EnquadramentoObjectivos
Estado da arteModelo proposto
Os dadosResultados preliminares
Proximos passos
A aplicacao de Modelos de cadeias de Markov
Nao-Homogeneas escondidas a vigilancia
epidemiologica da sındroma gripal
Baltazar Nunes1 Isabel Natario2 M. Lucılia Carvalho 3
1Departamento de Epidemiologia, Instituto Nacional de Saude Dr. Ricardo Jorge
2Departamento de Matematica, Faculdade de Ciencias e Tecnologia (UNL);CEAUL 3Departamento de Estatıstica e Investigacao Operacional, Faculdade de
Ciencias (UL); CEAUL
February 19, 2010
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Proximos passos
A gripe e o seu impacto
1 As epidemias de gripe encontram-se associadas a excessos de consultasmedicas, urgencias, hospitalizacoes e obitos, que em algumas situacoeslevam a disrupcoes do funcionamento dos servicos de saude;
2 Para uma resposta mais adequada dos servicos de saude publica eorganizacao dos servicos de saude seria importante identificar:
o inıcio da epidemia (do perıodo epidemico);
a semana em que o pico de incidencia e atingido (assim comodas consultas/urgencias, hospitalizacoes e obitos);
a magnitude esperada do impacto da epidemia.
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Proximos passos
Vigilancia epidemiologica da gripe
Actualmente o Sistema de Vigilancia Integrada Clınica e Laboratorial da Gripe(INSA) publica semanalmente a 4a feira a nıvel europeu (European InfluenzaSurveillance Network) e a 5a feira a nıvel nacional, relativamente a semanaanterior:
1 A taxa de consultas por sındroma gripal por 100.000 utentes - RedeMedicos Sentinela;
2 O numero de casos de sındroma gripal positivos para o vırus influenza esua tipificacao (B,A(H3N2),A(H1N1) e A(H1N1)v) - Rede MedicosSentinela e Urgencias Sentinela;
3 E classifica a actividade gripal de acordo com a intensidade, em baixa,moderada e alta; a tendencia crescente, decrescente ou estavel edistribuicao geografica em casos esporadicos, surtos locais, regional oudisseminada.
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Proximos passos
Objectivos
Construir um modelo estatıstico que com base nas varias fontes deinformacao existentes em Portugal consiga:
1 Prever e identificar o inıcio do perıodo epidemico;
2 Prever a trajectoria da curva epidemica nas semanas seguintes(1 ou 2 semanas):
intensidade (ou magnitude) da epidemia;
a duracao do perıodo epidemico;
semana de incidencia maxima (pico da epidemia);
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Estado da arte
Metodo Objectivo Referencia
Regressao 1 Serfling 1963; Nunes et al 2002;Cowling 2006
ARIMA 1 Choi and Thacker 1981; Cowling2006
CUSUM 1 Cowling 2006Hidden Markov Models 1 Strat e Carat 1999; Rath et al
2003; Martinez-Beneito et al 2008
State Space Models 1 Zhou, T et al 2008Nao parametricos 1,2 Viboud C et al 2003; Andersson 2008Bayesian Networks 2 Sebastiani et al 2006
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Proximos passos
Estado da arte - Cadeias de Markov escondidas
Yt representa a taxa de incidencia de sındroma gripal nasemana t;
A cada Yt esta associado uma variavel St nao observada quedetermina a distribuicao de Yt ;
St e uma cadeia de Markov homogenea com 2 estados(0=nao epidemico e 1=epidemico) com as probabilidades detransicao estacionarias:
γi ,j = P [St = j |St−1 = i ]
com i , j = 0, 1
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Proximos passos
Estado da arte - Cadeias de Markov escondidas
Strat e Carrat 1999
Yt |St = i ∼ N(µi,t , σi)
µi,t = αi + δi t + β1,i sin(2π
52) + β2,i cos(
2π
52), i = 0, 1
Rath et al.2003
Yt |St = 0 ∼ Exp(α)i .i .d .
Yt |St = 1 ∼ N(µ, σ)i .i .d .
Martınez-Beneito et al.2008
Zt,a = Yt,a − Yt−1,a,
onde a representa a epoca de gripe
Zt,a|St,a = 0 ∼ N(0, σ0,a)
Zt,a|St,a = 1 ∼ N(ρzt−1,a, σ1,a) − AR(1)
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Modelo Estimacao Comentarios
Strat e Carat 1999 SAEM (aproxi-macao estocasticado algoritmo EM)
Assume a independencia de Yt tantono estado epidemico como no naoepidemico; Considera que Yt temuma distribuicao Normal que podeassumir valores inferiores a zero.
Rath et al. algoritmo EM(Baum-Welch)
Assume a independencia de Yt tantono estado epidemico como no naoepidemico; Considera que Yt temuma distribuicao Exponencial no es-tado nao epidemico para que a in-cidencia nao assuma valores nega-tivos.
Martınez-Beneito et al. Gibbs samplingMCMC (WinBUGS)
Modela as diferencas de ordem 1pois Yt nao e estacionario; Mode-la a nao independencia no estadoepidemico com um AR(1).
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Caracterısticas do novo modelo
Equacoes diferentes para perıodo epidemico e nao epidemico,com inclusao de diferentes auto-correlacoes, periodicidade eseries temporais exogenas;
Permitir que a matriz de probabilidades de transicao entre osestados seja dependente do tempo atraves de variaveisexogenas;
Definir estrategias para a previsao a curto prazo (1 a 2semanas) de Yt (prevendo a trajectoria da incidencia) e de St
(prevendo as probabilidades de transicao).
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Proximos passos
Modelo proposto
A taxa de incidencia na semana t e definida por:
yt =
{
µ0 + ϕ0yt−1 + β1 cos(2πt52 ) + β2 sin(2πt
52 ) + et,0 St = 0µ1 + ϕ1yt−1 + θxt + et,1 St = 1
onde et,i ∼ N(0, τi ) e t = 1, ...,T com a restricao deidentificabilidade τ0 > τ1
o estado nao epidemico e descrito por uma componenteAR(1) e uma funcao cıclica de perıodo 52 semanas;
o estado epidemico e descrito por uma combinacao linear deuma componente AR(1) e da taxa de incidencia de SG nogrupo etario 0-4 anos - xt .
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Proximos passos
Modelo proposto
Os estados de actividade gripal nao observados St sao modeladospor uma cadeia de Markov Nao-homogenea com dois estados,cujas probabilidades de transicao sao dependentes do tempo:
γti ,j = P(St = i/St−1 = j) i , j ∈ {0, 1}
com a matriz de probabilidades de transicao:
Γt =
∣
∣
∣
∣
γt0,0 γt
0,1
γt1,0 γt
1,1
∣
∣
∣
∣
onde γt0,0 = 1 − γt
0,1 e γt1,1 = 1 − γt
1,0.
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Proximos passos
Modelo proposto
No modelo proposto por Paroli e Spezia 2008 as probabilidades detransicao sao modeladas por intermedio de uma funcao logit deuma variavel exogena zt :
logit(γt0,1) = ln
(
γt0,1/γ
t0,0
)
= α0,1,0 + α0,1,1zt
logit(γt1,0) = ln
(
γt1,0/γ
t1,1
)
= α1,0,0 + α1,0,1zt
γt0,1 = exp(α0,1,0 + α0,1,1zt)/(1 + exp(α0,1,0 + α0,1,1zt))
γt1,0 = exp(α1,0,0 + α1,0,1zt)/(1 + exp(α1,0,0 + α1,0,1zt))
Na proposta actual zt e o numero de casos de sındroma gripalconfirmados para o vırus influenza na semana t.
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Proximos passos
Estimacao dos parametros do modelo
A inferencia sobre os parametros do modeloΨ = (µ, τ,R , θ, β, α, sT )′ sera obtida por metodologias deestatıstica Bayesiana, com aplicacao do algoritmo MCMC. Onde:
µµµ = (µ0, µ1);
τττ = (τ0, τ1) sobre a restricao τ0 > τ1;
RRR = (R0, R1) onde Ri = ln(
1+ϕi
1−ϕi
)
;
θ parametro de regressao associado a variavel exogena xt ;
βββ = (β1, β2)′ parametros da regressao cıclica;
ααα = (α0,1α0,1α0,1,α1,0α1,0α1,0)′ onde α0,1α0,1α0,1 = (α0,1,0, α0,1,1)
′ e α1,0α1,0α1,0 = (α1,0,0, α1,0,1)′
sTsTsT = (s1, ..., st , ..., sT )′ e a sequencia de estados da actividade gripalescondidos.
a distribuicao inicial e fixa em δ = (1/2, 1/2)
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Proximos passos
Estimacao dos parametros do modelo
As distribuicoes a priori escolhidas para os parametros:
µi ∼ N(µM ;σ2M) for i ∈ {0, 1};
τi ∼ Gamma(αΣ;βΣ), sobre a restricao τ0 > τ1;
Ri ∼ N(µR ;σ2R) for i ∈ {0, 1};
θ ∼ N(µθ;σ2θ);
(β1, β2) ∼ N(µB ; ΣB);
(α0,1,0, α0,1,1) ∼ N(µA; ΣA);
(α1,0,0, α1,0,1) ∼ N(µA; ΣA).
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Estimacao dos parametros do modelo
Distribuicao a posteriori Ψ:
Π(
ΨΨΨ|yTyT
yT , y0,XXX ,VVV ,ZZZ , δ
)
= f(
µµµ,τττ,RRR, θ,βββ,ααα,sTsT
sT |yTy
Ty
T , y0,XXX ,VVV ,ZZZ , δ)
∝ f(
yTyT
yT |µµµ,τττ ,RRR, θ,βββ,ααα,sTs
TsT ,XXX ,VVV , y0
)
f(
sTsT
sT |ααα,ZZZ , δ
)
p(µµµ)p(τττ)p(RRR)p(δ)p(βββ)p(ααα)
onde,
yTyTyT = (y1, ..., yt , ..., yT )′ e o vector das taxas de incidencia e y0 as taxasiniciais para o AR(1);
XXX = (x1, ..., xt , ..., xT )′ e o vector da variavel exogena taxa de incidenciano grupo etario 0-4 anos;
VVV = (v1, v2) onde v1 = (cos(2π/52), ..., cos(2πt/52), ..., cos(2πT/52))′ ev2 = (sin(2π/52), ..., sin(2πt/52), ..., sin(2πT/52))′ periodicidades;
ZZZ = (z1, ..., zt , ..., zT )′ e o vector da variavel exogena numero de casos deSG positivos para influenza.
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Proximos passos
Estimacao dos parametros do modelo
A verosimilhanca de yT factorizada e dada por :
f(
yTyT
yT |µµµ,τττ ,RRR, θ,βββ,ααα,sTs
TsT ,XXX ,VVV , y0
)
=T
∏
t=1
f(yt |yt−1,µµµ,τττ ,RRR, θ,βββ, st ,XXX ,VVV , y0)
Onde,f(yt |yt−1,µµµ,τττ,RRR, θ,βββ, st ,XXX ,VVV , y0) =
=
√
τ0
2πexp
{
−τ0
2
(
yt − µ0 − ϕ0yt−1 − β1 cos(2πt
52) − β2 sin(
2πt
52)
)2}
se st = 0;
=
√
τ1
2πexp
{
−τ1
2(yt − µ1 − ϕ1yt−1 − θxt)
2}
se st = 1.
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Proximos passos
Estimacao dos parametros do modelo
Finalmente a distribuicao conjunta da sequencia de estados de actividade gripale dada por:
f(sT|α, Z, δ) = δs1
T∏
t=2
γtst−1,st
Onde,
δ = (1/2, 1/2)
γt0,0 = 1/(1 + exp(α0,1,0 + α0,1,1zt))
γt0,1 = exp(α0,1,0 + α0,1,1zt)/(1 + exp(α0,1,0 + α0,1,1zt))
γt1,1 = 1/(1 + exp(α1,0,0 + α1,0,1zt))
γt1,0 = exp(α1,0,0 + α1,0,1zt)/(1 + exp(α1,0,0 + α1,0,1zt))
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Proximos passos
Algoritmo MCMC
Tomemos Ψk−1 =(
µk−1, τ (k−1),Rk−1, θk−1, βk−1, αk−1, sT (k−1))′
obtido na iteracao k − 1
a sequencia dos estados sT (k) e gerada pelo algoritmo forwardfiltering - backward sampling (ff-bs) Chib 1996;
os parametros τk0 e τk
1 sao gerados de forma independente de umadistribuicao Gama condicional completa, sujeita a restricao τk
0 > τk1
que e conseguida pela aplicacao da constrained permutationsampling Fruhwirth-Schnatter, 2001;
os parametros µk0 e µk
1 sao gerados de forma independente de umadistribuicao Normal condicional completa;
os parametros Rk0 e Rk
1 sao gerados de forma independente de umpasseio e aleatorio e aceites com base numa probabilidade deaceitacao;
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Proximos passos
Algoritmo MCMC
o parametro θk e gerado de forma independente de uma distribuicaoNormal condicional completa;
os parametros (βk1 , βk
2 ) sao gerados de forma independente de umadistribuicao Normal Multivariada condicional completa;
os parametros (αk0,1,0, α
k0,1,1) (αk
1,0,0, αk1,0,1) sao gerados de forma
independente de passeio aleatorio multivariado que sao aceites combase numa probabilidade de aceitacao.
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Proximos passos
0 100 200 300 400 500
050
150
250
semanas
Taxa
de
inci
dênc
ia
0 100 200 300 400 500
010
020
030
0
semanas
Taxa
de
inci
dênc
ia 0
−4
anos
0 100 200 300 400 500
020
6010
0
semanas
Nº
caso
s po
sitiv
os in
fluen
za
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Proximos passos
azul nao-epidemica (P < 0.5) vermelho epidemica (P > 0.5)
0 100 200 300 400 500
050
150
250
semanas
Taxa
de
inci
dênc
ia
0 100 200 300 400 500
0.0
0.4
0.8
semanas
Pro
b. e
stad
o ep
idém
ico
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Proximos passos
Procurar metodologias alternativas a apresentada no artigoParoli e Spezia 2008 para a estimacao dos parametros;
Explorar a estrutura do modelo: usar a serie Zt = Yt − Yt−1,necessidade de periodicidades, outras variaveis exogenas(temperatura, humidade absoluta, etc) a diferentes lags;
Desenvolver metodologia para a predicao da taxa deincidencia Yt e dos estados futuros de actividade gripal St.
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References
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Choi K and Thacker SB.An evaluation of influenza mortality surveillance1962-1979. American Journal of Epidemiology 1981; 113 3: 215-216.
Strat L, Carrat F. Monitoring epidemiologic surveillance data using HiddenMarkov Chains models. Statistics in Medicine 1999; 18 3463-3478.
Rath TM, Carreras M, Sebastiani P. Automated Detection of InfluenzaEpidemics. University of Massachusetts 2003.
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References
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Viboud C, Boelle PY, Carrat F, Valleron AJ, Flahault A. OPrediction of theSpread of Influenza Epidemics by the Method of Analogues. American Journal
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Anderson E, Bock D, Frisen M. Modelling influenza incidence for the propose ofon-line monitoring. Statistical Methods in Medical Research 2008; 17 421.
Sebastiani P, Mandl KD, Szolovits P, Kohane IS, Ramoni F. A Bayesiandynamic model for influenza. Statistics in Medicine 2006; 25 1803-1816.
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