16-04-2015
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Nuno Marreiros
7º ANO
Quadriláteros. Soma das amplitudes dos ângulos internos/externos de um polígono
FIGURAS GEOMÉTRICAS. MEDIDA
Antes de começar
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Um quadrilátero é um polígono com quatro lados.
Quadrilátero
Existem quadriláteros convexos e quadriláteros côncavos.
Quadrilátero convexo
Quadrilátero côncavo
Quadriláteros convexos e côncavos
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Vamos demonstrar que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180°.
a
b
n
A
B C
r
Traçamos uma reta r, paralela ao lado BC, passando por A.
m
c
Essa paralela irá formar com os lados AB e AC dois ângulos cujas medidas indicamos por m e n, respetivamente.
Soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo
Como r // BC, temos m = b e n = c
(alternos internos)
Como a + m + n = 180° Conclui-se que a + b + c = 180°
I
II
Vamos calcular a soma das amplitudes dos ângulos internos de um quadrilátero qualquer.
Para isso, traçamos uma das diagonais do quadrilátero.
Essa diagonal decompõe o quadrilátero em dois triângulos.
A soma das amplitudes dos ângulos internos do triângulo I é 180°; e a soma das amplitudes dos ângulos internos do triângulo II é 180°.
Portanto, podemos concluir que a soma das amplitudes dos ângulos internos do quadrilátero é igual a 2 x 180° = 360°.
Sabendo que a soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo é 180º …
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Vamos calcular a soma das medidas dos ângulos internos de um pentágono qualquer.
Para isso, traçamos duas das diagonais do pentágono que partem do mesmo vértice.
A soma das medidas dos ângulos internos do pentágono será igual à soma das medidas dos ângulos internos dos triângulos I, II, e III, ou seja, 3 x 180° = 540°.
I
II
III
MATEMÁTICA, 8º Ano do Ensino Fundamental Soma dos Ângulos Internos de um Polígono Convexo Qualquer
Sabendo que a soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo é 180º …
... Vamos generalizar:
S3 = 180° x 1 S4 = 180° x 2
(3 – 2) (4 – 2)
MATEMÁTICA, 8º Ano do Ensino Fundamental Soma dos Ângulos Internos de um Polígono Convexo Qualquer
Sabendo que a soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo é 180º …
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S5 = 180° x 3 S6 = 180° x 4
(5 – 2) (6 – 2)
Sabendo que a soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo é 180º …
... Vamos generalizar:
Si = 180° x (n – 2)
A soma Si das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo qualquer de n lados é dada por:
Sabendo que a soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo é 180º …
... Vamos generalizar:
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Vamos analisar a figura que mostra os ângulos internos e externos de um triângulo qualquer.
A
B C
i1
i2 i3
e1
e2
e3
i1 + e1 = 180°
i2 + e2 = 180°
i3 + e3 = 180°
Nota que, em cada vértice, a soma da medida do ângulo interno com a medida do ângulo externo é 180°.
+ Se = 180° ∙ 3 Si
+ Se = 540° 180°
Se = 360°
MATEMÁTICA, 8º Ano do Ensino Fundamental Soma dos Ângulos Internos de um Polígono Convexo Qualquer
Soma das amplitudes dos ângulos externos de um polígono qualquer
Num polígono convexo, a soma dos ângulos externos com
vértices distintos é sempre igual a um ângulo giro (360º).
i1
i2
i3
i4
e1
e2
e3 e4 i1 + e1 = 180°
i2 + e2 = 180°
i3 + e3 = 180°
i4 + e4 = 180°
A
B
C
D
Em cada vértice, os ângulos interno e externo do polígono são sempre adjacentes e suplementares (180º).
Vértice A
Vértice B
Vértice C
Vértice D
MATEMÁTICA, 8º Ano do Ensino Fundamental Soma dos Ângulos Internos de um Polígono Convexo Qualquer
Relação entre os ângulos interno e externo de um polígono
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Recorda … As equações
Determina as medidas dos ângulos internos dos quadriláteros apresentados.
Página Exercícios
29 9. 10. 11. 12. 13. a) b) 14. a) b)
No PowerPoint … Extra 1. 2. 3. 4. 5. …
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Determina a soma das amplitude dos ângulos externo de um icoságono.
a)
b)
a)
b) Determina a amplitude de um ângulo externo de um polígono com 12 lados.
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Sabe-se que a soma das amplitudes dos ângulos internos de um
polígono regular é 9180º.
a) Determina quantos lados tem esse polígono.
b) Determina, aproximadamente, a amplitude de um dos seus
ângulos externos.
EXTRA
1.
Verifica se existe um polígono convexo cuja soma das amplitudes
dos seus ângulos internos é 5500º.
2.
Verifica se existe um polígono convexo cuja soma das amplitudes
dos seus ângulos externos é 500º.
3.
Sabendo que a amplitude de um dos ângulo interno de um polígono
regular é 172º, determina quantos lados tem.
EXTRA
4.
Sabendo que a amplitude de um dos ângulo externos de um
polígono regular é 8º, determina quantos lados tem.
5.
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