LISTA DE EXERCÍCIOS DE GEOMETRIA DE POSIÇÃO E POLIEDROS CONVEXOS
1) Quantos pontos você acredita que existam no espaço?
Quantas retas? Quantos planos?
2) Se r é uma reta oblíqua ao plano , quantos são os
planos que contêm r e são perpendiculares a ?
a) 0 b) 1
c) 2
d) 4
e) Infinitos.
3) Considerando a figura abaixo, onde a reta r é
perpendicular ao plano e s é uma reta desse mesmo plano,
assinale o que for correto e some as alternativas:
01) r e s são perpendiculares;
02) r e s determinam um plano perpendicular a ;
04) O triângulo é equilátero;
08) ;
16) A soma dos ângulos e é .
4) Na cadeira representada na figura abaixo, o encosto é
perpendicular ao assento e este é paralelo ao chão.
Sendo assim,
a) Os planos e são paralelos;
b) é segmento de reta comum aos planos e ;
c) Os planos e são paralelos;
d) é um segmento de reta comum aos planos e
.
5) Sobre a posição relativa de planos no espaço, é correto
afirmar:
a) Se os planos e são perpendiculares a um plano ,
então é paralelo a ;
b) Se dois planos, e , são paralelos entre si, então a
interseccção de qualquer outro plano com estes é um
par de retas paralelas;
c) Por uma reta r perpendicular a um plano passam apenas dois
planos, e , perpendiculares a um plano ;
d) Por um ponto não pertencente a um plano passam
infinitos planos paralelos ao plano ;
e) Dois planos, e , paralelos a uma mesma reta r são
paralelos entre si.
6) Sejam e dois planos paralelos e seja r uma reta de . Assinale a sentença verdadeira:
a) Toda reta de é paralela a r;
b) Toda reta perpendicular a é perpendicular a r;
c) Não existe em uma reta paralela a r;
d) Se s é uma reta de , não paralela a r, existe em uma reta
concorrente com s e paralela a r;
e) Se s é uma reta de , não paralela a r, existe em uma reta paralela a s, que é paralela a r.
7) Sobre retas e planos no espaço, verifica-se:
01) Se uma reta é paralela a um plano , qualquer plano que
contém r é paralelo a ;
02) Dois planos paralelos a uma reta r podem ser paralelos
entre si;
04) Duas retas no espaço são sempre concorrentes ou paralelas
ou coincidentes;
08) Uma reta ortogonal a duas retas de um plano é perpendicular a esse plano;
16) Por uma reta perpendicular a um plano passa uma
infinidade de planos perpendiculares a ;
32) Três pontos não alinhados determinam um plano.
8) Leia as afirmativas abaixo e escolha a alternativa correta:
I. Dados um plano e dois pontos A e B fora dele é sempre
possível passar por A e B um plano perpendicular a ;
II. Dadas retas reversas a e b não existe nenhum plano
equidistante das duas retas;
III. Se a intersecção de duas retas é o conjunto vazio ( ), elas
são paralelas ou reversas.
IV. Quatro pontos distintos e não coplanares determinam
exatamente planos.
V. Se dois planos forem perpendiculares, todo plano
perpendicular a um deles será perpendicular ao outro.
São verdadeiras:
a) Apenas uma afirmação;
b) Apenas duas afirmações;
c) Apenas três afirmações;
d) Apenas quatro afirmações;
e) Todas são falsas.
9) Classifique em Verdadeira (V) ou Falsa (F) cada uma
das afirmações abaixo. Caso seja falsa justifique ou dê um
contra-exemplo.
a) ( ) Se uma reta é perpendicular a um plano então ela é
perpendicular ou ortogonal às retas desse plano.
b) ( ) Se duas retas r e s têm um único ponto em comum e r
está contida em um plano , então s e têm um único ponto
em comum.
c) ( ) Duas retas paralelas distintas determinam um plano.
d)( ) Duas retas paralelas a um mesmo plano são paralelas
entre si .
10) Classifique em Verdadeira (V) ou Falsa (F) cada uma
das afirmações abaixo. Caso seja falsa justifique ou dê um
contra-exemplo.
a) ( ) Se r e s são retas distintas então .
b) ( ) Se uma reta é ortogonal a duas retas concorrentes de um
plano então ela é perpendicular ao plano.
c) ( ) Duas retas concorrentes têm um único ponto em comum.
d) ( ) Se uma reta e um plano têm um ponto em comum , então
são secantes .
11) Observando a figura, dê as posições relativas entre:
12) Classifique em verdadeira ou falsa cada uma das
afirmações abaixo. Caso seja falsa justifique:
13) Observando a figura e simplesmente contando, determine
o nº de faces, o nº de arestas e o nº de vértices do poliedro
convexo.
____ faces
____ arestas ____ vértices
O poliedro satisfaz a relação de Euler?
14) Qual das afirmações abaixo é verdadeira? a) Num poliedro o nº de faces é o dobro do nº de arestas.
b) Existe poliedro com três faces.
c) Todo poliedro tem 8 vértices.
d) Um hexadecaedro tem 6 faces.
e) Uma aresta é a intersecção de duas faces.
15) Qual das afirmações abaixo é verdadeira?
a) Um dodecaedro tem duas faces.
b) Uma face é a intersecção de duas arestas.
c) Um pentadecaedro tem 15 arestas.
d) Existe poliedro que tem quatro faces.
e) Todo poliedro tem no mínimo 12 arestas.
16) Determine o nº de vértices de dodecaedro convexo que
tem arestas.
17) Determine a soma das medidas dos ângulos internos de
todas as faces de um poliedro convexo e fechado que tem
vértices.
18) Determine o nº de faces de um poliedro convexo fechado,
sabendo que o nº de arestas excede o nº de vértices de
unidades.
19) Determine o nº de vértices de um poliedro convexo que tem
faces hexagonais, faces octogonais e faces
quadrangulares.
20) Determine o nº de arestas e o nº de vértices de um icosaedro regular, sabendo que todas as faces do icosaedro são triangulares.
21) Determine a soma das medidas dos ângulos internos de
todas as faces de um poliedro convexo e fechado que tem
vértices.
22) A bola de futebol que apareceu pela primeira vez na copa
de foi inspirada em um conhecido poliedro convexo formado
por faces pentagonais e faces hexagonais, todas regulares.
Pergunta-se quantos vértices possui tal poliedro.
23)
24) Um poliedro convexo de arestas e vértices só possui
faces triangulares e quadrangulares. Determine quantas faces
triangulares e quantas faces quadrangulares ele possui?
25) Em um poliedro convexo o número de vértices corresponde
a do número de arestas e o número de faces é três unidades
menos que o de vértices. Descubra quantas são as faces, os
vértices e as arestas desse poliedro.
26) Um poliedro convexo fechado tem faces triangulares,
quadrangulares e hexagonais. Determine o nº de faces
quadrangulares, sabendo-se que esse poliedro tem arestas e
vértices, e que o nº de faces quadrangulares é igual ao nº de
faces triangulares.
27) Um poliedro convexo fechado tem faces triangulares,
quadrangulares e hexagonais. Determine o nº de faces
hexagonais, sabendo-se que esse poliedro tem arestas e
vértices, e que o nº de faces quadrangulares é o dobro do nº de
faces triangulares.
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