3 Análise numérica de problemas a poroelasticidade
3.1 Introdução
Qualquer tipo de escavação em uma rocha leva a um descarregamento das
tensões pré-existentes, quer seja a abertura de túneis, shafts para minas, poços e
outros. Na exploração de poços, a variação da pressão do fluído que preenche os
poros da rocha, interage com o campo de tensões, à medida que a poropressão
varia ao redor do poço contribuindo de modo significativo no comportamento
mecânico.O interesse deste trabalho é associar os mecanismos de ruptura
decorrentes da alteração do estado de tensões in situ ao redor de um poço de
petróleo com processos de produção de areia.
Esta dependência do processo difusivo e relação tensão-deformação levam à
consideração do acoplamento fluido–mecânico no estudo da produção de areia.
Neste capítulo descreve-se sucintamente o processo de acoplamento baseado na
teoria poroelasticidade de Biot (1941). Além deste tópico, encontra-se uma
discussão sobre a solução adotada pelo programa de elementos finitos ABAQUS e
a validação de resultados obtidos pelo programa através da solução analítica
proposta por (Detournay e Cheng, 1988).
3.2 Teoria da poroelasticidade de Biot
O meio poroso descrito em sua teoria é elástico linear, isotrópico e
considera os poros totalmente ocupados por um fluído.A síntese feita neste tópico
basea - se no trabalho de Biot (1941).
As equações governantes do problema poroelástico provêem das equações
de equilíbrio, compatibilidade deformação–deslocamento, relação tensão-
deformação da teoria da elasticidade e da lei de Darcy.
37
3.2.1 Equações de equilíbrio
Estas equações são as mesmas dadas pela teoria da elasticidade, entretanto
considera-se que a tensão normal (σ ) a um plano é constituída por duas parcelas,
uma representando a tensão no esqueleto sólido e outra a poropressão no fluído, f
é a força de massa.
0fij,ij =+σ (3.01)
Neste tipo de notação, índices repetidos significam soma e o sinal de vírgula
a derivada.
3.2.2 Relação deformação – deslocamento
Estabelecem uma função entre deformação e deslocamento.
( )i,jj,iij uu21
+=ε (3.02)
onde ε é a deformação e u representa o deslocamento.
3.2.3 Relação tensão – deformação
Biot inclui na sua formulação uma variável adicional para descrever a
quantidade de fluído que ocupa os vazios do meio poroso. Esta variável representa
o incremento de volume de fluido por unidade de volume de material e é
designada por variação do volume de fluído (θ ’), que está relacionada a poro-
pressão designada por p.
A relação entre deformação e tensão é expressa por:
H3p
D ijkl
1ijklij
δ+σ=ε − (3.03)
onde D e matriz constitutiva do esqueleto sólido, descrita pelas constantes
elásticas do módulo de cisalhamento (G), módulo de Young (E) e o coeficiente de
Poisson υ ; H é uma constante relacionada ao fluído e δ é o delta de Kronecker.
A parcela Hp
3 introduz a poropressão e é adicionada somente as tensões
normais por não produzir qualquer tensão cisalhante. Seu efeito é igual nas três
38
componentes de deformação normal ao plano de referência devido à hipótese de
isotropia. A expressão (3.03) relaciona deformação à tensão e poropressão,
entretanto necessita-se de uma relação entre a variação do volume de fluído com a
tensão e a poropressão. Uma relação geral é dada por:
cpai += σθ ' (3.04)
sendo c e constantes, a σ o vetor de tensões e i um índice variando de 1 a 6.
Considerando novamente a hipótese de isotropia, uma mudança de sinais
na tensão cisalhante não deverá influenciar na variação do volume de fluído,
portanto as constantes que estão multiplicadas pelas tensões cisalhantes terão
valores nulos, o que permite reduzir o intervalo i de 1 a 3.
Biot desenvolve a expressão (3.04) na seguinte forma:
( ) pRH zyx1
31'
1+++= σσσθ (3.05)
Biot na sua formulação considera a existência de uma energia potencial, que
permite estabelecer a igualdade entre e (expressão 3.03). A partir de então
somente será referenciado. Expressando a tensão em função da deformação
através da expressão (3.03), obtêm-se:
1H H
H
pG ijkk
ijij αδν
νεεσ −
−
+=21
2 (3.06)
onde:
( )( ) H
Gυυα213
12−+
= (3.07)
Somando as três componentes de tensão normal que podem ser obtidas pela
expressão (3.06) e introduzindo essa soma na expressão (3.07), tem–se para a
expressão (3.05) a seguinte forma:
pkk Q
p+=αεθ ' (3.08)
onde
HRQp
α−=
11 (3.09)
As constantes elásticas presentes na expressão (3.03) estão relacionadas ao
esqueleto sólido. As constantes relacionadas ao fluído, presentes nas expressões
(3.08) e (3.09) podem ser interpretadas através de um simples exemplo de uma
39
amostra de solo envolvida por uma fina membrana, tal que as tensões aplicadas
sejam desprezíveis. Introduzindo um pequeno tubo que acompanhará a membrana
e submetendo uma poropressão negativa p, uma certa quantidade de água é
drenada. Pela expressão (3.05) tem-se:
pR1' −=θ (3.10)
Somando as três componentes normais de deformação dadas pela expressão
(3.03), a deformação volumétrica é dada por:
Hp
kk −=ε (3.11)
Logo, as constantes H1 e
R1 representam respectivamente a
compressibilidade do solo para uma variação na poropressão e a mudança no
volume de água para uma dada mudança de poropressão.
3.2.4 Equações governantes
O acoplamento fluído-mecânico é um processo transiente, procede-se a
seguir a caracterização das expressões descritas anteriormente como função do
tempo.
As tensões dadas na expressão (3.06) devem satisfazer a equação de
equilíbrio (3.01), utilizando a relação deformação-deslocamento (3.02) tem-se:
021
2 =∂∂
−∂∂
−+∇
ii
kki x
px
GuG αε
υ (3.12)
A expressão 3.12 descreve o comportamento mecânico do meio poroso,
observa-se a semelhança com a equação de Navier estudada na elasticidade.
Entretanto, ainda é necessária uma relação para o comportamento difusivo, esta
relação será obtida do balanço de massa. Considerando-se que um fluído
incompressível atravesse um cubo de dimensões infinitesimais, a taxa de fluído
que atravessa uma área unitária em um tempo t deverá ser igual à variação de
volume de fluido no cubo no mesmo tempo t.
O volume de fluído que atravessa o cubo é dado pela lei de Darcy
40
ii x
pkV∂∂
−= (3.13)
tem-se:
ii
ii
xV
t ∂∂
−=∂∂ 'θ (3.14)
Substituindo a expressão (3.13) e (3.14) em (3.08) obtêm-se:
tp
Qtpk
p
kk
∂∂
+∂∂
=∇12 ε
α (3.15)
As equações (3.12) e (3.15) formam o conjunto de equações governantes da
poroelasticidade. Apesar da formulação proposta por Biot explicar fenômenos da
área geomecânica como a subsidência devido à drenagem de um fluído ou a
ruptura por tração induzida pela pressurização de um poço, ela apresenta o
inconveniente de seus parâmetros não permitirem uma fácil interpretação física.
Rice e Cleary (1976) colocaram a formulação de Biot em função de parâmetros
usuais da mecânica dos solos e das rochas. Uma descrição mais aprofundada desta
formulação e outros trabalhos como o de Risnes (1992) é feita por Ferreira (1996).
3.2.5 Análise de problemas de poroelasticidade pelo programa ABAQUS
A complexidade das equações governantes da poroelasticidade torna a
geração de soluções analíticas uma tarefa difícil. A técnica numérica é então o
meio mais apropriado para a obtenção de resultados. O programa ABAQUS foi
selecionado pela sua potencialidade em resolver problemas diversos de
engenharia, no presente caso, o acoplamento fluido-mecânico.
O acoplamento fluído–mecânico como visto, consiste na solução de um
sistema de equações diferenciais de equilíbrio e balanço de massa de um meio
poroso. De acordo com o manual do usuário (ABAQUS - Theory Manual), o meio
poroso é considerado no programa como um meio multi-fásico constituído por
matéria sólida e seus vazios preenchidos por um líquido e um gás. As equações de
equilíbrio e continuidade discretizadas são solucionadas através do método de
Newton.
41
A condição de equilíbrio é expressa pelo princípio do trabalho virtual para
um determinado volume em um tempo t qualquer como:
( )∫ ∫ ∫∫ ⋅++⋅+⋅=v S V vwtV vvs dVgnsndVfdSTdV δρδδδεσ ': (3.16)
sendo:
:vδ campo de velocidade virtual
:εδ taxa de deformação virtual
:sT força de superfície
:f força de massa
:σ tensão
:wρ massa específica do fluído
:g aceleração da gravidade
:n t volume de fluído absorvido pelo meio poroso por unidade de volume
:'n porosidade do meio
s: saturação
A parcela referente à absorção fluído pelo sólido não será considerada neste
trabalho. O balanço de massa é obtido da mesma forma do item 3.2.4, entretanto o
fluxo é regido pela lei de Forchheimer, que é dada por:
( )x
kvvvsn www ∂∂
−=+φβ
^1' (3.17)
onde:
:vw velocidade média do fluido em relação à parte sólida (velocidade de
percolação)
:β coeficiente de velocidade
:k^
permeabilidade do meio poroso
:φ carga piezométrica
Nota-se que se a velocidade do fluído for baixa a lei de Forchheimer se
reduz à lei de Darcy, a mesma condição ocorre se o coeficiente de velocidade for
nulo. Assim, o balanço de massa usando a lei de Forchheimer é:
42
( ) ( )
( )∫
∫ =∆+
−∂∂
∂∂
+∆
+
+−+
V
S ww
ww
www
www
s
tt
w
wt
w
ww
dSvnsnut
dV
gx
uk
xu
vvgk
t
nsnJJ
nsnu
1
0'
1
'1'
1
_
0
0
00
ρρ
δ
ρδ
βρ
ρρ
ρρ
δ
(3.18)
sendo:
:u wδ campo variacional relacionado a poro-pressão
:0wρ massa específica em uma configuração de referência
0dVdVJ = : taxa de volume do meio da sua configuração corrente para a
configuração de referência
:t∆ incremento de tempo
:k s função em termo de saturação que introduz uma dependência da
permeabilidade em função da saturação
( ) :,exk permeabilidade em função da coordenada espacial e do índice de
vazios.
:n_
vetor unitário normal à superfície S1
Na equação (3.18) a permeabilidade k ficou definida pelo produto da
função por , onde para um meio saturado é igual a 1. Segundo o manual
de teoria do ABAQUS as equações governantes do processo difusão de fluído e
deformação são:
^
sk k sk
equação de equilíbrio: FpLuK =+ ''
equação de fluxo: ''' QpHdtduB =+
onde K é a matriz de rigidez, 'H é matriz de fluxo, e 'L 'B são matrizes
permitem o acoplamento.
Existem dois tipos de aproximação para resolver este sistema de equações.
Uma aproximação seria solucionar primeiro um conjunto de equações, depois com
o resultado da primeira equação resolver a segunda. Com o resultado da segunda
equação retorna-se para a primeira e verifica-se a variação de resultados. Se a
43
variação é mínima, a solução por este processo iterativo termina. Caso contrário, o
processo iterativo continua até que a variação de resultados seja mínima. O
segundo tipo de solução é resolver as duas equações ao mesmo tempo, este modo
é o adotado pelo programa ABAQUS. A validação do programa é feita no
próximo tópico.
3.2.6 Exemplos de validação
A validação do programa ABAQUS será feita com dois exemplos. O
primeiro se refere a uma coluna poroelástica e o segundo a um poço vertical
submetido a um estado de tensões não hidrostático.
3.2.6.1 Adensamento unidimensional
A situação em questão é a de um horizonte de solo de espessura L
repousando sobre uma camada rígida e impermeável, cuja superfície sofre a
aplicação de um carregamento sob condições drenadas. As condições de contorno
são e p = 0 em x = 0, para x = L tem-se )(* tHpxx −=σ 0=xu e 0=∂∂
xp .
Desde que o carregamento seja constante, a solução para este problema recai
na equação de difusão.
02
2=
∂∂
−∂∂
xpc
tp (3.19)
onde c é o coeficiente de difusividade, dado por
( )( )( ) ( )u
u
vvvvvkG
c−−
−−=
12112
22α (3.20)
44
Figura 3.01 – Esquema da coluna poroelástica
k é a permeabilidade, G módulo de cisalhamento, coeficiente de Poisson não
drenado, coeficiente de Poisson e
uv
v α é o coeficiente de Biot, definido aqui como
função do módulo volumétrico do esqueleto sólido ( )K e dos grãos ( )sK .
sKK
−= 1α (3.21)
A solução analítica para o caso da coluna poroelástica é dada por Detournay
e Cheng (1993). A poropressão e o deslocamento são dados em função das
variáveis adimensionais x’ e t’. A expressão do excesso de poropressão é dada
pela expressão (3.22).
( )','(1* txFGSpp −=
η (3.22)
onde:
Lxx =' (3.23)
24'
Lctt = (3.24)
( )∑∞
=
−
−=
,..3,1
22 'exp2
'sen41)','(m
tmxmm
txF πππ
(3.25)
( )vv
−−
=12
21αη (3.26)
u
u
vv
GBS
+−
=113' η (3.27)
45
( )( ) KKK
Bf
f
φαφαα
+−−=
1 (3.28)
sendo módulo volumétrico do fluído, fK φ a porosidade, B o coeficiente de
Skempton e p* o carregamento. A expressão para o deslocamento é dada por
uuu uxx ∆+= (3.29)
sendo:
( )( ) ( )'112
21*x
vGvLp
uu
uux −
−−
= (3.30)
( )( )( ) ( )','
112*
2 txFvvGvvLp
uu
ux −−
−=∆ (3.31)
( )[ ]∑∞
=
−−
=
,...3,1
22222 'exp1
2cos8
mtmxm
mF ππ
π (3.32)
onde é o deslocamento inicial elástico na condição não- drenada e é o
incremento de deslocamento dependente do tempo.
uxu xu∆
Apresenta-se a seguir a comparação de resultados da simulação numérica
com a solução analítica para o arenito de Berea, considerando a situação dos
materiais constituintes serem incompressíveis ou não. Esta condição é
caracterizada pelo coeficiente de Biot ( )α , que para a situação incompressível
assume o valor unitário. O carregamento p é igual a 1 MPa e os parâmetros
referentes ao material são listados na tabela 3.01. G 6000 MPa
υ 0.20
uυ 0.33
B 0.62
c 1.6 m2/s η 0.30
α 0.79
sK 36000 MPa
fK 3300 MPa
'n 0.19
k 1.9 x 102 mD
Tabela 3.01 – Parâmetros poroelásticos do arenito de Berea (Detournay e Cheng, 1993).
46
Por uma imposição do programa de elementos finitos, a reposta da pressão
de fluido é definida em excesso de poropressão. A comparação da resposta
analítica e numérica será feita obedecendo à convenção do programa.
4.00E-04
4.50E-04
5.00E-04
5.50E-04
6.00E-04
6.50E-04
0 100 200 300 400 500 600 700 800Tempo (s)
Des
loca
men
to (m
) Detournay e ChengAbaqus
Figura 3.02 – Deslocamento no topo da coluna com o tempo - 62.0=α
0.00E+00
1.00E-04
2.00E-04
3.00E-04
4.00E-04
5.00E-04
6.00E-04
7.00E-04
0 100 200 300 400 500 600 700 800Tempo (s)
Des
loca
men
to (m
)
Detournay e ChengAbaqus
Figura 3.03 – Deslocamento no topo da coluna com o tempo - 1=α
47
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0 100 200 300 400 500 600 700 800Tempo (s)
Exce
sso
de p
orop
ress
ão (M
Pa)
Detournay e ChengAbaqus
Figura 3.04 – Excesso de poropressão na base da coluna com o tempo - 62.0=α
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
0 100 200 300 400 500 600 700 800Tempo (s)
Exce
sso
de p
oro-
pres
são
(MPa
)
Detournay e ChengAbaqus
Figura 3.05 - Excesso de poropressão na base da coluna com o tempo - 1=α
48
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 12.00Posição na coluna (m)
Exce
sso
de p
oro-
pres
são
(MPa
)
Detournay e ChengAbaqus
t = 507 s
t = 307 s
t = 107 s
t = 10 s
Figura 3.06 – Excesso de poropressão ao longo da coluna - 62.0=α
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 12.00Posição na coluna (m)
Exce
sso
de p
oro-
pres
são
(MPa
)
Detournay e Cheng
Abaqus
t = 527 s
t = 327 s
t = 127 s
t = 27 s
Figura 3.07 - Excesso de poropressão ao longo da coluna - 1=α
As figuras 3.02 e 3.03 mostram o deslocamento do topo da coluna com o
tempo, a resposta obtida pela simulação numérica possui boa concordância com a
solução analítica. É interessante notar também o deslocamento no início do
processo de adensamento, segundo a mecânica dos solos para constituintes
49
incompressíveis ( 1= )α o processo de adensamento não produz qualquer
deslocamento (situação não – drenada), ao passo que para materiais compressíveis
( 62.0= )α isto não se verifica.
Em relação às figuras 3.04 e 3.05 a concordância entre os resultados se
repete. Como no caso do deslocamento há uma diferença de comportamento entre
materiais compressíveis ou não. De acordo com a teoria de Terzaghi (1923), para
a situação de materiais incompressíveis, no instante do carregamento o fluído
absorve toda a carga aplicada ao meio poroso, como consequência o excesso de
poropressão é igual ao carregamento. O resultado mostrado na figura 3.05 está de
acordo com a teoria. Entretanto, isto não ocorre quando os materiais são
compressíveis (figura 3.04), onde parte da carga é suportada pelo esqueleto sólido
no instante do carregamento, este fato se reflete no deslocamento do topo da
coluna poroelástica como citado anteriormente.
As figuras 3.06 e 3.07 mostram o excesso de poropressão ao longo da
coluna onde também houve boa concordância de resultados. Este exemplo mostra
que o programa ABAQUS possui uma boa capacidade em representar o
comportamento de materiais compressíveis ou não.
3.2.6.2 Poço vertical em um estado de tensões não hidrostático
Detournay e Cheng (1989) propuseram a solução analítica para a escavação
de um poço vertical em uma formação saturada sujeita a um estado de tensões não
hidrostático. A solução analítica para este problema é originada no campo de
Laplace, assumindo um estado de deformação plana no plano perpendicular ao
eixo do poço e escavação instantânea; a solução da transformada é feita
numericamente.
A figura (3.08) esquematiza o exemplo do poço, onde estão representadas as
tensões nas direções y ( yyσ ) e x ( xxσ ), tensão hidrostática na formação ( ),
tensão desviadora ( , pressão na formação ( ), raio de um ponto qualquer(r),
raio do poço(r
0P
)0S 0p
w) e o ângulo ( . )θ
50
ooxx SP −=−σ
ooyy SP +=−σ
r
θ
wr
op
Figura 3.08 – Esquema de um poço em um meio poroelástico
A perfuração é simulada removendo no instante t = 0 as tensões atuantes na
parede do poço e impondo no poço um valor nulo de poropressão. O
carregamento foi dividido em três modos, uma parcela considerando a tensão
hidrostática in situ, a desviadora in situ e a poropressão atuante na formação. A
soma dos três efeitos com as tensões in situ reproduzem o efeito da perfuração.
3.2.6.2.1 Carregamento modo 1
Neste modo, o poço é submetido a um estado de tensão hidrostático. As
condições de contorno para este modo são:
01 Prr =σ (3.33)
01 =θσ r (3.34)
01 =p (3.35)
A solução para este modo é dada por:
2
2
0
1
rr
Pwrr −=
σ (3.36)
2
2
0
1
rr
Pw=θθσ
(3.37)
51
3.2.6.2.2 Carregamento modo 2
Neste modo é considerada apenas à ação da poropressão na formação. As
condições de contorno para este modo são:
02 =rrσ (3.38)
02 =θσ r (3.39)
02 pp = (3.40)
A solução é dada no campo de Laplace
( )( )βξ
0
0
0
~
KK
pps
−= (3.41)
( )( )
( )( )
−−=
βββ
ββξ
ησ
0
12
2
0
1
0
~
2KK
rr
KK
rr
ps wwrr (3.42)
( )( )
( )( )
( )( )
+−=
βξ
βββ
ββξ
ησθθ
0
0
0
12
2
0
1
0
~
2KK
KK
rr
KK
rr
ps ww (3.43)
O símbolo ~ representa a variável no campo de Laplace, é a função de
Bessel modificada de segundo tipo de ordem zero, é a função de Bessel
modificada de segundo tipo de ordem 1, s é a variável da função núcleo de
transformação, c é o coeficiente de difusividade definido anteriormente pela
expressão (3.20),
0K
1K
csr=ξ e
csrw=β .
3.2.6.2.3 Carregamento modo 3
O poço, neste modo, é submetido a um estado de tensão desviador. A
variável θ introduzida neste modo refere-se ao ângulo medido a partir do eixo x
no sentido anti – horário. As condições de contorno para este modo são:
)2cos(03 θσ Srr −= (3.44)
)2sen(03 θσ θ Sr = (3.45)
52
03 =p (3.46)
A solução para o campo de tensão e poropressão é dada por
( )( )( )( ) ( ) ( )
( ) ( )θξ 2cos11
31911
2
2
221
22
0
~
−+
+−−
+−=
rr
CvvBKC
vvvvvB
SPs w
u
u
uu
u (3.47)
( )( ) ( ) ( ) ( )θξ
ξξ
ξ2cos3
1161
131
4
4
32
2
222110
~
−
−−
+
−+
=rr
Crr
Cv
KKCvvB
SSs ww
uu
urr (3.48)
( )( ) ( ) ( ) ( )θξ
ξξ
ξθθ 2cos3611
131
4
4
322110
~
+
++
−+
−=rr
CKKCvvB
SSs w
u
u (3.49)
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( θξ
ξξ
ξθ 2sen3
12131
1312
4
4
32
2
222110
~
−
−−
+
−+
=rr
Crr
Cv
KKCvvB
SSs ww
uu
ur ) (3.50)
onde:
( )( )( )( )12
1 1112
DDvBvvv
Cu
uu
−+−−
=β
(3.51)
( )12
22
14DD
DvC u
−−
= (3.52)
( ) ( ) ( )( )12
2123
8DD
KvvDDC u
−−++
=β
ββ (3.53)
( ) ( )β11 2 KvvD u −= (3.54)
( ) ( )ββ 22 1 KvD −= (3.55)
A técnica utilizada para a inversão das expressões no campo de Laplace será
exposta no próximo tópico.
Para verificar a capacidade do programa em simular este problema, simula-
se o exemplo de um poço vertical de raio 0.1 m submetido a um estado de tensão
de MPaxx 2=σ e MPayy 4=σ , com uma poropressão na formação de 1 . A
figura 3.09 mostra a malha utilizada na simulação, o contorno está situado a uma
distância de 50 vezes o raio do poço. O material utilizado é o arenito de Berea.
Por uma imposição do programa a tensão é colocada como efetiva, tal como no
caso da coluna poroelástica, obedece-se à convenção do programa. A convenção
de sinais adotada para esforços mecânicos neste trabalho será a mesma do
programa ABAQUS, onde o esforço de compressão é negativo.
MPa
53
Figura 3.09 – malha de elementos finitos utilizada na simulação do poço.
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
0 10 20 30 40 50Raio adimensional
Poro
- pr
essã
o (M
Pa)
60
analítica
abaqus
t = 0.9
t = 12.9 sregime permanente
Figura 3.10 – Poropressão ao longo da direção 0=θ - 62.0=α
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
0 10 20 30 40 50Raio adimensional
Poro
- pr
essã
o (M
Pa)
60
analíticaabaqus
t = 0.8 s
t = 12.8 sregime permanente
Figura 3.11 – Poropressão ao longo da direção 0=θ - 1=α
54
-12.00
-11.00
-10.00
-9.00
-8.00
-7.00
-6.00
-5.00
-4.00
-3.00
-2.000 10 20 30 40 50 6
Raio adimensional
σ θθ
(MPa
)
0
analíticaabaqus
t = 0.9 s
t = 12.9 s
regime
Figura 3.12 – Tensão tangencial ao longo da direção 0=θ - 62.0=α
-12.00
-11.00
-10.00
-9.00
-8.00
-7.00
-6.00
-5.00
-4.00
-3.00
-2.000 10 20 30 40 50
Raio adimensional
σ θθ (
MPa
)
60
analítica
abaqus
t = 0.8 s
t = 12.8 s
regime t
Figura 3.13 - – Tensão tangencial ao longo da direção 0=θ - 1=α
55
-2.50
-2.00
-1.50
-1.00
-0.50
0.000 10 20 30 40 50 6
Raio adimensional
σ rr (
MPa
)
0
analíticaabaqus
t = 0.9 s
t = 12.8 s
regime permanente
Figura 3.14 - – Tensão radial ao longo da direção 0=θ - 62.0=α
-2.50
-2.00
-1.50
-1.00
-0.50
0.000 10 20 30 40 50 60
Raio adimensional
σ rr (
MPa
) analítica
abaqus
t = 0.8 s
t = 12.8 s
regime permanente
Figura 3.15 - Tensão radial ao longo da direção 0=θ - 1=α
Os resultados obtidos pela simulação numérica para a poropressão (figuras
3.10 e 3.11) mostram uma boa concordância com a solução analítica, mesmo para
56
a região próxima ao poço onde o gradiente de poro-pressão é elevado. Porém, à
medida que se afasta do poço e para tempos maiores, o resultado dado pela
simulação numérica se afasta um pouco da analítica, isto pode ser em virtude da
condição de contorno colocada na simulação numérica não representar o infinito.
Uma solução para este problema seria aumentar mais a malha ou aplicar
elementos que representassem o meio infinito, mas esta opção não existe no
programa para o caso do acoplamento fluido mecânico. Simulações com malhas
cujo contorno estava a 10, 20, 30 e 50 vezes o raio do poço foram feitas.
Observou-se pouca variação de resultados para malhas com o contorno acima de
20 vezes o raio do poço.
A mesma observação da poropressão não é feita para as tensões (figuras
3.12, 3.13, 3.14 e 3.15), uma possível razão é que os resultados para a tensão
foram analisados nos pontos de integração do elementos, os quais não se
localizam na direção 0=θ como é feita para a solução analítica. Uma tentativa de
interpolar os resultados de tensão para os nós foi feita, entretanto o programa não
permitiu identificar a que nó um valor de tensão estava associado. Todavia, o
comportamento das curvas de tensão versus deformação são muito semelhantes às
obtidas pela solução analítica o que garante uma certa confiabilidade.
3.2.6.3 Solução para a inversa da transformada de Laplace
A inversa da transformada de Laplace tem sido amplamente estudada na
literatura e vários métodos de solução foram propostos para sua resolução, que
levam em conta a natureza mal condicionada da sua solução. A inversa da
transformada de Laplace é usada nas expressões analíticas dadas no item anterior,
o método selecionado para a inversão foi o de Stehfest (1970). Este método está
baseado na amostragem de dados de acordo com uma série de delta. A solução
aproximada no tempo é dada pela seguinte expressão
( )∑=
=
N
iia i
TPV
TF
1 ')2ln('
'2ln (3.56)
57
( ) ∑+
=
+
−−−−−=
)2/,min(
21
2/2/
)!2()!()!1(!)!2/()!2(1'
Ni
ik
NiN
ikkikkkNkkVi (3.57)
onde:
Fa: valor aproximado da função real
' : é a variável da função real T
N: número de termos da série
P: é a função real no campo de Laplace, onde a variável da função núcleo de
transformação representada convencionalmente por s é igual a iT
)2ln( .
A expressão (3.57) difere daquela exposta no trabalho de Stehfest pelo
termo 2/NK no numerador, que substitui o termo 12/ +NK no trabalho original. É
importante notar também o valor que K assume na expressão (3.57). Como a
expressão (3.57) utiliza o fatorial, o domínio desta função exige que K seja
sempre um número inteiro. Portanto, K será aproximado para um valor inteiro,
quando i for igual a um numero par. Para que todos os termos participem do
somatório, K deverá ser truncado, do contrário erros surgirão durante a inversão
numérica.
O valor de N, número de termos da série, deverá assumir valores pares pelo
mesmo motivo do domínio da função, variando numa faixa entre 8 e 20.
Entretanto o uso de altos valores para N podem conduzir a erros na inversão. Um
pequeno teste variando o valor de N é recomendado, a fim de verificar a variação
dos resultados obtidos e na escolha do melhor valor de N.
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