a) Queremos mostrar que o comportamento de NA(t) é descrito por uma equação de 2a ordem. A questão nos fornece duas equações de taxa líquida de consumo para A e B, como segue:
Como queremos mostrar que o comportamento de NA(t) é descrito por uma equação de 2a ordem, isolaremos NB na equação da taxa líquida de A, obtendo:
(2.1)Ao substituirmos este NB na equação de taxa líquida de consumo para B, obteremos:
(2.2)
Multiplicando toda a equação por k2, obtemos:
(2.3)Conforme queríamos demonstrar, temos uma equação diferencial ordinária de 2a ordem.
b) É dado do problema que o número de mols inicial de NA é 1 mol e os demais números de mols são zero. Aplicando essas condições na equação de consumo de taxa líquida de A, teremos:
(2.4)
c) Devemos encontrar a solução completa para NA(t), para tanto iremos partir para o método de solução de EDO de 2a ordem. Partiremos da equação encontrada no item “a”, a qual apresentamos a seguir:
(2.5)
Num primeiro momento partiremos para a solução da equação homogênea e ficaremos com:
(2.6)Com intuito de reduzir as expressões, vamos adotar que:
e
Resolvendo a equação do segundo grau, teremos:
(2.7)Sendo assim, poderemos encontrar a solução da equação homogênea, que será da forma:
(2.8)A partir daqui faremos uso das condições iniciais e encontramos as constantes C1 e C2.Sabemos que para NA(0)=1, portanto:
(2.9)Derivando a equação homogênea e substituindo a condição de contorno encontrada na letra b, temos:
(2.10)Sabemos que a derivada de NA em relação ao tempo no instante t=0 é igual a k1, logo, se substituirmos, encontraremos os valores das constantes, haja vista já termos uma relação envolvendo C1 e C2. Então:
(2.11)Efetuando a operação distributiva e rearranjando as equações, temos:
Sabemos que , logo:
(2.12)
(2.13)Com isso, obtemos a expressão da equação homogênea, como segue:
(2.14)Da equação (2.3) vemos que o termo independente é uma multiplicação de constantes, o que nos leva a supor uma equação particular da forma:
(2.15)Precisamos obter as derivadas de primeira e segunda ordem desta equação particular representada pela equação (2.3), que são:
(2.16)
(2.17)Substituindo em (2.3) e efetuando a identidade, temos:
(2.18)Então:
Logo, a minha solução particular é da forma:
(2.19)Como temos (2.14) e (2.19) e sabemos que para compor a solução geral precisamos apenas somar as duas equações:
(2.20)Então,
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