Analise Convexa
1. Conjuntos convexos
1.1. Casca convexa, ponto extremo, cone
2. Hiperplanos: suporte, separador, teorema da separacao
3. Funcoes convexas
4. Teoremas de funcoes convexas
5. Conjunto poliedral e politopo
6. Exercıcios
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Analise Convexa
Definicao Um conjunto C e dito ser afim se a reta que passa por dois pontos distintos
quaisquer em C esta em C
Definicao Dados dois pontos quaisquer p1, p2 ∈ C, e um escalar real α, denomina-se
αp1 + (1 − α)p2 ∈ C
uma combinacao afim de p1 e p2
Nota C e um conjunto afim se contem a combinacao afim de quaisquer dois pontos
em C
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Analise Convexa
Generalizacao Se C e um conjunto afim, p1, p2, . . . , pj ∈ C, e
jX
k=1
αk = 1, entao
α1p1 + α2p2 + · · · + αjpj ∈ C
Lema Se C e um conjunto afim e p0 ∈ C , entao o conjunto
G = C − p0 =
p − p0
˛˛˛˛
p ∈ C
ff
e um subespaco
Dem. Se G e um subespaco entao, G 6= ∅ e fechado sob as operacoes de soma e
multiplicacao por escalar. Suponha que g1, g2 ∈ G e µ, ν ∈ R, entao g1 + p0 ∈ C e
g2 + p0 ∈ C de modo que
µg1 + νg2 + p0 = µ (g1 + p0) + ν (g2 + p0) + (1 − µ − ν) p0 ∈ C
como C e afim, e µ + ν + (1 − µ − ν) = 1, conclui-se que µg1 + νg2 ∈ G pois
µg1 + νg2 + p0 ∈ C
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Analise Convexa
Nota O conjunto afim C pode ser escrito como um subespaco mais uma constante da
forma
C = G + p0 =
g + p0
˛˛˛˛
g ∈ G
ff
Definicao A dimensao de um conjunto afim C e a dimensao do subespaco
G = C − p0, sendo p0 um elemento qualquer de C
Exemplo C =˘x ∈ Rn | Ax = y, A ∈ Rm×n , y ∈ Rm
¯e um conjunto afim?
Considere x1, x2 ∈ C, entao para qualquer α,
A (αx1 + (1 − α)x2) = αA(x1) + (1 − α)Ax2
= αy + (1 − α)y
= y
o que mostra que a combinacao afim αx1 + (1 − α)x2 ∈ C.
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Conjunto Convexo
Definicao Um conjunto C e convexo se para qualquer par de pontos p1 e p2 em C, e
um escalar α ∈ [0, 1], a combinacao convexa dada por αp1 + (1 − α)p2 ∈ C
Nota Todo conjunto afim e convexo...
Generalizacao Qualquer ponto da forma
α1p1 + α2p2 + · · · + αjpj , sendo que
jX
k=1
= 1 e αj ≥ 0
e uma combinacao convexa dos pontos p1, · · · , pj
Nota Convexidade pode ser definida para qualquer subconjunto de um espaco vetorial
real ou complexo, inclusive o conjunto vazio
Exemplo Uma reta e afim
Exemplo Um segmento de reta (fechado) e convexo, mas nao afim (a nao ser que se
reduz a um ponto)...
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Conjuntos Convexos
Exemplo Um conjunto elipsoidal da forma
C =
p
˛˛˛˛
(p − pc)T P −1 (p − pc) ≤ 1, p ∈ Rn , P = P T � 0
ff
e convexo. pc e o centro do elipsoide ep
λ(P ) fornecem o tamanho dos semi eixos
Teorema
1. Se C e D sao conjuntos convexos entao C + D e convexo
2. Se C e um conjunto convexo entao
αC , {p2 | p2 = αp1; α ∈ R; p1 ∈ C} e convexo
3. A interseccao de uma colecao de conjuntos convexos e convexo
Dem. 3) Se p1, p2 ∈T
nCn entao p1, p2 ∈ Cn , ∀n. Como Cn e convexo, entao
para qualquer α ∈ [0, 1], αp1 + (1 − α)p2 ∈ Cn , ∀n. Portanto, ∀α ∈ [0, 1],
αp1 + (1 − α)p2 ∈T
nCn
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Casca Convexa
Definicao Dado um conjunto C qualquer, o menor conjunto convexo que contem C e
denominado casca convexa (e denotado por co{C})
C
Em outras palavras, a casca convexa de C e interseccao de todos os conjuntos convexos
contendo C. Ou a combinacao convexa de todos os pontos em C
Definicao ∀C 6= ∅, C ⊂ X , ∃ co{C} (sendo X um espaco vetorial)
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Vertices
Fato A combinacao convexa pode ser generalizada para n pontos em C
p =nX
i=1
αipi, αi ≥ 0 enX
i=1
αi = 1
p1
p2
p3
p4
Definicao Todo ponto p ∈ C ⊂ X tal que @p1, p2 ∈ C, p1 6= p2, que satisfaca
p = αp1 + (1 − α)p2, α ∈ (0, 1) e denominado ponto extremo ou vertice
Teorema Qualquer conjunto convexo e compacto e a casca convexa de seus vertices
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Cones
Definicao Um conjunto C e um cone se ∀p ∈ C e α ≥ 0 implica αp ∈ C
Definicao Um cone convexo e um cone + conjunto convexo, ie para qualquer
p1, p2 ∈ C e α1, α2 ≥ 0, α1p1 + α2p2 ∈ C
Nota O cone acima tem vertice em 0 e arestas cruzando os pontos p1 e p2
Exemplos
1. Cone:
2. Cone convexo?
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Cones
3. Conjunto das matrizes simetricas semidefinidas positivas
Sn� = {A ∈ Rn×n | A = AT , A � 0}
e um cone convexo: se α1, α2 ≥ 0 e B, C ∈ Sn� , entao α1B + α2C ∈ Sn
�
Veja que isto e um consequencia direta da caracterizacao de uma forma quadratica
semidefinida positiva. Por exemplo, para qualquer x ∈ Rn , entao
xT (α1B + α2C) x = xT α1Bx + xT α2Cx ≥ 0
se B � 0, C � 0, α1, α2 ≥ 0
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Hiperplanos ou Funcoes Afins
Definicao Denomina-se um hiperplano em X um conjunto
H =n
x ∈ X | pT x = b, 0 6= p ∈ X , b ∈ Ro
e p ⊥ H . Naturalmente a funcao afim pT x − b e nula em X
Para X = R2 e b = 1, se pT =h
1 1i
e H e o conjunto dos x ∈ R2 tal que gera-se
a reta na figura abaixo
〈p, x〉 = 1p
x
x
x
1
1
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Hiperplanos
Um hiperplano e um subespaco linear onde dim(H) =dim(X ) − 1. Exemplo: a
reta e um subespaco linear do R2...
Para x1, x2 ∈ H e α ≥ 0 → x3 = αx1 + (1 − α)x2 ∈ H ?
pT x3 = αpT x1 + (1 − α)pT x2 = αb + (1 − α)b = b
Um hiperplano divide o espaco em dois semi-espacos fechados:
H≤ =n
x ∈ X | pT x ≤ bo
e H≥ =n
x ∈ X | pT x ≥ bo
H≥ e o semi-espaco na direcao de p e H≤ na direcao de −p. Estes semi-espacos sao
convexos, porem nao-afins
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Hiperplanos Suporte
Definicao Um hiperplano H e denominado hiperplano suporte de um conjunto
convexo C, se C ⊂ H≤ (ou C ⊂ H≥) e H tem pontos em comum com B{C}
Em outras palavras, H e um hiperplano suporte de C se
1. inf{pT x | x ∈ C} = b (entao C ⊂ H≥)
2. ou sup{pT x | x ∈ C} = b (entao C ⊂ H≤)
x
C H
x ∈ B{C}
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Hiperplanos Suporte
Teorema Considere um conjunto convexo C ⊂ X . Se x 6∈ int{C} e int{C} 6= ∅
⇓
∃H : x ∈ H e C ⊂ H≤ ou C ⊂ H≥
C
x
xi
p
H
1. pT (xi − x) ≤ 0, ∀xi ∈ C ⇒ C ⊂ H≤
2. pT (xi − x) ≥ 0, ∀xi ∈ C ⇒ C ⊂ H≥
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Cone Dual
Definicao Considere um cone C. O conjunto
C∗ , {y | xT y ≥ 0, ∀x ∈ C}
e chamado cone dual de C
Interpretacao y ∈ C∗ sse −y e normal a um hiperplano que suporta C na origem
Cy
Note que o semi-espaco com o y normal e interno contem o cone C, entao y ∈ C∗
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Hiperplanos Separadores
Definicao Um hiperplano H e denominado hiperplano separador se para dois
conjuntos convexos C1 e C2 ∃H : C1 ⊂ H≤ e C2 ⊂ H≥
Os conjuntos sao estritamente separaveis se C1 ⊂ H< e/ou C2 ⊂ H>
C1
C1C1
C2
C2
C2H
H
H
+ Exemplo Se C1 = C2 = {0} ⊆ R, entao o hiperplano x = 0 separa C1 e C2
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Funcoes Convexas
Definicao Considere um conjunto convexo C. f : C 7→ R e denominada uma funcao
convexa se ∀x1, x2 ∈ C e ∀α ∈ [0, 1]
f(αx1 + (1 − α)x2) ≤ αf(x1) + (1 − α)f(x2)
Considerando desigualdade estrita, entao f e estritamente convexa
f e concava se −f e convexa
f(x1)
f(x2)
x1 x2
αf(x1) + (1 − α)f(x2)
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Funcoes Convexas
Definicao Considere um conjunto convexo C. f : C 7→ R e denominada uma funcao
quasi-convexa se ∀x1, x2 ∈ C e ∀α ∈ (0, 1)
f(αx1 + (1 − α)x2) ≤ max{f(x1), f(x2)}
Teorema Se f : C1 7→ R e g : C2 7→ R sao convexas sobre os conjuntos convexos C1
e C2 entao
1. αf e convexa em C1, ∀α ≥ 0
2. f + g e convexa em C1
TC2
Teorema C e f : C 7→ R convexos.
f
X
k
αkxk
!
≤X
k
αkf(xk), xk ∈ C, αk ≥ 0,X
k
αk = 1
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Mınimo de Funcao Convexa
Teorema Considere um conjunto convexo nao-vazio C ⊂ X e f : C 7→ R uma funcao
convexa. Entao
1. f e contınua no int{C}
2. O conjunto C ⊂ C no qual f atinge seu mınimo e convexo
3. Qualquer mınimo local e tambem mınimo global de f
Dem. 3) Suponha que x∗ ∈ C e um mınimo local de f e que ∃x ∈ C tal que
f(x) < f(x∗). Sobre o seguimento αx + (1 − α)x∗ , 0 < α < 1, obtem-se
f (αx + (1 − α)x∗) = f (x∗ + α(x − x∗)) ≤ f(x∗)+α (f(x) − f(x∗))| {z }
<0
< f(x∗)
o que contradiz, para α → 0+, que x∗ e um mınimo local
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Teoremas de Funcoes Convexas
Teorema Considere f ∈ C1. Entao f e convexa sobre um conjunto convexo C sse
f(x) ≥ f(y) + ∇f(y)T (x − y), ∀x, y ∈ C
onde ∇f(y) = {∂f/∂yi}, i = 1, . . . , n e o vetor gradiente
f
f(y)f(y) + ∇f(y)T (x − y)
xy
Teorema Considere f ∈ C2. Entao f e convexa sobre um conjunto convexo C sse
∇2f(x) < 0, em C. Onde ∇2f(x) =
∂2f
∂xi∂xj
ff
, i, j = 1, . . . , n e a matriz
Hessiana
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Teoremas de Funcoes Convexas
Teorema Considere f ∈ C1, uma funcao convexa sobre o conjunto convexo
nao-vazio C. Se existe um ponto x∗ ∈ C tal que
∇f(x∗)T (x − x∗) ≥ 0, ∀x ∈ C
entao x∗ e um mınimo global de f em C
Se f for estritamente convexa, ie
f(x) > f(y) + ∇f(y)T (x − y), x, y ∈ C, x 6= y
entao x∗ ∈ C, tal que ∇f(x∗)T (x − x∗) > 0 e um mınimo global estrito de f em C
c©Reinaldo M. Palharespag.21 Fund. Controle Robusto via Otimizacao – Bloco 2
Conjunto Poliedral
Definicao A interseccao de um numero finito de subespacos fechados e denominado
conjunto poliedral
Exemplo C ,˘x | Ax ≤ y, x ∈ Rn , y ∈ Rm , A ∈ Rm×n
¯
Nota Conjuntos poliedrais sao convexos e fechados, mas podem nao ser limitados
Definicao Um conjunto poliedral limitado e denominado politopo
Em outras palavras, um politopo e a casca convexa de um conjunto finito de vertices
Portanto todo elemento no politopo pode ser gerado pela combinacao convexa dos seus
vertices
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Desigualdades Matriciais Lineares – LMIs
Denomina-se uma desigualdade matricial linear (LMI) em x a descricao:
A(x) = x1A1 + x2A2 + · · · + xnAn � B
onde B, Ai ∈ Sn =˘X ∈ Rn×n | X = XT
¯, i = 1, . . . , n
Note a grande similaridade com uma desigualdade linear,
aT x = x1a1 + x2a2 + · · · + xpap ≤ b, b, ai ∈ R
Nota O conjunto solucao de uma LMI, ie {x ∈ Rn | A(x) � B} e convexo
Por que? Definindo-se uma funcao afim f : Rn 7→ Sn , da forma
f(x) = B − A(x), entao {x | f(x) ∈ C ⊆ Sn�} = {x ∈ Rn | B − A(x) ∈ Sn
�} e
a imagem inversa do cone das matrizes semi-definidas positivas, que e convexo...
Nota A imagem e {f(x) | x ∈ C ⊆ Rn}...
c©Reinaldo M. Palharespag.23 Fund. Controle Robusto via Otimizacao – Bloco 2
Politopo
Exemplo Politopo: P = co{v1, v2, . . . , v5}
v1
v2
v3
v4
v5
p1
p2
Todo p ∈ P e escrito da forma: p =P5
i=1αivi, αi ≥ 0,
P5
i=1αi = 1
Da figura,
p1 =1
2v1 +
1
2v2 + 0v3 + 0v4 + 0v5
p2 =1
3v1 +
1
3v2 + 0v3 +
1
3v4 + 0v5
p2 =1
3v4 +
2
3p1
c©Reinaldo M. Palharespag.24 Fund. Controle Robusto via Otimizacao – Bloco 2
Um problema de otimizacao padrao
minx
x2 =h
0 1i
2
4x1
x2
3
5 = cT x
s.a
8
>><
>>:
− 1
2x1 + x2 ≥ 6
x1 + 0x2 ≥ 4 ,
0x1 + x2 ≥ 1
8
<
:
x1 + 0x2 ≤ 8
0x1 + x2 ≤ 5
x1
x2
0
1
4
5
6
8 12
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Estendendo os conceitos
Suponha que a matriz A ∈ P onde P e um politopo, ie P = co{A1, A2, . . . , Aκ}
em outras palavras P ,˘A | A =
Pκ
i=1αiAi, αi ≥ 0,
Pκ
i=1αi = 1
¯
Entao para o problema de otimizacao:
minX
Traco{X}
s.a X ∈ Ri, i = 1, . . . , κ
sendo Ri ,n
X | AiXBC + (AiXBC)T + Q 4 0, Q = QT , ∃C−1o
Geram-se κ restricoes sendo que os vertices do politopo sao elementos matricias !!
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Exercitando a fe ...
Exercıcio 1. Mostre que qualquer norma e uma funcao convexa.
Exercıcio 2. Considere um escalar nao-negativo, λ, e define-se o seguinte conjunto:
K = {A = AT ∈ Rn×n | A < λI}
Suponha que A ∈ B{K} onde B{·} denota a fronteira de um conjunto {·}.
1. Caracterize o espectro de A
c©Reinaldo M. Palharespag.27 Fund. Controle Robusto via Otimizacao – Bloco 2
... e concretizando-a
Exercıcio 3. Considere uma matrix positiva semi-definida Y ∈ Cn×n . Mostre que o
conjunto˘X ∈ Cn×n | X < Y
¯e um cone convexo em Cn×n . (Dica: mostre que o
conjunto e convexo para entao mostrar que e um cone)
Exercıcio 4. Mostre que o problema de otimizacao a seguir e convexo:
minP
Traco{P }
s.a P ∈ L
onde L ,˘P | AT P + P A ≺ 0, P = P T , P ∈ Rn×n , A ∈ Rn×n
¯
c©Reinaldo M. Palharespag.28 Fund. Controle Robusto via Otimizacao – Bloco 2
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