 2 11 1 1 2
−− −
=
⋅ − ⋅−
− − + ⋅ − ⋅−
+ +
x
x
( ) ( ) 11 2 1
1 3
1 1
1 1 1
1 1 1
1 3
0
1 2 6 3 6 2 3 2 2 2
1 3
− +
+ ⋅ − ⋅ − − =
⋅ + − − − + − ⋅ +
+
x
x
x x x
( )
( ) ( ++ − + + ++ ⋅ − − + + − + =− − − + =
− = ⇒ = − =
3 2 2 3
1 1 3 1 3 0
8 12 2 6 0
10 66
10
x
x x
x x
x x
)
( )
−−0 6,
08.14. a
Ax
x
A x
x
x
x
=−
−− −
= ⋅ − ⋅ −+
0 0 3
1 0 0
0 1 1
0 0 1 2
1
0 0
1 11 1det( ) ( )
00 1 2
3 1
1 0
0 1
0 0 1
2 3 1
1 4
2
− −+ ⋅ − ⋅
−−
−
= ⋅ − + − ⋅ −
+( )
det( ) ( ) ( )
det(A
x
x
A x x x
)) = − + +2 33 2x x
08.15. c
A B+ =
−−
− −
+
− − −
− −− −
3 5 3 2
2 0 1 2
1 3 5 4
3 0 2 3
3 4 4 1
1 1 3 0
1 2 4 3
3 1 22 1
1 1 1
1 2 2
1 1 1
1 0 2
0
3
0
0
−
+ =−
+ =
A B
A Bdet( ) 33 1
1 1 1
1 1 1
1 0 2
3 2 1 1 2
6
2 1⋅ − ⋅ −
+ = − ⋅ − + + −+ =
+( )
det( ) ( )
det( )
A B
A B
08.16. b
A
A
=−
= ⋅ − ⋅ − + ⋅ − ⋅+ +
3 4 6 0
1 0 2 1
2 1 4 2
5 3 10 3
3 1
0 2 1
1 4 2
3 10 3
4 1
1 2 1
21 1 1 2( ) ( ) 44 2
5 10 3
6 1
1 0 1
2 1 2
5 3 3
1 3
+
+ ⋅ − ⋅ −+( )
A = ⋅ ⋅ − − + + ⋅ − ⋅ + + − − − ++ ⋅ ⋅ − + +
3 1 12 10 12 6 4 1 12 20 20 20 12 20
6 1 3 6 5
( ) ( ) ( )
( −−= − +=
6
12 12
0
)
A
A
B
B
=−
−− −
= ⋅ − ⋅−
−− −
− ⋅ −
−
+ +
1
0
0
1
3 4 2
1 4 1
2 3 1
3 4 1
1 1
1 4 1
2 3 1
3 4 1
1 11 1 4 1( ) ( ) ⋅⋅ −−
= ⋅ − − − − − + ⋅ + + − + += − +
3 4 2
1 4 1
2 3 1
1 3 12 8 9 8 4 1 12 8 6 16 4 9
38 23
B
B
B
( ) ( )
== −15
Portanto, A B+ = + ⋅ − = −2 0 2 15 30( ) .
08.17. e3
0
0
0
0
0 2 0 0
2 1 1 1
4 2 3 2
1 3 2 3
0 2 0 0
3 1 2 2
3 1
4 2 3 2
1 3 2 3
3 1 2 2
3 2
1 1
−
= ⋅ − ⋅ =
= ⋅
+( )
⋅⋅ − ⋅ =
= − ⋅ + + − − − = − ⋅ = −
+( )
( )
1
4 3 2
1 2 3
3 2 2
6 16 27 4 12 6 24 6 5 30
3 2
Note que − = − ⋅ ⋅30 2 3 5.
Portanto, o número de divisores de –30 é:2 1 1 1 1 1 1 16⋅ + ⋅ + ⋅ + =( ) ( ) ( )
08.18. d
f x
x
x
x k
x
f x xx
x k
x
x
( )
( ) ( )
=
= ⋅ − ⋅+
1 0 0 0
1 0 0
0 1 0
0 0
0 0 1
1
1 0 0
1 0
0
0
0
0
0
0
0
0
1 1
00 1
1
1 0
0
0 1
1 1
2 3
5 3
x
f x x x
x
x k
x
f x x x kx
f x x kx
( ) ( )
( ) ( )
( )
= ⋅ ⋅ − ⋅
= ⋅ −
= −
+
Como f( )− =2 8 , temos:
( ) ( )− − ⋅ − =− + = ⇒ =
2 2 8
32 8 8 5
5 3k
k k
6 Extensivo Terceirão – Matemática 3C
08.19. S = {1, 2} det( )
( ) ( ) ( ) (
A
x x x
x
x
x x x x
=
− − −−− −
=
− ⋅ − + ⋅ − + − − −
0
1 1 1
1 1 2
1 1 2
0
2 1 2 1 12 2 11 2 1 2 1 0
4 1 4 1 0
4 1 1 1 0
2 2
2
) (x ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
+ ⋅ − − ⋅ − =
⋅ − − ⋅ − =⋅ − ⋅ − − =
x
x x
x x
xx ou x
x ou x
− = − − == =
1 0 1 1 0
1 2
Portanto, o conjunto solução da equação é {1, 2}.
08.20. x = 1
x
x
x
x
x
+−
=
⋅ − ⋅+
− = ⋅ − ⋅
⋅
+
1 0 2
0 2 5
0 0
0 1 4
1
78 0
3 1
1 0 2
0 2 5
0 1 4
1 0 78
3
0
0
3
0
3 3( )
[[ ( ) ( )]− ⋅ + − ⋅ + = −− − − − = −
==
8 1 5 1 78
8 8 5 5 26
13 13
1
x x x
x x x
x
x
Aula 0909.01. e
det( )
det( ) ( )
det( ) det( ) det(
A
B
A B A B
= ⋅ − ⋅ = −= − ⋅ − ⋅ = −⋅ = ⋅
1 4 3 2 2
1 1 2 3 7
))
det( ) ( ) ( )
det( )
A B
A B
⋅ = − ⋅ −⋅ =
2 7
14
09.02. dO determinante de uma matriz quadrada é igual ao determinante da sua transposta.x
y
z
x y z8 6
6 4
12 10
8 6 12
6 4 10
=
Dividimos a segunda e a terceira linhas por 2.x y z x y z
8 6 12
6 4 10
2 2 4 3 6
3 2 5
= ⋅ ⋅
Trocamos a segunda e a terceira linhas entre si.
2 2 4 3 6
3 2 5
4 3 2 5
4 3 6
⋅ ⋅ = − ⋅x y z x y z
Portanto:x
y
z
x y z8 6
6 4
12 10
4 3 2 5
4 3 6
4 8 32= − ⋅ = − ⋅ − =( )
09.03. adet( )A = 2
1) multiplicamos a segunda linha da matriz A por 3.det( ) det( )B A= ⋅ = ⋅ =3 3 2 6
2) dividimos a terceira coluna da matriz B por 5.
det( )det( )
CB
= =5
65
3) multiplicamos a primeira e a segunda colunas da matriz C por –1.det(D) det( ) ( ) ( )
det(D) det( )
= ⋅ − ⋅ −
= =
C
C
1 1
65
4) dividimos a primeira linha da matriz D por 12
.
det( )det( )
det( ) det( )
ED
E D
=
= ⋅ = ⋅ =
12
2 265
125
09.04. e
det( ) det( )
det( ) det( )
det( ) det( ) det( )
3
3
27
2
3
A A
A A A
A A A
=
⋅ = ⋅⋅ = ⋅
Como a matriz A é invertível, det( )A ≠ 0.
Assim:27
27
⋅=
⋅
=
det( )det( )
det( ) det( )det( )
det( )
AA
A AA
A
09.05. b
A matriz A =
0 1 0 2 0 3 0 4
0 01 0 02 0 03 0 04
0 2 0 4 0 6 0 8
10 10 10 102 3 4
, , , ,
, , , ,
, , , ,
tem filas paralelas pro-
porcionais, como, por exemplo, a primeira e a segunda linha. Por-tanto, o determinante é igual a zero.
09.06. cI. FALSA.
det( )A a d b c= ⋅ − ⋅
Se a d= e b c= , então det( )A a b= −2 2.
Dependendo dos valores de a e b, o determinante de A pode ser negativo ou igual a zero.
II. VERDADEIRA.det( ) det( )
det( ) det(A)
det( )
det( )
B A
B
B
B
=
= ⋅= ⋅=
2
2
4 5
20
2
III. VERDADEIRA.
Qualquer que seja a matriz quadrada A, det(A) det( )= A t .
7Extensivo Terceirão – Matemática 3C
09.07. af x A
f x
x x
x
x x
f x x
f
f x
( ) det( )
( )
( )
( ) ( )
( )
=
=
= −
− = − ⋅ −
2
2 0 2
0 0 2
0 2 2
8
2 8 2
3
3
== − ⋅ −=
8 8
64
( )
( )f x
09.08. adet( )
det( )
kA
k A
k
k k
=
⋅ =
⋅ =
= ⇒ =
192
192
3 192
64 4
3
3
3
09.09. 10det( )
det( ) det( )
( )
A B
A B
c
c
⋅ = −⋅ = −
⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = −=
60
60
1 1 3 2 1 60
10
09.10. d1 0 0 0 0
0 2 0 0 0
0 0 3 0 0
0 0 0 4 0
0 0 0 0 5
1 2 3 4 5 120
0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 2 0
0 0 0 3 0 0
0
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
00 4 0 0 0
0 5 0 0 0 0
6 0 0 0 0 0
1 1 2 3 4 5 6 7206 6 1
2= − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = −⋅ −
( )( )
Assim:
1 0 0 0 0
0 2 0 0 0
0 0 3 0 0
0 0 0 4 0
0 0 0 0 5
0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 2 0
0 0 0 3 0 0
0 0 4 0 0 0
0 5 0 0 0 0
6 0
+
00 0 0 0
120 720 600= − = −
09.11. c1) CORRETA.
No produto de matrizes, é válida a propriedade associativa.2) INCORRETA.
No produto de matrizes, não é válida a propriedade comutativa.3) CORRETA.
Na adição de matrizes, é válida a propriedade comutativa.4) CORRETA.
O determinante do produto de duas matrizes quadradas A e B é igual ao produto dos determinantes de A e B.
5) INCORRETA. O determinante da soma de duas matrizes quadradas A e B não é necessariamente igual à soma dos determinantes de A e B.
09.12. aI. VERDADEIRA.
Quando trocamos entre si duas filas paralelas de uma matriz, o determinante da matriz muda de sinal. Assim:a b c
a b cd e f
d e f
g h i g h i
= − ⇒ = −2 2
A primeira e a segunda linhas foram trocadas entre si.II. FALSA.
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3 27 2 54
a b c
d e f
g h i
a b c
d e f
g h i
= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ − = −( )
III. VERDADEIRA.Se uma fila é nula, o determinante é igual a zero.a b c
g h i
0 0 0 0=
A segunda linha é nula.IV. VERDADEIRA.
a b c
d a e b f c
g h i
+ + +2 2 2
Multiplicando a primeira linha por –2 e somando com a segunda linha, temos:a b c
d e f
g h i
= −2
09.13. 23 (01, 02, 04, 16)01) CORRETO.
A P B P
A P B P
B P
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
−
−
−
1
1
1
det( ) det( )
det(A) det(P ) det( ) det( )
deet(A)det( )
det( ) det( )
det(A) det( ), det(P)
= ⋅ ⋅
= ≠
1
0
PB P
B pois
02) CORRETO.
A P B P P B P
A P B P P B P
A P B I
2 1 1
2 1 1
2 1
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
− −
− −
−
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) nn B P
A P B P
⋅ ⋅
= ⋅ ⋅−
( )2 1 2
Portanto, A2 é semelhante a B2.04) CORRETO.
A P B P= ⋅ ⋅−1
11 e B P C P= ⋅ ⋅−
21
2
A P P C P
B
P
A P P C P P
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
− −
− −
11
21
2 1
11
21
2 1
��� ��
( ) ( )
Como (P )2 11
11
21⋅ = ⋅− − −P P P , então as matrizes A e C são seme-
lhantes, pois:
A P P C P
B
P
A P P C P P
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
− −
−
11
21
2 1
2 11
2 1
��� ��
( ) ( )
8 Extensivo Terceirão – Matemática 3C
08) INCORRETO.
(A B) ( ) ( )
( )
− = − ⋅ − =
− = − − +
2
2 2 2
A B A B
A B A AB BA B
16) CORRETO.Como A e B são matrizes quadradas de ordem n, temos:det(AB) det(A) det( ) det( )= ⋅ = ⋅ =B B0 0
09.14. b
2 323
23
23
23
a b b a
B A
B A
B
ij ij ij ij= ⇒ = ⋅
= ⋅
= ⋅
=
det( ) det
det( ) ⋅
= ⋅ =
4
1681
34
427
det( )
det( )
A
B
09.15. ddet( )
det( )
det( )
3 162
3 162
3 2 162
3 81 3 3 4
2
4
B
B
d
A A
d
d
d d
t
=
⋅ =
⋅ =
= ⇒ = ⇒ =
⋅ = 44
2 4
8 4 4 4 32
3
k
A A k
k k
t⋅ ⋅ =⋅ ⋅ = ⇒ =
det( ) det( )
Portanto, k d+ = + =32 4 36 .
09.16. d− − −
+ + + = − ⋅ ⋅ + + +2 2 2
2 2 2
3 3 3
2 3 2 2 2
a b c
p x q y r z
x y z
a b c
p x q y r z
x y z
Multiplicando a terceira linha por –1 e somando com a segunda linha, temos:
− − −+ + + = − ⋅ ⋅2 2 2
2 2 2
3 3 3
2 3 2 2 2
a b c
p x q y r z
x y z
a b c
p q r
x y z
Assim:− − −
+ + + = − ⋅ ⋅ ⋅ = − ⋅ − =2 2 2
2 2 2
3 3 3
2 3 2 12 1 12
a b c
p x q y r z
x y z
a b c
p q r
x y z
( )
09.17. dI. FALSA.
O determinante de uma matriz pode ser nulo mesmo que nenhu-ma fila seja nula.
II. VERDADEIRA.
A
a a a a
a a a
a a
a
n
n
n
nn
=
11 12 13 1
22 23
33
0
0 0
0 0 0
0 0 0 0
………� �
O determinante de uma matriz triangular é o produto dos ele-mentos da diagonal principal. Assim:det( )A a a a ann= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅11 22 33
III. VERDADEIRA.
det( ) ( ) ( ) det( )
det( ) ( ) det( )
det( ) det( )
B A
B A
B A
= + ⋅ − ⋅= − ⋅=
2 1 2 1
2 1
09.18. a
det( ) det( ) det( )
det( ) det( )
2 229
3
2 229
2 3 3
3 3 3
M M M
M M M M M
− = ⋅
⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅⋅ ⋅
⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅
3
8 2 6
3 det( )
det( ) det( ) det( ) det( ) det( ) det( )
M
M M M M M M
Como a matriz é invertível, det( )M ↑0 . Assim:
8 2 6
4 3 0
1
2
⋅ − ⋅ ⋅ =
− ⋅ + ==
det( ) det( ) det( )
det ( ) det( )
det(M) de
M M M
M M
ou tt( )M = 3
Portanto, det( )M − = =1 11
1 ou det( )M − =1 13
.
09.19. a)
det( )
det( )
det(
P
a b
b
a
ab ab b a
P ab b a
P
= = + − −
= − −
0
5 3
3 16
16 5 3 3
21 3 3
2 2
2 2
)) ( )= − ⋅ + −3 72 2a b ab
b)Q P
Q P
Q P
Q a b ab
==
= ⋅
= ⋅ − ⋅ + −
2
2
2
8 3 7
3
2 2
det( ) det( )
det( ) det( )
det( ) ( ) ( ))
det( ) ( )Q a b ab= ⋅ − − +24 72 2
Portanto, o determinante da matriz Q é divisível por 24, quais-quer que sejam os inteiros a e b.
09.20. x = 1 ou x = –1
u
x
x
x
x
x x x x x= = ⋅ ⋅ ⋅ =
1 2 0
0 1 1
0 0 1
0 0 0
4
u u
u u
2
2
2 1 0
1 0 1
− + =
− = ⇒ =( )
Assim:
x
x
x x
x x x
ou
x x x
4
4
2 2
2 2
2 2
1
1 0
1 1 0
1 0 1
1 0 1
=
− =
+ ⋅ − =
+ = ⇒ = − ∉
− = ⇒ = ⇒ =
( ) ( )
( )
11 1ou x =
9Extensivo Terceirão – Matemática 3C
Aula 0707.01. V – V – V – V07.02. d
D n nn n
n= ⇒ =−
⇒ =2 23
27
( )
07.03. c
2
n (n 3)D
2
n (n 3)35
2
n 3n 70 0 ou
n 7 (não conv
n 1
ém)
0
⋅ −=
⋅ −=
− −= −
==
Portanto, o polígono regular tem 10 lados.07.04. a
Dn D 3n
3
n (n 3)D
2n (n 3)
3n2
6 n
n 9
3
= ⇒ =
⋅ −=
⋅ −
= −=
=
07.05. d
Dn n
D
D
=⋅ −
=⋅ −
=
( )
( )
32
9 9 32
27
07.06. c 360° 360°
15° n n 24n 15°
n (n 3)D
224
D 252
(24 3)D
2
= ⇒ = ⇒ =
⋅ −=
⋅ −
=
=
07.07. e 2
2
2
x 3xN(x)
2x 3x
92
x 3x 18 0 ou
x 3 (não convém
6
)
x
−=
−=
− − == −
=
Então, o polígono convexo, que possui ao todo 9 diagonais, tem exatamente 6 lados.
07.08. c
Dn n
D
D
=⋅ −
=⋅ −
=
( )
( )
32
13 13 32
65
07.09. cO pentágono da figura a seguir é regular. Então, os triângulos ABC e CDE, destacados, são isósceles e congruentes e β indica a medi-
da do ângulo interno do pentágono.C
EA
B D
X
β β
αα
α α
Assim, temos:
o
180° (5 2)108°
5180°
108 2 180° 2 72°
x 108°
x 108° 2
x 108° 72° x 36°
⋅ −β = ⇒ β =
β+ α + α =
+ α = ⇒ α =α + + α == − α= − ⇒ =
O ângulo interno ACE mede 36°. 07.10. c
Cada ângulo interno de um pentágono regular mede 108° e o tri-ângulo destacado na figura a seguir é isósceles.
108º
α
α
Então:108° 180°
2 180° 1
6°
08°
3
+ α + α =α =
α =−
07.11. a
Dn n
=−( )3
2
n n n n( ) ( )( )−+ =
+ + −3
240
5 5 3
2
n(n – 3) + 80 = (n + 5) (n + 2) ⇒ n = 707.12. b
Soma dos ângulos conhecidos: 780°Como é um heptágono: n = 7Então: 180° (n – 2) = 780° + x180° (7 – 2) = 780° + x ⇒ x = 120°
Resoluções
PB 1Extensivo Terceirão – <disciplina> <numdisciplina> Extensivo Terceirão – Matemática 3D
3DMatemática
07.13. b• n1 = n – 2
n2 = nn3 = n + 2
• 180° (n1 – 2) + 180° (n2 – 2) + 180° (n3 – 2) = 2 160°(n1 – 2) + (n2 – 2) + (n3 – 2) = 12(n – 4) + (n – 2) + n = 123n = 18n = 6 ⇒ n1 = 4, n2 = 6 e n3 = 8Logo, o que possui o menor número de lados, dentre eles, é um quadrilátero.
07.14. dPrimeira solução:Si = 180° · (n − 2)Sendo α a medida do ângulo remanescente, temos: 180° · (n − 2) − α = 1900°180° · n − 360° − α = 1900° α = 180° · n − 2260°Como α é maior que 0° e menor que 180°, temos:0 < 180n − 2260 < 180 2260 < 180n < 2440 12,555... < n < 13,555... Portanto, n = 13 e α = 180° · 13 − 2260° = 80°. Segunda solução:A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono conve-xo é múltiplo de 180°, pois Si = 180° · (n − 2). O menor múltiplo de 180° maior que 1900° é 1980° e o múltiplo seguinte é 2160°. Como a medida de qualquer ângulo interno é maior que 0° e menor que 180°, então o ângulo remanescente mede 1 980° − 1900° = 80°.
07.15. b260° + 128° (n – 2) = 180° (n – 2) 260° + 128° n – 256 = 180 n – 360°n = 7
07.16. bOs ângulos assinalados na figura do enunciado são congruentes. Então, fazendoa b c d e= = = = = α ,
e lembrando que cada ângulo interno de um pentágono regular mede 108°, temos a seguinte figura:
108ºP
A
E
D
CB
α
α α
αα
Do triângulo PEC, temos:
108 180 36o o o+ + = ⇒ =α α α
Portanto:
a b c d e o o+ + + + = = ⋅ =5 5 36 180α
07.17. 09 (01, 08)
Sendo α1 a medida do ângulo externo de P1 e α 2 a medida do
ângulo externo de P2 , temos:
α α1 2 15
360 360
215
= +
=+
+
o
o oo
n n
360 2
2
360 15 2
2
360 720 360
o o o
o o
n
n n
n n n
n n
n
⋅ +⋅ +
=⋅ + ⋅ ⋅ +
⋅ +
⋅ + =
( )
( )
( )
( )oo o o
o o o
n n n
n n
⋅ + ⋅ + ⋅
⋅ + ⋅ − =
15 30
15 30 720 0
2
2
Dividindo por 15° cada termo da última equação, segue que:2n 2n 48 0 ou n 8 (não convém, pois n 0)6 .n+ − = ⇒ = − >=
n 6= ⇒ P1 tem 6 lados e P2 , tem 8.
01) Correto
P2 tem 8 lados. Logo, é um octógono.
02) Incorreto
io
o=⋅ −
=180 8 2
8135
( )
04) Incorreto
P1 tem apenas 6 lados.
08) Correto
n D= ⇒ =⋅ −
=88 8 3
220
( )
16) Incorreto
n S io o= ⇒ = ⋅ − =6 180 6 2 720( )
07.18. b I. Correto
n D n nn
n= ⇒ = ⋅−
⇒ =( )3
25 o pentágono é o único po-
lígono que tem diagonais e lados em igual quantidade. II. Incorreto
D n nn n
n= ⇒ =⋅ −
⇒ =4 43
211
( ). Ou seja:
n D= ⇒ = = ⋅11 44 4 11
III. CorretoSeja x um número natural.
Dx
nD n x
n (n 3)n x n 2x 3
2
=
= ⋅⋅ − = ⋅ ⇒ = +
x 2x é par 2x 3 é ímpar n é ímpar∈ ⇒ ⇒ + ⇒
07.19. 99 cmProlongando os lados do héxagono, obtemos a figura abaixo.
E D
M
20
F
C
N PA B23
15
13
Cada um dos ângulos internos do hexágono da figura original
mede 120 o , pois 180 6 2
6120
oo⋅ −
=( )
.
2 3Extensivo Terceirão – Matemática 3D Extensivo Terceirão – Matemática 3D
Assim, conclui-se que os ângulos externos desse hexágono me-
dem, cada um, 60 o . Portanto, os triângulos MED, NFA, PBC e PMN
são equiláteros, donde segue que:
MN NP MP 20 13 15 48
NF NA 48 23 15 10
EF 48 10 20 18
= = = + + == = − − == − − =
Logo, o perímetro do hexágono ABCDEF é igual a 99 cm, pois:
23 15 13 20 18 10 99cm cm cm cm cm cm cm+ + + + + = .
07.20. 14 Sendo α a medida de um ângulo interno do polígono convexo de
n lados, tal que 2004 oiS+ =α , temos:
oi
o o
o o
S 2004
180 (n 2) 2004
n 180 2364 (I)
= + α
⋅ − = + α
α = ⋅ −
o0 180 (II)< α <
Substituindo (I) em (II):
0 180 2364 180
2364 180 2544
13 1333 14 1333
< ⋅ − <
< ⋅ << <
n
n
n
o o o
o o o
, ... , .... ⇒ =n 14
O polígono possui 14 lados.
Aula 0808.01. V – F – F – V
O ponto de intersecção das:– medianas de um triângulo denomina-se baricentro;– das mediatrizes de um triângulo denomina-se circuncentro;– bissetrizes de um triângulo denomina-se incentro;– alturas de um triângulo denomina-se ortocentro.
08.02. c
o o o
o
o
o
o o o
o o
3x (x 15 ) (75 x) 180
3x 90
x 30
3x 90
x 30 x 15 45
75 x 45
+ + + − =
=
=
== ⇒ + = − =
Os ângulos internos do triângulo medem 45o , 45o e 90 o . Por-
tanto, trata-se de um triângulo retângulo e isósceles.08.03. d
Observe as figuras a seguir:
H H
O segmento de reta traçado de um vértice de um triângulo à reta suporte do lado oposto é a altura desse triângulo.
08.04. d• Figura 1:
74 42 42 180o o o o+ + ≠ ⇒ essa figura está com as medidas erra-
das.• Figura 2:
18 12 152 2 2≠ + ⇒ essa figura está com as medidas erradas.
• Figura 3:15 8 6> + ⇒ essa figura está com as medidas erradas.
Portanto, todas as figuras estão com as medidas erradas.08.05. c
Se os lados de um triângulo medem 13 cm , 15 cm e x cm, então,
pela desigualdade triangular, temos que:
| |15 13 13 15 2 28− < < + ⇒ < <x x
Portanto, a maior medida inteira que o terceiro lado pode assumir é igual a 27.
08.06. d
Se A o = 40 , B o
= 50 e C são as medidas dos ângulos internos de
um triângulo ABC, então:
40 50 180 90o o o oC C+ + = ⇒ = ⇒ o triângulo ABC é retângu-
lo em C. Portanto, o ângulo formado pelas alturas relativas aos vértices A e B
mede 90 o , conforme indicado na figura a seguir.
AC
B
40º
50º
Altura relativaao vértice A
Altura relativaao vértice B
08.07. cNo triângulo ABC, os lados AB e AC têm medidas iguais. Logo, os ângulos internos relativos aos vértices B e C são congruentes. Su-pondo que a medida desses ângulos, em graus, é igual a 2α , cons-
truímos a figura a seguir, onde as linhas tracejadas indicam as bis-setrizes dos ângulos internos correspondentes.
C
A Bθ
α
αα
α
140º
I
• Do triângulo BCI:
α α α+ + = ⇒ =140 180 20o o o
• Do triângulo ABC:
2 2 180
180 4
180 4 20
100
α α θ
θ α
θ
θ
+ + =
= −
= − ⋅
=
o
o
o o
o
• Dos resultados anteriores, conclui-se que os A, B e C medem, res-pectivamente: 100 40 40o o oe, .
2 3Extensivo Terceirão – Matemática 3D Extensivo Terceirão – Matemática 3D
08.08. d I. Verdadeira.
II. Verdadeira – Congruentes significa de mesmas medidas.
A B
C
E F
G
III. Falsa – Congruentes não é sinônimo de semelhantes. IV. Verdadeira.
A
B
C A’
B’
C’
08.09. e
x
120º
60º
120º
140º
140º
x + 60° + 140° + 90° = 360°x = 70°
08.10. cConsiderando o ponto P1 médio de BC, temos o triângulo MPC, equílatero, e o triângulo PME, semelhante ao triângulo EBN, con-forme indicado na figura.
6
66
66x
M
P
N
E C12 12B
Da semelhança dos triângulos EBN e EPM, temos:
6 6 1212
4x
x=+
⇒ = o segmento BN mede 4 cm.
08.11. d
65º
xx
P
αα α
α
• 65° + 2x = 180°x = 57,5°2 + x = 2 + = 180°2 + x = 2 + P ⇒ P = x ⇒ P = 57,5°
P = 57°30’
08.12. bx + 8 < (x + 3) + (x + 3)x + 8 < 2x + 6 x > 2x > 2 x = 3 é o menor valor inteiro e positivo que x pode as-sumir.
08.13. aA
yx
E
3
C BD
9
4511
45 = 541111
9 –
b c
nmb = c
nm
x 3 y45 5411 11y 9
3x 3
+
=
= =
x = 2 e y = 6⇒
(2p) = 2 + 3 + 9 + 6 = 2008.14. α =17° 30’
α
45º
E
A
B
D F
85º
95º
x
• 45° + 2x = 180°x = 67,5°• + 95° + 67,5° = 180°
= 17,5° = 17° 30°08.15. a
Z
X Y2 2
Pd1
d1
6 – d1
d1
• d12 = 22 + (6 – d1)2 ⇒ d1
2 = 4 + 36 – 12 d1 + d12
d140
12
10
3= =
• 6 610
3
8
31− = − =d
08.16. d
c
A
B C
b
15 6
C = 21
• c + b + 21 = 49c + b = 28 (I)
• c b
15 6=
c = 5
2
b (II)
Substituindo (II) em (I):
• 5
228
bb+ =
5b + 2b = 56 ⇒ b = 8
• c =⋅
=5 8
220
Resposta: 8, 20 e 21
4 5Extensivo Terceirão – Matemática 3D Extensivo Terceirão – Matemática 3D
08.17. c
A
B
C
R
20
15
14 – x
Q
x
• Do triângulo ABC:20
14
15
−=
x x
x = 6• Do triângulo ABQ:15 6
AR QR=
QR
AR= =
6
150 4,
08.18. b
2x
AD
GE
B
C
x2y
y
• G é o baricentro, portanto: EG = y ⇒ GC = 2y.• 2y + y = 123y = 12y = 42y = 8
• SBD y
ABC =⋅
=⋅
=2
2
8 8
232
Mas SADB = SDBC e SABC = SADB + SDBC. Portanto:SABC = 32 + 32 = 64
08.19. 30 cmA
R
B
G
C
S
Os ângulos RBG e CBG são congruentes, assim como os ângulos
CBG e BGR . Então o triângulo BGR é isósceles, com BR = RG. Analo-
gamente, CS = SG. Assim, AS + AR + RS = AB + AC = 30 cm.
08.20. AN cm= 6
A
M
B
C
DP
N
Traçando o segmento PA, temos que N é o baricentro do triângulo
ABP. Assim, AN = 2
3 · 9 = 6 cm.
Aula 0909.01. b
D70 cm
AE
C
108 cm
B
45 cm
Se o segmento BC é paralelo ao segmento ED, então o triângulo ABC é semelhante ao triângulo ADE. Dessa semelhança, segue que:AC
AC AC cm70
10845
7010845
168= ⇒ = ⋅ ⇒ =
09.02. b
50 cm
15 cm
H
21 m = 2100 m
50 152100
700 70H
H cm m
=
= =
09.03. a
• 45 20 30
3027
yy=
+⇒ =
• x
x+
=+
= ⇒ =36
3620 30
3053
24
09.04. aH
H m5
153
25= ⇒ =
09.05. c12 8
23
xx= ⇒ =
09.06. a
7030
30 x
7030
3022 5=
+⇒ =
xx
x cm,
09.07. 10 (02, 08)Na figura a seguir, os pares de ângulos que estão destacados com a as mesmas cores são congruentes (ou são pares de ângulos opos-tos pelo vértice, ou são alternos internos).
4 5Extensivo Terceirão – Matemática 3D Extensivo Terceirão – Matemática 3D
A
C 30 cm D
B
20 cm
h
P
10 cm
20 – h
Da figura, temos que(I): os triângulos APB e CPD são semelhantes, pois seus ângulos cor-respondentes são congruentes;(II): h cm= 5 e 20 15− =h cm , pois, da semelhança entre os tri-ângulos,20 30
1020
3 5 20 15−
= ⇒−
= ⇒ = ⇒ − =h
hh
hh cm h cm
A seguir, a análise das afirmações.01) Incorreto
SS
h
hh
hAPB
CPD
=
⋅
⋅ − =⋅ −
=⋅
=
10
230 20
23 20
53 15
19( ) ( )
02) Correto
Sh
h cmAPB =⋅
= ⋅ = ⋅ =10
25 5 5 25 2
04) IncorretoA altura do triângulo CPD mede 15 cm.
08) CorretoOs triângulos APB e CPD são semelhantes, pois seus ângulos correspondentes são congruentes.
16) Correto
Sh
h cm cmCPD =⋅ −
= ⋅ − = ⋅ = >30 20
215 20 15 15 225 2002 2( )
( )
09.08. d
DyA B
C
E
x6
8
Considere, na figura, que os segmentos ED e CB são paralelos.
ABC6 8
S 242⋅= =
ADEx y 1
S 24 xy 242 2⋅= = ⇒ = (I)
6 8 3x y
x y 4= ⇒ = (II)
Substituindo (II) e (I):3
y y 244
⋅ =
y y AD2 32 4 2= ⇒ = =
09.09. 21 (01, 04, 16) Considerando um triângulo isósceles ABC, onde cada ângulo inter-no da base BC mede 2α , construímos, de acordo com as informa-
ções do enunciado, a figura a seguir.
A
B
P
C
α
α
α2α
2α
3α
01) Correto.
Considerando o ângulo interno BAC :
med BAC
o o o
( ) =
+ + = ⇒ = ⇒ =
α
α α α α α2 2 180 5 180 36
02) Incorreto.Se CP fosse também mediana relativa ao lado AB, o triângulo BPC seria, necessariamente, equilátero, pois BP PA= implica
BP PC BC= = . Porém, isso não ocorre, uma vez que
α = ≠36 60o o.
04) Correto.Observe, na figura anterior, que ambos os triângulos BPC e BCA têm ângulos internos medindo α , 2α e 2α . Portanto, são
semelhantes. 08) Incorreto.
O ângulos internos do triângulo BPC medem α , 2α e 2α ,
enquanto que os ângulos internos do triângulo APC medem α , α e 3α . Portanto, não são semelhantes e, consequente-
mente, não são congruentes.16) Correto.
Dois dos ângulos internos do triângulo BPC medem 2α . Por-
tanto, BPC é um triângulo isósceles.09.10. c
De acordo com enunciado, construímos a figura a seguir, onde T re-presenta o ponto onde a circunferência de centro P tangencia o lado AC do triângulo ABC, e Q é o ponto de tangencia com o lado BC.
A
QB C
T
P3 cm
3 cm
4 cm5 cm
8 cm
O triângulo ATP é retângulo, de cateto 3 cm e hipotenusa 5 cm. Pelo teorema de Pitágoras, determinamos a medida do cateto AT (4 cm). Os triângulos ATP e AQC são semelhantes, de acordo com as medi-das dos ângulos indicadas na figura. Portanto:
QCPT
AQAT
QCQC cm= ⇒ = ⇒ =
384
6 .
Mas AT é a altura do triângulo isósceles ABC, donde segue que BQ QC cm= = 6 . Então:
BC BQ QC
BC cm cm
BC cm
= += +=
6 6
12
6 7Extensivo Terceirão – Matemática 3D Extensivo Terceirão – Matemática 3D
09.11. d
C
2
3A
B
R
T
S
x
x
3 – x
Da semelhança entre os triângulos ABC e STC, temos:3
3 265
−= ⇒ =
x xx
Portanto:2
2ARST
ABC
ARSTARST ABC
ABC
6 36S x
5 253 2
S 3236
S 1225 0,48 S 0,48 SS 3 25
= = = ⋅= =
= = = ⇒ = ⋅
Ou seja, a área do quadrado ARST equivale a 48% da área do tri-ângulo ABC.
09.12. dConsidere H como sendo a medida da altura do triângulo ABC, e as demais medidas indicadas na figura a seguir.
C
8
E
H
H – 12
D G
A BF
12
15 Os triângulos DGC e ABC são semelhantes. Portanto:
H
HH H
H H
H H
−=
⋅ − ⋅ = ⋅⋅ − = ⋅
⋅ = ⇒ =
12 815
15 15 12 8
15 180 8
7 180180
7
09.13. dEm cada uma das figuras a seguir, o triângulo destacado e o tri-ângulo determinado pelo gráfico e pelos eixos coordenados são semelhantes.
25
z
z tx (horas)
x (% de carga)
100
75
15
z
z t + 2x (horas)
x (% de carga)
100
75
Da semelhança entre os triângulos obtidos do gráfico em ver-
melho:tz
t z I= ⇒ =10025
4 ( )
Da semelhança entre os triângulos obtidos do gráfico em azul:
tz
t z II+
= ⇒ = −2 90
156 2 ( )
Substituindo (II) em (I):
6 2 4 1z z z− = ⇒ =
z t t h= ⇒ = ⋅ ⇒ =1 4 1 4
09.14. d Observe a figura a seguir.
44
t
s
QP
22
Pela semelhança dos triângulos retângulos indicados na figura, temos:PQ
PQPQ
PQPQ PQ PQ
−=
−=
⋅ − = ⇒ =
6 24
6 12
2 12 12
09.15. a) 60m b) 200 10 s
B
T
AX
20
300
900
a) 300
20
900=
x ⇒ x = 60 m
b) AB AB AB m2 2 2 2 4900 300 9 10 10 300 10= + ⇒ = ⋅ ⋅ = =⇒
tm
m ss= =
300 10
1 5200 10
, /
09.16. bNa figura a seguir, considere as medidas em centímetros.
A
TB C
R
O
P Q
r
r
4 – 2r
4
3 3
Nessa figura, AT indica a altura do triângulo isósceles ABC, de base BC. Do triângulo retângulo ATC, temos:
AC AT TC
AC AC
2 2 2
2 2 23 4 5
= +
= + ⇒ =
Os triângulos AOR e ATC são semelhantes. Portanto:
AOAC
ORTC
r rr
=
−= ⇒ =
45 3
2 3
Os triângulos APQ e ABC são semelhantes. Se t indica a medida
do segmento PQ, então:PQAB
r tt cm=
−⇒ =
−⇒ =
4 24 6
4 34
1 5,
6 7Extensivo Terceirão – Matemática 3D Extensivo Terceirão – Matemática 3D
09.17. e
R R
O
10 m 200 km
10 cm 10 m
R cm
cm20 000 000
1000
10=
2R = 2 ∙ 107 ∙ 102 cm2R = 4 ∙ 109 cm = 4 x 104 km
09.18. dOs triângulos ABD e BCD são semelhantes.
12
448 4 32
BD
BDBD BD cm= ⇒ = ⇒ =
BC BC cm2 2 24 4 3 8= + ⇒ =( )
Como BC = 4EC, temos que EC = 2 em e BE = 6 cm. Observe que os triângulos ABC e BDC são semelhantes. Como
12
6
4
22= = , temos que
4 32
DE= , ou seja, DE cm= 3 .
09.19.
A CE
D
B
a) Os triângulos ADC e BEC são retângulos em D e C, respectiva-mente, e o ângulo agudo em destaque é comum a esses dois triângulos. Considerando que o ângulo interno relativo ao vértice C mede
α e que os ângulos internos DAC e CBE medem β e θ , res-
pectivamente, temos, pela lei angular de Tales, que
90 90o o+ + = + +α β α θ , donde segue que β θ= . Portanto,
os triângulos ADC e BEC são semelhantes, pois seus pares de ângulos correspondentes são congruentes.
b) Se ADC e BEC são semelhantes, entãoDCEC
ACBC
DCAC
ECBC
= ⇒ = .
Mas os lados DC e EC, do triângulo DEC, e os lados AC e BC, do triângulo ABC, determinam o mesmo ângulo interno (ângulo agudo em destaque). Portanto, os triângulos DEC e ABC são semelhantes.
09.20. a) 19,2 mConsiderando que, na figura do enunciado, os segmentos DE e AC são paralelos, teremos então que os triângulos ABC e BDE são semelhantes. Portanto:
xm
mm
x m2
242 5
19 2= ⇒ =,
.,
b) Se D e E são os pontos médios dos lados AB e AC, respectiva-mente, então o segmento DE é uma base média do triângulo ABC. Portanto, o segmento DE é paralelo ao lado BC e
DE BC= ⋅12
. Consequentemente, os triângulos DEM e BCM são
semelhantes, conforme indicado na figura a seguir.A
M
E
CB
D
Da semelhança entre os triângulos DEM e BCM, temos:
EMBM
= =⋅
= ⇒ = ⇒ = ⋅DEBC
BC
BCEMBM
BM EM
1
2 12
12
2 ,
conforme queríamos demonstrar.
8 PBExtensivo Terceirão – Matemática 3D Extensivo Terceirão – <disciplina> <numdisciplina>
Aula 0707.01. b
cossecx =− ⇒ =−
⇒ = −7
4
17
4
4
7senx senx
07.02. d
tgx
tg x
tgx
x
senx
x
x
senx
x
xsenx
1 1 12 2
2
2
+= = = ⋅ = ⋅
sec
cos
coscos
coscosxx
07.03. a
B x sen x
B x sen x x sen x
B x sen x
= −
= +( ) ⋅ −( )= ⋅ −(
cos
cos cos
cos
4 4
2 2 2 2
2 21 ))= −B x sen xcos 2 2
07.04. d
E x x
E sen x x
E sen xsen x
E
= −( ) ⋅ +( )= ( ) ⋅ ( )= ⋅
=
1 1
1
2 2
2 2
22
cos cotg
cossec
11
07.05. a
cos coscos
θ θ θ θθθ θ
⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =tgsen
sencossec
11
07.06. b
•
•
cos sec
sec
sec
( )
x x
x
x tg x
tg x tg
= − ⇒ = −
= −
= +
⇒ − = + ⇒
13
3
3
1
3 12 2
2 2 22
2
8
3
82 2
x
x Q
tg xtgx
o
=
∈
=
⇒ =•
.
07.07. a
•
•
sen x x
x
x
x Q
x
o
2 2
22
2
2
1
14
1
1516
2
151
+ =
−
+ =
=
∈
=
cos
cos
cos
.
cos66
154
4
15
4
15
4
15
15
15
⇒ = − ⇒ = −
= − ⇒ = − ⋅ ⇒ =
cos sec
sec sec sec
x x
x x x• −−4 15
15
07.08. c
•
•
senx c x
x x
x
= = ⇒ =
= +
=
0 635
53
1
53
2 2
, ossec
cossec cotg
cossec
⇒⇒
= + ⇒ =
< <
=
⇒
53
1169
0 90
169
22 2
2
cotg cotg
cotgcot
x x
x
x
o
• ggx =43
Portanto:
cotgx cossec⋅ = ⋅ =x4
3
5
3
20
9
07.09. btgx x
senx
x
x
senx
sen x x
x senx
x
+ =
+ =
+⋅
=
⋅
cotg 2
2
2
1
2 2
cos
cos
cos
cos
cos ssenx
x senx x senx
=
⋅ = ⇒ ⋅ =
2
1
20 5cos cos ,
07.10. b− ≤ ≤
= −
⇒ − ≤ − ≤ ⇒ ≤ ≤1 1
4
1 4 1 3 5
senx
senx m
m m
07.11. d10 5 2 10π π π= ⋅ ⇒ rad e 2π rad são medidas de arcos côngruos.
Portanto, sec( ) sec( )cos( )
10 21
2
1
11π π
π= = = =
07.12. e
•
•
tgxsenx
xx
senx
sen x x
sen xsenx
= ⇒ = ⇒ =
+ =
+
5 55
1
5
2 2
2
coscos
cos
=
+ = ⇒ =
2
22
2
1
51
56
sen xsen x
sen x
Resoluções
1Extensivo Terceirão – Matemática 3E
3EMatemática
07.13. y = 3
y
tg sen
=
⋅
+ ⋅
− ⋅
cos 42
2 22
22
2
ππ
π
πcotg
⋅
+ ⋅
=( )+ ⋅
−
cossecπ π
ππ
28
2
2 24
sec
cosy
tg senny y
π
π ππ
( )
⋅
+ ( )
⇒ =+ ⋅ −
⋅ +⇒ =
cotg cossec2 2
4
1 2 1 0
0 1 1sec33
07.14. b
cos ( ) ( )2 2
1
1
1
1 1
11
θθ
θθ
θ θθ
θ−
=−−
=+ ⋅ −
−= +
sen
sen
sen
sen sen
sensen
07.15. e
coscos
cos
cos
cos
2
2
2
2
2
x x
sen x tgx
xx
senx
sen xsenx
x
x
−−
=−
−
−
cotg
cotggx
sen x tgx
x xsenx
senx senxx
2
1
1−=
⋅ −
⋅ −
cos cos
cos
cos 22
2
1
1x x
sen x tgx
x
senx
senx x
senxsenx x
−−
= ⋅
⋅ −( )
⋅ −( )cotg cos
cos
cos
ccos
cos cos cos cos
x
x x
sen x tgx
x
senx
senx x
senx
x
s
2
2
1−−
= ⋅⋅ −( )
⋅cotg
eenx x
x x
sen x tgx
x
sen x
x
senx
⋅ −( )
−−
= =
cos
cos cos cos
1
2
2
2
2
cotg =
22cotg x
07.16. d
•
•
M senx x sen x senx x x senx x
N
2 2 2 2
2
2 1 2= + = + ⋅ ⋅ + = + ⋅ ⋅
=
( cos ) cos cos cos
(( cos ) cos cos cossenx x sen x senx x x senx x
M N
− = − ⋅ ⋅ + = − ⋅ ⋅
+ =
2 2 2
2 2
2 1 2
• (( cos ) ( cos )1 2 1 2 2+ ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ =senx x senx x
07.17. c
( )
( )
θ + θ =
− + − =
− + + − =
= − θ = − ⇒ ≥
−=
− = ⇒
2 2
22
2
2
sen cos 1
(m 1) m 2 1
(m 2m 1) (m 2) 1
m 1 Não convém, pois cos m 2 m 2
m m 2 ou
m
0
2
07.18. c
a u v a u sen v a u v sen v
a u
2 2 2 2 2 2 2
2
⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ +( )⋅ ⋅
cos cos cos cos cos
cos coos cos cos
cos cos cos
2 2 2 2
2 2 2 2
1v a u sen v a u
a u v a u sen v
+ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ( )
⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ == ⋅a u2 cos
Sendo a> 0, segue que:
a u v a u sen v a u2 2 2 2⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅cos cos cos cos
07.19. π π π π4
3
4
5
4
7
4, , e
x x sen
x x sen
2 2
2 2
2 0
2 0
− + =
− ⋅ + =
cos
cos
θ θ
θ θ
Se as raízes dessa equação são reais e iguais, então:∆ =
− − ⋅ ⋅ =
− =
− = ⇒ =
0
2 4 1 0
4 4 0
0
2 2
2 2
2 2
( cos )
cos
cos cos
θ θ
θ θ
θ θ θ
sen
sen
sen ssen ou senθ θ θcos = −
0 24 4
5
4
7
4≤ ≤ ⇒ = ± ∈
3θ π θ θ θ
π π π πsen secos ; ; ; , confor-
me indicado na figura a seguir.
3π4
7π4
5π4
π4
22
22
22–
22–
07.20. Ax
=−
1
1 cos
Asen x
Asen x
Asen x sen x
=+
= + ⋅
= +
cotg x cossec x
(cotg x cossec x)
cos x
1
1
⋅
=+
⋅
=+
=+
−
1
1 1
1
1
1
2
2
sen x
Asen x sen x
Asen x
A
cos x
cos x
cos x
cos xx
Ax x
Ax
=+
+( ) −( )⇒ =
−cos x
cos cos cos
1
1 1
1
1
2 Extensivo Terceirão – Matemática 3E
Aula 0808.01. e
sec cosx x> ⇒ >0 0
Cosseno e secante têm os mesmos sinais nos quadrantes, e são positivos para arcos do primeiro e para arcos do quarto quadrante. Portanto:
sec . .x x Q ou x Qo o> ⇒ ∈ ∈0 1 4
08.02. bA x x senx x
A xsenx
senxx
A
= ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ =
cos sec
coscos
cossec
1 11
08.03. b
•
•
cossecx x Q ou
tgx ou x Q
x Q
x Q
o
o
o
o
> ⇒ ∈
< ⇒ ∈
∈
∈
0 1
0 4
2
2
.
.
.
.
Portanto:
•cossecx
tgxx Qo>
<
⇒ ∈0
02.
08.04. cConsiderando que ( ) (cos )senx tgx x x E+ ⋅ + =cotg , temos:
E senx tgx x x
E senx x senx x tgx x t
= + ⋅ += ⋅ + ⋅ + ⋅ +
( ) (cos )
cos cos
cotg
cotg ggx x
E senx x senxx
senx
senx
xx
senx
x
⋅
= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅
cotg
coscos
coscos
cos
ccos
cos cos
( cos cos ) (
x
senx
E senx x x senx
E senx x x senx
= ⋅ + + += ⋅ + + +
1
1))
cos ( ) ( )
( )(cos )
E x senx senx
E senx x
= + + += + +
1 1
1 1
08.05. dy tg sen
ysen
sen
= + ⋅ − ⋅ −
= +
( ) (sec cos ) ( )
cos
cos
θ θ θ θ θ θ
θθ
θ
cotg cossec
θθ θθ
θθ
θ θ
⋅ −
⋅ −
=+
1 1
2 2
coscos
cos
cos
sensen
ysen
θθ θθ
θθ
θ⋅
⋅
−
⋅
−
=
sen
sen
sen
y
1 1
1
2 2cos
cos
ccos cos
cos
. cos
cos
θ θθθ
θθ
θ θθ θ
⋅⋅ ⋅
=⋅
⇒ =
sen
sen
sen
ysen
seny
2 2
2 2
2 21
08.06. bθ
θθ
∈=
⇒ = + ⋅ ∈
1
145 360
.,
oo oQ
tgk com k . Ou seja, θ e 45° são
medidas de arcos côngruos. Portanto:
cos cos( )θ = =452
2o
08.07. d
1
3 3
1
3
1
11
3
2
2
2
2
2
2
2
2
+= = ⋅ = ⋅
cotg cossecx
x
x
xsen x
x
x
sensec seccos
cos
xx
x=
cotg2
3
08.08. a
•
•
cos
cos
x
sen x x
sen x sen x= −
+ =
⇒ + −
= ⇒ =
35
1
35
116252 2
22
2
xx Q
sen xsenx
x
senxx
o∈
=
⇒ =
= −
=
⇒
2
1625
45
35
45
2
.
cossec• == − = =
−= − = −
53
54
4
53
5
43
34
; ;cossecx ; cotgtgx x
Portanto, sey x senx tgx x x x= + + + + +cos seccotg cossec , então:
y
y
y
= − + + −
+ −
+ −
+
= − +
= −
3
5
4
5
4
3
3
4
5
3
5
4
1
5
9
3
2
40 2 3, ++ = −0 5 2 3, ,
08.09. d
•
•
•
ππ
< < ⇒ >
= − ⇒ = −
= +
−
x tgx
x x
x tg x
32
0
1213
1312
1
1312
2 2
cos sec
sec
= + ⇒ = ⇒ >=
22 21
25144
05
12tg x tg x pois tgxtgx , .
08.10. a
•cossec
cossec( )
sec( )sec( )
( )
( )
cos( )
cos( )
xx
xx
sen x
x
x
s
+ =
+
5
1
1
1
1
een x
xsen x
sen xx
x sen xsen x
( )
cos( )( )
( )cos( )
cos ( ) ( )( ) c
=
+ =
+⋅
5
5
2 2
oos( )
( ) cos( )( ) cos( )
( ) cos( )
x
sen x xsen x x
sen x x
=
⋅= ⇒ ⋅ =
+[ ]
5
15
15
2• == + ⋅ ⋅ +
+[ ] = + ⋅
sen x sen x x x
sen x x sen
2 2
2
2
1 2
( ) ( ) cos( ) cos ( )
( ) cos( ) (xx x
sen x x
sen x x
) cos( )
( ) cos( )
( ) cos( )
⋅
+[ ] = + ⋅
+[ ] =
2
2
1 215
75
3Extensivo Terceirão – Matemática 3E
08.11. 41•
•
cossec cotg
cotg cotg
2 2
22 2 2
1
54
19
16169
9
x x
x x tg x
= +
= + ⇒ = ⇒ =
⋅⋅ +( ) = ⋅ + +( )⋅ +( ) = ⋅ +( )⋅
sec
sec
2 2 2 2
2 2 2
9 1
9 9 1 2
9
x tg x tg x tg x
x tg x tg x
ssec
sec
2 2
2 2
9 1 2169
9 9 1329
x tg x
x tg x
+( ) = ⋅ + ⋅
⋅ +( ) = ⋅ +
= 99 32 41+ =
08.12. 15
yx x
x
yx senx
x
senx
= ⋅−
−
= ⋅−
−
121
12
1 1
1
sec
coscos
cossec
cotg
= ⋅
−⋅−
y
senx x
x senxsenx x
senx
12
cos
coscos
= ⋅−⋅
⋅−
= ⋅ ⇒ = ⋅
ysenx x
x senx
senx
senx x
yx
y
12
121
1214
5
cos
cos cos
cos⇒⇒ = ⋅ ⇒ =y y12
5
415
Outra maneira:
• sen x x
sen x
sen x senx pois x
2 2
22
2
1
45
1
925
35
0
+ =
+
=
= ⇒ = < <
cos
,π22
0
4535
54
53
⇒ >
=
=
⇒ = = =
senx
x
senxx x x
.
cossec ; ;• cossec cotg
44
53
5
43
=
Segue, então, que: yx
= ⋅−
−
= ⋅
−
−
=121
12
5
4
5
3
14
3
15sec cossecx
cotgx
08.13. c
x tga x
xtga tga
xtga t
2
2
2 1 0
2 2 4 1 1
2 1
2 4
− ⋅ ⋅ − =
=− − ⋅ ± − ⋅ − ⋅ ⋅ −
⋅
=⋅ ± ⋅
( ) ( ) ( )
gg a
xtga tg a
xtga a
xtga a
2
2
2
4
2
2 4 1
2
2 4
22 2
2
+
=⋅ ± ⋅ +
=⋅ ± ⋅
=⋅ ± ⋅
⇒
( )
sec
secxx tga a= ± sec
08.14. a
yx tgx x tgx
sen x x=
− ⋅ +− ⋅ − ⋅ +
(sec ) (sec )
( ) ( ) (1 2 cotgx cossec cotgx cosssec
cotg x cossec
x
yx tg x
x x
ytg x tg x
)
sec
cos ( )
( )
c
=−
⋅ −
=+ −
2 2
2 2 2
2 21
oos (
cos ( ) cossec
2 2 2
2 22
1
1
1
1
x x x
yx
yx
y x
⋅ − +( )=
⋅ −⇒ = − ⇒ = −
cotg cotg
08.15. b
A sen x sen y sen x sen y x y
A sen x sen y se
= + − ⋅ + ⋅
= + ⋅ −
2 2 2 2 2 2
2 2 1
( ) cos cos
( nn x x y
A sen x sen y x x y
A sen x
2 2 2
2 2 2 2 2
2
) cos cos
( cos cos cos )
+ ⋅
= + ⋅ + ⋅
= + ccos ( cos )
cos
cos
2 2 2
2 2
2 2
1
1
x sen y y
A sen x x
A sen x x A
⋅ +
= + ⋅
= + ⇒ =
08.16. a
MsenA senB
A B
A B
senA senB
MsenA senB senA
=++
+−−
=+ −
cos cos
cos cos
( )( ssenB A B A B
A B senA senB
Msen
) (cos cos )(cos cos )
(cos cos ) ( )
+ − ++ ⋅ −
=2AA sen B A B
A B senA senB
Msen A A
− + −+ ⋅ −
=+
2 2 2
2 2
cos cos
(cos cos ) ( )
( cos )−− ++ ⋅ −
=−
+ ⋅
( cos )
(cos cos ) ( )
(cos cos ) (
sen B B
A B senA senB
MA B se
2 2
1 1
nnA senB
MA B senA senB
M
−
=+ ⋅ −
⇒ =
)
(cos cos ) ( )
00
08.17. e
•
•
a b tgxab
a b
a bab
> > ⇒ =−
> ⇒ =−
= +
02
02
1
2 2
2 2
2 2
cotgx
cossec x cotg x
cosseec x
cossec x
cossec
22 2 2
24 2 2 4
2 2
12
12
4
= +−
= +− +
a bab
a a b b
a b
222 2 4 2 2 4
2 2
24 2 2 4
2 2
4 2
4
2
4
x
cossec x
cosse
=+ − +
=+ +
a b a a b b
a b
a a b b
a b
( )
cc x22 2 2
22 2
2
22
0 90
=+
⇒ =
+
< < ⇒
a bab
sen xab
a b
x senxo o• >> > > ⇒
+>0 0 0
202 2; ,a e b
ab
a b
portanto,
sen xab
a bsenx
ab
a b2
2 2
2
2 2
2 2=
+
⇒ =
+
4 Extensivo Terceirão – Matemática 3E
08.18. c• sen x senx x x
sen x senx x senx
2 2
2
3 2 0
2
− ⋅ ⋅ + ⋅ =
− ⋅ + − ⋅ ⋅
cos cos
( cos ) ( cosxx x
senx senx x x senx x
senx
+ ⋅ =− − ⋅ ⋅ − =
−
2 0
2 0
2cos )
( cos ) cos ( cos )
( cosxx senx x
senx x
ou
senx x
senx x
) ( cos )
cos
cos
cos
⋅ − ⋅ = ⇒− =
− ⋅ =
− =
2 0
0
2 0
0• ⇒⇒ = ⇒ = ⇒
− ⋅ = ⇒ = ⋅ ⇒
=senx xsenx
x
senx x senx xsen
tgxcoscos
cos cos
1
2 0 2
1
•xxx
tgxcos
= ⇒ =2 2
Os possíveis valores para tgx são 1 e 2.
08.19. A = 0A a b a b sen a sen b sen a sen b
A a
= + − + + −
= −
(cos cos )(cos cos ) ( )( )
(cos co2 ss ) ( )
( cos ) ( cos )
2 2 2
2 2 2 2
1 1 0
b sen a sen b
A sen a a sen b b
A A
+ −
= + − += − ⇒ =
08.20. 2 2
2
−
32 5
2 sec 2 cos2 4
sec 2
tg cotg 1
5 2sen cos
4 2cossec sec 2
tg cotg 1 1 tg cossec 1 1 ( 2).
1 cotg 1 1cosse 2 2c
2 2
•
•
•
ππ < θ < π ⇒ θ = − ⇒ θ = − ⇒ θ = θ =
θ = θ =
π θ = ⇒ θ = θ = − θ = θ = −
θ = θ = + θ+ θ + + − ⇒ = = + θ +θ =−
−
Aula 0909.01. a
72º
72º
72º
72º
72º
C D
B
Da figura, temos que:
•
•
•
B
C
D
o o
o o
o o
o
o
o
= − =
= + =
= − =
180 72
180 72
360 72
108
252
288
09.02. d72º
C D
B
Da figura, temos que:a) Incorreto
cos cosB = − °72
b) Incorretosen B sen= °72
c) Incorretosen B > °cos72
d) Corretosen B sen= °72
e) Incorretocos (cos )B sen B e sen< ° < ° >72 0 72 0
09.03. c72º
C D
B
Da figura, temos que:a) Incorreto
cos cos sec secC C= − ° ⇒ = − °72 72
b) Incorretosen B sen= ° ⇒ = °72 72cossec B cossec
c) CorretocotgC cotg= °72
d) Incorretosen C sen= − ° ⇒ = − °72 72cossec C cossec
e) Incorretotg B tg= − °72
09.04. d
220 3 220 0
220 180 40
220 40
o o o
o o o
o o
Q sen
sen sen
∈ ⇒ <
= +
⇒ = −.
09.05. c
335 4 335 0
335 360 25
335 25
o o o
o o o
o o
Q∈ ⇒ >
= −
⇒ =. cos
cos cos
5Extensivo Terceirão – Matemática 3E
09.06. e
7344 20 360 144 144 180 36o o o o o oe= ⋅ + = − ⇒ reduzindo-se
ao primeiro quadrante um arco de 7344°, obtém-se um arco de 36°.
36 36180 5
o oo
radrad= ⋅ =
π π
09.07. a•
•
2280 6 360 120 2280 120
120 2 120
o o o o o
o o oQ
= ⋅ + ⇒ =
∈ ⇒ <
cos( ) cos( )
. cos 00
120 180 60
120 6012
o o o
o o
= −
⇒ = − = −cos cos( )
Portanto:
cos( ) cos( ) cos( )2280 120 601
2° = ° = − ° = −
09.08. a
2000 5 360 200
200 180 20
2000 3
2000
o o o
o o o
o o
o
Q= ⋅ +
= +
⇒
∈
=
.
cos( ) coos( ) cos( )
( ) ( ) ( )
200 20
2000 200 20
o o
o o osen sen sen
= −
= = −
a) Correto2000 3 2000 0o o oQ∈ ⇒ <. cos( )
b) Incorreto2000 3 2000 0o o oQ sen∈ ⇒ <. ( )
c) Incorretosen sen
sen( ) ( )
cos( ) cos( )( ) cos
2000 20
2000 202000
° = − °° = − °
⇒ ° ≠ (( )2000° , pois
sen( ) cos( )20 20° ≠ °
d) Incorretosen sen sen seno o o o( ) ( ) ( ) ( )2000 20 0 2000 2000= − ≠ ⇒ ≠ −
e) Incorretosen e seno o o o( ) cos( ) ( ) cos( )2000 0 2000 0 2000 2000< < ⇒ ≠ −
09.09. e
•
•
cos cos cos76 6 6
32
74
24 4
ππ
π π
ππ
π π
= +
= − = −
= −
= −tg tg tg == −
= ⇒ =
1
312 3
2• cos secπ π
Portanto:
y sen tg
y
y
= −7
+ +
= − −
+ + −
= +
π π π π3 6 3
7
4
3
2
3
22 1
3 1
cos sec
( )
09.10. cConsidere, na figura, que α e β indicam as medidas de dois arcos
distintos, menores que 360°, que têm, para seno, o mesmo valor positivo.
β α
αα
Então, é fácil verificar que α β+ =180 o.
09.11. b
•0 360
22
45
22
< <=
⇒
= = ⇒ =
= = − ⇒
θθ θ
θ θ θ
θ θ
o
o
sen
sen
ou
sen
cos
cos
cos θθ = 225o
Logo:
As medidas dos ângulos θ entre 0° e 360°, para os quais
senθ θ= cos , são 45 225o oe .
09.12. c
cos cos45 45 1352
2
2
2
2
2
2
2o o osen− + = − + −
= − .
09.13. cDa figura do enunciado, e das informações que ele oferece, temos que:
• x sen x sen e x= ⇒ = = = =π π π6 6
12 6
32
( ) cos( ) cos ;
• y sen y sen e y= − ⇒ = = = − = −ππ π π6 6
12 6
32
( ) cos( ) cos ;
• z sen z sen e z= + = 2 − ⇒ = − = − = =32 6 3 3
32 3
12
π ππ
π π π( ) cos( ) cos .
Então, sen x sen y sen z x y z( ) ( ) ( ) cos( ) cos( ) cos( )+ + + + + é igual a
1
2
1
2
3
2
3
2
3
2
1
2
3
2
3
2+ + −
+ + −
+ = − .
09.14. eTemos que:
•
•
•
2460 6 360 300
1110 3 360 30
2205 6 360 45
o o o
o o o
o o o
= ⋅ +
= ⋅ +
= ⋅ +
;
;
.
Desses resultados, segue que:
•
•
cossec cossec
sec se
2460 3001
300
1
60
2
3
1100
o oo o
o
sen sen= = =
−= −
=
;
cc
cotg cotg
301
30
2
3
2205 451
451
oo
o ootg
= =
= = =
cos;
.•
Portanto:
A A=− ⋅
⇒ = −
2
3
2
31
4
3.
6 Extensivo Terceirão – Matemática 3E
09.15. d I. Correto
92 180 88 92 88o o o o otg tg= − ⇒ = −
II. Incorreto 178 180 2 178 2 88o o o o o otg tg tg= − ⇒ = − ≠
III. Correto268 180 88 268 88o o o o otg tg= + ⇒ =
IV. Correto
272 360 88 272 88o o o o otg tg= − ⇒ = −
09.16. a
Girando-se o ponteiro 60° no sentido horário, o ponto B se deslo-cará até o ponto
B’ ;= −
32
12
,
conforme indicado na figura a seguir.
12
23
23–
A’
B’
B
122
3A = ;
30º60º
30º30º
09.17. cConsidere que AB é a base do triângulo isósceles OAB. Note, observando a figura do enunciado, que:• a base AB desse triângulo mede 2 ⋅ senα ;
• a altura do triângulo OAB, relativa à base AB, mede cosα .
Temos então que:⋅ α ⋅ α
= α ⋅ α=(OAB)(2 sen )
sencos
Área cos2
09.18. b
•
•
senA sen sen sen sen
B
o o o o
o
= = = − = =
= −
β 150 180 30 30
360 3
12
( )
cos cos( 00 303
2) cos= =o
Os valores de sen A e cos B são, respectivamente,1
2
3
2e .
09.19. 2
• m sen
m sen
m sen sen
m
= +
= +
= + + ⋅ ⋅
= + ⋅
θ θ
θ θ
θ θ
cos
( cos )
cos cos
2 2
2 2 2
2
2
1 2 ssen
n sen
n sen
n sen sen
θ θθ θ
θ θ
θ
⋅= −
= −
= + − ⋅ ⋅
cos
cos
( cos )
cos c
•
2 2
2 2 2 2 oos
cos
cos
cos
θ
θ θ
θ θ
θ θ
n sen
m sen
n sen
2
2
2
1 2
1 2
1 2
= − ⋅ ⋅
= + ⋅ ⋅
= − ⋅ ⋅
• ⇒⇒ + =m n2 2 2
09.20. k k( )3
2
2−
•
•
senx x k
senx x k
senx x k
sen x x se
I+ =+ =
+ =
+ + ⋅
cos
cos
( cos )
cos
( )
2 2
2 2 2 nnx x k
senx x k
senx xk
II
⋅ =
+ ⋅ ⋅ =
⋅ =−
cos
cos
cos ( )
2
2
2
1 2
12
Sabe-se que a b a b a ab b3 3 2 2+ = + − +( ) . ( ) . Então, substituindo a
por senx e b por cosx , temos que:
• sen x x senx x sen x senx x x
sen x
3 3 2 2
3 3
+ = + ⋅ − ⋅ +
+
cos ( cos ) ( cos cos )
cos xx senx x senx x III= + ⋅ − ⋅( cos ) ( cos ) ( )1
Substituindo (I) e (II) em (III), temos:
• sen x x kk
sen x x kk
3 32
3 32
11
2
2 12
+ = ⋅ −−
+ = ⋅− +
cos
cos
+ = ⋅−
+ =−
sen x x kk
sen x xk k
3 32
3 32
32
32
cos
cos( )
7Extensivo Terceirão – Matemática 3E