ISEP – ALGAN – EMECAN 1
Conteúdo
3.1 Resolução pelo método da condensação
3.2 Sistemas de Cramer
3.3 Sistemas homogéneos
3.4 Discussão de sistemas com parâmetros
3.5 Exercícios de conclusão do capítulo
Capítulo 3 – Sistemas de Equações
Lineares
ISEP – ALGAN – EMECAN 2
3.1 Resolução pelo método da condensação
Exercícios resolvidos
1. Considere o seguinte sistema, nas incógnitas 1x , 2x e 3x : 1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 031
x x xx x x
x x x
+ + =⎧⎪ − + =⎨⎪− − − =⎩
.
1.1 Represente-o matricialmente.
1.2 Classifique o sistema.
1.3 Resolva-o pelo método da condensação.
Resolução:
1.1 A representação matricial de qualquer sistema corresponde à igualdade: =AX B sendo:
A - matriz dos coeficientes;
X - matriz das incógnitas;
B - matriz dos termos independentes.
Sendo assim, vem:1
2
3
2 1 1 01 1 1 31 1 1 1
xxx
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− × =⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
.
1.2 A classificação do sistema é feita através da comparação das características da matriz dos
coeficientes e da matriz completa do sistema 2 1 1 01 1 1 31 1 1 1
⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥− − −⎣ ⎦
A .
Para determinarmos essas características, usamos o já conhecido método da condensação.
Se tivermos o cuidado de não trocar a coluna dos termos independentes para o meio das
outras colunas, podemos determinar em simultâneo a ( )car A e ( )car A .
22 2 11 2 2 33 3 1
2 1 1 0 1 1 1 3 1 1 1 31 1 1 3 2 1 1 0 0 3 1 61 1 1 1 1 1 1 1 0 2 0 4
1 1 1 30 1 3 60 0 2 4
L L LL L C CL L L← −↔ ↔← +
− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − − − − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
−⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
∼ ∼ ∼
∼
Logo ( ) ( ) 3car car= =A A . Então o sistema é possível e determinado, porque há 3 incógnitas.
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1.3 Se durante a condensação não fizermos operações com colunas, a não ser trocar a ordem,
podemos extrair a matriz condensada de um sistema equivalente ao dado; logo, com as
mesmas soluções. Neste caso, e tendo em conta a alínea b), só foi efectuada a troca da coluna
2 com a coluna 3. Assim sendo, a coluna 2 da matriz condensada corresponde a 3x e a coluna
3 a 2x .
Extraindo o sistema da matriz condensada, vem:
1 3 2 1 3 2 1
3 2 3 2
32 2
3 3 13 6 0 2
02 4 2
x x x x x x xx x x x
xx x
+ − = + − = =⎧ ⎧ ⎧⎪ ⎪ ⎪− + = − ⇔ − = ⇔ = −⎨ ⎨ ⎨⎪ ⎪ ⎪ =− = = − ⎩⎩ ⎩
Solução: ( ){ }1, 2,0− .
2. Considere o seguinte sistema nas incógnitas 1x , 2x , 3x e 4x :
1 2 3 4
1 2 3 4
1 4
2 3 4
02 3
2 33 3
x x x xx x x xx xx x x
− + − =⎧⎪ − + + =⎪⎨− − = −⎪⎪− + − = −⎩
.
2.1 Classifique o sistema.
2.2 Resolva-o pelo método da condensação e indique uma solução particular.
Resolução:
2.1 Vamos fazer a condensação, tal como foi explicado no exercício anterior.
22 2 1 3 3 23 3 1 4 4 2
1 1 1 1 0 1 1 1 1 02 1 1 1 3 0 1 1 3 3
1 0 0 2 3 0 1 1 3 30 1 1 3 3 0 1 1 3 3
1 1 1 1 00 1 1 3 3
0 0 0 0 00 0 0 0 0
L L L L L LL L L L L L
← − ← +← + ← +
− − − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − − − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦
− −⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
∼ ∼
∼
( ) ( ) 2car car= =A A . Logo o sistema é possível e duplamente indeterminado, porque há 4
incógnitas.
2.2 Incógnitas principais: 1x e 2x .
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 3 4 1 4
2 3 42 3 4 2 3 4 2 3 4
3 33 3 3 3 3 3
4 44 4 4 4 4 4
0 3 3 23 33 3 3 3 3 3
x x x x x x x x x x k k k k x kx k kx x x x k k x k kx kx k x k x kx kx k x k x k
− + − = = − + = + − − + = −⎧ ⎧ ⎧ ⎧⎪ ⎪ ⎪ ⎪ = + −− + = = + − = + −⎪ ⎪ ⎪ ⎪⇔ ⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨ ⎨ == = =⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ == = = ⎩⎩ ⎩ ⎩
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Fazendo 3 0k = e 4 1k = tem-se uma solução particular que é dada por: ( ){ }1,0,0,1 .
Exercícios propostos
1. Considere o sistema nas incógnitas 1x , 2x , 3x e 4x : 1 2 3 4
2 3 4
1 2 3 4
02 02 2 2
x x x xx x xx x x x
− − − =⎧⎪ + + =⎨⎪ + + + =⎩
.
1.1 Escreva o sistema na forma matricial.
1.2 Verifique que são solução do sistema dado:
1.2.1 ( )1 1, 1,0,2s = − ;
1.2.2 ( )2 1, 1,1,1s = − .
1.3 Tendo em atenção a alínea anterior, como pode classificar o sistema?
1.4 Verifique que ( )3 1, 1,1, 1s = − − , não é solução do sistema dado.
1.5 Verifique se o conjunto solução do sistema dado pode ser representado por
( ){ }1, 1, , 2 ,S k k k= − − ∈ . Qual o grau de indeterminação do sistema?
1.6 Escreva um sistema equivalente ao anterior.
1.7 Acrescente uma linha ao sistema dado de forma a obter um sistema impossível.
2. Usando o método da condensação, resolva os sistemas:
2.1
1 2 3 4
1 3 4
1 2 3 4
1 3
12 0
2 32 3 3
x x x xx x x
x x x xx x
+ − + =⎧⎪ + + =⎪⎨ + + − =⎪⎪ + = −⎩
2.2
2 3 13 22 3 2 1
2 0
x y zx y zx y z
x y z
+ − =⎧⎪ − − =⎪⎨ − + =⎪⎪ − + =⎩
2.3
1 2 3 4
1 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
12 0
2 2 15 1
x x x xx x x
x x x xx x x x
+ + + =⎧⎪ + − =⎪⎨ + + − =⎪⎪ − + − = −⎩
3. Considere o sistema
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 2 12
42 2 4
x x x xx x x xx x x x
x x x x
+ + − =⎧⎪ + + − =⎪⎨ − + + = −⎪⎪ + − + =⎩
.
3.1 Prove que o sistema não é um sistema possível e determinado.
3.2 Determine a solução geral do sistema usando o método da condensação.
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Exercícios suplementares
1. Considere as matrizes 1 1 20 4 22 2 2
−⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
A e 324
⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
B . Determine a matriz X que verifica:
=AX B .
2. Considere as matrizes 1 1 22 1 7
−⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
X e 112
⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Y . Resolva a equação matricial em ordem
a Z : T− =Y X Z O .
3. Considere o seguinte sistema de equações: 2 3
2 3 85 7
x y zx y zx z
+ − =⎧⎪ + + =⎨⎪− − = −⎩
.
3.1 Resolva-o, utilizando o método da condensação.
3.2 Com base nos cálculos anteriores diga, justificando, se o sistema homogéneo obtido a
partir do sistema dado, por substituição dos termos independentes, admite como única
solução a solução nula.
Soluções:
1.1
1
2
3
4
1 1 1 1 00 2 1 1 02 2 1 1 2
xxxx
⎡ ⎤− − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎣ ⎦
1.3 Sistema possível e indeterminado.
1.5 Sistema possível e simplesmente indeterminado (um grau de indeterminação) (SPI).
2.1 Sistema Impossível (SI)
2.2 Sistema Possível e Determinado (SPD). 5 3 4, ,11 11 11
S ⎧ ⎫⎛ ⎞= − −⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭
2.3 Sistema Possível e Duplamente Indeterminado (SP2I).
( ){ }2 1 2 1 2 1 22 ,1 3 , , ; ,S k k k k k k k= − − ∈
3.2 Sistema Possível e Indeterminado (SPI). ( ){ }, 3, 1, ;S k k k k k= − + − ∈ .
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4. Considere o seguinte sistema de equações lineares:
1 3 4
1 2 4
1 2 4
1
0
1
x x x
x x x
x x x
+ + =
+ − =
− + =
⎧⎪⎨⎪⎩
.
4.1 Sem efectuar cálculos, diga que considerações podem sem feitas quanto à
classificação do sistema dado. Justifique convenientemente cada afirmação.
4.2 Discuta e resolva, se possível, o sistema dado pelo método da condensação.
Soluções:
1. 5 3 1 ,2 2
Tk k k k− −⎡ ⎤= ∈⎢ ⎥⎣ ⎦X
2. 10⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦
Z
3.1 SPI. ( ){ }7 5 , 2 3 , ;S k k k k= − − + ∈
3.2 Não. ( ){ }5 ,3 , ;S k k k k= − ∈
4.2 SPI. 1 2 1 1 2, , , ;2 2 2
k kS k k⎧ ⎫− −⎛ ⎞= ∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭
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3.2 Sistemas Cramer
Exercícios resolvidos
1. Considere o sistema 1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 031
x x xx x x
x x x
+ + =⎧⎪ − + =⎨⎪− − − =⎩
.
1.1 Prove que é um sistema de Cramer.
1.2 Resolva-o por igualdade matricial.
1.3 Confirme o valor de 3x , aplicando igualdades de Cramer.
Resolução:
1.1 Para que um sistema seja de Cramer, tem de satisfazer duas condições:
• nº de equações = nº de incógnitas – Verifica-se.
• 0≠A - Neste caso temos 2 1 11 1 1 2 01 1 1
= − = ≠− − −
A
1.2 Da igualdade matricial =AX B , obtém-se 1−=X A B , pois existe 1−A , uma vez que
0≠A .
1º Calcular 1−A . Aplicando o já conhecido método da condensação, obtemos:
11 0 10 1 2 1 2 1 1 2 3 2
−⎡ ⎤⎢ ⎥= − −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦
A .
2º Efectuar o produto: 1 0 1 0 10 1 2 1 2 3 21 1 2 3 2 1 0
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − − × = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
X .
1.3 As igualdades de Cramer, permitem calcular cada incógnita através de um quociente de
dois determinantes: ,ii
cx iΔ= ∀Δ
, em que cΔ é o determinante da matriz dos coeficientes do
sistema e iΔ é o determinante correspondente à incógnita ix e que é obtido do determinante
da matriz dos coeficientes substituindo a coluna da incógnita i pela coluna dos termos
independentes.
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Então, neste caso: 33
cx Δ=Δ
, sendo:
3
2 1 01 1 3 01 1 1
Δ = − =− −
e 2 1 11 1 1 21 1 1
cΔ = − =− − −
(já anteriormente calculado). Então
30 02
x = = .
Exercícios propostos
1. Considere o seguinte sistema de equações lineares:
1
2 0
2 0
x y z
y z
x z
+ − =
+ =
+ =
⎧⎪⎨⎪⎩
.
1.1 Prove que o sistema é de Cramer.
1.2 Resolva-o usando as fórmulas de Cramer.
1.3 Resolva-o usando igualdade matricial.
2. Considere o sistema 2 1
5 4 03 2 2
x y zx y zx y z
+ − =⎧⎪− + − =⎨⎪ − + =⎩
.
2.1 Prove que o sistema é de Cramer.
2.2 Resolva o sistema, usando as fórmulas de Cramer.
Soluções:
1.2 4 1 2, ,7 7 7
S ⎧ ⎫⎛ ⎞= −⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭
2.2 1 1 1, ,2 2 2
S ⎧ ⎫⎛ ⎞= ⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭
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Exercícios suplementares
1. Considere o sistema 1 2 3
1 2 3
1 2 3
12 1,
2
x ax xx x x a
ax x x
+ − =⎧⎪− − + = − ∈⎨⎪ + − =⎩
.
1.1 Que valores deverá tomar o parâmetro a para que o sistema seja de Cramer?
1.2 Resolva-o, por igualdades de Cramer, para 1a = − .
2. Considere o sistema de equações lineares =AX B com ,a b∈ e sendo:
1 2 23 12 5 3
b⎡ ⎤⎢ ⎥= − −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
A ; 04
a⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
B ; xyz
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
X
2.1 Determine os valores de a e de b de forma que ( )2,1, 1− seja solução do sistema
dado.
2.2 Para 2a b= = resolva o sistema dado utilizando as fórmulas de Cramer.
3. Considere o sistema
1 2 3 4
1 2 4
1 2 3 4
2 3 4
2 03 2 1
3 2 22 4
x x x xx x xx x x x
x x x
+ + + =⎧⎪ + − =⎪⎨− + + + =⎪⎪ + + =⎩
.
3.1 Prove que o sistema é de Cramer.
3.2 Resolva o sistema usando igualdade matricial.
Soluções:
1.1 { }\ 1,2a∈
1.2 1 3,0,2 2
S ⎧ ⎫⎛ ⎞= − −⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭
2.1 2 7a b= ∧ = 2.2 6 10 2, ,11 11 11
S ⎧ ⎫⎛ ⎞= −⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭
3.2 9 23 21, ,13,2 2 2
S ⎧ ⎫⎛ ⎞= − −⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭
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3.3 Sistemas homogéneos
Exercícios resolvidos
1. Considere o seguinte sistema, nas incógnitas x , y e z : 7 2 03 2 04 2 0
x y zx y zx z
+ + =⎧⎪ + − =⎨⎪ + =⎩
.
1.1 Classifique o sistema a priori.
1.2 Indique, sem efectuar cálculos, uma solução do sistema.
1.3 Resolva-o pelo método da condensação.
Resolução:
1.1 O sistema é um sistema homogéneo; logo, sempre possível. Poderá ser determinado ou
indeterminado.
1.2 Sendo um sistema homogéneo, a solução nula é sempre solução do sistema. Se
substituirmos todas as incógnitas por zero, todas as equações são satisfeitas. Não se sabe
ainda se a solução nula é única ou não.
1.3
1 2 2 2 1 3 3 2
y x z7 2 1 0 2 7 1 0 2 7 1 03 2 1 0 2 3 1 0 0 4 2 04 0 2 0 0 4 2 0 0 4 2 0
2 7 1 00 4 2 00 0 0 0
C C L L L L L L↔ ← − ← +
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
∼ ∼ ∼
∼
Então, ( ) ( )car car=A A , já que se trata de um sistema homogéneo.
( ) ( ) 2car car= =A A , logo sistema possível e simplesmente indeterminado, pois o grau de
indeterminação = nº de incógnitas ( ) 3 2 1car− = − =A . Logo e yx são incógnitas principais
e z é a incógnita não principal.
Então ( ),z k k= ∈ :
A solução vem então: 2 7 0 5 4
4 2 0 2y x z y kx z x k
z k z k
+ + = =⎧ ⎧⎪ ⎪− − = ⇔ = −⎨ ⎨⎪ ⎪= =⎩ ⎩
.
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O sistema apresenta uma infinidade de soluções representadas por:
1 5, , ;2 4
S k k k k⎧ ⎫⎛ ⎞= − ∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭
.
Tal como se pode verificar, a solução nula é solução do sistema (basta fazer 0k = ); mas neste
caso, é uma das muitas soluções.
Exercícios propostos
1. Considere o sistema 1 2 3
1 2 3
1 2 3
22 1
2 1
x x xx x x
x x x
+ − =⎧⎪− + − = −⎨⎪ + − =⎩
.
1.1 Classifique o sistema.
1.2 Mostre que a solução nula é a única do sistema homogéneo associado.
2. Considere a matriz 1 2 44 5 6⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦
A . Determine a característica da matriz recorrendo à
definição.
Exercícios suplementares
1. Considere o seguinte sistema de equações lineares:
0
2 0
3 0
x y z
y z
x y
+ − =
− =
− + =
⎧⎪⎨⎪⎩
. Prove que é um
sistema de Cramer e diga qual a solução do sistema dado sem o resolver. Justifique
convenientemente a sua resposta.
Soluções:
1.1 SPD
2. ( ) 2car =A
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Soluções:
1. ( ){ }0,0,0S =
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3.4 Discussão de sistemas com parâmetros
Exercícios resolvidos
1. Discuta o seguinte sistema nas incógnitas x , y e z : x ay z ax by cz b
x ay az b
− + =⎧⎪ + + = −⎨⎪− + − =⎩
, , ,a b c∈ .
Resolução:
2 2 13 3 1
1 1 1 11 0 1 1 0 0 1L L L
L L L
a a a ab c b b a c b aa a b a b a← −
← +
− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − + − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦
A ∼
Neste caso o valor máximo que a ( )car A pode tomar é 3.
Para isso temos: ( )0
31 0 1b a b a
cara a+ ≠ ≠ −⎧ ⎧
= ⇒ ⇔⎨ ⎨− ≠ ≠⎩ ⎩A .
Neste caso: ( ) ( )3
43
1b a
car cara≠ −⎧
⇒ = ⇒⎨ ≠⎩A A . Como só existem 3 linhas disponíveis,
( )car A nunca pode ser 4.
Então, para ( ) ( )1 3,a b a car car c≠ ∧ ≠ − ⇒ = = ∀ ∈A A .
2º Passo: Nas condições definidas no 1º Passo estuda-se a ( )car A
1º Passo: Impõem-se as condições que tornam a ( )car A máxima
II. Seguem-se os seguintes passos:
I. Condensa-se a matriz completa do sistema
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Logo, o sistema é possível ( características de A e de A iguais ) e determinado (e iguais ao
nº de incógnitas).
Neste caso, vem 1a b a= ∨ = − .
i) Vamos fazer 1a = na matriz condensada do sistema. Fica: 1 1 1 10 1 1 10 0 0 1
b c bb
−⎡ ⎤⎢ ⎥+ − − −⎢ ⎥⎢ ⎥+⎣ ⎦
.
• ( ) ( )1 2 3,b car car c≠ − ⇒ = ∧ = ∀ ∈A A , logo sistema impossível.
• Vamos fazer 1b = − na matriz anterior. Fica: 1 1 1 10 0 1 0 0 0 0 0
c−⎡ ⎤
⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
.
( ) ( )1 2 2c car car≠ ⇒ = ∧ =A A , logo sistema possível e simplesmente
indeterminado.
( ) ( )1 1 1c car car= ⇒ = ∧ =A A , logo sistema possível e duplamente
indeterminado.
ii) Vamos fazer b a= − na matriz condensada do sistema. Fica: 1 10 0 1 00 0 1 0
a aca
−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥− +⎣ ⎦
.
• 1a = então 1b = − , que já foi analisado no ponto anterior.
• Para 1a ≠ , fica:
2 3 2 3
1 1 1 10 0 1 0 0 0 1 00 0 1 0 0 0 1 0L L C C
a a a ac aa c
↔ ↔
− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∼ ∼
( ) ( )/ 1 12 2 3 3 2
1 1 1 10 1 0 0 0 1 0 00 1 0 0 0 1 0 0L L a L L c L
a a a aa
c c← − ← − −
− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥− +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∼ ∼ ∼
4º Passo: Nas condições do 3º Passo estudam-se ( )car A e ( )car A
3º Passo: Contrariam-se as condições encontradas no 1º Passo
ISEP – ALGAN – EMECAN 15
1 10 1 0 00 0 0 0
a a−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
∼
Então, ( ) ( ) 2,car car c= = ∀ ∈A A , logo sistema possível e simplesmente
indeterminado.
1,b a a c≠ − ∧ ≠ ∀ ∈ SPD
( ) ( )1 1 1 1,a b c b a a c= ∧ = − ∧ ≠ ∨ = − ∧ ≠ ∀ ∈ SPI
1 1 1a b c= ∧ = − ∧ = 2SP I
1 1,a b c= ∧ ≠ − ∀ ∈ SI
Exercícios propostos
1. Discuta os sistemas nas incógnitas x , y e z , ,a b∈ :
1.1 ( )
( )
3 5 2 2 2
3
x y z a
x b y z b a
x b y az b
+ + = −
+ + + = − +
+ + + =
⎧⎪⎨⎪⎩
1.2
1
2 2
3
x ay bz
ay z
x ay bz b
− + + = −
− = −
− − =
⎧⎪⎨⎪⎩
1.3 2
1
2 1
2
x y az
x az b
y a z a
+ + = −
− = +
+ =
⎧⎪⎨⎪⎩
1.4
10
2 2 2 0
x y zx y z
x y zx y z β
+ + =⎧⎪ − − =⎪⎨ − + =⎪⎪ + + =⎩
1.5 2
1
1
x y az
x by b zx y z b
+ + =⎧⎪
+ + =⎨⎪ + + =⎩
1.6
2
2
1
1
x ay a z
x by b zx ay z b
⎧ + + =⎪⎪ + + =⎨⎪ + + = −⎪⎩
1.7 2 1
23 4 3
x y azx ay z bx y z
+ + =⎧⎪ + + =⎨⎪ + − =⎩
III. Resumo
ISEP – ALGAN – EMECAN 16
2. Estude as diferentes soluções do seguinte sistema de equações lineares, em função dos
parâmetros que as condicionam: 1x y az ax by bzx y bz b
+ + =⎧⎪ + + =⎨⎪ + + =⎩
.
3. Considere o seguinte sistema de equações: ( ) ( )( )
2
2 2
2
2 1 1
1
x ay a z a
x a y a a z a a
x ay a b a z b a
⎧ + + =⎪⎪ + − + + + = +⎨⎪⎪− − + + − = − +⎩
.
3.1 Discuta os diferentes tipos de soluções que pode obter em função da variação dos
parâmetros a e b .
3.2 Determine o valor dos parâmetros a e b , sabendo que a solução do sistema é a
seguinte: ( ){ }6, 4,0S = − .
ISEP – ALGAN – EMECAN 17
Soluções:
1.1
0 2a b≠ ∧ ≠ − SPD
( )2 2 2b a a= − ∧ = ∨ = − SPI
( ) ( )2 2 0,b a a b= − ∧ ≠ ± ∨ = ∀ ∈ SI
1.2
0 0a b≠ ∧ ≠ SPD
103
a b= ∧ = SPI
( )10 0,3
a b b a⎛ ⎞= ∧ ≠ ∨ = ∀ ∈⎜ ⎟⎝ ⎠
SI
1.3
0 3,a a b≠ ∧ ≠ ∀ ∈ SPD
( ) ( )0 3 3 6a b a b= ∧ = − ∨ = ∧ = − SPI
( ) ( )0 3 3 6a b a b= ∧ ≠ − ∨ = ∧ ≠ − SI
1.4
1β = SPD
1β ≠ SI
1.5
1 1a b≠ ∧ ≠ SPD
1 1b a= ∧ ≠ SPI
1 1a b= ∧ = 2SP I
1 1a b= ∧ ≠ SI
1.6
1 1b a a a≠ ∧ ≠ ∧ ≠ − SPD
( ) ( )1 1 1 1b a a a a b= ∧ ≠ − ∧ ≠ ∨ = ∧ = − SPI
1 1a b= − ∧ = − 2SP I
( ) ( )1 1 1 1a b a b= ∧ ≠ − ∨ = − ∧ ≠ − SI
SPI
1
1
a
b SPD
SI
SP2I
SPI
1
1
a
b SPD
SI
SP2I
-1
-1
ISEP – ALGAN – EMECAN 18
Exercícios suplementares
1. Discuta o sistema nas incógnitas x , y e z sendo , ,a b c parâmetros reais:
2
2x ay az a
x a y z cx ay bz b
+ + =⎧⎪
+ − = −⎨⎪ + − =⎩
2. Discuta o seguinte sistema nas incógnitas reais 1x , 2x e 3x : 1 2 3
1 2 32
1 2 3
x ax ax bx bx ax a
x ax a x c
⎧ + − =⎪− + − = −⎨⎪ + + = −⎩
;
, ,a b c∈ .
Soluções (continuação):
1.7
2 3,3
a a b≠ − ∧ ≠ ∀ ∈ SPD
2 3 23
a a b⎛ ⎞= − ∨ = ∧ =⎜ ⎟⎝ ⎠
SPI
2 3 23
a a b⎛ ⎞= − ∨ = ∧ ≠⎜ ⎟⎝ ⎠ SI
2.
1b b a≠ ∧ ≠ SPD
( ) ( )1 1 1b a b a a= ∧ ≠ ∨ = ∧ ≠ SPI
1 1b a= ∧ = 2SP I
3.1
1a a b≠ ∧ ≠ − SPD
1 1a b= ∧ = − SPI
( ) ( )1 1 1a b a a b= ∧ ≠ − ∨ ≠ ∧ = − SI
3.2 2 1a b= ∧ = −
SPI
3 23
−
2
a
b
SPD
SI
ISEP – ALGAN – EMECAN 19
3. Considere o seguinte sistema: 1 2 3
21 2 3
1 2 3
z az az b
z bz a z az az baz c
+ − =⎧⎪− + − = −⎨⎪ + − = −⎩
; , ,a b c∈ .
3.1 Diga quais os diferentes tipos de soluções em função dos parâmetros reais a , b e c .
3.2 Considere 1a = , 2b = e 1c = − . Mostre que a solução nula é a única do sistema
homogéneo associado, sem o resolver.
4. Discuta os sistemas, segundo os parâmetros correspondentes:
4.1
( )
2 11
22 2 2
x y zx zx y z
x y z
αβα
− + =⎧⎪ + =⎪⎨ + + =⎪⎪ − + − =⎩
4.2
( )
2
2
4 2
2
x y z a
x a y az a
x a y b z b
+ + =
+ + =
+ + − + =
⎧⎪⎨⎪⎩
ISEP – ALGAN – EMECAN 20
Soluções:
1.
0 1 2 ,a a b a c≠ ∧ ≠ ∧ ≠ − ∀ ∈ SPD
( ) ( ) ( )( ) ( )0, 0 1, 1 1 2 3 1 0a b c a c b a c b b⎡ ⎤= = ∀ ∈ ∨ = ∧ = − ∀ ∈ ∨ = ∧ + + + − =⎣ ⎦ SPI
( ) ( )( )( ) ( ) ( )
0 0 1 2 0 1,
1 1 2 3 1 0 2 1,
a b c b a a a c
a c b b b a c
= ∧ ≠ ∧ ≠ − ∨ = − ∧ ≠ ∧ ≠ ∀ ∈ ∨
⎡ ⎤∨ = ∧ + + + − ≠ ∨ = − ∧ = ∀ ∈⎣ ⎦ SI
2.
0 1 ,a a a b c≠ ∧ ≠ − ∧ ≠ − ∀ ∈ SPD
( ) ( ) ( )20 0 1 0a b c b a c b a b b c b= ∧ ≠ ∧ = − ∨ = − ∧ = − ∧ = − ∧ ≠ ∧ = − SPI
0a b c= = = 2SP I
( ) ( ) ( )( )2
0 0 0 0 1
0
a b c a b c b a c b
a b b c b
= = ∧ ≠ ∨ = ∧ ≠ ∧ ≠ − ∨ = − ∧ ≠ − ∨
∨ = − ∧ ≠ ∧ ≠ − SI
3.1
0 1,a b a b c≠ − ∧ ≠ ∧ ≠ ∀ ∈ SPD
( ) ( ) ( )0 0 1 1 1 0 1a b c b b a c a b b b c b= ∧ ≠ ∧ = − ∨ = ∧ ≠ − ∧ = − ∨ = − ∧ ≠ ∧ ≠ ∧ = SPI
0a b c= = = 2SP I
( ) ( ) ( )( ) ( )
0 0 1 1, 0 1
0 0 1 1 1
a b c a b c a b b b c b
a b c b b a c
= = ∧ ≠ ∨ = − ∧ = ∀ ∈ ∨ = − ∧ ≠ ∧ ≠ ∧ ≠ ∨
∨ = ∧ ≠ ∧ ≠ − ∨ = ∧ ≠ − ∧ ≠ − SI
4.1
( ) ( )0, 1,α β β α= ∀ ∈ ∨ = ∀ ∈ SPD
0 1α β≠ ∧ ≠ SI
4.2
2 2 2a a b a≠ ∧ ≠ − ∧ ≠ + SPD
( ) ( )2 4 2 2a b a b= ∧ ≠ ∨ = − ∧ = − SPI
( ) ( ) ( )2 4 2 2 2a b a b b a= ∧ = ∨ = − ∧ ≠ − ∨ = + SI
ISEP – ALGAN – EMECAN 21
3.5 Exercícios de conclusão do capítulo
1. Discuta os sistemas e resolva-os, se possível, pelo método da condensação:
1.1
1 2 4
2 3 4
3 4
1 2 4
4 6
3 4
1
2 6 11
x x x
x x x
x x
x x x
+ − =
+ − =
− = −
+ − =
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
1.2
1 2 3
2 3
1 2 4
1 2
3 0
2 1
2 5 2
1
x x x
x x
x x x
x x
− + =
− + = −
− + =
− =
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
1.3
1 2 3
1 2 4
2 3 4
1 3 4
1
2 2
3 1
3 2 4
x x x
x x x
x x x
x x x
+ − = −
− − = −
− + − = −
− − = −
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
1.4
1 2
1 2 3 4
2 4
1 2 3
1
2 1
2 0
2 1
x x
x x x x
x x
x x x
− =
− + + = −
− + =
− + =
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
1.5
1 3 4
1 2 4
2 3 4
2 1
5
2 3 11
x x x
x x x
x x x
− + − =
+ − =
+ − =
⎧⎪⎨⎪⎩
1.6
1 2 3 4
2 3 4
1 3
2 7
3
2
x x x x
x x x
x x
+ + − =
− − =
− =
⎧⎪⎨⎪⎩
2. Resolva os sistemas usando as fórmulas de Cramer:
2.1
2 3 1
2 0
2 0
x y z
y z
x y z
+ + =
+ =
− + − =
⎧⎪⎨⎪⎩
2.2
2 4 2
2 1
2 2 0
x y z
x z
x y z
+ + =
+ =
+ + =
⎧⎪⎨⎪⎩
3. Considere o seguinte sistema de equações lineares, sendo k ∈ :
( )
0
2 0
2 4 2 0
x ky z
x y
x y k z
+ − =
+ =
+ + − =
⎧⎪⎨⎪⎩
.
Condicione o valor de k ∈ de modo que o sistema dado seja de Cramer e diga, sem o
resolver, qual o seu conjunto solução para os valores de k ∈ encontrados.
ISEP – ALGAN – EMECAN 22
4. Considere o sistema nas incógnitas , ,x y z , sendo ,a b∈ :
2
1
x ay a z a
x by az
x ay az b
+ + =
+ + =
+ + =
⎧⎪⎨⎪⎩
.
4.1 Discuta o sistema em função da variação de ,a b∈ .
4.2 Seja 2a = e 0b = .
4.2.1 Resolva o sistema, usando as fórmulas de Cramer.
4.2.2 Sem efectuar cálculos, diga, justificando, qual o conjunto solução do sistema
homogéneo associado ao sistema.
5. Considere o sistema de equações lineares, sendo ,a b∈ :
( )
( )
2 1
2 8 2
2 4
x a y z
x y az
a y az b
− + − + = −
+ + =
− − + =
⎧⎪⎨⎪⎩
.
5.1 Discuta o sistema nas incógnitas , ,x y z , sendo ,a b∈ .
5.2 Resolva o sistema pelo método da condensação para 2a = − e 1b = .
5.3 Resolva o sistema usando as fórmulas de Cramer para 0a = e 1b = .
6. Considere o seguinte sistema de equações lineares:
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 1
2 4 3 4 2
3 6 3 5 3
x x x x
x x x x
x x x x
+ − − =
− − + + =
− + + =
⎧⎪⎨⎪⎩
.
6.1 Sem efectuar cálculos e analisando o sistema, diga, justificando convenientemente as
suas respostas, se:
6.1.1 o sistema dado é um sistema de Cramer;
6.1.2 o seu conjunto solução pode ser ( ){ }, , ,1 2 1 2 3 1 2 3, , :S k k k k k k k k−= ∈ .
6.2 Classifique o sistema e resolva-o, se possível, pelo método da condensação.
7. Discuta os sistemas, segundo os parâmetros correspondentes:
7.1
1
2
2 1
x ay az
x y
x y bz b
− − =
− =
− + = +
⎧⎪⎨⎪⎩
7.2 ( )
( )
3
2 4 2 2
x y z b
x a y bz a
x a y z a b
+ + = −
+ + + =
+ + + = − +
⎧⎪⎨⎪⎩
ISEP – ALGAN – EMECAN 23
Soluções:
1.1 SPI. ( ){ }1 2 ,5 2 , 1 , ;S k k k k k= + + − + ∈
1.2 SPI. 1 1 21 , , 1 , ;3 3 3
S k k k k k⎧ ⎫⎛ ⎞= + − + ∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭
1.3 SP2I. ( ){ }1 2 1 2 1 2 1 21 , , , 3 1 ; ,S k k k k k k k k= − − + − + + ∈
1.4 SPI. 1 1 11 , , 1 , ;2 2 2
S k k k k k⎧ ⎫⎛ ⎞= + − − ∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭
1.5 SPI. 1 2 1 21 2 1 2
1 11 3, , , ; ,2 2
k k k kS k k k k⎧ ⎫− − − +⎛ ⎞= ∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭
1.6 SPI. ( ){ }2,3 ,0, ;S k k k= + ∈
2.1 4 2 1, ,5 5 5
S ⎧ ⎫⎛ ⎞= −⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭
2.2 11, ,12
S ⎧ ⎫⎛ ⎞= − −⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭
3. 2k ≠ ; ( ){ }0,0,0S =
4.1
0 1b a a a≠ ∧ ≠ ∧ ≠ SPD
1a b= = 2SP I
( ) ( ) ( )0, 1 1 0 1a b a b a b a a= ∀ ∈ ∨ = ∧ ≠ ∨ = ∧ ≠ ∧ ≠ SI
4.2.1 11, ,12
S ⎧ ⎫⎛ ⎞= − −⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭
4.2.2 ( ){ }0,0,0S =
5.1
2 1a a≠ − ∧ ≠ − SPD
( ) ( )2, 1 0a b a b= − ∀ ∈ ∨ = − ∧ = SPI
1 0a b= − ∧ ≠ SI
5.2 1 14 , , ;2 2
S k k k⎧ ⎫⎛ ⎞= − − ∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭
5.3 1 12, ,4 2
S ⎧ ⎫⎛ ⎞= −⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭
6.1.1 Não. 6.1.2 Não. O sistema dado não admite a solução nula.
6.2 SPI. 1 11 , 2 , 4 2 , ;3 3
S k k k k k⎧ ⎫⎛ ⎞= − − − ∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭
ISEP – ALGAN – EMECAN 24
Soluções (continuação):
7.1
1 0a b≠ ∧ ≠ SPD
1 1a b= ∧ = SPI
( ) ( )1 1 0,a b b a= ∧ ≠ ∨ = ∀ ∈ SI
7.2
2 1a b≠ − ∧ ≠ SPD
2 0a b= − ∧ = SPI
( ) ( )2 1 0 1,a b b b a= − ∧ ≠ ∧ ≠ ∨ = ∀ ∈ SI
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