A Máquina Crossbow – Leonardo da Vinci
Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos
MEDIDAS, ERROS
E
ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
FÍSICA EXPERIMENTAL I
“ A Ciência está escrita neste grande livro colocado sempre diante dos nossos olhos – o Universo – mas não podemos lê-lo sem aprender a linguagem e entender os símbolos em termos dos quais está escrito. Este livro está escrito na linguagem matemática” – Galileu Galilei
José Fernando FragalliDepartamento de Física – Udesc/Joinville
1. Introdução – O Método Científico
3. Algarismos Significativos
4. Acurácia e Precisão do Instrumento de Medida
5. Prefixos do SI e Notação Científica
6. Critérios de Arredondamento
7. Operações com Algarismos Significativos
MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos
2. Medidas
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Definir e/ou indentificar o problema
Formular uma hipóteseFazer observações
(medidas de grandezas físicas)
Testar hipótese/Fazer experimentos
Organizar e analisar dados (tratamento
de dados)
Os experimentos e observações concordam
com a hipótese? Sim!
Fazer conclusões Publicar resultados
Nao!!
Será que houve erro nos experimentos?
Devemos fazer novos experimentos!
1. INTRODUÇÃO – O MÉTODO CIENTÍFICO
O Método Científico
MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos
Passo a passo do método científico
1. Introdução – O Método Científico
3. Algarismos Significativos
4. Acurácia e Precisão do Instrumento de Medida
5. Prefixos do SI e Notação Científica
6. Critérios de Arredondamento
7. Operações com Algarismos Significativos
Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos
2. Medidas
MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
6
Algumas definições importantes: grandeza física
1) Grandeza física: é o conceito que descreve qualitativa e quantitativamente as relações entre as propriedades observadas no estudo da natureza.
a) Qualitativa: para cada conceito diferente pode haver (pelo menos em princípio) uma grandeza diferente e vice-versa.
b) Quantitativa: o conceito que define a grandeza é expresso na forma de um binário contendo um número e uma unidade.
MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos
2. MEDIDAS
7
a) Grandezas fundamentais (independentes): massa, comprimento e tempo, que como se sabe formam o Sistema Internacional – SI.
As grandezas físicas são classificadas como mostrado abaixo.
b) Grandezas derivadas (dependentes): área, volume, ângulo, velocidade, aceleração, força, momento linear, torque, momento angular, etc…
2. MEDIDAS
Grandeza físicaExemplos de grandezas físicas: tempo, comprimento,
distância, massa, ângulo, força.
MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos
8
Então, surge a pergunta: como medir uma grandeza física?
Medir uma grandeza física significa compará-la com outra, da mesma espécie, definida como unidade, para verificar a relação numérica entre elas.
Como medir uma grandeza física?Toda grandeza física deve ser passível de ser medida.
Exemplo: medida do comprimento de uma barra.Barra a ter o seu
comprimento medido
2. MEDIDAS
MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos
9
Podemos usar como padrão, por exemplo, o pé de uma pessoa.
Como medir uma grandeza física?Para medir o comprimento da barra precisamos
estabelecer um padrão.
L = 4,6 pés
Padrão de medida para o
comprimento da barra
Então, qual é o valor do comprimento da barra L?
Barra e seu padrão de comparação (pés)
2. MEDIDAS
MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos
10
Toda medida traz consigo erros intrínsecos, isto é associados ao processo de medição.
Medidas e erros experimentais
Por exemplo, qual o valor da medida do volume do líquido dentro da proveta?
É 17 ml? Ou é 18 ml?
Como definir cientificamente o valor da medida deste volume?
Volume de líquido a ser medida com uma proveta
2. MEDIDAS
MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos
11
Medidas analógicas
Outro exemplo: qual o valor da medida de diferença de potencial elétrico fornecido pelo voltímetro abaixo?
É 40 V? Ou é 45 V?
Como definir de forma científica o valor desta diferença de potencial?
Diferença de potencial medida com um voltímetro analógico
2. MEDIDAS
MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos
12
Medidas e erros experimentais: medidas elétricas digitais
Qual o valor da medida de tempo fornecido pelo cronômetro digital abaixo?
É 2,93 s?
Qual é a precisão (acurácia) desta medida?
Qual a confiabilidade desta medida?
Tempo medido com um cronômetro digital
2. MEDIDAS
MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos
13
Para melhor definirmos a medida de uma grandeza física, a toda medida experimental associamos um ERRO.
G
Este ERRO experimental tem que fazer parte do resultado da medição.
Apresentação das medidas e seus erros e unidades
ΔM
M U
G = (M M) U
Grandeza
Medida
Erro da medida
Unidade
2. MEDIDAS
MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos
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V = (17,7 ± 0,7) ml
Exemplos da apresentação de medidas
17 ml < V < 18 ml135 V < V < 140 V
V = (136 ± 2) V
Medida do volume de líquido em uma
proveta
Medida da diferença de potencial elétrica em um voltímetro analógico
2. MEDIDAS
MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos
15
Em medidas diretas o valor a ser medido da grandeza é comparado com o valor padrão.
L = 4,57 cmQual o comprimento L do pedaço
de madeira, desconsiderando a medida do erro experimental?
Medidas diretas
Medida direta do comprimento de uma barra feita com uma régua milimetrada
2. MEDIDAS
MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos
16
Já em medidas indiretas as mesmas são obtidas efetuando-se operações matemáticas com os resultados das medidas diretas.
Qual a medida da área do pedaço de madeira?
Medidas indiretas
A área A do pedaço de madeira é calculada a partir das medidas de comprimento L e largura D do mesmo.
2. MEDIDAS
MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos
Medida indireta da área de uma barra feita com réguas milimetradas
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L = 4,57 cm
A = 4,57 cm 0,43 cm
Individualmente, as medidas de L e D apresentam erros.
Medidas indiretas: o cálculo
DLA D = 0,43 cm
A = 2,0 cm2
Consequentemente, a medida indereta da área A também possui erros!!!
2. MEDIDAS
MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos
A = 1,9651 cm2
Determinação da área da barra
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A person with a watch knows what
time it is.
Filosofia básica no laboratório
A person with two watches is never
sure.
2. MEDIDAS
MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos
1. Introdução – O Método Científico
3. Algarismos Significativos
4. Acurácia e Precisão do Instrumento de Medida
5. Prefixos do SI e Notação Científica
6. Critérios de Arredondamento
7. Operações com Algarismos Significativos
Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos
2. Medidas
MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
20
Todos os números obtidos em uma medida, acompanhados de um último duvidoso são chamados de algarismos significativos.
Ou seja, na prática algarismos significativos de uma medida são aqueles que temos plena certeza, mais um duvidoso.
O algarismo duvidoso está diretamente ligado à escala do instrumento de medida...
…logo, algarismo duvidoso é um indicativo da escala do instrumento de medida.
3. ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Como distinguir algarismos significativos
MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos
21
V = (17,7 ± 0,7) ml
Exemplos de algarismos significativos: medidor analógico
V = (136 ± 2) V
3. ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos
três algarismos significativos
Medida do volume de líquido em uma
proveta
três algarismos significativos
Medida da diferença de potencial elétrica em um voltímetro analógico
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3. ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Exemplos de algarismos significativos: medidor digital
V = 3,999 V T = 27 C
MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos
Multímetro digital
Termômetro digital
quatro algarismos significativos dois algarismos significativos
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O número de algarismos significativos de uma medida depende do instrumento de medida usado.
3. ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Algarismos significativos e instrumentos de medida
MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos
Seja, por exemplo a medida da temperatura com dois termômetros de acurácia diferentes, como mostrado abaixo.
Medida da temperatura
feita com sensor
Medida da temperatura feita
com um termômetro de
bulboT = 30 C
T = 30,0 C
24
dm
cm
mm
3. ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Algarismos significativos: exemplos de réguasRéguas com diferentes graduações fornecem a mesma
medida com número de algarismos significativos distintos.
MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos
Três réguas com diferentes graduações usadas para medir o comprimento de uma mesma barra
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Instrumento de Medida Comprimento da barra Quantidade de algarismos significativos obtidos
3. ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Medindo o comprimento da barra com cada régua...
MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos
Suposição... “chute”: depende do olho do medidor.
1,1 dm
11,3 cm113,4 mm
régua decimetrada
régua centimetrada
régua milimetrada
2
3
4
dm
cm
mm
Medidas com três réguas distintas
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3. ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Mais um exemplo...
MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos
Instrumento de Medida Comprimento da barra Quantidade de algarismos significativos obtidos
régua decimetrada 1,0 dm 2
régua centimetrada 10,0 cm 3
régua milimetrada 100,0 mm 4
dm
cm
mm
Mais réguas e
suas medidas
27
3. ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Agora é a hora de vocês pensarem um pouco...
2) 4,57 cm
Qual o comprimento da barra mostrada acima?
1) 4,5 cm
3) 4,574 cm
MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos
A medida feita com a maior
acurácia possível
28
3. ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Vamos pensar mais um pouco...
MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos
… e testar os conhecimentos adquiridos sobre algarismos significativos
Vamos completar as tabelas acima e ao lado com a quantidade de AS correta.
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A. 0,030 m 1 2 3
B. 4050 l 2 3 4
C. 0,0008 g 1 2 4
D. 3,00 m 1 2 3
E. 0,8340 3 5 4
3. ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
E agora, múltiplas alternativas...
MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos
Determine a quantidade de AS correta em cada caso.
30
A. 0,030 m 2
B. 4050 litros 4
C. 0,0008 g 1
D. 3,00 m 3
E. 0,8340 4
3. ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
E as respostas corretas são...
MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos
1. Introdução – O Método Científico
3. Algarismos Significativos
4. Acurácia e Precisão do Instrumento de Medida
5. Prefixos do SI e Notação Científica
6. Critérios de Arredondamento
7. Operações com Algarismos Significativos
Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos
2. Medidas
MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
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A precisão da medida de uma grandeza física refere-se a reprodutibilidade desta medida quando a repetimos sob as mesmas condições.
Já o termo acurácia refere-se a quão próximo a medida realizada está do valor real, previamente adotado como referência.
4. ACURÁCIA E PRECISÃO DO INSTRUMENTO DE MEDIDA
Algumas definições
Em outras palavras, quando falamos de precisão estamos falando de quão próximo as medidas estão uma da outra quando as repetimos sob as mesmas condições.
MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos
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Distinção entre precisão e acurácia: acurado e preciso
Seja uma pessoa em um jogo de dardos, testando a sua precisão e acurácia.
No caso em questão ele apresenta alta acurácia e alta precisão.
A alta acurácia está associada ao fato de todos os seus tiros estarem próximos ao centro do alvo.
Já a alta precisão está associada ao fato de todos os seus tiros estarem próximos entre si, com baixa dispersão*.
MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos
Alta precisão e alta acurácia no tiro ao alvo
4. ACURÁCIA E PRECISÃO DO INSTRUMENTO DE MEDIDA
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Distinção entre precisão e acurácia: não acurado e preciso
Neste outro caso, mostrado ao lado, ele apresenta baixa acurácia e alta precisão.
A baixa acurácia está associada ao fato de todos os seus tiros estarem distantes do centro do alvo.
Já a alta precisão está associada ao fato de todos os seus tiros estarem distantes entre si, diminuindo a sua dispersão*.
MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos
Alta precisão e baixa acurácia no tiro ao alvo
4. ACURÁCIA E PRECISÃO DO INSTRUMENTO DE MEDIDA
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Distinção entre precisão e acurácia: acurado e não preciso
No caso em questão ele apresenta alta acurácia e baixa precisão.
A alta acurácia está associada ao fato de todos os seus tiros estarem próximos ao centro do alvo.
Já a baixa precisão está associada ao fato de todos os seus tiros estarem distantes entre si, aumentando a sua dispersão*.
MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos
Baixa precisão e alta acurácia no tiro ao alvo
4. ACURÁCIA E PRECISÃO DO INSTRUMENTO DE MEDIDA
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Finalmente, não acurado e não preciso
Por fim, no caso em questão ele apresenta baixa acurácia e baixa precisão.
A baixa acurácia está associada ao fato de todos os seus tiros estarem distantes do centro do alvo.
Já a baixa precisão está associada ao fato de todos os seus tiros estarem distantes entre si, aumentando a sua dispersão*.
MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos
Baixa precisão e baixa acurácia no tiro ao alvo
4. ACURÁCIA E PRECISÃO DO INSTRUMENTO DE MEDIDA
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Distinção entre precisão e acurácia: conclusão
Observamos agora as quatro situações e analisamos as diferenças entre elas.
A precisão e a acurácia de uma medida estão associadas aos tipos de erros cometidos durante o processo de medição.
MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos
Precisão e acurácia no tiro ao alvo
4. ACURÁCIA E PRECISÃO DO INSTRUMENTO DE MEDIDA
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Medidas feitas com acurácia e com precisão no laboratório
MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos
4. ACURÁCIA E PRECISÃO DO INSTRUMENTO DE MEDIDA
Abaixo vemos medidas de massa feitas com uma balança bem aferida (medida acurada) e feitas de forma cuidadosa (medida precisa).
A boa aferição da balança garante que as medidas estão próximas do valor esperado de 25,0 g.
O cuidado na realização da medida garante que a dispersão* delas seja baixa também.Medidas de massa feitas cuidadosamente
em uma balança aferida
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Medidas feitas com precisão e sem acurácia no laboratório
MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos
4. ACURÁCIA E PRECISÃO DO INSTRUMENTO DE MEDIDA
Abaixo vemos medidas de massa feitas com uma balança mal aferida (medida não acurada), mas feitas de forma cuidadosa (medida precisa).
Medidas de massa feitas cuidadosamente em uma balança mal aferida
A má aferição da balança garante que as medidas estão distantes do valor esperado de 25,0 g.
Porém, o cuidado na realização da medida garante que a dispersão* delas também seja baixa.
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Erros podem ser divididos em erros sistemáticos e erros aleatórios.
a) Erro sistemático: acontece quando todos os valores medidos são muito altos ou muito baixos do que o valor real.
b) Erro aleatório: na ausência de erro sistemático, ocorre quando alguns valores são muito maiores e outros muito menores do que o valor real.
Tipos de erros cometidos durante a medição
MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos
4. ACURÁCIA E PRECISÃO DO INSTRUMENTO DE MEDIDA
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Erro sistemático no laboratório
MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos
4. ACURÁCIA E PRECISÃO DO INSTRUMENTO DE MEDIDA
Erros sistemáticos ocorrem, por exemplo quando usamos sistematicamente um instrumento de medida mal aferido.
Medidas de massa feitas em uma balança mal aferida
Desta forma, não importa quão cuidadosa tenha sido feita a medida, o resultado sempre será muito aquém do valor esperado.
Neste caso, nada resta senão repetir a medida em um insrumento bem aferido.
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Erros aleatórios no laboratório
MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos
4. ACURÁCIA E PRECISÃO DO INSTRUMENTO DE MEDIDA
Medidas de massa feitas sem cuidado em uma balança bem aferida
Erros aleatórios ocorrem, por exemplo quando usamos um instrumento de medida bem aferido, mas fazemos as medidas de forma pouco cuidadosa.
Desta forma, mesmo fazendo as medidas de forma descuidada, o valor médio* destas medidas fica próxima do valor esperado.
Neste caso, se a dispersão* das medidas for muito elevada, pode-se pensar em refazê-las.
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Instrumento de Medida Comprimento da barra Quantidade de algarismos significativos obtidos
MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos
1,1 dm
11,3 cm113,4 mm
régua decimetrada
régua centimetrada
régua milimetrada
23
4
dm
cm
mm
Medidas com três réguas distintas
É a régua milimetrada, pois tem maior número de AS.Qual é a régua mais acurada? Por quê?
Definição de instrumento de medida mais preciso
4. ACURÁCIA E PRECISÃO DO INSTRUMENTO DE MEDIDA
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Medida e escala do instrumento de medida
O resultado de uma medida fornece informação sobre a escala do instrumento adotado para a medição.
Considere a medida apresentada abaixo.
Perguntamos, então qual a escala da régua usada nesta medição?
cmL 3,11
MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos
4. ACURÁCIA E PRECISÃO DO INSTRUMENTO DE MEDIDA
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A função do algarismo duvidoso
Para responder a esta pergunta devemos olhar para o último algarismo significativo à direita do número apresentado.
Como vimos, este último algarismo significativo é o algarismo duvidoso.
L = 17,3 cm
Desta forma, concluímos que a régua usada é centimetrada pois o algarismo duvidoso está na primeira casa decimal, que é a casa indicativa de milímetro.
MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos
4. ACURÁCIA E PRECISÃO DO INSTRUMENTO DE MEDIDA
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Mudanças no uso de unidades
Esta mesma medida pode ser escrita com a unidade dada em metros – m.
Perguntamos agora para o número apresentado na forma L = 0,173 m qual é a escala da régua utilizada?
Será que, por apresentarmos a medida em metros estamos necessariamente usando agora uma escala em metros?
cmL 3,17
MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos
4. ACURÁCIA E PRECISÃO DO INSTRUMENTO DE MEDIDA
mL 173,0
A resposta para esta pergunta é NÃO!!!
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Conclusões finais
A mudança na unidade (de cm para m) não altera a quantidade de algarismos significativos obtidos na medida.
O número 11,3 cm = 0,113 m indica que temos 0 m, 1 dm, 1 cm e 3 mm.
Isto indica que o algarismo duvidoso está na casa dos mm, e que portanto temos certeza até a casa dos cm.
Logo, podemos concluir sem sombra de dúvida que com a medida 11,3 cm = 0,113 m, a escala usada é a centimetrada.
MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos
4. ACURÁCIA E PRECISÃO DO INSTRUMENTO DE MEDIDA
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E para finalizar.... Um cartoon...
MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos
4. ACURÁCIA E PRECISÃO DO INSTRUMENTO DE MEDIDA
Nem sempre mais algarismos significativos significam mais dinheiro no bolso
1. Introdução – O Método Científico
3. Algarismos Significativos
4. Acurácia e Precisão do Instrumento de Medida
5. Prefixos do SI e Notação Científica
6. Critérios de Arredondamento
7. Operações com Algarismos Significativos
Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos
2. Medidas
MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
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5. PREFIXOS DO SI E NOTAÇÃO CIENTÍFICA
Relembrando...
Abaixo mostramos uma tabela com os principais prefixos usados no Sistema Internacional – SI.
MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos
Tabelas para prefixos aumentativos Tabelas para prefixos diminutivos
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Recapitulando: a mudança de unidades de uma medida de uma grandeza física não altera a quantidade de algarismos significativos obtidos na medida.
5. PREFIXOS DO SI E NOTAÇÃO CIENTÍFICA
A regra geral da notação científica
18,7 dm 1870 mm 18,7 dm = 18710 mm
MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos
Exemplo do uso de algarismos
significativos com notação científica
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5. PREFIXOS DO SI E NOTAÇÃO CIENTÍFICA
A conveniência da notação científicaA notação científica é uma forma conveniente de escrever
números muito grandes ou muito pequenos.
Em notação científica qualquer número pode ser escrito como o produto de um número real entre 1 e 10, vezes o número 10 elevado a uma dada potência de um número inteiro positivo ou negativo.
Seja, por exemplo o número 215; vamos escrevê-lo em notação científica!!
10015,2215 21015,2215
MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos
101015,2215
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5. PREFIXOS DO SI E NOTAÇÃO CIENTÍFICA
Outro exemplo do uso da notação científicaObserve que no caso do número 215, movemos a vírgula
duas posições para a esquerda, e assim o expoente da potência de dez é 2.
Seja, agora o número 0,00215; vamos escrevê-lo também em notação científica!!
1000115,200215,0
31015,200215,0
MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos
310115,200215,0
101010115,200215,0
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5. PREFIXOS DO SI E NOTAÇÃO CIENTÍFICA
d = 30 dm d = 30105 m
Sejam as medidas abaixo com diferentes números de AS, as quais convertemos para micrômetros.
Mais um exemplo de uso da notação científica
d = 300 cm d = 300104 m
d = 3000 mm d = 3000103 m
Vamos escrever estes números, lembrando que o número antes da vírgula deve ser um número entre real 1 e 10.
d = 30 dm d = 30105 m
d = 300 cm d = 300104 m
d = 3000 mm d = 3000103 m
MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos
d = 3,0106 m
d = 3,00106 m
d = 3,000106 m
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5. PREFIXOS DO SI E NOTAÇÃO CIENTÍFICA
ExemplosVamos agora determinar o número de algarismos
significativos dos números da tabela abaixo.
MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos
1. Introdução – O Método Científico
3. Algarismos Significativos
4. Acurácia e Precisão do Instrumento de Medida
5. Prefixos do SI e Notação Científica
6. Critérios de Arredondamento
7. Operações com Algarismos Significativos
Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos
2. Medidas
MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
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6. CRITÉRIOS DE ARREDONDAMENTO
Necessidade de arredondamento
MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos
Ao efetuar qualquer operação matemática com medidas de diferentes quantidades de algarismos significativos, o resultado será uma grandeza que não pode ter um número arbitrário de algarismos.
É necessário que o resultado obtido seja arredondado no primeiro algarismo duvidoso à esquerda, conforme as regras que serão descritas a seguir.
58
Se os algarismos desprezados em um resultado numérico formarem números SUPERIORES a 5, 50, 500, 5000, 50000, etc., o algarismo duvidoso imediatamente anterior aos desprezados deve ser AUMENTADO de uma unidade.
6. CRITÉRIOS DE ARREDONDAMENTO
Regra 1
Por exemplo, vamos escrever o número abaixo, levando em conta que o algarismo significativo duvidoso esteja na segunda casa decimal.
5,379
5,379
Como o número à direita do duvidoso é 9 > 5, então arredondamos “para cima”, e acrescentamos uma unidade ao AS duvidoso!
5,38
MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos
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6. CRITÉRIOS DE ARREDONDAMENTO
Regra 2
0,2413
0,24130,24
MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos
Se os algarismos desprezados em um resultado numérico formarem números SUPERIORES a 5, 50, 500, 5000, 50000, etc., o algarismo duvidoso imediatamente anterior aos desprezados NÃO SE ALTERA.
Por exemplo, vamos escrever o número abaixo, levando em conta que o algarismo significativo duvidoso esteja na segunda casa decimal.
Como o número à direita do duvidoso é 13 < 50, então arredondamos “para baixo”, mantendo inalterado o AS duvidoso!
60
6. CRITÉRIOS DE ARREDONDAMENTO
Regra 3
a) se o algarismo duvidoso imediatamente anterior à parte desprezada for IMPAR, ele deve ser AUMENTADO em uma unidade;
b) se o algarismo duvidoso imediatamente anterior à parte desprezada for PAR, ele deve ficar INALTERADO. (ZERO TAMBÉM É PAR!).
MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos
Se os algarismos desprezados em um resultado numérico formarem números IGUAIS a 5, 50, 500, 5000, 50000, etc., deve-se proceder como segue:
61
6. CRITÉRIOS DE ARREDONDAMENTO
Regra 3: exemplo
1,9500
1,9500
Como o número à direita do duvidoso é 500, então devemos olhar para o número à esquerda deste duvidoso.
Como este número é ímpar (9 é impar!!), então arredondamos “para cima”, aumentando o número apresentado!
2,0
MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos
Por exemplo, vamos escrever o número abaixo, levando em conta que o algarismo significativo duvidoso esteja na primeira casa decimal.
62
6. CRITÉRIOS DE ARREDONDAMENTO
Regra 3: exemplo
3,8450
3,8450
Como o número à direita do duvidoso é 50, então devemos olhar para o número à esquerda deste duvidoso.
Como este número é par (4 é par!!), então arredondamos “para baixo”, mantendo o número como apresentado!
3,84
MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos
Por exemplo, vamos escrever o número abaixo, levando em conta que o algarismo significativo duvidoso esteja na segunda casa decimal.
1. Introdução – O Método Científico
3. Algarismos Significativos
4. Acurácia e Precisão do Instrumento de Medida
5. Prefixos do SI e Notação Científica
6. Critérios de Arredondamento
7. Operações com Algarismos Significativos
Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos
2. Medidas
MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
64
Há outras situações nas quais é necessário efetuar uma ou mais operações matemáticas com resultados de medidas obtidas com instrumentos de precisão diferentes.
7. OPERAÇÕES COM ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Ideias gerais
Como vimos anteriormente o resultado de uma medida indireta é efetuada utilizando-se operações matemáticas com números obtidos de medidas diretas.
Há situações em que se podem obter medidas com diferentes números de algarismos significativos (AS) com um mesmo aparelho de medida.
MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos
65
O resultado da adição de várias medidas de uma mesma grandeza física não pode ter maior número de algarismos significativos, na sua parte decimal, do que a parte decimal mais pobre das parcelas.
7. OPERAÇÕES COM ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Regra para adição e subtração
MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos
Acurácia de uma casa decimal
S = 25,2 + 1,34
Seja, como exemplo, a soma de dois números com mesmo número de algarismos significativos, mas com acurácias distintas, como mostrado abaixo.
25,2
1,34
Acurácia de duas casas decimais
66
25,2 + 1,34_______ 26,54
7. OPERAÇÕES COM ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Operacionalização do exemplo
MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos
O resultado da adição de várias medidas de uma mesma grandeza física não pode ter maior número de algarismos significativos, na sua parte decimal, do que a parte decimal mais pobre das parcelas.
Para entender como se aplica o critério de arredondamento, façamos a soma como mostrado ao lado, colocando os números um abaixo do outro.
Observe que o resultado da soma levou a um número cujo primeiro algarismo significativo duvidoso encontra-se na primeira casa decimal.
67
7. OPERAÇÕES COM ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Aplicação de critérios de arredondamento
MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos
O resultado da adição de várias medidas de uma mesma grandeza física não pode ter maior número de algarismos significativos, na sua parte decimal, do que a parte decimal mais pobre das parcelas.
O número duvidoso na segunda casa decimal é “mais duvidoso” do que o primeiro e, portanto deve ser desconsiderado, usando os critérios de arredondamento.
25,2 + 1,34_______ 26,54 26,5
Resposta: S = 26,5 Acurácia de uma casa decimal
68
Considere que, usando réguas graduadas em decímetros, centímetros e milímetros, foram medidos os comprimentos de algumas tábuas: 2355,1 mm, 11,1 dm, 117,3 cm, 13,5 mm, 3,4 dm, 77,5 cm e 813,3 mm. Determine o comprimento total dessas tábuas.
7. OPERAÇÕES COM ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Mais exemplos
MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos
Primeiramente, é adequado escrever todas as medidas de comprimento na mesma unidade, a qual escolhemos arbitrariamente a unidade metro – m.
L1 = 2355,1 mm = 2,3551 m
L2 = 11,1 dm = 1,11 m
L3 = 117,3 cm = 1,173 m
L4 = 13,5 mm = 0,0135 m
L5 = 77,5 cm = 0,775 m L6 = 813,3 mm = 0,8133 m
69
Façamos agora a soma de todos estes comprimentos, respeitando a acurácia de cada uma destas medidas.
7. OPERAÇÕES COM ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Mais exemplos
MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos
O procedimento padrão é mostrado ao lado.
2,3551 + 1,11 1,173 0,0135 0,775 0,8133_______ 6,5799 6,58
L = 6,58 m Acurácia de uma casa decimal
Observamos que o número que apresenta a mais pobre precisão é 1,11 m; a sua acurácia está na segunda casa decimal, o que está de acordo com o resultado final.
70
O resultado da adição de várias medidas de uma mesma grandeza física não pode ter maior número de algarismos significativos, na sua parte decimal, do que a parte decimal mais pobre das parcelas.
83,5 ml+ 23,28 ml _______ 106,78 106,8 ml
7. OPERAÇÕES COM ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Mais exemplos
865,9 ml- 2,8121 ml _________ 863,0879 863,1 ml
MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos
Resposta: V = 106,8 ml
Acurácia de uma casa decimal
Resposta: V = 863,1 ml
Acurácia de uma casa decimal
71
7. OPERAÇÕES COM ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Pense um pouco...
A. 235,05 + 19,6 + 2,1 = 1) 256,75 2) 256,8 3) 257
B. 58,925 - 18,2 =1) 40,725 2) 40,73 3) 40,7
MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos
72
7. OPERAÇÕES COM ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
E o resultado correto é...
A. 235,05 + 19,6 + 2,1 = 2) 256,8
B. 58,925 - 18,2 =3) 40,7
MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos
73
O resultado da multiplicação de várias medidas não pode ter maior número de algarismos significativos do que o “mais pobre” dos fatores.
7. OPERAÇÕES COM ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Regra para multiplicação e divisão
MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos
Seja, como exemplo, a cálculo da área de um retângulo de arestas L1 = 1,278 m e L2 = 11,7 cm.
A = L1L2
4 algarismos significativosL1 = 1,278 m = 127,8 cm
L2 = 11,7 cm 3 algarismos significativos
A = 1,50 102 cm2
A = 1495,26 cm2A = 127,811,7
Resposta: 3 algarismos significativos
74
O resultado da multiplicação de várias medidas não pode ter maior número de algarismos significativos do que o “mais pobre” dos fatores.
7. OPERAÇÕES COM ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Regra para multiplicação e divisão
MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos
127,8 cm 11,7 cm _______ 8946 1278 + 1278+__________ 1495,26 15010 mm2
Resposta: A = 1,50 102 cm2
3 algarismos significativos
L1 = 1,278 m = 127,8 cm L2 = 11,7 cm
O procedimento padrão para o cálculo deste produto é mostrado ao lado.
75
O resultado da multiplicação de várias medidas não pode ter maior número de algarismos significativos do que o “mais pobre” dos fatores.
7. OPERAÇÕES COM ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos
V = L1L2L3
2 algarismos significativosL1 = 9,2 cm L2 = 6,8 cm
3 algarismos significativos
V = 23 cm3
V = 23,422464V = 9,26,8 0,3744
Resposta:
Um outro exemplo de multiplicação
Seja, também o cálculo do volume de um paralelepípedo de arestas L1 = 9,2 cm e L2 = 6,8 cm e L3 = 3,744 mm.
L3 = 3,744 mm = 0,3744 cm
76
O resultado da divisão de duas medidas não pode ter maior número de algarismos significativos do que o “mais pobre” dos fatores.
7. OPERAÇÕES COM ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Um exemplo de divisão
MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos
Seja, como exemplo, a cálculo da resistência elétrica R de um resistor sujeito a uma diferença de potencial elétrico V = 1,540 V pelo qual percorre uma corrente elétrica I = 3,30 mA.
IRV IVR
V = 1,540 V
I = 3,30 mA = 3,3010-3 A
4 algarismos significativos
3 algarismos significativos
77
O resultado da divisão de duas medidas não pode ter maior número de algarismos significativos do que o “mais pobre” dos fatores.
7. OPERAÇÕES COM ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Um exemplo de divisão
mAVR
30,3540,1
467R
MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos
Seja, como exemplo, a cálculo da resistência elétrica R de um resistor sujeito a uma diferença de potencial elétrico V = 1,540 V pelo qual percorre uma corrente elétrica I = 3,30 mA.
AVR
31030,3
540,1667,646R
Resposta: 3 algarismos significativos
78
A. 2,19 X 4,2 = 1) 9 2) 9,2 3) 9,198
Agora é com vocês...
7. OPERAÇÕES COM ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
B. 4,311 ÷ 0.07 = 1) 61,58 2) 62 3) 610
C. 57,38 ÷ 2,1= 1) 27,3238 2) 27 3) 27,323
MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos
79
A. 2,19 X 4,2 = 2) 9,2
7. OPERAÇÕES COM ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
B. 4,311 ÷ 0.07 = 3) 610
C. 57,38 ÷ 2,1= 2) 27
E as respostas corretas são...
MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos
80
Regra geral: cada operação deve ser feita respeitando sua característica, priorizando-se as somas e subtrações em relação às multiplicações e divisões.
7. OPERAÇÕES COM ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Regra para operações mistas
Regra do “bom senso”: o resultado final deve conter a mesma quantidade de algarismos significativos que a medida direta mais pobre!
MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos
81
7. OPERAÇÕES COM ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
ExemploConsidere que em um circuito RLC em série foram
medidas as seguintes grandezas físicas: frequência f = 60 Hz, indutância L = 18,91 mH, capacitância C = 15,42 F e resistência R = 173,0 . Determine a impedância Z deste circuito.
2
2
212
Cf
LfRZ
2104,2RBSZ
MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos
2
632
1024,1506211019,180620,173
Z
82
7. OPERAÇÕES COM ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Exemplo: continuação
61024,150621
CX
MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos
31019,18062 LX
022,721CX
1289,7LX
Cálculo da reatância capacitiva XC.
CfXC
21
LfX L 2
2107,1CX
Cálculo da reatância indutiva XL.
1,7LX
83
7. OPERAÇÕES COM ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Exemplo: continuação
MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos
222 107,11,7 CL XX
Cálculo do termo (XL – XC)2.
7,1 = 0,071102
2222 107,110071,0 CL XX
222 106,1 CL XX
(0,071 – 1,7) = – 1,629
222 107,1071,0 CL XX
(0,071 – 1,7) = – 1,6
242 106,2 CL XX
242 1056,2 CL XX
84
7. OPERAÇÕES COM ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Exemplo: continuação
MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos
Cálculo do termo R2.
22 0,173RR = 173,0 242 102999,2 R
242 10399,2 R
Cálculo do termo R2 + (XL – XC)2.
4422 106,210399,2 CL XXR
422 106,2399,2 CL XXR
(2,993 + 2,6) = 5,593 422 106,5 CL XXR
85
7. OPERAÇÕES COM ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Exemplo: resultado final
MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos
4106,5 Z 22CL XXRZ
2104,2RGZ
Cálculo da impedância Z.
RBSRG ZZ
A Dama com Arminho - Leonardo da Vinci
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