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Introdução

Análise Combinatória é um conjunto de procedimentos que possibilita a construção degrupos diferentes formados por um número finito de elementos de um conjunto sobcertas circunstâncias.

Na maior parte das vezes, tomaremos conjuntos Z com m elementos e os gruposformados com elementos de Z terão p elementos, isto é, p será a taxa do agrupamento,com p<m.

Arranjos, Permutações ou Combinações, são os três tipos principais de agrupamentos,sendo que eles podem ser simples, com repetição ou circulares. Apresentaremos algunsdetalhes de tais agrupamentos.

Observação: É comum encontrarmos na literatura termos como: arranjar, combinar ou permutar, mas todo o cuidado é pouco com os mesmos, que às vezes são utilizados emconcursos em uma forma dúbia!

Arranjos

São agrupamentos formados com p elementos, (p<m) de forma que os p elementossejam distintos entre sí pela ordem ou pela espécie. Os arranjos podem ser simples oucom repetição.

Arranjo simples: Não ocorre a repetição de qualquer elemento em cada grupo de pelementos.

Fórmula: As(m,p) = m!/(m-p)!

Cálculo para o exemplo: As(4,2) = 4!/2!=24/2=12.

Exemplo: Seja Z={A,B,C,D}, m=4 e p=2. Os arranjos simples desses 4 elementostomados 2 a 2 são 12 grupos que não podem ter a repetição de qualquer elemento masque podem aparecer na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:

As={AB,AC,AD,BA,BC,BD,CA,CB,CD,DA,DB,DC}

Permutações

Quando formamos agrupamentos com m elementos, de forma que os m elementossejam distintos entre sí pela ordem. As permutações podem ser simples, com repetiçãoou circulares.

Permutação simples: São agrupamentos com todos os m elementos distintos.

Fórmula: Ps(m) = m!.

Cálculo para o exemplo: Ps(3) = 3!=6.

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Exemplo: Seja C={A,B,C} e m=3. As permutações simples desses 3 elementos são 6agrupamentos que não podem ter a repetição de qualquer elemento em cada grupo mas

podem aparecer na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:

P s={ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA}

Permutação com repetição: Dentre os m elementos do conjunto C={x1,x2,x3,...,xn},faremos a suposição que existem m1 iguais a x1, m2 iguais a x2, m3 iguais a x3, ... , mniguais a xn, de modo que m1+m2+m3+...+mn=m.

Fórmula: Se m=m1+m2+m3+...+mn, então

Pr(m)=C (m ,m1).C (m-m1 ,m2).C (m-m1-m2 ,m3) ... C (mn ,mn)

Anagrama: Um anagrama é uma (outra) palavra construída com as mesmas letras da palavra original trocadas de posição.

Cálculo para o exemplo: m1=4, m2=2, m3=1, m4=1 e m=6, logo: Pr(6)=C(6,4).C(6-4,2).C(6-4-1,1)=C(6,4).C(2,2).C(1,1)=15.

Exemplo: Quantos anagramas podemos formar com as 6 letras da palavra ARARAT. Aletra A ocorre 3 vezes, a letra R ocorre 2 vezes e a letra T ocorre 1 vez. As permutaçõescom repetição desses 3 elementos do conjunto C={A,R,T} em agrupamentos de 6elementos são 15 grupos que contêm a repetição de todos os elementos de C aparecendotambém na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:

Pr ={AAARRT,AAATRR,AAARTR,AARRTA,AARTTA,

AATRRA,AARRTA,ARAART,ARARAT,ARARTA,

ARAATR,ARAART,ARAATR,ATAARA,ATARAR}

Permutação circular: Situação que ocorre quando temos grupos com m elementosdistintos formando uma circunferência de círculo.

Fórmula: Pc(m)=(m-1)!

Cálculo para o exemplo: P(4)=3!=6

Exemplo: Seja um conjunto com 4 pessoas K={A,B,C,D}. De quantos modos distintosestas pessoas poderão sentar-se junto a uma mesa circular (pode ser retangular) pararealizar o jantar sem que haja repetição das posições?

Se considerássemos todas as permutações simples possíveis com estas 4 pessoas,teriamos 24 grupos, apresentados no conjunto:

Pc={ABCD,ABDC,ACBD,ACDB,ADBC,ADCB,BACD,BADC,

BCAD,BCDA,BDAC,BDCA,CABD,CADB,CBAD,CBDA,

CDAB,CDBA, DABC,DACB,DBAC,DBCA,DCAB,DCBA}

Acontece que junto a uma mesa "circular" temos que:

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ABCD=BCDA=CDAB=DABC

ABDC=BDCA=DCAB=CABD

ACBD=CBDA=BDAC=DACB

ACDB=CDBA=DBAC=BACD

ADBC=DBCA=BCAD=CADB

ADCB=DCBA=CBAD=BADC

Existem somente 6 grupos distintos, dados por:

Pc={ABCD,ABDC,ACBD,ACDB,ADBC,ADCB}

Combinações

Quando formamos agrupamentos com p elementos, (p<m) de forma que os p elementossejam distintos entre sí apenas pela espécie.

Combinação simples: Não ocorre a repetição de qualquer elemento em cada grupo de p

elementos.

Fórmula: C(m,p) = m!/[(m-p)! p!]

Cálculo para o exemplo: C(4,2)=4!/[2!2!]=24/4=6

Exemplo: Seja C={A,B,C,D}, m=4 e p=2. As combinações simples desses 4 elementostomados 2 a 2 são 6 grupos que não podem ter a repetição de qualquer elemento nem

podem aparecer na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:

Cs={AB,AC,AD,BC,BD,CD}

Número de Arranjos simples

Seja C um conjunto com m elementos. De quantas maneiras diferentes poderemosescolher p elementos (p<m) deste conjunto? Cada uma dessas escolhas será chamadaum arranjo de m elementos tomados p a p. Construiremos uma sequência com os melementos de C.

c1 , c2 , c3 , c4 , c5 , ... , cm-2 , cm-1 , cm

Cada vez que um elemento for retirado, indicaremos esta operação com a mudança dacor do elemento para a cor vermelha.

Para escolher o primeiro elemento do conjunto C que possui m elementos, temos m possibilidades. Vamos supor que a escolha tenha caído sobre o m-ésimo elemento de C.

c1 , c2 , c3 , c4 , c5 , ... , cm-2 , cm-1 , cm

Para escolher o segundo elemento, devemos observar o que sobrou no conjunto econstatamos que agora existem apenas m-1 elementos. Suponhamos que tenha sido

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retirado o último elemento dentre os que sobraram no conjunto C. O elemento retiradona segunda fase é o (m-1)-ésimo.

c1 , c2 , c3 , c4 , c5 , ... , cm-2 , cm-1 , cm

Após a segunda retirada, sobraram m-2 possibilidades para a próxima retirada. Do que

sobrou, se retirarmos o terceiro elemento como sendo o de ordem (m-2), teremos algoque pode ser visualizado como:

c1 , c2 , c3 , c4 , c5 , ... , cm-2 , cm-1 , cm

Se continuarmos o processo de retirada, cada vez teremos 1 elemento a menos do que nafase anterior. Para retirar o p-ésimo elemento, restarão m-p+1 possibilidades de escolha.

Para saber o número total de arranjos possíveis de m elementos tomados p a p, bastamultiplicar os números que aparecem na segunda coluna da tabela abaixo:

Retirada Número depossibilidades

1 m

2 m-1 3 m-2 ... ... p m-p+1

No.dearranjos

m(m-1)(m-2)...(m-p+1)

Denotaremos o número de arranjos de m elementos tomados p a p, por A(m,p) e a

expressão para seu cálculo será dada por:

A(m ,p ) = m(m-1)(m-2)...(m- p+1)

Exemplo: Consideremos as 5 vogais de nosso alfabeto. Quais e quantas são as possibilidades de dispor estas 5 vogais em grupos de 2 elementos diferentes? Oconjunto solução é:

{AE,AI,AO,AU,EA,EI,EO,EU,IA,IE, IO,IU,OA,OE,OI,OU,UA,UE,UI,UO}

A solução numérica é A(5,2)=5×4=20.

Exemplo: Consideremos as 5 vogais de nosso alfabeto. Quais e quantas são as possibilidades de dispor estas 5 vogais em grupos de 2 elementos (não necessariamentediferentes)?

Sugestão: Construir uma reta com as 5 vogais e outra reta paralela à anterior com as 5vogais, usar a regra do produto para concluir que há 5x5=25 possibilidades.

O conjunto solução é:

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{AA,AE,AI,AO,AU,EA,EE,EI,EO,EU,IA,IE,II,

IO,IU,OA,OE,OI,OO,OU,UA,UE,UI,UO,UU}

Exemplo: Quantas placas de carros podem existir no atual sistema brasileiro de trânsitoque permite 3 letras iniciais e 4 algarismos no final?

XYZ -1234

Sugestão: Considere que existem 26 letras em nosso alfabeto que podem ser dispostas 3a 3 e 10 algarismos que podem ser dispostos 4 a 4 e em seguida utilize a regra do

produto.

Número de Permutações simples

Este é um caso particular de arranjo em que p=m. Para obter o número de permutaçõescom m elementos distintos de um conjunto C, basta escolher os m elementos em uma

determinada ordem. A tabela de arranjos com todas as linhas até a ordem p=m, permitirá obter o número de permutações de m elementos

Denotaremos o número de permutações de m elementos, por P(m) e a expressão paraseu cálculo será dada por:

P(m) = m(m-1)(m-2) ... (m- p+1) ... 3 . 2 . 1

Em função da forma como construímos o processo, podemos escrever:

A(m ,m) = P(m) Como o uso de permutações é muito intenso em Matemática e nas ciências em geral,costuma-se simplificar a permutação de m elementos e escrever simplesmente:

P(m) = m!

Este símbolo de exclamação posto junto ao número m é lido como: fatorial de m, ondem é um número natural.

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Embora zero não seja um número natural no sentido que tenha tido origem nas coisas danatureza, procura-se dar sentido para a definição de fatorial de m de uma forma maisampla, incluindo m=0 e para isto podemos escrever:

0!=1

Em contextos mais avançados, existe a função gama que generaliza o conceito defatorial de um número real, excluindo os inteiros negativos e com estas informações

pode-se demonstrar que 0!=1.

O fatorial de um número inteiro não negativo pode ser definido de uma forma recursivaatravés da função P=P(m) ou com o uso do sinal de exclamação:

(m+1)! = (m+1).m! , 0! = 1

Exemplo: De quantos modos podemos colocar juntos 3 livros A, B e C diferentes emuma estante? O número de arranjos é P(3)=6 e o conjunto solução é:

P ={ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA}

Exemplo: Quantos anagramas são possíveis com as letras da palavra AMOR? O númerode arranjos é P(4)=24 e o conjunto solução é:

P ={AMOR,AMRO,AROM,ARMO,AORM,AOMR,MARO,MAOR,

MROA,MRAO,MORA,MOAR,OAMR,OARM,ORMA,ORAM,

OMAR,OMRA,RAMO,RAOM,RMOA,RMAO,ROAM,ROMA}

Número de Combinações simples

Seja C um conjunto com m elementos distintos. No estudo de arranjos, já vimos antesque é possível escolher p elementos de A, mas quando realizamos tais escolhas podeacontecer que duas coleções com p elementos tenham os mesmos elementos em ordenstrocadas. Uma situação típica é a escolha de um casal (H,M). Quando se fala casal, nãotem importância a ordem da posição (H,M) ou (M,H), assim não há a necessidade deescolher duas vezes as mesmas pessoas para formar o referido casal. Para evitar arepetição de elementos em grupos com a mesma quantidade p de elementos,introduziremos o conceito de combinação.

Diremos que uma coleção de p elementos de um conjunto C com m elementos é umacombinação de m elementos tomados p a p, se as coleções com p elementos não tem osmesmos elementos que já apareceram em outras coleções com o mesmo número p deelementos.

Aqui temos outra situação particular de arranjo, mas não pode acontecer a repetição domesmo grupo de elementos em uma ordem diferente.

Isto significa que dentre todos os A(m,p) arranjos com p elementos, existem p! dessesarranjos com os mesmos elementos, assim, para obter a combinação de m elementos

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tomados p a p, deveremos dividir o número A(m,p) por m! para obter apenas o númerode arranjos que contem conjuntos distintos, ou seja:

C (m ,p ) = A(m ,p ) / p!

Como

A(m ,p ) = m.(m-1).(m-2)...(m- p+1)

então:

C (m ,p ) = [ m.(m-1).(m-2). ... .(m- p+1)] / p!

que pode ser reescrito

C (m ,p )= [m.(m-1).(m-2)...(m- p+1)]/[(1.2.3.4....( p-1) p ]

Multiplicando o numerador e o denominador desta fração por

(m- p )(m- p-1)(m- p-2)...3.2.1

que é o mesmo que multiplicar por (m-p)!, o numerador da fração ficará:

m.(m-1).(m-2).....(m- p+1)(m- p )(m- p-1)...3.2.1 = m!

e o denominador ficará:

p! (m- p )!

Princípio fundamental da contagem

Se determinado acontecimento ocorre em n etapas diferentes, e se a primeira etapa podeocorrer de k1 maneiras diferentes, a segunda de k2 maneiras diferentes, e assimsucessivamente, então o número total T de maneiras de ocorrer o acontecimento é dado

por:

T = k1. k2 . k3 . ... . kn

Exemplo:

O DETRAN decidiu que as placas dos veículos do Brasil serão codificadas usando-se 3letras do alfabeto e 4 algarismos. Qual o número máximo de veículos que poderá ser licenciado?

Solução:

Usando o raciocínio anterior, imaginemos uma placa genérica do tipo PWR-USTZ.

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Como o alfabeto possui 26 letras e nosso sistema numérico possui 10 algarismos (de 0 a9), podemos concluir que: para a 1ª posição, temos 26 alternativas, e como pode haver repetição, para a 2ª, e 3ª também teremos 26 alternativas. Com relação aos algarismos,concluímos facilmente que temos 10 alternativas para cada um dos 4 lugares. Podemosentão afirmar que o número total de veículos que podem ser licenciados será igual a:26.26.26.10.10.10.10 que resulta em 175.760.000. Observe que se no país existissem

175.760.001 veículos, o sistema de códigos de emplacamento teria que ser modificado, já que não existiriam números suficientes para codificar todos os veículos.

Exercícios

Permutação

1-Com as vogais: A,E,I,O e U, quantas permutações podem ser formadas contendo asletras: A,E e I.

2-De quantos modos distintos podemos colocar 3 livros juntos em uma estante de

biblioteca?Auxílio: P(n)=n!, n=3Resposta: N=1×2×3=6

3-De quantos modos distintos 5 pessoas podem sentar-se em um banco de jardim com 5lugares?Auxílio: P(n)=n!, n=5/Resposta: N=1×2×3×4×5=120

4-Qual é o número possível de anagramas que se pode montar com as letras da palavraAMOR?Auxílio: P(n)=n!, n=4

Resposta: N=1×2×3×4=24

5-Quantos números com cinco algarismos podemos construir com os números ímpares1,3,5,7,9.Auxílio:Resposta: P(5)=120.

6-Quantos números com cinco algarismos podemos construir com os números ímpares1,3,5,7,9, desde que estejam sempre juntos os algarismos 1 e 3.Auxílio: Cada conjunto com os algarismos 13 e 31 forma um grupo que junto com osoutros, fornece 4 grupos.Resposta: N=2×P(4)=2×24=48

7-Consideremos um conjunto com n letras. Quantas permutações começam por umadeterminada letra?Resposta: N=P(n-1)=(n-1)!

8-Quantos são os anagramas possíveis com as letras: ABCDEFGHI?Resposta: P(9)=9!

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9-Quantos são os anagramas possíveis com as letras: ABCDEFGHI, começando por A?Resposta: P(8)=8!

10-Quantos são os anagramas possíveis com as letras: ABCDEFGHI, começando por AB?Resposta: P(7)=7!

Combinação simples

11-Um indivíduo possui 25 livros diferentes. De quantas formas distintas ele poderáempacotar tais livros em grupos de 6 livros?

12-Quantos grupos de 3 pessoas podem ser montados com 8 pessoas?Auxílio: C=C(m,p)=m!/[p!(m-p)!]; m=8,p=3Resposta: C=8!/(3!5!)=(8×7×6)/(1×2×3)=56

13-Quantos grupos de 2 pessoas podem ser montados com 1000 pessoas?Auxílio: C=C(m,p)=m!/[p!(m-p)!], m=1000, p=2Resposta: C=1000!/(2!998!)=1000×999=999000

14-Quantas combinações com 4 elementos podem ser montadas com as 10 primeirasletras do alfabeto?Conceito: CombinaçãoAuxílio: C=C(m,p)=m!/[p!(m-p)!], m=10, p=4Resposta: C=10!/(4!6!)=(10×9×8×7)/(1×2×3×4)=210

15-Quantas combinações com 4 elementos podem ser montadas com as 10 primeirasletras do alfabeto, de tal forma que sempre comecem pela letra A?Auxílio: C=C(m1,p1).C(m-m1,p-p1), m=10, p=4, m1=1, p1=1

Resposta: C=C(1,1).C(9,3)=(1×9×8×7)/6=8416-Quantas combinações com 4 elementos podem ser montadas com as 10 primeirasletras do alfabeto, de tal forma que sempre estejam juntas as letras A e B?Auxílio: C=C(m1,p1).C(m-m1,p-p1), m=10, p=4, m1=2, p1=2Resposta: C=C(2,2).C(8,2)=(1×8×7)/2=28

17-Quantas combinações com 4 elementos podem ser montadas com as 10 primeirasletras do alfabeto, de tal forma que não contenham nem as letras A e B?Auxílio: C=C(m1,p1).C(m-m1,p-p1), m=10, p=4, m1=2, p1=0Resposta: C=C(2,0).C(8,4)=(1×8×7×6×5)/24=70

18-Quantas combinações com 4 elementos podem ser montadas com as 10 primeirasletras do alfabeto, de tal forma que somente uma das letras A ou B esteja presente, masnão as duas?Auxílio: C=C(m1,p1).C(m-m1,p-p1), m=10, p=4, m1=2, p1=1Resposta: C=C(2,1).C(8,3)=(2×8×7×6)/6=112

19-Quantas combinações com 4 elementos podem ser montadas com as 10 primeirasletras do alfabeto, de tal forma que contêm 2 dentre as 3 letras A,B e C?

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Auxílio: C=C(m1,p1).C(m-m1,p-p1), m=10, p=4, m1=3, p1=2Resposta: C=C(3,2).C(7,2)=(3×7×6)/2=63

20-Em uma sala existem 40 pessoas, 18 mulheres e 22 homens. Quantas comissões podem ser montadas nesta sala contendo 3 mulheres e 5 homens?21-Calcular o valor de m tal que 5 C(m+1,3)=2 C(m+2,2).

Arranjo simples

22-Quantos números diferentes com 1 algarismo, podemos formar com os algarismos:0,1,2,3,4,5,6,7,8 e 9.Resposta: N1=A(9,1)=9

23-Quantos números distintos com 2 algarismos diferentes, podemos formar com osdígitos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.Auxílio: Os números iniciados por 0 não terão 2 dígitos e sua quantidade corresponde aA(9,1).Resposta: N2=A(10,2)-A(9,1)=10×9-9=90-9=81

24-Quantos números distintos com 3 algarismos diferentes, podemos formar com osdígitos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8 e 9.Auxílio: Os números iniciados por 0 não terão 3 dígitos e sua quantidade corresponde aA(9,2).?Resposta: N3=A(10,3)-A(9,2)=720-720=648

25-Quantos números distintos com 4 algarismos diferentes, podemos formar com:0,1,2,3,4,5,6,7,8 e 9.Auxílio: Os números iniciados por 0 não terão 3 dígitos e sua quantidade corresponde aA(9,3).

Resposta: N4=A(10,4)-A(9,3)=5040-504=453626-Quantos números distintos menores que 10000 podem ser formados com algarismosdiferentes da coleção: {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.Resposta: N=N1+N2+N3+N4=9+81+648+4536=5274

27-No sistema decimal de numeração, quantos números existem com 4 algarismos com2 algarismos repetidos?Auxílio: A quantidade de números distintos com 4 algarismos é 4536 e a quantidadetotal de números (com repetição ou não) com 4 algarismos é 9000.Resposta: N=9000-4536=4464

28-Com as 5 vogais: A,E,I,O,U, obter o conjunto solução que contém todos os arranjostomados 2 a 2.

29-Usando-se apenas os algarismos 1,3,5,7,9 quantos números com 3 algarismos podemser montados?Auxílio: A=A(m,p)=m!/(m-p)!, m=5, p=3Resposta: A=5!/2!=60

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30-Usando-se os algarismos 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 quantos números com 4 algarismos podem ser montados?Auxílio: A=A(m,p)=m!/(m-p)!, m=10, p=4Resposta: A=10!/6!=5040

31-Usando-se as 26 letras do alfabeto: A,B,C,D,...,Z quantos arranjos distintos com 3

letras podem ser montados?Auxílio: A=A(m,p)=m!/(m-p)!, m=26, p=3Resposta: A=26!/23!=26.25.24=15600

32-Com as 26 letras do alfabeto: A,B,C,D,...,Z e os algarismos 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,quantas placas de carros podem ser escritas contendo 3 letras seguidas de 4 algarismos?Auxílio: A=A(m,p)=m!/(m-p)!, m=26, p=3, n=10, q=4Resposta: A=(26!/23!).(10!/6!)=78624000

Questões:

01. (FUVEST) Considere todas as trinta e duas seqüências, com cincoelementos cada uma, que podem ser formadas com os algarismos 0 e 1.Quantas dessas seqüências possuem pelo menos três zeros em posiçõesconsecutivas?

a) 3b) 5c) 8d) 12e) 16

02. (VUNESP) De uma urna contendo 10 bolas coloridas, sendo 4 brancas, 3pretas, 2 vermelhas e 1 verde, retiram-se, de uma vez, 4 bolas. Quantos são oscasos possíveis em que aparecem exatamente uma bola de cada cor?

a) 120b) 72

c) 24d) 18e) 12

03. (MACK) Cada um dos círculos da figura ao lado deverá ser pintado comuma única cor, escolhida dentre quatro disponíveis. Sabendo-se que doiscírculos consecutivos nunca serão pintados com a mesma cor, então o númerode formas de se pintar os círculos é:

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a) 100

b) 240c) 729d) 2916e) 5040

04. (UEL) Um professor de Matemática comprou dois livros para premiar doisalunos de uma classe de 42 alunos. Como são dois livros diferentes, dequantos modos distintos pode ocorrer a premiação?

a) 861b) 1722

c) 1764d) 3444e) 242

05. (UNIV. EST. DE FEIRA DE SANTANA) O número de equipes de trabalhoque poderão ser formadas num grupo de dez indivíduos, devendo cada equipeser constituída por um coordenador, um secretário e um digitador, é:

a) 240b) 360

c) 480d) 600e) 720

06. (MACK) Os polígonos de k lados (k múltiplos de 3), que podemos obter com vértices nos 9 pontos da figura, são em número de:

a) 83b) 84c) 85d) 168e) 169

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07. (MACK) Um juiz dispõe de 10 pessoas, das quais somente 4 sãoadvogados, para formar um único júri com 7 jurados. O número de formas decompor o júri, com pelo menos 1 advogado, é:

a) 120b) 108c) 160d) 140e) 128

08. Do cardápio de uma festa constavam dez diferentes tipos de salgadinhosdos quais só quatro seriam servidos quentes. O garçom encarregado dearrumar a travessa e servi-la foi instruído para que a mesma contivesse sempresó 2 diferentes tipos de salgadinhos frios, e só 2 diferentes dos quentes. Dequantos modos diferentes, teve o garçom a liberdade de selecionar os

salgadinhos para compor a travessa, respeitando as instruções?

a) 90b) 21c) 240d) 38e) 80

09. (ITA) O número de soluções inteiras, maiores ou iguais a zero, da equaçãox + y + z + w = 5 é:

a) 36b) 48c) 52d) 54e) 56

10. (MACK) Dentre os anagramas distintos que podemos formar com n letras,das quais duas são iguais, 120 apresentam estas duas letras iguais juntas. Ovalor de n é:

a) 4b) 5c) 6d) 7c) 122

R esolução: