Métodos Matemáticos Aplicados à Física – Prof. Célio Wisniewski. Parte 4
1
Trigonometria e relações trigonométricas Em trigonometria, os lados dos triângulos retângulos
assumem nomes particulares, apresentados na figura ao lado. O lado mais comprido, oposto ao ângulo de 90º (ângulo reto), chama-se hipotenusa e os demais se chamam catetos. O cateto que forma o ângulo θ, na figura, com a hipotenusa é o cateto adjacente ao ângulo e o outro o cateto oposto. Teorema de Pitágoras
O grego Pitágoras formulou o seguinte teorema para o triângulo retângulo: a soma do quadrado dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. Isto é:
² ² ²x y h
Relações trigonométricas de ângulos Os lados do triângulo podem ser relacionados com o ângulo θ, através de relações denominadas trigonométricas: Seno do ângulo θ ou sen(θ)
É o quociente entre o cateto oposto ao ângulo θ e a hipotenusa: cateto opostosen hipotenusa
yh .
Cosseno do ângulo θ ou cos(θ) É o quociente entre o cateto adjacente ao ângulo θ e a hipotenusa;
cateto adjacentecos hipotenusaxh
Tangente do ângulo θ ou tan(θ) É o quociente entre o cateto oposto e o cateto adjacente:
cateto opostotan cateto adjacenteyx .
Note que a tangente pode ser escrita como: sen( ) sen( )tan( ) tan( )cos( ) cos( )
y hx h
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Funções trigonométricas derivadas Secante do ângulo θ ou sec(θ)
1sec cos
Co-Secante do ângulo θ ou cosec(θ) 1cosec sen
Co-Tangente do ângulo θ ou cotan(θ) 1cotan tan
A equação fundamental da trigonometria A equação fundamental da trigonometria surge como um caso particular do teorema de Pitágoras:
2 2 22 2
2 2
1 mas sen e cossen cos 1
x y hx y x yh h h h
.
Desta equação podemos derivar outras. Dividindo ambos os lados por 2cos :
2 22 2 2
22
sen cos 1cos cos cos
1tan 1 cos
ou, dividindo por 2sen :
2 22 2 2
22
sen cos 1sen sen sen
1cotan 1 sen
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Problema da altura da torre Um problema interessante é o cálculo da altura da torre a partir dos ângulos α e β.
Fazendo a medição dos ângulos separados pela distância de 10 m mostrado na figura, mediu-se
20 18o oe . Então, das funções trigonométricas obtemos:
tan( ) tan( )tan( ) tan( )
tan( ) tan( )mas 10então:
10 tan( ) tan( )10 tan( )tan( ) tan( ) 10 tan( ) tan( ) tan( )
mas tan( )10 tan( ) 10 tan( ) tan( )
tan( ) tan( ) tan( )
h h bb b ah h aab a
a aa a
hah h
tan( ) tan( )
Substituindo os valores das tangentes dos ângulos: tan( ) tan(20 ) 0,367tan( ) tan(18 ) 0,325
10 tan( ) tan( ) 30,3mtan( ) tan( )
oo
h
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Outro problema de medição de altura A medição da altura do prédio pode ser feita utilizando-se a luz solar (e a sombra produzida pelo prédio) e uma estaca de altura conhecida colocada ao lado. Note que, neste caso, a tan( ) para o prédio, e é a mesma relação para a estaca:tan( ) , então,
HXhx
H h hH XX x x
Port
anto, conhecendo-se o comprimento das sombras e a altura da estaca, pode-se determinar o valor da altura do prédio H.
Seno, cosseno e tangente como funções reais de variável real Na figura ao lado, a circunferência foi dividida em ângulos na unidade radianos, onde uma volta inteira corresponde a 2π radianos ou rad. Isto é, π é a razão entre o diâmetro da circunferência e o comprimento dela:
22
comprimento comprimentodiâmetro raio
comprimentoraio
.
Portanto θ tem unidade rad e, neste caso, pode ser usado como qualquer número nas operações matemáticas, por exemplo:
3,142 2 1, 41 2,24 4 4se então a operação O mesmo não poderia ser feito se θ fosse expresso em graus. A origem da medida dos ângulo é no eixo das abscissas (x). O eixo vertical y (ordenadas) corresponde, portanto, a um ângulo de 90º ou θ = π/2.
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Considere o triângulo retângulo à direita do eixo y. O ângulo é θ e o valor das funções trigonométricas seno e cosseno é:
sen( ) cos( )y xh h
Agora considere o triângulo retângulo à esquerda do eixo y. O ângulo agora é π – θ. Então:
sen cossen sen cos cos
y xh h
Portanto, a função sen é uma função par e cos uma função
ímpar. Agora analisemos o triângulo inferior. Neste caso,
sen sen 2 cos cos 2sen sen cos cos
y xh h
Portanto, isto prova novamente o caráter ímpar para a função cosseno e par para a função seno. Agora analisemos os casos em que θ =0 e θ = π/2. Quando θ =0, x será igual ao valor da hipotenusa, isto é, x = h, enquanto que y = 0. Portanto:
sen 0 0 cos 0 1y x hh h h
Portanto, podemos construir uma tabela com valores de θ mais comuns:
Θ graus x y sen yh cos x
h tan yx
0 0º h 0 0 1 0 12 90º 0 h 1 0 14 45º 2
2 h 22 h 2
2 22 1
43 270º 0 h -1 0 π 180º -h 0 0 -1 0
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Soma e subtração de ângulos. Algumas propriedades trigonométricas interessantes referem-se à soma ou subtração de ângulos. São elas:
cos cos cos sen sensen sen cos cos sen
*Prova no anexo 1 Estas equações podem ser usadas para determinar o valor do seno ou cosseno de ângulos desconhecidos. Por exemplo, qual o 6sen ou sen 30o ?
sen sen sen cos cos sen2 6 6 6 6 6 6 6 6 61 sen cos cos sen sen cos sen cos cos6 6 6 6 6 6 6 6 6
3 2 2 2
3 2 3
3
sen 61 sen 3sen cos cos 1 sen6 6 6 6 61 sen 3sen 1 sen 4sen 3sen6 6 6 6 64sen 3sen 1 06 6A resoluç
1 2 3
ãodesta equaçãodo terceiro grau fornece3raízes:1sen 1, sen sen6 6 6 2
comosen está no primeiroquadrante, a soluça o negativa não é valida.61Portanto sen 6 2
Tente fazer 6 12 3cos , sen e sen Também podemos obter
sen cos cos sencos cos
cos cos sen sencos cos
sentan cossen cos cos sentan cos cos sen sen
tan tantan 1 tan tan
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Soma de ângulos iguais Da primeira equação, fazendo α = θ, obtemos:
2 2
2 2 2 2
2 2
cos cos cos sen sencos 2 cos sen
cos sen 1 sen 1 coscos 2 2cos 1 cos 2 1 2sen
mas
ou
Da segunda equação, fazendo α = θ, obtemos:
sen sen cos cos sensen 2 2sen cos
Periodicidade das funções trigonométricas As funções seno e cosseno são funções periódicas, cujo período é π. Note que, ao substituirmos θ nas equações abaixo por 2n , onde n é um número inteiro, ou o número de voltas em torno da circunferência, obtemos:
cos cos cos sen sencos 2 cos cos 2 sen sen 2mas sen 2 0 para qualquere cos 2 cos 2 1 pois 2 é para qualquer e portanto tem-se múliplos de 2 .portanto cos 2 cos
sen 2 sen cos 2 cos sen
n n nn n
n n n par nn
n n
2sen 2 sen
nn
n
Portanto as funções seno e cosseno tem o mesmo valor para 1 2 , 2 2 , 3 2 , ..., 2n . Observe no gráfico a periodicidade com que a função se repete:
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8
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
A
cos()
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
A
sen()
Embora não sejam contínuas, isto é, possuem valores que tendem a infinito, as demais funções trigonométricas também são periódicas:
0
tan()
0
cotan()
0
sec()
0
cossec()
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Ângulo de fase: As funções trigonométrica, por serem periódicas, costumamos chamar uma constante somada ao ângulo de ângulo de fase, por exemplo: cos 2 2 é o ângulo de fase Uma aplicação é a rede elétrica trifásica. A energia elétrica é uma função co-senoidal e cada fio (ou fase) tem amplitude máxima de 127 Volts, como na figura, sendo cada onda defasada da outra de 120º, ou ângulo de fase de 23 , isto é, a fase 1 começa em θ = 0, a fase 2 em θ = 0+ 23 e a fase 3 em θ = 0+2. 23 ( a escala x = θ, é uma função do tempo, isto é,
, 2 .60t onde é a frequência angular de Hz :
-220
-132
-44
44
132
220
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3Múltiplos de Pi
Volts
Fase 1 Fase 2 Fase 3 Fase 2 - Fase 1
Ligando um aparelho na fase 1 e no terra (0 V), tem-se 127 V, mas se ligar o aparelho em duas fases (fase 2 – fase 1) obtém-se 220 V, representada pela função de maior intensidade. Anexo I - Demonstração da adição e subtração de arcos Considere o círculo trigonométrico de raio h = 1 abaixo:
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Observando as construções geométricas no círculo trigonométrico acima, podemos deduzir que os triângulos OMP, OVS e QTS são retângulos e semelhantes. Então, podemos construir algumas relações:
Os triângulos OVS e OMP são semelhantes, logo:
Substituindo as relações (1), (2), (7) na igualdade acima, obtemos:
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Os triângulos QTS e OMP são semelhantes, logo:
Substituindo as relações (3), (4) e (7) na igualdade acima, obtemos:
Agora que já construímos algumas relações principais, vamos às demonstrações: cos(a + b) = cos(a)cos(b) – sen(b)sen(a) Observando o círculo trigonométrico da figura 1, notamos que:
Podemos concluir também que:
Se substituirmos as relações (5) e (8) na igualdade acima, obteremos:
cos(a – b) = cos(a)cos(b) + sen(b)sen(a) Da relação (10) temos que:
Se quisermos determinar cos(a – b), podemos escrever a relação acima como:
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Mas, se observarmos o círculo trigonométrico da figura 1, deduzimos que:
Então:
Em contrapartida, podemos escrever:
Então teremos:
sen(a + b) = sen(a)cos(b) + sen(b)cos(a) Sabemos que:
Se fizermos θ = (a + b), teremos:
Da mesma forma, temos:
Temos aqui um cosseno da diferença entre dois arcos e é dado pela relação (11), logo:
Mas, observando a relação (12), vemos algumas similaridades coma relação (13) e podemos escrevê-la assim:
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13
sen(a – b) = sen(a)cos(b) – sen(b)cos(a) Da relação (14) temos que:
Se quisermos determinar sen(a – b), podemos escrever a relação acima como:
No entanto:
e
Fazemos:
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