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Acadêmico(a) __________________________________________________________
Turma: _______________________________________________________________
Capítulo 6: Funções
Toda função envolve uma relação de dependência entre elementos, números e/ou
incógnitas. Em toda função existe um elemento que pode variar livremente, chamado de
variável independente, e os que estão relacionados a eles, variáveis dependentes.
Existem diversas formas matemáticas de relação entre as variáveis independentes e
dependentes.
Como exemplo, temos que a área (A) de um círculo está associada ao seu raio (r)
conforme a equação abaixo:
𝐴 = 𝜋 𝑟2
Ou seja, com a alteração do tamanho do raio do círculo, a área também será
alterada. Nesse caso, a área A é uma função do raio r.
𝐴(𝑟) = 𝜋 𝑟2
Definição: Uma função matemática é uma relação entre dois conjuntos quaisquer que
associa, a cada elemento de partida (domínio), um único elemento de um conjunto
de chegada (contra-domínio). Os elementos do conjunto contra-domínio que são
imagem de algum elemento do domínio constituem o conjunto imagem da função.
Domínio: é o conjunto dos valores possíveis das abscissas (x), ou seja, a região do
universo em que a função pode ser definida
Imagem: é o conjunto dos valores das ordenadas (y) resultantes da aplicação da função
f(x)
Contra-domínio: é o conjunto que contém todas as imagens (ou saídas, ou elementos
dependentes) possíveis para a função.
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Figura 1. Representação das relações entre domínio (A) e imagem (B) para funções
matemáticas.
6.1 Função sobrejetora, injetora e bijetora
Função Sobrejetora: Uma função é sobrejetora se, e somente se, a imagem for igual ao
contradomínio. Em outras palavras, não pode sobrar elementos de B.
Função Injetora: A função é injetora se elementos distintos do domínio tiverem
imagens distintas, ou seja, dois elementos não podem ter a mesma imagem. Portanto,
não pode ter nenhum elemento do conjunto B que receba duas flechas.
Função Bijetora: Quando a função f é ao mesmo tempo sobrejetora e injetora, dizemos
que f é uma função bijetora. Neste caso, você pode observar que não existe um
elemento de B que não seja imagem de um elemento de A (f é sobrejetora); cada
elemento de B é imagem de um único elemento de A (f é injetora).
Sobrejetora Injetora Bijetora
Figura 2. Representação de funções injetora, bijetora e sobrejetora.
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6.2 Função par e Função ímpar
Função par: A função é definida como par se 𝑓(𝑥) = 𝑓(−𝑥). Os valores simétricos
devem possuir mesma imagem.
Exemplos:
1) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 → 𝑓(2) = 4 → 𝑓(−2) = 4
2) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 1 → 𝑓(1) = 0 → 𝑓(−1) = 0
3) 𝑓(𝑥) =𝑥4
2→ 𝑓(1) =
14
2=
1
2 e 𝑓(−1) =
(−1)4
2=
1
2
Logo 𝑓(𝑥) = 𝑓(−𝑥)
Função ímpar: A função é definida como ímpar se 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥). Valores
simétricos possuem imagens simétricas.
Exemplos:
1) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 → 𝑓(1) = 2 → 𝑓(−1) = −2
2) 𝑓(𝑥) =𝑥3
10→ 𝑓(1) =
13
10= 0,1 → 𝑓(−1) = −
13
10= 0,1
3) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 → 𝑓(2) = 2 ∗ 2 = 4 e 𝑓(−𝑥) = 2 ∗ (−2) = −4
Logo 𝑓(𝑥) = −𝑓(𝑥)
6.3 Função Inversa
A função 𝑦 = 𝑓(𝑥) define uma correspondência de x para y, isto é, dado o valor
de x podemos obter o valor de y que lhe corresponde através da função f.
A função inversa de f, que é indicada por 𝑓−1, define uma correspondência
contrária, isto é, de y para x, e indicamos 𝑥 = 𝑓−1(𝑦)
Exemplos:
1) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 1 → 𝑓−1(𝑥) = √𝑥 + 1
2) 𝑓(𝑥) =2𝑥+3
3𝑥−5→ 𝑓−1(𝑥) =
3+5𝑥
3𝑥−2
3) 𝑓(𝑥) = 7𝑥 + 4 → 𝑓−1(𝑥) =𝑥−4
7
4
6.4 Equação de primeiro grau
Chama-se função do 1º grau ou função afim, a qualquer função 𝑓 dada por uma
lei da forma 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, onde a e b são números reais e a≠0.
Na função 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, o número a é chamado de coeficiente angular e o
número b é chamado de coeficiente linear, sendo a e b constantes, e o domino todos os
reais.
Coeficiente angular: a é dito coeficiente angular da reta, e se for positivo, a reta tem
sentido crescente; caso contrário, decrescente.
Coeficiente linear: da reta representado na função pela letra b, indica por qual ponto
numérico a reta intercepta o eixo das ordenadas (y).
Observe na figura 3 que se b = 0, então o gráfico é uma reta passando pela
origem, enquanto que se a = 0, o gráfico é uma reta paralela ao eixo x, interceptando o
eixo y em b e, neste caso, é dita função constante.
Calcular o valor da raiz da função é determinar o valor em que a reta cruza o
eixo x, para isso consideremos o valor de y = 0, pois no momento em que a reta
intersecta o eixo x, y = 0.
Equação da reta: 𝑦 − 𝑦0 = 𝑎(𝑥 − 𝑥0)
Exemplos:
1) 𝑓(𝑥) =1
2𝑥 + 4 → 𝑎 =
1
2; 𝑏 = 4
2) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 5 → 𝑎 = 3; 𝑏 = 5
3) 𝑓(𝑥) = −2𝑥 + 8 → 𝑎 = −2; 𝑏 = 8
6.4.1.Gráfico da função
Sua representação no plano cartesiano, figura 3, é uma reta que, de acordo com o
valor do coeficiente a (positivo ou negativo), é inclinada para esquerda ou para direita.
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏
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Figura 3: Gráfico da função 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, para b=0.
6.5 Equação de segundo grau
Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer função f
dada por uma lei da forma 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, onde a, b e c são números reais e
a≠0.
Exemplo:
1) 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 − 4𝑥 + 1, onde a = 3. B = 2 e c= 1
2) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 6𝑥 + 9, onde a = 1, b = 6 e c = 9
3) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 8𝑥 + 16, onde 𝑎 = 𝑎, 𝑏 = −8 e 𝑐 = 16
6.5.1.Gráfico
A representação de funções de segundo grau no plano cartesiano é uma
PARÁBOLA que, Figura 4, de acordo com o valor do coeficiente a, possui concavidade
voltada para cima ou para baixo. O termo c, na função do 2º grau, é o ponto onde a
parábola corta o eixo y.
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Figura 4: Representação da função do segundo grau de acordo com o coeficiente a.
6.5.2. Raízes da função
Ao transformar a função do segundo grau em uma equação do segundo grau, isto
é 𝑓(𝑥) = 𝑦 = 0, a função assume três possibilidades de resultados de raízes, que pode
vir a ser resolvida por Bháskara.
1º Possibilidade: se ∆>0 a função possui duas raízes reais e distinta.
Figura 5: Representação da função do segundo grau com ∆>0.
2º Possibilidade: se ∆=0 a função possui raízes iguais, ou uma única raiz.
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Figura 6: Representação da função do segundo grau com ∆=0.
3º Possibilidade: Se ∆<0 a função não possui raízes reais.
Figura 7: Representação da função do segundo grau com ∆<0.
6.5.3.Vérticie da função
O vértice da parábola constitui um ponto importante do gráfico, pois indica o
ponto de valor máximo ou o ponto de valor mínimo. De acordo com o valor do
coeficiente a, os pontos serão definidos como:
- Quando a > 0 (concavidade para cima) logo ponto de mínimo.
- Quando a < 0 (concavidade para baixo) logo ponto de máximo.
𝑋𝑣 = −𝑏
2𝑎 e 𝑌𝑣 = −
∆
4𝑎
8
6.5.4. Sinais da função
Figura 8: Representação dos sinais da função de segundo grau de acordo com ∆ e
coeficiente a.
6.6. Função Exponencial
A função exponencial possui como principal característica que a parte variável
representada por x se encontra no expoente.
𝑦 = 𝑎𝑥
Exemplos:
1) 𝑓(𝑥) = 2𝑥
2)𝑓(𝑥) = (3 + 𝑥)𝑥
Características da função exponencial:
- Se a > 1 então f é crescente
- Se 0 < a <1 então f é decrescente
- Assíntota ao eixo x, ou seja, a função se aproxima do eixo x mas nunca irá encostar no
eixo x.
- Interceptará y no ponto (0,1), ou seja, cruzar o eixo y
6.6.1. Gráfico da função
A representação de uma função exponencial no plano cartesiano é de uma curva
exponencial que, de acordo com o valor do coeficiente a, é crescente ou decrescente.
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Lista de Exercícios
1. Determinar o domínio das seguintes funções definidas por:
a) 𝑓(𝑥) =𝑥
𝑥−5
b) 𝑓(𝑥) =𝑥+2
2𝑥
c) 𝑓(𝑥) =𝑥
𝑥2−4
d) 𝑓(𝑥) =𝑥
2𝑥−1
2. (Faap) Durante um programa nacional de imunização contra uma forma virulenta de
gripe, representantes do ministério da Saúde constataram que o custo de vacinação de
"x" por cento da população era de, aproximadamente, f(x)=(150x)/(200-x) milhões de
reais.
a) Qual é o domínio da função f(x)?
b) Para que valores de x, no contexto do problema, f(x) tem interpretação prática?
c) Qual foi o custo para que os primeiros 50% da população fossem vacinados?
d) Qual foi o custo para que os 50% restantes da população fossem vacinados?
e) Qual a porcentagem vacinada da população, quando foram gastos 37,5 milhões de
reais?
f) Faça o gráfico da função, especificando sua parte relevante, tendo em vista a situação
prática do problema em questão.
3. A temperatura em graus Fahrenheit é uma função linear da temperatura em graus
Celsius. Use o fato de que 0 ºC = 32 ºF e 100 ºC = 212 ºF para escrever uma função que
forneça a conversão de temperatura de uma graduação para outra. Use a função obtida
para converter 15 graus Celsius em graus Fahrenheit e 68 graus Fahrenheit em graus
Celsius.
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4. (Faap) A variação de temperatura 𝑦 = 𝑓(𝑥) num intervalo de tempo x é dada pela
função 𝑓(𝑥) = (𝑚2 − 9)𝑥2 + (𝑚 + 3)𝑥 + 𝑚 − 3. Calcule "m" de modo que o gráfico
da função seja uma reta paralela ao eixo x.
5. (Fatec) Se f é uma função definida por 𝑓(𝑥) =𝑥−3
𝑥2+3 , então qual a expressão
equivalente de 𝑓(𝑥)−𝑓(1)
𝑓(𝑥−1), para x≠1.
6. (Faap) Durante um mês, o número y de unidades produzidas de um determinado bem
e função do número x de funcionários empregados de acordo com a lei 𝑦 = 50√𝑥.
Sabendo que 121 funcionários estão empregados, qual será o acréscimo na produção
com a admissão de 48 novos funcionários?
7. (Fei) Se 𝑔(1 + 𝑥) =𝑥
𝑥2+1, qual o valor de 𝑔(3)?
8. (Unesp) Uma fórmula matemática para se calcular aproximadamente a área, em
metros quadrados, da superfície corporal de uma pessoa, é dada por:
𝑆(𝑝) =11
100𝑝2/3
Onde p é a massa da pessoa em quilogramas. Considere uma criança de 8kg. Determine:
a) a área da superfície corporal da criança;
b) a massa que a criança terá quando a área de sua superfície corporal duplicar.
(Use a aproximação √2 = 1,4.)
9. (Ufscar) Uma pesquisa ecológica determinou que a população (S) de sapos de uma
determinada região, medida em centenas, depende da população
(m) de insetos, medida em milhares, de acordo com a equação 𝑆(𝑚) = 65 + √𝑚
8. A
população de insetos, por sua vez, varia com a precipitação (p) de chuva em
centímetros, de acordo com a equação 𝑚(𝑝) = 43𝑝 + 7,5.
a) Expresse a população de sapos como função da precipitação.
b) Calcule a população de sapos quando a precipitação é de 1,5cm.
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10. (Unesp) Num período prolongado de seca, a variação da quantidade de água de
certo reservatório é dada pela função: 𝑞(𝑡) = 𝑞0 ∗ 2(−0,1)∗𝑡. Sendo 𝑞0 a quantidade
inicial de água no reservatório e q(t) a quantidade de água no reservatório após t meses.
Em quantos meses a quantidade de água do reservatório se reduzirá à metade do que era
no início?
11. (FGV) Seja a função 𝑓(𝑥) = 𝑥2. Qual valor de 𝑓(𝑚 + 𝑛) − 𝑓(𝑚 − 𝑛) ?
12. (PUCRS) Em uma fábrica, o número total de peças produzidas nas primeiras t horas
diárias de trabalho é dado por:
Qual o número de peças produzidas durante a quinta hora de trabalho?
13. (Fuvest) Qual função que representa o valor a ser pago após um desconto de 3%
sobre o valor x de uma mercadoria?
15. (Mackenzie-SP) A função f é definida por 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏. Sabe-se que 𝑓(−1) = 3
e 𝑓(1) = 1. Qual o valor para f(3)?
16. (ENEM 2013) A parte interior de uma taça foi gerada pela rotação de uma parábola
em torno de um eixo z, conforme mostra a figura. A função real que expressa a
parábola, no plano cartesiano da figura, é dada pela lei 𝑓(𝑥) =3
2𝑥2 − 6𝑥 + 𝐶, onde C é
a medida da altura do líquido contido na taça, em centímetros. Sabe-se que o ponto V,
na figura, representa o vértice da parábola, localizado sobre o eixo x. Qual é a medida
da altura do líquido?
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17. (Unesp) O gráfico da função quadrática definida por 𝑦 = 𝑥2 − 𝑚𝑥 + (𝑚 − 1), onde
m pertence ao conjunto dos Reais, tem um único ponto em comum com o eixo das
abscissas. Qual o valor de y que essa função associa a x=2 ?
18. (ITA) Os dados experimentais da tabela a seguir correspondem às concentrações de
uma substância química medida em intervalos de 1 segundo. Assumindo que a linha que
passa pelos três pontos experimentais é uma parábola, qual a concentração (em moles)
após 2,5?
Tempo (s) Concentração (mol/L)
1 3,00
2 5,00
3 1,00
19. (PUCMG) A temperatura, em graus Celsius no interior de uma câmara, é dada por
𝑓(𝑡) = 𝑡2 − 7𝑡 + 𝐴, onde t é medido em minutos e A é constante. Se, no instante 𝑡 = 0,
a temperatura é de 10°C, qual tempo, em minutos, gasto para que a temperatura seja
mínima?
20. Num laboratório é realizada uma experiência com um material volátil, cuja
velocidade de volatilização é medida pela massa, em gramas, que decresce em função
do tempo t, em horas, de acordo com a fórmula, 𝑚 = −32𝑡 − 3𝑡+1 + 108. Assim
sendo, qual o tempo máximo que os cientistas dispõem para utilizar este material antes
que ele se volatilize totalmente?
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21. (PUC SP-06) Considere que em julho de 1986 foi constatado que era despejada uma
certa quantidade de litros de poluentes em um rio e que, a partir de então, essa
quantidade dobrou a cada ano. Se hoje a quantidade de poluentes despejados nesse rio é
de 1 milhão de litros, há quantos anos ela era de 250 mil litros?
22. Qual o coeficiente angular da reta dos pontos:
a) A (–1,3) e B (–2,4)
b) A (2,6) e B (4,14)
23. Construa o gráfico das funções abaixo:
a) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1
b) 𝑓(𝑥) = −3𝑥 + 6
c) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 6𝑥 + 9
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