UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA
CENTRO TECNOLÓGICO
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL - ECV
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL
Andressa Aires da Fraga Cunha
Análise de custos dos elementos estruturais viga e laje maciça, considerando diferentes
métodos de pré-dimensionamento
Florianópolis
2021
Andressa Aires da Fraga Cunha
Análise de custos dos elementos estruturais viga e laje maciça, considerando diferentes
métodos de pré-dimensionamento
Trabalho de Conclusão do Curso de Graduação em
Engenharia Civil do Centro Tecnológico da Universidade
Federal de Santa Catarina como requisito para a obtenção
do título de Engenheiro Civil.
Orientador: Prof. Wellison José de Santana Gomes, Dr.
Florianópolis
2021
Andressa Aires da Fraga Cunha
Análise de custos dos elementos estruturais viga e laje maciça, considerando diferentes
métodos de pré-dimensionamento
Este Trabalho de Conclusão de Curso foi julgado adequado para obtenção do Título de
Engenheira Civil e aprovado em sua forma final pelo Departamento de Engenharia Civil da
Universidade Federal de Santa Catarina.
Florianópolis, 21 de setembro de 2021.
________________________
Prof.ª Liane Ramos da Silva, Dr.ª
Coordenadora do Curso
Banca Examinadora:
________________________
Prof. Wellison José de Santana Gomes, Dr.
Orientador
Universidade Federal de Santa Catarina
________________________
Prof.ª Daiane de Sena Brisotto, Dr.ª
Avaliadora
Universidade Federal de Santa Catarina
________________________
Prof. Roberto Caldas de A. Pinto, Dr.
Avaliador
Universidade Federal de Santa Catarina
RESUMO
Toda edificação requer um projeto estrutural que considere todos os elementos de fundação e
todos os elementos estruturais, tais como as lajes, vigas e pilares, seus dimensionamentos e
detalhamentos. Na prática, o dimensionamento de estruturas de concreto armado requer que o
projetista estabeleça a priori as dimensões dos elementos estruturais, para depois verificar se
estes elementos satisfazem os requisitos de segurança e funcionalidade. Caso não satisfaçam,
ou caso haja uma margem muito grande que leve a custos desnecessários, é preciso modificar
uma ou mais dimensões e refazer as análises estruturais e os cálculos de custos. Neste contexto,
surgem métodos de pré-dimensionamento, usualmente simples, mas que tentam indicar
dimensões iniciais o mais próximas possível às necessárias. No presente trabalho, diferentes
métodos de pré-dimensionamento indicados na literatura, para vigas retangulares e lajes
maciças de concreto armado, são comparados. Para isso, é feita uma análise paramétrica
considerando-se quatro situações distintas. Para as vigas, varia-se o comprimento do vão e a
relação entre as cargas permanente e acidental. Para as lajes, são alterados os tipos de apoio e a
relação entre os vãos efetivos. Os cálculos da área de aço e dos custos foram desenvolvidos em
planilhas, implementadas no software Excel. Também foram utilizados os programas AutoCAD,
para ilustrar as seções transversais das vigas, e Ftool, para obtenção dos máximos momentos
fletores e esforços cortantes das vigas hiperestáticas consideradas. Dentre os métodos
considerados, na primeira análise das vigas, o método de Lança mostrou ser o mais econômico
enquanto que, na segunda, os métodos de Giongo e Cunha foram os menos dispendiosos. Por
outro lado, para os casos das lajes nenhum método se sobressaiu, em termos de custos, em
relação aos outros. Os resultados obtidos mostraram que não há consenso quanto ao método
mais econômico, revelando a importância de se manter pesquisas relacionadas ao
desenvolvimento de programas computacionais de pré-dimensionamento estrutural, com base
em otimização estrutural, e/ou de propor novos métodos analíticos simplificados.
Palavras-chave: Pré-dimensionamento. Custo econômico. Vigas. Lajes maciças.
ABSTRACT
Under a structural point of view, every building requires the design, dimensioning and
detailing of all its structural elements, including, for example, its foundations, slabs, beams and
columns. In practice, during the dimensioning of reinforced concrete structures, the designer
must establish a priori the dimensions of the structural elements, and then verify if the
corresponding safety and functionality requirements are met. If this is not the case, or if there
is a very large margin leading to unnecessary costs, it is necessary to modify one or more
dimensions of the structural elements and repeat the structural and cost analyses. In this context,
some methods appear with the purpose of providing first guesses for these dimensions. These
methods are called herein ‘pre-dimensioning methods’ and, although usually simple, they try
to indicate initial dimensions as close as possible to those required. In the present study,
different pre-dimensioning methods for reinforced concrete rectangular beams and solid slabs
are taken from the literature and compared. To do that, four different situations are considered.
For the beams, different span lengths and different ratios between the permanent and variable
loads are considered. For the slabs, the types of support and the ratio between the effective
spans are changed. The cost analysis is developed by using Microsoft Excel spreadsheets, while
structural detailing is done using the Autodesk Autocad software. Maximum bending moments
and shear forces for the hyperstatic beams are obtained by employing the Ftool software. In the
first analysis of the beams, the method by Lança proved to be the most economical, while in
the second one the methods by Giongo and Cunha led to the least expensive structural elements.
On the other hand, for the cases concerning the slabs no method stood out in terms of costs in
comparison with the others. The results obtained herein showed that there is no consensus as to
the most economical method. This reveals the importance of developing new research on pre-
dimensioning of structural elements, where structural optimization could take place, leading to
new computer programs for this purpose and/or new simplified analytical methods.
Keywords: Pre-dimensioning. Economic cost. Beams. Solid slabs.
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 - Diagrama tensão x deformação para o concreto. ....................................... 21
Figura 2 - Diagrama tensão x deformação para o aço. ............................................... 22
Figura 3 - Diagrama de tensões e vista simplificada de uma viga no Estádio I. ........ 23
Figura 4 - Diagrama de tensões e vista simplificada de uma viga no Estádio II........ 23
Figura 5 - Diagrama de tensões e vista simplificada de uma viga no Estádio III. ..... 23
Figura 6 - Ilustração da linha neutra. .......................................................................... 24
Figura 7 - Domínios de deformação do concreto armado. ......................................... 25
Figura 8 - Ilustração do critério de concentração de armadura. ................................. 28
Figura 9 - Treliça de Morsch. ..................................................................................... 31
Figura 10 - Redução de Vc com o aumento de Vsd. .................................................. 32
Figura 11 - Seção transversal de viga genérica com armadura de pele. ..................... 34
Figura 12 - Área do concreto de envolvimento da armadura, Acr. ............................ 35
Figura 13 - Disposições dos comprimentos da laje estudada e adjacente de acordo com
a posição do engaste a ser realizado. ........................................................................................ 40
Figura 14 - Viga central, biapoiada, isostática. Situação 01, estudo de vigas. ........... 58
Figura 15 - Seções transversais das vigas obtidas de acordo com os diferentes métodos
de pré-dimensionamento........................................................................................................... 60
Figura 16 - Relação entre as alturas, áreas de aço longitudinal, transversal e total,
versus vão livre. ........................................................................................................................ 62
Figura 17 - Relação entre o vão livre e o custo total da viga para os diferentes métodos
de pré-dimensionamento........................................................................................................... 65
Figura 18 - Viga externa, contínua, hiperestática que serve de suporte a outras vigas.
Situação 02, estudo de vigas. .................................................................................................... 66
Figura 19 - Seções transversais das vigas obtidas de acordo com os diferentes métodos
de pré-dimensionamento, referente às cargas G = 5, 15 e 60 kN/m. ........................................ 68
Figura 20 - Relação entre o coeficiente χ e as áreas de aço longitudinal e transversal
da viga, para os diferentes métodos de pré-dimensionamento. ................................................ 69
Figura 21 - Relação entre o coeficiente χ e o custo total da viga para os diferentes
métodos de pré-dimensionamento. ........................................................................................... 71
Figura 22 - Relação entre o caso e o custo total, por m2, da laje para os diferentes
métodos de pré-dimensionamento. ........................................................................................... 84
Figura 23 - Altura da laje e área de aço total, para os casos 01 e 09, conforme o valor
do coeficiente 𝛾. ....................................................................................................................... 88
Figura 24 - Custos totais e relativos aos materiais de fôrma, concreto e aço para 1m2
de laje, de acordo com os diferentes métodos de pré-dimensionamento, referente ao caso 01.
.................................................................................................................................................. 90
Figura 25 - Relação entre o coeficiente γ e o custo total, por m2, da laje nos casos 01 e
09 para os diferentes métodos de pré-dimensionamento. ......................................................... 92
Figura 26 - Valor percentual do custo total das vigas, referente aos materiais fôrmas,
aço e concreto, de acordo com diferentes estudos da literatura e resultados obtidos no presente
trabalho. .................................................................................................................................... 95
Figura 27 - Valor percentual do custo total das lajes, referente aos materiais fôrmas,
aço e concreto, de acordo com diferentes estudos da literatura e resultados obtidos no presente
trabalho. .................................................................................................................................... 96
Figura 28 - Definição dos casos de lajes para o cálculo da flecha imediata, momentos
fletores e esforços cortantes. ................................................................................................... 103
Figura 29 - Forças resistentes e diagrama de tensão do concreto na seção de uma viga
submetida à flexão simples. .................................................................................................... 108
Figura 30 - Forças resistentes e diagrama simplificado de tensão do concreto na seção
de uma viga submetida à flexão simples. ............................................................................... 108
Figura 31 - Forças resistentes e diagrama de tensão do concreto, na seção de uma viga
submetida à flexão simples com armadura dupla. .................................................................. 110
Figura 32 - Diagrama de deformação do concreto para seção com armadura dupla.
................................................................................................................................................ 112
Figura 33 - Forças resistentes e diagrama de tensão no estádio II do concreto, na seção
de uma viga submetida à flexão simples. ............................................................................... 113
Figura 34 - Diagrama de deformações no estádio II. ............................................... 114
Figura 35 - Disposições construtivas da armadura longitudinal em vigas. .............. 123
Figura 36 - Distância 𝑦 para o cálculo do centro geométrico da armadura longitudinal.
................................................................................................................................................ 124
Figura 37 – Ilustração do cálculo do critério de concentração de armadura. ........... 126
Figura 38 - Seção transversal da viga duplamente armada, considerada para o cálculo
do centro de gravidade da armadura longitudinal comprimida. ............................................. 131
Figura 39 - Disposições construtivas da armadura transversal em vigas. ................ 135
Figura 40 - Viga contínua hiperestática, elaborada no software Ftool. Situação 02,
estudo de vigas. ...................................................................................................................... 137
Figura 41 - Cálculo da armadura longitudinal positiva para o maior vão, no
dimensionamento de lajes maciças armadas em 2 direções, na planilha Excel. .................... 146
Figura 42 - Cálculo da armadura longitudinal negativa para o menor vão, no
dimensionamento de lajes maciças armadas em 2 direções, na planilha Excel. .................... 147
Figura 43 - Cálculo da armadura longitudinal negativa para o maior vão, no
dimensionamento de lajes maciças armadas em 2 direções, na planilha Excel ..................... 147
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 - Pré-dimensionamento da base da viga, proposto por CUNHA (2014). .... 51
Tabela 2 - Pré-dimensionamento da altura de viga, método do vão ponderado, proposto
por CUNHA (2014). ................................................................................................................. 51
Tabela 3 - Pré-dimensionamento da altura de viga, proposto por LANÇA (2006). .. 51
Tabela 4 - Pré-dimensionamento da altura de viga, proposto por GIONGO (2006). 52
Tabela 5 - Pré-dimensionamento da altura de viga, proposto por DI PIETRO (2000).
.................................................................................................................................................. 52
Tabela 6 - Pré-dimensionamento da altura de viga, proposto por REBELLO (2007).
.................................................................................................................................................. 53
Tabela 7 - Relação entre os tipos de carga e o ambiente a ser construído. ................ 53
Tabela 8 - Valor dos insumos utilizados no cálculo do custo do metro de viga. ....... 57
Tabela 9 - Resultado da área de aço calculada para cada viga, de acordo com os
diferentes métodos de pré-dimensionamento. .......................................................................... 60
Tabela 10 - Custos totais e relativos aos materiais de fôrma, concreto e aço para 1m de
viga, de acordo com os diferentes métodos de pré-dimensionamento. .................................... 64
Tabela 11 - Resultado da área de aço calculada para cada viga, de acordo com os
diferentes métodos de pré-dimensionamento e valores distintos de carga acidental. .............. 67
Tabela 12 - Custos totais e relativos aos materiais de fôrma, concreto e aço para 1m de
viga, de acordo com os diferentes métodos de pré-dimensionamento e valores do coeficiente 𝜒.
.................................................................................................................................................. 70
Tabela 13 - Pré-dimensionamento da altura de laje, proposto por LANÇA (2006). . 73
Tabela 14 - Pré-dimensionamento da altura de laje, método do vão ponderado,
proposto por CUNHA (2014). .................................................................................................. 74
Tabela 15 - Relação entre os tipos de carregamento e o ambiente a ser construído. . 75
Tabela 16 - Classificação para condições de apoio. ................................................... 75
Tabela 17 - Resultado da área de aço calculada por m2 de laje, com γ=1,5 e área de
24m2, de acordo com os diferentes métodos de pré-dimensionamento. ................................... 79
Tabela 18 - Custos totais e relativos aos materiais de fôrma, concreto e aço para 1m2
de laje, de acordo com os diferentes métodos de pré-dimensionamentos ................................ 82
Tabela 19 - Resultado da área de aço calculada por m2 de laje referente ao caso 01, de
acordo com os diferentes métodos de pré-dimensionamento. .................................................. 86
Tabela 20 - Resultado da área de aço calculada por m2 de laje referente ao caso 09, de
acordo com os diferentes métodos de pré-dimensionamento. .................................................. 87
Tabela 21 - Custos totais e relativos aos materiais de fôrma, concreto e aço para 1m2
de laje, de acordo com os diferentes métodos de pré-dimensionamento, referente ao caso 09.
.................................................................................................................................................. 91
Tabela 22 - Coeficiente para cálculo de flechas imediatas em lajes isoladas
retangulares submetidas a carregamentos uniformemente distribuído. .................................. 104
Tabela 23 - Coeficientes para o cálculo dos momentos solicitante máximos em lajes
isoladas retangulares uniformemente carregadas (casos 1,2 e 3). .......................................... 104
Tabela 24 - Coeficientes para o cálculo dos momentos solicitante máximos em lajes
isoladas retangulares uniformemente carregadas (casos 4,5 e 6). .......................................... 105
Tabela 25 - Coeficientes para o cálculo dos momentos solicitante máximos em lajes
isoladas retangulares uniformemente carregadas (casos 7,8 e 9). .......................................... 105
Tabela 26 - Coeficientes para o cálculo das reações nas vigas de apoio de lajes isoladas
retangulares uniformemente carregadas (casos 1, 2 e 3). ....................................................... 106
Tabela 27 - Coeficientes para o cálculo das reações nas vigas de apoio de lajes isoladas
retangulares uniformemente carregadas (casos 4, 5 e 6). ....................................................... 106
Tabela 28 - Coeficientes para o cálculo das reações nas vigas de apoio de lajes isoladas
retangulares uniformemente carregadas (casos 7, 8 e 9). ....................................................... 107
Tabela 29 – Dados de entrada para o dimensionamento de vigas, na planilha Excel.
................................................................................................................................................ 116
Tabela 30 – Carregamento distribuído, momento fleto e esforço cortante para o
dimensionamento de vigas, na planilha Excel. ....................................................................... 117
Tabela 31 – Área de aço da armadura longitudinal para o dimensionamento de vigas,
na planilha Excel. ................................................................................................................... 119
Tabela 32 - Área de aço de acordo com o diâmetro e quantidade de barras. ........... 121
Tabela 33 - Centro de gravidade da armadura longitudinal para o dimensionamento de
vigas, na planilha Excel. ......................................................................................................... 123
Tabela 34 – Áreas de aço mínima e máxima para armadura longitudinal no
dimensionamento de vigas, na planilha Excel. ....................................................................... 126
Tabela 35 - Área de aço da armadura longitudinal para o dimensionamento de vigas
duplamente armadas, na planilha Excel. ................................................................................ 128
Tabela 36 - Disposições construtivas das armaduras longitudinais de vigas duplamente
armadas, na planilha Excel. .................................................................................................... 129
Tabela 37 - Centro de gravidade da armadura longitudinal tracionada para o
dimensionamento de vigas duplamente armadas, na planilha Excel. ..................................... 130
Tabela 38 - Centro de gravidade da armadura longitudinal comprimida para o
dimensionamento de vigas duplamente armadas, na planilha Excel. ..................................... 131
Tabela 39 - Áreas de aço mínima e máxima para armadura longitudinal tracionada no
dimensionamento de vigas duplamente armadas, na planilha Excel. ..................................... 132
Tabela 40 - Verificação no estado limite de serviço de abertura de fissuras para o
dimensionamento de vigas, na planilha Excel. ....................................................................... 132
Tabela 41 - Área de aço da armadura transversal para o dimensionamento de vigas, na
planilha Excel. ........................................................................................................................ 134
Tabela 42 - Área de aço mínima para armadura transversal no dimensionamento de
vigas, na planilha Excel. ......................................................................................................... 136
Tabela 43 – Dados de entrada para o dimensionamento de lajes maciças armadas em
2 direções, na planilha Excel. ................................................................................................. 138
Tabela 44 – Vãos efetivos para o dimensionamento de lajes maciças armadas em 2
direções, na planilha Excel. .................................................................................................... 139
Tabela 45 - Coeficiente 𝜆 para o dimensionamento de lajes maciças armadas em 2
direções, na planilha Excel. .................................................................................................... 140
Tabela 46 – Carregamento distribuído para o dimensionamento de lajes maciças
armadas em 2 direções, na planilha Excel. ............................................................................. 140
Tabela 47 – Verificações do estado limite de serviço de deformação excessiva para o
dimensionamento de lajes maciças armadas em 2 direções, na planilha Excel. .................... 142
Tabela 48 - Verificações no estado limite de serviço de fissuração para o
dimensionamento de lajes maciças armadas em 2 direções, na planilha Excel. .................... 144
Tabela 49 - Cálculo da armadura longitudinal positiva para o menor vão, no
dimensionamento de lajes maciças armadas em 2 direções, na planilha Excel. .................... 146
Tabela 50 - Verificações para a dispensa de armadura transversal no dimensionamento
de lajes maciças armadas em 2 direções, na planilha Excel. .................................................. 150
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................... 15
2 ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO .................................................. 17
2.1 CONCRETO, AÇO E CONCRETO ARMADO .................................................. 17
2.2 CLASSES DE AGRESSIVIDADE E COBRIMENTO NOMINAL .................... 18
2.3 ESTADO LIMITE ÚLTIMO (ELU) E ESTADO LIMITE DE SERVIÇO (ELS)
18
2.4 AÇÕES .................................................................................................................. 19
2.5 DIAGRAMA DE TENSÃO × DEFORMAÇÃO ................................................. 20
2.6 ESTÁDIOS ............................................................................................................ 22
2.7 DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO ........................................................................ 24
2.8 DIMENSIONAMENTO DE VIGAS .................................................................... 25
2.8.1 Armadura longitudinal (ELU)............................................................................ 26
2.8.2 Armadura longitudinal dupla (ELU) ................................................................. 29
2.8.3 Armadura transversal (ELU) ............................................................................. 30
2.8.4 Armadura de pele (ELS-F) ................................................................................. 33
2.8.5 Controle de abertura de fissuras (ELS-W) ....................................................... 34
2.9 DIMENSIONAMENTO DE LAJES ..................................................................... 37
2.9.1 Características construtivas: altura, vãos efetivos, tipo de armação e apoios 38
2.9.2 Controle de deformações excessivas (ELS – DEF) ........................................... 40
2.9.3 Controle de fissuração (ELS – F) ....................................................................... 43
2.9.4 Armadura longitudinal (ELU)............................................................................ 45
2.9.5 Armadura transversal (ELU) ............................................................................. 47
2.9.6 Armadura de borda (ELS-F) .............................................................................. 49
3 VIGAS ................................................................................................................... 50
3.1 PRÉ-DIMENSIONAMENTO CONFORME LITERATURA .............................. 50
3.2 CONSIDERAÇÕES .............................................................................................. 54
3.2.1 Métodos da literatura .......................................................................................... 54
3.2.2 Características do concreto e do aço .................................................................. 54
3.2.3 Classe de agressividade ambiental e cobrimento nominal ............................... 55
3.2.4 Carga ..................................................................................................................... 55
3.2.5 Custos .................................................................................................................... 56
3.2.6 Planilha ................................................................................................................. 57
3.3 ANÁLISES PARAMÉTRICAS ............................................................................ 58
3.3.1 Situação 01 ............................................................................................................ 58
3.3.1.1 Resultados e Discussões ........................................................................................ 59
3.3.2 Situação 02 ............................................................................................................ 66
3.3.2.1 Resultados e discussões ......................................................................................... 66
4 LAJES ................................................................................................................... 72
4.1 PRÉ-DIMENSIONAMENTO CONFORME LITERATURA .............................. 72
4.2 CONSIDERAÇÕES .............................................................................................. 75
4.2.1 Métodos da literatura .......................................................................................... 75
4.2.2 Características do concreto e aço ....................................................................... 76
4.2.3 Classe de agressividade ambiental e cobrimento nominal ............................... 76
4.2.4 Carga ..................................................................................................................... 76
4.2.5 Custos .................................................................................................................... 77
4.2.6 Planilha ................................................................................................................. 77
4.3 ANÁLISES PARAMÉTRICAS ............................................................................ 78
4.3.1 Situação 01 ............................................................................................................ 78
4.3.1.1 Resultados e Discussões ........................................................................................ 78
4.3.2 Situação 02 ............................................................................................................ 85
4.3.2.1 Resultados e Discussões ........................................................................................ 85
5 COMPOSIÇÃO DOS CUSTOS CONFORME LITERATURA ..................... 94
6 CONCLUSÃO ...................................................................................................... 97
REFERÊNCIAS ................................................................................................... 98
ANEXO A - Tabelas utilizadas para a determinação de esforços, em lajes
armadas nas duas direções ................................................................................ 103
APÊNDICE A – Dedução para a área de aço da armadura longitudinal .... 108
APÊNDICE B – Dedução para a área de aço da armadura longitudinal dupla
............................................................................................................................. 110
APÊNDICE C – Dedução para a tensão de tração do aço e altura da linha
neutra, no estádio II ........................................................................................... 113
APÊNDICE E – Desenvolvimento da planilha no Excel para o
dimensionamento de vigas ................................................................................ 116
APÊNDICE F – Desenvolvimento da planilha no Excel para o
dimensionamento de lajes maciças ................................................................... 138
15
1 INTRODUÇÃO
Toda edificação requer um projeto estrutural que especifique o dimensionamento e
detalhamento dos aspectos construtivos, abrangendo as fundações e elementos estruturais como
lajes, vigas e pilares. Atualmente existem diversos softwares que auxiliam o engenheiro
calculista, responsável por elaborar o projeto estrutural. Contudo, independentemente da
metodologia utilizada, necessita-se estabelecer, previamente, as dimensões a serem adotadas
pelo elemento estrutural.
No Brasil, a norma NBR 6118 estabelece os requisitos básicos exigíveis para o projeto
de estruturas de concreto simples, armado e protendido. Sua versão de 1980 apresentava
algumas expressões para o cálculo do pré-dimensionamento das estruturas, entretanto, as
atualizações que se seguiram excluem tal auxílio. A versão vigente, de 2014, nada menciona
sobre as dimensões estimadas dos elementos estruturais.
Diversos estudos vêm sendo realizados a fim de se determinar modelos de cálculo, seja
analítico ou empírico, para o pré-dimensionamento estrutural, facilitando a obtenção das
dimensões finais de vigas, lajes e pilares. Neste aspecto, são autores de destaque CUNHA
(2014), GIONGO (2007), LANÇA (2006), REBELLO (2007), DI PIETRO (2000), CHING et
al. (2010).
Além de restrições impostas pelo projeto arquitetônico, deve-se avaliar o custo da
estrutura, buscando minimizá-lo, favorecendo a viabilidade econômica da edificação e
atratividade no mercado. Na prática, o dimensionamento de estruturas de concreto armado
requer que o projetista estabeleça a priori as dimensões dos elementos estruturais, para depois
verificar se estes elementos satisfazem os requisitos de segurança e funcionalidade. Caso não
satisfaçam, ou caso haja uma margem muito grande que leve a custos desnecessários, é preciso
modificar uma ou mais dimensões e refazer as análises estruturais e os cálculos de custos. Dessa
forma, surgem os métodos de pré-dimensionamento, usualmente simples, mas que tentam
indicar dimensões iniciais o mais próximas possível às necessárias.
Nesse contexto, busca-se aqui estudar os diferentes métodos de pré-dimensionamento
existentes na literatura. O objetivo geral deste trabalho é analisar o impacto que a altura
estimada, para vigas e lajes, provoca nos custos da estrutura.
O trabalho é organizado conforme segue. O capítulo 2 traz uma revisão de literatura
sucinta sobre os principais conceitos e definições relacionados a estruturas de concreto armado.
Os capítulos 3 e 4 discutem vigas e lajes, respectivamente, descrevendo os métodos de pré-
16
dimensionamento abordados, as considerações assumidas para o desenvolvimento do
dimensionamento das estruturas, bem como a discussão dos resultados obtidos. Por fim, o
capítulo 5 apresenta a conclusão sobre o estudo feito no presente trabalho.
17
2 ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO
Neste capítulo é feita uma breve recapitulação sobre os principais conceitos e
definições relacionados a estruturas de concreto armado para melhor compreensão de seu
dimensionamento.
2.1 CONCRETO, AÇO E CONCRETO ARMADO
No Brasil, o material mais utilizado na elaboração dos elementos estruturais de
edificações e grandes obras viárias é o concreto armado (COUTO et al. 2013). Dessa forma, é
necessário entender seus principais componentes, suas vantagens e desvantagens.
O concreto é uma mistura de agregados miúdo e graúdo, aglomerante e água, podendo-
se citar como exemplo de materiais usualmente utilizados, respectivamente, areia, brita e
cimento. O principal atributo que caracteriza o concreto é sua alta resistência a esforços de
compressão, entretanto, deve-se ressaltar que a capacidade quanto aos esforços de tração é
bastante limitada. A resistência à compressão aumenta quanto maior for a qualidade dos
materiais, quanto maior for a idade do concreto e quanto menor for a relação água/cimento
utilizada. O concreto pode sofrer deformações próprias devido à retração, variação de umidade
ou de temperatura. As deformações também podem ocorrer devido às cargas externas, sendo
imediatas ou lentas (MEHTA e MONTEIRO, 1994). Devido às limitações do material quanto
a esforços de tração, é comum combiná-lo ao aço, o que resulta no chamado concreto armado.
O aço é uma liga metálica formada principalmente por ferro e carbono. Destacam-se
como propriedades, sua boa ductilidade e resistência a esforços de tração (PADARATZ e
PINTO).
A combinação do concreto com as barras de aço, chamadas de armaduras neste
contexto, permite que se tenha boa resistência a esforços de compressão e de tração. O concreto
é responsável por suportar os esforços de compressão e proteger a armadura contra as
intempéries do meio ambiente, enquanto que a armadura suporta os esforços de tração e ajuda
a controlar a abertura de fissuras do concreto. Essa combinação só é possível devido a aderência
recíproca entre o concreto e aço, bem como ambos possuírem valores de coeficientes de
dilatação térmica muito próximos (PADARATZ e PINTO).
Dentre as principais vantagens do concreto armado pode-se citar o custo econômico
relativamente baixo, fácil moldagem, monolitismo da estrutura, além de apresentar boas
18
resistências: ao fogo, influências atmosféricas, desgaste mecânico, choque e vibrações.
Contudo, apresenta como inconvenientes o elevado peso próprio, menor proteção térmica e a
demolição de uma estrutura de concreto armado é de difícil execução e alto custo econômico
(PARARATZ e PINTO).
2.2 CLASSES DE AGRESSIVIDADE E COBRIMENTO NOMINAL
A fim de garantir que a armadura seja protegida pelo concreto e não sofra com os
possíveis agentes degradantes do meio, é estipulado um cobrimento nominal, isto é, uma
espessura mínima de concreto que recubra as barras de aço.
O risco de deterioração da estrutura varia de acordo com o tipo de ambiente que, para
efeito de projeto, é categorizado em classes de agressividade, conforme a Tabela 6.1 da norma
NBR 6118:2014. Dessa forma, o cobrimento nominal modifica-se de acordo com o tipo de
estrutura e classe de agressividade ambiental, como mostrado na Tabela 7.2 desta mesma
norma.
Os valores do cobrimento nominal apresentados, consideram um cobrimento mínimo
de 10mm relativo à tolerância de execução. A extensão do cobrimento é contada a partir da
face externa do estribo, que consiste nas armaduras transversais do elemento estrutural, e
sempre deve ser igual ou superior: ao diâmetro da barra de aço longitudinal, ao diâmetro do
feixe e à metade do diâmetro da bainha (NBR 6118:2014).
2.3 ESTADO LIMITE ÚLTIMO (ELU) E ESTADO LIMITE DE SERVIÇO (ELS)
Estado limite é a circunstância que paralisa o uso da construção. O estado limite último
(ELU) está relacionado à não utilização da estrutura decorrente de seu colapso. Esta ruína pode
ser devido à deformação plástica excessiva da armadura ou ruptura do concreto (NBR 6118:
2014).
No estado limite de serviço (ELS) essa inviabilização ocorre pelo comprometimento
da durabilidade da estrutura ou falta de conforto ao usuário, frente às condições inadequadas
para utilização que podem ser causadas por fissuras, deformações ou vibrações excessivas
(NBR 6118: 2014).
A determinação da área de aço, longitudinal e transversal, dos elementos estruturais é
feita no ELU, mas deve respeitar as restrições impostas pelo ELS. Os estados limites de serviço
19
usualmente verificados, em estruturas que não utilizam protensão, são: formação de fissuras
(ELS – FIS), abertura de fissuras (ELS – W) e deformações excessivas (ELS – DEF).
No ELS – FIS verifica-se a existência de fissuras. A norma NBR 6118:2014 permite a
ocorrência de fissuras no concreto desde que sua incidência não seja excessiva, pois elas levam
à perda de rigidez da estrutura. Uma vez que seja constatada a presença destas anomalias, deve-
se verificar o ELS – W garantindo que a abertura das fissuras não comprometa a estabilidade
do elemento estrutural. Por fim, o ELS-DEF impõe limites para a deformação máxima, também
denominada de flecha, assegurando a aceitabilidade sensorial visual, bem como evitando
vibrações indesejadas no piso. Ressalta-se que a presença de fissuras aumenta a
deformabilidade e deformações excessivas induzem à ocorrência de fissuras.
2.4 AÇÕES
Ações, ou cargas, são as forças que atuam na estrutura produzindo efeitos
significativos para a segurança estrutural. Classificam-se, no ELU, em permanentes, variáveis
ou excepcionais (NBR 6118: 2014).
As permanentes ocorrem quando o carregamento é praticamente constante ao longo
do período de vida da estrutura, enquanto que as ações variáveis alteram, significativamente,
sua intensidade. As ações excepcionais são aquelas cuja probabilidade de ocorrência é muito
pequena e não há outros meios de controlar seus efeitos (CAMACHO, 2005).
No ELS, as ações dividem-se em quase permanente, atuando em grande parte do
período de vida da estrutura, ou frequentes, repetindo-se diversas vezes. Há, ainda, as ações
raras, quando ocorrem poucas vezes ao longo do tempo. Na verificação quanto à deformação
da estrutura utilizam-se as ações quase permanentes enquanto que, nas investigações referentes
às fissuras, usam-se ações frequentes.
As ações são combinadas de modo a obter a força solicitante de cálculo que é utilizada
no projeto para o dimensionamento das estruturas. O modo como se combinam as ações
depende de qual estado limite a análise está sendo feita. As Tabelas 11.3 e 11.4 da norma NBR
6118:2014 mostram as fórmulas a serem utilizadas.
No presente trabalho, para combinações normais últimas a carga pode ser calculada,
simplificadamente, conforme Equação 1.
20
𝐹𝑑 = 𝛾𝑓𝑔 ∙ Σ𝐺 + 𝛾𝑓𝑞 ∙ 𝑄 (1)
onde:
𝐹𝑑: carga de projeto;
Σ𝐺: somatório das cargas permanentes;
𝑄: valor da carga acidental;
𝛾𝑓𝑔, 𝛾𝑓𝑞: coeficientes de majoração da carga permanente e acidental, respectivamente, devido à
variabilidade das ações, dos desvios gerados nas construções e aproximações de projeto. Seus
valores são mostrados na Tabela 11.1 da norma NBR 6118:2014. Para as ações permanentes
desfavoráveis, 𝛾𝑓𝑔 assume valor igual a 1,4. Para ações variáveis em geral, 𝛾𝑓𝑞 também assume
valor igual a 1,4.
Em combinações frequentes de serviço a carga é obtida pela Equação 2, enquanto para
combinações quase permanente de serviço a carga é calculada conforme Equação 3.
𝐹𝑑 = Σ𝐺 + Ψ1 ∙ 𝑄 (2)
𝐹𝑑 = Σ𝐺 + Ψ2 ∙ 𝑄 (3)
onde Ψ1 e Ψ2 são os fatores de redução de combinação frequente e quase permanente,
respectivamente, para o ELS, considerando-se a baixa probabilidade de simultaneidade de
ações. Seus valores são mostrados na Tabela 11.2 da norma NBR 6118:2014. Para edifícios
residenciais, Ψ1 assume valor igual a 0,4 e Ψ2 valor igual a 0,3.
2.5 DIAGRAMA DE TENSÃO × DEFORMAÇÃO
O diagrama de tensão × deformação permite caracterizar determinado material ao
representar a variação de comprimento, em comparação ao comprimento total, quando alteram-
se os valores de tensão. Esse tipo de diagrama apresenta muitas aplicações em engenharia visto
que permite obter dados sobre a resistência à compressão, ou tração, sem considerar o tamanho
ou geometria do material (HIBBELER, 2010).
O comportamento idealizado, para efeito de dimensionamento e dado pela norma NBR
6118:2014, do concreto é apresentado no diagrama da Figura 1.
21
Figura 1 - Diagrama tensão x deformação para o concreto.
Fonte: NBR 6118:2014.
onde:
𝜀𝑐2: deformação específica de encurtamento do concreto no início do patamar plástico. Para
concretos com resistência de até 50MPa este valor é igual a 2‰;
𝜀𝑐𝑢: deformação específica de encurtamento do concreto na ruptura. Para concretos com
resistência de até 50MPa este valor é igual a 3,5‰;
𝑓𝑐𝑘: resistência característica à compressão do concreto. É o valor mínimo estatístico obtido por
95% dos resultados dos corpos de prova experimentais;
𝑓𝑐𝑑: resistência de projeto do concreto. É o valor de resistência do concreto efetivamente
utilizada nos cálculos em projeto. Considera-se que podem haver desvios no processo de
fabricação do material, dessa forma, a fim de se garantir os requisitos de segurança, reduz-se a
resistência característica através do coeficiente de ponderação da resistência do concreto, 𝛾𝑐.
Ou seja, a resistência de projeto do concreto pode ser obtida por:
𝑓𝑐𝑑 =
𝑓𝑐𝑘
𝛾𝑐 (4)
Os valores de 𝛾𝑐, de acordo com as combinações de ações, são mostrados na Tabela
12.1 da norma NBR 6118:2014. Para combinações normais, assume valor igual a 1,4.
O coeficiente (0,85) acompanhando o valor de 𝑓𝑐𝑑 no diagrama considera os aspectos
como dimensão do corpo de prova padrão, crescimento da resistência com a idade e,
principalmente, o Efeito Rush, que representa a redução de resistência do concreto pela atuação
de cargas de longa duração.
O comportamento do aço é apresentado no diagrama da Figura 2.
22
Figura 2 - Diagrama tensão x deformação para o aço.
Fonte: NBR 6118:2014.
onde:
𝜀𝑠: deformação específica de alongamento do aço na ruptura. Para armaduras, o valor adotado
é igual a 10‰.
𝑓𝑦𝑘: resistência característica ao escoamento do aço. É o valor mínimo estatístico obtido por
95% dos resultados dos corpos de prova experimentais;
𝑓𝑦𝑑: resistência de projeto do aço. Analogamente ao concreto, a resistência característica do aço
é reduzida por meio do coeficiente de ponderação da resistência do aço, 𝛾𝑠. Os valores de 𝛾𝑠,
de acordo com as combinações de ações, são mostrados na Tabela 12.1 da norma NBR
6118:2014. Para combinações normais, assume valor igual a 1,15. Observa-se que 𝛾𝑠 < 𝛾𝑐 pois
o processo de fabricação do aço apresenta controle de qualidade superior ao do concreto. A
resistência de projeto do aço pode ser obtida por:
𝑓𝑦𝑑 =
𝑓𝑦𝑘
𝛾𝑠 (5)
2.6 ESTÁDIOS
Estádios são as diferentes fases pelas quais o concreto passa no decorrer da aplicação
de um carregamento, relacionadas à capacidade resistente da seção.
No Estádio I o concreto é capaz de resistir tanto à compressão quanto à tração sem
formação de fissuras, como ilustrado na Figura 3.
23
Figura 3 - Diagrama de tensões e vista simplificada de uma viga no Estádio I.
Fonte: Adaptado de BOTELHO e MARCHETTI, 2015.
onde:
𝜎𝑐𝑐: tensão de compressão do concreto;
𝜎𝑡𝑐: tensão de tração do concreto;
𝜎𝑡𝑠: tensão de tração do aço;
No Estádio II o concreto deixa de resistir à tração, apresentando fissuras e
necessitando de armadura para contê-las, mas a tensão de compressão limite ainda se encontra
na fase elástica como mostrado na Figura 4.
Figura 4 - Diagrama de tensões e vista simplificada de uma viga no Estádio II.
Fonte: Adaptado de BOTELHO e MARCHETTI, 2015.
No Estádio III a tensão de compressão limite do concreto encontra-se na fase plástica,
como exibido na Figura 5. O dimensionamento nesse estádio proporciona maior economia
financeira visto que se aproveita melhor a capacidade dos materiais (BOTELHO e
MARCHETTI, 2015).
Figura 5 - Diagrama de tensões e vista simplificada de uma viga no Estádio III.
Fonte: Adaptado de BOTELHO e MARCHETTI, 2015.
Neste contexto, a superfície que separa as regiões tracionada e comprimida é
denominada linha neutra, como ilustrado na Figura 6.
24
Figura 6 - Ilustração da linha neutra.
Fonte: SCHNEIDER, 2019.
Observa-se que a linha neutra do Estádio III, contada a partir da borda mais
comprimida, é menor que a do Estádio II, que é menor que a do Estádio I (SCHNEIDER, 2019).
Utilizam-se os Estádios I e II nas verificações quanto ao ELS e o Estádio III quanto ao
ELU (MOURA, 2019).
2.7 DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO
Os domínios de deformação são as possíveis combinações das deformações do
concreto e do aço, são situações de ruína e, portanto, ocorrem no Estádio III.
No Domínio I a seção está totalmente tracionada, o aço encontra-se com deformação
máxima e a linha neutra está localizada fora da seção transversal. No Domínio II, o aço
encontra-se com deformação máxima e o concreto absorve esforços de compressão sem se
romper. No Domínio III, o aço está em escoamento e o concreto apresenta deformação máxima.
No domínio IV, o aço está em regime elástico e o concreto encontra-se com máxima
deformação. Nos domínios II, III e IV, a linha neutra corta a seção transversal que pode estar
sofrendo flexão simples ou composta. Nos domínios IVa, acima da armadura, e V, a seção não
sofre com esforços de tração, abrangendo as situações de flexão composta com armaduras
comprimidas e compressão não uniforme (SILVA, 2001). A Figura 7 exemplifica o exposto.
25
Figura 7 - Domínios de deformação do concreto armado.
Fonte: NBR 6118:2014.
onde:
𝑑: altura útil da armadura tracionada;
𝑑′: altura útil da armadura comprimida;
ℎ: altura da seção do elemento estrutural.
Observa-se que nos domínios I e II a ruína se dá por deformação plástica excessiva da
armadura enquanto que nos demais, ocorre o esmagamento do concreto. O dimensionamento
das estruturas de concreto armado vigas e lajes, é feito no domínio II e em parte do domínio III,
pois a ocorrência de uma possível falha deve se manifestar na armadura. Ao contrário do aço,
o concreto apresenta ruptura caracterizada como frágil, ocorrendo de forma abrupta. Assim, em
espaços situados na área de alcance dos danos proporcionados pelo rompimento de um
elemento estrutural, não haveria oportunidade de uma possível evacuação, comprometendo a
segurança dos usuários (BOTELHO e MARCHETTI, 2015).
2.8 DIMENSIONAMENTO DE VIGAS
Vigas são elementos lineares, com duas dimensões de tamanho significativamente
menor que a terceira dimensão, onde se predomina o esforço de flexão. Nas construções, as
vigas funcionam como ponto de apoio para as lajes, transmitindo usualmente aos pilares os
esforços recebidos. Também podem ser parte integrante de pórticos, ajudando a preservar a
estabilidade global da estrutura (PELIZARO e CUNHA).
No dimensionamento de uma viga, determinam-se as áreas de aço que compõem as
armaduras e o comprimento das barras longitudinais, respeitando-se os critérios de
26
espaçamentos máximo e mínimo, bem como as taxas de armadura máxima e mínima. Também
são feitas as verificações referentes ao ELS.
Conforme a NBR 6118:2014, é sempre necessário avaliar as flechas nos elementos
estruturais. Contudo, no presente trabalho, por simplificação, o deslocamento excessivo é
analisado somente nos elementos estruturais lajes. Neste capítulo, estuda-se exclusivamente o
controle de abertura de fissuras (ELS-W). Também, por simplificação, não se realiza o cálculo
do comprimento das barras longitudinais e sua ancoragem.
As hipóteses básicas consideradas pela norma NBR 6118:2014 na análise dos esforços
resistentes de uma seção de viga são: as seções transversais se mantêm planas após a
deformação; a deformação das barras deve ser a mesma do concreto em seu entorno; as tensões
de tração no concreto, normais à seção transversal, são desprezadas no ELU.
2.8.1 Armadura longitudinal (ELU)
A área de aço da armadura longitudinal de uma viga, submetida a flexão simples, pode
ser obtida através do equilíbrio de forças, utilizando-se de conceitos da física como momento e
tensão (CARVALHO e FIGUEIREDO, 2014). As deduções das expressões da altura da linha
neutra e área de aço longitudinal de vigas podem ser vistas no APÊNDICE A – Dedução para
a área de aço da armadura longitudinal.
A altura da linha neutra, para concretos de até 50MPa, é calculada pela seguinte
equação:
𝑥 = 1,25𝑑 ∙ (1 − √1 −𝑀𝑠𝑑
0,425 ∙ 𝑓𝑐𝑑 ∙ 𝑏 ∙ 𝑑2
2
) (6)
onde:
𝑥: altura da linha neutra contada a partir da borda mais comprimida;
𝑑: altura útil. Distância entre o centro de gravidade da armadura e a borda mais comprimida;
𝑏: largura da base da viga;
𝑀𝑠𝑑: momento fletor solicitante de projeto;
𝑓𝑐𝑑: resistência de projeto do concreto.
Como explicitado anteriormente no item 2.7 DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO, o
dimensionamento é feito nos domínios II e III. Para isto, a NBR 6118:2014 estabelece uma
relação máxima entre a altura da linha neutra, 𝑥, e a altura útil, 𝑑, denominada critério de
ductilidade, expressa pela Equação 7. Assim, tenta-se garantir que o dimensionamento não seja
27
feito em parte do domínio III e nem no domínio IV, para concretos de até 50MPa, evitando-se
a possibilidade de ruptura frágil.
𝑥
𝑑 ≤ 0,45 (7)
Nota-se então, que a linha neutra sempre estará mais próxima da borda comprimida do
que da tracionada. Quando a relação 𝑥
𝑑 é menor que 0,01, desperdiça-se capacidade do concreto,
pois boa parte dele não é necessária para absorver os esforços solicitantes (BOTELHO e
MARCHETTI 2015). Quando a relação 𝑥
𝑑 é maior que 0,45, a estrutura encontra-se acima do
limite de ductilidade apresentado pela norma, o que significa que a seção poderá apresentar
ruptura frágil, em caso de colapso.
A área de aço, 𝐴𝑠, é dada por:
𝐴𝑠 =
𝑀𝑠𝑑
𝜎𝑠 ∙ (𝑑 − 0,4𝑥) (8)
Pelo raciocínio estabelecido no critério de ductilidade, onde o aço encontra-se com máxima
deformação ou em escoamento (domínios II e III), induz-se que 𝜎𝑠 = 𝑓𝑦𝑑.
Deve-se verificar, de acordo com a NBR 6118: 2014, se o valor da área da armadura
𝐴𝑠 está abaixo do valor correspondente a 4% da área total de concreto da seção da viga, 𝐴𝑠𝑀Á𝑋.
Também é necessário que 𝐴𝑠 seja superior ao valor de armadura mínima, 𝐴𝑠𝑀𝐼𝑁, que tem por
objetivo evitar rupturas frágeis e absorver pequenos esforços não considerados no cálculo. A
Tabela 17.3 da norma NBR 6118:2014 mostra a taxa de armadura mínima, 𝜌𝑚í𝑛, de acordo com
a resistência à compressão do concreto numa seção retangular. Para concretos C25, 𝜌𝑚í𝑛
assume valor igual a 0,150%.
As Equações 9 e 10 exemplificam as exigências a serem respeitadas quanto aos valores
limites para área de aço longitudinal.
𝐴𝑠 ≤ 𝐴𝑠𝑀Á𝑋 = 4% 𝐴𝑐 (9)
𝐴𝑠 ≥ 𝐴𝑠𝑀𝐼𝑁 = 𝜌𝑚í𝑛 ∙ 𝐴𝑐 (10)
onde 𝐴𝑐 é a área da seção transversal da viga.
Uma vez determinada a área de aço, deve-se escolher a quantidade, n, e o diâmetro,
∅𝑙, das barras da armadura longitudinal, conforme disponibilidade do mercado. Na escolha,
consideram-se diversos fatores, tais como: fissuração, facilidade de execução, porte da obra,
número de camadas de barras, exequibilidade, etc.
28
A norma NBR 6118:2014 estabelece os critérios de espaçamento mínimo, entre as
faces das barras, horizontal, 𝑒ℎ, e vertical, 𝑒𝑣, conforme Equação 11 e Equação 12,
respectivamente.
𝑒ℎ ≥ 2𝑐𝑚; ∅𝑙; 1,2 ∙ ∅𝑎𝑔𝑟𝑒𝑔𝑎𝑑𝑜 (11)
𝑒𝑣 ≥ 2𝑐𝑚; ∅𝑙; 0,5 ∙ ∅𝑎𝑔𝑟𝑒𝑔𝑎𝑑𝑜 (12)
onde ∅𝑎𝑔𝑟𝑒𝑔𝑎𝑑𝑜 é o diâmetro do maior agregado utilizado na constituição do concreto.
Para que a armadura possa ser calculada admitindo-a concentrada em seu centro de
gravidade, a distância ao centro da barra mais afastada, 𝑎, deve ser menor que 10% do valor da
altura da seção transversal, h, (NBR 6118:2014), conforme Figura 8 e Equação 13. Este critério
é comumente denominado de concentração da armadura.
Figura 8 - Ilustração do critério de concentração de armadura.
Fonte: Elaborado pela autora.
𝑎 ≤ 0,1 ∙ ℎ (13)
Detalhamentos com uma única camada resultam em seções relativamente mais
resistentes, pois quanto mais próximo estiver o centro de gravidade da armadura à borda
tracionada, maior será a altura útil e, consequentemente, a resistência da seção (BASTOS,
2021).
Deve-se atentar para a minoração das resistências características do aço e do concreto
quando as fórmulas usarem os valores de projeto, e não característicos, conforme Equações 4 e
5.
29
2.8.2 Armadura longitudinal dupla (ELU)
No caso onde o concreto não consegue suportar os esforços à compressão, isto é,
quando 𝑥
𝑑 > 0,45, e não se deseja modificar as dimensões da viga, deve-se empregar também
armadura no banzo comprimido da seção (CARVALHO e FIGUEIREDO, 2014). O cálculo
para a determinação dessa área de aço é análogo ao feito para obtenção da área de aço
tracionada, 𝐴𝑠, e sua dedução pode ser vista no APÊNDICE B.
Limitando-se 𝑥 = 0,45𝑑, para se atender o critério de ductilidade, a área de aço
longitudinal tracionada, de uma seção duplamente armada, é obtida pela seguinte expressão:
𝐴𝑠 = 𝐴𝑠1 + 𝐴𝑠2 (14)
onde:
𝐴𝑠: área de aço longitudinal tracionada;
𝐴𝑠1: parcela da área de aço tracionada, referente ao momento 𝑀1. Calculada segundo Equação
15.
𝐴𝑠1 =
𝑀1
𝑓𝑦𝑑 ∙ (𝑑 − 0,4(0,45𝑑)) (15)
em que:
𝑀1: momento gerado pelo binário de forças de resistência do concreto à compressão e do aço à
tração. Calculado conforme Equação 16.
𝑀1 = (0,85𝑓𝑐𝑑) ∙ (0,8(0,45𝑑)𝑏) ∙ (𝑑 − 0,4(0,45𝑑)) (16)
𝐴𝑠2: parcela da área de aço tracionada, referente ao momento 𝑀2. Obtida de acordo com a
Equação 17.
𝐴𝑠2 =
𝑀2
𝑓𝑦𝑑 ∙ (𝑑 − 𝑑′) (17)
em que:
𝑑′: distância entre a borda mais comprimida e o centro da armadura resistente à compressão;
𝑀2: momento induzido pelo binário de forças de resistência do aço à compressão e do aço à
tração. Calculada pela Equação 18.
𝑀𝑠𝑑 = 𝑀1 + 𝑀2 ∴ 𝑀2 = 𝑀𝑠𝑑 − 𝑀1 (18)
O valor encontrado para a área de aço tracionada necessita estar em concordância com
os valores limites estabelecidos nas Equações 9 e 10. Os espaçamentos mínimos, horizontal e
vertical, entre as faces das barras de aço devem respeitar o exposto pelas Equações 11 e 12.
30
A área de aço longitudinal comprimida, de uma seção duplamente armada, é obtida
pela seguinte expressão:
𝐴𝑠′ =
𝑀2
𝜎𝑠′ ∙ (𝑑 − 𝑑′) (19)
onde:
𝜎𝑠′: tensão do aço resistente à compressão. Calculada conforme Equação 20.
𝜎𝑠′ = 𝜀𝑠′ ∙ Ε𝑠 (20)
em que:
Ε𝑠: módulo de elasticidade do aço. Pode ser admitido igual a 210 GPa na falta de ensaios ou
valores fornecidos pelo fabricante, de acordo com a NRB 6118:2014;
𝜀𝑠′ : deformação específica do aço comprimido. Calculada de acordo com a Equação 21.
𝜀𝑠′ =
3,5‰ ∙ (x − d)
𝑥 (21)
Deve-se atentar para o fato que, quando 𝜀𝑠′ ≥ 𝜀𝑦𝑑 o aço se encontra no patamar de
escoamento e, portanto, 𝜎𝑠′ = 𝑓𝑦𝑑 .
2.8.3 Armadura transversal (ELU)
Para o cálculo da armadura transversal, comumente chamada de estribo, resistente
basicamente aos esforços de cisalhamento, utiliza-se como base a denominada Treliça de
Morsch. Neste modelo, a viga se comporta como uma treliça onde o banzo superior e a biela,
que forma um ângulo 𝜃 com o banzo inferior, resistem à compressão, enquanto o banzo inferior
e a escora ou tirante, que forma um ângulo 𝛼 com o mesmo, resistem à tração. A Figura 9 ilustra
a treliça de Morsch.
31
Figura 9 - Treliça de Morsch.
Fonte: Elaborado pela autora.
onde:
𝑅𝑐𝑐: força resultante de compressão no concreto;
𝑅𝑠𝑡: força resultante de tração no aço.
O esforço cortante solicitante de projeto, 𝑉𝑠𝑑, é resistido por uma parcela referente aos
mecanismos complementares, 𝑉𝑐, e pela armadura transversal, 𝑉𝑠. Sendo 𝑉𝑅𝑑2 a força cortante
resistente referente ao esmagamento das bielas e 𝑉𝑅𝑑3 a força cortante resistente referente à
ruína por tração diagonal, tem-se que (NBR 6118:2014):
𝑉𝑠𝑑 ≤ 𝑉𝑅𝑑2 (22)
𝑉𝑠𝑑 ≤ 𝑉𝑅𝑑3 (23)
𝑉𝑅𝑑3 = 𝑉𝑐 + 𝑉𝑠 (24)
Para o cálculo da área de aço do estribo pode-se utilizar, de acordo com a norma NBR
6118:2014, dois modelos. O Modelo I admite que as bielas comprimidas tem inclinação 𝜃 =
45º e que a parcela resistida pelos mecanismos complementares, 𝑉𝑐, apresenta valor constante
e independente do valor de esforço cortante solicitante de projeto, 𝑉𝑠𝑑.
Inicialmente verifica-se se as bielas comprimidas resistem o suficiente para não serem
esmagadas, conforme Equação 22. A resistência 𝑉𝑅𝑑2 é obtida pela seguinte expressão:
𝑉𝑅𝑑2 = 0,27 ∙ 𝛼𝑣2 ∙ 𝑓𝑐𝑑 ∙ 𝑏 ∙ 𝑑 (25)
onde:
𝛼𝑣2 = 1 −
𝑓𝑐𝑘
250 (26)
𝑓𝑐𝑘 expresso em MPa.
Em seguida, a área de aço do estribo, para cada metro de viga, é calculada pela Equação
27:.
𝐴𝑠90/𝑚 =
𝑉𝑠
0,9 ∙ 𝑑 ∙ 𝑓𝑦𝑑 (27)
32
onde:
𝑉𝑠 = 𝑉𝑠𝑑 − 𝑉𝑐 (28)
𝑉𝑐 = 0,6 ∙ 𝑓𝑐𝑡𝑑 ∙ 𝑏 ∙ 𝑑 (29)
𝑓𝑐𝑡𝑑 = 0,15 ∙ 𝑓𝑐𝑘2/3
(30)
O Modelo II admite que as diagonais de compressão têm inclinação diferente de 45º,
arbitrada livremente no intervalo 30º ≤ 𝜃 ≤ 45º, e a parcela 𝑉𝑐 sofre redução com o aumento
de 𝑉𝑠𝑑.
Assim como no Modelo I, inicialmente realiza-se a verificação do esmagamento das
bielas. A Equação 31 fornece o valor da força cortante resistente referente à essa ruína:
𝑉𝑅𝑑2 = 0,54 ∙ 𝛼𝑣2 ∙ 𝑓𝑐𝑑 ∙ 𝑏 ∙ 𝑑 ∙ sin 𝜃 ∙ cos 𝜃 (31)
onde 𝛼𝑣2 é dado pela Equação 26.
Em seguida, a área de aço do estribo, para cada metro de viga, é calculada pela Equação
32:
𝐴𝑠90/𝑚 =
𝑉𝑠
0,9 ∙ 𝑑 ∙ 𝑓𝑦𝑑 ∙ cot 𝜃 (32)
onde:
𝑉𝑠 = 𝑉𝑠𝑑 − 𝑉𝑐1 (33)
O valor de 𝑉𝑐 diminui com o aumento de 𝑉𝑠𝑑, dessa forma 𝑉𝑐1 é a parcela de 𝑉𝑐 que é
considerada nos cálculos. Ela é obtida por semelhança de triângulos, conforme Figura 10,
Equação 34 e Equação 35.
Figura 10 - Redução de Vc com o aumento de Vsd.
Fonte: Elaborado pela autora.
𝑉𝑐
𝑉𝑅𝑑2 − 𝑉𝑐=
𝑉𝑐1
𝑉𝑅𝑑2 − 𝑉𝑠𝑑 (34)
𝑉𝑐1 =
𝑉𝑐 ∙ (𝑉𝑅𝑑2 − 𝑉𝑠𝑑)
𝑉𝑅𝑑2 − 𝑉𝑐 (35)
33
O termo 𝑉𝑐 é calculado conforme a Equação 29.
Após estipulada a área de aço, verifica-se se esta é maior que área de aço mínima,
𝐴𝑠90𝑀𝐼𝑁 /𝑚, dada pela Equação 36.
𝐴𝑠90𝑀𝐼𝑁 /𝑚 =
0,2𝑏 ∙ sin 𝛼 ∙ 𝑓𝑐𝑡𝑚 ∙ 100
𝑓𝑦𝑘 (36)
O espaçamento entre estribos, medido segundo o eixo longitudinal do elemento
estrutural, deve ser menor que o valor máximo, 𝑠𝑚á𝑥, segundo Equação 37 e Equação 38. O
espaçamento mínimo deve ser suficiente para permitir a passagem do vibrador, garantindo um
bom adensamento da massa.
𝑠𝑚á𝑥 ≤ 0,3𝑑; 20𝑐𝑚 𝑠𝑒 𝑉𝑠𝑑 > 0,67𝑉𝑅𝑑2 (37)
𝑠𝑚á𝑥 ≤ 0,6𝑑; 30𝑐𝑚 𝑠𝑒 𝑉𝑠𝑑 ≤ 0,67𝑉𝑅𝑑2 (38)
Devem ser previstas armaduras construtivas nos elementos estruturais de concreto
armado, auxiliando na confecção e montagem das armaduras resistentes aos esforços de tração,
compressão e cisalhamento. Embora colaborem com a resistência da peça, não são consideradas
nos cálculos de projeto. Assim, dispõem-se duas barras longitudinais, no mínimo, chamadas de
porta-estribos, na borda superior da seção colaborando para a amarração dos estribos da viga
(BASTOS, 2021).
2.8.4 Armadura de pele (ELS-F)
Quando a altura da viga for superior a 60cm deve-se empregar a armadura de pele,
também chamada de armadura lateral ou costelas, com o intuito de limitar as fissuras. A Figura
11 apresenta uma seção transversal genérica com armadura de pele.
34
Figura 11 - Seção transversal de viga genérica com armadura de pele.
Fonte: Elaborado pela autora.
A área de aço é empregada nas duas faces laterais da viga respeitando-se as áreas
mínima, 𝐴𝑝𝑒𝑙𝑒,𝑀𝐼𝑁, e máxima, 𝐴𝑝𝑒𝑙𝑒,𝑀𝐴𝑋, conforme a Equação 39 e a Equação 40,
respectivamente.
𝐴𝑝𝑒𝑙𝑒,𝑀𝐼𝑁 = 0,1%𝐴𝑐 , 𝑝𝑜𝑟 𝑓𝑎𝑐𝑒 (39)
𝐴𝑝𝑒𝑙𝑒,𝑀𝐴𝑋 = 5𝑐𝑚2/𝑚 , 𝑝𝑜𝑟 𝑓𝑎𝑐𝑒 (40)
Além disso, o espaçamento entre eixos das barras deve ser menor que o espaçamento
máximo, 𝑠𝑀𝐴𝑋, dado pela Equação 41 (NBR 6118:2014).
𝑠𝑀𝐴𝑋 ≤
𝑑
3; 20𝑐𝑚; 15𝜙𝑙 (41)
Devido à reduzida área de aço necessária para a armadura de pele, os resultados da
área de aço longitudinal e custo da viga não são significativamente impactados. Assim, no
presente estudo optou-se por não adotar armadura de pele, embora se atente para o processo de
fissuração.
2.8.5 Controle de abertura de fissuras (ELS-W)
Uma vez definida a bitola usada na armadura longitudinal, e na armadura de pele
quando necessária, verifica-se o estado limite de serviço referente à abertura de fissuras.
Segundo a NBR 6118:2014, para cada barra da armadura que controla a fissuração do elemento
estrutural, é considerada uma área de concreto que envolve a barra de aço, 𝐴𝑐𝑟. Esta área é
35
delimitada por um retângulo cujos lados estejam no máximo, a 7,5𝜙𝑖 do eixo da armadura,
conforme ilustrado na Figura 12, onde 𝜙𝑖 é o diâmetro da barra analisada.
Figura 12 - Área do concreto de envolvimento da armadura, Acr.
Fonte: NBR 6118:2014.
Para cada área 𝐴𝑐𝑟 há um correspondente valor característico da abertura de fissuras,
𝑤𝑘, sendo este o menor resultado calculado pelas Equações 42 e 43:
𝑤𝑘 =
𝜙𝑖
12,5 ∙ 𝜂1∙
𝜎𝑠𝑖
Ε𝑠𝑖∙
3 × 𝜎𝑠𝑖
𝑓𝑐𝑡𝑚 (42)
𝑤𝑘 =
𝜙𝑖
12,5 ∙ 𝜂1∙
𝜎𝑠𝑖
Ε𝑠𝑖∙ (
4
𝜌𝑟𝑖+ 45) (43)
onde:
𝜙𝑖: diâmetro da barra que protege a região analisada;
𝜂1: coeficiente de conformação superficial da armadura. Seu valor varia de acordo com o tipo
de superfície, conforme Tabela 8.3 da norma NBR 6118:2014.
𝜎𝑠𝑖: tensão de tração, calculada no estádio II, no centro de gravidade da armadura considerada;
Ε𝑠𝑖: módulo de elasticidade do aço da barra considerada;
𝑓𝑐𝑡𝑚: resistência média à tração no concreto. Segundo a norma NBR 6118:2014, para concretos
de classes até C50, pode ser estimado por meio da expressão:
𝑓𝑐𝑡𝑚 = 0,3 ∙ 𝑓𝑐𝑘2/3
(44)
𝜌𝑟𝑖: taxa de armadura em relação a área de envolvimento que está sendo analisada. É a razão
entre a área de aço da barra considerada e a sua respectiva área de concreto, calculada conforme
equação:
𝜌𝑟𝑖 =
𝐴𝑠𝑖
𝐴𝑐𝑟 (45)
Os valores limites de 𝑤𝑘, de acordo com o tipo de concreto estrutural, classe de
agressividade e tipo de protensão, são mostrados na Tabela 13.4 da norma NBR 6118:2014.
36
Para concreto armado em classe de agressividade ambiental II, 𝑤𝑘 deve ser igual ou inferior a
0,3mm. Quando 𝑤𝑘 ultrapassa o valor máximo, deve-se alterar o diâmetro da barra e verificar
novamente se o limite é atendido. A fissuração reduz-se quanto mais barras de menor diâmetro
são utilizadas. Contudo, deve-se atentar para o aumento do trabalho na montagem da armadura
(BASTOS, 2021).
Para o estádio II a posição da linha neutra, 𝑥𝐼𝐼, e a tensão 𝜎𝑠𝑖 são calculadas de acordo
com as Equações 46 e 47, respectivamente. As deduções das expressões podem ser vistas no
APÊNDICE C.
𝑥𝐼𝐼 = Ε𝑠
Ε𝑐∙
𝐴𝑠
𝑏∙ (1 − √1 +
2 ∙ 𝑏 ∙ 𝑑
Ε𝑠
Ε𝑐∙ 𝐴𝑠
2 (46)
A relação entre os módulos de elasticidade do concreto e aço, Ε𝑠
Ε𝑐, no estádio II pode ser
considerada, de acordo com a NBR 6118:2014, igual a 15.
𝜎𝑠𝑖 =
𝑀𝑑 𝑓𝑟𝑒
𝐴𝑠 ∙ (𝑑 −𝑥𝐼𝐼
3 ) (47)
Em que 𝑀𝑑 𝑓𝑟𝑒 é o momento fletor solicitante de projeto para combinação de ação frequente,
cuja a carga é calculada segundo Equação 2.
O controle da fissuração dispensa a verificação da abertura de fissuras quando:
𝜎𝑠𝑖 < 𝜎𝑠𝑖 𝑀Á𝑋 (48)
𝑠 < 𝑠𝑀Á𝑋 (49)
onde 𝑠 é distância entre eixos das barras, obtida pelo maior valor calculado nas Equações 50 e
51.
𝑠 = 𝑒ℎ + 𝜙𝑖 (50)
𝑠 = 𝑒𝑣 + 𝜙𝑖 (51)
em que:
𝑒ℎ: espaçamento horizontal entre faces das barras longitudinais;
𝑒𝑣: espaçamento vertical entre faces das barras longitudinais.
Os valores de 𝜎𝑠𝑖 𝑀Á𝑋 e 𝑠𝑀Á𝑋 são mostrados na Tabela 17.2 da norma NBR 6118:2014,
de acordo com o diâmetro da barra tracionada.
37
2.9 DIMENSIONAMENTO DE LAJES
Lajes são elementos planos e laminares, cuja dimensão perpendicular à superfície é
relativamente pequena quando comparada às demais, e onde se predominam as ações normais
ao seu plano (CARVALHO e FIGUEIREDO FILHO, 2014). Apresentam comportamento de
placa, associado à flexão local devido ao carregamento vertical aplicado diretamente sobre a
laje, ou de chapa, relacionado ao contraventamento da estrutura quando se admite atuação de
carregamento horizontal advindo de ventos (PERLIN et al. 2019).
Nas construções, as lajes usualmente compõem os pavimentos, podendo ser projetadas
com elementos pré-moldados ou moldados no local. Dentre as diversas metodologias
construtivas, são consideradas neste trabalho somente as lajes maciças atuando como placas
delgadas, com altura menor que 1/3 do vão.
As lajes maciças caracterizam-se por serem construídas em concreto armado,
apresentar altura constante e distribuir suas reações em todas as vigas em que estão apoiadas,
obtendo maior resistência às cargas laterais e tornando a estrutura mais rígida (CHING et al.
2010).
Todos os exemplos de lajes considerados no presente trabalho se referem a lajes
bidirecionais. Portanto, apenas detalhes a respeito deste tipo de laje são apresentados daqui em
diante.
No dimensionamento de uma laje determinam-se as áreas de aço que compõem as
armaduras longitudinais e transversais, quando houver, respeitando-se os critérios de
espaçamento máximo, as taxas de armadura máxima e mínima, bem como realizam-se as
verificações relacionadas ao ELS.
Neste capítulo, estuda-se exclusivamente o controle de deformações excessivas (ELS
– DEF) e fissuração (ELS-F). Por simplificação, o controle de abertura de fissuras (ELS-W) é
somente tratado no elemento estrutural viga. Também não se realiza o cálculo do comprimento
das barras longitudinais e sua ancoragem, por simplificação.
Embora a concretagem de lajes e vigas seja, geralmente, realizada em uma única etapa,
não se considera como monolítica a ligação entre estes elementos estruturais, desprezando-se
os efeitos das interações com as vigas. De fato, as flechas e rigidez à torção apresentadas pelas
vigas de apoio são significativamente menores que as flechas e rigidez à flexão das lajes.
Contudo, para lajes em balanço é imprescindível a consideração dos esforços de torção gerados
na viga, responsáveis pelo equilíbrio da laje (FORMAGINI, 2013).
38
As hipóteses básicas consideradas pela norma NBR 6118:2014 na análise de estruturas
de placas, como são abordadas comumente as lajes, são: as seções inicialmente planas se
mantêm planas após a deformação, em faixas suficientemente estreitas; os elementos são
representados por seu plano médio.
2.9.1 Características construtivas: altura, vãos efetivos, tipo de armação e apoios
O dimensionamento de lajes maciças inicia estimando-se sua altura ℎ, muitas vezes
denominada de espessura, na literatura. O item 13.2.4.1 da norma NBR 6118:2014 determina
os valores mínimos para a altura da seção, ℎ𝑀Í𝑁. Para lajes de piso que não estejam em balanço,
a altura mínima é de 8cm.
Nos cálculos para determinação da área de aço e verificações quanto aos estados
limites último e de serviço, utiliza-se o valor do vão efetivo, 𝑙𝑒𝑓𝑒, como medida para os
comprimentos da laje. De acordo com a norma NBR 6118:2014 seu valor é obtido pela equação:
𝑙𝑒𝑓𝑒 = 𝑎1 + 𝑙0 + 𝑎2 (52)
onde:
𝑙0: comprimento do vão na planta de fôrmas;
𝑎1, 𝑎2: menor valor entre os resultados das Equações 53 e 54.
𝑎1 =
𝑡1
2; 𝑎2 =
𝑡2
2 (53)
𝑎1, 𝑎2 = 0,3 ∙ ℎ (54)
onde:
𝑡: espessura da viga que suporta a laje na direção ortogonal à analisada;
ℎ: altura da laje.
Uma laje pode ter as barras de aço dispostas paralelamente a somente uma de suas
direções, ou então apresentar armação bidirecional. A relação entre as suas dimensões, 𝜆, pode
ser calculada através da equação (PERLIN et al. 2019):
𝜆 =
𝑙𝑦
𝑙𝑥 (55)
onde:
𝑙𝑦: comprimento do maior vão efetivo;
𝑙𝑥: comprimento do menor vão efetivo.
39
Quando o valor de uma das dimensões é maior que o dobro do valor da outra dimensão,
a laje é armada somente na direção do menor vão. Caso contrário, as barras de aço são
posicionadas em ambas as direções da laje. As expressões 56 e 57 resumem o exposto.
𝜆 > 2 → 𝑎𝑟𝑚𝑎çã𝑜 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 (56)
𝜆 ≤ 2 → 𝑎𝑟𝑚𝑎çã𝑜 𝑏𝑖𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 (57)
Embora os pavimentos sejam constituídos por painéis de lajes, o dimensionamento
pode ser realizado discretizando-se as lajes, delimitando-as de acordo com as disposições das
vigas, e as tratando como elementos isolados. Assim, é necessário definir a vinculação para
cada laje.
As condições de apoio são determinadas de acordo com os comprimentos e altura das
lajes em estudo e adjacentes. Obtém-se vinculação do tipo engaste somente quando as
expressões 58, 59 e 60 são satisfeitas simultaneamente (PERLIN et al. 2019).
𝑙𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 ≥
2 ∙ 𝑙
3 (58)
𝑣ã𝑜𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 ≥
2 ∙ 𝑣ã𝑜
3 (59)
ℎ𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 − ℎ ≥ 2𝑐𝑚 (60)
onde:
𝑙: comprimento da laje estudada, na direção do bordo que se deseja realizar o engaste;
𝑙𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒: comprimento da laje adjacente, na mesma direção da laje estudada;
𝑣ã𝑜: comprimento da laje estudada, ortogonal à direção onde se deseja realizar o engaste;
𝑣ã𝑜𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒: comprimento da laje adjacente, paralelo ao vão da laje estudada;
ℎ: altura da laje estudada;
ℎ𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒: altura da laje adjacente.
Além disso o carregamento da laje considerada deve ser semelhante ao da laje
adjacente.
A Figura 13 mostra, simplificadamente, as direções dos comprimentos da laje estudada
e adjacente de acordo com a posição do engaste desejado.
40
Figura 13 - Disposições dos comprimentos da laje estudada e adjacente de acordo com a posição do engaste a ser
realizado.
Fonte: Elaborado pela autora.
Caso alguma condição seja violada impossibilitando o engaste, a vinculação será do
tipo apoio simples, ou bordo livre na ausência de vigas.
Uma vez determinado o tipo de armação e condições de apoio, verifica-se se a altura
da laje atende os estados limites de serviço referentes à deformação excessiva e fissuração, bem
como o estado limite último de flexão. Se todos os critérios forem respeitados, prossegue-se
para o cálculo da área de aço, caso contrário, deve-se alterar a altura adotada para a laje e realizar
novamente as verificações.
2.9.2 Controle de deformações excessivas (ELS – DEF)
Para a verificação dos estados limites de deformações excessivas, devem ser
analisadas, além das combinações de ações a serem empregadas, as características geométricas
das seções, os efeitos da fissuração, fluência do concreto e as flechas limites. A deformação
real da estrutura depende também do processo construtivo e das propriedades dos materiais
(principalmente do módulo de elasticidade e da resistência à tração) no momento de sua
solicitação. Dessa forma, devido à grande variabilidade desses parâmetros, os deslocamentos
calculados por processos analíticos não fornecem resultados precisos (CARVALHO e
FIGUEIREDO FILHO, 2014).
Os limites de deslocamento são previstos e mostrados na Tabela 13.3 da norma NBR
6118:2014. Para que a estrutura tenha condições aceitáveis e possa ser utilizada, sua
deformação deve apresentar valor inferior aos determinados por norma. No presente trabalho,
41
são avaliados os limites sensoriais visual e de vibração, de acordo com as Equações 61 e 62,
respectivamente. A aceitabilidade sensorial está relacionada aos efeitos que causam desconforto
ao usuário.
𝑓∞ ≤
𝑙𝑥
250 (61)
𝑓0(𝑞) ≤
𝑙𝑥
350 (62)
onde:
𝑓∞: flecha total do elemento analisado, considerando-se todas as cargas;
𝑓0(𝑞): flecha total do elemento analisado, considerando-se somente as cargas acidentais;
𝑙𝑥: menor vão efetivo da laje, em mm.
Neste estudo, a determinação das deformações máximas desenvolvidas pela laje
considera que a mesma esteja no estádio I, não apresentando fissuras. Caso seja constatada a
presença de fissuras, cálculos mais precisos devem ser empregados. Por exemplo, a norma NBR
6118:2014 apresenta equação desenvolvida por BRANSON (1965), para seções que trabalham
parcialmente nos estádios I e II.
A flecha total é obtida a partir da flecha imediata considerando-se o efeito da fluência
do concreto. Assim, a laje apresenta deformações imediatamente após a aplicação de cargas
uniformemente distribuídas e sofre continuamente acréscimos de deformação, sob tensão
constante. De acordo com a NBR 6118:2014, a flecha total (diferida no tempo) é calculada
pela seguinte equação:
𝑓∞ = (1 + 𝛼𝑓) ∙ 𝑓0, (63)
na qual 𝑓0 corresponde à flecha imediata e 𝛼𝑓 é o fator de fluência, obtido pela Equação 64.
𝛼𝑓 = 𝜀(𝑡) − 𝜀(𝑡0)
1 + 50𝜌′ (64)
onde:
𝜌′: taxa de armadura resistente à compressão.
Diferentemente de vigas, as lajes não podem ser dimensionadas com armadura comprimida pela
dificuldade ocasionada no processo de concretagem e devido à complexidade do detalhamento.
Dessa forma, a Equação 64 pode ser simplificadamente escrita como:
𝛼𝑓 = 𝜀(𝑡) − 𝜀(𝑡0) (65)
onde:
𝑡: tempo, em meses, que se deseja o valor da flecha total;
42
𝑡0: tempo, em meses, relativa à data de aplicação da carga de longa duração. Na prática, pode-
se assumir o valor do tempo em que a laje permanece sobre o escoramento.
𝜀: coeficiente em função do tempo 𝑡, que pode ser obtido diretamente na Tabela 17.1 da norma
NBR 6118:2014, ou ser calculado pelas expressões seguintes:
𝜀 = 0,68 ∙ 0,996𝑡 ∙ 𝑡0,32 𝑡 < 70 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 (66)
𝜀 = 2 𝑡 ≥ 70 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 (67)
Em lajes armadas nas duas direções, a obtenção do valor da flecha envolve cálculos
mais complexos de acordo com a Teoria Matemática da Elasticidade. Esse método se baseia
nas equações de equilíbrio de um elemento infinitesimal de placa e nas relações de
compatibilidade das deformações do mesmo. Seus resultados apresentam valores menores de
estimativa de flecha, pois se considera que o concreto encontra-se ainda íntegro (Estádio I), e
se supõe que os esforços na ruptura são proporcionais aos obtidos em serviço (PERLIN et al.
2019).
Para lajes retangulares isoladas submetidas a carregamento vertical uniformemente
distribuído, existem diversos métodos na literatura que determinam as deformações máximas
por meio de expansões em séries, e comumente tabelando-se os valores obtidos. CARVALHO
e FIGUEIREDO FILHO (2014) apresentam os quadros desenvolvidos por BARES (1972), cuja
flecha é calcula através da seguinte equação:
𝑓0 =
𝛼
100∙
𝑝𝐸𝐿𝑆 ∙ 𝑙𝑥4
Ε ∙ ℎ3 (68)
onde:
𝑓0: flecha imediata para lajes armadas em duas direções com carregamento uniforme;
𝛼: coeficiente extraído da Tabela 22, presente no ANEXO A. O coeficiente 𝜆 é calculado de
acordo com a Equação 55 e o caso é definido por meio da Figura 28, também presente no
ANEXO A, segundo os tipos de vinculação que a laje apresenta;
𝑝𝐸𝐿𝑆: carga de projeto no ELS com combinação quase permanente de serviço. Calculada
conforme a Equação 3.
𝛦: módulo de elasticidade do concreto. Conforme a NBR 6118:2014, para o cálculo da rigidez
dos elementos estruturais, permite-se, como aproximação, tomar o módulo de elasticidade
secante, Ε𝑠𝑒𝑐 . Deve ser obtido segundo o método de ensaio estabelecido na ABNT NBR 8522,
norma que estabelece os métodos de ensaio para a determinação dos módulos estáticos de
elasticidade e de deformação à compressão do concreto endurecido, em corpos de prova
43
cilíndricos; ou, quando não forem realizados ensaios, estima-se seu valor pela seguinte
expressão:
Ε𝑠𝑒𝑐 = 𝛼𝑖 ∙ Ε𝑐𝑖 (69)
onde:
𝛼𝑖 = 0,8 +
0,2 ∙ 𝑓𝑐𝑘
80 ≤ 1 (70)
em que:
Ε𝑐𝑖: módulo de elasticidade inicial. Na ausência de ensaios, é calculado pela equação:
Ε𝑐𝑖 = 𝛼𝑒 ∙ 5600 ∙ √𝑓𝑐𝑘2
(71)
em que:
𝛼𝑒 = 1,0 granito e gnaisse (72)
A Tabela 8.1 da norma NBR 6118:2014, apresenta valores estimados, na ausência se
ensaios, do módulo de elasticidade do concreto de acordo com sua resistência característica,
que podem ser usados no projeto estrutural.
A flecha total do elemento analisado considerando-se somente as cargas acidentais,
𝑓0(𝑞), pode, simplificadamente, ser obtida pela equação:
𝑓0(𝑞) =
𝑓0 ∙ 𝑄
𝑝𝐸𝐿𝑆 (73)
2.9.3 Controle de fissuração (ELS – F)
Considera-se que não há formação de fissuras quando o maior momento solicitante a
ser suportado pela laje é menor que o momento de fissuração, conforme estabelecido pela
norma NBR 6118:2014. O estado limite de serviço de fissuração é atendido desde que:
𝑀𝑠𝑑 ≤ 𝑀𝑟 (74)
onde:
𝑀𝑠𝑑: momento solicitante de projeto;
𝑀𝑟: momento de fissuração, responsável por diferenciar os estádios I e II. Conforme a norma
NBR 6118:2014, é calculado como:
𝑀𝑟 =
𝛼′ ∙ 𝑓𝑐𝑡 ∙ 𝐼
𝑦𝑡 (75)
onde:
𝐼: momento de inercia da seção bruta do concreto;
44
𝑦𝑡: distância do centro de gravidade da seção à borda mais tracionada;
𝛼′: fator que correlaciona a resistência à tração na flexão com a resistência à tração direta. Para
seções retangulares assume valor igual a 1,5.
𝑓𝑐𝑡: resistência à tração direta do concreto. Para determinação do momento de fissuração, deve
ser usado o fctk,inf no estado-limite de formação de fissuras, segundo Equação 76, ou o fctm no
estado-limite de deformação excessiva, de acordo com a Equação 44.
𝑓𝑐𝑡𝑘,𝑖𝑛𝑓 = 0,7 ∙ 𝑓𝑐𝑡𝑚 (𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑟𝑒𝑡𝑜𝑠 𝑎𝑡é 𝐶50) (76)
Substituindo o valor de 𝑓𝑐𝑡𝑚 na Equação 76, tem-se que para o estado limite de
fissuração:
𝑓𝑐𝑡 = 𝑓𝑐𝑡𝑘,𝑖𝑛𝑓 = 0,21 ∙ √𝑓𝑐𝑘
23 (77)
Em lajes armadas nas duas direções, a obtenção do valor do momento de serviço
envolve cálculos mais complexos de acordo com a Teoria Matemática da Elasticidade, assim
como o da flecha. CARVALHO e FIGUEIREDO FILHO (2014) apresentam os quadros
desenvolvidos por BARES (1972), cujos momentos solicitantes, de acordo com a direção e
sentido de tração das fibras, são calculados por meio das seguintes equações:
𝑀𝑥+ =
𝜇𝑥+ ∙ 𝑝𝐸𝐿𝑆 ∙ 𝑙𝑥2
100 (78)
𝑀𝑥− =
𝜇𝑥− ∙ 𝑝𝐸𝐿𝑆 ∙ 𝑙𝑥2
100 (79)
𝑀𝑦+ =
𝜇𝑦+ ∙ 𝑝𝐸𝐿𝑆 ∙ 𝑙𝑥2
100 (80)
𝑀𝑦− =
𝜇𝑦− ∙ 𝑝𝐸𝐿𝑆 ∙ 𝑙𝑥2
100 (81)
onde:
𝑀𝑥+: momento solicitante positivo do menor vão efetivo da laje;
𝑀𝑥−: momento solicitante negativo do menor vão efetivo da laje;
𝑀𝑦+: momento solicitante positivo do maior vão efetivo da laje;
𝑀𝑦−: momento solicitante negativo do maior vão efetivo da laje.
𝑝𝐸𝐿𝑆: calculado conforme Equação 2;
𝜇𝑥+ 𝜇𝑥−, 𝜇𝑦+, 𝜇𝑦− : coeficientes extraídos da Tabela 23, Tabela 24 e Tabela 25, presentes no
ANEXO A. O coeficiente 𝜆 é calculado de acordo com a Equação 55 e o caso é obtido através
da Figura 28, também presente no ANEXO A, segundo os tipos de vinculação que a laje
apresenta.
45
Ressalta-se que o momento negativo ocorre na região dos apoios engastados e tem
pouco impacto na fissuração, devido à região reduzida na qual o mesmo atua.
A norma NBR 6118:2014 permite a abertura de fissuras desde que as espessuras das
mesmas não ultrapassem os valores indicados em sua Tabela 13.4. No caso em questão, para
laje de concreto armado em classe de agressividade II, o limite é de 0,3mm. Dessa forma, o
cumprimento da expressão 74 dispensa o controle de abertura de fissuras, contudo, quando não
atendida, ainda se pode considerar o valor da altura adotado desde que análises mais criteriosas
sejam realizadas quanto ao ELS – DEF e ELS-W.
No presente trabalho, apenas são indicados os métodos de pré-dimensionamento cujo
o limite de formação de fissuras é ultrapassado sem, contudo, examinar mais atentamente a
deformação e abertura das fissuras.
2.9.4 Armadura longitudinal (ELU)
No estado limite último calcula-se a área de aço necessária para suportar os máximos
momentos fletores. Em lajes armadas nas duas direções, o momento é obtido pelas Equações
78, 79, 80 e 81 substituindo-se a carga de projeto no ELS pela carga de projeto no ELU com
ações normais, conforme Equação 1.
Lajes adjacentes, que compartilham o mesmo apoio engastado, podem apresentar
valores diferentes para os momentos fletores negativos. Como as lajes são contínuas, torna-se
necessária a compatibilização dos momentos, garantindo um mesmo valor para ambas as lajes.
Partindo da premissa que as lajes apresentam vãos teóricos e rigidezes similares, são
carregadas simultaneamente e as cargas acidentais não são maiores que as permanentes, o
momento fletor negativo compatibilizado, 𝑀𝑐−, assume o maior dos valores calculados pelas
Equações 82, 83 e 84 (PERLIN et al. 2019).
𝑀𝑐− = 0,8 ∙ 𝑀𝐴− (82)
𝑀𝑐− = 0,8 ∙ 𝑀𝐵− (83)
𝑀𝑐− =
𝑀𝐴− + 𝑀𝐵−
2 (84)
Em que 𝑀𝐴− e 𝑀𝐵− são os momentos fletores negativos das lajes adjacentes a serem
compatibilizados.
Quando o momento fletor negativo assume menor valor após a compatibilização,
consequentemente o momento positivo, na direção deste momento negativo, passa a apresentar
46
valor maior, pois o gráfico de momento fletor se desloca por inteiro para baixo. Assim, deve-
se corrigir o momento fletor positivo. Quando o momento fletor negativo assume maior valor
após a compatibilização, o gráfico de momento fletor se desloca por inteiro para cima e o
momento fletor positivo passa a apresentar valor menor. Entretanto, neste caso, não se realiza
a correção, pois ao assumir o maior valor trabalha-se a favor da segurança.
A correção é feita adicionando-se ao momento fletor positivo a metade da variação do
momento fletor negativo, na direção considerada, conforme Equação 85 (PERLIN et al. 2019).
𝑀𝑐+ = 𝑀𝐴+ +
𝑀𝐴− − 𝑀𝑐−
2 (85)
onde:
𝑀𝑐+: momento fletor positivo corrigido;
𝑀𝑐−: momento fletor negativo compatibilizado;
𝑀𝐴−: momento fletor negativo cujo valor decresceu após compatibilização;
𝑀𝐴+: momento fletor positivo na direção de 𝑀𝐴−.
Uma vez obtidos todos os valores de momento fletor atuantes na laje, calcula-se a área
de aço longitudinal resistente à tração. A área de aço longitudinal, por m2 de laje, é obtida pelas
Equações 6 e 8 deduzidas no capítulo 2.8.1 Armadura longitudinal. Caso o critério de
ductilidade, conforme Equação 7, não seja atendido, deve-se aumentar a espessura da laje e
realizar todas as verificações novamente pois, em lajes, não se emprega armadura resistente à
compressão.
As áreas de aço da armadura positiva e negativa utilizam o mesmo procedimento.
Contudo, em lajes adjacentes engastadas deve-se considerar, no cálculo da armadura negativa,
a situação mais crítica, empregando-se a altura útil referente à laje de menor altura.
Segundo a norma NBR 6118:2014, qualquer barra da armadura longitudinal deve ter
diâmetro, ϕl, limitado por:
𝜙𝑙 ≤
ℎ
8 (86)
Após escolha do diâmetro, verifica-se se a área de aço empregada é maior que a área
de aço mínima e menor que a máxima.
A área de aço máxima a ser respeitada é calculada pela Equação 9.
A área de aço mínima, 𝐴𝑠 𝑀Í𝑁, é obtida através da seguinte expressão:
𝐴𝑠 𝑀Í𝑁 = 𝜌𝑠 ∙ 𝐴𝑐 (87)
onde:
𝐴𝑐: área da seção transversal da laje;
47
𝜌𝑠: valor mínimo para armadura, apresentado na Tabela 19.1 da norma NBR 6118:2014. Para
armaduras negativas, assume o valor calculado pela Equação 88 enquanto que para armaduras
positivas, de lajes armadas nas duas direções, é obtido pela Equação 89.
𝜌𝑠 ≥ 𝜌𝑚𝑖𝑛 (88)
𝜌𝑠 ≥ 0,67𝜌𝑚𝑖𝑛 (89)
Para concretos C25, 𝜌𝑚í𝑛 assume valor igual a 0,150%.
O espaçamento entre faces das barras de aço não deve ultrapassar o valor máximo,
𝑒𝑀Á𝑋, obtido pelo menor dos resultados calculados pelas Equações 90 e 91.
𝑒𝑀Á𝑋 ≤ 20𝑐𝑚 (90)
𝑒𝑀Á𝑋 ≤ 2 ∙ ℎ (91)
2.9.5 Armadura transversal (ELU)
A área de aço da armadura transversal a ser empregada, os critérios de área de aço
mínima e espaçamento máximo entre estribos são calculados conforme explicitado no capítulo
2.8.3 Armadura transversal. Contudo, as lajes, em particular, podem mobilizar resistência ao
esforço cortante de maneira que seu efeito não seja crítico. Assim, normalmente apenas o
concreto é suficiente para resisti-lo. Segundo a norma NBR 6118:2014 pode ser dispensado o
uso de armadura de cisalhamento quando:
𝑉𝑅𝑑1 ≥ 𝑉𝑠𝑑 (92)
onde:
𝑉𝑠𝑑: esforço cortante solicitante de projeto, assume o maior valor das reações de apoio. Em lajes
armadas nas duas direções, a obtenção do valor das reações de apoio das lajes, nas vigas que a
suportam, envolve, por exemplo, o método das charneiras plásticas, considerando o regime de
ruptura. Contudo, neste método as informações sobre o comportamento da estrutura em serviço
não são precisas, devido à dificuldade em se determinar os deslocamentos. Para lajes
retangulares isoladas submetidas a carregamento uniforme, CARVALHO e FIGUEIREDO
FILHO (2014) apresentam os quadros desenvolvidos por BARES (1972), cujo esforço cortante
solicitante de projeto é o maior dos esforços calculados pelas seguintes equações:
𝑉𝑥+ =
𝜈𝑥+ ∙ 𝑝𝐸𝐿𝑈 ∙ 𝑙𝑥
10 (93)
𝑉𝑥− =
𝜈𝑥− ∙ 𝑝𝐸𝐿𝑈 ∙ 𝑙𝑥
10 (94)
48
𝑉𝑦+ =
𝜈𝑦+ ∙ 𝑝𝐸𝐿𝑈 ∙ 𝑙𝑥
10 (95)
𝑉𝑦− =
𝜈𝑦− ∙ 𝑝𝐸𝐿𝑈 ∙ 𝑙𝑥
10 (96)
onde:
𝑉𝑥+: esforço cortante solicitante positivo do menor vão efetivo da laje;
𝑉𝑥−: esforço cortante solicitante negativo do menor vão efetivo da laje;
𝑉𝑦+: esforço cortante solicitante positivo do maior vão efetivo da laje;
𝑉𝑦−: esforço cortante solicitante negativo do maior vão efetivo da laje.
𝑝𝐸𝐿𝑈: carga de projeto no ELU para ações normais. Calculado segundo a Equação 1;
𝜈𝑥+, 𝜈𝑥−, 𝜈𝑦+, 𝜈𝑦− : coeficientes extraídos da Tabela 26, Tabela 27 e Tabela 28, presentes no
ANEXO A. O coeficiente 𝜆 é calculado de acordo com a Equação 55 e o caso é obtido através
da Figura 28, também presente no ANEXO A, segundo os tipos de vinculação que a laje
apresenta.
Prosseguindo-se com a explanação das demais variáveis necessárias ao cálculo para
dispensa da armadura transversal:
𝑉𝑅𝑑1: esforço cortante resistente de projeto, obtido pela seguinte expressão:
𝑉𝑅𝑑1 = (𝜏𝑅𝑑 ∙ 𝑘 ∙ (1,2 + 40𝜌1) + 0,15𝜎𝑐𝑝) ∙ 𝑏 ∙ 𝑑 (97)
onde:
𝜏𝑅𝑑: tensão resistente de cálculo do concreto ao cisalhamento, dada por:
𝜏𝑅𝑑 = 0,25 ∙ 𝑓𝑐𝑡𝑑 (98)
𝑓𝑐𝑡𝑑: calculado conforme Equação 30.
𝑘: coeficiente que assume os seguintes valores:
𝑘 = 1 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑜𝑛𝑑𝑒 50% 𝑑𝑎 𝑎𝑟𝑚𝑎𝑑𝑢𝑟𝑎
𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑛ã𝑜 𝑐ℎ𝑒𝑔𝑎 𝑎𝑜 𝑎𝑝𝑜𝑖𝑜
𝑘 = 1,6 − 𝑑 ≥ 1 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 (𝑑 𝑒𝑚 𝑚)
(99)
𝜌1: razão entre a área de aço longitudinal efetivamente utilizada e a área de concreto da seção
bruta, como segue:
𝜌1 =
𝐴𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙
𝑏 ∙ 𝑑 (100)
𝜎𝑐𝑝: tensão normal na seção devida à protensão ou carregamento, obtida por:
𝜎𝑐𝑝 =
𝑁𝑠𝑑
𝐴𝑐 (101)
𝑁𝑠𝑑: força longitudinal na seção devida à protensão ou carregamento.
49
Em lajes maciças normalmente não há necessidade de armadura de cisalhamento.
Geralmente, as limitações quanto à deformação excessiva e armadura de flexão são mais
restritivas.
Adotando-se, ou não, armadura transversal, deve-se realizar a verificação referente ao
esmagamento das bielas de concreto, conforme Equação 22.
2.9.6 Armadura de borda (ELS-F)
A norma NBR 6118:2014 exige a utilização de armadura negativa de borda nos apoios
de lajes que não apresentem lajes adjacentes, a fim de se evitar a ocorrência de fissuras e trincas,
visto que não se considera, nos cálculos do dimensionamento da área de aço longitudinal, o
desenvolvimento de momento negativo nas ligações entre viga e laje.
Respeitando-se os limites estabelecidos pela Tabela 19.1 da norma NBR 6118:2014,
deve-se adotar área de aço igual ou superior à mínima, 𝐴𝑠 𝑏𝑜𝑟𝑑𝑜 𝑀𝐼𝑁, de acordo com a equação:
𝐴𝑠 𝑏𝑜𝑟𝑑𝑜 𝑀𝐼𝑁 = 0,67 ∙ 𝜌𝑚𝑖𝑛 ∙ 𝑏 ∙ ℎ (102)
Para concretos C25, aqui considerados, 𝜌𝑚í𝑛 assume valor igual a 0,150%.
50
3 VIGAS
Este capítulo aborda o estudo referente ao dimensionamento de vigas, em análises
paramétricas.
A largura da viga muitas vezes é escolhida com base no projeto arquitetônico, de forma
que esta fique embutida na alvenaria. A norma NBR 6118:2014 especifica um valor mínimo de
largura de 12 cm podendo ser reduzido para 10 cm, em casos excepcionais, desde que se respeite
os espaçamentos e cobrimentos estabelecidos na mesma norma e sejam atendidos os critérios
de lançamento e adensamento, conforme a NBR 14931:2004.
Quando possível, a altura da viga normalmente é padronizada em dimensões múltiplas
de 5cm e adota-se a mesma seção transversal para os diferentes tramos de uma viga contínua
(PELIZARO e CUNHA). A norma NBR 6118:2014 especifica um valor mínimo de 20 cm de
altura.
O cálculo da área de aço, disposições construtivas e verificações das normas foram
executados numa planilha utilizando-se o software Excel. Com os resultados obtidos, realizou-
se o desenho da seção da viga com o auxílio do software AutoCAD.
A seguir, são apresentados os métodos da literatura quanto ao pré-dimensionamento
de uma viga, as considerações assumidas para o cálculo do dimensionamento e as situações de
estudo.
3.1 PRÉ-DIMENSIONAMENTO CONFORME LITERATURA
É discutido nesse capítulo o pré-dimensionamento de uma viga, no que diz respeito à
determinação de sua altura e largura, utilizando alguns métodos da literatura.
CUNHA (2014) indica que a largura da viga, b, depende do comprimento do vão, L,
conforme Tabela 1. A altura, h, também considera diferentes situações de arranjo da viga na
estrutura. O método apresentado é denominado “método do vão ponderado”, conforme Tabela
2.
51
Tabela 1 - Pré-dimensionamento da base da viga, proposto por CUNHA (2014).
Fonte: PELIZARO E CUNHA.
Tabela 2 - Pré-dimensionamento da altura de viga, método do vão ponderado, proposto por CUNHA (2014).
Fonte: CUNHA (2014).
LANÇA (2006) estima a altura da viga, h, entre pilares e viga em balanço de acordo
com o comprimento do vão, L, utilizando coeficientes. A Tabela 3 apresenta o método.
Tabela 3 - Pré-dimensionamento da altura de viga, proposto por LANÇA (2006).
Fonte: Adaptado de LANÇA (2006).
onde:
𝑍1: pode variar de 10 a 12. PEREIRA (2015) sugere adotar 𝑍1 = 10, para vigas isostáticas, e
𝑍1 = 12, para vigas hiperestáticas.
𝑍2: pode variar de 6 a 10.
Além disso, recomenda-se valor mínimo entre 30 e 40cm para a altura. Este último em
vigas com particular relevância na resistência à ação sísmica (apud REIS).
GIONGO (2006) estipula a altura da viga de acordo com sua posição, como indicado
na Tabela 4.
Caso Largura do vão Fórmula
1 vão ≤ 4m b = 12cm
2 4 < vão ≤ 8m b = 20cm
3 8m < vão b = 25 a 30cm
Caso Apoio da viga Fórmula
1 entre pilares h = L/Z1
2 em balanço h = L/Z2
52
Tabela 4 - Pré-dimensionamento da altura de viga, proposto por GIONGO (2006).
Fonte: Adaptado de GIONGO (2006).
onde:
𝑍3: pode variar de 9 a 11.
𝑍4: pode variar de 11 a 13.
DI PIETRO (2000) sugere que o pré-dimensionamento da altura da viga seja feito de
acordo com a condição de apoio, como segue na Tabela 5.
Tabela 5 - Pré-dimensionamento da altura de viga, proposto por DI PIETRO (2000).
Fonte: Adaptado de DI PIETRO (2000).
onde:
𝑍5: pode variar de 8 a 12.
𝑍6: pode variar de 12 a 16.
𝑍7: pode variar de 5 a 7.
REBELLO (2007) propõe o pré-dimensionamento da altura da viga, conforme Tabela
6. A base, b, deve variar entre 1/4 e 1/3 da altura h, respeitando-se a largura máxima de 12cm,
quando a viga for embutida em alvenaria de 1/2 tijolo (bloco posicionado com os furos na
vertical), ou de 20-22 cm, para alvenaria de 1 tijolo (bloco posicionado com os furos na
horizontal).
Caso Posição da viga Fórmula
1 externa h = L/Z3
2 interna h = L/Z4
Caso Apoio da viga Fórmula
1 biapoiada h = L/Z5
2 contínua h = L/Z6
3 em balanço h = L/Z7
53
Tabela 6 - Pré-dimensionamento da altura de viga, proposto por REBELLO (2007).
Fonte: Adaptado de REBELLO (2007).
onde:
𝐿: comprimento do maior vão.
𝐿𝐵: comprimento do balanço.
Para as vigas que possuírem balanço, a altura da viga é verificada tanto pelo vão quanto
pelo balanço, adotando-se o maior dos dois valores. O vão deve ser examinado de acordo com
as fórmulas de vigas biapoiada ou contínua, sem balanço.
A definição dos carregamentos pequeno, médio e grande foi sugerida por MELO
(2013) de acordo com a nomenclatura utilizada por REBELLO (2007) e está exposta na Tabela
7.
Tabela 7 - Relação entre os tipos de carga e o ambiente a ser construído.
Fonte: MELO (2013).
Caso Apoio da viga Carga Fórmula
1 pequena h = 8% L
2 média h = 10% L
3 grande h = 8% L
4 pequena h = 16% LB
5 média h = 20% LB
6 grande h = 24% LB
7 pequena h = 6% L
8 média h = 8% L
9 grande h = 10% L
10 h = 6% L
11 h = 16% LB
biapoiada sem balanço
biapoiada com balanço
contínua sem balanço
contínua com balanço pequena
h = 12% L
Caso Apoio da viga Carga Fórmula
1 pequena h = 8% L
2 média h = 10% L
3 grande h = 8% L
4 pequena h = 16% LB
5 média h = 20% LB
6 grande h = 24% LB
7 pequena h = 6% L
8 média h = 8% L
9 grande h = 10% L
10 h = 6% L
11 h = 16% LB
biapoiada sem balanço
biapoiada com balanço
contínua sem balanço
contínua com balanço pequena
10
11
12
54
3.2 CONSIDERAÇÕES
Algumas ponderações são feitas, no presente estudo, para o dimensionamento de vigas
e apresentadas nas seções a seguir. São relacionadas aos métodos da literatura, bem como
características dos materiais de construção civil e do meio.
3.2.1 Métodos da literatura
Para os métodos de pré-dimensionamento onde não se discute a base da viga, é adotado
no presente trabalho o valor de 12cm para vigas internas e 14cm para vigas externas. Estes
valores tem como referência as espessuras de blocos cerâmicos disponíveis no mercado. Para
parede de alvenaria interna, normalmente utiliza-se tijolo com dimensões de 9x19cm
(espessura, altura), contudo, o valor mínimo da base de uma viga permitido pela norma NBR
6118:2014 é de 12cm. Já alvenarias de vedação externa apresentam maior espessura, assim, foi
escolhido bloco cerâmico com dimensões de 14x19cm (espessura, altura).
Nas fórmulas para o cálculo da altura da viga que apresentam coeficientes, 𝑍𝑥,
explicitados anteriormente no item 3.1 PRÉ-DIMENSIONAMENTO CONFORME
LITERATURA, utiliza-se o maior valor do intervalo a fim de se obter vigas com menores
alturas. A escolha baseia-se numa possível redução de custo, apesar de haver uma relação não
linear entre o custo e a altura, com as reduções das dimensões da seção transversal levando a
menores cargas relacionadas ao peso próprio, porém podendo requerer maiores taxas de
armadura.
A fim de se diversificar os resultados, os valores encontrados para a altura da viga
foram arredondados para o número inteiro imediatamente superior, na primeira análise
paramétrica, ou para o número inteiro mais próximo, na segunda análise paramétrica. Visando
a comparação entre os métodos de pré-dimensionamento, optou-se por não efetuar
arredondamento das alturas para múltiplos de 5, o que levou à possibilidade de se ter diferenças
maiores entre os resultados.
3.2.2 Características do concreto e do aço
É considerado concreto com 𝑓𝑐𝑘 = 25 𝑀𝑃𝑎, por ser o concreto mais utilizado em meio
urbano, recomendado para pequenas residências até grandes construções e resistente à
55
agressividade moderada do meio (TECNOSIL). O mínimo permitido pela norma NBR
8953:2015 para fins estruturais, é de 20MPa. O maior agregado graúdo considerado na
constituição do concreto é a brita 1, de diâmetro igual a 1,9cm.
Para as armaduras, adota-se o aço mais utilizado na construção civil, o CA-50
(ROSSI). Sua fabricação se dá pelo processo de laminação a quente apresentando capacidade
de soldabilidade, ótimo dobramento e resistência. Além disso, apresenta superfície nervurada
que promove maior aderência ao concreto (IMIANOWSKY e WALENDOWSKY). Embora
seja possível adotar diâmetros menores, optou-se por empregar bitola de 8mm como menor
valor para a armadura longitudinal, pois barras com maiores diâmetro são menos sujeitas a
entortamentos (BASTOS, 2021). Para a armadura transversal o diâmetro, 𝜙𝑡, escolhido foi o
de 6,3mm, por ser a menor bitola disponível no mercado.
3.2.3 Classe de agressividade ambiental e cobrimento nominal
A classe de agressividade ambiental empregada foi a urbana, por representar grande
parte das situações existentes na cidade de Florianópolis. Assim, o cobrimento nominal é de
3,0cm.
3.2.4 Carga
As cargas suportadas por uma viga geralmente referem-se ao seu peso próprio, o peso
de parede de alvenaria, as cargas concentradas aplicadas por outras vigas ou pilares e parte da
carga suportada pelas lajes que se apoiam na viga (MOLINARI).
No presente trabalho, é considerado apenas o peso próprio e de parede de alvenaria
como carga permanente. A carga transmitida à viga pela laje é tida como acidental, decorrente
das condições de uso da laje, e assume valor arbitrário, somente para efeito didático, de 10
KN/m, nenhum cálculo mais detalhado foi feito para esta determinação. Por simplificação, não
foram calculadas cargas concentradas nem cargas permanentes provenientes das lajes.
Para a definição da fórmula a ser utilizada na metodologia de REBELLO (2007), foram
considerados locais cujas cargas são pequenas, conforme classificação da Tabela 7.
56
3.2.5 Custos
No presente trabalho, estudou-se o custo por metro de viga, considerando seus
materiais constituintes, com contribuições da fôrma, do concreto e do aço.
Embora se necessite da estrutura suporte para a execução de vigas, admite-se somente
a superfície moldante, desconsiderando-se os sarrafos de madeira, por simplificação. A fôrma
cobre todo o perímetro da viga, com exceção do topo. Desse modo, o custo de fôrma, CF, é
calculado pela equação:
𝐶𝐹 = 𝐹 × (2 × ℎ + 𝑏) (103)
onde F é o preço da chapa de madeira por m2.
A concretagem de lajes e vigas costuma ser realizada de uma única vez, definindo-se
um só elemento. Dessa forma, em cálculos mais precisos, desconta-se a altura das lajes
adjacentes, pois a própria laje fará o fechamento da viga. Contudo, no presente trabalho, o
volume de concreto é considerado, por praticidade, como sendo igual ao volume da viga,
considerando-se também que os volumes ocupados pelas barras de aço não interferem
significativamente no resultado final. O custo de concreto, CC, é obtido pela equação:
𝐶𝐶 = 𝐶 × 𝑏 × ℎ (104)
onde C é o preço do volume de concreto por m3.
O custo de aço, CA, é dado por:
𝐶𝐴 = 𝐴 × 𝐴𝑠 𝑇𝑂𝑇𝐴𝐿 × 𝜌𝑎ç𝑜 (105)
onde A é o preço do aço por quilo, 𝐴𝑠 𝑇𝑂𝑇𝐴𝐿 toda a área de aço existente na seção transversal da
viga e 𝜌𝑎ç𝑜 o peso específico do aço.
A Tabela 1 da norma NBR 6120:2019, apresenta o peso específico do aço. Optou-se
por se utilizar o valor de 77,8KN/m3 equivalente a, aproximadamente, 7 780Kg/m3.
Dessa forma, a Equação 105 pode ser escrita como:
𝐶𝐴 = 𝐴 × 𝐴𝑠 𝑇𝑂𝑇𝐴𝐿 × 7 780 (106)
Os valores do preço da chapa de madeira, volume de concreto e quilo de aço foram
obtidos pelo Sistema Nacional de Pesquisa de Custos e Índices da Construção Civil (SINAPI)
para a cidade de Florianópolis (SC), referente aos insumos, não-desonerado, no mês de maio
de 2021. Adotou-se chapa de madeira compensada plastificada para fôrma de concreto de
2,20x1,10m e espessura de 10mm (não considerando-se a reutilização); concreto usinado
bombeável, classe de resistência C25, com brita 0 e 1, slump = 100 +/- 20mm, inclui serviço de
57
bombeamento; aço CA-50 10mm, ou 12,5mm, ou 16mm, ou 20mm, dobrado e cortado. Os
preços utilizados são mostrados na Tabela 8.
Tabela 8 - Valor dos insumos utilizados no cálculo do custo do metro de viga.
Fonte: Elaborado pela autora.
3.2.6 Planilha
A planilha desenvolvida para o cálculo da área de aço, verificações referentes à norma
NBR 6118:2014, e características quanto às disposições das barras de aço, foi validada de
acordo com os exercícios em notas de aula, referentes à disciplina de Concreto Armado I do
curso de graduação em engenharia civil, cursado pela autora deste trabalho.
A planilha não determina o diâmetro da barra de aço que resultará em menor área de
aço total. Assim, embora se tenha buscado o valor mínimo de área de aço que atenda as
restrições impostas por norma, não é possível afirmar que os resultados apresentados neste
estudo são certamente os menores valores possíveis.
O desenvolvimento da planilha do Excel pode ser visto no APÊNDICE A – Dedução
para a área de aço da armadura longitudinal.
Para se alcançar a área de aço longitudinal calculada buscou-se utilizar diâmetros de
forma que a área real fosse o mais próximo possível daquela calculada. Notou-se que nem
sempre o menor diâmetro resulta em menor área. Além disso, para que o critério de
concentração da armadura fosse respeitado, frequentemente foram empregadas áreas reais
muito superiores às áreas calculadas necessárias.
Quando se acusava excesso de concentração de armadura, buscava-se reduzir o
número de camadas. Normalmente adotava-se diâmetro superior, reduzindo o número de barras
a serem empregas e, consequentemente, o número de camadas necessárias. Contudo, algumas
vezes observou-se que a redução do diâmetro permite alocar maior número de barras em uma
mesma camada, diminuindo o número total de camadas, provocando o efeito desejado.
Além disso, no caso de seção duplamente armada, quanto maior a área adotada para a
armadura resistente à tração, considerando os diâmetros de barras disponíveis, menor é o
Insumo Preço (R$) Unidade
Chapa de madeira (F) 34,51 m2
Concreto usinado (C) 384,28 m3
Aço (A) 10,78 kg
58
esforço a ser resistido pela armadura de compressão. Contudo, salienta-se que é necessário
observar o critério de concentração em ambas as armaduras, o que muitas vezes impossibilita a
utilização de pequenos diâmetros, sobretudo nas barras de aço que resistem à compressão.
3.3 ANÁLISES PARAMÉTRICAS
São realizadas duas análises paramétricas visando identificar o efeito que os diversos
métodos de pré-dimensionamento provocam no custo por metro de viga. Na primeira análise,
investiga-se a variação do comprimento do vão efetivo, enquanto que na segunda análise,
examina-se a relação entre as cargas permanente e acidental.
3.3.1 Situação 01
Numa primeira situação, tem-se uma viga interna (central), ilustrada na Figura 14,
biapoiada em pilares e sem trechos em balanço. A viga é isostática e não serve de suporte para
outras vigas. O comprimento do vão efetivo varia de um em um metro, no intervalo de 3 a 7m,
totalizando 5 cenários.
Figura 14 - Viga central, biapoiada, isostática. Situação 01, estudo de vigas.
Fonte: Elaborado pela autora.
Para o método de CUNHA (2014), a base resulta em 12cm para vão menor ou igual a
4m e 20cm para os demais vãos considerados, conforme a Tabela 1. Todas as demais bases
foram adotadas com o valor de 12cm, conforme explicitado no item 3.2.1 Métodos da literatura.
A altura pelo método de CUNHA (2014) é determinada pelo caso 2 da Tabela 2, para
LANÇA (2006), caso 1 da Tabela 3, para GIONGO (2006), caso 2 da Tabela 4, para DI PIETRO
(2000), caso 1 da Tabela 5 e para REBELLO (2007), caso 1 da Tabela 6.
59
3.3.1.1 Resultados e Discussões
Os resultados da área de aço obtidos para cada vão e as respectivas ilustrações da seção
transversal da viga, são apresentados na tabela e figura a seguir.
60
Tabela 9 - Resultado da área de aço calculada para cada viga, de acordo com os diferentes métodos de pré-
dimensionamento.
Figura 15 - Seções transversais das vigas obtidas de acordo com os diferentes métodos de pré-dimensionamento.
Cunha Lança Di Pietro Rebello Giongo
Largura 12 12 12 12 12
Altura Indicada 30 30 25 24 23,08
Altura Adotada 30 30 25 24 24
φl 1 1 1 e 1,6 2 2
Arm. Longitudinal 3,14 3,14 6,38 9,42 9,42
Estribo 4,36 4,36 5,61 6,23 6,23
Área de aço 7,50 7,50 11,99 15,65 15,65
Largura 12 12 12 12 12
Altura Indicada 40 40 33,33 32 30,77
Altura Adotada 40 40 34 32 31
φl 1 1 2 e 1 2 e 0,8 2 e 1
Arm. Longitudinal 3,93 3,93 7,07 8,29 9,42
Estribo 3,12 3,12 4,36 4,36 4,36
Área de aço 7,05 7,05 11,43 12,65 13,78
Largura 20 12 12 12 12
Altura Indicada 50 50 41,67 40 38,46
Altura Adotada 50 50 42 40 39
φl 0,8 1 1 e 2 0,8 e 2 0,8 e 2
Arm. Longitudinal 5,53 4,71 7,07 7,79 7,79
Estribo 2,49 2,49 3,12 3,12 3,74
Área de aço 8,02 7,20 10,19 10,91 11,53
Largura 20 12 12 12 12
Altura Indicada 60 60 50 48 46,15
Altura Adotada 60 60 50 48 47
φl 0,8 1 0,8 e 2 0,8 e 2 0,8 e 2
Arm. Longitudinal 7,04 5,50 10,43 11,43 11,43
Estribo 2,49 2,49 3,12 3,12 3,12
Área de aço 9,53 7,99 13,55 14,55 14,55
Largura 20 12 12 12 12
Altura Indicada 70 70 58,33 56 53,85
Altura Adotada 70 70 59 56 54
φl 0,8 1 0,8 e 2 0,8 e 2 0,8 e 2
Arm. Longitudinal 8,04 7,07 10,43 10,93 11,93
Estribo 2,49 2,49 2,49 2,49 2,49
Área de aço 10,53 9,56 12,92 13,42 14,42
7m
*Larguras, alturas e φ l são dados em cm, enquanto as áreas são apresentadas em cm2.
Métodos
3m
Vão Parâmetro
4m
5m
6m
/m.
61
*Larguras, alturas e φl são dados em cm, enquanto os vãos são apresentados em m.
**As seções com somente uma única barra na primeira camada foram aceitas para fins
didáticos, corroborando com o objetivo do trabalho.
62
Nas ilustrações das seções transversais não se considerou as armaduras construtivas.
Ressalta-se, também, que as seções com uma barra na primeira camada foram aceitas para fins
didáticos, corroborando com o objetivo do trabalho. Na prática da construção civil, utiliza-se
no mínimo duas barras na primeira camada, facilitando o processo de armação.
Conforme esperado nota-se que, para um mesmo vão, à medida que a altura aumenta
a área de aço longitudinal diminui.
Na ausência de cargas concentradas nas vigas em questão, o espaçamento adotado para
os estribos resultou em todos os casos no valor máximo estabelecido pela norma, conforme
Equações 37 e 38, acarretando em acréscimo na área de aço.
Os métodos de Cunha e Lança resultaram em alturas iguais e significativamente
superiores aos demais métodos. As propostas de Di Pietro, Rebello e Giongo obtiveram alturas
próximas e, conforme o vão vai aumentando, os métodos diferenciam-se.
A Figura 16 mostra o comportamento da altura da viga, área de aço total, área de aço
longitudinal e área de aço transversal conforme o comprimento do vão.
Figura 16 - Relação entre as alturas, áreas de aço longitudinal, transversal e total, versus vão livre.
Fonte: Elaborado pela autora.
De acordo com as fórmulas de pré-dimensionamento, conforme o comprimento do vão
aumenta, a altura estimada também cresce de maneira linear.
(a) (b)
(c) (d)
63
Nota-se que pequenas reduções no valor da altura podem acarretar em grande
acréscimo da área de aço longitudinal e, consequentemente, total. Nos vãos de 5, 6 e 7m em
que a altura calculada pelo pré-dimensionamento dos métodos de Cunha e Lança apresentam
mesmo valor, mas as bases das vigas assumem valores distintos, a redução da base acarreta
também na redução da área de aço longitudinal devido a diminuição dos esforços referentes ao
peso próprio da viga e ao peso das paredes.
Observa-se que a armadura longitudinal pode crescer ou decrescer com o aumento do
vão livre, enquanto a armadura transversal diminui. Ocorre redução da área de aço total quando
o aumento da área de aço referente à armadura longitudinal é menor do que a diminuição da
área de armadura transversal ou quando ambas as armaduras, longitudinal e transversal,
diminuem.
Os resultados em termos de custos, por material e total, são apresentados na Tabela
10.
64
Tabela 10 - Custos totais e relativos aos materiais de fôrma, concreto e aço para 1m de viga, de acordo com os
diferentes métodos de pré-dimensionamento.
Cunha Lança Di Pietro Rebello Giongo
Largura 12 12 12 12 12
Altura Adotada 30 30 25 24 24
24,85 24,85 21,40 20,71 20,71
(24,46%) (24,46%) (16,04%) (12,70%) (12,70%)
13,83 13,83 11,53 11,07 11,07
(13,62%) (13,61%) (8,63%) (6,78%) (6,78%)
62,90 62,90 100,56 131,25 131,25
(61,92%) (61,92%) (75,33%) (80,51%) (80,51%)
Custo total 101,58 101,58 133,48 163,03 163,03
Largura 12 12 12 12 12
Altura Adotada 40 40 34 32 31
31,75 31,75 27,61 26,23 25,54
(29,04%) (29,04%) (19,84%) (17,83%) (16,43%)
18,45 18,45 15,68 14,76 14,30
(16,87%) (16,87%) (11,26%) (10,03%) (9,19%)
59,10 59,10 95,86 106,09 115,57
(54,07%) (54,07%) (68,89%) (72,13%) (74,36%)
Custo total 109,30 109,30 139,15 147,08 155,40
Largura 20 12 12 12 12
Altura Adotada 50 50 42 40 39
41,41 38,65 33,13 31,75 31,06
(28,15%) (31,65%) (24,01%) (22,40%) (21,31%)
38,43 23,06 19,37 18,45 17,98
(26,12%) (18,88%) (14,03%) (13,01%) (12,33%)
67,26 60,39 85,46 91,50 96,70
(45,72%) (49,45%) (61,94%) (64,57%) (66,34%)
Custo total 147,10 122,09 137,96 141,70 145,74
Largura 20 12 12 12 12
Altura Adotada 60 60 50 48 47
48,31 45,55 38,65 37,27 36,58
(27,71%) (32,48%) (22,04%) (20,54%) (20,29%)
46,11 27,67 23,06 22,13 21,67
(26,44%) (19,73%) (13,14%) (12,19%) (12,02%)
79,93 67,01 113,64 122,03 122,03
(45,84%) (47,78%) (64,80%) (67,25%) (67,68%)
Custo total 174,35 140,23 175,35 181,43 180,28
Largura 20 12 12 12 12
Altura Adotada 70 70 59 56 54
55,22 52,46 44,86 42,79 41,41
(27,98%) (31,80%) (24,86%) (23,62%) (22,11%)
53,80 32,28 27,21 25,82 24,90
(27,26%) (19,57%) (15,07%) (14,25%) (13,29%)
88,31 80,18 108,36 112,55 120,94
(44,75%) (48,61%) (60,05%) (62,12%) (64,58%)
Custo total 197,33 164,91 180,43 181,17 187,25
*Larguras, alturas são dados em cm, enquanto os preços são apresentadas em R$.
6m
Fôrma
Concreto
Aço
7m
Fôrma
Concreto
Aço
4m
Fôrma
Concreto
Aço
5m
Fôrma
Concreto
Aço
Vão ParâmetroMétodos
Fôrma
Concreto
Aço
3m
/m.
65
Percebe-se que em todos os métodos o maior percentual do custo total por metro de
viga refere-se ao custo de aço, seguido do custo com as fôrmas. O custo relacionado ao concreto
é o que menos impacta no custo total.
Há uma tendência significativa de se obter menores custos totais, quanto maior for a
altura da peça. Sobretudo porque maiores áreas de concreto tendem a reduzir a necessidade de
aço, e este último material é o que tem maior impacto nos custos. Entretanto, as dimensões
ótimas da peça seriam adequadamente abordadas aplicando-se otimização estrutural (ARORA,
2016) o que está fora do escopo deste trabalho.
A Figura 17 ilustra a relação entre o vão livre e o custo total de 1m de viga para os
diferentes métodos de pré-dimensionamento.
Figura 17 - Relação entre o vão livre e o custo total da viga para os diferentes métodos de pré-dimensionamento.
Fonte: Elaborado pela autora.
O método que se mostrou mais econômico foi o de Lança, que levou a maiores alturas
e menores bases para as vigas e, portanto, a menores áreas de aço requeridas. Isso está de acordo
com uma tendência de maximização do momento de inércia da seção, o que tem grande impacto
nos casos analisados uma vez que o momento fletor é preponderante nos mesmos. Entretanto,
na prática restrições arquitetônicas, por exemplo, relacionadas à altura máxima das vigas,
tendem a reduzir as diferenças entre os resultados obtidos pelos diferentes métodos.
A diferença entre custos chegou a ser de 60,5%, aproximadamente, entre os métodos
propostos por Cunha/Lança e Rebello/Giongo, para vão de 3m.
66
3.3.2 Situação 02
No segundo exemplo, tem-se uma viga externa (periférica), contínua e sem trechos em
balanço. A viga é hiperestática, dá apoio a outras vigas e está apoiada em pilares. O
comprimento do maior vão efetivo é de 5m. Neste exemplo, estudou-se a mudança do
dimensionamento de acordo com a variação das cargas permanente, 𝐺, e acidental, 𝑄. São
analisados 3 cenários nos quais ambos os carregamentos são tratados como uniformes, de
acordo com a Figura 18.
Figura 18 - Viga externa, contínua, hiperestática que serve de suporte a outras vigas. Situação 02, estudo de
vigas.
Fonte: Elaborado pela autora.
O valor do carregamento permanente, G, é fixo e vale 15kN/m enquanto a carga
acidental, Q, assume os valores de 5, 15 e 60kN/m, diferenciando os cenários. O
dimensionamento da área de aço é feito de acordo com o maior momento positivo referente ao
vão de comprimento igual a 5m, conforme o corte S representado na Figura 18.
A base calculada por CUNHA (2014) está de acordo com o caso 2 da Tabela 1. Todas
as demais bases foram adotadas com o valor de 14cm, conforme explicitado no item 3.2.1
Métodos da literatura.
A altura pelo método de CUNHA (2014) é determinada pelo caso 3 da Tabela 2, para
LANÇA (2006), caso 1 da Tabela 3, para GIONGO (2007), caso 1 da Tabela 4, para DI PIETRO
(2000), caso 2 da Tabela 5 e para REBELLO (2007), caso 7 da Tabela 6.
3.3.2.1 Resultados e discussões
Os resultados obtidos, para cada valor diferente de carga acidental, e as respectivas
ilustrações da seção transversal da viga, são apresentados na tabela e figura a seguir.
s
67
Tabela 11 - Resultado da área de aço calculada para cada viga, de acordo com os diferentes métodos de pré-
dimensionamento e valores distintos de carga acidental.
Fonte: Elaborada pela autora.
Cunha Giongo Lança Rebello Di Pietro
Largura 20 14 14 14 14
Altura Indicada 50 45,45 41,67 40 31,25
Altura Adotada 50 45 42 40 31
φl 1 1,25 1 1 1,6 e 1,25
Arm. Longitudinal 3,14 3,68 4,71 4,71 10,49
Estribo 2,49 3,12 3,74 4,36 6,23
Área de aço 5,63 6,8 8,45 9,07 16,72
Largura 20 14 14 14 14
Altura Indicada 50 45,45 41,67 40 31,25
Altura Adotada 50 45 42 40 31
φl 1 1,25 2 1 e 1,25
Arm. Longitudinal 4,71 6,14 6,28 8,93
Estribo 3,74 6,23 6,23 7,48
Área de aço 8,45 12,37 12,51 16,41
Largura 20 14 14 14 14
Altura Indicada 50 45,45 41,67 40 31,25
Altura Adotada 50 45 42 40 31
φl 1 e 1,6
Arm. Longitudinal 17,21
Estribo 14,96
Área de aço 32,17
*Larguras, alturas e φ l são dados em cm, enquanto as áreas são apresentadas em cm2.
Q (kN/m) ParâmetroMétodos
5
15
60
X
X
/m.
68
Figura 19 - Seções transversais das vigas obtidas de acordo com os diferentes métodos de pré-dimensionamento,
referente às cargas G = 5, 15 e 60 kN/m.
Fonte: Elaborada pela autora.
Nas ilustrações das seções transversais não se considerou as armaduras construtivas.
Com a redução da altura, a área de aço longitudinal cresce. Contudo, a área de aço
varia de maneira não linear com a carga.
A altura estabelecida pelo método de Di Pietro não permite a inserção das barras
longitudinais necessárias para suportar o momento fletor quando Q = 15kN/m. Da mesma
*Larguras, alturas e φl são dados em cm, enquanto os vãos são apresentados em m.
69
forma, o único dimensionamento possível, quando Q = 60kN/m, foi o proposto por Cunha, pois
a base adotada, mais larga que a dos demais métodos, permitiu a disposição de maior número
de barras.
A altura pelo método de Cunha é a de valor mais elevado, seguida pela proposta de
Giongo, que na Situação 01 apresentava o menor valor. Os métodos de Lança e Rebello
resultaram em valores próximos e o método de Di Pietro é o de menor altura.
A fim de se analisar melhor os efeitos das ações, definiu-se a relação entre as cargas
permanente e variável de acordo com a seguinte equação (SANTOS et al. 2014):
𝜒 =
𝑄
𝐺 + 𝑄 (107)
A Figura 20 ilustra a correspondência entre o coeficiente 𝜒 e as áreas de aço
longitudinal e transversal para os diferentes métodos de pré-dimensionamento.
Figura 20 - Relação entre o coeficiente χ e as áreas de aço longitudinal e transversal da viga, para os diferentes
métodos de pré-dimensionamento.
Fonte: Elaborada pela autora.
A área de aço longitudinal e transversal aumenta com o crescimento da carga acidental
e, consequentemente, crescimento do coeficiente 𝜒. Aduz-se que a área de aço total apresenta
o mesmo comportamento.
Muitos dos métodos indicam pré-dimensionamentos que precisam ser modificados
para valores de 𝜒 maiores que 0,5.
Com o intuito de se estudar melhor o impacto que os diferentes materiais apresentam
no custo total de 1m de viga, foi elaborada a tabela a seguir.
(a) (b)
70
Tabela 12 - Custos totais e relativos aos materiais de fôrma, concreto e aço para 1m de viga, de acordo com os
diferentes métodos de pré-dimensionamento e valores do coeficiente 𝜒.
Fonte: Elaborada pela autora.
Percebe-se que em todos os métodos o maior percentual do custo total do metro de
viga refere-se ao gasto com aço, seguido do gasto com as fôrmas e, por último, o gasto do
concreto. Os custos referentes aos materiais de fôrma e concreto permanecem constantes,
independentes do valor de 𝜒, pois as dimensões da seção transversal da viga não se alteram.
Conforme a altura adotada para a viga diminui, os valores percentuais dos custos
referentes à fôrma e ao concreto também reduzem enquanto o do aço aumenta. Além disso, para
Cunha Giongo Lança Rebello Di Pietro
Largura 20 14 14 14 14
Altura Adotada 50 45 42 40 31
41,41 35,89 33,82 32,44 26,23
(32,59%) (30,64%) (26,57%) (24,94%) (14,32%)
38,43 24,21 22,60 21,52 16,68
(30,24%) (20,66%) (17,75%) (16,55%) (9,10%)
47,22 57,03 70,87 76,07 140,23
(37,16%) (48,68%) (55,67%) (58,50%) (76,57%)
Custo total 127,06 117,13 127,28 130,03 183,13
Largura 20 14 14 14 14
Altura Adotada 50 45 42 40 14
41,41 35,89 33,82 32,44 31
(27,47%) (21,90%) (20,96%) (16,93%)
38,43 24,21 22,60 21,52
(25,49%) (14,77%) (14,00%) (11,23%)
70,87 103,75 104,92 137,63
(47,02%) (63,31%) (65,03%) (71,83%)
Custo total 150,71 163,85 161,33 191,59
Largura 20 14 14 14 14
Altura Adotada 50 45 42 40 14
41,41
(11,84%)
38,43
(10,99%)
269,80
(77,16%)
Custo total 349,64
15
60
X
X
*Larguras, alturas são dados em cm, enquanto os preços são apresentadas em R$.
Fôrma
Concreto
Aço
Fôrma
Concreto
Aço
Q (kN/m) ParâmetroMétodos
5
Fôrma
Concreto
Aço
/m.
71
um mesmo método, o aumento do valor do coeficiente 𝜒 eleva o valor percentual do custo
referente ao aço.
A Figura 21 ilustra a relação entre o coeficiente 𝜒 e o custo total de 1m de viga para
os diferentes métodos de pré-dimensionamento.
Figura 21 - Relação entre o coeficiente χ e o custo total da viga para os diferentes métodos de pré-
dimensionamento.
Fonte: Elaborada pela autora.
Como o custo do aço tem maior impacto no resultado do custo total, vigas com
menores alturas apresentam custos totais mais elevados. Mostram-se exceções, o método de
Cunha para 𝜒 = 0,25, onde a dimensão mais elevada da base elevou os custos referentes as
fôrmas e concreto, e o método de Lança para 𝜒 = 0,50, pois apresenta valor da área de aço total
apenas ligeiramente maior que o método de Giongo enquanto sua altura proporciona menor
gasto com as fôrmas e concreto, resultando em menor custo total de viga.
A diferença entre custos chegou a ser de 56,3%, aproximadamente, entre os métodos
propostos por Di Pietro e Giongo, para 𝜒 = 0,25.
72
4 LAJES
Este capítulo aborda o estudo referente ao dimensionamento de lajes maciças armadas
nas duas direções, em análises paramétricas.
Nas lajes maciças, um pequeno aumento da altura da seção da laje intensifica,
consideravelmente, a carga a ser suportada pelos elementos estruturais vigas, pilares e
fundações (PERLIN et al. 2019). Assim, busca-se a menor espessura que atenda os limites de
serviço.
O cálculo da área de aço, disposições construtivas e verificações das normas foram
executados numa planilha utilizando-se o software Excel.
A seguir, são apresentados os métodos da literatura quanto ao pré-dimensionamento
de uma laje, as considerações assumidas para o cálculo do dimensionamento e as situações de
estudo.
4.1 PRÉ-DIMENSIONAMENTO CONFORME LITERATURA
É discutido nesse capítulo o pré-dimensionamento de lajes, na determinação de sua
altura ou espessura, utilizando alguns métodos da literatura.
FORMAGINI (2013) indica que a altura útil da laje em cm, 𝑑, pode ser estimada pela
seguinte expressão empírica:
𝑑 = (2,5 − 0,1 ∙ 𝑛𝑒𝑛𝑔) × 𝑙 (108)
onde:
𝑛𝑒𝑛𝑔: número de bordas engastadas da laje;
𝑙: menor valor calculado pelas Equações 109 e 110.
𝑙𝑥 (109)
0,7 × 𝑙𝑦 (110)
𝑙𝑥: menor vão efetivo da laje, em m;
𝑙𝑦: maior vão efetivo da laje, em m.
Assim, pode-se obter o valor da altura da laje, ℎ, adicionando-se o valor do cobrimento
e da bitola utilizada na armadura longitudinal, conforme:
ℎ = (2,5 − 0,1 ∙ 𝑛𝑒𝑛𝑔) × 𝑙 + 𝑐 +
𝜙𝑙
2 (111)
73
De acordo com LANÇA (2006) a altura, ℎ, é calculada em função do maior
comprimento do vão efetivo, utilizando-se coeficientes. Depende do tipo de laje e se as
armaduras são dispostas uni ou bidirecionalmente, segundo a Tabela 13.
Tabela 13 - Pré-dimensionamento da altura de laje, proposto por LANÇA (2006).
Fonte: Adaptado de LANÇA (2006).
onde:
𝐿: maior vão efetivo da laje;
𝑍8: valor entre 25 a 35;
𝑍9: valor entre 30 e 40;
𝑍10: valor entre 30 a 35;
𝑍11: valor entre 20 a 25;
𝑍12: valor entre 10 a 12.
CUNHA (2014) defende que a altura, h, também considera os diferentes tipos de laje.
O método apresentado é denominado “método do vão ponderado”, conforme Tabela 14.
Caso Tipos de armação e laje Fórmula
1Laje armada em 1
direçãoh = L/Z8
2Laje maciça armada em
2 direçõesh = L/Z9
3 Laje cogumelo maciça h = L/Z10
4Laje cogumelo
nervuradah = L/Z11
5 Laje em balanço h = L/Z12
74
Tabela 14 - Pré-dimensionamento da altura de laje, método do vão ponderado, proposto por CUNHA (2014).
Fonte: Adaptado de CUNHA (2014).
onde:
𝐿: para lajes armadas em duas direções assume a média dos vãos enquanto que, em lajes
armadas em uma direção, L será o vão correspondente à direção das armaduras (menor vão);
𝑍13: valor entre 30 a 38;
𝑍14: valor entre 32 a 40;
𝑍15: valor entre 25 a 30;
𝑍16: valor entre 28 a 36;
𝑍17: valor entre 30 a 38;
𝑍18: valor igual a 18;
𝑍19: valor entre 45 a 55;
𝑍20: valor entre 40 a 50;
𝑍21: valor entre 30 a 40;
𝑍22: valor entre 25 a 35.
Na escolha dos coeficientes deve-se considerar o carregamento a ser suportado pela
laje bem como os tipos de apoio que a mesma apresenta. Quanto maior o carregamento ou
menor o número de vínculos do tipo engaste, maior será sua altura. CUNHA (2014) também
apresenta a Tabela 15, associando o nível de carregamento ao do uso do local, e a Tabela 16,
relacionando à favorabilidade das condições de apoio.
Caso Tipos de armação e laje Fórmula
1Laje maciça armada em
1 direçãoh = L/Z13
2Laje maciça armada em
2 direçõesh = L/Z14
3 Laje nervurada h = L/Z15
4 Laje lisa h = L/Z16
5 Laje cogumelo h = L/Z17
6Laje para apoio à
reservatório d'águah = L/Z18
7Laje maciça protendida
armade em 2 direçõesh = L/Z19
8Laje maciça protendida
armade em 1 direçãoh = L/Z20
9Laje nervurada
protendidah = L/Z21
10Laje cogumelo
protendidah = L/Z22
75
Tabela 15 - Relação entre os tipos de carregamento e o ambiente a ser construído.
Fonte: CUNHA (2014).
Tabela 16 - Classificação para condições de apoio.
Fonte: CUNHA (2014).
CHING, ONOUYE e ZUBERBUHLER (2010) propõem que a altura da laje, h, seja
obtida através de seu perímetro, como apresentado na Equação 112, não sendo admitido valor
menor que 10cm.
ℎ =
2𝑃
180 (112)
em que 2𝑃 é o perímetro da laje, em cm.
4.2 CONSIDERAÇÕES
Algumas ponderações são feitas, no presente estudo, para o dimensionamento de lajes
e apresentadas nas seções a seguir. São relacionadas aos métodos da literatura bem como
características dos materiais de construção civil e do meio.
4.2.1 Métodos da literatura
Nas fórmulas para o cálculo da altura da laje que apresentam coeficiente, 𝑍𝑥,
explicitados anteriormente no item 4.1 PRÉ-DIMENSIONAMENTO CONFORME
76
LITERATURA, quando não há orientações sobre a escolha do coeficiente utiliza-se o maior
valor do intervalo, a fim de se obter lajes com menores alturas pensando-se numa possível
redução de custo.
A fim de se diversificar os resultados, os valores encontrados para a altura da laje
foram arredondados para o número inteiro imediatamente superior, quando apresentam casa
decimal com valor superior a 3, ou para o número inteiro imediatamente inferior, nas demais
situações.
4.2.2 Características do concreto e aço
As resistências características do concreto e aço são as mesmas usadas para o
dimensionamento de vigas, apontadas no capítulo 3.2.2 Características do concreto e do aço.
O agregado graúdo, que constitui o concreto, foi considerado proveniente de material
granítico.
4.2.3 Classe de agressividade ambiental e cobrimento nominal
A classe de agressividade ambiental empregada foi a urbana, por representar grande
parte das situações existentes na cidade de Florianópolis. Assim, o cobrimento nominal é de
2,5cm. Segundo observações da Tabela 7.2 na norma NBR 6118:2014, o cobrimento nominal
adotado para a face superior da laje é de 1,5cm pois será executado revestimento cerâmico no
piso.
4.2.4 Carga
Na determinação dos esforços nas lajes, considera-se como carga permanente os pesos
próprios do concreto armado que constitui o elemento estrutural, paredes de alvenaria, reboco
na face inferior da laje, contrapiso e peças de revestimento cerâmico na face superior. Supõe-
se que as espessuras do reboco, contrapiso e placas cerâmicas para o revestimento são,
respectivamente, 1,5cm, 3cm e 1cm.
A carga acidental também é considerada uniformemente distribuída e obtida de acordo
com o uso do ambiente, conforme Tabela 10 da norma NBR 6120:2019. Neste trabalho, o
ambiente analisado trata-se de um escritório, assim, a carga acidental adotada é igual a 2kN/m2.
77
4.2.5 Custos
O custo, por metro quadrado de laje, é feito considerando-se seus materiais
constituintes. De maneira análoga ao cálculo para vigas, é obtido pelo somatório dos custos: de
fôrma, de concreto e de aço.
Embora se necessite da estrutura suporte para a execução de lajes maciças, é
considerado somente a superfície moldante. Assim, o custo de fôrma, CF, de uma laje maciça
isolada é obtido pela seguinte equação:
𝐶𝐹 = 𝐹 × 𝑙0𝑥 × 𝑙0𝑦 (113)
onde:
𝑙0𝑥, 𝑙0𝑦: comprimentos dos vãos na planta de fôrma;
F: preço da chapa de madeira por m2.
Como no presente estudo busca-se o preço por metro quadrado de laje, a Equação 113
pode ser, simplificadamente, escrita como:
𝐶𝐹 = 𝐹 (114)
O custo de concreto, CC, é calculado pela Equação 104, utilizando-se 𝑏 com valor
igual a 1m. O custo de aço, CA, é dado pela Equação 106.
Os valores dos insumos utilizados são apresentados na Tabela 8.
4.2.6 Planilha
A planilha desenvolvida para o cálculo da área de aço, verificações referentes à norma
NBR 6118:2014, e características quanto às disposições das barras de aço, foi validada de
acordo com os exercícios das notas de aula, referentes à disciplina de Concreto Armado II do
curso de graduação em engenharia civil, cursado pela autora deste trabalho.
A planilha não determina o diâmetro da barra de aço que resultará em menor área de
aço total. Assim, embora se tenha buscado o valor mínimo de área de aço que atenda as
restrições impostas por norma, não é possível afirmar que os resultados apresentados neste
estudo são certamente os menores valores possíveis.
78
4.3 ANÁLISES PARAMÉTRICAS
São realizadas duas análises paramétricas visando identificar o efeito que os diversos
métodos de pré-dimensionamento provocam no custo por metro quadrado de laje. Na primeira
análise, investiga-se a variação do caso da laje, de acordo com seus tipos de apoio, enquanto
que na segunda análise, examina-se a variação do coeficiente 𝛾, dado pela Equação 55,
alterando-se as dimensões da laje.
4.3.1 Situação 01
Inicialmente analisa-se uma laje de dimensões 4x6m, com lajes adjacentes em todos
os bordos. Dessa forma, não é necessária a utilização de armadura de bordo. Realiza-se o
dimensionamento para as diferentes situações de apoio, conforme Figura 28 presente no
ANEXO A, totalizando 9 cenários.
Nos casos que apresentam borda engastada, desconsidera-se a compatibilização do
momento fletor negativo e a correção do momento fletor positivo. Embora se admita a
existência de lajes adjacentes, por simplificação o dimensionamento considera apenas lajes
isoladas, com vigas de apoio de grande rigidez para o bordo engastado e rigidez normal para
bordo simplesmente apoiado.
O valor de 𝜆 =607,8
407,8= 1,49 também é arredondado para 𝜆 = 1,5 facilitando a
obtenção dos demais coeficientes tabelados.
A altura pelo método de FORMAGINI (2013) é determinada pela Equação 111
variando conforme o caso estudado. Ignorou-se a parcela referente ao diâmetro da barra
longitudinal, assim, o resultado de h obtido é arredondado para o valor inteiro imediatamente
superior, como compensação. Para LANÇA (2006), utiliza-se o caso 2 da Tabela 13. Para
CUNHA (2014), usa-se o caso 2 da Tabela 14 considerando, de acordo com a Tabela 15 e
Tabela 16, coeficiente 𝑍14 igual a 37 para os casos 1 a 3, e 𝑍14 igual a 40 para os demais casos.
No método de CHING et al. (2010) a altura é obtida pela Equação 112.
4.3.1.1 Resultados e Discussões
Os resultados da área de aço longitudinal obtidos, para cada caso, são apresentados na
tabela a seguir.
79
Tabela 17 - Resultado da área de aço calculada por m2 de laje, com γ=1,5 e área de 24m2, de acordo com os
diferentes métodos de pré-dimensionamento.
Lança Cunha Formagini Ching et al.
Altura Indicada 15,00 13,51 12,50 11,11
Altura Adotada 15 14 13 11
φl 0,63 0,63 0,63 0,63
Área de aço (Mx+) 2,49 2,81 2,81 3,43
Área de aço (My+) 1,56 1,56 1,56 1,87
Área de aço (Mx-) 0 0 0 0
Área de aço (My-) 0 0 0 0
Área de aço total 4,05 4,37 4,37 5,30
Altura Indicada 15,00 13,51 12,10 11,11
Altura Adotada 15 14 13 11
φl 0,63 0,63 0,63 0,63
Área de aço (Mx+) 2,18 2,18 2,49 2,81
Área de aço (My+) 1,56 1,56 1,56 1,87
Área de aço (Mx-) 0 0 0 0
Área de aço (My-) 3,43 3,43 3,74 4,36
Área de aço total 7,17 7,17 7,79 9,04
Altura Indicada 15,00 13,51 12,10 11,11
Altura Adotada 15 14 13 11
φl 0,63 0,63 0,63 0,63
Área de aço (Mx+) 1,87 2,18 2,18 2,49
Área de aço (My+) 1,56 1,56 1,56 1,56
Área de aço (Mx-) 3,43 3,43 3,74 4,36
Área de aço (My-) 0 0 0 0
Área de aço total 6,86 7,17 7,48 8,41
Altura Indicada 15,00 12,50 11,70 11,11
Altura Adotada 15 13 12 11
φl 0,63 0,63 0,63 0,63, 0,8 e 1
Área de aço (Mx+) 1,56 1,87 1,87 2,18
Área de aço (My+) 1,56 1,56 1,56 1,56
Área de aço (Mx-) 3,12 3,43 3,74 3,93
Área de aço (My-) 2,49 2,81 2,81 3,02
Área de aço total 8,73 9,67 9,98 10,69
Altura Indicada 15,00 12,50 11,70 11,11
Altura Adotada 15 13 12 11
φl 0,63 0,63 0,63 0,63 e 1
Área de aço (Mx+) 1,87 2,18 2,18 2,49
Área de aço (My+) 1,56 1,56 1,87 1,87
Área de aço (Mx-) 0 0 0 0
Área de aço (My-) 6,24 6,86 7,48 7,86
Área de aço total 9,67 10,6 11,53 12,22
3
4
5
Caso ParâmetroMétodos
1
2
80
Fonte: Elaborado pela autora.
Somente os métodos cuja altura está grifada em verde, atenderam o critério de
formação de fissuras. Ainda que não se tenha descartado nenhum resultado, é imprescindível
que sejam utilizados métodos mais avançados para obtenção da flecha com maior precisão bem
como realização do controle de abertura de fissuras.
Lança Cunha Formagini Ching et al.
Altura Indicada 15,00 12,50 11,70 11,11
Altura Adotada 15 13 12 11
φl 0,63 0,63 0,63 0,63 e 0,8
Área de aço (Mx+) 1,56 1,56 1,56 1,87
Área de aço (My+) 1,56 1,56 1,56 1,56
Área de aço (Mx-) 4,98 5,62 5,62 6,04
Área de aço (My-) 0 0 0 0
Área de aço total 8,1 8,74 8,74 9,47
Altura Indicada 15,00 12,50 11,30 11,11
Altura Adotada 15 13 12 11
φl 0,63 0,63 e 0,8 0,63 0,63
Área de aço (Mx+) 1,56 1,56 1,87 1,87
Área de aço (My+) 1,56 1,56 1,56 1,56
Área de aço (Mx-) 2,81 3,02 3,43 3,43
Área de aço (My-) 4,98 4,98 5,62 5,62
Área de aço total 10,91 11,12 12,48 12,48
Altura Indicada 15,00 12,50 11,30 11,11
Altura Adotada 15 13 12 11
φl 0,63 0,63 0,63 0,63 e 0,8
Área de aço (Mx+) 1,56 1,56 1,56 1,56
Área de aço (My+) 1,56 1,56 1,56 1,56
Área de aço (Mx-) 4,98 5,62 5,62 6,04
Área de aço (My-) 2,49 2,18 2,18 2,18
Área de aço total 10,59 10,92 10,92 11,34
Altura Indicada 15,00 12,50 10,90 11,11
Altura Adotada 15 13 11 11
φl 0,63 0,63 0,63 0,63
Área de aço (Mx+) 1,56 1,56 1,56 1,56
Área de aço (My+) 1,56 1,56 1,56 1,56
Área de aço (Mx-) 4,98 4,98 5,62 5,62
Área de aço (My-) 4,98 4,36 4,36 4,36
Área de aço total 13,08 12,46 13,1 13,1
8
9
*Alturas e φl são dados em cm, enquanto as áreas são apresentadas em cm2.
Caso ParâmetroMétodos
6
7
/m2.
81
Ocorre fissuração no vão central, para o caso 01, e nas bordas engastadas, para os
demais. Nos casos com engaste nas duas direções, normalmente o momento negativo referente
ao menor vão foi o responsável pela fissuração.
A área de aço é inversamente proporcional ao valor da altura adotada, isto é, quanto
maior a altura da laje, menor será a área de aço empregada, conforme explicitado nos resultados
das situações de estudo em vigas. Assim, os métodos que apresentam menor e maior área de
aço foram os de Lança e Ching et al. respectivamente. Excetua-se somente, o método de Lança
para o caso 09, pois se adota a área de aço mínima para o momento fletor negativo do maior
vão, que é superior ao método de Cunha.
Em diversos métodos foi necessário aumentar a área de aço para atender o critério de
espaçamento máximo e área de aço mínima.
A Tabela 18 mostra o impacto que os diferentes materiais apresentam no custo total
de 1m2 de laje.
82
Tabela 18 - Custos totais e relativos aos materiais de fôrma, concreto e aço para 1m2 de laje, de acordo com os
diferentes métodos de pré-dimensionamentos
Lança Cunha Formagini Ching et al.
Altura Adotada 15 14 13 11
Fôrma 34,51 34,51 34,51 34,51
(27,36%) (27,61%) (28,49%) (28,46%)
Concreto 57,64 53,80 49,96 42,27
(45,70%) (43,05%) (41,24%) (34,86%)
Aço 33,97 36,65 36,65 44,45
(26,93%) (29,32%) (30,26%) (36,66%)
Custo total 126,12 124,96 121,12 121,23
Altura Adotada 15 14 13 11
Fôrma 34,51 34,51 34,51 34,51
(22,66%) (23,24%) (23,03%) (22,61%)
Concreto 57,64 53,80 49,96 42,27
(37,85%) (36,24%) (33,34%) (27,70%)
Aço 60,13 60,13 65,33 75,82
(39,48%) (40,50%) (43,61%) (49,68%)
Custo total 152,29 148,44 149,80 152,60
Altura Adotada 15 14 13 11
Fôrma 34,51 34,51 34,51 34,51
(23,05%) (23,24%) (23,44%) (23,42%)
Concreto 57,64 53,80 49,96 42,27
(38,50%) (36,24%) (33,93%) (28,69%)
Aço 57,53 60,13 62,73 70,53
(38,43%) (40,50%) (42,61%) (47,87%)
Custo total 149,69 148,44 147,20 147,31
Altura Adotada 15 13 12 11
Fôrma 34,51 34,51 34,51 34,51
(20,86%) (20,84%) (21,00%) (20,73%)
Concreto 57,64 49,96 46,11 42,27
(34,85%) (30,17%) (28,06%) (25,39%)
Aço 73,22 81,10 83,70 89,66
(44,27%) (48,98%) (50,93%) (53,86%)
Custo total 165,37 165,57 164,32 166,44
Altura Adotada 15 13 12 11
Fôrma 34,51 34,51 34,51 34,51
(19,91%) (19,90%) (19,46%) (19,25%)
Concreto 57,64 49,96 46,11 42,27
(33,27%) (28,81%) (26,00%) (23,57%)
Aço 81,10 88,90 96,70 102,49
(46,81%) (51,27%) (54,53%) (57,16%)
Custo total 173,25 173,37 177,32 179,27
1
2
3
4
5
Caso ParâmetroMétodos
83
Fonte: Elaborado pela autora.
Percebe-se que em todos os casos o menor percentual do custo total do metro quadrado
de laje refere-se ao gasto com fôrmas. Para o caso 01, o custo com concreto se sobressai, pois
a ausência de momento fletor negativo reduz consideravelmente a área de aço total, enquanto
nos demais casos, o custo com o aço é preponderante.
Lança Cunha Formagini Ching et al.
Altura Adotada 15 13 12 11
Fôrma 34,51 34,51 34,51 34,51
(21,55%) (21,87%) (22,42%) (22,09%)
Concreto 57,64 49,96 46,11 42,27
(36,00%) (31,66%) (29,95%) (27,06%)
Aço 67,93 73,30 73,30 79,42
(42,43%) (46,46%) (47,62%) (50,84%)
Custo total 160,09 157,77 153,92 156,20
Altura Adotada 15 13,00 12,00 11,00
Fôrma 34,51 34,51 34,51 34,51
(18,79%) (19,41%) (18,62%) (19,01%)
Concreto 57,64 49,96 46,11 42,27
(31,38%) (28,10%) (24,88%) (23,29%)
Aço 91,50 93,26 104,67 104,67
(49,82%) (52,47%) (56,48%) (57,68%)
Custo total 183,65 177,73 185,29 181,45
Altura Adotada 15,00 13,00 12,00 11,00
Fôrma 34,51 34,51 34,51 34,51
(19,06%) (19,60%) (20,03%) (20,07%)
Concreto 57,64 49,96 46,11 42,27
(31,85%) (28,37%) (26,77%) (24,59%)
Aço 88,82 91,58 91,58 95,11
(49,07%) (52,02%) (53,18%) (55,33%)
Custo total 180,97 176,05 172,21 171,89
Altura Adotada 15 13 11 11
Fôrma 34,51 34,51 34,51 34,51
(17,09%) (18,26%) (18,48%) (18,48%)
Concreto 57,64 49,96 42,27 42,27
(28,55%) (26,43%) (22,64%) (22,64%)
Aço 109,70 104,50 109,87 109,87
(54,34%) (55,30%) (58,86%) (58,86%)
Custo total 201,85 188,97 186,65 186,65
Caso ParâmetroMétodos
7
8
9
6
*Larguras, alturas são dados em cm, enquanto os preços são apresentadas em R$./m2.
84
Observando-se o caso 01, menores alturas levam a menores custos. Já no caso 02,
menores alturas não necessariamente levam a menores custos. Isto indica que existe um valor
ótimo de altura para cada caso, a partir do qual e também abaixo do qual os custos passam a
aumentar. As dimensões ótimas da peça seriam adequadamente abordadas aplicando-se
otimização estrutural (ARORA, 2016), o que está fora do escopo deste trabalho.
A Figura 22 ilustra a relação entre o caso e o custo total de 1m2 de laje para os
diferentes métodos de pré-dimensionamento.
Figura 22 - Relação entre o caso e o custo total, por m2, da laje para os diferentes métodos de pré-
dimensionamento.
Fonte: Elaborado pela autora.
Observa-se que um mesmo método pode se apresentar como o mais econômico e o
mais dispendioso em diferentes casos.
O método mais econômico foi, para os casos 01, 03, 04 e 06, Formagini, para os casos
02 e 07, Cunha, para o caso 05, Lança, e para os casos 08 e 09, Ching et al.
O método menos econômico foi, para os casos 01, 03, 06, 08 e 09, Lança, para os casos
02, 04, e 05, Ching et al. para o caso 07, Formagini.
A diferença entre custos chegou a ser de 8,15%, aproximadamente, entre os métodos
propostos por Lança e Ching, para o caso 9.
85
4.3.2 Situação 02
Na segunda análise, tem-se uma laje com apoio simples em todas as suas bordas e
outra completamente engastada, sinalizando os casos 01 e 09, respectivamente, apresentados
na Figura 28 do ANEXO A. Em cada laje, um dos comprimentos do vão efetivo assume valor
igual a 4m enquanto o outro varia, de modo que se estuda a mudança do dimensionamento de
acordo com a alteração do coeficiente 𝛾. São analisados 4 cenários referentes a 𝛾 =
1,00; 1,25; 1,75; 2,00 (valores arredondados).
Não são considerados, por simplificação, armadura de bordo, compatibilização do
momento fletor negativo e correção do momento fletor positivo.
O pré-dimensionamento é realizado para cada caso e cenário, de acordo com as
mesmas instruções realizadas na Situação 01, item 4.3.1 deste trabalho.
4.3.2.1 Resultados e Discussões
Os resultados da área de aço longitudinal obtidos, para os dois casos e diferentes
coeficientes 𝛾, são apresentados nas tabelas a seguir.
86
Tabela 19 - Resultado da área de aço calculada por m2 de laje referente ao caso 01, de acordo com os diferentes
métodos de pré-dimensionamento.
Fonte: Elaborado pela autora.
Lança Cunha Formagini Ching et al.
Altura Indicada 10,00 10,81 9,50 8,89
Altura Adotada 10 11 10 9
φl 0,63 0,63 0,63 0,63
Área de aço (Mx+) 2,18 1,87 2,18 2,18
Área de aço (My+) 2,18 2,18 2,18 2,49
Área de aço total 4,36 4,05 4,36 4,67
Altura Indicada 12,50 12,16 11,25 10,00
Altura Adotada 13 12 12 10
φl 0,63 0,63 0,63 0,63
Área de aço (Mx+) 2,18 2,49 2,49 2,81
Área de aço (My+) 1,87 1,87 1,87 2,18
Área de aço total 4,05 4,36 4,36 4,99
Altura Indicada 17,50 14,86 12,50 12,22
Altura Adotada 18 15 13 12
φl 0,63 0,63 e 0,8 0,63 0,63
Área de aço (Mx+) 2,81 3,02 3,43 3,43
Área de aço (My+) 1,87 1,56 1,56 1,56
Área de aço total 4,68 4,58 4,99 4,99
Altura Indicada 20,00 16,22 12,50 13,33
Altura Adotada 20 16 13 13
φl 0,63 0,63 0,63 0,63
Área de aço (Mx+) 2,81 3,12 3,74 3,74
Área de aço (My+) 2,18 1,87 1,56 1,56
Área de aço total 4,99 4,99 5,30 5,30
1,75
2,00
*Alturas e φl são dados em cm, enquanto as áreas são apresentadas em cm2.
1,00
Métodosϒ Parâmetro
CASO 01
1,25
/m2.
87
Tabela 20 - Resultado da área de aço calculada por m2 de laje referente ao caso 09, de acordo com os diferentes
métodos de pré-dimensionamento.
Fonte: Elaborado pela autora.
Lança Cunha Ching et al. Formagini
Altura Indicada 10,00 10,00 8,38 8,89
Altura Adotada 10 10 9 9
φl 0,63 0,63 0,63 0,63
Área de aço (Mx+) 1,56 1,56 1,87 1,87
Área de aço (My+) 1,56 1,56 1,87 1,87
Área de aço (Mx-) 4,36 4,36 4,36 4,36
Área de aço (My-) 4,36 4,36 4,36 4,36
Área de aço total 11,84 11,84 12,46 12,46
Altura Indicada 12,50 11,25 10,00 9,85
Altura Adotada 13 11 10 10
φl 0,63 0,63 0,63 0,63
Área de aço (Mx+) 1,56 1,56 1,56 1,56
Área de aço (My+) 1,56 1,56 1,56 1,56
Área de aço (Mx-) 4,36 4,98 5,62 5,62
Área de aço (My-) 4,36 4,36 4,36 4,36
Área de aço total 11,84 12,46 13,1 13,1
Altura Indicada 17,50 13,75 12,22 10,90
Altura Adotada 18 14 12 11
φl 0,63 0,63 0,63 0,63 e 0,8
Área de aço (Mx+) 1,87 1,56 1,56 1,56
Área de aço (My+) 1,87 1,56 1,56 1,56
Área de aço (Mx-) 5,62 4,98 5,62 6,04
Área de aço (My-) 5,62 3,74 4,36 4,36
Área de aço total 14,98 11,84 13,1 13,52
Altura Indicada 20,00 15,00 13,33 10,90
Altura Adotada 20 15 13 11
φl 0,63 e 0,8 0,63 0,63 0,63 e 0,8
Área de aço (Mx+) 2,18 1,56 1,56 1,87
Área de aço (My+) 2,18 1,56 1,56 1,56
Área de aço (Mx-) 6,04 4,98 5,62 6,04
Área de aço (My-) 6,04 4,98 4,36 4,36
Área de aço total 16,44 13,08 13,1 13,83
*Alturas e φl são dados em cm, enquanto as áreas são apresentadas em cm2.
CASO 09
ϒ ParâmetroMétodos
1,00
1,25
1,75
2,00
/m2.
88
Assim como na Situação 01 de estudo, diversos métodos apresentam a ocorrência de
fissuras no vão central e na borda engastada, na direção do maior vão. Salienta-se que, nestas
situações é imprescindível a utilização de métodos mais avançados para obtenção da flecha com
maior precisão bem como realização do controle de abertura de fissuras.
Alguns métodos, no caso 01, e todos os métodos, no caso 09, tiveram a armadura
longitudinal recalculada, aumentando-se o valor, para satisfazer o critério de espaçamento
máximo entre barras ou para atender à área de aço mínima. Para Lança em 𝛾 = 1,75 𝑒 2,00, no
caso 09, foi necessário utilizar área de aço mínima em todas as armaduras, tornando-o o método
com maior área de aço.
A Figura 23 ilustra a relação entre a altura da laje, área de aço total e o coeficiente 𝛾
para os casos 01 e 09.
Figura 23 - Altura da laje e área de aço total, para os casos 01 e 09, conforme o valor do coeficiente 𝛾.
Fonte: Elaborado pela autora.
Em ambos os casos a altura cresce com o aumento do coeficiente 𝛾. A maior altura é
obtida pelo método de Cunha, em 𝛾 = 1,00, e Lança, para os demais valores de 𝛾. Para o caso
01, Ching apresenta menor altura enquanto para o caso 09, Formagini.
A área de aço total não apresenta comportamento definido, aumentando quando a área
de aço paralela ao menor vão cresce mais que a redução da área de aço paralela ao maior vão,
ou, caso contrário, diminuindo. Por possuir dois tipos de armaduras a mais, referentes aos
(a) (b)
(c) (d)
89
momentos negativos nos engastes nas duas direções, nota-se que a área de aço total do caso 09
é muito superior à do caso 01.
Com o intuito de se estudar melhor o impacto que os diferentes materiais apresentam
no custo total de 1m2 de laje, foram elaboradas tabelas, para os dois casos e diferentes valores
do coeficiente 𝛾, apresentadas a seguir.
90
Figura 24 - Custos totais e relativos aos materiais de fôrma, concreto e aço para 1m2 de laje, de acordo com os
diferentes métodos de pré-dimensionamento, referente ao caso 01.
Fonte: Elaborado pela autora.
Lança Cunha Formagini Ching et al.
Altura Adotada 10 11 10 9
Fôrma 34,51 34,51 34,51 34,51
(31,51%) (31,16%) (31,51%) (31,87%)
Concreto 38,43 42,27 38,43 34,59
(35,09%) (38,16%) (35,09%) (31,94%)
Aço 36,57 33,97 36,57 39,17
(33,39%) (30,67%) (33,39%) (36,17%)
Custo total 109,50 110,75 109,50 108,26
Altura Adotada 13 12 12 10
Fôrma 34,51 34,51 34,51 34,51
(29,13%) (29,44%) (29,44%) (30,06%)
Concreto 49,96 46,11 46,11 38,43
(42,18%) (39,34%) (39,34%) (33,47%)
Aço 33,97 36,57 36,57 41,85
(28,68%) (31,20%) (31,20%) (36,45%)
Custo total 118,43 117,19 117,19 114,79
Altura Adotada 18 15 13 12
Fôrma 34,51 34,51 34,51 34,51
(24,14%) (26,43%) (27,32%) (28,17%)
Concreto 69,17 57,64 49,96 46,11
(48,39%) (44,14%) (39,54%) (37,65%)
Aço 39,25 38,41 41,85 41,85
(27,46%) (29,41%) (33,13%) (34,17%)
Custo total 142,93 130,56 126,32 122,47
Altura Adotada 20 16 13 13
Fôrma 34,51 34,51 34,51 34,51
(22,52%) (25,03%) (26,76%) (26,76%)
Concreto 76,86 61,48 49,96 49,96
(50,16%) (44,60%) (38,75%) (38,75%)
Aço 41,85 41,85 44,45 44,45
(27,31%) (30,36%) (34,47%) (34,47%)
Custo total 153,22 137,85 128,92 128,92
*Larguras, alturas são dados em cm, enquanto os preços são apresentadas em R$.
1,25
1,75
2,00
CASO 01
ϒ ParâmetroMétodos
1,00
/m2.
91
Tabela 21 - Custos totais e relativos aos materiais de fôrma, concreto e aço para 1m2 de laje, de acordo com os
diferentes métodos de pré-dimensionamento, referente ao caso 09.
Fonte: Elaborado pela autora.
Lança Cunha Ching et al. Formagini
Altura Adotada 10 10 9 9
Fôrma 34,51 34,51 34,51 34,51
(20,03%) (20,03%) (19,87%) (19,87%)
Concreto 38,43 38,43 34,59 34,59
(22,31%) (22,31%) (19,92%) (19,92%)
Aço 99,30 99,30 104,50 104,50
(57,65%) (57,65%) (60,19%) (60,19%)
Custo total 172,24 172,24 173,60 173,60
Altura Adotada 13 11 10 10
Fôrma 34,51 34,51 34,51 34,51
(18,77%) (19,03%) (18,87%) (18,87%)
Concreto 49,96 42,27 38,43 38,43
(27,18%) (23,31%) (21,02%) (21,02%)
Aço 99,30 104,50 109,87 109,87
(54,03%) (57,64%) (60,10%) (60,10%)
Custo total 183,77 181,28 182,81 182,81
Altura Adotada 18 14 12 11
Fôrma 34,51 34,51 34,51 34,51
(15,04%) (18,39%) (18,11%) (18,14%)
Concreto 69,17 53,80 46,11 42,27
(30,16%) (28,67%) (24,20%) (22,22%)
Aço 125,63 99,30 109,87 113,39
(54,78%) (52,92%) (57,67%) (59,62%)
Custo total 229,32 187,61 190,49 190,17
Altura Adotada 20 15 13 11
Fôrma 34,51 34,51 34,51 34,51
(13,84%) (17,09%) (17,75%) (17,90%)
Concreto 76,86 57,64 49,96 42,27
(30,83%) (28,55%) (25,70%) (21,92%)
Aço 137,88 109,70 109,87 115,99
(55,31%) (54,34%) (56,53%) (60,16%)
Custo total 249,25 201,85 194,33 192,77
2,00
*Larguras, alturas são dados em cm, enquanto os preços são apresentadas em R$.
CASO 09
ϒ ParâmetroMétodos
1,00
1,25
1,75
/m2.
92
Percebe-se que nos dois casos o menor percentual do custo total do metro quadrado de
laje refere-se ao gasto com fôrmas. Para o caso 01, o custo com concreto é o mais relevante,
exceto para Ching et al. em 𝛾 = 1,00; 1,25 𝑒 1,50, onde o percentual referente ao custo com a
área de aço é ligeiramente maior, devido a dimensão reduzida da seção transversal que,
consequentemente, reduz o gasto com concreto. Conforme o valor de 𝛾 aumenta, o percentual
relativo ao custo do concreto se sobressai cada vez mais.
No caso 09, por apresentar área de aço consideravelmente superior ao caso 01,
conforme explicitado anteriormente, o custo com a área de aço é sensivelmente mais
preponderante em relação aos demais custos.
A Figura 25 ilustra a relação entre o coeficiente 𝛾 e o custo total de 1m2 de laje nos
dois casos, para os diferentes métodos de pré-dimensionamento.
Figura 25 - Relação entre o coeficiente γ e o custo total, por m2, da laje nos casos 01 e 09 para os diferentes
métodos de pré-dimensionamento.
Fonte: Elaborado pela autora.
Para o caso 01, o custo total cresce com o aumento da altura e, consequentemente,
coeficiente 𝛾, pois a altura tem forte impacto no custo do concreto que é o mais significativo
dentre os custos parciais. Dessa forma, os métodos de Lança, e Cunha em 𝛾 = 1,00, foram os
mais dispendiosos enquanto Ching et al. mostrou-se ser o mais econômico.
Para o caso 09, onde a área de aço tem maior impacto, analisando-se os diferentes
métodos para o mesmo coeficiente 𝛾, o custo total cresce com a redução da altura, pois a área
de aço tende a aumentar quanto menor a altura, conforme explicitado anteriormente. Contudo,
em algumas situações, é possível observar que os métodos de maiores alturas necessitam
empregar armadura mínima, elevando a área de aço total e, consequentemente, o custo em
comparação aos métodos que obtiveram menores alturas. Examinando-se os diferentes valores
de 𝛾, os custos tendem a aumentar ou diminuir conforme a variação da área de aço total. O
(a) (b)
93
método mais dispendioso foi Lança, com exceção em 𝛾 = 1,00 onde Ching et al. se sobressai;
os mais econômicos foram Lança e Cunha em 𝛾 = 1,00, Cunha em 𝛾 = 1,25 𝑒 1,75 e
Formagini 𝛾 = 1,50 𝑒 2,00.
A diferença entre custos chegou a ser de 18,85% aproximadamente, entre os métodos
propostos por Lança e Ching, para o caso 01, e de 29,3%, entre os métodos de Lança e
Formagini, para o caso 09, ambos em 𝛾 = 2,00.
94
5 COMPOSIÇÃO DOS CUSTOS CONFORME LITERATURA
Na literatura é possível encontrar diversos estudos a respeito dos custos das estruturas
de concreto armado, contudo, cada pesquisador conduz seus experimentos de acordo com o
objetivo de seu trabalho. Dessa forma, observa-se diferentes composições, relacionadas aos
custos dos materiais de fôrmas, concreto e aço, para o custo total dos elementos estruturais.
Ao analisar o custo total de uma edificação, considerando os elementos viga, laje e
pilar, PEREIRA (2019) obteve 40% do custo para o material aço, 36% para o material concreto,
e 24% para o sistema de fôrmas, enquanto ANDRADE (2013) apresentou 39 a 41% para o aço,
33 a 35% para as fôrmas e 25 a 26% para o concreto. Já SILVA (2002), analisando o custo total
por pavimento tipo da edificação, apontou 42 a 43% para o concreto, 31 a 33% para as fôrmas
e 25 a 26% para o aço. ASSAHI (2005) indica que o sistema de fôrmas representa de 25 a 40%
do custo da superestrutura de um edifício de porte médio, equivalente a 5 a 8% do custo total
da edificação.
Para o elemento estrutural viga, DELLATORRE (2014) ao analisar o custo total de
uma edificação excluindo determinados sistemas, como fundações, lajes, entre outros, obteve
36,5% do custo para o aço, 33% para as fôrmas e 30,5% para o concreto. Por outro lado,
ARCARI (2010) estudando o pavimento tipo, obteve 54% do custo total referente ao material
aço, 40% para o concreto e apenas 6% para as fôrmas, pois considerou reaproveitamento de até
10 vezes das mesmas.
Os artigos de otimização de viga não apresentam consenso quanto à distribuição dos
custos, muito provavelmente devido à aplicação ou não das várias restrições construtivas e das
demais restrições apresentadas nas normas técnicas. Em alguns casos, é o custo da forma que
se sobressai, em outros o do concreto ou o do aço. Além disso, as configurações ótimas são
bastante dependentes dos valores empregados para os custos unitários, conforme esperado.
JUNIOR E OLIVEIRA (2014) obtiveram para as seções de viga otimizada, 45% a
54%, do custo total, referente às fôrmas, 26% a 31% para o concreto e 20% a 24% para o aço.
MEDEIROS e KRIPKA (2010), 37 a 44% do custo total para o material concreto, 33 a 41%
para o aço e 19 a 24% para as fôrmas. LEITE e JUNIOR (2019) 43 a 51% para as fôrmas, 28 a
34% para o aço e 21 a 23% para o concreto. MAGALHÃES et al. (2017), 48% para as fôrmas,
26% para o aço e 26% para o concreto. CORREIA et al. (2019), 50% a 79% para as fôrmas,
12% a 41% para o aço e 7% a 13% para o concreto.
95
No presente trabalho, para a Situação 01 as médias percentuais para os materiais aço,
fôrma e concreto foram, respectivamente, 62%, 23% e 15% enquanto para a Situação 02, 60%,
23% e 17%.
A Figura 26 ilustra a composição do custo da viga obtida pelos diferentes métodos da
literatura, bem como os resultados obtidos no presente estudo.
Figura 26 - Valor percentual do custo total das vigas, referente aos materiais fôrmas, aço e concreto, de acordo
com diferentes estudos da literatura e resultados obtidos no presente trabalho.
Fonte: Elaborado pela autora.
Para o elemento estrutural laje, ARCARI (2010) estudando um pavimento tipo de um
edifício, obteve 60% do custo total referente ao material concreto, 33% para o aço e apenas 7%
para as fôrmas, pois considerou reaproveitamento de até 10 vezes. BRANDALISE e
WESSLING (2015) considerando composição própria de custos unitários, atingiu 44%, do
custo total de um metro quadrado de laje, para o material concreto, 35% para as fôrmas e 21%
para o aço. OLIVEIRA (2020), levando em conta planilhas orçamentárias já existes, alcançou
42% para o aço, 41% para o concreto e 17% para as fôrmas enquanto ZANCHIN e SANTOS
(2019), 57% para o aço, 28% para o concreto e 15% para as fôrmas.
No presente trabalho, para a Situação 01 as médias percentuais para os materiais aço,
concreto e fôrma foram, respectivamente, 48%, 31% e 21% enquanto para a Situação 02, 32%,
40% e 28% para o caso 01 e 58%, 24% e 18% para o caso 09.
96
A Figura 27 ilustra a composição do custo da laje obtida pelos diferentes métodos da
literatura, bem como os resultados obtidos no presente estudo.
Figura 27 - Valor percentual do custo total das lajes, referente aos materiais fôrmas, aço e concreto, de acordo
com diferentes estudos da literatura e resultados obtidos no presente trabalho.
Fonte: Elaborado pela autora.
97
6 CONCLUSÃO
No presente trabalho, foram comparados diferentes métodos de pré-dimensionamento
de vigas e de lajes maciças de concreto armado. Para isso foram considerados 2 casos
relacionados a vigas, alterando-se os valores do comprimento do vão e carga acidental, e 2 casos
relacionados a lajes, modificando-se as condições de apoio e comprimento do vão efetivo.
Na Situação 01 de estudo das vigas, o método de Lança mostrou-se ser o mais
econômico, com diferenças de até 60,5% em comparação com os outros métodos considerados.
Na Situação 02, os métodos de Giongo e Cunha apresentam menores custos, com diferenças
chegando a ser de 56,3%, a depender da relação entre as cargas permanente e acidental.
Por outro lado, para os casos das lajes investigadas e considerando ainda diferentes
valores do coeficiente 𝛾, relacionado a razão entre os comprimentos efetivos, nenhum método
se sobressaiu em termos de custos em relação aos outros.
Os exemplos investigados no presente trabalho indicaram, para as vigas, um maior
custo médio do aço, com até 80,5% do custo total, seguido pela fôrma e tendo-se uma menor
contribuição do concreto. Por outro lado, para as lajes o maior percentual do custo da estrutura
se refere ao aço ou ao concreto, a depender do caso analisado, e o material de menor impacto
no custo foi a fôrma.
Os resultados obtidos mostram que não há consenso quanto ao método mais
econômico ou dispendioso, variando muito de acordo com a situação de estudo. Ressalta-se,
entretanto, que algumas simplificações foram feitas, conforme indicado ao longo do texto.
Porém, acredita-se que as conclusões aqui levantadas se manteriam mesmo sem estas
simplificações.
A relação não-linear entre altura e custos notada nas análises paramétricas ressalta que
métodos de otimização poderiam ser empregados na determinação das dimensões ótimas,
conforme vem sendo desenvolvido em vários trabalhos na literatura. Os resultados ótimos
podem servir de base para propor metodologias simplificadas de pré-dimensionamento que
levem a elementos estruturais mais próximos das configurações ótimas. Dessa forma, sugere-
se, para trabalhos futuros, o desenvolvimento de programa computacional de pré-
dimensionamento, utilizando-se da otimização estrutural e vinculado à análise de custos,
facilitando e automatizando a etapa de pré-dimensionamento.
98
REFERÊNCIAS
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DO CUSTO ESTRUTURAL DE UMA EDIFICAÇÃO E DOS PROCEDIMENTOS NA
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103
ANEXO A - Tabelas utilizadas para a determinação de esforços, em lajes armadas nas
duas direções
Figura 28 - Definição dos casos de lajes para o cálculo da flecha imediata, momentos fletores e esforços
cortantes.
Fonte: PERLIN et al. 2019.
As hachuras indicam engaste enquanto o contorno representado por linha simples
indica borda simplesmente apoiada.
104
Tabela 22 - Coeficiente para cálculo de flechas imediatas em lajes isoladas retangulares submetidas a
carregamentos uniformemente distribuído.
Fonte: PERLIN et al. 2019.
Tabela 23 - Coeficientes para o cálculo dos momentos solicitante máximos em lajes isoladas retangulares
uniformemente carregadas (casos 1,2 e 3).
Fonte: PERLIN et al. 2019.
105
Tabela 24 - Coeficientes para o cálculo dos momentos solicitante máximos em lajes isoladas retangulares
uniformemente carregadas (casos 4,5 e 6).
Fonte: PERLIN et al. 2019.
Tabela 25 - Coeficientes para o cálculo dos momentos solicitante máximos em lajes isoladas retangulares
uniformemente carregadas (casos 7,8 e 9).
Fonte: PERLIN et al. 2019.
106
Tabela 26 - Coeficientes para o cálculo das reações nas vigas de apoio de lajes isoladas retangulares
uniformemente carregadas (casos 1, 2 e 3).
Fonte: PERLIN et al. 2019.
Tabela 27 - Coeficientes para o cálculo das reações nas vigas de apoio de lajes isoladas retangulares
uniformemente carregadas (casos 4, 5 e 6).
Fonte: PERLIN et al. 2019.
107
Tabela 28 - Coeficientes para o cálculo das reações nas vigas de apoio de lajes isoladas retangulares
uniformemente carregadas (casos 7, 8 e 9).
Fonte: PERLIN et al. 2019.
108
APÊNDICE A – Dedução para a área de aço da armadura longitudinal
A Figura 29 ilustra as forças resistentes e tensão do concreto que atuam numa seção
da viga. A norma NBR 6118:2014, para concretos com 𝑓𝑐𝑘 ≤ 50𝑀𝑃𝑎, permite a simplificação
do diagrama de tensão do concreto como apresentado na Figura 30.
Figura 29 - Forças resistentes e diagrama de tensão do concreto na seção de uma viga submetida à flexão
simples.
Fonte: Adaptado de CARVALHO e FIGUEIREDO, 2014.
Figura 30 - Forças resistentes e diagrama simplificado de tensão do concreto na seção de uma viga submetida à
flexão simples.
Fonte: Adaptado de CARVALHO e FIGUEIREDO, 2014. onde:
𝑥: altura da linha neutra contada a partir da borda mais comprimida;
𝑑: altura útil. Distância entre o centro de gravidade da armadura e a borda mais comprimida;
𝑅𝑐𝑐: resistência do concreto à compressão;
𝑅𝑠𝑡: resistência do aço à tração.
Como o somatório de forças na seção é nulo, o módulo da resistência do concreto à
compressão é igual ao módulo da resistência do aço à tração. Quando duas forças paralelas de
mesma intensidade, F, sentidos opostos e separadas por uma distância, d, atuam num sistema,
109
define-se um binário que produz momento, M. O momento induzido pelo binário pode ser
calculado por (HIBBELER, 2005):
𝑀 = 𝐹 ∙ 𝑑 (115)
O momento resistente na seção, 𝑀𝑟𝑑, deve ser igual ou superior ao momento
solicitante, 𝑀𝑠𝑑. Chamando-se de 𝑀𝑑 o momento desenvolvido pelo binário de forças de
resistência do concreto e de resistência do aço, quando 𝑀𝑟𝑑 = 𝑀𝑠𝑑, pode-se escrevê-lo
conforme Equação 116 e Equação 117:
𝑀𝑑 = 𝑅𝑐𝑐 ∙ (𝑑 − 0,4𝑥) (116)
𝑀𝑑 = 𝑅𝑠𝑡 ∙ (𝑑 − 0,4𝑥) (117)
Sabendo-se que tensão, 𝜎, é a distribuição de uma força, 𝑅, sobre uma área, 𝐴, (BEER
et al. 2011), tem-se que:
𝜎 =
𝑅
𝐴∴ 𝑅 = 𝜎 ∙ 𝐴 (118)
Assim, a partir da Equação 118 e da Figura 30 as resistências do concreto à compressão
e do aço à tração podem ser escritas como:
𝑅𝐶𝐶 = (0,85𝑓𝑐𝑑) ∙ (0,8𝑥 ∙ 𝑏) (119)
𝑅𝑠𝑡 = 𝜎𝑠 ∙ 𝐴𝑠 (120)
Substituindo a Equação 119 na Equação 116:
𝑀𝑑 = (0,85𝑓𝑐𝑑) ∙ (0,8𝑥 ∙ 𝑏) ∙ (𝑑 − 0,4𝑥) (121)
Isolando a altura da linha neutra, x:
𝑥 = 1,25𝑑 ∙ (1 − √1 −𝑀𝑑
0,425 ∙ 𝑓𝑐𝑑 ∙ 𝑏 ∙ 𝑑2
2
) (122)
Substituindo a Equação 120 na Equação 117:
𝑀𝑑 = 𝜎𝑠 ∙ 𝐴𝑠 ∙ (𝑑 − 0,4𝑥) (123)
Finalmente, obtém-se a área de aço, 𝐴𝑠, isolando-a da Equação 123:
𝐴𝑠 =
𝑀𝑑
𝜎𝑠 ∙ (𝑑 − 0,4𝑥) (124)
Pelo raciocínio estabelecido no critério de ductilidade, onde o aço encontra-se com
máxima deformação ou em escoamento (domínios II e III), induz-se que 𝜎𝑠 = 𝑓𝑦𝑑.
110
APÊNDICE B – Dedução para a área de aço da armadura longitudinal dupla
No caso onde o concreto não consegue suportar os esforços à compressão, isto é,
quando 𝑥
𝑑 > 0,45, e não se deseja modificar as dimensões da viga, deve-se empregar também
armadura no banzo comprimido da seção (CARVALHO e FIGUEIREDO, 2014). O cálculo
para a determinação dessa área de aço é análogo ao feito para obtenção da área de aço
tracionada, 𝐴𝑠.
Limitando-se 𝑥 = 0,45𝑑, para se atender o critério de ductilidade, e denominando 𝑀1,
o momento gerado pelo binário de forças de resistência do concreto à compressão, 𝑅𝑐𝑐, e
resistência do aço à tração 𝑅𝑠𝑡1; 𝑀2, o momento induzido pelo binário de forças de resistência
do aço à compressão 𝑅𝑠𝑡′, e resistência do aço à tração 𝑅𝑠𝑡2; e d’, a distância entre a borda mais
comprimida e o centro da armadura resistente à compressão, tem-se a situação apresentada na
Figura 31.
Figura 31 - Forças resistentes e diagrama de tensão do concreto, na seção de uma viga submetida à flexão
simples com armadura dupla.
Fonte: Adaptado de CARVALHO e FIGUEIREDO, 2014.
O momento solicitante ao qual a seção deve resistir, 𝑀𝑑, é:
𝑀𝑑 = 𝑀1 + 𝑀2 (125)
Do que foi deduzido para o cálculo de 𝐴𝑠, sabe-se que a área de armadura calculada
pelo momento 𝑀1 é:
𝐴𝑠1 =
𝑀1
𝑓𝑦𝑑 ∙ (𝑑 − 0,4𝑥) (126)
onde, substituindo 𝑥 = 0,45𝑑 na Equação 121:
111
𝑀1 = (0,85𝑓𝑐𝑑) ∙ (0,8(0,45𝑑)𝑏) ∙ (𝑑 − 0,4(0,45𝑑)) (127)
Da Equação 118 tem-se que:
𝑅𝑠𝑡2 = 𝑓𝑦𝑑 ∙ 𝐴𝑠2 (128)
𝑅𝑠𝑡′ = 𝜎′ ∙ 𝐴𝑠′ (129)
em que:
𝐴𝑠2: área de aço tracionada, referente ao momento 𝑀2;
𝐴𝑠′: área de aço comprimida, referente ao momento 𝑀2;
𝜎′: tensão do aço resistente à compressão.
Substituindo-se as Equações 128 e 129 e a distância entre 𝑅𝑠𝑡′ e 𝑅𝑠𝑡2 na Equação 115,
obtém-se:
𝑀2 = (𝑓𝑦𝑑 ∙ 𝐴𝑠2) ∙ (𝑑 − 𝑑′) (130)
𝑀2 = ( 𝜎′ ∙ 𝐴𝑠′) ∙ (𝑑 − 𝑑′) (131)
Dessa forma, isolando-se as áreas de aço das Equações 130 e 131:
𝐴𝑠2 =
𝑀2
𝑓𝑦𝑑 ∙ (𝑑 − 𝑑′) (132)
𝐴𝑠′ =
𝑀2
𝑓𝑦𝑑 ∙ (𝑑 − 𝑑′) (133)
onde, reordenando a Equação 18:
𝑀2 = 𝑀𝑑 − 𝑀1 (134)
A área de aço resistente à compressão, 𝐴𝑠′, é dada pela Equação 19 enquanto a área de
aço resistente à tração, 𝐴𝑠, é:
𝐴𝑠 = 𝐴𝑠1 + 𝐴𝑠2 (135)
A área de aço tracionada é dividida em 𝐴𝑠1 e 𝐴𝑠2 para se manter o equilíbrio de forças
na seção resistente aos momentos 𝑀1 e 𝑀2.
A tensão, 𝜎, pode ser obtida pelo produto da deformação específica, 𝜀, e módulo de
elasticidade, Ε, conforme a Lei de Hook (BEER et al. 2011):
𝜎 = 𝜀 ∙ Ε (136)
Assim, a tensão do aço resistente à compressão, 𝜎′, é dada por:
𝜎𝑠′ = 𝜀𝑠′ ∙ Ε𝑠 (137)
onde:
𝜀𝑠′ : deformação específica do aço comprimido;
112
Ε𝑠: módulo de elasticidade do aço. Pode ser admitido igual a 210 GPa na falta de ensaios ou
valores fornecidos pelo fabricante, de acordo com a NRB 6118:2014.
A Figura 32 mostra o diagrama de deformação, destacando-se a região comprimida da
seção resistente ao momento 𝑀2. A Equação 138 apresenta o equacionamento da semelhança
de triângulos, utilizado na obtenção do valor de 𝜀𝑠′.
Figura 32 - Diagrama de deformação do concreto para seção com armadura dupla.
Fonte: Elaborado pela autora.
𝜀𝑠′
𝑥 − 𝑑=
3,5‰
𝑥 (138)
Isolando 𝜀𝑠′ da Equação 139:
𝜀𝑠′ =
3,5‰ ∙ (x − d)
𝑥 (139)
Deve-se atentar para o fato que, quando 𝜀𝑠′ ≥ 𝜀𝑦𝑑 o aço se encontra no patamar de
escoamento e, portanto, 𝜎𝑠′ = 𝑓𝑦𝑑 .
113
APÊNDICE C – Dedução para a tensão de tração do aço e altura da linha neutra, no
estádio II
Para o estádio II a posição da linha neutra, 𝑥𝐼𝐼, e a tensão 𝜎𝑠𝑖 são calculadas de forma
semelhante ao mostrado no cálculo da área de aço da armadura longitudinal, isto é, por meio
do equacionamento de equilíbrio de forças na seção transversal da viga. Adaptando a Figura 30
para o estádio II, tem-se:
Figura 33 - Forças resistentes e diagrama de tensão no estádio II do concreto, na seção de uma viga submetida à
flexão simples.
Fonte: Elaborado pela autora.
Ajustando a Equação 118 para o estádio II, as resistências do concreto à compressão e
do aço à tração são:
𝑅𝐶𝐶 = 𝜎𝑐 ∙ (
𝑥𝐼𝐼 ∙ 𝑏
2) (140)
𝑅𝑠𝑡 = 𝜎𝑠 ∙ 𝐴𝑠 (141)
A relação entre as deformações específicas do aço e do concreto no estádio II é
mostrada na Figura 34 onde se depreende, por semelhança de triângulos, a Equação 142 e,
consequentemente, a Equação 143.
114
Figura 34 - Diagrama de deformações no estádio II.
Fonte: Elaborado pela autora.
𝜀𝑐
𝑥𝐼𝐼=
𝜀𝑠
𝑑 − 𝑥𝐼𝐼 (142)
𝜀𝑐 = 𝜀𝑠 ∙ 𝑥𝐼𝐼
𝑑 − 𝑥𝐼𝐼 (143)
Dessa forma, substituindo a Equação 143 na Equação 118, a tensão no concreto pode
ser escrita como:
𝜎𝑐 = 𝜀𝑠 ∙ 𝑥𝐼𝐼
𝑑 − 𝑥𝐼𝐼 ∙ Ε𝑐 (144)
Enquanto a tensão no aço, de acordo com a Equação 118, é:
𝜎𝑠 = 𝜀𝑠 ∙ Ε𝑠 (145)
Realizando manipulação matemática, divide-se a Equação 145 pela Equação 144:
𝜎𝑠
𝜎𝑐=
𝜀𝑠 ∙ Ε𝑠
𝜀𝑠 ∙ 𝑥𝐼𝐼
𝑑 − 𝑥𝐼𝐼 ∙ Ε𝑐
(146)
Isolando 𝜎𝑠 da Equação 146:
𝜎𝑠 = 𝜎𝑐 ∙
Ε𝑠
Ε𝑐∙
𝑑 − 𝑥𝐼𝐼
𝑥𝐼𝐼 (147)
Substituindo a Equação 147 na Equação 141:
𝑅𝑠𝑡 = (𝜎𝑐 ∙
Ε𝑠
Ε𝑐∙
𝑑 − 𝑥𝐼𝐼
𝑥𝐼𝐼) ∙ 𝐴𝑠 (148)
Do equilíbrio de forças:
𝑅𝐶𝐶 = 𝑅𝑠𝑡 (149)
Substituindo as Equações 140 e 148 na Equação 149:
𝜎𝑐 ∙ (
𝑥𝐼𝐼 ∙ 𝑏
2) = (𝜎𝑐 ∙
Ε𝑠
Ε𝑐∙
𝑑 − 𝑥𝐼𝐼
𝑥𝐼𝐼) ∙ 𝐴𝑠 (150)
Isolando 𝑥𝐼𝐼 da Equação 150 encontra-se a equação de segundo grau:
115
𝑏 ∙ 𝑥𝐼𝐼
2 + 2 ∙ 𝐴𝑠 ∙Ε𝑠
Ε𝑐∙ 𝑥𝐼𝐼 − 2 ∙ 𝐴𝑠 ∙
Ε𝑠
Ε𝑐∙ 𝑑 = 0 (151)
Cuja solução é dada por:
𝑥𝐼𝐼 = Ε𝑠
Ε𝑐∙
𝐴𝑠
𝑏∙ (1 − √1 +
2 ∙ 𝑏 ∙ 𝑑
Ε𝑠
Ε𝑐∙ 𝐴𝑠
2 (152)
A relação entre os módulos de elasticidade do concreto e aço, Ε𝑠
Ε𝑐, no estádio II pode
ser considerada, de acordo com a NBR 6118:2014, igual a 15.
Substituindo o valor da distância entre as forças de resistência à compressão do
concreto e à tração do aço na Equação 115, o momento de cálculo para o estádio II, 𝑀𝑑 𝑓𝑟𝑒 é:
𝑀𝑑 𝑓𝑟𝑒 = (𝜎𝑠 ∙ 𝐴𝑠) ∙ (𝑑 −𝑥𝐼𝐼
3) (153)
A combinação de ações em serviço que deve ser utilizada é a combinação frequente,
de acordo com a Equação 2.
Finalmente, isolando-se a tensão da Equação 153:
𝜎𝑠 =
𝑀𝑑 𝑓𝑟𝑒
𝐴𝑠 ∙ (𝑑 −𝑥𝐼𝐼
3 ) (154)
116
APÊNDICE E – Desenvolvimento da planilha no Excel para o dimensionamento de
vigas
As áreas de aço e restrições impostas pelas normas foram calculadas e verificadas
através de uma planilha elaborada no Excel. As fórmulas utilizadas, dados e variáveis são
explicados nos próximos subitens.
As células destacadas em vermelho devem ter o valor inserido, as destacadas em
amarelo são verificações que necessitam atender a norma, as que já apresentam valores
específicos são medidas fixas e explicitadas no item 3.2 CONSIDERAÇÕES, as em branco tem
o valor calculado pelo Excel por meio de fórmulas mostradas a seguir.
Dados de entrada
Os dados de entrada utilizados são ilustrados na Tabela 29.
Tabela 29 – Dados de entrada para o dimensionamento de vigas, na planilha Excel.
Fonte: Elaborado pela autora.
Os valores de resistência característica do concreto à compressão, resistência
característica do aço à tração e cobrimento nominal, 𝑓𝑐𝑘, 𝑓𝑦𝑘 𝑒 𝑐, respectivamente, são valores
previamente definidos e explicitados nos subcapítulos 3.2.2 e 3.2.3.
A base e altura, 𝑏 𝑒 ℎ, da viga são valores a serem inseridos nas células, obtidos pelo
cálculo do pré-dimensionamento dos diversos autores, de acordo com o estabelecido no
subcapítulo 3.1 PRÉ-DIMENSIONAMENTO CONFORME LITERATURA.
Carregamento distribuído
As cargas permanente e variável uniformemente distribuídas, máximos momento
fletor e esforço cortante solicitantes de projeto são calculados pela Tabela 30.
fck = 25 MPa
fyk = 500 Mpa
c = 3 cm
b = cm
h = cm
DADOS DE ENTRADA
117
Tabela 30 – Carregamento distribuído, momento fleto e esforço cortante para o dimensionamento de vigas, na
planilha Excel.
Fonte: Elaborado pela autora.
O comprimento do vão, 𝐿, é variável conforme o cenário que se estuda.
O valor da carga acidental transmitida à viga pela laje, 𝑙, é definido e explicitado no
item 3.2.4.
O peso próprio, 𝑃𝑝, de um elemento é calculado de acordo com o peso específico de
seu material constituinte, 𝛾, espessura, 𝑒, e altura, ℎ, de sua seção transversal, segundo a
equação:
𝑃𝑝 = 𝛾 ∙ 𝑒 ∙ ℎ (155)
A norma NBR 6120:2019 estabelece as ações mínimas a serem consideradas no
projeto de estruturas de edificações. A Tabela 1, desta mesma norma, expõe os pesos
específicos dos materiais de construção civil. Foram consideradas lajotas cerâmicas para a
execução da alvenaria de vedação, cujo o peso específico pode ser considerado como 18 kN/m3.
O peso específico do concreto armado é de 25 kN/m3.
Admitindo-se a espessura da parede como sendo igual a base da viga e pé direito com
altura de 2,50m, tem-se que, de acordo com a Equação 155, o peso próprio da parede de
alvenaria, 𝑝, é:
𝑝 = 18 ∙
𝑏
100∙ 2,50 (156)
O peso próprio da viga, 𝑔, é obtido conforme seguinte equação:
𝑔 = 25 ∙
𝑏
100∙
ℎ
100 (157)
L = m
l = 10 KN/m
p = 0 KN/m
g = 0 KN/m
Msd = 0 KN.m
Vsd = 0 KN
CARREGAMENTO DISTRIBUÍDO
118
Nota-se que, por simplificação, foi desconsiderada a carga proveniente do
revestimento argamassado executado sobre as paredes de alvenaria e viga. Ressalta-se também,
que embora a espessura da parede tenha sido adotada com o mesmo valor da base da viga, sabe-
se que em alvenarias internas a espessura do bloco cerâmico é de apenas 9cm, conforme
anteriormente exposto no item 3.2.1.
O momento máximo, 𝑀𝑀Á𝑋, de uma viga bi-apoiada isostática sob carregamento
uniforme é dado pela Equação (BEER et al. 2011):
𝑀𝑀Á𝑋 =
𝑤 ∙ 𝐿2
8 (158)
onde:
𝑤: valor da carga uniformemente distribuída;
𝐿: comprimento do vão;
Dessa forma, o momento solicitante de projeto, 𝑀𝑠𝑑, calculado para combinações
últimas de ações normais (no ELU), conforme Equação 1 é:
𝑀𝑠𝑑 =
1,4 ∙ (𝑙 + 𝑝 + 𝑔) ∙ 𝐿2
8 (159)
O esforço cortante máximo, 𝑉𝑀Á𝑋, de uma viga bi-apoiada isostática sob carregamento
uniforme é dado pela Equação (BEER et al. 2011):
𝑉𝑀Á𝑋 =
𝑤 ∙ 𝐿
2 (160)
onde:
𝑤: valor da carga uniformemente distribuída;
𝐿: comprimento do vão;
Substituindo na Equação 160 o valore calculado para combinações últimas de ações
normais (no ELU), conforme Equação 1, tem-se que:
𝑉𝑠𝑑 =
1,4 ∙ (𝑙 + 𝑝 + 𝑔) ∙ 𝐿
2 (161)
Armadura longitudinal
A área de aço da armadura longitudinal e as disposições construtivas são calculadas
pela Tabela 31.
119
Tabela 31 – Área de aço da armadura longitudinal para o dimensionamento de vigas, na planilha Excel.
Fonte: Elaborado pela autora.
O processo de dimensionamento da armadura longitudinal começa estimando-se a
altura útil, 𝑑𝑒𝑠𝑡. Como ponto de partida, este valor poderia ser estipulado de acordo com a
equação:
𝑑𝑒𝑠𝑡 = ℎ − 𝑐 − 𝜙𝑡 −
𝜙𝑙
2 (162)
onde a altura, ℎ, foi inserida nos dados de entrada. Os valores de cobrimento nominal e diâmetro
do estribo, 𝑐 𝑒 𝜙𝑡, são 3cm e 0,63cm, respectivamente, conforme explicitado nos itens 3.2.3 e
3.2.2. O diâmetro da armadura longitudinal, 𝜙𝑙, é arbitrário, podendo assumir qualquer valor.
Entretanto, a determinação da área de aço é um processo iterativo. A partir do valor
estimado da altura útil, calcula-se a altura útil real e então substitui o valor da altura útil
estimada pelo calculado. Este processo é realizado manualmente e prossegue-se até que as
alturas úteis estimada e real assumam o mesmo valor. Empiricamente, observou-se que o
d esti.= 10000 cm
x = 0,10 cm
x/d = 0,00 OK!
As = 0,03 cm2
φl = 3,2 cm
n = 1 barras
As real = 8,04 cm2
eh1 = 2 cm
eh2 = 3,2 cm
eh3 = 2,28 cm
eMÍN = 3,2 cm
eh1cam nece = 6,4 cm
eh1cam disp = 1,54 cm
barracamada = 1 barra/camada
Camadas = 1 camadas
eh = 0,77 cm
ev1 = 2 cm
ev2 = 3,2 cm
ev3 = 0,95 cm
ev = 3,2 cm
ARMADURA LONGITUDINAL
120
número de iterações é menor quanto se estipula um valor inicial extremamente alto. Assim,
rotineiramente adotou-se 𝑑𝑒𝑠𝑡 = 1000 como primeiro valor estimado.
Em seguida, calcula-se a distância da linha neutra à borda mais comprimida, 𝑥, de
acordo com a Equação 6.
O limite de ductilidade 𝑥 𝑑⁄ é verificado conforme Equação 7. Se for respeitado, surge
a escrita “OK!” entendendo-se que se pode prosseguir com os cálculos. Caso contrário, a escrita
“ARMADURA DUPLA!” indica que a seção deve ser dimensionada como armadura dupla e
não simples, utilizando-se outro quadro da planilha (explicado no próximo item). Outra solução,
não considerada no presente trabalho, seria alterar as dimensões da viga.
A armadura longitudinal, 𝐴𝑠, é calculada conforme Equação 8. Deve-se atentar para a
minoração das resistências características do aço e do concreto quando as fórmulas usam os
valores de projeto, e não característicos, conforme Equações 4 e 5.
O diâmetro da armadura longitudinal, 𝜙𝑙, é inserido podendo assumir qualquer valor
conforme disponibilidade no mercado.
O número de barras, 𝑛, necessário para se alcançar o valor de 𝐴𝑠, é obtido pela razão
entre a área de aço calculada e a área de aço de uma única barra, com o diâmetro escolhido.
Assim, assume o valor inteiro, imediatamente superior caso haja casa decimal, ao obtido pela
seguinte equação:
𝑛 =
𝐴𝑠
(𝜋 ∙ 𝜙𝑙
2
4 )
(163)
Observando-se a área de aço encontrada e o número de barras necessário, analisa-se
melhor se o diâmetro 𝜙𝑙 escolhido é coerente, podendo-se altera-lo ou não. Foi consultada a
Tabela 32, que torna mais visível as possíveis combinações ao mostrar a área obtida, para
diferentes diâmetros, de acordo com a quantidade de barras.
121
Tabela 32 - Área de aço de acordo com o diâmetro e quantidade de barras.
Fonte: Guia da Engenharia.
A área de aço que será realmente empregada na armadura, 𝐴𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙, é calculada pelo
produto do número de barras empregadas pela área de aço de uma única barra, com o diâmetro
escolhido, de acordo com a equação:
𝐴𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙 = 𝑛 ∙
𝜋 ∙ 𝜙𝑙2
4 (164)
O espaçamento horizontal mínimo, 𝑒𝑀Í𝑁, é determinado pelo maior dos valores
referentes às três condições de espaçamento horizontal, 𝑒ℎ1, 𝑒ℎ2 𝑒 𝑒ℎ3, conforme Equação 11.
Assim, 𝑒ℎ1 assume o valor de 2cm, 𝑒ℎ2 é atribuído conforme a escolha do diâmetro 𝜙𝑙, e 𝑒ℎ3
apresenta valor de 2,28cm de acordo com o diâmetro do maior agregado utilizado na
constituição do concreto, explicitado no item 3.2.2.
O espaçamento necessário para se posicionar uma única barra numa camada,
𝑒1𝑐𝑎𝑚 𝑛𝑒𝑐𝑒, é dado pela equação:
𝑒1𝑐𝑎𝑚 𝑛𝑒𝑐 = 𝑒𝑀Í𝑁 + 𝜙𝑙 (165)
O espaçamento disponível após alocar uma única barra numa camada, 𝑒1𝑐𝑎𝑚 𝑑𝑖𝑠𝑝, é
obtido pela equação:
𝑒1𝑐𝑎𝑚 𝑑𝑖𝑠𝑝 = 𝑏 − 2 ∙ (𝑐 + 𝜙𝑡) − 𝜙𝑙 (166)
122
Substituindo na Equação 166 os valores explicitados nos itens 3.2.2 e 3.2.3, tem-se:
𝑒1𝑐𝑎𝑚 𝑑𝑖𝑠𝑝 = 𝑏 − 7,26 − 𝜙𝑙 (167)
O número de barras que podem ser posicionadas numa única camada, 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑐𝑎𝑚𝑎𝑑𝑎,
é o valor inteiro imediatamente inferior ao calculado pela equação:
𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑐𝑎𝑚𝑎𝑑𝑎 = 1 + 𝑒1𝑐𝑎𝑚 𝑑𝑖𝑠𝑝
𝑒1𝑐𝑎𝑚 𝑛𝑒𝑐 (168)
O número de camadas, 𝐶𝑎𝑚𝑎𝑑𝑎𝑑𝑎𝑠, necessário para alocar todas as barras
empregadas é o valor inteiro imediatamente superior ao obtido pela equação:
𝐶𝑎𝑚𝑎𝑑𝑎𝑑𝑎𝑠 = 𝑛
𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑐𝑎𝑚𝑎𝑑𝑎 (169)
O espaçamento horizontal entre as faces das barras é calculado pela equação:
𝑒ℎ =
𝑏 − 2 ∙ (𝑐 + 𝜙𝑡) − 𝑛 ∙ 𝜙𝑙
𝑛 − 1 (170)
Substituindo na Equação 170 os valores explicitados nos itens 3.2.2 e 3.2.3, tem-se:
𝑒ℎ =
𝑏 − 7,26 − 𝑛 ∙ 𝜙𝑙
𝑛 − 1 (171)
Se houver somente uma barra de armadura longitudinal na seção transversal da viga,
a Equação 171 pode simplificadamente ser escrita como:
𝑒ℎ =
𝑏 − 7,26 − 𝜙𝑙
2 (172)
O espaçamento vertical entre faces da armadura, 𝑒𝑣, é determinado pelo maior dos
valores referentes às três condições de espaçamento vertical mínimo, 𝑒𝑣1, 𝑒𝑣2 𝑒 𝑒𝑣3, conforme
Equação 12. Assim, 𝑒𝑣1 assume o valor de 2cm, 𝑒𝑣2 é atribuído conforme a escolha do diâmetro
𝜙𝑙, e 𝑒𝑣3 apresenta valor de 0,95cm de acordo com o diâmetro do maior agregado, conforme
explicitado no item 3.2.2.
A Figura 35 ilustra as disposições construtivas da armadura longitudinal.
123
Figura 35 - Disposições construtivas da armadura longitudinal em vigas.
Fonte: Elaborado pela autora.
Definida as disposições das barras, calcula-se o centro de gravidade da armadura
longitudinal, segundo Tabela 33.
Tabela 33 - Centro de gravidade da armadura longitudinal para o dimensionamento de vigas, na planilha Excel.
Fonte: Elaborado pela autora.
O centro geométrico de uma seção pode ser calculado pela seguinte equação
(HIBBELER, 2005):
𝑌 =
∑(�̌� × 𝐴)
∑ 𝐴 (173)
onde:
Camada n barras y
1 3 13,29
2 3 24,09
3 1 11,63
4 0 0,00
5 0 0,00
Y = 7,00 cm
d real = 43,00 cm
dafa-Y = 0,37 OK!
dest-drea = 2 RECALCULAR!
CENTRO DE GRAVIDADE
124
𝑌: coordenada do centro de gravidade do sistema de pontos materiais;
�̌�: coordenada de cada ponto material no sistema;
𝐴: área de cada ponto material no sistema.
Desta forma o centro de gravidade da armadura longitudinal, 𝑌, pode ser calculado
através da equação:
𝑌 =
∑(�̌� ∙ 𝑛𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 ∙ 𝐴𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎)
∑(𝑛 ∙ 𝐴𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎) (174)
𝐴𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 é a área de uma única barra com o diâmetro escolhido.
Simplificando a equação 174 obtêm-se:
𝑌 =
∑ �̌� ∙ 𝑛𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠
∑ 𝑛 (175)
𝑌 =
Σ𝑦
𝑛 (176)
onde y é o produto do número de barras existente na camada analisada, 𝑛𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠, e a distância
da borda mais tracionada da seção até o centro geométrico da armadura,�̌�, como ilustrado na
Figura 36.
Figura 36 - Distância �̌� para o cálculo do centro geométrico da armadura longitudinal.
Fonte: Elaborado pela autora.
Para a primeira camada o valor y é calculado pela equação:
𝑦 = (𝑐 + 𝜙𝑡 +
𝜙𝑙
2) ∙ 𝑛𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 (177)
Para as demais camadas, quando houver:
𝑦 = (�̌� 𝑑𝑎 𝑐𝑎𝑚𝑎𝑑𝑎 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 + 𝑒𝑣 + 𝜙𝑙) ∙𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 (178)
125
�̌� 𝑑𝑎 𝑐𝑎𝑚𝑎𝑑𝑎 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 pode ser obtido pela razão entre 𝑦 e 𝑛𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 (da camada
anterior), assim a Equação 178 pode ser reescrita como:
𝑦 = (
𝑦 𝑑𝑎 𝑐𝑎𝑚𝑎𝑑𝑎 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟
𝑛𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑎 𝑐𝑎𝑚𝑎𝑑𝑎 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟+ 𝑒𝑣 + 𝜙𝑙) ∙ 𝑛𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 (179)
O número de barras, 𝑛 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠, da primeira camada é sempre igual ao 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑐𝑎𝑚𝑎𝑑𝑎
ou igual a 𝑛, quando 𝑛 < 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑐𝑎𝑚𝑎𝑑𝑎. Para as camadas seguintes analisa-se, primeiramente:
𝑛 > Σ 𝑛 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 (180)
Em caso negativo, significa que não há mais barras para serem alocadas e, assim, o
𝑛 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 da camada atual e seguintes é igual a 0. Em caso afirmativo, verifica-se:
𝑛 − Σ 𝑛 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 > 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑐𝑎𝑚𝑎𝑑𝑎 (181)
Se for verdadeiro, significa que o número de barras a serem alocadas é maior que o
número de barras que podem ser inseridas numa única camada, então 𝑛 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 assume o valor
de 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑐𝑎𝑚𝑎𝑑𝑎. Se for falso, 𝑛 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 assume o valor de 𝑛 − Σ 𝑛 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 correspondente ao
número de barras que faltam ser inseridas.
Uma vez obtido Y, calcula-se a altura útil real pela equação:
𝑑𝑟𝑒𝑎𝑙 = ℎ − 𝑌 (182)
A altura útil estimada deve sempre ser menor ou igual à altura útil real, como mostrado
na Equação 183. A área de aço foi deduzida assumindo que o momento resistente seria igual ao
momento solicitante, caso a altura útil e, consequentemente, o braço de alavanca (a distância
entre as forças resistentes de compressão do concreto e de tração do aço) fossem realmente
menores do que a o suposto, o momento resistente real também seria menor que o hipotético (o
módulo do momento e o braço de alavanca são grandezas diretamente proporcionais, conforme
Equação 115, pondo a estrutura em risco.
𝑑𝑒𝑠𝑡 − 𝑑𝑟𝑒𝑎 ≤ 0 (183)
Se esta condição não for atendida, o texto “RECALCULAR!” aparece indicando que
se deve alterar a 𝑑𝑒𝑠𝑡 e/ou o 𝜙𝑙. Outra solução, não considerada no presente trabalho, seria
alterar as dimensões da viga.
Também se verifica a concentração da armadura, conforme
Figura 37 e Equação 184, obedecendo ao exposto na Equação 13. Ressalta-se que na
prática da construção civil, a barra da última camada seria locada próxima ao estribo, facilitando
o processo de armação.
126
𝑑𝑎𝑓𝑎 − 𝑌 = 0,1ℎ − (𝑐 + 𝜙𝑡 +
𝜙𝑙
2 + (𝐶𝑎𝑚𝑎𝑑𝑎𝑠 − 1) ∙ (𝑒𝑣 + 𝜙𝑙) − 𝑌) > 0 (184)
Figura 37 – Ilustração do cálculo do critério de concentração de armadura.
Fonte: Elaborado pela autora.
Se esta condição não for atendida, o texto “RECALCULAR!” aparece indicando que
se deve alterar 𝜙𝑙, diminuindo o número de camadas. Outra solução, não considerada no
presente trabalho, seria modificar as dimensões da viga.
Observa-se que este quadro do Excel foi desenvolvido para somente até 5 camadas.
Embora não tenha sido necessário, ele poderia ter sido implementado possibilitando maior
número de camadas.
A área de aço da armadura longitudinal é verificada pela Tabela 34.
Tabela 34 – Áreas de aço mínima e máxima para armadura longitudinal no dimensionamento de vigas, na
planilha Excel.
Fonte: Elaborado pela autora.
AsMÍN = 1,5 cm2
Asreal - AsMÍN = 12,57 OK!
AsMÁX = 40 cm2
AsMÁX - Asreal = 26,04 OK!
ARMADURA MÍNIMA E MÁXIMA
127
As áreas de armadura mínima e máxima longitudinal, 𝐴𝑠𝑀Í𝑁 𝑒 𝐴𝑠𝑀𝐴𝑋, são calculadas
conforme Equação 10 e Equação 9, respectivamente. O valor de 𝜌𝑚í𝑛, utilizado para concreto
de 25MPa, é de 0,15% .
Se a área de aço realmente empregada, 𝐴𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙, for maior que 𝐴𝑠𝑀Í𝑁 então:
𝐴𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙 − 𝐴𝑠𝑀Í𝑁 ≥ 0 (185)
O texto “OK!” aparece indicando que se está de acordo com a norma. Caso a Equação
185 não seja respeitada, deve-se empregar 𝐴𝑠 como sendo o valor de 𝐴𝑠𝑀Í𝑁 e recalcular o valor
de 𝐴𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙, 𝑛 e 𝑌.
Se a área de aço realmente empregada, 𝐴𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙, for menor que 𝐴𝑠𝑀Á𝑋 então:
𝐴𝑠𝑀𝐴𝑋 − 𝐴𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙 ≥ 0 (186)
Analogamente, o texto “OK!” aparece. Caso a Equação 186 não seja atendida, deve-
se reduzir 𝐴𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙. Salienta-se que esta hipótese não seria aplicável visto que já se está
dimensionando a viga com a menor área de aço, visando minimizar os custos. Outra solução
seria aumentar as dimensões da seção transversal da viga, entretanto, também não é viável sua
aplicação no presente trabalho pois contraria o objetivo do mesmo.
Armadura dupla
Quando for indicado armadura dupla na Tabela 31, aumenta-se o valor de 𝜙𝑙. Se até o
diâmetro de 3,2cm não for satisfeito o critério de ductilidade, então emprega-se armadura dupla.
As áreas de aço, tracionada e comprimida, da armadura longitudinal de uma seção
duplamente armada são calculadas pela Tabela 35.
128
Tabela 35 - Área de aço da armadura longitudinal para o dimensionamento de vigas duplamente armadas, na
planilha Excel.
Fonte: Elaborado pela autora.
O valor de x é calculado de forma que o limite de ductilidade seja respeitado, assim:
𝑥 = 0,45 ∙ 𝑑 (187)
Conforme explicitado anteriormente, observou-se que assumindo um valor inicial
excessivamente alto, o número de iterações é menor. Utiliza-se o valor de 1000, como primeiro
valor estimado da altura útil, 𝑑𝑒𝑠𝑡.
Os momentos fletores solicitantes, 𝑀1 e 𝑀2, são calculados de acordo com as
Equações 16 e 18, respectivamente.
A altura entre a borda mais comprimida e o centro de gravidade da armadura
longitudinal de compressão, 𝑑′, tem seu primeiro valor estimado como sendo:
𝑑′ = 𝑐 + 𝜙𝑡 +
𝜙𝑙′
2 (188)
Uma vez realizado todo o processo, substitui-se o valor de 𝑑′ pelo valor de 𝑑′𝑟𝑒𝑎𝑙
calculado, sucessivamente até que assumam os mesmos valores.
d esti.= 43,77 cm
x = 19,70 cm
M1 = 171,68 KN.m
M2 = 39,42 KN.m
d' = 4,13 cm
As1 = 11,00 cm2
As2 = 2,29 cm2
es = 2,77 %ₒ
σ' = 500,00 MPa
As = 13,29 cm2
As' = 2,29 cm2
φl = 2 cm
φl' = 1 cm
n = 5 barras
n' = 3 barras
As real = 15,71 cm2
As' real = 2,36 cm2
ARMADURA DUPLA
129
As áreas de aço 𝐴𝑠1 e 𝐴𝑠2 são obtidas conforme Equações 15 e 17, respectivamente.
O valor de deformação específica do aço, 𝑒𝑠′ é alcançado pela Equação 21.
A tensão do aço a compressão, 𝜎′, assume o valor de 500MPa quando 𝜀𝑠′ ≥ 10‰.
Caso contrário, é obtida pela Equação 20.
As áreas de aço 𝐴𝑠 e 𝐴𝑠′ são obtidas conforme Equações 14 e 19, respectivamente.
Os diâmetros da armadura longitudinal tracionada, 𝜙𝑙, e comprimida, 𝜙𝑙′, são
inseridos podendo assumir quaisquer valores conforme disponibilidade no mercado.
O número de barras de aço tracionada e comprimida, 𝑛 e 𝑛′, bem como as áreas reais
de aço resistentes à tração e à compressão, 𝐴𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙 e 𝐴𝑠′ 𝑟𝑒𝑎𝑙, respectivamente, são calculados
pelas Equações 163 e 164, respectivamente.
As disposições construtivas das armaduras longitudinais de uma seção duplamente
armada são calculadas pela Tabela 36.
Tabela 36 - Disposições construtivas das armaduras longitudinais de vigas duplamente armadas, na planilha
Excel.
Fonte: Elaborado pela autora.
eh1 = 2 cm
eh2 = 2 cm
eh3 = 2,28 cm
eMÍN = 2,28 cm
eh1cam nece = 4,28 cm
eh1cam disp = 10,74 cm
barracamada = 3 barra/camada
Camadas = 2 camadas
eh = 3,37 cm
ev1 = 2 cm
ev2 = 2 cm
ev3 = 0,95 cm
ev = 2 cm
ARMADURA TRACIONADA
eh1 = 2 cm
eh2 = 1 cm
eh3 = 2,28 cm
eMÍN = 2,28 cm
eh1cam nece = 3,28 cm
eh1cam disp = 11,74 cm
barracamada = 4 barra/camada
Camadas = 1 camadas
eh = 2,91 cm
ev1 = 2 cm
ev2 = 1 cm
ev3 = 0,95 cm
ev = 2 cm
ARMADURA COMPRIMIDA
130
Todas as informações necessárias para a disposição das barras de aço, das armaduras
tracionada e comprimida, para o detalhamento da seção, são calculadas como explicitado no
item anterior, Armadura longitudinal.
O centro de gravidade da armadura longitudinal tracionada é calculado pela Tabela 37.
Tabela 37 - Centro de gravidade da armadura longitudinal tracionada para o dimensionamento de vigas
duplamente armadas, na planilha Excel.
Fonte: Elaborado pela autora.
Todas as informações necessárias para a determinação do centro de gravidade da
armadura tracionada, verificando-se a concentração de armadura e comparando-se as alturas
úteis estimada e real, são calculadas como explicitado no item anterior, Armadura longitudinal.
O centro de gravidade da armadura longitudinal comprimida é calculado pela Tabela
38.
Camada n barras y
1 3 13,89
2 2 17,26
3 0 0,00
4 0 0,00
5 0 0,00
Y = 6,23 cm
d real = 43,77 cm
dafa-Y = 2,60 OK!
dest-drea = 0,00 OK!
ARMADURA TRACIONADA
CENTRO DE GRAVIDADE
131
Tabela 38 - Centro de gravidade da armadura longitudinal comprimida para o dimensionamento de vigas
duplamente armadas, na planilha Excel.
Fonte: Elaborado pela autora.
Para a armadura comprimida o centro de gravidade é obtido analogamente à armadura
tracionada, entretanto, considera-se a seção da viga disposta ao avesso, conforme Figura 38.
Ressalta-se que na prática da construção civil, a barra da última camada (armadura de
compressão) seria locada próxima ao estribo, facilitando o processo de armação.
Figura 38 - Seção transversal da viga duplamente armada, considerada para o cálculo do centro de gravidade da
armadura longitudinal comprimida.
Fonte: Elaborado pela autora.
Desta forma:
𝑑′𝑟𝑒𝑎𝑙 = 𝑌′ (189)
Camada n barras y
1 3 12,39
2 0 0,00
3 0 0,00
4 0 0,00
5 0 0,00
Y '= 4,13 cm
d' real = 4,13 cm
dafa-Y = 5,00 OK!
dest-drea = 0,00 OK!
ARMADURA COMPRIMIDA
CENTRO DE GRAVIDADE
132
Além disso, o valor de 𝑑′𝑟𝑒𝑎𝑙 deve ser menor que o de 𝑑′ pelo mesmo motivo que o
𝑑𝑟𝑒𝑎𝑙 necessita ser maior que o 𝑑𝑒𝑠𝑡 na armadura de tração, conforme explicitado no item
anterior, Armadura longitudinal.
A área de aço da armadura longitudinal tracionada é verificada pela Tabela 39.
Tabela 39 - Áreas de aço mínima e máxima para armadura longitudinal tracionada no dimensionamento de vigas
duplamente armadas, na planilha Excel.
Fonte: Elaborado pela autora.
Todas as informações necessárias para a determinação das áreas de aço mínima e
máxima da armadura tracionada, são calculadas como explicitado no item anterior, Armadura
longitudinal.
Controle de abertura de fissuras
A verificação referente ao limite de abertura de fissura é efetuada pela Tabela 40.
Tabela 40 - Verificação no estado limite de serviço de abertura de fissuras para o dimensionamento de vigas, na
planilha Excel.
Fonte: Elaborado pela autora.
AsMÍN = 1,5 cm2
Asreal - AsMÍN = 16,56 OK!
AsMÁX = 40 cm2
AsMÁX - Asreal = 26,65 OK!
ARMADURA MÍNIMA E MÁXIMA
Msdfre = 20,66 KN/m
xII = 14,83 cm
σsi = 123,3 MPa
σsiMÁX = 360 MPa
σsiMÁX - σsi = 236,7 OK!
s = 6,40 cm
smax = 8 cm
smax - s = 1,60 OK!
ABERTURA DE FISSURAS
133
O momento solicitante de projeto, 𝑀𝑠𝑑 𝑓𝑟𝑒, calculado para combinações frequentes de
serviço (no ELS), conforme Equação 2, é:
𝑀𝑠𝑑 𝑓𝑟𝑒 =
((𝑝 + 𝑔) + 0,4 ∙ 𝑙) ∙ 𝐿2
8 (190)
No estádio II, a altura da linha neutra, 𝑥𝐼𝐼, e a tensão de tração no centro de gravidade
da armadura, 𝜎𝑠𝑖, são calculadas pelas Equações 46 e 47, respectivamente.
Analisa-se então, se o controle da fissuração pode dispensar a verificação de abertura
de fissuras seguindo os critérios explicitados nas Equações 48 e 49. O espaçamento e a tensão
máximos na barra, 𝑠𝑀Á𝑋 𝑒 𝜎𝑠𝑖 𝑀Á𝑋, são encontrados na Tabela 17.2 da norma NBR 6118:2014
de acordo com o diâmetro 𝜙𝑙 adotado. O espaçamento entre eixos das armaduras, 𝑠, é calculado
conforme Equações 50 e 51. Dessa forma, verifica-se:
𝜎𝑠𝑖 𝑀Á𝑋 − 𝜎𝑠𝑖 > 0 (191)
𝑠𝑀Á𝑋 − 𝑠 > 0 (192)
Se ambas as Equações 191 e 192 forem verdadeiras, aparece o texto “OK”
dispensando-se o cálculo da abertura da fissura. Caso contrário, deve-se calcular o valor de 𝑤𝑘,
conforme Equações 42 e 43, para comparação com o valor de 𝑤𝑘 limite, obtido da Tabela 13.4
da norma NBR 6118:2014.
Armadura transversal
A área de aço da armadura transversal (estribos) e as disposições construtivas são
calculadas pela Tabela 41, adotando-se o Modelo I.
134
Tabela 41 - Área de aço da armadura transversal para o dimensionamento de vigas, na planilha Excel.
Fonte: Elaborado pela autora.
O valor de 𝛼𝑣2 é calculado conforme Equação 26, de acordo com a resistência
característica do concreto.
O valor de 𝑉𝑅𝑑2 é obtido pela Equação 25.
A verificação do esmagamento das bielas, apresentada na Equação 22, é feita
analisando-se a equação:
𝑉𝑅𝑑2 − 𝑉𝑠𝑑 > 0 (193)
Respeitando-se a Equação 193, surge a escrita “OK!” indicando que se pode
prosseguir com os cálculos. Caso contrário, a viga em questão deverá ser desconsiderada deste
estudo pois deve-se alterar as dimensões da seção transversal, aumentando-a.
O valor de 𝑓𝑐𝑡𝑑 é calculado conforme Equação 30, de acordo com a resistência
característica do concreto.
Os valores de 𝑉𝑐, 𝑉𝑠 𝑒 𝐴𝑠90/𝑚 são obtidos, respectivamente, pelas Equações 29, 28, e
27.
αv2 = 0,9
VRd2 = 247,70 KN
VRd2 - Vsd = 164,01 OK!
fctd = 1282,48 KN
Vc = 43,93 KN
Vs = 39,77 KN
As90/m = 2,14 cm2/m
nestribos/m = 4 estribos
As90/m real = 2,49 cm2/m
s = 25 cm
sMÁX = 29 cm
sMÁX - s = 4 OK!
nestribos/m = 4 estribos
As90/m real = 2,49 cm2/m
ARMADURA TRANSVERSAL
135
O número de estribos por metro de viga, 𝑛𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠/𝑚, necessário para se alcançar o
valor de 𝐴𝑠90/𝑚, é obtido pela razão entre a área de aço calculada e a área de aço de um estribo.
Ressalta-se que, um estribo apresenta dois ramos. Assim, 𝑛𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠/𝑚 assume o valor inteiro,
imediatamente superior caso haja casa decimal, ao obtido pela seguinte equação:
𝑛𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠/𝑚 =
𝐴𝑠90/𝑚
2 ∙ 𝜋 ∙ 0,632
4
(194)
A área de aço que será realmente empregada na armadura transversal por metro de
viga, 𝐴𝑠90/𝑚 𝑟𝑒𝑎𝑙, é calculada pelo produto do número de estribos empregados e área de aço de
um estribo, conforme seguinte equação:
𝐴𝑠90/𝑚 𝑟𝑒𝑎𝑙 = 𝑛𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠/𝑚 ∙
2 ∙ 𝜋 ∙ 0,632
4 (195)
O espaçamento entre estribos, por metro de viga, é o número inteiro imediatamente
inferior ao calculado pela equação:
𝑠 =
100
𝑛𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠/𝑚 (196)
A Figura 39 ilustra as disposições construtivas da armadura transversal.
Figura 39 - Disposições construtivas da armadura transversal em vigas.
Fonte: Elaborado pela autora.
O espaçamento máximo entre estribos, 𝑠𝑀Á𝑋, é obtido pelas Equações 37 e 38.
Verifica-se, então:
136
𝑠𝑀Á𝑋 − 𝑠 > 0 (197)
Se a Equação 197 não for verdadeira aparece o texto “REC N ESTRIBOS!” indicando
que o número de estribos deve ser recalculado de forma a respeitar o espaçamento máximo.
Assim, o novo valor de 𝑛𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠/𝑚 é o número inteiro imediatamente superior ao calculado
pela equação:
𝑛𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠/𝑚 =
100
𝑠𝑀Á𝑋
(198)
Uma vez que o valor de 𝑛𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠/𝑚 é alterado, a área de aço realmente utilizada para
a armadura transversal também deve ser recalculada utilizando-se a Equação 195. As duas
últimas linhas deste quadro são dedicadas ao recálculo do número de estribos e área real da
armadura transversal, por metro de viga, caso o espaçamento seja menor que o espaçamento
mínimo, entre estribos, necessário.
A área de aço da armadura transversal é verificada pela Tabela 42.
Tabela 42 - Área de aço mínima para armadura transversal no dimensionamento de vigas, na planilha Excel.
Fonte: Elaborado pela autora.
A área de aço mínima para armadura transversal por metro de viga, 𝐴𝑠𝑀Í𝑁90/𝑚, é
calculada conforme Equação 36.
Assim, deve-se atender:
𝐴𝑠90/𝑚 𝑟𝑒𝑎𝑙 − 𝐴𝑠𝑀Í𝑁90/𝑚 ≥ 0 (199)
O texto “OK!” surge indicando que a verificação foi atendida. Caso contrário, 𝐴𝑠90/𝑚
assume o valor de 𝐴𝑠𝑀Í𝑁90/𝑚 e deve-se recalcular os valores de 𝑛𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠/𝑚 e 𝐴𝑠90/𝑚 𝑟𝑒𝑎𝑙,
segundo Equações 194 e 195, respectivamente.
Alterações na planilha do Excel para a Situação 02 de estudo de vigas
Devido à complexidade de se elaborar fórmulas para o cálculo dos momentos e esforço
cortante máximos, optou-se por se utilizar o software Ftool extraindo diretamente estes valores.
AsMÍN 90/m = 1,23 cm2/m
As90/m real - AsMÍN 90/m = 1,26 OK!
ARMADURA MÍNIMA
137
Como não é possível a inserção de dois carregamentos uniformes, desenhou-se a estrutura da
viga conforme Figura 40.
Figura 40 - Viga contínua hiperestática, elaborada no software Ftool. Situação 02, estudo de vigas.
Fonte: Elaborado pela autora.
Dessa forma, o valor para o carregamento foi calculado manualmente utilizando as
combinações últimas normais, segundo Equação 1, e combinações de serviço com ações
frequentes, conforme Equação 2.
Sendo G e Q os valores pré-estabelecidos das cargas permanente e acidental,
respectivamente, o valor da carga P a ser inserida no Ftool para obtenção do momento fletor e
esforço cortante máximos no ELU, 𝑀𝑠𝑑 e 𝑉𝑠𝑑, bem como da carga 𝑃𝑓𝑖𝑠𝑠𝑢𝑟𝑎çã𝑜 para mensuração
do momento fletor máximo no ELS-W, 𝑀𝑠𝑑𝑓𝑟𝑒, podem ser calculadas de acordo com as
Equações 200 e 201.
𝑃 = 1,4 ∙ (𝐺 + 𝑄) (200)
𝑃𝑓𝑖𝑠𝑠𝑢𝑟𝑎çã𝑜 = 𝐺 + 0,4 ∙ 𝑄 (201)
Além disso, para o correto funcionamento do software é necessário estabelecer os
parâmetros do material e as propriedades da seção. Foi utilizado ‘Concreto isotópico’ como
material e seção retangular com 𝑏 = 200𝑚𝑚 e 𝑑 = 500𝑚𝑚. Ressalta-se que tais dados não
influenciam nos resultados dos momentos e esforço cortante!
Assim, as células que antes calculavam o momento e esforço cortante máximos no
Excel de acordo com as cargas aplicadas e comprimento do vão, pertencentes aos quadros
“Carregamento distribuído” e “Controle de abertura de fissuras”, devem ser preenchidas com
os valores obtidos pelo Ftool.
138
APÊNDICE F – Desenvolvimento da planilha no Excel para o dimensionamento de lajes
maciças
As áreas de aço e restrições impostas pelas normas para lajes armadas em duas
direções, foram calculadas e verificadas através de uma planilha elaborada no Excel. As
fórmulas utilizadas, dados e variáveis são explicados nos próximos subitens.
As células destacadas em vermelho devem ter o valor inserido, as destacadas em
amarelo são verificações que necessitam atender a norma, as que já apresentam valores
específicos são medidas fixas e explicitadas no item 4.2 CONSIDERAÇÕES, as em branco tem
o valor calculado pelo Excel por meio de fórmulas mostradas a seguir.
Dados de entrada
Os dados de entrada utilizados são ilustrados na Tabela 43.
Tabela 43 – Dados de entrada para o dimensionamento de lajes maciças armadas em 2 direções, na planilha
Excel.
Fonte: Elaborado pela autora.
Os valores de resistência característica do concreto à compressão, resistência
característica do aço à tração e cobrimento nominal, 𝑓𝑐𝑘, 𝑓𝑦𝑘 𝑒 𝑐, respectivamente, são valores
previamente definidos e explicitados nos itens 3.2.2 e 3.2.3.
O valor da altura, ℎ, da laje deve ser inserido na célula e é obtido pelo cálculo do pré-
dimensionamento dos diversos autores, de acordo com o estabelecido no capítulo 4.1 PRÉ-
DIMENSIONAMENTO CONFORME LITERATURA.
fck = 25 MPa
fyk = 500 Mpa
c = 2,5 cm
h = 10 cm
l0y = 600 cm
l0x = 400 cm
CASO = 4
DADOS DE ENTRADA
139
Os valores do maior e menor vão, de acordo com a planta de fôrmas, devem ser
introduzidos nas células 𝑙0𝑦 𝑒 𝑙0𝑥, respectivamente.
Por fim, deve-se inserir o número referente ao caso, segundo a Figura 28, de acordo
com os tipos de apoio que a laje apresenta.
Vãos efetivos
Os vão efetivos são calculados pela Tabela 44.
Tabela 44 – Vãos efetivos para o dimensionamento de lajes maciças armadas em 2 direções, na planilha Excel.
Fonte: Elaborado pela autora.
Todas as vigas de apoio apresentam base de 12cm. Dessa forma, os valores de 𝑡1
2 e
𝑡2
2
são iguais a 6cm.
A célula 0,3ℎ calcula o valor correspondente a 30% da altura ℎ adotada.
t1 /2 = 6 cm
0,3h = 0 cm
a1 = 0 cm
t2 /2 = 6 cm
0,3h = 0 cm
a2 = 0 cm
ly = 10 cm
t1 /2 = 6 cm
0,3h = 0 cm
a1 = 0 cm
t2 /2 = 6 cm
0,3h = 0 cm
a2 = 0 cm
lX = 10 cm
VÃOS EFETIVOS
Maior vão
Menor vão
140
O valor de 𝑎1 assume o menor resultado entre 𝑡1
2 𝑒 0,3ℎ, enquanto 𝑎2 assume o menor
resultado entre 𝑡2
2𝑒 0,3ℎ, conforme indicado nas Equações 53 e 54.
Os valores do menor e maior vãos efetivos, 𝑙𝑥 𝑒 𝑙𝑦, respectivamente, são calculados
segundo Equação 52.
Coeficiente 𝝀
O coeficiente 𝜆 é determinado pela Tabela 45.
Tabela 45 - Coeficiente 𝜆 para o dimensionamento de lajes maciças armadas em 2 direções, na planilha Excel.
Fonte: Elaborado pela autora.
O coeficiente 𝜆 é calculado conforme Equação 55.
Conforme as Equações 56 e 57, quando 𝜆 assume valor menor ou igual a 2, o texto
“BIDIRECIONAL!” aparece indicando que a laje deve ser armada nas duas direções. Caso
contrário, surge o texto “UNIDIRECIONAL” evidenciando que a armação deve ser feita em
apenas uma direção. No presente trabalho, somente será estudado lajes armadas nas duas
direções.
Carregamento distribuído
As cargas uniformemente distribuídas são apresentadas e calculadas pela Tabela 46.
Tabela 46 – Carregamento distribuído para o dimensionamento de lajes maciças armadas em 2 direções, na
planilha Excel.
Fonte: Elaborado pela autora.
λ = 1
TIPO DE ARMAÇÃO
BIDIRECIONAL!
g laje = 0 KN/m2
g reboco = 0,285 KN/m2
g contrapiso = 0,63 KN/m2
g cerâmica = 0,18 KN/m2
G = 1,095 KN/m2
Q = 2 KN/m2
CARREGAMENTO DISTRIBUÍDO
141
As cargas por m2 advindas dos pesos próprios, 𝑔, do concreto armado que constitui o
elemento estrutural, do reboco existente na face inferior da laje, do contrapiso e placas cerâmica
do revestimento do piso, na face superior, são calculados a partir de sua espessura, 𝑒, e peso
específico, 𝛾 , de acordo com a seguinte equação:
𝑔 = 𝑒 ∙ 𝛾 (202)
As espessuras do reboco, contrapiso e placa cerâmica são especificadas no item 4.2.4.
Considerando-se que o reboco foi executado com argamassa de cal, cimento e areia, o
contrapiso com argamassa de cimento e areia e o revestimento é constituído de placa artificial
com material cerâmico, os pesos específicos segundo a Tabela 1 da norma 6120:2019 são,
respectivamente, 19 kN/m3, 21 kN/m3 e 18 kN/m3.
A espessura da laje é o valor da altura ℎ, obtida pelos diversos métodos de pré-
dimensionamento, e o peso específico do concreto armado é de 25 kN/m3, conforme Tabela 1
da norma 6120:2019. Dessa forma, o peso próprio da laje é calculado de acordo com a equação:
𝑔𝑙𝑎𝑗𝑒 =
ℎ
100∙ 25 (203)
A carga permanente 𝐺 pode, então, ser obtida a partir do somatório das cargas
referentes ao peso próprio, conforme seguinte expressão:
𝐺 = 𝑔𝑙𝑎𝑗𝑒 + 𝑔𝑟𝑒𝑏𝑜𝑐𝑜 + 𝑔𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑝𝑖𝑠𝑜 + 𝑔𝑐𝑒𝑟â𝑚𝑖𝑐𝑎 (204)
De acordo com a Tabela 10 da norma 6120:2019, para ambiente utilizado como
escritório (definido no capítulo 4.2.4) a carga acidental, 𝑄, apresenta valor igual a 2 kN/m2.
Controle de deformações excessivas
As verificações referentes aos limites sensoriais visual e de vibração são efetuadas pela
Tabela 47.
142
Tabela 47 – Verificações do estado limite de serviço de deformação excessiva para o dimensionamento de lajes
maciças armadas em 2 direções, na planilha Excel.
Fonte: Elaborado pela autora.
O valor de 𝛼 é extraído automaticamente de uma planilha auxiliar contendo os dados
da Tabela 22, de acordo com o número do caso inserido no quadro ‘Dados de entrada’ e o
coeficiente 𝜆 calculado no quadro ‘Coeficiente 𝜆’.
O carregamento para o estado limite de serviço, 𝑝𝐸𝐿𝑆, é calculado conforme Equação
3.
O valor de 𝛼𝑖 é obtido pela Equação 70 de acordo com a resistência característica do
concreto.
O valor de 𝛼𝑒 é obtido pela Equação 72 para agregado graúdo em granito, conforme
especificação feita no item 4.2.2.
Os módulos de elasticidade inicial e secante do concreto, Ε𝑐𝑖 𝑒 Ε𝑠𝑒𝑐, são calculados de
acordo com as Equações 71 e 69, respectivamente.
A flecha imediata, 𝑓0, é calculada pela Equação 68.
α = 4,38
pELS = 4,395 kN/m2
αi = 0,863
αe = 1
Eci = 28000000 kPa
Esec = 24150000 kPa
f0 = 0,216581 cm
ε(t) = 2
ε(t0) = 0,592
αf = 1,408
f∞ = 0,521496 cm
fvisual = 1,624 cm
fvisual - f∞ = 1,102504 OK!
f0(q) = 0,098558 cm
fvibração = 1,16 cm
fvibração - f0(q) = 1,061442 OK!
ELS - DEF
143
Para o cálculo da flecha total, assume-se que o tempo 𝑡 apresenta valor superior a 70
meses, já que a estrutura deve ter vida útil (de projeto) no mínimo igual a 50 anos, segundo a
norma NBR 15575-1:2013. Dessa forma, o valor de 𝜀(𝑡) é 2, de acordo com a Equação 67.
O valor de 𝜀(𝑡0) é calculado conforme Equação 66 admitindo-se, simplificadamente,
𝑡0 como sendo o tempo de escoramento da laje, com valor igual a 21 dias (2130⁄ meses).
O coeficiente 𝛼𝑓 é obtido pela Equação 65.
A flecha total da laje, diferida no tempo, 𝑓∞, é calculada conforme Equação 63.
A flecha total considerando-se somente as cargas acidentais, 𝑓0(𝑞), é obtida pela
Equação 73.
Os valores dos limites admissíveis sensoriais, estabelecidos por norma, visual e de
vibração, 𝑓𝑣𝑖𝑠𝑢𝑎𝑙 𝑒 𝑓𝑣𝑖𝑏𝑟𝑎çã𝑜, são calculados de acordo com as Equações 61 e 62,
respectivamente.
Verifica-se então, se a flecha total apresenta valor inferior ao admissível. Caso a
diferença entre 𝑓𝑣𝑖𝑠𝑢𝑎𝑙 𝑒 𝑓∞ seja positiva, o texto “OK!” indica que se pode prosseguir com os
cálculos. Se a diferença for negativa, surge “RECALCULAR!” evidenciando que é necessário
alterar o valor da altura da laje. Neste caso, seria descartado o referente método de pré-
dimensionamento. Analogamente, efetua-se a verificação entre 𝑓𝑣𝑖𝑏𝑟𝑎çã𝑜 𝑒 𝑓0(𝑞).
Outras opções para a redução das deformações, não consideradas no presente estudo,
são a especificação de concreto com maior resistência, podendo ser inviável devido ao aumento
no custo, ou retardamento da retirada do escoramento, inexecutável a depender do cronograma
de obra.
Controle de fissuração
A verificação referente ao limite de formação de fissura é efetuada pela Tabela 48.
144
Tabela 48 - Verificações no estado limite de serviço de fissuração para o dimensionamento de lajes maciças
armadas em 2 direções, na planilha Excel.
Fonte: Elaborado pela autora.
O coeficiente 𝛼′ é definido para seção retangular, e assume valor igual a1.5.
A resistência a tração direta do concreto 𝑓𝑐𝑡 é calculada segundo Equação 77, de acordo
com a resistência característica do concreto.
O momento de inércia, 𝐼, de uma seção retangular pode ser definido pela seguinte
expressão (HIBBELER, 2005):
𝐼 =
𝑏 ∙ ℎ3
12 (205)
𝑏: base da seção;
ℎ: altura da seção.
Adotando-se base igual a 1m, o momento de inércia pode ser, simplificadamente,
calculado como:
𝐼 =
(ℎ100⁄ )3
12 (206)
A altura do centro geométrico da seção até a borda mais tracionada, 𝑦𝑡, é:
α'= 1,5
fct = 1795,475 kPa
I = 8,33E-05 m4/m
yt = 0,05 m
Mr = 4,488687 kN.m/m
μx+ = 4,81
μx- = 10,62
μy+ = 2,47
μy- = 8,06
Mx+ = 3,484625 kN.m/m
Mx- = 7,693704 kN.m/m
My+ = 1,789402 kN.m/m
My- = 5,839101 kN.m/m
Msd= 7,693704 kN.m/m
Mr - Msd = 0 OK!
ELS - F
145
𝑦𝑡 =
ℎ100⁄
2 (207)
O momento de fissuração, 𝑀𝑟, é calculado conforme Equação 75.
Os coeficientes 𝜇𝑥+, 𝜇𝑥−, 𝜇𝑦+, 𝜇𝑦− são extraídos automaticamente de uma planilha
auxiliar contendo os dados da Tabela 23, Tabela 24 e Tabela 25, de acordo com o número do
caso inserido no quadro ‘Dados de entrada’ e o coeficiente 𝜆 calculado no quadro ‘Coeficiente
𝜆.
Os valores dos momentos de serviço positivos e negativos (quando houver) para cada
direção, 𝑀𝑥+, 𝑀𝑥−, 𝑀𝑦+, 𝑀𝑦−, são calculados segundo as Equações 78, 79, 80 e 81.
O momento solicitante, 𝑀𝑠𝑑, assume o maior valor dos resultados obtidos para os
momentos 𝑀𝑥+, 𝑀𝑥−, 𝑀𝑦+, 𝑀𝑦−.
Finalmente, verifica-se se o momento de serviço apresenta valor inferior ao momento
de fissuração. Caso a diferença entre 𝑀𝑟 𝑒 𝑀𝑠𝑑, seja positiva, o texto “OK!” indica que se pode
prosseguir com os cálculos. Se a diferença for negativa, surge “ATENÇÃO!” evidenciando que
é necessária uma análise mais cuidadosa quanto ao estado limite de serviço pois haverá a
formação de fissuras, aumentando o valor calculado para a flecha total laje.
Armadura longitudinal
A área de aço da armadura longitudinal é efetuada pela Tabela 48, conforme a direção
das barras e o sentido de tração das fibras.
146
Tabela 49 - Cálculo da armadura longitudinal
positiva para o menor vão, no dimensionamento de
lajes maciças armadas em 2 direções, na planilha
Excel.
Figura 41 - Cálculo da armadura longitudinal positiva
para o maior vão, no dimensionamento de lajes
maciças armadas em 2 direções, na planilha Excel.
Fonte: Elaborado pela autora.
pELU = 7,833 kN/m2
Mx+ = 6,210481 kN.m
φlMAX= 1,25 cm
φlx+ = 0,63 cm
d = 7,185 cm
x = 0,742526 cm
x/d = 0,103344 OK!
As = 2,07377 cm2
n = 7 barras
As real = 2,18 cm2
e1 = 20 cm
e2 = 20 cm
eMÁX = 20 cm
eh = 13,65571 cm
eMÁX - e = 6,344286 OK!
n = 7 barras
As real = 2,18 cm2
AsMÍN = 1,005 cm2
Asreal - AsMÍN = 1,18 OK!
AsMÁX = 40 cm2
AsMÁX - As real = 37,82 OK!
ELU - Aramadura longitudinal
POSITIVA - MENOR VÃOpELU = 7,833 kN/m2
My+ = 3,189166 kN.m
φlMAX= 1,25 cm
φly+ = 0,63 cm
d = 6,555 cm
x = 0,410974 cm
x/d = 0,062696 OK!
As = 1,147791 cm2
n = 4 barras
As real = 1,25 cm2
e1 = 20 cm
e2 = 20 cm
eMÁX = 20 cm
eh = 24,37 cm
eMÁX - e = 1 OK!
n = 4 barras
As real = 1,25 cm2
AsMÍN = 1,005 cm2
Asreal - AsMÍN = 0,24 OK!
AsMÁX = 40 cm2
AsMÁX - As real = 38,75 OK!
ELU - Aramadura longitudinal
POSITIVA - MAIOR VÃO
kN.m/mkN.m/m
147
Figura 42 - Cálculo da armadura longitudinal
negativa para o menor vão, no dimensionamento de
lajes maciças armadas em 2 direções, na planilha
Excel.
Figura 43 - Cálculo da armadura longitudinal
negativa para o maior vão, no dimensionamento de
lajes maciças armadas em 2 direções, na planilha
Excel
Fonte: Elaborado pela autora.
O carregamento para combinações normais no ELU, 𝑝𝐸𝐿𝑈, é calculado conforme
Equação 1.
Os valores dos momentos solicitantes positivos e negativos (quando houver) para cada
direção, 𝑀𝑥+, 𝑀𝑥−, 𝑀𝑦+, 𝑀𝑦−, são calculados pelas Equações 78, 79, 80 e 81 substituindo o
valor de 𝑝𝐸𝐿𝑆 por 𝑝𝐸𝐿𝑈.
O diâmetro máximo, 𝜙𝑙𝑀Á𝑋, permitido por norma que pode ser empregado na
armadura longitudinal é obtido segundo Equação 86.
pELU = 7,833 kN/m2
Mx- = 13,71212 kN.m
φlMAX= 1,25 cm
φlx- = 0,63 cm
d = 8,185 cm
x = 1,487816 cm
x/d = 0,181774 OK!
As = 4,155258 cm2
n = 14 barras
As real = 4,36 cm2
e1 = 20 cm
e2 = 20 cm
eMÁX = 20 cm
eh = 6,512857 cm
eMÁX - e = 13,48714 OK!
n = 14 barras
As real = 4,36 cm2
AsMÍN = 1,5 cm2
Asreal - AsMÍN = 2,86 OK!
AsMÁX = 40 cm2
AsMÁX - As real = 35,64 OK!
ELU - Aramadura longitudinal
NEGATIVA - MENOR VÃO
pELU = 7,833 kN/m2
My- = 10,40675 kN.m
φlMAX= 1,25 cm
φly- = 0,63 cm
d = 8,185 cm
x = 1,106952 cm
x/d = 0,135242 OK!
As = 3,09156 cm2
n = 10 barras
As real = 3,12 cm2
e1 = 20 cm
e2 = 20 cm
eMÁX = 20 cm
eh = 9,37 cm
eMÁX - e = 10,63 OK!
n = 10 barras
As real = 3,12 cm2
AsMÍN = 1,5 cm2
Asreal - AsMÍN = 1,62 OK!
AsMÁX = 40 cm2
AsMÁX - As real = 36,88 OK!
ELU - Aramadura longitudinal
NEGATIVA - MAIOR VÃO
kN.m/m kN.m/m
148
Os diâmetros adotados para as armaduras longitudinais que suportam o momento
positivo na direção do menor e maior vão, bem como para as armaduras negativas de ambas as
direções, 𝜙𝑙𝑥+, 𝜙𝑙𝑦+, 𝜙𝑙𝑥−, 𝜙𝑙𝑦−, devem ser escolhidos e inseridos na célula correspondente.
O valor da linha neutra, 𝑥, é calculado conforme Equação 6.
A altura útil, 𝑑, assume diferentes valores de acordo com a direção e momento que se
está analisando. As Equações 208, 209, 210 e 211 apresentam as expressões de cálculo
utilizadas.
Para momento positivo na direção do menor vão:
𝑑 = ℎ − (𝑐 +
𝜙𝑙𝑥+
2) (208)
Para momento positivo na direção do maior vão:
𝑑 = ℎ − (𝑐 + 𝜙𝑙𝑥+ +
𝜙𝑙𝑦+
2) (209)
Para momento negativo na direção do menor vão:
𝑑 = ℎ − (𝑐′ +
𝜙𝑙𝑥−
2) (210)
Para momento negativo na direção do maior vão:
𝑑 = ℎ − (𝑐′ +
𝜙𝑙𝑦−
2) (211)
Os cobrimentos da face inferior e superior da laje, 𝑐 𝑒 𝑐′, assumem os valores de 2,5 e
1,5cm, respectivamente, conforme explicitado no item 4.2.3.
O critério de ductilidade deve ser verificado conforme a Equação 7. Se não for
respeitado, é necessário alterar o valor adotado da altura h pois em lajes não se emprega
armadura resistente a compressão, como no caso das vigas. Assim, no presente estudo, seria
descartado o referente método do pré-dimensionamento.
A área de aço necessária, 𝐴𝑠, é calculada conforme Equação 8. Deve-se atentar para a
minoração das resistências características do aço e do concreto quando as fórmulas usam os
valores de projeto, e não característicos, conforme Equações 4 e 5.
149
O número de barras de aço é obtido segundo Equação 163.
A área de aço realmente utilizada, 𝐴𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙, é dada pela Equação 164.
Os espaçamentos entre barras 𝑒1 𝑒 𝑒2 assumem os valores das Equações 90 e 91,
respectivamente.
O espaçamento máximo entre barras, 𝑒𝑀Á𝑋, admitido por norma é o menor dentre os
valores de 𝑒1 𝑒 𝑒2.
O espaçamento horizontal entre as barras longitudinais, desconsiderando os extremos
da laje, pode ser calculado por:
𝑒ℎ =
100 − 𝑛 ∙ 𝜙𝑙
𝑛 (212)
Quando a diferença entre o valor de 𝑒𝑀Á𝑋 𝑒 𝑒ℎ é positiva, respeita-se a norma e o texto
“OK!” indica que se deve prosseguir com os cálculos. Caso contrário, o número de barras é
recalculado assumindo o valor do número inteiro imediatamente superior ao calculado pela
expressão:
𝑛 =
100
𝑒𝑀Á𝑋
(213)
E a área de aço realmente utilizada, 𝐴𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙, também é recalculada considerando o novo
número de barras.
As áreas de armadura mínima e máxima longitudinal, 𝐴𝑠𝑀Í𝑁 𝑒 𝐴𝑠𝑀𝐴𝑋, são calculadas
conforme Equação 87 e Equação 9, respectivamente. O valor de 𝜌𝑚í𝑛, utilizado para concreto
de 25MPa, é de 0,15%. 𝜌𝑠 assume diferentes valores, conforme as Equações 214 e 215, segundo
a armadura em análise.
Para armadura positiva:
𝜌𝑠 = 0,67 ∙ 𝜌𝑚í𝑛 (214)
Para armadura negativa:
𝜌𝑠 = 𝜌𝑚í𝑛 (215)
Se a área de aço realmente empregada, 𝐴𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙, for maior que 𝐴𝑠𝑀Í𝑁 então:
150
𝐴𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙 − 𝐴𝑠𝑀Í𝑁 ≥ 0 (216)
O texto “OK!” aparece indicando que se está de acordo com a norma. Caso a Equação
216 não seja respeitada, deve-se empregar 𝐴𝑠 como sendo o valor de 𝐴𝑠𝑀Í𝑁 e recalcular o valor
de 𝐴𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙 e 𝑛.
Se a área de aço realmente empregada, 𝐴𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙, for menor que 𝐴𝑠𝑀Á𝑋 então:
𝐴𝑠𝑀𝐴𝑋 − 𝐴𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙 ≥ 0 (217)
Analogamente, o texto “OK!” aparece. Caso a Equação 217 não seja atendida, deve-
se reduzir 𝐴𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙. Salienta-se que esta hipótese não seria aplicável visto que já se está
dimensionando a lage com a menor área de aço, visando minimizar os custos. Outra solução
seria aumentar a espessura da laje, entretanto, também não é viável sua aplicação no presente
trabalho, pois contraria o objetivo do mesmo.
Armadura transversal
A desobrigação do emprego de estribos na laje é verificada pela Tabela 50.
Tabela 50 - Verificações para a dispensa de armadura transversal no dimensionamento de lajes maciças armadas
em 2 direções, na planilha Excel.
Fonte: Elaborado pela autora.
νx+ = 2,44
νx- = 4,23
νy+ = 1,83
νy- = 3,17
Vx+ = 7,759683 kN
Vx- = 13,45224 kN
Vy+ = 5,819762 kN
Vy- = 10,08123 kN
Vsd= 13,45224 kN
320,620 kPa
k = 1,52815 OK!
0,003037 OK!
VRd1 = 46,5205 kN
VRd1 - Vsd = 33,06826 OK!
Armadura transversal
151
Os coeficientes 𝜈𝑥+, 𝜈𝑥−, 𝜈𝑦+, 𝜈𝑦− são extraídos automaticamente de uma planilha
auxiliar contendo os dados da Tabela 26, Tabela 27 e Tabela 28, de acordo com o número do
caso inserido no quadro ‘Dados de entrada’ e o coeficiente 𝜆 calculado no quadro ‘Coeficiente
𝜆’.
Os esforços cortantes solicitantes 𝑉𝑥+, 𝑉𝑥−, 𝑉𝑦+ 𝑒 𝑉𝑦− são calculados conforme
equações 93, 94, 95 e 96, respectivamente.
O esforço cortante solicitante, 𝑉𝑠𝑑, assume o maior valor dentre os resultados obtidos
para os esforços 𝑉𝑥+, 𝑉𝑥−, 𝑉𝑦+ 𝑒 𝑉𝑦−.
A tensão resistente de cálculo do concreto ao cisalhamento, 𝜏𝑅𝑑, é calculada de acordo
com a Equação 98. Substituindo o valor de 𝑓𝑐𝑡𝑑, dado pela Equação 30, encontra-se:
𝜏𝑅𝑑 = 0,0375 ∙ √𝑓𝑐𝑘
23∙ 1000 (218)
Como se considera que as barras de aço da armadura longitudinal chegam ao apoio, o
valor de 𝑘, conforme Equação 99, é:
𝑘 = 1,6 −
𝑑
100 ≥ 1 (219)
onde se utiliza o valor da altura útil 𝑑 na mesma direção do 𝑉𝑠𝑑.
O coeficiente 𝜌1 é obtido pela Equação 100 empregando a área de aço realmente
utilizada, 𝐴𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙, calculada para a mesma direção do 𝑉𝑠𝑑.
O esforço cortante resistente de cálculo, 𝑉𝑅𝑑1, é calculado pela Equação 97. Uma vez
que não se utiliza protensão e a base é de 1m, a expressão pode ser simplificadamente escrita
como:
𝑉𝑅𝑑1 = 𝜏𝑅𝑑 ∙ 𝑘 ∙ (1,2 + 40𝜌1) ∙ 1 ∙
𝑑
100 (220)
152
Quando a diferença entre 𝑉𝑅𝑑1 e 𝑉𝑠𝑑 é positiva, o texto “OK!” indica que pode ser
dispensado o uso de estribos, conforme Equação 92. Caso contrário, deve-se dimensionar a
armadura transversal de acordo com o item Armadura transversal.
A verificação do esmagamento das bielas, apresentada na Equação 22, deve ser feita
conforme Equações 25 e 193.
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