A Modelagem Matemática e o Método dos Mínimos Quadrados
Aluno do Mestrado Rodrigo Fioravanti Pereira
Colaboradores: Prof. Gilberto Orengo - UNIFRA
Profª Alice Kozakevicius – UFSM
Mestrado Profissionalizante em ensino de Física e Matemática
Esta experiência didática apresenta uma
atividade baseada na Modelagem Matemática em
uma abordagem experimental, seguida de tratamento
de dados, proposição e discussão de modelos
obtidos através do Método dos Mínimos Quadrados e
de recursos computacionais.
Descrição da ExperiênciaDescrição da Experiência
O púbico alvo foi uma turma de oito alunos de Cálculo Numérico Computacional do Curso de Física Médica e 2 alunos do Curso de Engenharia Ambiental no Centro Universitário franciscano. UNIFRA.
Contexto da ExperiênciaContexto da Experiência
Foi solicitado aos alunos que medissem a deformação de uma mola cada vez que fossem adicionadas massas de 23g à mola e que anotassem os resultados.
Os dados obtidos pelos alunos foram organizados numa tabela.
Os alunos deveriam construir um gráfico com os resultados , analisá-los e fazer conjecturas.
Atividade desenvolvidaAtividade desenvolvida
Descobrir a função matemática que modela os
pontos do gráfico.
Objetivos da atividadeObjetivos da atividade
Trabalhar a matemática em lápis e papel e comrecursos computacionais.
Familiarizar-se com os softwares VCN 5.1 e Curve Expert
Uma mola foi fixada no
quadro negro pela sua
extremidade superior
enquanto que na outra
extremidade havia um
gancho onde se
colocavam os discos de
23g a cada etapa do
experimento.
ExperiênciaExperiência
O experimento foi adaptado
às condições da sala.
Cada aluno observava a
mola em diferentes ângulos
de visão.
As diferentes medidas
levaram à utilização da
média dos dados.
MASSA (g) DEFORMAÇÃO (mm) Média
23 13 8,5 7 11 11 10,01
46 24 20 20 22 22 21,6
69 39 31 29 33 34 33,2
92 51 43 41 45 45 45
115 62 53,5 50 56 55 55,3
138 67 64,8 62 68 68 65,96
Os dados coletados pelos alunos foram colocados numa tabela :
Construção da tabelaConstrução da tabela
Os dados coletados pelos alunos foram colocados numa tabela :
Construção da tabelaConstrução da tabela
MASSA (g) DEFORMAÇÃO (mm) Média
23 13 8,5 7 11 11 10,01
46 24 20 20 22 22 21,6
69 39 31 29 33 34 33,2
92 51 43 41 45 45 45
115 62 53,5 50 56 55 55,3
138 67 64,8 62 68 68 65,96
Os alunos não mostravam aos demais os dados que estavam apurando, assim a disparidade observada nas colunas 2 e 3 só foi diagnosticada no final das observações
Cada aluno construiu o seu gráfico a partir dos dados
que ele próprio levantou.
O professor construiu um gráfico a partir da média
dos dados dos alunos.
A construção do GráficoA construção do Gráfico
Abaixo temos o gráfico de dispersão a partir da média dos
dados dos alunos construído com o software Curve Expert.
Gráfico de dispersãoGráfico de dispersão
Análise do gráfico de dispersão em busca da função
que ajusta os pontos
s
Como determinar esta reta?
As respostas introduziram o assunto de Interpolação e Ajuste de Curvas
Todos perceberam que se tratava de uma reta.
s
s
s
Questão do professor:
Qual a reta que melhor ajusta os pontos?
Algumas Suposições dos alunos
a reta que liga o primeiro e o último ponto.
a reta que passa pelo maior número de pontos.
a reta que está no meio do conjunto de pontos.0
Método dos Mínimos QuadradosMétodo dos Mínimos Quadrados
s
s
s
s
Consiste num processo que, conhecidos alguns
valores de uma função f(x), determina uma função
g(x) que melhor se aproxima daqueles valores de f(x).
O critério para esta melhor aproximação dá nome ao
método, a idéia é minimizar o quadrado do erro que
se comete a cada ponto tabelado.
A função g(x) pode ser uma combinação de funções
polinomiais, exponenciais, trigonométricas, etc.
MASSA (g)
Média da elongação
(mm)
23 10,01
46 21,6
69 33,2
92 45
115 55,3
138 65,96
Aplicando o Método dos Aplicando o Método dos
Mínimos QuadradosMínimos Quadrados
Considerando a massa e a média das elongações, a tabela fica assim:
Massa(x) Elongação(y) x² x.y
23 10,01 529 230,23
46 21,6 2116 993,6
69 33,2 4761 2290,8
92 45 8464 4140
115 55,3 13225 6359,5
138 65,96 19044 9102,48
Σ483 Σ231,07 Σ48139 Σ23116,61
Desenvolvimento do MétodoDesenvolvimento do Método
Uso de dois aplicativos Uso de dois aplicativos
para a resolução da para a resolução da
atividadeatividade
Resultado obtido através do Resultado obtido através do
Curve ExpertCurve Expert
Resultado obtido através do Resultado obtido através do VCN 5.1VCN 5.1
Análise da Função Obtida
Através da função g(x) = 0,4877639x - 0,75333
obtém-se uma elongação de -0,75333 para uma
massa de zero gramas, o que não condiz com a
realidade pois zero gramas significa que a elongação
também é zero.
Os alunos diagnosticaram o problema e perceberam
que o erro foi causado no levantamento dos dados no
início da atividade.
Como o erro é pequeno, decidiram que o melhor a
fazer seria desconsiderar este coeficiente, ficando a
função na forma g(x) = 0,4877639x
Cálculo da massa e da elongação por meio do modelo Matemático
O modelo matemático que descreve a elongação da mola em função da massa é dado pela equação g(x) = 0,4878x
Pergunta-se:
Qual a elongação que 40g produzirão na mola?
O resultado é obtido calculando-se o valor da função para x = 40, isto é,
g(40) =0,4878(40)=19,51
Portanto a elongação produzida ao colocar-se uma massa de 40g é de 19,51mm.
Quantos gramas são necessários para se obter uma
elongação de 50mm?
Nesse caso tem-se,
50 = 0,4877639x
ou
x = 50 / 0,4877639 = 102,50
Os valores encontrados são condizentes com a tabela o
que indica que o modelo obtido fornece uma boa
aproximação para os dados reais.
Aspectos Positivos da Experiência
Visão geral do conteúdo
Contextualização do conteúdo
Variação na forma de apresentação dos resultados
usando lápis e papel e recursos tecnológicos,
Diversificação do modo de trabalhar o conteúdo
Participação efetiva do aluno na realização das
atividades.
Aspectos Positivos da Experiência
Valorizou a produção dos alunos
Permitiu a análise e superação dos erros pelos
alunos
Desenvoltura no uso de softwares com embasamen
-to matemático consistente.
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