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8. Faça a associação da função com a sua possível representação gráfica (diagramas 2D e 3D cartesianos) e justifique tal
associação.
a) �� �� � � � �, real b) ���� � �� � �, duas variáveis
c) �� �� � � � �, curva no � d) ���� � � � ��, curva no ��
e) �� �� � �� � �, superfície f) ���� � � � �, campo no � / transf. espac.
g)��� �� � �� � ��, campo no �� / transf. plana
9. Valendo-se dos 7 modelos vistos no formulário, faça a associação da função com a sua possível representação gráfica
(diagramas 2D e 3D cartesianos) e justifique tal associação.
a) 2 2( , )f x y x y= + b) 3( ) 2 3 4f x x x= ⋅ + ⋅ − c) ( )( ) , 2 cos , 4 senf t t t t= ⋅ ⋅
d) ( )2 2( , ) , ,f u v u v u v= + e) ( )2 2 2( , ) ,f x y x xz y z= − − f) ( )2 2 2( , , ) , ,f x y z x y x xz y z= + − −
g) ( )( ) 2 cos , 4 senf t t t= ⋅ ⋅ h) 422 =+ yx i) 4222 =++ zyx
10. Determine o domínio e a imagem das funções de duas variáveis cujas expressões estão abaixo.
a) yxz −−=1 b�) 22 yxz += c�) )cos( yxz += d)
yxez ⋅=
e) yxez −= f) )1log( 22 −+= yxz g)
221 yxz −−= h) z
yxu
⋅=
1 2
3 4
5 6 7
8
9
14
11 12
13
C1
C2
C3
C4
10
15
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11. �Usando o Winplot desenhe as superfícies 14925
222
=++zyx
e 024
22
=−−zy
x .
12. Usando o Winplot desenhe as superfícies 1222 =−+ xzy e 0222 =−+− xzy .
13. Usando o Winplot desenhe as superfícies 022 =−+ xzy e 422 =+ xy .
x
y
zx^2/25+y^2/9+z^2/4=1
Elipsóide
(-5.00,3.00,-2.00)
(5.00,-3.00,2.00)
x
y
z
x-y^2/4-z^2=0
Parabolóide Elíptico
(0.00,10.00,-5.00)
(25.00,-10.00,5.00)
x
y
z
y^2+z^2-x^2=1
Hiperbolóide de uma Folha
(-5.00,5.50,-5.50)
(5.00,-5.50,5.50)
x
y
z
-y^2+z^2-x^2=0Cone
(-5.00,5.50,-5.50)
(5.00,-5.50,5.50)
x
y
z
y^2+z-x^2=0Parabolóide Hiperbólico
(-5.00,5.50,-5.50)
(5.00,-5.50,5.50)
x
y
z
y^2+x^2=4Cilindro
(-5.00,5.50,-5.50)
(5.00,-5.50,5.50)
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14. Usando o Winplot desenhe o gráfico das funções de duas variáveis cujas expressões estão abaixo. Utilize diagramas
em 3D e também curvas de nível em 2D.
a) 10
22 yxz
+= b)
10
22 yxz
−= c) yxz +=
d)
( )1ln510
2
+⋅−= yx
z e)
+
−= 1
5
|22|ln
yxz f)
5
yxz
⋅=
g) yxz −= h) ( )
(y)x
z sen10
33
+−= i) (y)x
z sen10
2
+−=
j)
10210
2
+⋅=
y
xz k) (y)(x)z cossen += l)
++⋅= 122ln3 yxz
m) ( )1ln510
2
+⋅+= yxz n) ( )10
332
yxz−
= o) ( )1ln5 ++⋅= yxz
p) yxz ⋅= q�) 223 23 yyxyxxz +⋅⋅+⋅⋅−=
15. �Determine o valor imagem da superfície 223 23 yyxyxxz +⋅⋅+⋅⋅−= nos pontos (1, 1) e (1, 2).
-4.0 -3.0 -2.0 -1.0 1.0 2.0 3.0 4.0
-2.0
-1.0
1.0
2.0
3.0
x
y
B=6
B=8
B=10
B=4
B=2
B=0
B=-2
B=-4
B=-8
B=-10
z=10
z=8
z=6
z=4
z=2
z=0
z=-2
z=-4
z=-8
z=-10
x
y
16. Usando o Winplot desenhe o gráfico das curvas e superfícies cujas expressões estão abaixo.
a) � �� � ����� ����� �� � ������ � ������ � ��� b)�� �� � �� ��� �� � ��� � ��� � ���
c)�� �� �� � ���������� ���������� ����� �
����������� � ����������� � ������
d)�� �� �� � ������ ����� �� �
������ � ������ � ���
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17. Represente graficamente as funções seguintes da forma que é solicitada.
a) 22),( yxyxf += no �
b�) 2 2z x y= + , pelas curvas de nível z=0, z=4, z=9 e z=16 no ��
c�)
2 2
2 2( , )
2 3
x yf x y = + no �
d)
2 2
2 2( , )
2 3
x yf x y = + , pelas curvas de nível z=0, z=4, z=9 e z=16 no ��
e)
2 2
2 2( , )
2 3
x yf x y = − no �
f)
2 2
2 2( , )
2 3
x yf x y = − , pelas curvas de nível z=0, z=4, z=9 e z=16 no ��
g) 1),( =yxf , esboçando algumas curvas de nível no ��
h) 22
1),(
yxyxf
+= , esboçando algumas curvas de nível no ��
i) yxyxf +=),( , esboçando algumas curvas de nível no ��
j) 21
1),(
yyxf
+= , esboçando algumas curvas de nível no ��
k) xyxf =),( , esboçando algumas curvas de nível no ��
l)22),( yxyxf += , esboçando algumas curvas de nível no ��
m)2),( xyxf = , esboçando algumas curvas de nível no ��
n)221
1),(
yxyxf
−−= , esboçando algumas curvas de nível no ��
o) 22),( yxyxf += , esboçando algumas curvas de nível no ��
18. Considerando-se a transformação plana de coordenadas polares para retangulares, preencha a tabela fornecida.
����� � � !����� �� θ� � "� #� $" � � % ���θ# � � % ���θ & ����� !� � ����� "� #� � �� θ�'(()((*� � +"� � #�θ �
'()(*,� - .���.� /0 � ���# 1 2- ,� - .���.� /0 � ���# 3 22� ���# � 2���" 4 2-5� ���# � 2���" 3 2
&&
-π
pore
repo
y
x Re R θθθθ
r
R
θ
r
π
Po
R
Esta tampa não
faz parte.
PONTO Polares Retangulares
r θθθθ x y A 0 0
B R 0
C R/2 π/4
D R π/2
E R/2 -π/2
F R -π
G R 0
H 0 R
I -R 0
J R/2 R/2
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19. �Considerando-se a transformação espacial de coordenadas cilíndricas para retangulares, preencha a tabela
fornecida.
����� 6� � !����� �� θ� 7� � "� #� 7� 8" � � % ���θ# � � % ���θ7 � 7 & ����� !� � 6����� "� #� 7� � �� θ� 7�'(()((*� � +"� � #�θ �
'()(*,� - .���.� /0 � ���# 1 2- ,� - .���.� /0 � ���# 3 22� ���# � 2���" 4 2-5� ���# � 2���" 3 2
&7 � 7
&
20. Considerando-se a transformação espacial de coordenadas esféricas para retangulares, preencha a tabela fornecida.
����� 9� � !����� ρ� θ� φ� � "� #� 7� 8" � ρ % ���φ % ���θ# � ρ % ���φ % ���θ7 � ρ % ���φ & ����� !� � 9����� "� #� 7� � ρ� θ� φ�
'((()(((*ρ � +"� � #� � 7�θ �
'()(*,� - .���.� /0 � ���# 1 2- ,� - .���.� /0 � ���# 3 22� ���# � 2���" 4 2-5� ���# � 2���" 3 2
&
φ � :,� - .���.� ;< � ���� � +"� � #� = 22� ���� � 2���7 4 25� ���� � 2���7 3 2 &&
cire
reci
θ r
π
-π Ci
R
z
H
y x
Re
z
H
R
r
θθθθ
z
R
Esta tampa não
faz parte.
esre
rees
θ ρ
π
-π Es
R
φ
π
x
Re
z
y R
φφφφ
θθθθ
ρρρρ
R
R
Esta tampa não
faz parte.
PONTO Cilíndricas Retangulares
r θθθθ z x y z A 0 0 0
B R 0 H
C R/2 π/4 H/2
D R π/2 0
E R/2 -π/2 H
F R -π H/2
G R 0 0
H 0 R H
I -R 0 H/2
J R/2 R/2 0
PONTO Esféricas Retangulares
ρρρρ θθθθ φφφφ x y z A 0 0 0
B R 0 π/2
C R/2 π/4 π/4
D R π/2 π/2
E R/2 -π π
F 0 0 0
G R 0 0
H 0 R 0
I 0 0 R
J R/2 R/2 R/2
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