2011Álgebra Linear e Cálculo Vetorial MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq2
ROTEIRO
Módulo 2 – CÔNICAS
• Conceito• Parábola
• Lugar Geométrico• Elementos• Translação• Rotação
• Elipse• Hipérbole• Aplicações
• Ref: Steinbruch e Winterle, Geometria Analítica, McGraw-Hill
2011Álgebra Linear e Cálculo Vetorial MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq3
ROTEIRO
Módulo 2 – CÔNICAS
• Conceito• Parábola
• Lugar Geométrico• Elementos• Translação• Rotação
• Elipse• Hipérbole• Aplicações
• Ref: Steinbruch e Winterle, Geometria Analítica, McGraw-Hill
2011Álgebra Linear e Cálculo Vetorial MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq4
CONCEITO
Historicamente, a parábola, a elipse e a hipérbole foram descobertas como curvas planas obtidas cortando-se um cone circular reto(variando a posição do plano de corte).
Por isso, são conhecidas pelo nome de cônicas.
2011Álgebra Linear e Cálculo Vetorial MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq5
ROTEIRO
Módulo 2 – CÔNICAS
• Conceito• Parábola
• Lugar Geométrico• Elementos• Rotação• Translação
• Elipse• Hipérbole• Aplicações
• Ref: Steinbruch e Winterle, Geometria Analítica, McGraw-Hill
2011Álgebra Linear e Cálculo Vetorial MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq6
PARÁBOLA - ELEMENTOS
Parábola:• Lugar geométrico dos pontos do plano que são
equidistantes de F e d
2011Álgebra Linear e Cálculo Vetorial MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq7
PARÁBOLA - EQUAÇÃO
• Considere a figura abaixo. Os eixos são definidos pelas coordenadas x’0y’;
• De acordo com a figura: F(0,p/2), P(x’,y’) e P’(x’, - p/2) ;
• Da definição de parábola:
• Logo:
'2'2 pyx
'PPFP
2011Álgebra Linear e Cálculo Vetorial MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq8
EQUAÇÃO GERAL – 1
PROBLEMA:Dado: desenho de uma parábola no plano cartesiano. Determine: a equação representativa. SOLUÇÃO: “Idéia”:i.Gerar a parábola com vértice na origem dos eixos
coordenados FIXOS ao vértice;ii.Rotacionar eixos;iii.Transladar origem.Estas operações colocarão a parábola na forma canônica!
2011Álgebra Linear e Cálculo Vetorial MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq9
EQUAÇÃO GERAL – 2
i. Gerar a parábola com vértice na origem dos eixos coordenados FIXOS ao vértice;
ii. Rotacionar eixos;iii. Transladar origem.
i.y'
x'
'2'2 pyx
2011Álgebra Linear e Cálculo Vetorial MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq10
EQUAÇÃO GERAL – 3
i. Gerar a parábola com vértice na origem dos eixos coordenados FIXOS ao vértice;
ii. Rotacionar eixos;iii. Transladar origem.
ii. Substituindoem
''''''yxxy
''2'' 2 pxy
'2'2 pyx
x'
y'
x''
y''
2011Álgebra Linear e Cálculo Vetorial MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq11
EQUAÇÃO GERAL – 4
i. Gerar a parábola com vértice na origem dos eixos coordenados FIXOS ao vértice;
ii. Rotacionar eixos;iii. Transladar origem.
iii. Substituindoem
0
0
''''yyyxxx
020 2 xxpyy
''2'' 2 pxy
x'
y'
x''
y''
2011Álgebra Linear e Cálculo Vetorial MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq12
APLICAÇÕES – 1.1
PROBLEMA:Dado: desenho de uma parábola no plano cartesiano. Determine: a equação representativa.
2011Álgebra Linear e Cálculo Vetorial MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq13
APLICAÇÕES – 1.2
SOLUÇÃO:
i.Gerar a parábola com vértice na origem dos eixos coordenados FIXOS ao vértice;
ii.Rotacionar eixos == Não necessário! Ok!!!iii.Transladar origem.
Observe que o problema poderia ser colocado de outra maneira:
2011Álgebra Linear e Cálculo Vetorial MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq14
APLICAÇÕES – 1.3
i. Gerar a parábola com vértice na origem dos eixos coordenados FIXOS ao vértice;
ii. Transladar origem.
A partir da figura: p = 12
Logo, sendo '2'2 pyx
'24'2 yx
2011Álgebra Linear e Cálculo Vetorial MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq15
APLICAÇÕES – 1.4
i. Gerar a parábola com vértice na origem dos eixos coordenados FIXOS ao vértice;
ii. Transladar origem.
A partir da figura:
Logo, sendo
22
0
0
yx
2242 2 yx
0
0
''yyyxxx
2011Álgebra Linear e Cálculo Vetorial MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq16
APLICAÇÕES – 2.1
PROBLEMA:Dado: desenho de uma parábola no plano cartesiano. Determine: a equação representativa.
2011Álgebra Linear e Cálculo Vetorial MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq17
APLICAÇÕES – 2.2
SOLUÇÃO:
i.Gerar a parábola com vértice na origem dos eixos coordenados FIXOS ao vértice;
ii.Rotacionar eixos;iii.Transladar origem. == Não necessário! Ok!!!
2011Álgebra Linear e Cálculo Vetorial MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq18
APLICAÇÕES – 2.3
i. Gerar a parábola com vértice na origem dos eixos coordenados FIXOS ao vértice;
ii. Rotacionar eixos.
A partir da figura: p = 8
Logo, sendo '2'2 pyx
'16'2 yx
2011Álgebra Linear e Cálculo Vetorial MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq19
APLICAÇÕES – 2.4
i. Gerar a parábola com vértice na origem dos eixos coordenados FIXOS ao vértice;
ii. Rotacionar eixos.
A partir da figura:
Logo, sendo: '16'2 yx
yyxx
''
yx 162
2011Álgebra Linear e Cálculo Vetorial MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq20
APLICAÇÕES – 3.1
PROBLEMA:Dado: desenho de uma parábola no plano cartesiano. Determine: a equação representativa.
2011Álgebra Linear e Cálculo Vetorial MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq21
APLICAÇÕES – 3.2
SOLUÇÃO:
i. Gerar a parábola com vértice na origem dos eixos coordenados FIXOS ao vértice;
ii. Rotacionar eixos;iii. Transladar origem.
2011Álgebra Linear e Cálculo Vetorial MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq22
APLICAÇÕES – 3.3
i. Gerar a parábola com vértice na origem dos eixos coordenados FIXOS ao vértice;
ii. Rotacionar eixos;iii. Transladar origem
A partir da figura: p = 2
Logo, sendo y'
x'
'2'2 pyx
'4'2 yx
2011Álgebra Linear e Cálculo Vetorial MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq23
APLICAÇÕES – 3.4
i. Gerar a parábola com vértice na origem dos eixos coordenados FIXOS ao vértice;
ii. Rotacionar eixos;iii. Transladar origem.
A partir da figura:
Logo, sendo y'
x'
''''''xyyx
'4'2 yx
''4'' 2 xy
2011Álgebra Linear e Cálculo Vetorial MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq24
APLICAÇÕES – 3.5
i. Gerar a parábola com vértice na origem dos eixos coordenados FIXOS ao vértice;
ii. Rotacionar eixos;iii. Transladar origem.
A partir da figura:
Logo, sendo y'
x'
''4'' 2 xy
11
0
0
yx
141 2 xy
2011Álgebra Linear e Cálculo Vetorial MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq25
ROTEIRO
Módulo 2 – CÔNICAS
• Conceito• Parábola• Elipse
• Lugar Geométrico• Elementos• Rotação• Translação
• Hipérbole• Aplicações
• Ref: Steinbruch e Winterle, Geometria Analítica, McGraw-Hill
2011Álgebra Linear e Cálculo Vetorial MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq26
ELIPSE - ELEMENTOS
Elipse:• Lugar geométrico cuja soma das distâncias a F1 e F2 é
CONSTANTE e vale 2a (sendo 2a>2c)
2011Álgebra Linear e Cálculo Vetorial MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq27
ELIPSE - ELEMENTOS
EXCENTRICIDADE:
• Quanto maior a excentricidade, mais achatada é a elipse, ou seja, maior a distância focal;
ac
10
2011Álgebra Linear e Cálculo Vetorial MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq28
ELIPSE - EQUAÇÃO
• Considere a figura abaixo. Os eixos são definidos pelas coordenadas x’0y’;
• De acordo com a figura:
• Da definição de ELIPSE:
• Logo:
1''2
2
2
2
by
ax
aPFPF 221
0,,0,,',' 21 cFcFyxP
y'
x'
2011Álgebra Linear e Cálculo Vetorial MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq29
APLICAÇÕES – 1.1
PROBLEMA:Dado: desenho de uma ELIPSE no plano cartesiano. Determine: a equação representativa.
2011Álgebra Linear e Cálculo Vetorial MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq30
APLICAÇÕES – 1.2
SOLUÇÃO:
i.Gerar a ELIPSE com CENTRO na origem dos eixos coordenados FIXOS ao vértice;
ii.Rotacionar eixos;iii.Transladar origem. == Não necessário! Ok!!!
2011Álgebra Linear e Cálculo Vetorial MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq31
APLICAÇÕES – 1.3
i. Gerar a parábola com vértice na origem dos eixos coordenados FIXOS ao vértice;
ii. Rotacionar eixos.
A partir da figura: a=4 e b=2
Logo, sendo 1''2
2
2
2
by
ax
14'
16' 22
yx
y'
y=x'
2011Álgebra Linear e Cálculo Vetorial MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq32
APLICAÇÕES – 1.4
i. Gerar a parábola com vértice na origem dos eixos coordenados FIXOS ao vértice;
ii. Rotacionar eixos.
A partir da figura:
Logo, sendo y'
y=x'
xyyx
''
14'
16' 22
yx
1416
22
xy
2011Álgebra Linear e Cálculo Vetorial MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq33
APLICAÇÕES – 2.1
PROBLEMA:Dado: desenho de uma ELIPSE no plano cartesiano. Determine: a equação representativa.
2011Álgebra Linear e Cálculo Vetorial MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq34
APLICAÇÕES – 2.2
SOLUÇÃO:
i.Gerar a ELIPSE com CENTRO na origem dos eixos coordenados FIXOS ao vértice;
ii.Rotacionar eixos;iii.Transladar origem.
2011Álgebra Linear e Cálculo Vetorial MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq35
APLICAÇÕES – 2.3
i. Gerar a ELIPSE com CENTRO na origem dos eixos coordenados FIXOS ao vértice;
ii. Rotacionar eixos;iii. Transladar origem.
A partir da figura: a=3 e b=2
Logo, sendo 1''2
2
2
2
by
ax y'
x'1
4'
9' 22
yx
2011Álgebra Linear e Cálculo Vetorial MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq36
APLICAÇÕES – 2.4
i. Gerar a ELIPSE com CENTRO na origem dos eixos coordenados FIXOS ao vértice;
ii. Rotacionar eixos;iii. Transladar origem.
A partir da figura:
Logo, sendo
''''''
xyyx
y'
x'
14'
9' 22
yx
14''
9'' 22
xy
2011Álgebra Linear e Cálculo Vetorial MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq37
APLICAÇÕES – 2.5
i. Gerar a ELIPSE com CENTRO na origem dos eixos coordenados FIXOS ao vértice;
ii. Rotacionar eixos;iii. Transladar origem.
A partir da figura:
Logo, sendo y'
x'
14''
9'' 22
xy
43
0
0
yx
143
94 22
xy
2011Álgebra Linear e Cálculo Vetorial MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq38
ROTEIRO
Módulo 2 – CÔNICAS
• Conceito• Parábola• Elipse• Hipérbole
• Lugar Geométrico• Elementos• Rotação• Translação
• Aplicações
• Ref: Steinbruch e Winterle, Geometria Analítica, McGraw-Hill
2011Álgebra Linear e Cálculo Vetorial MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq39
HIPÉRBOLE - ELEMENTOS
Hipérbole:• Lugar geométrico cuja diferença em valor absoluto das
distâncias a F1 e F2 é CONSTANTE e vale 2a
2011Álgebra Linear e Cálculo Vetorial MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq40
HIPÉRBOLE - ELEMENTOS
EXCENTRICIDADE:
• Há uma proporcionalidade entre a excentricidade e a ABERTURA da hipérbole, ou seja, quanto maior a excentricidade, maior é a abertura da hipérbole.
• (Aluno) Plotar uma hipérbole com diferentes excentricidades!
ac
1
2011Álgebra Linear e Cálculo Vetorial MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq41
HIPÉRBOLE - EQUAÇÃO
• Considere a figura abaixo. Os eixos são definidos pelas coordenadas x’0y’;
• De acordo com a figura:
• Da definição de HIPÉRBOLE:
• Logo:
1''2
2
2
2
by
ax
aPFPF 221
0,,0,,',' 21 cFcFyxP
x'
y'
2011Álgebra Linear e Cálculo Vetorial MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq42
APLICAÇÕES – 1.1
PROBLEMA:Dado: desenho de uma HIPÉRBOLE no plano cartesiano. Determine: a equação representativa.
2011Álgebra Linear e Cálculo Vetorial MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq43
APLICAÇÕES – 1.2
SOLUÇÃO:
i.Gerar a HIPÉRBOLE com CENTRO na origem dos eixos coordenados FIXOS ao vértice;
ii.Rotacionar eixos;iii.Transladar origem.
2011Álgebra Linear e Cálculo Vetorial MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq44
APLICAÇÕES – 1.3
i. Gerar a HIPÉRBOLE com CENTRO na origem dos eixos coordenados FIXOS ao vértice;
ii. Rotacionar eixos;iii. Transladar origem.
A partir da figura:
Logo, sendo 1''2
2
2
2
by
ax
14'
12' 22
yx
x'
y'
122 a9222 acb
2011Álgebra Linear e Cálculo Vetorial MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq45
APLICAÇÕES – 1.4
i. Gerar a HIPÉRBOLE com CENTRO na origem dos eixos coordenados FIXOS ao vértice;
ii. Rotacionar eixos;iii. Transladar origem.
A partir da figura:
Logo, sendo
''''''xyyx
x'
y'
14'
12' 22
yx
14''
12'' 22
xy
2011Álgebra Linear e Cálculo Vetorial MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq46
APLICAÇÕES – 1.5
i. Gerar a HIPÉRBOLE com CENTRO na origem dos eixos coordenados FIXOS ao vértice;
ii. Rotacionar eixos;iii. Transladar origem.
A partir da figura:
Logo, sendo
13
0
0
yx
x'
y'
14''
12'' 22
xy
143
121 22
xy
2011Álgebra Linear e Cálculo Vetorial MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq47
ROTEIRO
Módulo 2 – CÔNICAS
• Conceito• Parábola• Elipse• Hipérbole
• Lugar Geométrico• Elementos• Rotação• Translação
• Aplicações
• Ref: Steinbruch e Winterle, Geometria Analítica, McGraw-Hill