Escoamento
Primeira parte deste assunto é dada no quadro a partir do livro e de
manuscritos
Derivação das equações de Saint Venant
• Manuscrito + livro
Simplificação das equações de Saint-Venant
02
fSAgx
hAg
A
Q
xt
Q
qx
Q
t
A
00
2
SAgSAgx
yAg
A
Q
xt
Q
qx
Q
t
A
f
ou
Simplificação das equações de Saint-Venant
00
2
SAgSAgx
yAg
A
Q
xt
Q
qx
Q
t
A
f
322 RA
nQQS f
Simplificação das equações de Saint-Venant
00
SAgSAgx
yAg
qx
Q
t
A
f
Modelo difusão
Simplificação das equações de Saint-Venant
00
SAgSAg
qx
Q
t
A
f
Modelo onda cinemática
Simplificação das equações de Saint-Venant
lificadafunçãosimp
qx
Q
t
A
Modelo de armazenamento
O que queremos representar com os modelos?
• Efeitos que ocorrem com a onda de cheia quando se propaga ao longo de um rio ou canal.
• Que efeitos são esses?
Translação
A
B
Q
t
Hidrograma em A
Hidrograma em B
Amortecimento
A
B
Q
t
Hidrograma em A
Hidrograma em B
Efeitos de jusante
A
B
Q
t
Hidrograma em AHidrograma em B
h em B (maré)
Simplificações do escoamento
Aplicabilidade dos modelos
Daluz Vieira, 1983 Journal of Hydrology Vol. 60 pp. 43-58
Modelos de armazenamento
• Reservatório linear simples
• Modelo SSARR• Modelo Muskingum
lificadafunçãosimp
qx
Q
t
A
Modelo de escoamento baseado no reservatório linear simples
QKS
QIdt
dS
O modelo Convex
QKS
QIdt
dS
tttt
QIt
SS
1
tttt
QIt
QQK
1
Supondo vazão de saída proporcional ao armazenamento no trecho
K
tCX
QCXICXQ ttt
11
O modelo Convex
Supondo vazão de saída proporcional ao armazenamento no trecho
K
tCX
QCXICXQ ttt
11
CX deve ser menor ou igual a 1
O modelo Convex com CX=1
O modelo Convex com CX=0,35
O modelo Convex com CX=0,10
• Ponce mostra que o modelo Convex é uma solução da equação de onda cinemática
Modelo SSARR
Q
K
onde
QKS
QIdt
dS
Mais detalhes no manuscrito
Modelo Muskingum
• Criado na década de 1930 por McCarthy para representar a propagação de vazão ao longo do rio Muskingum.
),( QIfS
QIdt
dS
Supõe que S estárelacionado a I e Q
• Parei aqui aula de 10 de setembro.
Modelos onda cinemática
Porque cinemática?Está envolvendo apenas o movimento, e não as forças.
00
2
SAgSAgx
yAg
A
Q
xt
Q
qx
Q
t
A
f
Dinâmica = envolve forças e variações de momentum
Importância dos termos da equação dinâmica em rios
02
fSAgx
hAg
A
Q
xt
Q
qx
Q
t
AExemplo rio Kitakami (A=7860km2)
Máximo 1,5%Normal <1%
Importância dos termos da equação dinâmica em rios
3
00
2
0
0
107,1
102
9,0
gStV
gStV
Sxh
S
S f
Exemplo rio Kitakami (A=7860km2)
Termo de advecção e termode variação temporal da quantidade de movimento são muito pequenos frenteaos outros termos
Termo de pressão é pequeno
Modelos onda cinemática
00
SAgSAg
qx
Q
t
A
f
Exemplo onda cinemáticaAplicabilidade onda cinemática
Material manuscrito onda cinemática
Modelo onda cinemática
• Material manuscrito• Combinando a
equação dinâmica simplificada com a equação da continuidade, supondo relação direta entre Q e A, ou entre Q e h:
0
x
Qc
t
Q
celeridade
Celeridade x velocidade
• Celeridade é a velocidade com que se deslocam perturbações de nível ou vazão
• É diferente da velocidade.• Pequenas ondas:
celeridade dinâmica
• Ondas de cheia: predomina a celeridade cinemática
hgc
dA
dQc
Tendem a ser amortecidas
Onda cinemática
• Onda cinemática não tem dispersão nem difusão
• A onda é transladada sem sofrer alterações na forma
AB
Q
t
Hidrograma em AHidrograma em B
Onda cinemática
011
1111
x
QQc
t
QQ nj
nj
nj
nj
Esquema de segunda ordem02222
11111
111
x
QQQQ
ct
QQQQ nj
nj
nj
nj
nj
nj
nj
nj
Esquema de primeira ordem
Esquema de segunda ordem
nj
nj
nj
nj QCQCQCQ 121
10
11
02222
11111
111
x
QQQQ
ct
QQQQ nj
nj
nj
nj
nj
nj
nj
nj
C
CC
CC
CC
1
1
11
1
2
1
0
x
tVC
Número de Courant
Esquema de primeira ordem
nj
nj
nj QCQCQ 12
10
11
CC
C
CC
1
11
2
0
x
tVC
Número de Courant
011
1111
x
QQc
t
QQ nj
nj
nj
nj
Exemplo onda cinemática
• Arquivo Excel onda cinemática
• Difusão ocorre porque o esquema numérico não representa perfeitamente a equação
• Difusão numérica
Modelo difusão
• Celeridade = c
• Difusividade = D
• Translação e difusão
• Não representa efeitos de jusante
0
0
2
2
2 SB
QD
A
Qc
x
QD
x
Qc
t
Q
A
B
Q
t
Hidrograma em A
Hidrograma em B
A
B
Q
t
Hidrograma em A
Hidrograma em B
Modelo Muskingum-Cunge
• Cunge mostrou como igualar a difusão numérica à difusão real no modelo Muskingum
• Veja Apendice B no livro do Ponce
xc)X5.0(D Difusão numérica
dt
dIKXIQ
dt
dQ)X1(K Muskingum original
x ideal Muskingum Cunge
2
200
00 5,1115,0
cStB
Qtcx
Jones 2,08,00
00
0 8,0 xtccSB
Qx
Fread
Na prática
• Suponha um caso de propagação com L = 40 km
• O Dx ideal encontrado é 12 km
• Podem ser usados 4 trechos de 10 km ou 3 trechos de 13,33 km
Limites de K e X
• Modelos página 163
• Ver rotina parcunge
Muskingum Cunge não linear
• A celeridade não é constante
• Os parâmetros do método de Muskingum Cunge deveriam variar
• Celeridade varia com o nível da água ou com a vazão
Celeridade aumenta
Celeridade diminui
O modelo Muskingum Cunge não linear
Evidências experimentais
Murrumbidgee river - Wang e Laurenson, 1983 Water Resources Research
O modelo Muskingum Cunge não linear
Evidências experimentais
Souza et al., 2007 (Simpósio da ABRH)
Muskingum Cunge não linear
• Substituir K e X (C1, C2 e C3) constantes por variáveis
• A cada passo de tempo é necessário recalcular o valor de K e X (C1, C2 e C3)
• Só o que não muda é o x
Muskingum Cunge não linear
• Qual vazão usar como referência?
• Criar tabela Q x C a partir de tabela
• h x A x Q
Vazão de referência
3
)Q(c)Q(c)Q(c)j,t(ce
3
QQQ)j,t(Qo
t1j
1tj
tj
t1j
1tj
tj
))j,t(Qo(c)j,t(ce3
QQQ)j,t(Qo
t1j
1tj
tj
4
)Q(c)Q(c)Q(c)Q(c))j,t((ce
4
QQQQ)j,t(Qo
1t1j
t1j
1tj
tj
1t1j
t1j
1tj
tj
))j,t(Qo(c))j,t((ce4
QQQQ)j,t(Qo
1t1j
t1j
1tj
tj
iterativos
Muskingum Cunge não linear
• Problemas de conservação de volume
Conservação de volume - testesEsquema S0=0,003 S0=0,0008 S0=0,0003 S0=0,0001
Qpico Tpico V Qpico Tpico V Qpico Tpico V Qpico Tpico V
(m3/s) (horas) (%) (m3/s) (horas) (%) (m3/s) (horas) (%) (m3/s) (horas) (%)
Hidrograma=2 MCL 900 29 100.00 898 32 100.00 883 35 100.00 783 40 100.00 MCNL3-1 900 29 99.93 898 31 99.87 884 34 99.66 766 40 98.67 MCNL3-2 900 29 99.94 898 31 99.89 884 34 99.68 766 40 98.67 MCNL4-1 900 29 99.99 898 31 99.94 884 34 99.73 767 40 98.73
MCNL4-2 900 29 100.00 898 31 99.96 884 34 99.74 766 40 98.72
Hidrograma=10
MCL 899 30 100.00 888 32 100.00 826 35 100.00 610 36 100.00
MCNL3-1 899 29 99.86 889 31 99.73 822 34 99.31 556 38 97.79 MCNL3-2 899 29 99.88 889 31 99.77 822 34 99.35 556 38 97.79 MCNL4-1 899 29 99.99 889 31 99.89 889 31 99.89 557 38 97.88
MCNL4-2 899 29 100.00 889 31 99.92 823 34 99.48 557 38 97.89
Hidrograma=20 MCL 898 30 100.00 876 32 100.00 770 35 100.00 514 35 100.00
MCNL3-1 898 29 99.71 878 31 99.46 753 34 98.77 445 38 96.80 MCNL3-2 898 29 99.76 878 31 99.56 754 34 98.84 445 38 96.80 MCNL4-1 897 29 99.97 878 31 99.77 755 34 99.02 447 38 96.97
MCNL4-2 897 29 100.01 878 31 99.85 756 34 99.07 447 38 96.98
Para S baixo e hidrograma rápido, perdas de mais de 3%
Muskingum Cunge não linear com conservação de volume
2
2
x
h'D
x
h'c
t
h
cor/D'D
corc'c
x
Q
Qoc
D2μ1cor
x2
QQQQ
x
QecorQoQ
1tj
tj
1t1j
t1j
aproximadamente 0,2 para canais de pouca declividadeTema para trabalho
Temas para trabalhos
• Comparar resultados MC com HEC-RAS• Testar perdas de volume no IPHS-1• Hidrogramas naturais em rios naturais
também tem perdas quando usa MC não linear?
• MC não linear é capaz de representar redução da velocidade de propagação no São Francisco?