TEMA 1: PROBABILIDADES E COMBINATÓRIA
1. Experiências aleatórias: A , C e D Experiência determinista: B
2.
3.1. 3.2.
4.1. O acontecimento B4.2. O acontecimento D4.3. Por exemplo, o acontecimento A
Tarefa 11.1.
1.2. 1.3. 111.4.1. , , ,
e
1.4.2.1. O acontecimento E 1.4.2.2. O acontecimento D1.4.2.3. O acontecimento B 1.4.2.4. O acontecimento A
2.1. 2.2.
5.
6.1. 6.2. 6.3. 6.4.
7.1.
7.2.1. 7.2.2. 7.2.3. 7.2.4. 7.2.5.
Tarefa 21. W = {(1 , 0) , (1 , 3) , (1 , 4) , (1 , 6) , (1 , 9) , (5 , 0) , (5 , 3),
(5 , 4) , (5 , 6) , (5 , 9) , (8 , 0) , (8 , 3) , (8 , 4) , (8 , 6) ,(8 , 9)}
2. A = {(1 , 0) , (5 , 0) , (5 , 3) , (5 , 4) , (8 , 0) , (8 , 3) , (8 , 4) , (8 , 6)}
B = {(1 , 0) , (1 , 3) , (1 , 4) , (1 , 6) , (5 , 0) , (5 , 3) , (5 , 4) , (8 , 0)}C = {(1 , 0) , (5 , 4) , (5 , 6) , (8 , 9)}{(1 , 3) , (1 , 4) , (1 , 6) , (1 , 9) , (5 , 6) , (5 , 9) , (8 , 9)}{(1 , 9) , (5 , 6) , (5 , 9) , (8 , 3) , (8 , 4) , (8 , 6) , (8 , 9)}
{(1 , 3) , (1 , 4) , (1 , 6) , (1 , 9) , (5 , 0) , (5 , 3) , (5 , 9) , (8 , 0) , (8 , 3) , (8 , 4) , (8 , 6)}
3.
8.1.1. B e C 8.1.2. A e B8.2.1. 17 8.2.2. 268.2.3. 17 8.2.4. 258.3. Os acontecimentos A e B não são contrários porque,
embora , .
Tarefa 31.1. A afirmação é falsa. Os acontecimentos A e B são compa-
tíveis porque .
1.2. A afirmação é verdadeira. Os acontecimentos A e C sãocompatíveis porque .
1.3. A afirmação é falsa. Os acontecimentos B e C não sãocontrários porque .
2.1. “Em nenhum dos lados da peça há 4 pontos.”2.2. “A soma dos pontos dos dois lados da peça é maior ou igual
a 5 mas diferente de 6 .”
2.3. “Num dos lados da peça há 4 pontos e a soma dos pontosdos dois lados da peça é maior ou igual a 5 .”
3. E : ”A soma dos pontos dos dois lados da peça é igual a 2 .”
4.1. 3 4.2 84.3. 10 4.4 13
5.1. A peça II 5.2 A peça III 5.3. A peça I
Pág. 11
Pág. 12
W = {15 , 16 , 17 , 18 , 19 , 20}W = {azul, amarela, vermelha, verde}W = {35 , 50 , 60 , 75 , 100 , 110 , 125 , 150}
Pág. 13
Pág. 14
W = {2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11, 12}
A = {2 , 3 , 5 , 7 , 11} B = {10} C = {3 , 5 , 7}D = {2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12}
W = {2 , 3 , 6 , 12 , 18}W = {1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 9 , 12 , 18 , 36}
Pág. 15
4
75
12
3
8
A B
W
6
A © B = {2 , 5} A = {8 , 11 , 15}A ∂ B = {2 , 5 , 9 , 11 , 15}
Pág. 16
5
7
32
6
8
4
10
19
A B
C
W
A ∂ B = {2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 10}C = {4 , 5 , 7 , 8 , 9 , 10}B © C = {2 , 6}
Pág. 17
A =B =C =
Pág. 18
A ∂ B 0 WA © B = {}
Pág. 19
A © B 0 {}
A © C 0 {}
B ∂ C 0 W
W \B = {8 , 9}
A \C = {5 , 7} C \A = {1 , 6}
B \C = {(1 , 3) , (1 , 4) , (1 , 6) , (5 , 0) , (5 , 3) , (8 , 0)}
E = { }
206 SoluçõesN
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12-P1 © Porto Editora
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
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9.1.1. 10% 9.1.2. 10%9.2. 36
10.1.
10.2.1. 41% 10.2.2. 9% 10.2.3. 75%
11. A máquina B
12.1.1. Falsa
12.1.2. Falsa
12.1.3. Verdadeira
12.2.1. 0,76 12.2.2. 112.2.3. 0,24 12.2.4. 0,76
Tarefa 41.
2. 0,666
3. No saco há 4 bolas vermelhas e 2 bolas pretas.
13. 84% de sucesso. À medida que aumenta o número de tes-tes realizados, a frequência relativa do sucesso da vacinatende para 0,84 .
14.1. ; ; ;
14.2. ; ; ;
15.2.1. 15.2.2. 15.2.3.
16.1. P (B) = 0,15 ; P (C) = 0,45 16.2. 016.3. 0,6 16.4. 1
17.1. 17.2. 17.2.
18.1. “Sair bola vermelha.”18.2. “Sair bola preta.”18.3. “Sair bola vermelha ou amarela.”18.4. “Não sair bola amarela.”
19.1. 12 bolas brancas19.2. Oito bolas pretas
20. 19
21.1. 21.2.
23.1. 23.2. 23.3.
Tarefa 51.1. 0,2 1.2. 0,6 1.3. 0,2
2.1. 2.2. 2.3. 0
2.4. 2.5. 2.6.
Tarefa 6
1.
2.1.1. 2.1.2.
2.2.1. 2.2.2.
2.3.1. 2.3.2. Os acontecimentos elementares são equiprováveis pois
têm a mesma probabilidade de ocorrer.
3.
11%4%
8%
9%14%
2%41%
A B
C
W
11%
Pág. 21
Pág. 22
Pág. 23
Pág. 26
W = {1 , 2 , 3} P ({1}) = 13 P ({2}) = 13 P ({3}) = 13W = {1 , 2 , 3} P ({1}) = 12 P ({2}) = 16 P ({3}) = 13
14
34
12
Pág. 2714
34
113
Pág. 28
15
715
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18
78
12
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18
18
38
38
78
Pág. 31
13
34
56
W = {6 , 8 , 12 , 24}
13
Pág. 20
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1 ©
Por
to E
dito
ra
N.º de experiências
Bola vermelha Bola preta
N.º de ocorrências
Freq. relativafr(V)
N.º de ocorrências
Freq. relativafr(P)
50 38 0,76 12 0,24
100 63 0,63 37 0,37
250 162 0,648 88 0,352
400 268 0,67 132 0,33
500 331 0,662 169 0,338
750 501 0,668 249 0,332
1000 665 0,665 335 0,335
*1 2 3 4
2 4 6 8
3 6 9 12
4 8 12 16
*2 3 4
2 6 8
3 6 12
4 8 12
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12-P1 © Porto EditoraFalam inglês Não falam
inglês
Falam português 62 20 82
Não falam português 100 18 118
162 38 200
A A
B 32 32 64
B 24 46 70
56 78 134
24.1. 10 000 24.2. 10-4
25.1.1. 25.1.2. 25.1.3.
25.2.
26.1. 0 26.2. 26.3.
27.1. 27.2. 27.3.
27.4. 27.5.
29.1. A e B não podem ser acontecimentos contrários porque.
29.2. 29.3.
30.1. Falsa 30.2. Verdadeira 30.3. Falsa
31. e
32.1. 32.2. 32.3.
34. 0,7 35. 0,2
Tarefa 7
1.1.
2.1. 0,4 2.2. 0,4
4.2. Por exemplo, A : ”Sair um ás.” e B : ”Sair uma carta decopas.”
36.1. 36.2. 36.3.
36.4. 36.5.
37.1. 37.2. 0 37.3.
38.1. e
38.2. Azul
39.1. A e B são incompatíveis pois .
39.2.1. 0 39.2.2.
40.1. : “Ter perdido o comboio dado que acordou tarde.” : “Ter acordado tarde dado que perdeu o comboio.”
40.2. 0,2
Tarefa 81.1.
1.2.1. 1.2.2. 1.2.3.
1.2.4. 1.2.5. 1.2.6.
2.1. A : ”Estar inscrito nos cursos gerais.” e B : ”Ser rapariga.”
2.2.1. 2.2.2. 2.2.3.
Tarefa 9
1.1. 1.2.
2.
Tarefa 10
1. Há dois casos favoráveis e 18 casos possíveis. .
2.1.
2.2.1. 2.2.2.
2.2.3. 2.2.4.
14
1118
34
415
Pág. 332960
3160
1221
188221
117
417
32221
Pág. 36
P (A) + P (B) 0 1P (A © B) ≤ 0,3P (A ∂ B) ≤ 0,8
P (A) = 13
P (B) = 23
Pág. 37
310
120
3760
Pág. 38
110
P (A © B) = 0,05
Pág. 39
12
23
34
35
12
16
13
Pág. 40
P (B|A) = 1 P (A|B) = 23
P (A © B) = 014
B|AA|B
Pág. 32 Pág. 41
3181
12
31100
919
5059
1041
2335
1667
3567
Pág. 42
512
16415
Pág. 43
P (B|A) = 19
2.ª extração1.ª extração
P (A1) = 2
P (V2|A1) = 2 = 2
P (V1) = 2
P (A2|A1) = 2 = 2
P (A2|V1) = 2
P (V2|V1) = 2
35
25
24
12
24
12
14
34
110
310
25
35
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2.3.1. 2.3.2.
2.3.3. 2.3.4.
42.1. 42.2.
42.3. 42.4.
43.1. 43.2.
44.1. 0 44.2. 44.3.
45.
46.1. 0,14 46.2. 0,26 46.3. 0,325
47. 0,06
48.1. A e B são independentes. 48.2. 0,1
49. 0,35
51.1. 0,001 51.2. 0,027 51.3.
52.1.
52.2. A e B não são independentes porque P (A © B) 0 P (A) * P (B) .
54.2. 0,999
Tarefa 111.2. 85%
4.2.
5. P (C) = 0,8 e P (D) = 0,75 ou P (C) = 0,75 e P (D) = 0,8
Proposta 11.1. 1.2. 1.3.
2.1. A2.2.1. B e C 2.2.2. A e B 2.2.3. A e C
Proposta 21.1. 1.2. Não. P (Sair azul) 0 P (Sair verde)
2.1.
3.1. 3.2. 3.3.
Proposta 31.
2. Sara
Proposta 41. 16
2. ,
,
e Acontecimento elementar: C
3.1. A e B 3.2. A e D
4. Falsa
Proposta 51. A e B são compatíveis.
2. A e C não são compatíveis.
Proposta 61.
2.1. D 2.2. Não existe 2.3. C
3. A afirmação é verdadeira.
Proposta 71.1. : “Ocorre número ímpar não superior a 5 .”
1.2. : “Ocorre número ímpar ou número menor que 4 .”
1.3. : “Ocorre número não superior a 5 e não inferior a 4 .”
2.1. 2.2. 2.3. 1
Proposta 81. 27 bolas
2.1. 2.2. 2.3.
Proposta 91.1. 20
1.2. (verde, amarela) ; (vermelha, amarela) ; (preta, amarela) ;(azul, amarela)
1.3.
2.1. 25 2.2. 5 2.3.
Proposta 101.1. 1.2. 1.3.
1.4.
2.
12
12
34
14
Pág. 44
1328
528
813
49
13
611
Pág. 4512
34
4981
Pág. 46
Pág. 472764
320
Pág. 48
Pág. 49
34
Pág. 51
W = {1 , 2 , 3 , 4} W = {vermelha, amarela, azul}W = {2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8}
W = {azul, verde}
W = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7}47
27
57
Pág. 52
W = {(E , E) , (E , N) , (N , E) , (N , N)}
A = {11 , 22 , 33 , 44}B = {12 , 14 , 22 , 24 , 32 , 34 , 42 , 44}C = {11} D = {21 , 31 , 32 , 41 , 42 , 43}
Pág. 53
W = { 1 ; 1,50 ; 2,50 ; 3}
A © B
A ∂ C
B ∂ C
29
89
Pág. 54
1039
1939
2039
35
45
A © C = { (2 , 1) , (3 , 1) , (3 , 2)}B © D = {(1 , 3) , (3 , 1)}A ∂ C = {(1 , 2) , (1 , 3) , (2 , 1) , (2 , 3) , (3 , 1) , (3 , 2) ,
(4 , 1) , (4 , 2) , (4 , 3)}A © C = {(4 , 1) , (4 , 2) , (4 , 3)}
P (A) = 12
; P (B) = 56
; P (C) = 12
; P (D) = 13
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Proposta 11
Proposta 12 1.1. 20% 1.2. 44% 1.3. 86%
2.1. 20% 2.2. 33
Proposta 13 2. 0,25
Proposta 142. 0,56
Proposta 151. A e B não são independentes.
2.1. 0,5 2.2. 0,2
Proposta 16(B)
Proposta 171.1. I : II :
1.2. I : {amarela} e {azul} II : {1} , {2} , {3} , {4} e {5}
2. Experiência II
Proposta 181. (D) 2. (A)
Proposta 191. 63,22% 2. 35,86% 3. 97,50%
4. 96,55% 5. 26,67%
Proposta 201. 72,4% 2. 50,7%
Proposta 21
1. 2.
3. 4.
Proposta 221. 48,85%
2.
Proposta 23
1.
2.1. 0 2.2.
Parte 1 – Questões de escolha múltipla1. (B) 2. (D) 3. (A)
4. (C) 5. (B)
Parte 2 – Questões de resposta aberta
1.1. 1.2.
3.1.1. “O produto ser 4 .” e “O produto ser 2 .”
3.1.2. “O produto ser 1 .”
3.2.1. 0
3.2.2. 1
55. 180
56.1. 6 56.2. 15 56.3. 30
57.1. 100 57.2. 15
58.1. 24
58.2.1. 8 58.2.2. 16 58.2.3. 4
59.1. 10 000 59.2. 4096 59.3. 256
60. 3 486 784 401
Tarefa 121.1. 100 000
1.2.1. 2000 1.2.2.
2.1. 4000 € 2.2. 270
3.1. 6 760 000
61.1. 4920 61.2. 132 61.3. 79
62.1. 62.2.
63.1. 120 63.2.
64. 360
65.1. 20! 65.2. 6840
66.1. 120 66.2. 60 66.3. 12
67.1. 210
67.2.1. 67.2.2.
Pág. 55
34
Pág. 56
W = {amarela, azul} W = {1 , 2 , 3 , 4 , 5}
Pág. 57
Pág. 58
16
1039
635
25
613
Pág. 59
1124
23
Pág. 60
Pág. 61
38
57
Pág. 62
Pág. 63
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15
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7!3!
15!10!
Pág. 6715
Pág. 68
47
17
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12-P1 © Porto Editora
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Tarefa 13
1.1.1. 12 1.1.2. 12
1.2.1. 1.2.2.
2.1. 30 240
3. A resposta correta é a A .
Tarefa 141.1. 40 320 1.2. 6720 1.3.
2.1. 2.2. 2.3.
3.1. 6 3.2. 2
68. 6 69. 35 70. 15 71. 1140
72. 1 233 225
73.1. 215 860 73.2. 2 403 500
73.3. 3 643 200 73.4. 8 106 300
74.1. 84 74.2. 504
75.1. 2916 75.2. 486 75.3. 36
76.1. 9375 76.2. 3840
Tarefa 15
2.1. 5040 2.2. 12
2.3. 180 2.4. 302 400
3.1. 672 672 000 3.2.
Tarefa 16
1.1.1. 36 190 440 1.1.2. 21 187 600
1.2. 2 118 760
2.1.
2.2.1. 2.2.2. 2.2.3.
Tarefa 17
2.1. 1440 2.2.
3. A afirmação é verdadeira.
Tarefa 181.1. 98 280
1.2.1. 1.2.2.
2.1. 220 2.2.
2.3.1. 2.3.2.
2.4.
3. 32
4.1. 70 4.2. 255
77.1. 176 77.2. 176 77.3. 210
78.1. 35
78.2. 1 , 33 e 528
78.3. 595 , 35 e 1
79. 165
80.1. 3 ; 7 80.2. 21
80.3. 6 ; 12 80.4. 5 ; 9
81. 252
82. 4
83.1. 13 83.2. 4096
84. 256 e 2048
85.1. 85.2.
Tarefa 191. a = 455 , b = 3003 e c = 1820
2. 1378
3.1. 3.2.
4.1. 4.2. 4.3.
86.1.
86.2.
86.3.
86.4.
87.1.
87.2.
25
310
Pág. 70
156
1360
13
115
Pág. 71
Pág. 72
Pág. 73
Pág. 74
1120
Pág. 75
835
47
135
221
Pág. 76
37
Pág. 77
15
35
355
111
922
11320
Pág. 79
Pág. 80
Pág. 81
1645
19
Pág. 82
13
29
111
5455
1955
Pág. 83
x5 + 5x4 + 10x3 + 10x2 + 5x + 1
16 + 32x2 + 24x4 + 8x6 + x8
y6 - 12y5 + 60y4 - 160y3 + 240y2 - 192y + 64
32x5 - 80x4y + 80x3y2 - 40x2y3 + 10xy4 - y5
Pág. 84
32 + 80x2 + 80x4 + 40x6 + 10x8 + x10
27 - 27x + 9x2 - x3
Pág. 69
211N
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1 ©
Por
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88.1. 15x2 88.2. 20 88.3. Não existe
90.1. 90.2. 5670x4
91.2. 495
92.
93.
Tarefa 20
1.1.1. 1.1.2. 1.1.3.
1.2. 2.1. 64
2.2.1. 2.2.2. 2.2.3.
3.1. 0,504 3.2. 0,01 3.3. 0,112
Tarefa 211. 15
2.1. 2.2. 2.3.
Tarefa 221. 6
2.
Tarefa 23
1.1. 35 1.2.
2.1.
2.2.1. 2.2.2.
94.1. 16%
94.2.
95.1. m = 0,4
95.2.1. 0,4 95.2.2. 0,6 95.2.3. 1
96.1. A variável X pode tomar os valores 1 , 2 e 3 .
96.2.
97.
Tarefa 24
1.
2.1. 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 e 6
2.2.
2.3. Antunes 2.4. 15 jogadas
3.1. 1 , 2 , 3 e 4
3.2.
4.1.
4.2.1. 4.2.2. 4.2.3.
98.1. 0 , 2 , 3 e 6
98.2.1.
98.2.2.
99.
100.
101. Dois dos vértices têm o número 1 e os outros dois têm osnúmeros 3 e 5 .
102. O jogo não é justo porque o valor médio não é igual a zero.
103.1.
103.2. 103.3.
52x3
Pág. 85
h (x) = 12x5 + 5
2x4 + 5x3 + 5x2 + 5
2x + 1
2
25
Pág. 86
156
38
2756
35
116
2764
964
Pág. 87
13
25
35
Pág. 88
P (A) = 33266
, P (B) = 313665
, P (C) = 77190
Pág. 89
1235
113
1210
221
Pág. 92
Pág. 93
47
Pág. 94
) 0,58) 0,78) 0,36
Pág. 95
Pág. 97
m = 2 e s ) 1,118
s = 0,9
Pág. 98
56
m ) 1333,33 e s ) 1863,39
212 SoluçõesN
EMA
12-P1 © Porto Editora
Grau de satisfação 1 2 3 4 5
Frequênciarelativa 0,02 0,06 0,24 0,52 0,16
xi - 24 - 15 0 25 75
P (X = xi)16
16
13
16
16
xi 0 1 2 3 4 5 6
P (X = xi)1
1618
316
14
316
18
116
0 1 2 3 4 5 6 721C728C7
7C1 * 21C628C7
7C2 * 21C528C7
7C3 * 21C428C7
7C4 * 21C328C7
7C5 * 21C228C7
7C6 * 21C128C7
128C7
xi 0 1 2
P (X = xi)14
12
14
xi 1 2 3 4
P (X = xi)16
12
16
16
xi 0 2 3 6
P (X = xi)12
16
16
16
xi 0 500 2500 5000
P (X = xi)12
16
16
16
xi 0 2 3 6
P (X = xi) 0,525 0,175 0,155 0,145
NEMA12_P1_F14_20115029_1P_20115029_TXTP1_P209_224 12/06/04 15:51 Page 212
104.1. 104.2. 104.3.
105.1. 105.2. 105.3.
106.1.106.2.
107. A afirmação é falsa.
108.
Tarefa 25
1.1.1. 0,4
1.1.2.
1.2.1. 1.2.2. 1.2.3.
2.
3.1. 3.2.
Tarefa 261.1. 0,384
1.2.
1.3. 48
2.1.1. 0,189 69 2.1.2. 0,225 16 2.1.3. 0,975 69
2.2. 3.1. 3.2. 3.3. 70
109.1. 109.2.
109.3. 109.4.
Tarefa 271.1.1. 1.1.2. 1.1.3. 1.2. 18
2.1. 2.2. 2.3.
3.1. 3.2.
4.1. 4.2. ) 0,023
Tarefa 281.1.1. 1.1.2. 1.1.3. 1.2. 3 1.3. 17
2.1. 2.2. 2.3.
3.1. 1707 3.2. 2218
3.3. 273 3.4. 274
Proposta 11. 24 2. 64 3. 24 4. 7 893 600
Proposta 21. 7776
2.1. 5184 2.2. 1296 2.3. 3888
Proposta 3676 000
Proposta 41. 300 2. 125 3. 100
Proposta 55 jogos
Proposta 61. 2187 2. 648
Proposta 71.1. 9 1.2. 6561 2.1. 24 2.2. 21
Proposta 81 073 741 824
Proposta 9Não
Proposta 10(B)
Proposta 11(B)
Proposta 121. (B) 2. (A)
Proposta 131. 504 2. 126 3. 1512
Proposta 141. 34 650
2.1. 2.2. 2.3.
964
2764
6364
) 0,33 ) 0,13 ) 0,05
0,096
Pág. 101
) 36%
Pág. 102
) 0,138 ) 0,276 ) 0,311
nC3 * 0,13 * 0,9n-3 nCk * 0,1k * 0,9n-k
Pág. 103
m = 0,6 e s ) 0,69
) 0,000 004
) 0,037 m = 6 e s ) 2,258
Pág. 108
) 68,3% ) 2,3%
) 15,9% ) 47,7%
Pág. 110
) 0,841 ) 0,023 ) 0,477
) 0,341 ) 0,465 ) 0,159
) 0,589 ) 0,033
) 0,309
Pág. 111
) 0,625 ) 0,067 ) 0,136
) 2,3% ) 50% ) 0,003%
Pág. 112
Pág. 113
Pág. 114
Pág. 115
1495
1355
255
Pág. 100
213N
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1 ©
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xi 0 1 2 3 4
P (X = xi) 0,6561 0,2916 0,0486 0,0036 0,0001
xi 0 1 2
P (X = xi) 0,1 0,6 0,3
xi 0 1 2 3
P (X = xi) 0,512 0,384 0,096 0,008
xi 0 1 2 3
P (X = xi) 0,512 0,384 0,096 0,008
NEMA12_P1_F14_20122906_1P_20122906_TXTP1_P209_224 11/27/12 11:55 AM Page 213
Proposta 15
1. 2. 3.
Proposta 161. 720 2. 60 480 3. 30 240
Proposta 171.1. 56
1.2. Frente a frente: 8 ; lado a lado: 12
1.3. 16
2. 48
Proposta 181.1. 576 1.2. 432
2.1. 2.2.
Proposta 191.1. 625 1.2. 2000
1.3. 486 1.4. 1680
2.1. 24 2.2. 6
Proposta 20
1. 720 2. 240 3.
4.1. 4.2.
Proposta 21
1. 40 320 2.1. 2.2.
Proposta 22(D)
Proposta 23(B)
Proposta 241. 6 760 000
2.1. 2.2.
2.3. 2.4.
Proposta 251. 3 628 800
2.1. 2.2. 2.3.
Proposta 26
1. 2. 3.
Proposta 27(B)
Proposta 28(A)
Proposta 29(A)
Proposta 301. 552
2.1.1. 108 108 2.1.2. 72 072 2.1.3. 124 124
2.2.
Proposta 311.1. 1440 1.2. 4320
1.3. 1440 1.4. 432
2.1. 5
Proposta 32
1. 2.
Proposta 33
1.1. 1.2.
2.1. 50% 2.2. 50%
Proposta 34
2.1. 2.2. 2.3.
2.4. 2.5.
3. 50%
Proposta 361. (A) 2. (A)
Proposta 37(B)
Proposta 38(A)
Proposta 39(B)
Proposta 40(C)
21299
8311265
526
Pág. 116
13
136
Pág. 117
115
15
35
128
34
Pág. 118
633250
2435200
52310 000
1 - 25676
= 651676
Pág. 119
115
160
815
113145
94435
22145
Pág. 120
1858
Pág. 121
125
62125
130
12
Pág. 122
17
128
314
14
17
Pág. 123
Pág. 124
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Proposta 41
1. 2.1. 1 2.2.
Proposta 42666 , 37 e 1 ; soma = 237
Proposta 441. 45x2
Proposta 451. 10x4 2. 240x4
Proposta 46(D)
Proposta 47(A)
Proposta 48(B)
Proposta 50
Proposta 51(D)
Proposta 52
Proposta 53
Proposta 54
1.
2.
Proposta 551. 24 2. 16,7%
3.
Proposta 56
1.1.
1.2. 1.3. 9,5 €
2.1.
2.2. 50%
Proposta 572.1. Valores da variável X : 10 , 11 , 12 , 13 e 14
2.2.
Proposta 58(B)
Proposta 59(C)
Proposta 601. 7% 2. 43%
Proposta 611. 0,5 2. 3.
Proposta 621. 1,8 * 105 peças
2.1. 47,7% 2.2. 46,5% 2.3. 69,1%
Proposta 63
1. 2.
3.1.
3.2. 3.3.
4.1. 4.2.
Parte 1 – Questões de escolha múltipla1. (A) 2. (A)
3. (A) 4. (C)
5. (B) 6. (A)
Pág. 126
m = 2,5 e s ) 1,28
Pág. 127
Pág. 128
18
m = 1,5 e s ) 1,118
Pág. 125
13
17
Pág. 129
56
59
Pág. 130
) 0,3414) 0,1587
Pág. 131
13
23
23
13
) 0,680) 0,329
Pág. 132
215N
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1 ©
Por
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xi 2 5 8 10
P (X = xi) 0,2 0,5 0,1 0,2
xi 0 1 2 3
P (X = xi)14
14
14
14
xi 0 10 20 30
P (X = xi)23
16
19
118
xi 0 1 2 3
P (X = xi)18
38
38
18
xi 0 1 2 3
P (X = xi)14
14
14
14
xi 8 9 10 11
P (X = xi)16
13
13
16
yi 9 10 11 12
P (Y = yi)16
13
13
16
NEMA12_P1_F14_20115029_1P_20115029_TXTP1_P209_224 12/06/04 15:52 Page 215
Parte 2 – Questões de resposta aberta1.1. 48 1.2. 72 1.3. 108
2.1. 2.2.
3.1. 3.2.
4.
5.1.
5.2. . No final de 50 jogadas estima-se que haja umprejuízo de 5 € .
TEMA 2: INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL II
Tarefa 11. Nove pessoas
2.
3.1. f (x) = 3x , x å R0+
3.2.1. 729 3.2.2. 7
1. I – h ; II – f ; III – g ; IV – j
2.2.
O gráfico de g é simétrico do gráfico de f em relação aoeixo das ordenadas.
2.3. f é estritamente crescente e g é estritamente decres-cente.
3.1. a = 3 3.2. y = 3
4.1. ; ; assíntota horizontal: y = - 1
4.2. ; ; assíntota horizontal: y = 4
4.3. ; ; assíntota horizontal: y = 1
5. ; ; ;
6.1. 6.2. 6.3.
6.4. 6.5. 6.6.
7. < < < < a1,4 <
8.1. 8.2. 5 8.3.
8.4. 45 8.5. 25 8.6.
10.1. 10.2. x = - 4 10.3. x = - 5
10.4. 10.5. 10.6. x = 1
10.7. x = 1 10.8. x = - 2 › x = 0 10.9. x = - 1 › x = 0
10.10. 10.11.
10.12.
11.1. e 11.2.
12.1. 12.2.
12.3. 12.4.
12.5. 12.6.
12.7. 12.8.
13.1.1. 13.1.2.
13.2.
14.1. ;
14.2.
Tarefa 2
1.1.1. 1.1.2. 5 cm
1.2.1. 1.2.2.
1.3. 3,25 cm2
2.1. Df = R ; ; assíntota do gráfico de f : y = 6
Dg = R ; ; assíntota do gráfico de f : y = 0
2.2.1. 2.2.2.
2.2.3.
2.3. k = 12
Tarefa 31.1. A = 20 cm2 e P = 24 cm
Pág. 133
) 46% 1635
) 0,0001 ) 0,0234
711
m = - 0,1
Pág. 138
D (x) = 3x , x å N
Pág. 139
Pág. 140
Df = R D'f = ]- 1 , + ?[Dg = R D'g = ]- ? , 4[Dh = R D'h = ]1 , + ?[
Pág. 141
y = (√2 )x " d y = 4x " a y = ex " c y = px " b
10-3 7-2 232
5-4 4-2 (√3)-4
1a2
a-1 √3 a-2 a0 √a3
Pág. 142
15
13
√3
Pág. 143
x = 12
x = - 13
x = 73
x = 0 › x = 12
x = 13
x = - 1 › x = 12
- 2√6 2√6 ] - 2 , 7]
Pág. 144
x å [ - 4 , + ?[ x å ] - 3 , + ?[x å - ? , - 3
4 x å 1e , + ?
x å ] - ? , 0] x å [0 , 1]x å 32 , 9
2 x å [0 , 1]
- 12
12
A = [ - 1 , 0[D'f = ] - ? , 5] D'g = ]0 , e5]x å ] - √3 , √3[
Pág. 145
B 2 , 54
x = - 2 x = - 6
D'f = ]- ? , 6[D'g = ]0 , + ?[
x å [3 , + ?[ x å ]- ? , 0[x å ]- ? , 1[
Pág. 146
g f
y
x
1
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12-P1 © Porto Editora
xi - 4 1 3
P (X = xi) 0,3 0,5 0,2
NEMA12_P1_F14_20115029_1P_20115029_TXTP1_P209_224 12/06/04 15:52 Page 216
1.2.1. A razão entre as áreas é .
1.2.2. A razão entre os perímetros é .
2.2. D'f2.3.1. 2.3.2.
3.1. 3.2.
3.3.
15.1. Falsa 15.2. Verdadeira
15.3. Verdadeira 15.4. Verdadeira
16. 1
17. 21
18.1. + ? 18.2. + ? 18.3. 0
18.4. 0 18.5. + ? 18.6. + ?18.7. - ? 18.8. - ?
19.1. 2 19.2. 5
19.3. 2 19.4. - 3
19.5. 19.6. - 3
19.7. - 1 19.8.
20.1.
20.2.
21. e
22.1. x = ln 2 22.2.
22.3. 22.4.
22.5. 22.6.
23.1. x = 36 23.2. x = 0,1
23.3. x = 5 23.4.
23.5. 8
24. A (0 , 1) ; B (log3 5 , 5) ; C (5, log3 5) ; D (1 , 0)
25.1. 4 25.2. - 2
26.2. k = 5
27.1. e
27.2. e
27.3. e
28.1. 28.2.
28.3. 28.4.
28.5. 28.6.
29. log4 0,1 < logp 1 < log4 5 < ln 5 < ln 7
30.1.
30.2.
31. b < a < c
32.1. 1 32.2. 0
32.3. 3 32.4. 1
33.2. f -1: ]- 2 , + ?[ "R x 1 1 + In (x + 2)
34.1. h-1: R"R+
x 1 ex-1
34.2. h-1: R" ]1 , + ?[
x 1 1 +34.3. h-1: ] 1 , + ?[\{2} "R\{0}
x 1
34.4. h-1: R\{0} "R+\{1}
x 1
Tarefa 4
1.1.
1.2.
12
1112
- 3 ∫a ) 1,82 b ) - 0,38
x å ]- ? , - 1] ∂ [2 , + ?[x å ]- 2 , 0[x å ]- 1 , 0[ ∂ 1
4 , + ?
Pág. 147
Pág. 148
Pág. 149
- 32
- 32
Pág. 150
A 2 , 92 B (log3 6 , 3)
x = - 1 + log3 5
x = 0 › x = ln 5 x = log2 3
x = 0 › x = ln 2 x = log3 4
x = √e
Pág. 151
Pág. 153
Dg = ]- 2 , + ?[ D'g = RDg = ]0 , + ?[ D'g = R+
0
Dg = ]0 , + ?[ D'g = R
] - 1 , + ?[ ]0 , + ?[\{9}
] - ? , - 2[ ∂ ]2 , + ?[ [1 , + ?[
0 , 12
[ - 1 , 2[
Pág. 154
] - ? , 0[[1 , + ?[
Pág. 155
e3 -x
2
1log2 (x - 1)
e1x
Pág. 156
loga (xy) = loga x + loga y
217N
EMA
12-P
1 ©
Por
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dito
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x a loga x
1 7 0
9 3 2
0,001 10 - 3
100 000 10 5
64 4 3
64 8 2
x a y = ax loga y
3 2 8 3
2 5 25 2
4 3 81 4
- 2 2 0,25 - 2
a x y loga A P = loga x + loga y
2 8 4 5 5
5 625 125 7 7
3 315 34 19 19
10 106 105 11 11
e e3 e7 10 10
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2.1.
2.2.
35.1. ln e = 1 35.2. log3 1 = 0 35.3. log5 (5-p) = - p35.4. logp (p3) = 3 35.5. 3 = log4 64 35.6. 3log3 2 = 2
35.7. eIn b = b , (b å R+) 35.8.
36.1. 3 = log3 27 36.2. 3 = log2 8
37.1. log1,5 14 37.2. 37.3. log2 6
37.4. ln (2,5 e2) 37.5. log3 15
39.1. - 1 39.2. 3 39.3. 7
41.1. 12 41.2. 6 41.3. - 12
Tarefa 5
1.1. 1.2. 4,75
2.1. 0 2.2. 2,5 2.3. 3,5 2.4. 11
4. - 1
5.1. e
5.2. 5.3. ; não existe f (– 1) e
5.4. Não, porque .
6.1. 6.2. ]- 1 , 1[
44.1. x = 9 44.2. x = 25
44.3. x = 2 44.4. x = 1
44.5. x = e2 › x = e 44.6.
44.7. x = 8 44.8. x = - 4
45. a = 6
46. 4,5
47.1. ]3 , 4[ 47.2.
47.3. ]1 , + ?[ 47.4. ]0 , 1[
47.5. ]1 , 3[ 47.6. ]2 , 2e - 2[
47.7.
48.1. ]1 , + ?[ 48.2.
48.3. ]0 , e[
49.1.
49.2.1.
49.2.2.
50.1. x å ]1 , 3[ 50.2.
51.1. 51.2.
Tarefa 6
1.1. 27 404 € 1.2. 2003
2.1. 32 € 2.2. 35,32 € 2.3. ) 113,3 anos
2.4. O acréscimo de preço, de um ano para o outro, é dado por
log2 .
3.1. 1 litro 3.2. A afirmação é falsa.3.4. 9 horas
Tarefa 72.2. O pH vai diminuindo, tornando-se mais ácida a bebida.
2.3.1. ) 1,26 * 10-6 mol/l
2.3.2. A concentração de iões hidrogénio na água mineral éaproximadamente 13 vezes maior que a concentração deiões hidrogénio existente na água pura.
2.4. O pH sofre um aumento de uma unidade.
52. 22 53. 1013 54. 979
55.1. + ? 55.2. + ? 55.3. 0
56.1. + ? 56.2. 0 56.3. 0 56.4. 0
Tarefa 8
1.1. 1,7 bar 1.2. 4 horas, 55 minutos e 20 segundos
2.1. 1,6 mg/l
2.2. 0. Com o passar do tempo a concentração de fármacotende a desaparecer.
2.3. a ) 3,5 e b ) 22,5
Tarefa 9
1.1. e 1.2. ) 47,6 mg
1.3. 9 horas e 40 minutos
2.2.1. 6,80 m 2.2.2. 1,16 m
loga xn = n loga x
Pág. 157
√2 = ln (e√2)
log 34
Pág. 158
Pág. 159
- 92
Df = ]0 , + ?[ Dg = R\{0}f (x) = ln (4x4)
f (2) = g (2) = ln (64) g (- 1) = ln (4)
Df 0 Dg
h 12 = j 12 = - log3 2
x = - 1 › x = 13
Pág. 161
] - ? , 1 - √e[
1e , + ?
3 - √172
, 0 ∂ 3 , 3 + √17
2
Pág. 160
Pág. 162
Df = - ? , 0 ∂ 215
, + ?x å - ? , - 1
5 ∂ 1
3 , + ?
x å - 23
, 0 ∂ 215
, 45
x å 0 , 1eD'h = ]- ? , 2]D'g = ]0 , 16]
Pág. 163
1 + 99t + 4
Pág. 164
Pág. 165
Pág. 166
Pág. 167
Pág. 168
a = √4 2Q0 = 80
218 SoluçõesN
EMA
12-P1 © Porto Editora
n x l = log2 x P = n log2 x log2 xn
3 2 1 3 3
4 8 3 12 12
5 16 4 20 20
6 256 8 48 48
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Tarefa 10
1.1.
1.3. 10-2 W/m2
1.4. O nível de intensidade sonora sofre um acréscimo de 3 dB .
2.2.1. 2.2.2. 10
Tarefa 111. a = 2000
2. k ) 0,25
3.1. 902 3.2. 2000, porque .
3.3. Seis dias
3.4. Há possibilidade de 50% dos animais serem afetados, masnão 60% .
Tarefa 12
1.1. 2250
1.2. Aproximadamente 36 413
1.3. A afirmação é verdadeira, porque a reta de equação y = 90é uma assíntota horizontal do gráfico da função P .
2.1. 1500 2.2. 6473
2.3. 2017 2.4. Não. O número de ninhos tende para 9000 .
Proposta 1 (B)
Proposta 21. {- 6} 2. {3}
3. {1} 4. {3}
5. {- 2 , 0} 6. {5}
7. {1} 8. {9}
9. 10. {5}
Proposta 31. f – III ; g – II ; h – I
2. ; ;
3.1. Não existe 3.2. (0 , - 2) 3.3. (3 , 1)
4.1. 4.2.
Proposta 4
1.
2.
3.
Proposta 5
1.1. 1.2.
2. A = [- 1 , 0]
Proposta 6
1. ; B (0 , 2)
2.
Proposta 7
1.1. 1.2.
2. ; assíntota horizontal: y = 2
Proposta 81.1. f (x) = 3 + 3x +1 ; a = 1 ; b = 1
f (x) = 3 – 2 * 3-x +1 ; a = - 2 ; b = - 1
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
1.7.
1.8.
2.
Proposta 92. 10 minutos e 51 segundos
n = log1,05 2,5A1
+ 1
Pág. 172
limt"+? N (t) = 2000
Pág. 173
Pág. 174
- 2 , 32
D'h = ]0 , + ?[D'g = ]- 3 , + ?[D'f = ]0 , + ?[
B = ]3 , + ?[A = ]0 , + ?[
Pág. 175
k = - 52
D'f = - 52
, + ?A 3 , 11
2
12
- 12
A - 14
, √4 8 - ? , - 1
6
47 , √7 26 - ? , 23
D'h = ]2 , + ?[
Pág. 176
f (x) = 3 - 3x+1 ; a = - 1 ; b = 1
f (x) = 3 + 3-x+1 ; a = 1 ; b = - 1
f (x) = 3 - 10 * 3x+1 ; a = - 10 ; b = 1
f (x) = 3 - 5 * 32x+1 ; a = - 5 ; b = 2
f (x) = 3 - 2 * 3-x+1 ; a = - 2 ; b = - 1
f (x) = 3 - 5 * 3-x+1 ; a = - 5 ; b = - 1
f (x) = 3 + 0 * 3x+1 ; a = 0 ; b = 1
f (x) = 3 + 0 * 32x+1 ; a = 0 ; b = 2
f (x) = 3 - 2 * 3-2x+1 ; a = - 1 ; b = - 2
f (x) = 3 - 3x+1 ; a = - 1 ; b = 1
f (x) = 3 - 2 * 3-x+1 ; a = - 2 ; b = - 1
f (x) = 3 + 2 * 3-x+1 ; a = 2 ; b = - 1
f (x) = 3 + 2 * 3x+1 ; a = 2 ; b = 1
f (x) = 3 - 2 * 3x+1 ; a = - 2 ; b = 1
f (x) = 3 - 2 * 3-0,5x+1 ; a = - 2 ; b = - 0,5
Pág. 169
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Intensidade(watt por metro
quadrado, W/m2)
Nível daintensidade
sonora(decibéis, dB)
Limiar daaudibilidade 10-12 0
Sussurros 5 * 10-10 27
Trânsito intensonuma cidade 8 * 10-4 89
Martelopneumático 3 * 10-3 95
Música forte 0,1 110
Limiar da dor 1 120
Reator 794 149
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Proposta 101.
2. e ; e ; e
3. ; assíntota: y = - 1
Proposta 112. 4. [- 2 , + ?[ 5. + ?
Proposta 121. f é não injetiva. Por exemplo, e .
2.
3. g ç f :
Proposta 131. 1000 peixes
2. Aproximadamente, 5926 peixes.
3. Seis. Com o passar do tempo, o número de peixes tendepara 6000 .
Proposta 142. 48 672 € 3. 5900 peças
Proposta 151. 3,80 ml
2. As condições (A) e (C) são satisfeitas e a condição (B) não ésatisfeita. O fármaco teve sucesso.
Proposta 16
1. 2. 2 3. 17,78 cm2
Proposta 17
1. e
2.
Proposta 181.
2. 11,7 cm2
Proposta 192. 2023
Proposta 201. - 6 2. 9 3. - 2
4. 5. 2 6. 1
Proposta 21(D)
Proposta 22(A)
Proposta 23(A)
Proposta 24(A)
Proposta 251. (A) 2. (D) 3. (B)
Proposta 261. 2,4 2. 3. 6,85
Proposta 271. x = - 6 2. x = 7 - e 3. x = 243
4. x = ln 8 5. x = 2
6.
7. 8.
9. 10. x = 4
Proposta 281. e ; e
2. e
3. Os gráficos intersetam-se nos pontos de coordenadas
(- 2 , 36) e .
4. A função f não é invertível dado que não é injetiva.
A função g admite como inversa a função g-1 definida por:
g- 1: R+ "R
Proposta 29(B)
Df = R D'f = R+ Dg = R D'g = R+ Dh = RD'h = ]- ? , 5[j (x) = 3x+2 - 1 ; D'j = ]- 1 , + ?[y = 3x " y = 3x - 1 " y = 3x+2 - 1
Pág. 177
D'f = ]- ? , 4[
0 0 12
f (0) = f 12D'f = ]0 , √8 e]
0 , 12 " Rx 1 √ex-2x2 - 1
Pág. 178
- 179
D'f = ]- ? , 5] D'g = ]0 , e5]x å ]- √3 , √3 [
g f
y
x
1
1 2
2
3
4
5
6
7
8
O-2-3 -1-1
h
f
y
x
1
1 2
234567
O-2-3-4 -1-1-2-3-4
Pág. 179
x å ]- ? , - 2 [ ∂ ]2 , + ?[
12
- 3730
x = - 2 › x = - 1 › x = 12› x = 2
x = e-3 › x = e2x = 0 › x = e2 - 3
x = 12› x = 3
D'g = R+Dg = RD'f = 19 , + ?Df = R
x = √52
x = - √52
12 , 3-3
2
x 1 - 13
log3 (x)
Pág. 180
Pág. 181
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Proposta 311. ]2 , 2 + e2] 2. ]1 , 4]
3. ]1 , 10[ 4. ]– 2 , – 1[ ∂ ]e2 - 2 , + ?[
Proposta 32
1.
2.1. A (1 + log2 3 , 0)
2.2. A(1 + log2 3 , 0)
3. ]- 3 , 1[
4.
Proposta 331. Por exemplo, k = 1
2. Por exemplo, k = - 2
3. Por exemplo, k = - 1
Proposta 342. 4,6 cm2
Proposta 35
1.
2.
Proposta 361. ln 4
2. Dg ç f =
3.
4.
Proposta 371.1. 1.2. A (2 , 0)
3.
4. a ) 0,84
Proposta 381. 500
2. N (t) = 500 * 2t
3. 64 000
4. 19 horas e 30 minutos
Proposta 391. 400 peixes
2. 0 . Com o passar dos dias, o número de peixes mortos nasmargens da ribeira tende a desaparecer.
3. 12 dias
Proposta 401. E = 101,5M + 11,4
2. ) 5,6 * 1024 ergs
3. M = 2,4
Proposta 411.1. ) 5728 anos 1.2. 15 600 anos 1.3. ) 135 mg
2.2. ) 3001 anos
Parte 1 – Questões de escolha múltipla1. (A)
2. (D)
3. (B)
4. (C)
5. (C)
Parte 2 – Questões de resposta aberta1.1. 900 m
1.2. Aproximadamente, 707 m .
1.3. 1 h
1.4. Aproximadamente, 1 h 57 min .
2.1. f e g não são iguais porque .
2.2. x = 8
3. k = 10,2
4.1.
4.1. P (2,4 ; 12,6)
h-1: - ? , 23 " Rx 1 1 - In (2 - 3x)
D'g = - ? , 4716
Dh = ]3 , + ?[
]- 1 , + ?[
x = 3e + 12e
g-1: R " 32 , + ?x 1 3 + ex
2
Df = ]1 , + ?[
a = √5 - 12
Pág. 187
Pág. 188
Pág. 189
Df 0 Dg
g (x) = x 9 - 3x2 ; x å ]0 , 4[
Pág. 183
Pág. 184
Pág. 185
Pág. 186
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x - ? 1 - In 2 + ?h (x) - 0 +
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242 SoluçõesN
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TEMA 2 – INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL II(CONT.)
1.1.1. 1.1.2. 1.1.3. 1.1.4.
1.2.1. Por exemplo, .
1.2.2. Por exemplo, .
1.2.3. Por exemplo, .
1.2.4. Por exemplo, .
Tarefa 1 1.1. e .
1.2. e .
1.3. e .
2.1. Existe.
2.2. Não existe porque .
2.3.1. 1
2.3.2. 2
3.1.
3.2.
3.3. 3
3.4. 0
2.2.1. 2.2.2. 4
3. I: Verdadeira; II: Falsa; III: Verdadeira
4.1. 2
4.2.
4.3. 0
4.4. 1
5.1. (C)
5.2.
6.1.1. 2
6.1.2. 2
6.1.3. 2
6.1.4. 0
7.1.
7.2.
8.1. 3
8.2.
8.3. 6
9.1.
9.2.
9.3.
10.1.
10.2. 10.3. 0
Tarefa 2 1.1.1. 4 1.1.2. 1
1.2.
11.1. 2
11.2. 11.3. 11.4. 111.5. 211.6.
12.1.
12.2. 12.3. 12.4. 12.5. 12.6. 0
13.1. 17
13.2. 2
13.3. 13.4. 0
15.1.
16.1. 16.2. 16.3.
Pág. 9
2-
2+
3-
0+
an = 4 + 1n
an = 1n
an = 5 - 1n
an = - 2 - 1n2
Pág. 10
lim (f (vn)) = - 3lim (vn) = - ?lim (f (wn)) = + ?lim (wn) = 2+
lim (f (tn)) = - ?lim (tn) = 2-
limx"2
g (x) = 5
limx"4- g (x) 0 lim
x"4+ g (x)
+ ?- ?
Pág. 11
13
Pág. 12
- ?
- ?
Pág. 13
a = - 1
a = 2
Pág. 14
- 3
103+ ?- ?
- 16
- 1
Pág. 15
Pág. 16
- 8
- 3
√3
13+ ?- ?+ ?- ?
Pág. 17
+ ?
g (x) = 1 se x > 3- 1 se x < 3
+ ?+ ?+ ?
limx"2
f (x) = 4 limx"2
g (x) = 1
limx"2
f (x) + limx"2
g (x) = 4 + 1 = 5 limx"2
(f + g)(x) = 5
limx"2
f (x) * limx"2
g (x) = 4 * 1 = 4 limx"2
(f * g)(x) = 4
limx"2
f (x) - limx"2
g (x) = 4 - 1 = 3 limx"2
(f - g)(x) = 3
limx"2
f (x) : limx"2
g (x) = 4 : 1 = 4 limx"2
(f : g)(x) = 4
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17.1. 117.2. 17.3. 17.4. 0
18.1.
18.2. Não porque .
19.2. 6
20.1.
20.2.
21.1.
21.2.
22.1.
22.2. 22.3. 22.4. 22.5.
23.1.
23.3.
24.1. 24.3. 4
25.1.
25.2.
26.1. 26.2. 26.3.
27.1. 27.2. 27.3. 27.4. 27.5. 1
27.6.
28.1. 28.2. 0
28.3. 0
29.1. 29.2. 0
30.1.
30.2. 030.3. 30.4. 1
30.5. - 1
30.6. 30.7.
31.1. .
31.2. .
31.3. .
32.1. Por exemplo, .
32.2. Por exemplo, .
32.3. Por exemplo, .
33.1. 033.2. - 1
33.3. 033.4.
Tarefa 3 1.1. Por exemplo, .
1.2. Por exemplo, .
1.3. Por exemplo, .
1.4. Por exemplo, .
2.1.
2.2.1. 1
2.2.2. - 1
2.2.3. 1
2.2.4. - 1
3.1.
3.2.1. 0
3.2.2. 0
3.2.3.
3.2.4.
4.1.
4.2.1. 0
4.2.2.
4.2.3.
4.2.4. 0
5.1.
5.2.
Pág. 18
- ?+ ?
Pág. 19
- 4
3456
- 15
Pág. 20
- 12
- 2
1
- 3
+ ?R+
0 \ {9}16
[- 3 , + ? [ \ {1}
14
- 2
Pág. 21
+ ?+ ?+ ?
Pág. 22
+ ?- ?- ?- ?
- ?
+ ?
- ?
Pág. 24
13
- ?
+ ?- ?n = 2 e a = 4
n = 1 e a å R \ {0}n > 2 e a > 0
f (x) = x - 1 e g (x) = x2
f (x) = - x2 + x - 5 e g (x) = 2x2 - 4
f (x) = x4 - 3x + 1 e g (x) = x2 - 1
Pág. 25
- ?
Pág. 26
g (x) = x4
g (x) = x3 - 2x + 1
g (x) = x2 + x - 3
g (x) = x2
R \ {0}
+ ?+ ?
R+ \ {e}
- ?+ ?
+ ?
limx"3- fg(x) = + ? e lim
x"4+ fg(x) = - ?
]- ? , 0[ ∂ 12 , + ?
f (x) = ln x + 1e se x > 0
1x - 1
se x ≤ 0
k = 1e3
Pág. 23
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244 SoluçõesN
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12-P1 © Porto Editora
Tarefa 4 1.1. Operadora A
1.2.1. 0,08
1.2.2. 0,08
1.2.3. 0,08
1.3.1. 0,08
1.3.2. 0,14
1.3.3. 0,08
2.1. 2.2.
2.3. 2.4.
34. A função é descontínua para e para .
35.1. É contínua.
35.2. É descontínua.
35.3. É contínua.
36.1. 1
36.2. 2
36.3. 3
37.1. .
39. I: Verdadeira; II: Falsa; III: Falsa
40.2.1. Verdadeira
40.2.2. Falsa
41.2.
43.1. As funções f e g não são contínuas em porquee .
43.2. II e III .
44.1. . Descontínua em .
44.2. . Descontínua em .
44.3. . Descontínua em .
46.1.1. 2
46.1.2. 3
46.1.3. - 2
46.2.1.
46.2.2. .
47.1. 47.2. Sim
Tarefa 5 1.1. e .
1.2. e .
2.2.1. 2,7 m
2.2.2. Houve paragens dos trabalhos nos 11.° e 12.° dias após oinício dos mesmos. Esses dias coincidiram com uma 5.a
feira e uma 6.a feira.
2.2.3. 80 m . A reta é assíntota horizontal do gráfico dafunção.
Tarefa 61. Em qualquer uma das modalidades poderia ter pago 3 €
por uma encomenda. Quanto à que custou 2,50 € foinecessariamente na modalidade A .
2. Entre 100 km e 300 km .
3. Não. Por exemplo, na modalidade B a quantia de 2,50 €não corresponde a qualquer distância.
48. I: Verdadeira; II: Falsa; III: Verdadeira
50.1. Não
50.2. Não
50.2. Sim
54.
Tarefa 7 1.2. Por exemplo, , isto é, entre 5 h 15 min e
5 h 18 min.
2. I: Falsa; II: Falsa; III: Falsa; IV: Falsa.
3.2. Não, porque f não é contínua para .
Tarefa 8 1. O passeio da Rita demorou cerca de 16 minutos e o do
Pedro 12 minutos.
2. Aproximadamente, 72 m .
limx"4- g (x) = 2
g (4) = 2lim
x"4+ g (x) = 2
limx"4- f (x) = 2
f (4) = 2lim
x"4+ f (x) = 3
limx"4- j (x) = 2
j (4) = 5lim
x"4+ j (x) = 3
limx"4- h (x) = 2
h (4) = 3lim
x"4+ h (x) = 3
Pág. 28
x = 2x = - 1
Pág. 29
a = - 6 e b = √5
Pág. 30
Pág. 31
k = 12
Pág. 32
x = 1lim
x"1g (x) 0 g (1)lim
x"1f (x) 0 f (1)
Pág. 33
x = 0Df = Rx = 0
Pág. 34
- 2 se x å [- 2 , - 1[- 1 se x å [- 1 , 0[0 se x å [0 , 1[1 se x å [1 , 2[2 se x å [2 , 3[3 se x = 3
adddbdddc
f (x) =
x = - 1 ; x = 0 ; x = 1 ; x = 2 e x = 3
Dh = R \ {0}
Pág. 35
B (e , 3)A (0,7)
b = 7a = - 4e
y = 80
Pág. 36
Pág. 38
Pág. 39
k å ]- ? , 0[ ∂ ]1 , + ?[
Pág. 40
t å [5,25 ; 5,3]
x = 0
Pág. 41
Df = R \ {1}
Pág. 27
Df = ]- 2 , + ? [ \ {3} x = - 1
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Tarefa 9 1.1.1.
1.1.2. 2
1.1.3. 4
1.1.4.
1.2. .
2.1.
2.3.1. 2.3.2.
2.4. Não
2.5.1. 2.5.2.
2.6. Sim
Tarefa 10 1. Experiência A : 4 °C ; experiência B : 2 °C
2. e . Significa que, se a
experiência se prolongasse no tempo, as temperaturas
aumentariam sempre tendendo para .
4.
Com o decorrer do tempo, as temperaturas tendem a aproximar-se.
55.1. A reta x = 2 não é assíntota e a reta é assíntota.
55.2. A reta y = 0 é assíntota horizontal.
56.1.
56.2.1.56.2.2. 2
56.2.3. 0
57.1. 57.2. 57.3. 2
57.4. 57.5. 0
57.6.
57.7. 0
58.1. 58.3.
59.1. É descontínua. A reta é assíntota vertical do grá-fico de f .
59.2.
60.1. 60.2. As retas e são ssíntotas do gráfico de h .
60.3. .
61. e .
62.1. 62.2. .
63.1. .
63.2. .
63.3. .
64. .
65.
66.1. 66.2.
67.1.
67.3.
67.4. .
68.1. A função que está associada a k = 1.
68.2. y = 2 e .
69.1. 69.2. .
Proposta 1 (B)
Proposta 2 1.1. 6 1.2. 1.3. 1.4. 11.5. 0
2.1. Por exemplo, .
2.2. Por exemplo, .
Proposta 3 (C)
Proposta 4 3. Não, porque .
Pág. 42
+ ?
- ?y = 2 e x = 0
R \ {- 1}- ?+ ?
- ?+ ?(x = - 1)
Pág. 43
limx"+? g (x) = + ?lim
x"+? f (x) = + ?
+ ?
Pág. 44
x = - 2
y = - 3
+ ?
Pág. 45
+ ?- ?
- ?
12
Pág. 46
x = - 2
y = x - 3
x = - 1
(2 , - 1)
Pág. 47
R \ {- 1}x = 1x = - 1
y = 2 e y = x
x = 1 ; y = x + 1
y = 2x
y = - 2 e y = - 3x - 2
y = - 2 e y = 3x + 1
y = 3 e y = 3x
Pág. 48
x = 0 ; y = 0 e y = 2x
x = e ; y = 0
y = 0x = 0
x = 0 ; y = 0 e y = - x + 1
Pág. 49
y = x + 2
x = 2 e y = - 13
R \ {2}
Pág. 50
- 2
- ?
k = 3
k = 1
Pág. 51
y = - x - 1
y = 3x e y = x
R \ {0}
g (x) = 0 se x = 0f (x) se x 0 3
limx"2- g (x) 0 lim
x"2+ g (x)
x(em minutos) f (x) = x2 + 3x + 4
x + 1g (x) = x + 2 f (x) - g (x)
10 12,18182 12 0,18182
50 52,03922 52 0,03922
100 102,01980 102 0,01980
200 202,00995 202 0,00995
300 302,00664 302 0,00664
… … … …
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246 SoluçõesN
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Proposta 5 1. (A)
2. (C)
Proposta 7 (C)
Proposta 8 (D)
Proposta 9 1. 0
2.
3. 0
4. 1
5.
6. 0
Proposta 10
1.
2. 0
3.
4.
5.
6.
Proposta 11
1.
2.
Proposta 12 1. 0
2.
3.
4.
5. 1
Proposta 13 1. 6
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Proposta 14 1.1. Verdadeira
1.2. Verdadeira
1.3. Verdadeira
2. Por exemplo,
Proposta 15 1.
3.
Proposta 16 1. Não, porque .
2. Não é contínua.
Proposta 17 1. A função g porque é descontínua para .
Proposta 18 1. 1
3.1. 3.2.
Proposta 19 (D)
Proposta 20 1. I. II.
III.
2. I. e III.
Pág. 52
+ ?
- ?
23
- ?
- 15
+ ?- ?
Pág. 53
m = - 20
m = 10049
182√3
3
+ ?
+ ?14
- 18
- ?- 1
+ ?32
- 110
Pág. 54
h (x) = 2 se x 0 1 ‹ x 0 - 1- 2 se x = - 11 se x = 1
Df = R \ {0}
k = - 52› k = 5
2
Pág. 55
limx"1- f (x) 0 lim
x"1+ f (x)
t = 4
k = 0k = 3 - log2 3
Pág. 56
O
y
x
2
5
31O
y
x
2
5
31
O
y
x
2
31
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Proposta 21 2.
Proposta 25 (B)
Proposta 26 (D)
Proposta 27
Proposta 28 (B)
Proposta 29 1. Não. A função é contínua e tem domínio R .
2. 0 . O gráfico de f tem pelo menos uma assíntota oblíqua.
Proposta 30 1. 2.
Proposta 31 1.
3.
Proposta 32
1.
3.
1. (D)
2.1. (A) 2.2. (B)
3. (A)
4. (C)
5. (B)
1.2. Não, porque não existe .
1.3. Por exemplo, .
2.2.
3.1.1.
3.1.2.
3.3.
Tarefa 11 1.1. I: 10 h ; II: 11 h 30 min
1.2. 84 km/h
1.3. Não, porque .
2. 86 . Nas duas primeiras horas de viagem, o Ricardo per-correu, em média, 86 km por hora.
3. A afirmação á falsa. A velocidade média nas duas últimashoras é de 74 km/h e de todo o percurso é de 80 km/h .
4. 80 km/h
5. 86 ; 74 . No instante em que tinha decorrido 1 h a veloci-dade era de 86 km/h e no instante em que tinham decor-rido 4 h a velocidade era de 74 km/h .
6. Não. No instante em que se completaram duas horas deviagem a velocidade era de 82 km/h .
70.1. - 0,06 € por mês. Nos primeiros quatro meses as açõesdesvalorizaram, em média, 0,06 € por mês.
70.2. A afirmação é falsa. Apenas se pode afirmar que a cotaçãodas ações no final do 4.° e do 6.° mês é a mesma.
71. Por exemplo:
73. I: Falsa; II: Verdadeira; III: Verdadeira
74.1. 16 74.2. 8 74.4.
75.1.1. 1 75.1.2. 75.2.
Tarefa 12
1. 9 dB
2. 0,6 dB/100 rotações
3. 1,03 dB/100 rotações
4.
5. 8720 rotações/minuto
]0,7183 ; 0,7184[
Pág. 57
Pág. 58
x = 0 ; y = 0
(y = 2x)
Pág. 59
P (1 , 4) - 1
Df = ]- ? , - 1[ ∂ ]0 , + ?[
- 1
B 52 , 1115
a ) 30,92
Pág. 60
Pág. 61
limx"1
f (x)
g (x) = 12x
y = x
R+ \ 1e x = 1
e ; y = 0
x ) 2,22
Pág. 62
d (5) = 400
Pág. 64
O
y
x
1
4
42-1
-2
Pág. 65
y = 6x - 17
- 1 y = x - 3
Pág. 67
)
Nível de ruído Rotações/min
Moderado 3500-5000
Alto 5000-8721
Muito alto 8721-10 000
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248 SoluçõesN
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Tarefa 13 1.1. . Quando o raio aumenta de 1 para 4 , o volume
aumenta, em média, unidades de volume por uni-dade de comprimento.
1.2. . Para um acréscimo de uma unidade no raio, naqueleinstante corresponderia um aumento de unidades novolume.
2.1. Sim
2.2. Não
2.3. 2.4.
3.1. 18 °C
3.2. Durante a 1.a hora.
3.3. = - 5,1875 °C/h
3.4. = - 1,75 °C/h
3.5. 4 °C
76.2. e . Não existe derivada em .
77.1.1.
77.1.2. 2
77.2. Não porque .
77.3. Sim. Toda a função derivável num ponto do seu domínio écontínua nesse ponto.
78.1. 1
78.2.
78.3.
79.1. Sim, porque não existe .
79.2.
79.3. São diferentes.
80.1.1.80.1.2.80.1.3.
80.1.4.
80.2.1. Negativo
80.2.2. Negativo
81.1.
81.2. 6
81.3.
81.4.
81.5.
82.1. 282.2. 6
82.3. 6
83. D =
84.1.
84.2.
84.3.
84.4.
84.5.
Tarefa 14 1. (B)
2. (A)
85.1.
85.2. 85.3.
85.4.
86.1. 86.2.
87.1.
87.2.
88.1. 88.2.
88.3.
88.4.
28p28 p
4 p4p
g'(1) = 1
y = - x - 2
t.m.v.[0 , 2]
T '(2)
Pág. 69
x = 1g'(1-) = - 1g'(1+) = 1
- 45
f '(5-) 0 f '(5+)
Pág. 70
y = 2x - 5
13
Pág. 71
limx"2
f (x)
+ ?
+ ?+ ?+ ?- ?
Pág. 72
- 12
116
- 2
- 14
Pág. 73
[- 3 , 5[ \ {- 1,3}
f ' : R \ {0} " Rx 1 - 2
x3
x 1 2x se x ≤ 12 se x > 1
f ' : R \ {2} " R
x 1 1 se x > 2- 1 se x < 2
x 1 6x - 1 se x > 0
1(x - 1)2 se x < 0
Pág. 74
Pág. 75
f '(x) = 12
f '(x) = - 3x2 + x
f '(x) = - 6x2 + 10x - 1
f '(x) = 92x2 - 1
2+√5
y = 6x - 1
y = - 4
- 75
a = 5
Pág. 68
Pág. 76
f '(x) = - 6x + 2
g'(x) = 3x2 - 8
f ' : R \ {1} " R
f ' : R \ {2} " R
f ' : R \ {0} " R
x 1 1
2√x - 1se x > 2
x + 1 se x < 2
h'(x) = - 52x4 + 3
2x2 + x
i'(x) = - 2x5 + 203x4 + 16x3
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1 ©
Por
to E
dito
ra
89.
90.1.
90.2.
91. 144
92.1.
92.2.
92.3.
92.4.
93.1.
93.2.
93.3.
93.4.
94. 8
95.1.
95.2.
95.3.
95.4.
95.5.
96. 3
97.1.
97.2.
97.3.
98.1. .
98.2. .
98.3. .
99.1. 3 99.2. 3
100.1.
100.2.
101.
102.1.
102.2.
103.
105.
106.1. 106.2. 1 106.3. 3
107.1.
107.2.
108.
109.1. 3 109.2.
109.3. 1 109.4.
109.5. 1
110.1.
110.2.
110.3.
110.4.
111.
112. ;
Tarefa 15 1.2.
1.3.
2.1.
2.2.
2.3.
4.1.
4.2.
- 10
- 2
12
Pág. 77
f '(x) = 4x3
f '(x) = 38x2
f '(x) = - 10 (1 - 2x)4
f '(x) = (3 - 12x)(x - 2x2)2
f '(x) = 3
2√3x - 1
f '(x) = 2x
3 √3 (x2 + 1)2
f '(x) = 3x + 2
√x + 1
f '(x) = 2
5 √5 (2x - 3)4
Pág. 78
y ' = - 3x2
y ' = 2(x - 2)2
y ' = x2 + 6x(x + 3)2
y ' = - 3x - 5(x - 1)3
y ' = - 32x2 1 - x
2x 2
Pág. 79
g + f : ]- ? , - 3] ∂ [3 , + ? [ " Rx 1 √x2 - 9
h + f : R \ {-√10 , √10} " Rx 1 1
x2 - 10f + h : R\{1} " R
x 1 1(x - 1)2 - 9
g (x) = x + 1 e f (x) = x2
g (x) = x - 1 e f (x) = 2 +√x
g (x) = x2 - 1 e f (x) = ex
g + f : [1 , + ? [ " Rx 1 √ln x
f + g : R+ " Rx 1 ln (√x)
Pág. 80
(h + j)'(x) = - 1
2x√x
f '(x) = 6 (3x - 1)
f '(x) = 1
2 (3 - x)√3 - x14
Pág. 81
1e
32
Pág. 82
f ' : R \ {0} " R
x 1 ex se x < 0
- ex se x > 0
f ' : R \ {0} " R
x 1 xex - ex + 1
2x2 se x < 0
6x + 12
se x > 0
P (ln 2 , 2)
Pág. 83
- 1
- 12
f '(x) = - 1x2 e
1x
f '(x) = 3x2 - x3
ex
f '(x) = ln 2 * ln 3 * 2x ln 3
f '(x) = p-2x - 2x p-2x ln p + p-x ln p
j '(1) = √3 ln 32
N '(t)N (t)
= 0,3N '(t) = N0 * 0,3 * e0,3t
Pág. 84
P (ln 4 , - 2 + e)
x = 2 + ln 4
f '(0) = - 2
- ln 63
x = 13
xA = - 1ln 2
yA ) 2,65
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113.
114.
115.1. 0
115.2.
115.3. 0
115.4. 2
115.5.
116.1.
116.2.
116.3.
116.4.
116.5.
117.1.
118.
120.1.121.1.121.2.
Tarefa 16 1.1.
1.3.1. ;
1.3.2. ;
1.3.3. ; ;
;
1.4.
1.6.1.1. Se o gráfico II fosse o de f então seria positiva, oque não corresponde aos valores obtidos em 1.3.1. .
1.6.1.2. O gráfico IV corresponde a uma função ímpar e a fun-ção g' é uma função par.
1.6.2. f : I ; g : IV ; f ' : III ; g' : II
2. Por exemplo, ; h' é ímpar e j ' épar.
122.1.
122.2.
122.3.
123. Em I. A função f é a derivada da função g .
124.1.1. h
124.1.2. g
124.1.3. f
125. I: Verdadeira; II: Falsa; III: Falsa; IV: Verdadeira
126.1. g é estritamente decrescente em e eme é estritamente crescente em .
Mínimo relativo: 2 ; máximo relativo:
126.2. g é estritamente decrescente em e eme é estritamente crescente em .
Mínimo relativo: e
126.3. g é estritamente decrescente em e é estrita-
mente crescente em .
Mínimo absoluto:
127.1.
127.2.
128.1.
129. g é estritamente decrescente em e eme é estritamente crescente em .
Mínimo relativo: 2 ; máximo relativo: e
130. O João excedeu a velocidade permitida.
131. Passadas 5 horas.
Pág. 85
ln (1 + x)x se - 1 < x < 0
1 - 2x se 0 ≤ x ≤ 1ln x1 - x
se x > 1
addbddc
g (x) =
- 12
Pág. 86
12
12
f '(x) = ln x + 1
f '(x) = 1x + 2
f '(x) = 1x2 ln 2
- log2 xx2
f '(x) = ex ln x ln x + 2x
f '(x) = 1
x √ln x2
Dg = ]- ? , 2[
Pág. 87
f ' : R+ \ {1} " R
x 1 1x se x > 1
- 1x se 0 < x < 1
x = e
Dg = ]1 , + ? [
y = 0 ; x = 1
Pág. 88
Df = Dg = R
f '(1) = - 87 ; f '(- 1) = 8
7g'(1) = 1 + ln 2 ; g'(- 1) = 1 + ln 2
f '(2) = - 1619
; f '(- 2) = 1619
g'(2) = 85+ ln 5 ; g'(- 2) = 8
5+ ln 5
f '(- a) = 8a4a2 + 3
f '(a) = - 8a4a2 + 3
g'(- a) = ln (a2 + 1) + 2a2
a2 + 1g'(a) = ln (a2 + 1) + 2a2
a2 + 1
g' : R " Rx 1 ln (x2 + 1) + 2x2
x2 + 1
f ' : R " Rx 1 - 8x
4x2 + 3
f '(1)
h (x) = x2 + 1 e j (x) = 2x3
Pág. 89
]- ? , - 2[ ∂ {- 1 , 1 , 4}]- 2 , - 1[ ∂ ]1 , 3[
]- 1 , 1[ ∂ ]3 , + ? [ \ {4}
Pág. 90
Pág. 91
]2 , + ? []- ? , 0[]0 , 2[
103
]0 , 1[]- ?, 0[]1, + ? [
0 , 1e1e , + ?
- 1e
h'(t) < 0 , A t å [0 , 15]
- 0,15 m /min
Pág. 92
f ' : R " R
x 1 2x se x ≥ 0- 2x se x < 0
]0 , 1[]- ? , 0[]1 , + ? [
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132.1. f é estritamente crescente em e é estrita-mente decrescente em .
Máximo absoluto: e
133.1. g é estritamente crescente em e é estrita-mente decrescente em .
Máximo absoluto:
133.2.
134.1. 134.2.
Tarefa 17 1.1. 1,56 cm2
1.2. Após 1 hora a área infetada estava a aumentar e ao fimde 3 horas estava a diminuir.
1.3. 0 . Com o decorrer do tempo a área infetada tende adesaparecer.
1.4. Se então a área infetada aumentou e se ,então a área diminuiu.
O valor máximo da área infetada foi de e ocorreu 2 horas após a picada.
2.2.
2.3.
Tarefa 18 1. Aproximadamente, .
2.
Tarefa 19 1.1. 109,60 €
1.2. Custo mínimo: 200 peças; custo máximo: 100 peças.
1.3. Aproximadamente, 0,31 Æ .
1.5. 280 peças.
2.
135.1. 135.2.
135.3.
136.1.
136.2.1.136.2.2.
137.1. Negativo 137.2. Positivo
137.3. Negativo 137.4. Negativo
138.1. Não. Se f fosse representada pelo gráfico II, teria a con-cavidade voltada para baixo o que implicaria que f ''fosse sempre negativa, o que não acontece.
138.2. Não. Se assim fosse, f '' teria de ser negativa em todo oseu domínio atendendo que f' é decrescente.
138.3. I: f '' ; II: f ' ; III: f
139.1. O gráfico de f tem a concavidade voltada para cima eme em e voltada para baixo em .
Pontos de inflexão: e .
139.2. O gráfico de f tem a concavidade voltada para cima eme voltada para baixo em .
Ponto de inflexão:
139.3. O gráfico de f tem a concavidade voltada para baixo eme em e voltada para cima em
.
Pontos de inflexão: e .
140.2. O gráfico de f tem a concavidade voltada para cima em
e em e voltada para baixo em
e em .
Pontos de inflexão:
, e .
141.
Tarefa 20 1.1. Aproxidamente, 2 mm .
1.2. 34 horas e 9 minutos.
1.3.
2.1. 20 toneladas.
2.2. Não.
2.3. 5,5 dias.
2.4. . Com o decorrer do tempo, o stock em
armazém tenderia para 100 toneladas.
Tarefa 21 1.1. No fim.
1.2. 19 horas
1.3. . Entre as 16 h 36 min e as 23 h 12 min ,aproximadamente, a percentagem de estudantes queouviu o programa foi não inferior a 65% .
1.4. Aproximadamente, 1 h .
2. .
]- ? , 1[]1 , + ? [
2e - 1
y = 0 ; y = - 2
- ln 2Dg' = R+
Pág. 94
t > 20 ≤ t < 2
8e cm2
37564
p √55 cm3 ; 136,5 cm3
x ) 294°
Pág. 95
63,2 m
d : [0 , 4] " Rx 1 1 + e-x(1 - 2x)
Pág. 96
PT = 5911 m ; custo: 492 337 Æ
Pág. 97
f ''(x) = 2(1 - ln x)x2f ''(x) = 2
(x - 1)3
f ''(x) = 2-x ln2 2
3 m /s
- 2 m /s2
- 2 m /s2
Pág. 98
Pág. 99
Pág. 100
]0 , 1[]1 , + ? []- ? , 0[(1 , - 3)(0 , - 2)
]- ? , - 1[]- 1, + ? [
- 1, - 2e
]1, + ? []- ? , - 1[]- 1 , 1[
(1, ln 2)(- 1, ln 2)
√62
, + ?- √62
, 00 , √6
2 - ? , - √62
√62
, - √6e2e (0 , 0)- √6
2 , √6e
2e - 2 ln 16
Pág. 101
D''(t) = - 0,016 * 1 - 0,006t2
(0,002t2 + 1)3 ; t ) 12,91h
P (4) < 48
limt"+? P (t) = 100
Pág. 102
P (9) > P (0)
]1 , + ? []- ? , 1[
Pág. 93
p ) 1,6 e q ) 8,2
P (t) = 38,06te-0,2t + 10a ) 38,06 ; b = 0,2 ; c = 10
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142.1. f é par. 142.2. g é ímpar.
142.3. h não é par nem ímpar. 142.4. j é ímpar.
143. A função par é a g .
144.1.
144.2. f é contínua porque admite derivada finita em todos ospontos do seu domínio.
144.3.
144.4.
144.5.
145.1.
145.2.
145.3.
146.1.
146.2.
147.1.
147.2.
148. II
149. , e .
150.1.
y = 3
O
y
x
3
2
4-1-2-4
D'f = ]- 4 , 3]
Pág. 104
O
y
x
O 2
y
x
O 1 3
2
y
x
O
y
x
0,5
1
-0,5
-1V√3
-V√3
V√3-—4
V√3—4 f
O21
y
y = -x - 1
f
x
O1
y
f
x-1-2
3-—42-—3
Pág. 103
Pág. 105
O 1
1
y
f
x-1-1
C (0 , - 2)B - √22
, 0A √22
, 0
Pág. 106
n = 3
x - ? - 1 4 + ?f ' + 0 - 0 +f £ 3 ¢ - 2 £
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151.1.
151.2.
151.3.
152.1.152.2.152.3.
153.2.
Proposta 1 1. 0,189 kg
2. 0,75 . No primeiro semestre de vida o peso do animalaumentou à razão de 0,75 kg/mês .
3. . No instante o peso está a aumentar àrazão de 0,12 kg/mês .
Proposta 2 2. 15 °C
3. . Nas duas primeiras horas, a temperaturado sumo baixou, em média, 5 °C por hora.
4. - 4 °C por hora. 5. A solução é 3 . Se a Ana deixar o sumo muito tempo no
frigorífico, este ficará a 3 °C de temperatura.
Proposta 3 1.1. 2 1.2. 0
2. Por exemplo, .
3. A afirmação é falsa. Só podemos afirmar que .
Proposta 4 1.1. Por exemplo, .
1.2. Por exemplo, .
1.3. Por exemplo, .
1.4. Por exemplo, .
2.1. 0 2.2.
Proposta 5 1. 14 km
2. 1 h 07 min
3. 10,24 km
4. ;
5. Não. Em intervalos de tempo iguais, os espaços percorri-dos são diferentes, como se pode observar a partir dosvalores obtidos na alínea anterior.
Proposta 6 1. . A distância percorrida durante a segunda
hora de viagem foi de 76 km .
2. . A velocidade média durante a viagem foi de84 km/h .
3. . No instante , a velocidade instantâneaera igual a 86 km/h .
Proposta 7
1.1.
1.2.
2.
Proposta 8
1.
2.
Proposta 9
1.
2.
Proposta 10
1.
2.
O 1
1
y
f
x
O
1
y
f
x
1—2
O 1
y
f
x
-1 2—e-
-1
Pág. 107
k = 3
k = 4
k = - 2
Pág. 108
x = ln √3
Pág. 110
t = 4P '(4) = 0,12
t.m.v.[0, 2] = - 5
[- 3 , - 1]
f (b) < f (a)
Pág. 111
[b , c]
[a , b]
[b , d]
[a , d]
f '(c) < f '(b) < f '(a)
t.m.v.[0,5 ; 1] = - 403
t.m.v.[0 ; 0,5] = - 383
d (5) - d (4) = 76
t.m.v.[0, 5] = 84
t = 2d'(2) = 86
Pág. 112
2323
y = 23x + 6
-√3
2√3
a = - 23
(0 , 2) ; 43 , 2227
Pág. 113
- 12
394
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Proposta 11 1.
2.
3. pois o declive da reta tangente ao gráfico de f
no ponto de abcissa 2 é negativo.
Proposta 12 1. Sim 2.
Proposta 13 1. 3
2. 2
3. 5
4.
5.
Proposta 14 (D)
Proposta 15 (A)
Proposta 16 (A)
Proposta 17
1.1.
1.2.
2.1.
2.2.
Proposta 18
Proposta 19
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
Proposta 20 .
Proposta 21 1.1. 2 1.2.
Dg = ]- 1 , 2[ ∂ ]5 , + ? [
f '(2) < f '(3,7) < f '(- 1)
f '(2) = - 95
g'(1) = 1
Pág. 114
+ ?- ?
Pág. 115
y = - 3x - 263
y = - 3x + 2
- 13√3
√312
Pág. 116
y = 3x - 4
f ' : R " Rx 1 - 3x2 + 8x - 5
f ' : R " Rx 1 x3 + 2x2 - x - 1
f ' : R " Rx 1 12x3 - 9
2x2 - 8x + 2
f ' : R \ {0} " Rx 1 - 12
x3
f ' : R \ {1} " Rx 1 - 1
(x - 1)2
f ' : R " Rx 1 32x - 24
f ' : R " Rx 1 (6 - 6x) (2x - x2)2
f ' : R \32 , + ? " R
x 1 1
√2x - 3
f ' : R \ {0} " Rx 1 1
x2
f ' : R \ {3} " Rx 1 - 2x2 + 6x
(x - 3)5
f ' : R \ {- 1 , 1} " Rx 1 1 + 8x
(x2 - 1)2
x 1 3 se x > 2- 3 se x < 2
f ' : R \ 12 " R
x 1 2
3 √3 (2x - 1)2
x 1 - 1
(x + 1)2se x > 1
1(x + 1)2
se x < 1 ‹ x 0 - 1
x 1 -2
(x - 1)2se x > 1
3 se x < 1
x 1 - 1 se x < 0 › 0 < x < 21 se x > 2
f ' : R \ {0 , 2} " R
f ' : R \ {1} " R
f ' : R \ {- 1 , 1} " R
f ' : R \ {2} " R
y = - 95x + 33
5
a = 4 e b = 2
Pág. 117
- 1
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2. Não é contínua em , portanto, não é derivável em.
3.
4.
Proposta 22
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
Proposta 23
1.
2.
3. 2
4. 6
5. 2
6.
Proposta 24 1. f é estritamente decrescente em e em
; f é estritamente crescente em .
Mínimo absoluto: ; máximo absoluto: 1
2. f é contínua em R porque admite derivada finita emtodos os pontos do seu domínio.
3. O gráfico de f tem a concavidade voltada para baixo eme em .
O gráfico de f tem a concavidade voltada para cima eme em ;
Pontos de inflexão: e .
Proposta 25 1. f é estritamente decrescente em R- e estritamente cres-
cente em R+ .
Mínimo absoluto igual a 2 (para ).
2.
4.
Proposta 27 (B)
Proposta 28 (C)
Proposta 29 (B)
Proposta 30 1.1.
1.2. y = ex - 2
2. f é estritamente decrescente em e estrita-mente crescente em .
3. ; Zeros:
Proposta 31 1. y = - x + e
2. Maximizante: ; minimizante:
3. O gráfico de g tem a concavidade voltada para cima em
e voltada para baixo em e em
.
Proposta 33
1.
2. Máximo absoluto:
3.
Proposta 36 1. g é estritamente crescente em e estritamente
decrescente em .
O máximo absoluto é (para ).
x = 1
f ' : R \ {1} " R
x 1 3x - 2
2√x - 1se x > 1
2x2 - x - 1x - 1
se x < 1
y = 134x - 25
4
f '(x) = 12x3 + 6x2
(3x + 1)2
f '(x) = 2e2x - 3
f '(x) = (1 - 2e2x)(x2 + 1) - 2x (x - e2x)(x2 + 1)2
f '(x) = 3e3x + 3x2
f '(x) = 33x - 1
f '(x) = ex(x2 - x - 1)(x2 + x)2
f '(x) = - 1x
f '(x) = 3x2 - 3ln 2 (x3 - 3x + 4)
f '(x) = ex2-3x (2x2 - 3x + 1)
f '(x) = x + 6x2 + 3x
f '(x) = exx - ln (ex + 1)(ex + 1)(ex + 1)x2
f '(x) = 1x ln 2
Pág. 118
√2
- 2
12
]- ? , - 1[]- 1 , 1[]1 , + ? [
- 1
]0 , √3 []- ? , -√3 [
]√3 , + ?[]-√3 , 0[
√3 , √32 -√3 , - √3
2
x = 0
+ ?f + g : R+ " R
x 1 ln x + 1 + 1x
Pág. 119
Pág. 120
Df = ]- ? , - 1[ ∂ ]3 , + ?[
]- ? , - 1[]3 , + ?[
1e ; e3Dh +g = R+
12
- 1
- ? , - 12- 1
2 , 2
]2 , + ? [
Pág. 121
1
√e, 1
2√e1e
x = 1
P (e , - e)
Pág. 122
]- ? , 3[]3 , + ?[
x = 3- 1e2
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Proposta 37 1. Aproximadamente, .
2. 5 horas.
3.
Proposta 38
1. Aproximadamente, .
2. Aproximadamente, .
3. 40 minutos.
Proposta 39
1. Aproximadamente, 1,93 Æ .
2. Custo médio de 1000 litros de fertilizante, em milharesde euros.
3. 1 . Quando a produção tende para zero o custo de 1 milharde litros de fertilizante tende para 1000 Æ .
4. 2238 litros.
5. O lucro máximo é de 718 € quando a produção é de1718 litros.
1. (A)
2. (C)
3. (D)
4. (B)
5. (A)
6. (D)
1.3.1.
1.3.2. 0
2.1. 4 horas e 44 minutos.
2.3. Ponto de inflexão:
3.1. f é estritamente crescente em e em
e estritamente decrescente em
.
Máximo relativo igual a e
mínimo relativo igual a .
3.2.
4.2.
TEMA 3 – TRIGONOMETRIA E NÚMEROS COMPLEXOS
Tarefa 1
1.1.1.
1.1.2.
1.2.
1.3.
1.4.1.
1.4.2. › q ) 2,36 rad
2.2. 2.3.
1.1.
1.3.
2.1.
2.2.1.
2.2.2.
2.2.3.
3.1. 3.2.
3.3.
4.1. h é ímpar.
4.2. h é par.
4.3. h não é par nem ímpar.
5.1.
5.2.
5.3.
5.4.
Tarefa 2
1.1.1.
1.1.2.
1.2. 1.3.
167 m2
10 , 20e
0,0066 mg
4,61 mg
Pág. 123
Pág. 124
Pág. 125
+ ?
(1,41 ; 56,93)
]- ? , 2 -√2 []2 +√2 , + ?[]2 -√2 , 2 +√2 [
(para x = 2 -√2)2√2 - 2
e2-√2
(para x = 2 +√2)- 2√2 - 2
e2+√2
a = 1 ; b = 0 ; c = 0
k = 3
Pág. 129
12
√32
q = p2
A (q) = sin q
q = p4
› q = 3p4
q ) 0,78 rad
a ) 0,51 rad
10√2 cm
Pág. 130
P (cos a , sin a)
Pág. 131
Df = R[0 , 2]
- 3p4
; p4
x = 3p4
+ kp , k å Z
[- 2 , 4]
[1 , 2]
13 , 1
x = p7
+ 2kp › x = 6p7
+ 2kp , k å Z
x = - p6+ kp › x = 2p
3+ kp , k å Z
x = p6+ kp › x = - p
6+ kp , k å Z
x = p2+ 2kp › x = - p
6+ 2kp › x = 7p
6+ 2kp , k å Z
Pág. 132
12
√22
q = 0
A (q) = cos q
d = 10 + 3√152
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1.4.1.
1.4.2.
2.2.1.
2.2.2.
2.2.3.
6.1.
6.3.
6.4.
8.2.
9.2. A afirmação é verdadeira porque .
9.3.
10.1. 1 10.2.
11.2.
Tarefa 3 1.1.1. 1 1.1.2.
1.2. Não 1.3.
1.4.1.
1.4.2.
2.2.
2.3.
12.2.
12.3.
13.1.
13.2.
13.3.
14.1. R14.2. 14.3.
16.1.
16.2. R16.3.
16.4.
17.1.
17.2.
17.3.
18.
Tarefa 4
1.1.
1.2. f : II ; g : I
1.3.
1.4. , , e
2.1.1.
2.1.2.
2.2.2.
19.1.
19.2.
20.1.1.
20.1.2.
20.2.
21.1.
21.2. 21.3. 2
22.1.
22.2.
23.1. 23.2. 23.3.
q = p6
q ) 0,80 rad3√34
√2 + 12
2 +√34
Pág. 133
P (cos a , sin a)
√72
d = 3√510
Pág. 135
3 - 2√23
0 ∫ D'f
x = p4+ 2kp , k å Z
- 1
p2 , p ∂ 3p2 , 2p
Pág. 136
√3
A (q) = tg q
q = p4
q ) 1,33 rad16√33
a = 3p4
Pág. 137
d = 2√3
sin a = 5√2626
Pág. 138
D = x å R : x 0 p4+ kp2 , k å Z
D = x å R : x 0 kp2 , k å Z
D = 0 , p4 ∂ p2 , p
]- ? , 1]
[2 , + ? [
D = x å R : x 0 5p6
+ kp , k å Z
x = - p6 ; x = 5p
6√1010
Pág. 139
x = p10
+ k p2 , k å Z
x = - p12
+ kp , k å Z
x å 0 , p4 , p , 5p4 , 2p
A - p2 , 0 ; B -p4 , 0 ; C p4 , 0 ; D
p2 , 0
Pág. 140
Ap6 , √32 ; Bp2 , 0 ; C5p6 , - √32
x å 0 , p6 ∂ p2 , 5p
6
A 1cos a , 0
B 1cos a , sin a
10837
Pág. 141
2p
a = - 6p5 e b = 14p
5
k = 5
k = 114
- 12
Pág. 142
2p34p
2p3a = p
4 , b = 11p
12 e c = 13p
12a = 4
37p6
13p2
a = - 4a = 3
41p6
15p2
NEMA12-P2-17
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258 SoluçõesN
EMA
12-P2 © Porto Editora
24.1.
24.2.
24.3.
24.4.
24.5. 24.6.
25.1.
25.2.
25.3.
25.4.
26. f : III ; g : II ; h : IV ; j : I
Tarefa 5 1.1.1. Simetria em relação a Ox .
1.1.2. Translação horizontal associada ao vetor .
1.2.
2.
3.1.
3.2.
Tarefa 6 1.1. Por exemplo, .
1.2. 43 cm e 37 cm 1.3. Três vezes.
2.1. Aproximadamente, 16 s . 2.2. Aproximadamente, 5 s .
2.3.
Tarefa 7
2.1.
2.2.
2.3. 6 s . De 6 em 6 segundos, o ponto P encontra-se namesma posição.
27. Basta pensar que é uma função periódica, tomando valo-res entre - 1 e 1 .
28.1. 0 28.2. 1 28.3.
28.4.
28.5. 0
29.1. 2 29.2. 1
29.3.
29.4. 10
29.5.
29.6.
29.7.
31.1. 2 31.2. 1
31.3.
31.4. - 131.5. 31.6. 31.7.
34.
35.1. - 1 35.2. 0
36.1. 1 36.2.
37.1.
37.2.
37.3.
37.4.
37.5.
38. .
39.2. 91
Pág. 143
2p2p3p2p2
3pp2
p8 , 0- p6 , 0- p6 , 02p3 , 0
Pág. 144
p4 , 0p
a = 3 e b = - 2
c = 2 e d = 12
8p3
Pág. 145
d (t) = 40 + 3 sin (0,5t)
p = 36p7
Pág. 147
w = p3 rad /s
5√22 , 5√22
Pág. 148
- ?p2
Pág. 149
- 13
74
- 416
Pág. 150
- 12
- ?- ?e
Pág. 151
45
Pág. 153
(0 , 1)
Pág. 154
f '(x) = 12- cos x
f '(x) = 2 cos (2x)
f '(x) = - px2cos px
f '(x) = 2x sin - x + p3 - x2 cos - x + p
3f '(x) = - p cos (px)
2√1 - sin (px)
a = 2p3 e b = 4p
3
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40.1.
40.2.
40.3.
40.4.
40.5.
42.2.
43.1.
43.2.
43.3.
43.4.
43.5.
44.2.
Por observação da tabela conclui-se que h é decrescente
em e em .
44.3.
O gráfico de h tem a concavidade voltada para cima em
e voltada para baixo em . Não tem pontos
de inflexão.
45.2. A função tem um máximo relativo igual a para
e um mínimo relativo igual a para .
Tarefa 9 1.1.1. 0
1.1.2.
2.1.
2.3. Zeros de f ' :
2.4.
Tarefa 10
1.1.1. 1.3. 1.4. 1.5.
f é estritamente crescente em e é estri-tamente decrescente em , .
Máximo absoluto:
1.6.
O gráfico de g tem a concavidade voltada para baixo e nãotem pontos de inflexão.
2.1.
2.2.2.
2.2.3. Em ambos os casos, os limites representam a área dotriângulo [ABD] .
2.2.4.
Tarefa 11
1. Altura das colunas de reforço: 8 m Distância entre duas colunas consecutivas: aproximada-
mente, 6,28 m .
Altura da parte mais baixa do muro: aproximadamente,3,33 m .
Número de colunas de reforço: 26
Altura do muro no fim do mesmo: 3,35 m
f '(x) = 1 + 3cos2 (3x)
f '(x) = tg2 x + 2x tg xcos2 x
f '(x) = - 1
x2 cos2 1x
f '(x) = - 2 + 2 tg xcos2 x
f '(x) = 1 + x
2 cos2 x22
p2 , p0 , p2
2p - 4x = p
4- 2p + 4x = - p
4
Pág. 157
Pág. 156
f '(x) = - 3 tg (3x - p)A (p , p)
f '(x) = ecos x (1 - x sin x)
f '(x) = 2x cos (3x) - 3x2 sin (3x)
Pág. 155
f '(x) = - sin x2
f '(x) = 1x2sin 1x
12
B p2 , 0 e D 3p2 , 0
p2 ; 7p
6 ; 11p
6
C 7p6 , 3√32 e E
11p6 , - 3√3
2
Pág. 158
Df = R \ {x å R : x = 2kp , k å Z}x = 0 ; x = 2px = 2kp , k å Z
]0 + 2kp , p + 2kp[k å Z]p + 2kp , 2p + 2kp[
ln 2
121 +√34
q = p4
Pág. 159
0 , p2 p2 , p
x 0p2
p
h' s. s. - s. s. - s. s.
h s. s. + ?¢ 0+ s. s. 0- ¢ -? s. s.
x 0 p 2p
g' + 0 -
g £ ln 2 ¢
x 0 2p
g'' -
g {
x 0p2
p
h'' s. s. + s. s. - s. s.
h s. s. 8 s. s. { s. s.
x 0p2
7p6
11p6
2p
f ' + + 0 + 0 - 0 + +
f - 2 £ 0 £ 3√32
¢ - 3√32
£ - 2
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260 SoluçõesN
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Tarefa 12
1. 90 m
2. 1,5 s ; 4,5 s ; 7,5 s
3. 40 . Com o passar do tempo a altura tende a estabilizar eo concorrente ficará a 40 m do solo.
6. 12 m
Tarefa 13 1.1.1. Volume máximo: 2,75 l ; volume mínimo: 2,25 l 1.1.2. 2,5 l e 2,75 l
1.2. Inspiração
1.3. e
1.4.1. 1.4.2. 300
2.1. 4 vezes 2.2.
Tarefa 14 1.1. 0 1.2.
1.4.2.
2.2.
Proposta 1 (A)
Proposta 2 (C)
Proposta 3 (B)
Proposta 4 (A)
Proposta 5 (B)
Proposta 6 1. f : II ; g : I
2.
Proposta 7
2.
3. 252
Proposta 9
1.
2.1. 12 h ; 10 m 2.2. De 12 em 12 horas. 2.3.
Proposta 10 1.
2.
3.
4.
5.
Proposta 11
2.
3.1.
3.2.
Proposta 12
(D)
Proposta 13
(C)
Proposta 14
2.
3.
Proposta 15
1.1.
1.2.
Pág. 161
V '(15) = - p8) - 0,39 l /sV '(5) = p
8) 0,39 l /s
(5 ; 2,5) e (7 ; 2,5)
Pág. 162
Pp2 , 2a = p
3
y = 3x - 3p2
Pág. 164
Pág. 165
a = - p ; b = - p2 ; c = 5p
4 ; d = 5p
2
Pág. 160
xA ) 5,68 e xB ) 9,68
Pág. 163
t = 283 › t = 44
3
Pág. 166
d (t) = 12 - 2cos p6 t
t1 ) 3,48 e t2 ) 8,52
Pág. 167
Df = R2p3
x = 2p9
+ 2kp3 › x = 4p
9+ 2kp
3 , k å Z
0 ; 2p3 ; 4p3 ; 2p
y = - 6√3x + 10√33p + 14
p2+ √52
Df = x å R : x 0 p2+ kp , k å Z
y = 4√3x - 4√33p + p + 4
Pág. 168
A (1 , √3) e B92 , √3y = 4p
3x - 4p
3+ √3
Pág. 169
P√22 , √22 ; R0 , √22 ; Q√24 , 2√2 +√64
√38
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3.1.
3.2.
5. .
Proposta 16 (D)
Proposta 17 (B)
Proposta 18 (A)
Proposta 19
1. (C)
2. (B)
Proposta 20
1.
2. 1
3. 2
4. 2
5. 4
6.
7.
8. 1
9. 2
10.
11.
12.
Proposta 21
1. 0
2. 3
3.
Proposta 22
1.1.
1.3.
2.2.
Proposta 23
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Proposta 25
1.1.
1.2.
2.
Proposta 26
1.
3.
Proposta 30
2.
3.
Proposta 31
2. A função f é crescente em e decrescente em
. Tem máximo absoluto igual a para .
4. Não. A função f '' é negativa em .
Proposta 32
1. .
3.
4. .
Pág. 170
25
1616
121212
Pág. 171
- p2
x = kp , k å Z
- 325
a = p3
p12 e 5p
12
a = p4
a = p3
f '(x) = 2 sin x cos2 x - sin3 x
f '(x) = - 2x sin (x2)(1 + cos x) + sin x cos (x2)(1 + cos x)2
f '(x) = 12 cos x2 +
2x2sin 2x
f '(x) = sin (2x) - 2x cos (x2)
f '(x) = esin x (cos2 x - sin x)
f '(x) = 11 + sin (2x)
Pág. 172
yA = 3
k = 3 ; xB = 3p2
k = 9
Pág. 173
B7p6 , 7p6
+√3 e C11p6 , 11p6
-√3
p2 , p2
Pág. 174
p8 , 12 ;
3p8 , 12 ;
5p8 , 12 ;
7p8 , 12
p2 , 0 ; 7p6 , - 3√3
4 ; 11p6 , 3√34
0 , p3 x = p
3√33p3, p
]0 , p[
Pág. 175
Pp2 , 1 e Q7p6 , 2 +√32
y ≥ 1 + sin (2x) ‹ y ≤ 1 - cos x ‹ p2≤ x ≤ 7p
6
p3 , 2 +√32 e Q 2p3 ,
2 -√32
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262 SoluçõesN
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Proposta 33
1.
2.2.
1. (B)
2. (A)
3. (D)
4. (B)
5. (A)
1.1. 8 cm 1.2. 0,25 s
2.1. 2.2.
3.1.
3.2.
3.3. II
3.4.
46.1.
46.2.
46.3.
46.4.
47.
48.1.
48.2.
48.3.
49.
50.1.
50.2. 50.3. 3
50.4. 50.5. 5
51.1. ;
51.2.1.51.2.2.51.2.3. 2
52.1. Bissetriz dos quadrantes ímpares. 52.2. Bissetriz dos quadrantes pares. 52.3. Eixo imaginário. 52.4. Reta paralela ao eixo real e que passa pelo afixo do número i .52.5. Circunferência centrada na origem do referencial e raio 2 .
53.1.
53.2.
53.3. 53.4.
54.1. 54.2. 54.3. 54.4.
55.1. A 55.2. B 55.3. C
56.1.
56.2.
Tarefa 15
1.2.1.
1.2.2.
k = - 1- 1
Mp4 , 2 e Rp2 , 0
p6
x = p6 › x = 5p
6
Pág. 180
x å {- 3i , 3i}
x å {0 , - 2√2 i , 2√2 i}x å {1 - i , 1 + i}
x å {3 -√2 i , 3 +√2 i}
Pág. 181
x = 5 e y = - 2x å R e y = - 1x = 2 e y 0 - 1
k = - 2
Pág. 182
√5
√10
3√2
Pág. 183
zA = 3 + 2i ; zB = 1 + 3i ; zC = - 2 + 4izD = - 2 ; zE = - 2i ; zF = 2 - 2i
√132√5
a = 2 e b = - 3a = ¿ 2 e b = 0a = - 2 e b å Ra = 0 e b = - 3
- 3 - i2 + 5i- 2i- 2
Pág. 184
zB = 2 + 4i
Pág. 177
Pág. 176
q ) 1,6 rad › q ) 2,3 rad
p3 ; p ; 5p
3
152
Pág. 185
P = 2√3 + 2
A = √2
z Re (z) Im (z)
3 + 5i 3 5
- 3i 0 - 3
7 7 0
- 2 + i - 2 1
2i 0 8
√2 i √2 0
-√3 - i -√3 - 1
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2 ©
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2.1.
2.3.1.
2.3.2.
2.3.3.
2.4.1.
2.4.2.
2.4.3.
58.1. 58.2.
58.3.
58.4.
59.1. 59.2.
59.3.
60.1.
60.2.1. Simetria em relação à origem. 60.2.2. Simetria em relação ao eixo real.
61.1. 61.2. 61.3.
62.1. Semieixo real negativo62.2. Semieixo imaginário negativo62.3. Eixo real62.4. 3.° Q 62.5. 4.° Q
63.1. 63.2. 63.3. 63.4.
64.3. 3
65.1.
65.2.
65.3.
65.4.
65.5.
66.1.
66.2.
67.
68.
69.1. 69.2. 69.3.
70.1. 70.2. 70.3.
71.1. 71.2. 71.3. 71.4.
75.2. Por exemplo, .
76.1.
76.2.
76.3. 76.4.
76.5.
77.1. Por exemplo,
77.2. Por exemplo,
Pág. 188
5 - 5i- 1 - 7i1 - 6i- 5 + 10i
Pág. 189
- 12- 12i
- 25- 15i
- 15+ 85i
23i
32+ 12i
√34
+ 14i
- √34
+ 14i
Pág. 190
v = 4√55
i
z2
Pág. 191
- 2i- 6i- 11 - 2ik = 4k = 2k = 4- 11 + 3i- 1 + i- 1 - i
Pág. 192
n = 2
Pág. 193
z å {0 , - i}z = - 3
5+ 65 i
z = - 1z å {0 , -√3 i , √3 i}
z å 1 -√7 i2
, 1 +√7 i
2 z = 1 + i ; z = - 2 - 2i ; z = 4 + 4i
Im (z)
Re (z)O
z = 1 - 2i ; z = - 2i ; z = - 5 - 2i
2 + i4 - i4 - 7
2i
- 2 + 72i
x = 3 e y = - 2x = ¿ 2 e y = - 3x = - 1
2 e y = 0
Pág. 187
zC = 2 + 4i
- 3 - i2i
9 - i
Pág. 186
√102
+ √102 i e - √10
2- √10
2 i
- 1 + 2i e - 1 - 2i
1 + 2i e - 1 + 2ia = 0 e b = 2 + √5
a å R e b = 2
a = - 23 e b = 3
zB = -√5 i
Im (z)
Re (z)O
-2
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264 SoluçõesN
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78.
79.
Tarefa 16
1.2.
2.
3.1.
3.2. 3.3.
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
4.5. 4.6.
Tarefa 17 5.1. 5.2. 5.3.
Tarefa 18
1.
2.
3.1. 3.2.
3.3.
3.4.
4.1. 2.° Q porque a imagem geométrica de u é o ponto
.
4.2. A imagem geométrica de u pertence à circunferência C1 .
Tarefa 19 1.1. 2
1.2.
1.3.
1.4.1.
1.4.2.
1.5.
2.
3.
4.1.
4.2.
4.3. 0
4.4.
80.
Pág. 195
y = - x
k = √3 › k = -√3z = √2 -√2 i › z = -√2 + √2 i
Pág. 196
z = 2 + 2√3 i e w = 72+ 7√3
2 i
P (4 cos q , 4 sin q) e Q (7 cos q , 7 sin q)
q = p2
q = p
q å p , 3p2 q = p
4 › q = 5p
4
(- 2√3 , 2)
Pág. 198
tg q = √34p3
+ 2kp , k å Z
z1 = 2 cis 4p3 z1 = 2 cis - 2p3 z2 = 1 -√3 i
p2
p
a = - 212 e b = - 3
a = - 6 e b = - 3a = 6 e b = - 2z å {2 + i , 2 - i}z å 17 , -
57 i
z å {- 2i , i}z å - 13 iz å {0 , -√5 i , √5 i}z å {2 , - i , i}
a = - 52
Pág. 194
P (z) = (z - i) (z + i) (z - 2i) (z + 2i)
3p2
Pág. 199
zA = 2 cis p3 ; zB = 2 cis 2p3 ; zC = 2 cis 4p3 ; zD = 2 cis 5p3
x å {1 , -√2 i , √2 i}
Número complexo Módulo
Argumentopositivomínimo
Argumentoprincipal
1 + i √2p4
p4
- 2 + 2i 2√23p4
3p4
3 + √3 i 2√3p6
p6
1 + √3 i 2p3
p3
√102
- √102
i √57p4
- p4
-√2 -√6 i 2√24p3
- 2p3
3√32
- 32
i 3 11p6
- p6
Número complexo Módulo Argumento em
[0 , 2p[
z1 √13 0
z2 4p2
z3 2 p
z4 3 3p2
Imagem geométrica
Número complexo
A - w
B w
C w + 1
D 12
w
E w + i
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81.1.
81.2.
81.3.
81.4.
81.5.
82.1.
82.2.
82.3.
82.4.
82.5.
82.6.
Tarefa 20
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
2.1.
2.2.
2.3.
3.1. 3.2.
4.1. 4.2.
4.3.
83.2.
84.1.
84.2.
84.3.
84.4.
85.1.
85.2.
85.3.
86.1.
86.2.
86.3.
87.
88. 0 radianos.
89.1.
89.2.1.
89.2.2.
90.1. 3.° Q 90.2. 4.° Q 90.3. 1.° Q 90.4. 2.° Q
91. O ponto D .
92. ;
93.
95.1.
95.2.
95.3.
96.1.
96.2.
96.3. .
zA = 2 ; zB = - 1 +√3 i ; zC = - 1 -√3 i
zB = 2 cis 2p3 ; zD = 2 cis 7p6 ; zE = 2 cis 5p3 ; zF = 2 cis p6z = cis (p + a)
z = cis (- a)
z = cis p2 - aPág. 201
5p3
z = 2 cis p3 (1.° Q) ; - z = 2 cis 2p3 (2.° Q)
z = 3 cis 8p9 (2.° Q) ; - z = 3 cis p9 (1.° Q)
z = 2 cis - 3p4 (3.° Q) ; - z = 2 cis 7p4 (4.° Q)
z = cis 6p7 (2.° Q) ; - z = cis p7 (1.° Q)
a = p2
a å - 5p6 , p6
a = - 7p12
Pág. 202
cis p2√2 cis 39p20 6 cis 3p4
4 cis 11p15
Pág. 203
z = 2 cis p6 ; t =√24
+ √24 i
√6 -√24 + √6 +√2
4 icis 5p12
Pág. 204
zC = 3 cis 3p4 ; zD = 3 cis 9p10zE = 3 cis - p4 ; zF = 3 cis - p10z2
Pág. 205
12 cis - 17p21
z = 2√2 cis 3p4 z = 10 cis 11p6 z = cis p4z = 8√2 cis 4p3 z = √7 cis 3p2 z = √p cis (0)
Pág. 200
z = 3 cis p3w = 3 cis 2p3 z + w = 3√3 cis p2z - w = 3 cis 0
w = 3 cis 4p3 a å {4p , 14p , 24p}
a å 3p2 , 23p2 , 43p
2 a å p4 ,
21p4 , 41p
4 , 61p
4 , 81p
4
3p43p2p
4 cis 9p7 12 cis 11p21
5p4
p3
√6 +√24 + √6 -√2
4 icis p12sin p12 =
√6 -√24
e cos p12 =√6 +√2
4
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Tarefa 21
1.1. ;
1.2.
1.5.
2.1. 2.2. 2.3. 2.4.
Tarefa 22 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5.
2.1.
2.2.1.
Tarefa 23
1.1.
3.
4.2.
4.3. Não
99.1. 99.2.
100.
101.1.
101.2. ;
102.1.
103.1.
103.2.
104.1.
104.2.1.
104.2.2.
104.2.3.
105.1.
105.2.
106.1. 4.° Q
106.2.
107.1.
107.2.
107.3.
108.1.
108.2.
108.3.
108.4.
108.5.
a = p4 ; b = 3p
4
zA = 2 cis p4 ; zB = 2 cis 11p12 ; zC = 2 cis 19p12 zA' = 2 cis p2 ; zB' = 2 cis 7p6 ; zC' = 2 cis 11p6 zA'' = 2 cis (p) ; zB'' = 2 cis 5p3 ; zC'' = 2 cis p3
Pág. 209
z1 = 2 cis 2p3 ; z2 = 2 cis 7p6 ; z3 = 2 cis
5p3
z = 16 + 16√3 i
Im (z)
Re (z)O2
z0z1
z2
Pág. 210
n = 532 cis p
(w1)3 = (w2)
3 ; z = 8i
Pág. 211
w = 2 cis 3p4 z0 = √4 2 cis 3p16 ; z1 = √4 2 cis 11p16 z2 = √4 2 cis 19p16 ; z3 = √4 2 cis 27p16 z = 16 cis p32 cis p21z0 = 2√2 cis p14 ; z1 = 2√2 cis
15p14
Pág. 212
cis p2cis p10cis 13p10 cis - 9p10
2 cis 31p24 n = 24
Pág. 213
17p15
z3 = 8 cis (p) ; z4 = 16 cis 4p3 Módulos: r = 2 ; argumentos: r = p
3
n = 3n = 5n = 8n = 11
Pág. 208
z1z4z5z1z4
z = 2 cis p3 ; z2 = 4 cis 2p3
Pág. 206
cis p3 ; cis (p) ; cis 5p3
√2 cis p8 ; √2 cis 5p8 ; √2 cis
9p8 ; √2 cis
13p8
2 cis 5p16 ; 2 cis 13p16 ; 2 cis
21p16 ; 2 cis
29p16
z å 4 cis 3p8 ; 4 cis 7p8 ; 4 cis
11p8 ; 4 cis
15p8
z å √4 2 cis 5p8 ; √4 2 cis 13p8
z å 0 ; cis p6 ; cis 5p6 ; cis
3p2
z å - 1 ; 0 ; 12 + √32 i ; 1
2- √32 i
z å √2 cis p12 ; √2 cis 7p12 ; √2 cis
13p12 ; √2 cis
19p12
(z = w)
wn = 12 cis p3n
w = 12
cis p3 w2 w3 w4 … w7 w8 … wn
Módulo 12
14
18
116
… 1128
1256
… 12n
Um argumentop3
2p3
3p3
4p3
… 7p3
8p3
…np3
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109.1.
109.2.
110.1.
110.2. ;
Tarefa 24
1.
2.1.1.
2.1.2.
2.1.3.
2.1.4.
2.2.1.
2.2.2.
Tarefa 25 1.1. Ponto D1.2. Ponto A1.3. Ponto D1.4. Ponto C
2.
3.1. Ponto A3.2. Ponto F
4.1. 4.2.
4.3.
4.4.
4.5.
111.1.
111.2.
111.3.
111.4.
112.1.112.2.
Im (z)
Re (z)O 4-4
8 (zA)2
(zE)2(zF)2
Im (z)
Re (z)O
-0,5
0,51-—4
1—zA 1—zE
1—zF
1—4
Pág. 216
AB = \zA - zB|= 2
A'(- 1 , -√3) ; B'(2 , 0) ; C'(- 1 , √3)
n = 6
z3 = √2 cis p2 ; z4 = √2 cis 5p6 z5 = √2 cis 7p6 ; z6 = √2 cis 3p2
Pág. 215
w = 2√2 cis 3p4 E'(2 , 0) ; F'(0 , - 2) ; A'(- 2 , 2)
E' (0 , 2) ; F' (- 2 , 0) ; A' (2 , - 2)
E'(1 , √3) ; F'(- 1 , √3) ; A'(1 -√3 , 1 +√3)E' (2 , 1) ; F' (0 , 3) ; A' (- 2 , - 1)
A (- 2 , 0) ; B (1 , -√3) ; C (1 , √3)
Pág. 214
\z|= 2Im (z) = 4\z|= 4 ‹ 0 ≤ arg (z) ≤ p
4
arg (z - zA) ≤ p4\z - zc|= \z - zB|
Pág. 217
Im (z)
Re (z)O2
Im (z)
Re (z)O 41
Im (z)
Re (z)O1
-2
Im (z)
Re (z)O
1
-1
\z|= 3\z - 3 + i|= 2
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113.1.
113.2.
113.3.
114.1. Coroa circular centrada na imagem geométrica dee de raios 1 e 3 .
114.2. Mediatriz do segmento de reta de extremos e.
114.3. Mediatriz do segmento de reta de extremos e.
114.4. Mediatriz do segmento de reta de extremos e.
114.5. Mediatriz do segmento de reta de extremos e.
115.1.
115.2.
115.3.
115.4.
115.5.
116.1.
116.2.
116.3.
117.1. Semieixo real negativo. 117.2. Eixo imaginário. 117.3. Bissetriz do 2.° quadrante. 117.4. 1.° quadrante.
118.1.
118.2.
119.
Proposta 1 (C)
Proposta 2 (D)
Proposta 3 (B)
Proposta 4 (C)
Im (z)
Re (z)O 1-3 -1
Im (z)
Re (z)O
2
-1
Im (z)
Re (z)O 4
1
-2
-5
Im (z)
Re (z)O 2
-1
Im (z)
Re (z)O 4-1
Pág. 220
\z|≤ \z - 4 - 4i|- 1 ≤ Im (z) ≤ 1 ‹ - 2 ≤ Re (z) ≤ 2
\z|≤ \z - 3 - 3i| ‹ \z|≤ \z + 3 - 3i| ‹ Im (z) ≥ 0
Pág. 221
\z - 1 - 2i|< √5
\z - 2i|≤ 2 ‹ \z - 3i|> 1
\z - 3|< 5 ‹ \z + 3|< 5
Pág. 219
- 2 + i
(0 , 0)(4 , 0)
(0 , 1)(1 , 0)
(0 , - 1)(0 , 1)
(1 , - 1)(- 3 , 0)
p3≤ arg (z) ≤ p
25p4
≤ arg (z) ≤ 7p4
\z - 2 - 2√3 i|< 2√3 ‹ p3< arg (z - 2 - 2√3 i) < p
Pág. 224
Pág. 218
Pág. 225
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Proposta 5 (A)
Proposta 6 1.1. 1.2. 1.3.
2.1. 2.° Q 2.2. 3.° Q
Proposta 8
1. A imagem geométrica do complexo z é o vértice C e aimagem geométrica do complexo w é o vértice H .
Proposta 9
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Proposta 10
2.
3.
Proposta 11
1.
2.
3.
Proposta 12
2. 23
Proposta 13
1.
Proposta 14
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Proposta 15
1.
2. " Simetria em relação ao eixo real
" Simetria em relação à origem do referencial
" Rotação de 90° centrada na origem
Proposta 16 (C)
z = 1 + 13 i
z å {- 3 + 2i , - 3 - 2i}
z å 0 , √62 - √62i , - √6
2+ √62i
z å √102 , - √102 , 2i , - 2i
z å {2 + i , 2 - i}z å {i , √5 i , -√5 i}
a = - 1 ; b = 2 ; c = - 6
z å {i , - i , 1 +√5 i , 1 -√5 i}
k = 14
k = - 1
k = - 16
Pág. 227
zB = 4 + 4i e zC = - 2 + 3i
z = 4√2 cis p4
z = 5 cis (p)
z = 6 cis 2p3
z = p cis p2
z = √2 cis 3p2
z = 2√3 cis 7p6
z = 2√2 cis 11p6
z = 2 cis 3p4
z = cis 5p6
z = √22 cis 3p4
Pág. 228
\z1|= √5 ; \z2|= 3 ; \z3|= √2
- 8 + 4i6 + 3i3 - i
Pág. 226
z = - 1 - iz = 5 + 5i
z = 13 i
Im (z)
Re (z)O 2
3
1
1
z2
z1z3
z1- z3iz2
Im (z)
Re (z)O
z2
z1
z1
z3
-z3
iz2
-
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Proposta 17 (A)
Proposta 18 (C)
Proposta 19 (C)
Proposta 20
1.
2.
3.
Proposta 21
1.
2.
Proposta 22
2.
Proposta 23
2.
Proposta 24
Proposta 25
1.
2. .
Proposta 26
1.
4.
Proposta 27
1.
2.
Proposta 28
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
Proposta 29
1.
2.
3.
4.
5. ;
6. ;
Proposta 30
2.
Proposta 31
1.
2.
3.
Proposta 32
1.
2.
n = 3
z å √3 2 cis p12 ; √3 2 cis 3p4 ; √
3 2 cis 17p12
tg q = - 211
Pág. 230
B1 - 3√32
, 3 +√32
- 1 +√34
+ 1 +√34
i ; √22 cis 5p12
sin 5p12 =√2 +√6
4 e cos 5p12 =
- √2 +√64
z2 = - 3 + 4i ; z3 = - 4 - 3i ; z4 = 3 - 4i
w = 4√3 - 35
+ 3√3 + 45
i
n = 3
n = 6
Pág. 231
- 14- 14i
√28 cis 11p12
- 8 - 8√3 i
cis 5p14
z å 2 cis p4 ; 2 cis 3p4 ; 2 cis
5p4 ; 2 cis
7p4
z å √6 2 cis p12 ; √6 2 cis 3p4 ; √
6 2 cis 17p12 z å 0 , cis - p8 , cis
3p8 , cis
7p8 , cis
11p8
z å 0 ; 10√2 cis p20 ; 10√2 cis 9p20
10√2 cis 17p20 ;
10√2 cis 5p4 ;
10√2 cis 33p20
z å 612√2 cis p16 ; 612√2 cis 9p16
612√2 cis 17p16 ; 6
12√2 cis 25p16
Pág. 229
32 cis 4p3 ; - 16 - 16√3 i
4√2 cis 5p4
2 cis 23p15
z = - √34
+ 14i ; w = cis 5p3
- 16√3 + 16i
27√22
- 27√22
i
z1 = 3 cis 23p12 ; z2 = 3 cis 7p12
P = 9√3
Pág. 232
zC = - 2√3 - 2i ; zD = 32 - 3√32
i
z å 0 , 2 cis 0 , 2 cis p2 , 2 cis (p) , 2 cis 3p2
Im (z)
Re (z)O
BA
DC
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dito
ra
Proposta 33 (C)
Proposta 34 (A)
Proposta 35 (C)
Proposta 36
‹‹
Proposta 37
1.
2.2.
Proposta 38
1.
2.
Proposta 39
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Pág. 234
Im (z)
Re (z)O
2
1
Im (z)
Re (z)O
3
1
-1
Pág. 233
\z - 3 + 2i|≤ √13 ‹ Im (z) ≥ - 2 ‹ \z|≥ \z - 3 + 2i|
zM = 3√32 cis q + p6
p12
≤ arg (z) ≤ 5p12 ‹ 3p
4≤ arg (z - zA) ≤ 13p
12
Im (z) = 2 ‹ 1 ≤ Re (z) ≤ 4
√2 ≤ \z|≤ 3 ‹ arg (z) = 3p4
2 Re (z) + 3 Im (z) ≥ 0
Im (z)
Re (z)O 2
1
Im (z)
Re (z)O
2
1
-1
Im (z)
Re (z)O
-2
2
Im (z)
Re (z)O4
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7.
Proposta 40
1.
2. Pertence
Proposta 41
1.
2.
Proposta 42
1.
2.
3.
4.
5.
6.
1. (B)
2. (A)
3. (C)
4. (D)
5. (B)
1.1. 1.2.
2.1.
2.2.
2.3.
3.
4.1.
4.2.
2 ≤ \z|≤ 3 ‹ - 3p4
≤ arg (z) ≤ p4
\z - 3 - 4i|≥ 2 ‹ p4≤ arg (z - 1) ≤ p
2 ‹ Im (z) < 4 ›
› \z - 3 - 4i|≤ 2 ‹ 0 ≤ arg (z - 1) ≤ p4
Pág. 236
Pág. 237
a = 1a å {- 3 , 3}
n = 7z3 = -√2 + √2 i
z5 = 2 cis 17p12
2 cis p2
√21
- √32
Im (z)
Re (z)O 1
1
\z + 2 - 4i|≤ \z - 2 - 2i| ‹ 2 ≤ \z - 2 - 4i|≤ 4
zC = 2 - 2√3 i e zA = 2 + 2√3 i
\z|≤ 4 ‹ Re (z) ≥ 2
Pág. 235
\z|≥ 1 ‹ \Re (z)|≤ 3 ‹ \Im (z)|≤ 3
\z - 3 - 2i|≥ 2 ‹ 3 ≤ Re (z) ≤ 5 ‹ 2 ≤ Im (z) ≤ 4
\z|≥ 2√2 ‹ p4≤ arg (z) ≤ p
2 › [\z|≤ 2√2 ‹ Im (z) ≤ 0]
\z|≤ √8 ‹ p4≤ arg (z) ≤ 11p
12
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