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Escola Bsica e Secundria Dr. ngelo Augusto da Silva Teste de MATEMTICA A 12. Ano
1. PARTE Para cada uma das seguintes questes de escolha mltipla, selecione a resposta correta de entre as alternativas que lhe so apresentadas e escreva-a na sua folha de prova. Se apresentar mais do que uma resposta a questo ser anulada, o mesmo acontecendo em caso de resposta ambgua.
1. Considere um octaedro com as faces numeradas de 1 a 8. Pretende-se colorir
as suas faces dispondo-se para o efeito de oito cores distintas.
De quantas maneiras diferentes o podemos colorir, supondo que trs das faces
tm de ter a mesma cor e as restantes cores diferentes?
(A) 8 73 58 C A (B)
8 7
3 5C A (C) 8
3 5!C (D) 8 7
3 5A C
2. Na figura encontra-se representada parte do grfico da funo f, definida por, ( ) cosf x x e o
tringulo [ ]ABC . Sabe-se que os pontos A, B e C pertencem ao grfico de f. Os pontos A e B tm
ordenada 1
2e o ponto C tem abcissa .
x
y
O
2
3
1
2
fA B
C
A rea do tringulo [ ]ABC :
(A) 2
(B) (C)
3
2 (D) 2
3. Seja 3
z cis
um nmero complexo.
Indique qual dos seguintes valores o argumento de: 1 z .
(A) 6
(B)
5
6
(C)
2
3
(D)
5
3
Durao: 90 minutos Junho/ 2014
Nome ________________________ N. ___ T: __
Classificao
____________
O Prof.__________________ (Lus Abreu)
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4. Na figura est parte da representao grfica de uma funo g, de domnio , definida por:
( ) g x sen x .
A um ponto do grfico de g, que tem ordenada zero.
A reta r tangente ao grfico de g no ponto A.
Qual das seguintes pode ser uma equao da reta r?
(A) y x (B) 2y x (C) 22
y x
(D) 2
y x
5. Seja f uma funo cuja derivada no ponto de abcissa 2 igual a 1.
Indique o valor de:
3 22
( ) (2)
6limx
f x f
x x x
.
(A) 1
10 (B)
3
2 (C)
3
5 (D)
3
10
2. PARTE
Apresente o seu raciocnio de forma clara, indicando os clculos efetuados e as justificaes necessrias. Quando no indicada a aproximao que se pede para um resultado, pretende-se o valor exato.
1. Considere os nmeros complexos 1 1z i e 2
5z cis
.
1.1. Determine 207 5
1 24( )
2
z i z
i
e apresente o resultado na forma algbrica.
1.2. Efetue as operaes seguintes e apresente o resultado de 21 2z z na forma trigonomtrica.
1.3. Determine o menor valor de n natural para o qual 2
1
nz
um nmero real negativo.
2. Em , conjunto dos nmeros complexos, considere 1 (0)w cis e 2
7w cis
.
2.1. O complexo 1w raiz do polinmio
3 2 49 49w w w . Determine, em , as restantes razes
do polinmio. Apresente as razes obtidas na forma trigonomtrica.
2.2. Mostre que: 2
1 2 2 2cos7
w w
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3. Resolva, em , a equao: 3
3z
iz .
4. Na figura junta est representado um quarto de crculo, com centro em B e raio 2.
Considere que um ponto C se desloca sobre o segmento de recta [BD].
Para cada posio do ponto C, seja x a amplitude, em radianos,
do ngulo BAC 0,4
x
.
4.1. Mostre quer a rea da regio sombreada dada, em funo
de x, por:
( ) 2 2A x tgx
4.2. Determine 4
A
e interprete o resultado obtido no contexto
do problema.
4.3. Justifique, analiticamente, que a funo A tem extremos em 0,4
5. De uma funo g, de domnio , , sabe-se que a sua derivada est definida igualmente no
intervalo , e dada por:
'( ) 2cosg x x x
5.1. Estude a funo g quanto s concavidades do seu grfico e determine as abcissas dos pontos
de inflexo.
5.2. Considere a funo h, definida no intervalo , por ( )
( )1 cos
g xh x
x
.
Determine as equaes das assntotas do grfico da funo h.
Fim
Cotaes:
1. Parte
Questes10 pontos cada
questo. Total :1.1. 1.2. 1.3. 2.1. 2.2. 3. 4.1. 4.2. 4.3. 5.1. 5.2. Total
Pontos 50 10 15 15 10 15 15 15 10 15 15 15 200
2. Parte
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Formulrio
Comprimento de um arco de circunferncia
. (r amplitude, em radianos, do ngulo ao
centro; r raio)
reas de figuras planas
Losango:
2
Diagonal maior Diagonal menor
Trapzio:
2
Base maior Base menorAltura
Polgono regular: SemipermetroAptema
Sector circular:
2
2
r ( amplitude, em radianos,
do ngulo ao centro; r raio) reas de superfcies
rea lateral de um cone: rg (r raio da base; g geratriz)
rea de uma superfcie esfrica: 24 r
(r raio)
Volumes
Pirmide:1
3rea da baseAltura
Cone: 1
3rea da baseAltura
Esfera: 34
3r (r raio)
Trigonometria
sen (a + b) = sen a .cos b + sen b. cos a
cos (a + b) = cos a .cos b sen a. sen b
tg (a + b) = 1 .
tga tgb
tga tgb
Complexos
( ) ( . )n ncis cis n
2
, k 0,...,n-1n nk
cis cisn
Probabilidades
1 1 ... n nx p x p
2 2
1 1( ) ... ( )n nx p x p
Se X N(,) , ento:
( ) 0,6827P X
( 2 2 ) 0,9545P X
( 3 3 ) 0,9973P X
Regras de Derivao
'u v u v
uv u v uv
2
u u v uv
v v
1( ) (n )n nu nu u
cos sen u u u
cos u u sen u
2
cos
utg u
u
u ue u e
( ) lnu ua u a a ( \{1})a
ln u
uu
(log )ln
a
uu
u a
( \{1})a
Limites notveis
1lim 1
n
en
0
lim 1
xx
sen x
0
1lim 1
x
x
e
x
0
ln( 1)lim 1x
x
x
lnlim 0
x
x
x
lim (p )
x
px
e
x
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Solues:
1. Parte
1. (A) 2. (B) 3. (B) 4. (A) 5. (A)
2. Parte
1.1. 12 1
5 5i 1.2.
32
10cis
1.3. 2n
2.1. 72
cis
e 3
72
cis
3. 11 23 35
2 , 2 , 2 , 224 24 24 24
z cis cis cis cis
4.2. 4
A
A regio sombreada coincide com o quarto de crculo.
4.3. ( ) 0A x Min: 2 Mx:
5. 1.
x 6
5
6
g + 0 0 +
g
5.2. x e x
No tem assntotas no verticais porque o domnio limitado.
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