Métodos Estatísticos
7 7 –– Inferência EstatInferência EstatíísticasticaEstimaEstimaçção de Parâmetrosão de Parâmetros
ProporProporççõesões
• Referencia: Estatística Aplicada às Ciências Sociais, Cap. 9
• Pedro Alberto Barbetta. Ed. UFSC, 5ª Edição, 2002.
universo do estudo (população)
O raciocínio indutivo da estimação de parâmetros
dados observados
Estimação de Parâmetros
Relação entre π e p
População30%contrários
70%favoráveis
Amostra aleatória comn = 400 indivíduos
Calcula-se p
Em geral, erro amostral < 0,05
Em geral, o intervalo p ± 0,05 contém π
0
5
10
15
20
0,64 0,66 0,68 0,7 0,72 0,74 0,76v alor calculado de P
freq
üênc
ia
0,70
Simulou-se 100 amostras desta forma
Nenhuma amostra com o valor de p fora do Intervalo 0,65 – 0,76
Como conhecemos π = 0,70, podemos dizer que a magnitude do erro amostral é 0,76 – 0,7 = 0,06
• Desde que a amostra seja aleatória e razoavelmente grande (n > 30), tem-se:
• Os possíveis valores de p seguem uma distribuição (aproximada) normal com média e desvio padrão dados por:
Relação entre π e p
n).(1 = P
π−πσ
πµ = P
No exemplo distribuição de p
0,70 ± 0,045
≈ 95%
0,70
≈ 0,745≈ 0,655
π ± 1,96σp
π = 0,70σp= 0,023
n).(1 = P
π−πσ
Estimação de uma proporção π
n)p.(1p = SP
−
Intervalo de 95% de confiança
para π: p ± 1,96Sp onde:
Ex. n = 400 acusando 268 favoráveis ==> p = 0,67
0235,0400
)67,0.(167,0 = SP =− I. C.: 0,67 ± 0,046
ou: 67,0% ± 4,6%
População30%contrários
70%favoráveis
Estimação de π(exemplo)
Com 95% de confiança a verdadeira proporção de favoráveis está no intervalo67,0% ± 4,6%(ou de 62,4% a 71,6%)
≈ 95%
0,70 ± 0,048
0,70
0,67
π ± 1,96σπ
Pela teoria:possíveis valores de p
Outros Níveis de confiança
0 Z- Z
= nível de confiançadesejado
área interna =
PARTE DE UMA TABELA NORMAL PADRÃO
Área 0,800 0,900 0,950 0,980 0,990 0.995 0,998
z 1,282 1,645 1,960 2,326 2,576 2,807 3,090
p ± z . SP
Intervalo de confiança
Repetir exemplo anterior, usando 99% de confiança
Pela tabela, área = 99% Z = 2,576Z.Sp = 2,576 x 0,0235 = 0,06 (ou 6%)Int. conf. = 67% ± 6%
Estimação de uma proporção πTamanho N da população conhecido
Faz-se a seguinte correção nocálculo do erro padrão:
1NnN
n)p.(1p = SP −
−−
OBS. Se N >> n, pode-se usar a expressão anterior
Exercícios1. Calcule o intervalo de confiança para a proporção
(conhecida) π. Discuta sobre a precisão das estimativas,
ao variar n e π.a) Nível de confiança de 90%, n = 400 com 60% de favoráveis;
b) Nível de confiança de 90%, n = 1000 com 600 favoráveis;
c) Nível de confiança de 95%, n = 400 com 80 favoráveis;
d) Nível de confiança de 95%, n = 400 com 320 favoráveis;
e) Nível de confiança de 95%, n = 400 com 200 favoráveis;
n)p.(1p = SP
−IC = p ± z . SP
Exercíciosa) Nível de confiança de 90%, n = 400 com 60% de favoráveis;
P = 60%; Z = 1,645; Sp = 0,0245 ; IC = 60% ± 1,645x0,0245 = 60% ± 4,0%
b) Nível de confiança de 90%, n = 1000 com 600 favoráveis;P = 600/1000 = 0,60 60%; Z = 1,645; Sp = 0,0155 ; IC = 60% ± 1,645x0,0155 = 60% ± 2,5%
c) Nível de confiança de 95%, n = 400 com 80 favoráveis;P = 80/400 = 0,20 20%; Z = 1,96; Sp = 0,02 ; IC = 20% ± 1,96 x 0,02 = 20% ± 3,9%
d) Nível de confiança de 95%, n = 400 com 320 favoráveis;P = 320/400 = 0,80 80%; Z = 1,96; Sp = 0,02 ; IC = 80% ± 1,96 x 0,02 = 80% ± 3,9%
e) Nível de confiança de 95%, n = 400 com 200 favoráveis;P = 200/400 = 0,50 50%; Z = 1,96; Sp = 0,02 ; IC = 80% ± 1,96 x 0,02 = 80% ± 3,9%
Exercícios2. O tema da redação do vestibular da Coperve de 1991
tratou da mudança da capital de SC para Curitibanos. Lendo-se as redações, torna-se possível verificar se o vestibulando é ou não favorável a mudança.
a) Foram observadas 400 redações extraídas ao acaso dentre todas as redações. Na amostra, 120 mostraram-se favoráveis. O que se pode dizer da proporção de vestibulandos favoráveis a mudança, na amostra observada? E na população de vestibulandos considerando 95% de confiança?
b) Foram observadas 400 redações extraídas ao acaso dentre os que prestaram o exame na região de Curitibanos. Nesta amostra, 250 mostraram-se favoráveis. O que se pode dizer da proporção de favoráveis a mudança, na população de vestibulandos?
Exercícios2. O tema da redação do vestibular da Coperve de 1991
tratou da mudança da capital de SC para Curitibanos. Lendo-se as redações, torna-se possível verificar se o vestibulando é ou não favorável a mudança.
a) Foram observadas 400 redações extraídas ao acaso dentre todas as redações. Na amostra, 120 mostraram-se favoráveis. O que se pode dizer da proporção de vestibulandos favoráveis a mudança, na amostra observada? E na população de vestibulandos considerando 95% de confiança?
n = 400; p = 120/400 = 0,30 30% da amostra;
p = 0,30; Sp = 0,023; z95% = 1,96
Na população, o intervalo 30% ± 4,5%, contém a proporção de favoráveis
Exercícios2. O tema da redação do vestibular da Coperve de 1991
tratou da mudança da capital de SC para Curitibanos. Lendo-se as redações, torna-se possível verificar se o vestibulando é ou não favorável a mudança.
b) Foram observadas 400 redações extraídas ao acaso dentre os que prestaram o exame na região de Curitibanos. Nesta amostra, 250 mostraram-se favoráveis. O que se pode dizer da proporção de favoráveis a mudança, na população de vestibulandos? E na população da região
Em relação a população nada, uma vez que a amostragem não foi aleatória.Em relação a região, a proporção nesta amostra é de: 250/400 = 62.5% de favoráveis a mudança da capital.
Estimação de uma proporção πTamanho N da população conhecido
Faz-se a seguinte correção nocálculo do erro padrão:
1NnN
n)p.(1p = SP −
−−
OBS. Se N >> n, pode-se usar a expressão anterior
Intervalo de 95% de confiança para π 33,3% ± 7,3%
037,0)8607,0)(0430,0(1460
120460120
)333,0.(1333,0 = P
==
=−
−−S
Exercício
3. Numa AAS, de tamanho 120 famílias, realizada em certo bairro da cidade, observou-se que 33,3% possuíam instalações sanitárias adequadas. Considerando que no bairro existem 460 domicílios, encontre um IC de 95% para a proporção de domicílios com instalações sanitárias adequadas.
p = 0,033;
Z95% = 1,96
1,96 x Sp = 1,96 x 0,037 = 0,073
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